Lokalisering af mobile robotter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lokalisering af mobile robotter"

Transkript

1 Christian Jon Veng Jensen Mikkel Peter Sidoroff Gryning Lokalisering af mobile robotter Navigation i en korridor Bachelor thesis, June 2009

2

3 Lokalisering af mobile robotter, Navigation i en korridor Rapporten er udarbejdet af: Christian Jon Veng Jensen Mikkel Peter Sidoroff Gryning Vejleder(e): Nils Axel Andersen, Lektor, DTU Ole Ravn, Lektor, DTU DTU Elektro Automation and Control Danmarks Tekniske Universitet Bygning 326 Tlf. : Fax : Kgs. Lyngby Danmark Projektperiode: ECTS: 15 Uddannelse: Retning: Klasse: Bemærkninger: Bachelor Elektroteknologi Offentlig Denne rapport er indleveret som led i opfyldelse af kravene til ovenstående uddannelse på Danmarks Tekniske Universitet. Rettigheder: Mikkel Gryning, Christian Jensen, 2009

4 2

5 ABSTRACT Autonomous navigation of robots is one of the great challenges in the spread of service oriented robots. This fact makes the investigation of navigation in confined environments commercially and scientifically interesting. A problem in localization and identification of objects is to determine the actions of the robot. This project shows the implementation of a system that autonomously guides a robot through a corridor with both open and closed doors. The surroundings are perceived by a laser scanner, and from that data, the navigation is planned. The data received from the scanner is corrected by an estimation of the systematical error and the movement related disturbances are dealt with by transforming all measurements to the startframe using odometry interpolation. Lines are determined in the data using adaptive segmentation that identifies breakpoints by checking for a certain threshold-distance between them. A curvature function determines the angles around each point, and further identifies breakpoints and corners. An intuitive method to separate doors from end-walls in a corridor plus an efficient door entering method are shown. Further, it is investigated how objects on corridor sides can be ignored or avoided without unnecessary movement. The methods are initially tested in a matlab simulator, and afterwards implemented on a mobile robot. The combination of adaptive linesegmentation and the curvature function proved to detect contiguous points, provided that the data were not erroneous. It emerged that the methods implemented for door detection were not as robust as hoped because of a slow update rate. Bad scan data could lead to a wrong interpretation of an object and the robot could miss a door. The quality of the scanners on the robots used differed greatly, and it was found that a slightly misaligned scanner gave too erroneous data. The integration of the different methods proved to be successful and the statistical data combined with tests of the individual methods showed an effective navigation in a corridor. It can be concluded that a robot with a correctly mounted laserscanner could utilise the described methods. 3

6 4

7 RESUMÉ Autonom navigation af robotter er en af de store udfordringer i udbredelse af servicerobotter. Dette gør det både kommercielt og forskningsmæssigt spændende at undersøge metoder til navigation i afgrænsede miljøer. Et af problemerne er lokalisering og identifikation af objekter og hvordan robotten skal reagere på objekter. Dette projekt beskriver implementeringen af et system, der autonomt guider en robot i en korridor med åbne og lukkede døre. Data modtaget fra scanneren bliver korrigeret ud fra en estimering af den systematiske fejl og de bevægelsesrelaterede fejl bliver tilrettet ved at transformere all målingerne tilbage til starttidspunktet for scanningen vha. odometri interpolation. Ud fra dataet bestemmes linjer ved en adaptiv segmenteringsprocess der identificerer brudpunkter og sammensætter punkterne til linjer ud en afstandstærskelværdi. En krumningsfunktion bestemmer vinklerne omkring hvert punkt og identificerer hjørner og brudpunkter. Projektet beskriver ligeledes en intuitiv måde at bestemme forskellen på endevægge og døre i en korridor, samt en metode til effektivt at køre ind af dørene. Det undersøges videre hvordan objekter på korridorsiderne kan ignoreres eller undviges uden unødvendige udsving. Alle forsøg er først afprøvet i matlab ved at simulere hændelsesforløbet, derefter udført i praksis på en mobil robot. Den adaptive linjesegmentering i kombination med krumningsfunktionen viste sig at detekterede sammenhængende punkter i laserscannerdataet, forudsat at dataet var uden fejl. Det viste sig at de implementerede metoder til dør detektion ikke var robuste som håbet pga. en langsom opdateringshastighed. Fejlagtig scandata kan give en forkert genkendelse af objekter i korridoren, og derved kan robotten køre forbi en dør ved en fejl. Kvaliteten af scannerne på de testede robotter var meget svingende, og lidt skæv påsætning af scanneren på robotten gav for store fejl i dataet til at det kunne bruges. Samspillet mellem de forskellige metoder viste sig frugtbart og de statistiske data sammen med test af de enkelte metoder, viste effektiv navigation i en korridor. Det kan konkluderes at en robot med en korrekt påsat laserscanner effektivt vil kunne bruge de beskrevne metoder. 5

8 6

9 INDHOLDSFORTEGNELSE ABSTRACT... 3 RESUMÉ... 5 FIGURLISTE INTRODUKTION Baggrund Problemformulering Projektets mål Metode, afgrænsnings og forudsætninger Arbejde af andre TEORI OG METODER Laserscanneren Forbehandling af sensordata Bevægelseskorrektion FORTOLKNING AF DATA Naiv linje segmentering Adaptiv linje segmentering Krumningsfunktion Lineær least-squares Bestemmelse af væg der følges SIMULATOR OG REGULERING Simulator Regulering Plot IDENTIFIKATION AF OBJEKTER Undvigelse af døre Udregning af undvigelseslinje Vending ved vægge

10 5.3 Afprøvede metoder til differentiering mellem dør og væg Find døre og kør ind Kontrol af døråbning Døre som åbner udad Styrepunkter ved dør PROGRAMSTRUKTUR TEST VIDEREUDVIKLING KONKLUSION BIBLIOGRAFI BILAG Udregninger til dør og væg punkt Udregning af punkter til kørsel omkring dør

11 FIGURLISTE Figur 1 - Afstandsvariationen i forhold til rigtige afstand til objektet Figur 2 - Laserscanning uden biaskorrektion Figur 3 - Laserscanning med biaskorrektion Figur 4 Bestemmelse af D max ud fra foregående punkt og funktionen af 99 procent konfidensinterval Figur 5 - Bestemmelse af alpha med k= Figur 6 - Bestemmelse af alpha med k= Figur 7 - Simuleret krumningsfunktion Figur 8 Laserscanning ved endevæg Figur 9 Krumningsfunktionen af området vist i Figur Figur 10 - Least squares fitting af målepunkter, taget fra (Diaz, Stoytchev, & Arkin, 2001) Figur 11 - Robot samt den stig den skal styres ind på Figur 12 - robot med vinkelfejl og afstandsfejl til stig Figur 13 - robottens (x,y) koordinater for indsving imod linje Figur 14 - robottens (x,y) koordinater for indsving imod linje Figur 15 - Simulatorplot af farvning af vægge Figur 16 - Simulatorplot af farvning af flere vægge Figur 17 Kontrolforløb ved identifikation af døre og vægge Figur 18 Robottens vej ved undvigelse af åben dør Figur 19 - Lukket dør fra simulator Figur 20 Lukket dør fra rigtig data Figur 22 - Væg med "huller" skabt af sorte lister pga. ingen refleksion Figur 21 - Skæring af dørlinje og væglinje med linje vinkelret på dør Figur 23 - Åben dør med markering af fejl ved slutningen af væg Figur 24 - punkterne til en dør der åbner udad Figur 25 - Punkterne til en døråbning Figur 26 Flowchart Figur 27 hhv. testrute 1 og

12 10

13 1 INTRODUKTION Det er i mange år forsøgt at lave en autonom robot der fejlfrit kan navigere rundt i et ukendt miljø. Eksempler på dette kan ses indenfor husholdningsbranchen hvor autonome støvsugere er ved at blive udbredt efterhånden som de bliver bedre. Det de skal blive bedre til er at kunne undgå objekter, følge vægge og generelt navigere rundt. En robot der kan opfatte verden på samme måde som mennesker ligger langt ude i fremtiden, men ved at forske i deres evne til at opfatte og reagere, kan en robot som faktisk kan hjælpe mennesker i hverdagen blive udviklet. Det som bliver præsenteret i projektet er en simpel form for opfattelse og reaktion på robottens omgivelser gennem en sensor. Der er blevet udviklet mange typer af sensorer gennem tiden, heriblandt sonar og laser. Laser sensoren er en præcis og stabil måde at identificere objekter der befinder sig indenfor en betragtelig afstand fra robotten. Besværlighederne ligger i hvordan disse data skal tolkes og behandles således at robotten autonomt og robust kan navigere rundt i et afgrænsede miljø. 1.1 Baggrund Projektet er spændende da vi er elektrostuderende og interesserer os for robotteknologi. Ved at skrive dette projekt vil vi få en meget dybere forståelse af emnet, og lære hvilke problemer der opstår når der udvikles software til robotter. Hvordan robotter opfatter verden gennem laser og billeder er fascinerende idet området på ingen måde er stabilt og der endnu ikke findes nogle måder at navigere og opfatte verden optimalt på. 1.2 Problemformulering Indledningsvist kan det nævnes at for at lave en robot der færdes autonomt kræver det implementering af blandt andet undvigelses, lokalisering og fejl håndterings metoder. Fordelen ved en korridor er at der findes fire udfordringer som er relativt lette at definere og teste, disse er givet ved: Følge en væg i en bestemt afstand rundt i korridoren. Passere en åben dør der vender indad uden at det påvirker kørslen. Passere en åben dør der vender udad ved at undgå denne. Køre ind ad en given dør - enten på kommando eller dørtælning. Disse fire problemer er let definerbare og kan betragtes som starten af et større udviklingsprojekt hvori de lettest definerbare og åbenlyse problemer behandles og undersøges først. Hvis der bliver tid kan projektet nemt udvides og yderligere mål tilføjes. 1.3 Projektets mål Målet for projektet er at få en SMR(Small mobile robot) til autonomt at køre rundt i en korridor og ind ad en dør på kommando. Udover selve funktionaliteten af projektet er målet også at få en gen- 11

14 nemgående forståelse for autonome robotters generelle opgaver, herunder navigation og hvordan disse kan opdeles i mindre undergrupper for derved at blive behandlet. Et ikke direkte mål, men dog en stor del af opgaven er at forstå hvordan DTU's SMR er bygget op, hvordan laserscanneren bruges og hvilke problemer der ligger i at behandle dataet. 12

15 1.4 Metode, afgrænsnings og forudsætninger For at gøre projektet muligt at færdiggøre indenfor et bachelorprojekts tidsramme er det valgt at begrænse det ukendte miljø robotten autonomt skal færdes i til en korridor. Projektet vil blive udført vha. matlab hvorfra der sendes og modtages data fra robotten, altså vil udregninger ikke blive udført direkte på robotten vha. c kode. Det er gjort fordi det er hurtigere og nemmere at teste koden direkte i matlab. Det skal ikke forstå sådan at programmet vil blive skrevet mere beregningstungt, da det skal være muligt at oversætte koden til C. 1.5 Arbejde af andre Det data som robotten får fra laserscanneren, kommer i simulatoren fra en matlab funktion som er skrevet af Christian Overvad, s031914, og Kasper Strange, s Der angives de linjer som skal bruges, fra x 1, y 1 til x 2, y 2, og dermed fås en matrix på 2x512 som er de polære koordinater der svarer til det, laserscanneren på robotten returnerer. Udover laserscan funktionen bruges også en odometri opdateringsfunktion som er skrevet af Rafael Olmos Galve, s

16 2 TEORI OG METODER I dette afsnit vil de vigtigste metoder og målingssystemer der bruges i projektet blive gennemgået. Det vil blive forklaret hvorfor metoderne er valgt og på hvilken måde de bidrager til systemet som helhed. 2.1 Laserscanneren Systemet består af et laser målings system(lms) monteret på en SMR fra DTU. SMR'ne har et udbygget sæt af funktioner der inkluderer odometri måling og kørsel efter et givet koordinat i odometri koordinater med tilhørende retningsvektor. Dette er implementeret ved at brug af en regulator, som også vil blive implementeret i simulationsmodellen. SMR'erne er tilgængelige via et trådløst netværk og igennem dette kan matlab kode eksekveres. LMS'et udfører todimensionelle scanninger med 240 synsvinkel. Systemet har en vinkelopløsning på 0,36, hvilket giver 682 målinger. Eftersom interessen ligger i hvad der er foran robotten og ikke bagved, afgrænses synsvinkel til 180, altså 512 målinger. LMS'et har yderligere en maksimal måleafstand på fire meter og for at undgå detektion af robottens hjul sættes en minimums måleafstand til 5 centimeter. LMS'et fungerer ved at et roterende spejl er monteret således at sensorens laserstråle bliver reflekteret rundt i scanningsområdet og det reflekterede lys' tidsforskydning måles. Ud fra denne tidsforskydning og lysets hastighed kan afstanden til det reflekterende objekt estimeres. Hele området bliver dækket ved at spejlet roteres 0,36 for hver måling. Laseren sidder omkring 2,5 centimeter oppe for at undgå detektion af paneler på skabene i korridoren, som er sorte og umuliggør lasermåling da deres refleksion af lys er utilstrækkelig. Informationen der indhentes fra sensoren er punkter på formen P = r l, φ l hvor l = 1 N P, og P er de polære koordinater til det l'te scanpunkt. Den fysiske fortolkning af P er derfor at r l er afstanden til det reflekterende objekt og φ l er vinklen, i forhold til laserscannerens koordinatsystem, hvormed denne afstand er målt. Afgrænsningen af scanningen til 180 giver at laserens interne koordinatsystem ligger ved φ 1 = pi 2 og φ N p = pi 2, hvor N p i dette tilfælde et Forbehandling af sensordata Laserscanneren er ligesom alle andre målesystemer ikke perfekt og r l vil være påvirket af målestøj. Denne usikkerhed antages at være normalfordelt med en middelværdi på nul, hvilket reelt betyder at sandsynligheden for at målingen vil blive kortere end den rigtige værdi er ligeså stor som for at den bliver længere. Denne antagelse bevirker at systemet også har en varians - hvilket kan slås op i sensorens dataark til at være ς 2 = 0.003m 2. For at antagelsen om en middelværdi på nul er kor- 14

17 rekt skal sensoren indstilles således at usikkerheden ikke er afhængig af afstanden til det målte objekt. Dette gøres ved biasestimering foreslået af Borges & Aldon (2004). Den fysiske betydning af et bias i laserscannere er relateret til et internt automatisk forstærkerkredsløb, som korrigerer amplitude forsagede afstandsfejl(borenstein, Everett, & Feng). Dette system er nødvendigt for at bevare funktionaliteten af laserscanneren. Undersøgelsen foreslået af Borges & Aldon (2004) finder systemets bias som funktion af den målte længde r r = r m + ε b r m ε b r m = r r r m (1.1) hvor r r er den virkelige længde, r m er den målte længde og ε b er biaset. Estimeringen foregik ved at placere robotten i en fikseret position og dokumentere både den målte og den virkelige afstand for r r mm. For at gøre målingerne præcise blev der foretaget tre efterfølgende målinger af r m og gennemsnittet af målingerne blev brugt til at udregne biaset. Følgende plot viser sammenhængen mellem r r r m som funktion af den virkelige længde. FIGUR 1 - AFSTANDSVARIATIONEN I FORHOLD TIL RIGTIGE AFSTAND TIL OBJEKTET Som det ses på plottet er der en systematisk fejl der er en funktion af afstanden til objektet. For at kunne estimere sensorens bias blev den bedste approksimative funktion fundet. Approksimationen 15

18 som havde den mindste gennemsnitsfejl i forhold til punkternes placering var et polynomium af femte orden, vist på Figur 1. Der er ingen fysisk eller anden begrundelse for valget af netop dette polynomium, anden end at det gav den bedste approksimation. Denne funktion kan nu bruges til at justere hver måling, således at den statistisk vil blive mere virkelighedstro. Ligningen for funktionen blev, med afstanden omregnet til meter i stedet for millimeter: ε b r m = r m r m r m r m 2 + 0,1869r m (1.2) Beregningsmæssigt kan det virke overdrevent at bruge et polynomium af femte orden, især når det skal udregnes for hver laserscannermåling. Retfærdiggørelsen ligger i at programmet ikke bliver eksekveret direkte på robotten, men udregnet på en stationær computer der har den fornødne regnekraft. For at teste biaskorrektionens virkning på laserscannerens længdemålinger blev der foretaget to scanninger fra en fastholdt position. FIGUR 2 - LASERSCANNING UDEN BIASKORREKTION FIGUR 3 - LASERSCANNING MED BIASKORREKTION Plottene viser at biaskorrektionen har en effekt, hvilket tydeligst ses på linjen yderst til højre. Efter korrektionen bliver konturerne i billedet bedre og nu bliver døren identificeret som en linje uden at væggen bliver taget med, hvilket klart er en forbedring Bevægelseskorrektion En anden systematisk fejl som kan påvirke laserscannerens data er robottens bevægelser. Scanneren er 100 ms om at fuldføre en scanning, og alt afhængigt af robottens hastighed vil målinger fra slutningen af scanningen ligge forskudt i forhold til begyndelsen. De hastigheder som robotten kø- 16

19 rer med i dette projekt ligger mellem 0,1 0,3 m/s og scanningspunkterne vil derfor maksimalt blive forskudt 30mm. Denne fejl kan korrigeres for ved at kende robottens positionering og bevægelsesretning. Den algoritme som anvendes kompenserer for forskydningen ved at transformere hver afstandsmåling taget til tiden t i fra laserscanneren til tidspunktet for første måling t 0. Den anvendte algoritmen (Núñez, Vázquez-Martín, Toro, Bandera, & Sandoval, 2006) kompenserer for forskydningen og indeholder transformationen fra laser til odometri koordinater. I dette projekt er det fordelagtigt at kompensere for forskydningen i lasersystemet eftersom meget få navigationsfunktioner regner i odometri-koordinater. Fordelen ved at gøre det i laserkoordinater ligger i at positionen og bevægelsesretninger af robotten ikke behøves kendt for hver korrektion. I Núñez et. al (2006) skal odometrien til t 0 være kendt og algoritmens kompensationsvirkning forudsætter at robottens bevægelser er uændrede indenfor laserscannerens tidsinterval. Dette er nødvendigt for ikke at overbelaste kommunikationen mellem robot og PC. Det er derfor kun nødvendigt at kende robottens relative forskydelse ved t i i forhold til t 0. Robotten kører altid i x-aksens retning set fra laserscanneren. Derfor skal hver afstandsmåling ved t i fratrækkes den tilbagelagte afstand i x-aksens retning. Som nævnt tidligere tager det 100ms at foretage en scanning, der er 682 målinger altså tager hver måling 146,63μs. For N punkter i hver måling x 1, y 1.. [x N, y N ] med den lineære hastighed v: x = x Nt N 0 ti Nv (1.3) idet robotten kun bevæger sig i x-aksens retning. y Nt0 = y Nti (1.4) Afstandskompensationen er kun et af de problemer det opstår ved at robotten bevæger sig. Hvis robotten drejer, samtidigt med at scannet bliver lavet, vil de samme vinkler blive målt flere gange og scannet vil ikke være korrekt. Kompensationen for denne effekt er ikke påkrævet i projektet eftersom at vendinger hvori scannet bliver brugt samtidigt ikke forekommer. I senere projekter hvor lokalisering skal bruges, kan dette være nødvendigt at tage hensyn til denne effekt. Begge metoder brugt til at forfine og korrigere det modtagne data fra laserscannere retter små, men betydelige fejl og letter den videre tolkning af dataet. I næste sektion behandles fortolkningen af de korrigerede punkter. Når der fremover tales om dataet fra laserscannere menes der de korrigerede laserscannerdata. 17

20 3 FORTOLKNING AF DATA I dette afsnit gennemgås de måder hvorpå de modtagne afstandsmålinger fra laserscanneren behandles og tolkes. Afsnittet består af to undersektioner: Segmentering af punkter i linjer med hhv. naiv og adaptiv metode samt præsentation og implementering af en metode til at detektere kurver og brudpunkter i linje segmenterne. I indledningen blev miljøet hvori robotten skal kunne færdes begrænset til en korridor. Dette blev gjort for at lette navigationen, eftersom en korridor indeholder mange fastholdelsespunkter robotten kan forholde sig til. Det karakteristiske for en korridor er de lange parallelle vægge der kan bruges som navigationslinjer; men for at kunne udnytte disse linjer, skal de først identificeres i laserscanner dataet. Ideen om at identificere linjer i laser- eller sonar data er gammel og der er forsket intensivt i det gennem flere årtier. I Borges & Aldon (2004) foreslås metoder som iterative endpoint fit, fuzzy clustering og KF-based breakpoint detection. Disse metoder blev fundet for besværlige i forhold til deres effektivitet og der blev valgt to metoder som var teknisk intuitive og havde en høj effektivitet i forhold til kompleksiteten. De grundlæggende ideer i de brugte metoder til at kunne identificere linjer ud fra punkterne, er at punkterne tilhører en og samme linje hvis afstanden mellem dem ikke er større end en given tærskelværdi. Problemet med denne idé er at laserscanneren ikke er perfekt og der vil altid være varians derudover forøges afstanden mellem to efterfølgende punkter når afstanden til dem øges. Dette kan nemt ses ud fra cosinus relationen: d = r r 2 2 2r 1 r 2 cos θ resol (3.1) Opløsningen på laserscanneren er konstant og derved fastholdes vinklen mellem punkterne, så distancen mellem dem er kun afhængig af afstanden til hvert punkt. Da cos θ resol er mindre end 1 vil udtrykket i (3.1) blive større jo større afstandene bliver. For at give en flydende indledning til segmenteringen forklares den naive linje segmentering først. 3.1 Naiv linje segmentering Den naive linjesegmentering kaldes således fordi den bruger en fastholdt tærskelværdi for den pythagoræiske afstand der maksimalt må være mellem sammenhængende punkter. r n r n 1 D max (3.2) 18

21 Hvis dette ikke er opfyldt opfattes punktet r n som et breakpoint, dvs. at punktet afslutter den linje som havde startpunkt efter det foregående breakpoint. Fordelen ved metoden er at ikke kræver meget regnekraft og derfor kan eksekveres på kort tid. Et af problemerne med metoden er bestemmelsen af D max, der som tidligere nævnt er afhængig af afstanden til de målte punkter. En god metode til bestemmelse af D ma x og varianter af den naive segmenteringsmetode er behandlet i Skrzypczynski (1995). I dette projekt blev D max empirisk bestemt til at være 0,1 m. Denne tærskelværdi var tilstrækkelig høj til at vægge langt væk i korridoren blev detekteret rigtigt, men desværre også så høj at punkter i nærheden af laserscanneren blev fejlforbundet. Resultatet af dette var at døre og vægge der var i nærheden af robotten blev opfattet som én lang linje, hvilket gjorde robottens kørsel ustabil eftersom både afstand og vinkel til væggen blev forkerte. Det kan derved konkluderes at den naive segmenteringsmetode er effektiv i er lukket miljø hvor afstandene til objekter er forholdsvist konstante. En korridor er et veldefineret lukket miljø, men overholder ikke kravet om at afstandene skal være ens. For at overkomme dette problem blev en alternativ metode til bestemmelse af D max afprøvet. 3.2 Adaptiv linje segmentering Borges & Aldon (2004) præsenterer en metode kaldet adaptiv linje segmentering. I denne metode forsøges det at finde D max ud fra det foregående punkt. Dette bliver gjort ud fra en defineret virtuel linie der går gennem p n 1. Denne linje vil have en vinkel λ i forhold til den vinkel det måles ved θ n 1, se Figur 4. FIGUR 4 BESTEMMELSE AF D MAX UD FRA FOREGÅENDE PUNKT OG FUNKTIONEN AF 99 PROCENT KONFIDENSINTERVAL. Det vises i Borges & Aldon (2004) at den største afstand mellem punkterne for at de stadig tilhører den samme linje er givet ved: 19

22 D max = p n p n 1 = r n 1 sin Δφ sin λ Δφ (3.3) hvor λ bestemmer den største vinkel målingen kan have til væggen for at punkterne tilhører denne. λ kan bestemmes empirisk og blev sat til 10 i projektet. Dette D max kan så bruges i den naive linje detektor beskrevet i forrige sektion. Dataet fra laserscanneren vil altid indeholde en vis usikkerhed. For at fjerne denne usikkerhed adderes laserscannerens varians 3 gange. Dette bevirker at sandsynligheden for at punktet ligger i cirklen selvom der er støj er 99 procent. D max = p n p n 1 + 3ς r. (3.4) Som vist i Figur 4 skal punktet nu ligge indenfor cirklen med radius D max for at det tilhører linjen. Et problem med denne metode er at detaljer i korridoren som ikke er klart defineret i form af skarpe hjørner, men er runde i formen bliver opfattet som en og samme linje. Dette er især et problem ved lukkede døre hvor indhakket er meget småt og trinopdelt. Derudover bliver skarpe hjørner til dels opfattet som hørende til den samme linje - hvilket giver problemer ved vægfølgning. Den adaptive opdeling fungerer bedre end den naive, da detaljer som er tæt på robotten nu også bliver opfattet korrekt. Desværre sker der stadig fejl og for at få delt linjerne ydereligere op bruges en funktion præsenteret i Rosenfelt & Johnston (1973) til at finde krumningen fra punkt til punkt. 3.3 Krumningsfunktion En krumningsfunktion beskriver et punkts beliggenhed i forhold de omkringliggende punkter og hvor stor en vinkel der er mellem dem. Der er gennem tiderne foreslået mange forskellige måder at bestemme dette ud fra digitale data, nogle anvender flere data end andre. Som beskrevet i Núñez et. al (2006), defineres krumningsfunktionen forskelligt idet nogle medtager information om hældning, korrelation til de tidligere punkter eller konkavitet og konveksitet. Det må derfor bestemmes hvor meget information der er påkrævet i det givne projekt og hvilket typer af information der gavner robottens navigation. I dette projekt ligger interessen i at detektere døre og åbninger som defineres af skarpe hjørner. Ideen er at krumningen omkring et punkt kan afgøre hvorvidt det afgrænset et hjørne eller tilhører en lige linje. Mindre detaljer i korridoren kan også detekteres, men i dette projekt er det kun interessant om der findes skarpe hjørner på de linjer som den adaptive opdeling har fundet. I Rosenfelt & Johnston (1973) udregnes krumningen i punktet ud fra vinklen α mellem to givne vektorer udspændt af k antal punkter både frem og tilbage, illustreret nedenfor. 20

23 FIGUR 5 - BESTEMMELSE AF ALPHA MED K=1 FIGUR 6 - BESTEMMELSE AF ALPHA MED K=5 Med laserscannermålingerne i kartesiske koordinater og k er det givne antal punkter er vektorerne til punktet x i,y i givet ved f i = x i+k x i, y i+k y i (3.5) b i = x i k x i, y i k y i. (3.6) Som vist i Figur 5 og Figur 6 skal værdien af k vælges med yderste forsigtighed, eftersom valget har store konsekvenser for effektiviteten af metoden. Værdien af k definerer hvor kraftig en filtrering der opnås og hvor store detaljer der kan genkendes. Vælges k for lille vil krumningsfunktionen indeholde meget støj grundet laserscannerens naturlige varians, men vælges k for stor vil detaljer som er tættere på x i, y i end k punkter blive undgået. Filtreringskonstanten kan være forskellig fremad og bagud, k f og k b i stedet for k (Núñez, Vázquez- Martín, Toro, Bandera, & Sandoval, 2006). Disse konstanter bestemmer hver iteration ud fra, at den pythagoræiske afstand mellem x i, y i og [x i+k, y i+k ] skal være større end den lige afstand, fratrukket en hjælpekonstant. I tilfælde af hjørner vil de to afstande variere meget, mens de på lige vægge vil være næsten ens. Denne fremgangsmåde blev afprøvet og fundet unødvendig da en fastholdt værdi af k producerede ens resultater. I andre miljøer hvor hjørnerne er knapt så definitive som i en korridor vil metoden dog have en værdi, da hjørnerne vil være sværere at detektere. Vinklen hørende til hver måling udregnes ud fra vektorerne f i og b i ved at bruge α = arcsin f i b i f i b i (3.7) 21

24 Et hjørne kan defineres som et punkt hvor α er større end en given tærskelværdi. Denne tærskelværdi γ afgøres ud fra hvor stor en filtreringskonstant der er brugt og hvor markante hjørnerne i korridoren er. Da α kan antage både positive og negative værdier er et hjørne defineret ved at α γ. (3.8) Metoden er implementeret således at de segmenter som den adaptive linje opdeler har detekteret, bliver løbet igennem punkt for punkt, og hvis et punkt p i afgrænser et hjørne sættes p i k som slutpunkt for linjen og næste linje starter ved p i+k. Dette gøres for ikke at detektere det samme hjørne flere gange. Linjen med slutpunkt i p i k kontrolleres for at se om den er givet ved nok antal punkter til at definere en linje. Antallet af punkter der definerer en linje er sat til 2k + 1 da et højere k vil give en større filtrering og dermed et mindre antal linjer. Et eksempel på krumningsfunktionen og dens applikation i et simuleret miljø der indeholder to skarpe hjørner er givet i Figur 7. I simulationen er der tilføjet normalfordelt støj med standardafvigelsen 0.02m, hvilket giver udslag i plottet. FIGUR 7 - SIMULERET KRUMNINGSFUNKTION De to hjørner kan nemt identificeres når k = 5 og i det simulerede miljø kan γ sættes til 60. Anderledes ser det ud i virkeligheden hvor hjørner er knapt så definerede og andre detaljer giver udslag i plottet. Ved bestemmelse af krumningsfunktionen i korridoren bliver plottet som vist i Figur 9. 22

25 FIGUR 8 LASERSCANNING VED ENDEVÆG FIGUR 9 KRUMNINGSFUNKTIONEN AF OMRÅDET VIST I FIGUR 8 Som det kan ses er hjørnerne dårligt definerede og γ bliver nødt til at være så lav at dårlige målinger fejlagtigt kan opfattes som hjørner. Det blev valgt i projektet at det var vigtigere at identificere alle hjørner, inklusiv fejlagtig opdeling af lige linjer, end at få linjer der evt. kunne indeholde et hjørne. Denne beslutning blev taget på det grundlag at robotten skal følge en væg, og det er af yderste vigtighed at hældningen af denne væg ikke er forkert. Som det ses på den turkise linje på Figur 8 er den endda ikke sat lavt nok til at få opdelt linjen korrekt. En løsning til senere projekter kunne være at et hjørne først er defineret når flere end et vidst antal punkter har haft et α større end tærskelværdien. Opdelingen af laserscannet i rette linjer er nu gjort ud fra først adaptiv segmentering og derefter hjørnebestemmelse i krumningsfunktionen. For at kunne følge disse linjer er det nødvendigt at estimere hældningen og afstanden til dem. Dette gøres med least-squares funktionen. 3.4 Lineær least-squares Least squares(lse) er en effektiv metode til regressionsanalyse ud fra normalfordelte data. Det er som tidligere nævnt i sektion 2.2 antaget af målingerne fra laserscannet følger en normalfordeling, og derfor kan LSE bruges. LSE giver normalvinklen og afstanden til den fittede linje. 23

26 FIGUR 10 - LEAST SQUARES FITTING AF MÅLEPUNKTER, TAGET FRA (DIAZ, STOYTCHEV, & ARKIN, 2001) Der findes en lukket løsning til problemet givet ved: φ = atan N N N 2 i=1 x i i=1 y i 2N i=1 x i y i N x 2 N i=1 i y 2 N 2 N 2 i=1 i + N i=1 y i i=1 x i (3.9) hvor N er antallet af punkter på linjen. Om nødvendigt bruges funktionen atan2(y, x) for automatisk at holde styr på hvilken kvadrant resultatet ligger i. Afstanden er givet ved: ρ = 1 N N x i cos φ + N y i sin φ. (3.10) i=1 i=1 Vinklerne i forhold til laserscanneren er defineret i intervallet φ [ π.. π ]. Hvis ρ er negativ er 2 2 vinklen i det forkerte plan og der skal adderes π, derudover tages den absolutte værdi af ρ for at sikre positive afstande. 3.5 Bestemmelse af væg der følges For at kunne navigere rundt i en korridor findes den linje der har den største sandsynlighed for at være en væg. Det er i programmet valgt hvilken side af robotten væggen ligger på, og når robotten starter findes den længste linje, der ligger i det rigtige halvplan. For at modvirke at linjerne er blevet fejlopdelt, kombineres længderne af linjer der næsten er parallelle og på den måde undgås det at f.eks. døre følges. Selvom længderne bliver kombineret, kan dataet fra laserscanneren stadig være så dårligt at linjerne ikke bliver kombineret korrekt. Efter starten og første identificerede linje, vil robotten forsøge at finde den linje som har den mindste afstandsfejl i forhold til den forrige fulgte. Afstandsfejlen må maksimalt være 10 cm for at udelukke ugyldige målinger, og linjen der findes skal ligge i samme halvplan som den forrige. 24

27 4 SIMULATOR OG REGULERING En vital del af et programmeringsorientere projekt som dette er at have en måde at teste sin kode på. Derfor er en simulator blevet implementeret da den vil lette arbejdet med at teste koden meget, i forhold til at teste det hele på den rigtige robot. Når robotten kører er det også rart at få tolket det robotten "ser", så matlabs plot funktion bliver brugt til at plotte det scan, robotten får fra laserscanneren. 4.1 Simulator Det laserscan data som robotten får fra laserscanneren kommer i simulatoren fra en matlab funktion. Der angives de linjer som skal bruges, og dermed fås en matrix på 2x512 som er polære koordinater der svarer til det, laserscanneren returnerer på robotten. Da scannet er simuleret, og dermed helt uden støj og offset, er data preproccesing funktionerne ikke med i simulatoren. Ud over scandata funktion bruges også en odometri opdateringsfunktion. Odometrien opdateres 20 gange for hvert laserscan, dette gør at simulatoren virker så realistisk som muligt, da det også sker på robotterne. Ud fra scandataet deles linjerne op ved at bruge linje funktionerne, som først deler op efter afstande imellem punkterne, derefter deles linjerne yderligere op hvis vinklerne imellem punkterne er for store. Til sidst beregnes normalvinkler og afstande til de nu opdelte linjer og reguleringen af robotten kan foretages. 4.2 Regulering Reguleringen af robotten sker ved at udrenge afstand og vinkelfejl til den ideelle linje robotten burde følge, og hastigheden af de 2 hjulmotorer reguleres herefter. Først udregnes hvilket punkt og retning robotten skal køre efter. Punktet bliver lagt ud fra robottens odometri centrum i afstanden walldist til væggen og så forskudt fremad. FIGUR 11 - ROBOT SAMT DEN STIG DEN SKAL STYRES IND PÅ 25

28 d er afstand fra odometri koordinatsystemet til laser koordinatsystemet i x retningen α = π 2 + θ Vertline = d cos α x odo = sin α dist walldist (4.1) y odo = cos α dist walldist så transformeres x, y og vinklen til laserkoordinater X ls = cos α Vertline + x odo Y ls = sin α Vertline + y odo θ ls = mod π 2 + θ, π. (4.2) X ls og Y ls skal transformeres til verdens koordinater x world y world = cos θ robot (X ls + d) sin θ robot Y ls + X robot sin θ robot (X ls + d) + cos θ robot Y ls + Y robot θ world = mod T ls, π (4.3) hvor x world, y world og θ world udgør den vektor robotten skal følge, se Figur 11. De 2 linjer der skal findes afstand og vinkel difference imellem er linjen robotten følger og den linje den skal følge. Linjerne er valgt på formen ax + by + c = 0 da linjen på denne form også kan være lodret, uden at skulle bruge uendelig hældning som man skal med linjer på formen ax + b. Først udrenges c for de 2 linjer som kan ses på Figur 11, hvor den ene linje starter i odometri centrum og den anden starter i (x world, y world ). FIGUR 12 - ROBOT MED VINKELFEJL OG AFSTANDSFEJL TIL STIG 26

29 c = θ robot + π 2 x robot + sin θ world + π 2 y robot. (4.4) Afstandsfejlen er afstanden fra den linje robotten følger og den linje robotten skal følge. dist error = cos θ world + π 2 x world + sin θ world + π 2 y world + c cos θ world + π 2 x robot + sin θ world + π 2 y robot + c. (4.5) Vinkelfejlen findes ved at subtraherer de 2 linjers vinkel, og moduleres med π for at få robotten til altid at køre den rigtige vej angle error = mod θ world θ robot, π (4.6) hjulets vinkelhastighed ω, og den lineære hastighed kan så beregnes ω = gain speed dist error + gain θ angle error (4.7) Δ speed = ω b 2. (4.8) Hjulenes hastighedsændring justeres, hvilket styrer robotten. Begge hjuls hastighed justeres ligemeget for at opretholde en konstant lineær hastighed. speed left = ref speedleft Δ speed (4.9) speed rigt = ref speedrig t + Δ speed Til sidst skal denne hastighed sendes tilbage til kinematik/odometri opdateringen og værdierne bliver så opdateret og det hele kan starte forfra. Reguleringen er afhængig af hvor stor vægt man lægger på vinkelfejl og afstandsfejl, altså værdien af gain speed og gain θ i ligning 4.7. Derfor er der gennemført tests, hvor forskellige kombinationer af de 2 forstærkninger er blevet brugt. To eksempler på odometrien til hvordan robotten kører på plads er imod en linje er plottet på Figur 13 - robottens (x,y) koordinater for indsving imod linje og Figur 14. Det ses tydeligt at en forstærkning på gain speed = 0.5 samt gain θ = 0.4 er bedst da robotten skal på plads så hurtigt som muligt dog uden nævneværdigt oversving. I bilag kan test med flere forskellige gain s ses 27

30 FIGUR 13 - ROBOTTENS (X,Y) KOORDINATER FOR INDSVING IMOD LINJE FIGUR 14 - ROBOTTENS (X,Y) KOORDINATER FOR INDSVING IMOD LINJE Da det er samme regulator som bliver brugt på DTU s SMRer, har gennemregning samt test givet en god forståelse for hvordan robotten kører, hvilket der måske ikke var opnået hvis denne simulator ikke havde været implementeret og der kun var sendt drive kommandoer til robotten. I simulatoren er der ikke medregnet at robotten har inerti, så i virkeligheden vil robotten opføre sig lidt anderledes end det ses i simulatoren, der vil f.eks. være forsinkelse inden robotten får drejet som den kommanderes til. Efter simulatoren var færdig blev den brugt flittigt gennem hele forløbet til at teste alle nye funktioner, inden de anvendt på robotten. I simulatoren er der dog ikke målefejl og andre uforudsete problemer. Det er muligt i matlab at tilføje normalfordelt støj, hvilket i nogle tilfældes blev brugt for at får simulatoren tættere på virkeligheden. 4.3 Plot For at få fortolket alle udregninger samt opdeling af linjer bruges matlabs plot kommando til at plotte all laserscanner målinger, robottens koordinater samt evt. andre vigtige punkter. Hver detekteret linje bliver tildelt en farve, illustreret på Figur 15 og Figur 16. Dette gør at det er nemt at se hvor og hvordan funktionerne virker og linjerne opdeles. Den gule linje er altid den linje som robotten følger og de mørkeblå punkter er målinger som er længere væk end fire meter og dermed ikke med i en linje. På Figur 15 kan det ses hvordan den turkise linje f.eks. stopper selvom der kommer flere punkter lige efter fordi afstanden mellem punkterne er blevet for stor. Dette plot af hvad robotten ser, har været brugt igennem hele projektet som en meget effektive debug metode, da det er meget nemmere at se hvilke fejl der er opstået, når man kombinere plot med output fra terminalen. 28

31 FIGUR 15 - SIMULATORPLOT AF FARVNING AF VÆGGE FIGUR 16 - SIMULATORPLOT AF FARVNING AF FLERE VÆGGE 29

32 5 IDENTIFIKATION AF OBJEKTER I denne sektion vil det blive gennemgået hvordan objekter i korridoren identificeres og undgås om nødvendigt. Sektionen vil også belyse hvorledes døre bliver identificeret og hvilke problemer der kan opstå når objekter skal detekteres ud fra data med støj. For at kunne navigere rundt i en korridor med døre der åbner både indad og udad er det vigtigt at have implementeret en effektiv undgåelses metode. Problemet med identifikation af åbne døre i en korridor er at frasortere fejlmålinger, og linjer der ligner døre. Derudover skal robotten kunne kende forskel på en endevæg og en dør den kører imod, hvilket lyder simpelt men set ud fra robottens synspunkt er forskellen lille. 5.1 Undvigelse af døre Samtidigt med at robotten navigerer rundt i korridoren og leder efter en dør at køre ind ad, kan det være muligt at den skal undgå udad åbnede døre. At undgå en dør er i sig selv ikke nogen svær opgave når man følger en væg, idet den linje som følges blot kan forskydes ud for enden af døren og følges indtil døren er passeret. Først skal det dog identificeres hvorvidt det er en dør eller en endevæg der køres hen imod. Når det skal identificeres om robotten kører direkte imod et objekt er det åbenlyst at kontrollere om der findes en linje der ligger i et bestemt vinkelområde og afstand foran robotten. I projektet er valgt et område på 10 på hver side af scannerens midtpunkt, og dataet fra laserscanneren gennemses i denne omegn for at finde det punkt, der har den mindste afstand til robotten. Det punkt der evt. findes kontrolleres for fejl ved at se om det tilhører en identificeret linje. På den måde ignoreres fejlmålinger robotten ikke skal reagere på. Det antages at den linje som der er fundet er en dør, og det punkt der antageligt ligger ud mod gangen findes. Punktet afhænger af hvilken væg robotten følger- og det skal tages højde for om døren er blevet fejlopdelt i to eller flere linjer. Følges højre væg vil punktet være slutpunkt for den fundne linje, og modsat for venstre. Dette er pga. laserscannerens orientering og scanningsretning. Et kriterium der skal opfyldes for at linjen kan være en dør er at længden af linjen L w, skal være mindre end 1.15 meter og større end 0.35 meter. Dette krav er ikke fejlsikkert, og derfor indføres to kontroller mere. Hvis x w, y w er yderkoordinatet på linjen og θ w er normalvinklen til væggen der følges findes skæringspunkterne x i, y i mellem alle detekterede linjer og linjen givet ved punktet x w, y w og retningen θ w. Afstanden d i udregnes som distancen mellem x w, y w og x i, y i. Det er nu givet at det er en dør når d max d i d min (5.1) 30

33 er opfyldt for bare et sæt af punkter. d max og d min definerer den frie afstand der skal være mellem yderpunktet på døren og en anden linje, normalt linjen parallelt med den fulgte. Ved kørsel i en korridor med skabe kan det ske at linjer bliver detekteret skævt og de derfor opfylder den ovennævnte kontrol. Det er derfor nødvendigt at indføre at givet normalvinklen θ i til den væg som opfylder (5.1) skal det også opfyldes at θ w θ i θ min (5.2) hvor θ min angiver hvor stor en vinkelforskel der må være mellem døren og væggen for at den bliver godtaget. θ w og θ i ligger i intervallet π 2.. π 2 og hvis de to linjer er parallelle vil den absolutte sum være nul. I projektet blev det eksperimentelt fundet frem til at værdierne 1.6m, 2.1m og 0.5rad var passende for hhv. d min, d max og θ mi n. På Figur 17 vises en skematisk tegning af kontrolforløbet. FIGUR 17 KONTROLFORLØB VED IDENTIFIKATION AF DØRE OG VÆGGE Ved kørsel mod endevægge kan det være at alle de førnævnte kontroller bliver opfyldt. For at identificere at den fundne dør ligger på en endevæg, ses det om der findes en væg mellem x i, y i og x w, y w der er normal på den fulgte væg. Er der dette ligger døren inde i en væg og den ignoreres Udregning af undvigelseslinje Hvis det som først antaget er en dør, skal punktet robotten navigerer efter findes. Hvis θ w er normalvinklen til væggen der følges, x w, y w er yderkoordinatet på døren i laserscanner koordinatsystemet og d er robottens bredde, er punktet givet ved x f = x w + 2 sin θ w + π 2 d = x w + 2 cos θ w d (5.3) y f = y w + 2 cos θ w + π 2 d = y w + 2 sin θ w d. (5.4) 31

34 Linjen der følges er givet ved punktet x f, y f omformet til odometrikoordinater og vinklen θ w. Denne linje følges indtil punktet x f, y f er passeret. Dette afgøres ud fra robottens odometri og når den befinder sig indenfor en tyve centimeters radius fra punktet, afbrydes undvigelsesmanøvren og væggen følges igen. For at sikre en blød undvigelse, startes undvigelsesmanøvren minimum 1,5m før det fundne objekt. FIGUR 18 ROBOTTENS VEJ VED UNDVIGELSE AF ÅBEN DØR 5.2 Vending ved vægge I afsnit 5.1 blev det forklaret hvordan døre identificeres og hvis kravene til en dør ikke opfyldes, må kørslen tilpasses objektet foran robotten. Dette gøres ved at dreje robotten tilstrækkeligt til at den står vinkelret på væggen foran den, således at det vil være muligt for robotten at genoptage sin navigation efter der har været et objekt i vejen. Når funktionen fra afsnit 5.1 returnerer at det ikke er en dør, venter robotten med at reagere til objektet højst er 30 cm væk. På denne måde sikres der et blød indsving når væggen igen skal følges efter vending. Det at der ikke konstant drejes 90 grader gør at funktionen også virker som genoprettelsesfunktion, hvis robotten fejler og kører ind mod en væg. 5.3 Afprøvede metoder til differentiering mellem dør og væg Som tidligere nævnt ligger det svære i at kende forskel på hvad linjer der findes foran robotten repræsenterer. For at undgå dobbelt-arbejde i senere studier nævnes her de idéer som blev afprøvet og fundet ikke eller delvist fungerende. Hvis laseren ikke kan se mere end et givent antal punkter i sin maksimale måleafstand, må det der findes foran robotten være en endevæg i korridoren. Dette fungerede ikke da laserscanneren ofte ser flere punkter ved maksimal afstand, grundet den sorte maling i korridoren. 32

35 To hjørner identificeret af krumningsfunktionen må give at det er en endevæg. Dette fejlede da det kan ske andre stedet pga. fejltolkning af dataet og vil ikke fungere efter første vending ved væggen. Længden af væggen er større end en hvis tærskelværdi. Grundet vores effektive linjeopdeling og de 8 centimeter indhak ved dørene på endevæggene gav dette fejl. Hvis en linje var tættere på end en tærskelværdi var det en væg og ellers en dør. Dette gav problemer når robotten lavede sit indsving og kom til at se en væg foran sig. Alle disse metoder blev afprøvet både for sig selv, men også i kombination med hinanden. De virkede i simulatoren men når de blev afprøvet gjorde støjen dem ubrugelige. 5.4 Find døre og kør ind Den teknik som bliver brugt til at finde døråbninger afhænger af definitionen af en døråbning, og definitionen i dette projekt er at se efter åbninger som ligger inden for en acceptabel bredde. I projektet er døråbningerne i gangen målt til 98cm og dermed er denne bredde blevet brugt samt en margen så 118cm > door widt > 88cm. Der er valgt denne forholdsvist store øvre margen da linje funktionerne af og til ikke medtager dørkarmen og dermed bliver døren noget bredere end de målte 98cm. Problemet med dørkarmen kan ses på Figur 20, det ses at der er nogle punkter som ikke er med i linjen i slutningen af væggen. FIGUR 19 - LUKKET DØR FRA SIMULATOR FIGUR 20 LUKKET DØR FRA RIGTIG DATA Døråbningerne bliver fundet ved at udnytte, at alle vægge allerede er delt op og derfor er det nemt at tjekke afstanden fra enden af en væg til starten af de efterfølgende vægge. Hvis to vægge har en 33

36 passende afstand til hinanden, er dette en potentiel døråbning (Diaz, Stoytchev, & Arkin, 2001). For at sikre at de 2 vægge er parallelle bliver det tjekket om væggenes normalvinkler til robotten afviger mindre end 20 procent fra hinanden, samt at deres afstand til robotten også er inden for 10 procent, for ikke at fejldetektere væggen. Hvis dette er tilfældet konkluderes det, at det er en døråbning. De tjek som der bliver kørt når der skal findes døråbninger, sikrer at der ikke bliver fundet tilfældige døre, hvor der ikke er nogen døre. På de to ovenstående plot, et fra simulator og et fra det virkelige scan data, kan ses hvordan en lukket dør ser ud. I Simulatoren ser det helt perfekt ud, mens der er en del støj og usikkerhed på det virkelige billede. 5.5 Kontrol af døråbning Når en døråbning er fundet skal der tjekkes om døråbningen er spærret af en dør, og robotten derfor ikke skal have mulighed for at køre ind ad døren. Der bliver set efter om der findes en linje imellem de to linjer der udgør døråbningen, se Figur 19 og Figur 20, som har nogenlunde den samme vinkel som de to vægge. Det gøres for at sikre at linjesegmenter ind i et rum med en åben dør ikke bliver opfattet som en væg. Dette kan dog føre til at falske døråbninger med lukket dør, bliver identificeret som døråbninger, da hele den ene side af gangen på DTU er skabe som er ca. 1m brede og de bliver delt op i hver deres linje. Dette skyldes at der er en sort liste imellem hvert skab som laserscanneren ikke kan få en måling tilbage på, pga. den sorte overflade, og laserscanneren returnerer derfor maksimal afstand, hvilket skaber et "hul" imellem skabene som kan ses markeret på Figur 22. For at detektere om en døråbning med en lukket dør faktisk er en dør eller bare et skab, bruges en metode hvor afstanden fra dør linjen til væg linjen findes. Hvis denne er meget lille er det et skab og døren skal ikke tælles som en dør. Dog, er afstanden stor, hvilket er en afstand på over 4 cm, er denne døråbning en dør og den skal derfor tælles som en dør når robotten kører forbi. Den brugte metode som fungerer og bruges på robotten, er at lægge en linje vinkelret på døren, og finde skæringspunktet fra dør og væg til denne linje, se Figur 21. Derefter findes afstanden mellem de beregnede skæringspunkter. Dette har vist sig at give et stabilt resultat. 34

37 FIGUR 21 - SKÆRING AF DØRLINJE OG VÆGLINJE MED LINJE VIN- KELRET PÅ DØR FIGUR 22 - VÆG MED "HULLER" SKABT AF SORTE LISTER PGA. INGEN REFLEKSION Det har været en udfordring at finde en god og stabil metode til at finde ud af om en "døråbning med en lukket dør" faktisk er en dør eller et skab, og der er blevet implementeret flere metoder som i teorien virkede gode, men i praksis var dårlige. Det lykkedes ikke at finde artikler om det specifikke problem, og en løsningsmetode skulle derfor udvikles i projektet. Den første metode der blev forsøgt var den mest intuitive og beregningsmæssigt mindst krævende. Da normaler og afstande til linjerne fra robotten allerede kendes, virkede det nemt at finde difference mellem afstanden fra væg-linje og dør-linje til robotten. Denne ville være lille ved skabe og større ved døre, dog var dette slet ikke brugbart da afstanden var for usikker og det dermed blev det helt tilfældigt om skabe blev detekteret som skabe eller døre. Der er nemt et par graders usikkerhed på linjerne, og da afstanden er meget afhængig af vinklen er usikkerheden på denne for stor i forhold til at dørene kun er 8 cm inde i væggen. Derefter blev LSE metoden afprøvet, se afsnit 3.4, på hver af de 3 involverede punktmængder, da dette ville give en præcis bestemmelse af afstanden fra robot til væg. Dette virkede bedre, dog uden at det virkede godt nok til at det kunne accepteres. Igen skyldes dette at en meget lille ændring af vinkel på linjerne giver et stort udslag i afstand fra robot til væg. Der blev også gennemført en test kun med punkterne fra 2 af linjerne, men det gav stort set samme resultat. Da det ikke virkede at se på afstanden til linjerne blev der set på vinklerne imellem punkterne. Der er imellem dør og væg nogle punkter(dørkarmen) som ikke bliver delt op i linjer da de drejer meget i forhold til hinanden, og krumningsfunktionen kan udnyttes. Krumningen af linjerne gennem punkterne i skiftet fra væg til dør forventes at være stor, men forventes lille ved et skift fra væg til skab. Igen gav det et meget svingende og ubrugeligt resultat da punkterne ved de sorte lister var 100 procent tilfældige når robotten kom tæt på. 35

38 Det sidste forsøg inden den brugte metode var at beregne en LSE af de punkter der er imellem dør og væg. Dette burde giver nogle linjer som har en stor vinkel til forskel når det er en dør og en lille vinkel ved et skab. Men igen gav dette alt for svingende resultater, da der nogle gange kom tilfældige målinger fra de sorte lister når robotten var tæt på dem. 5.6 Døre som åbner udad Der findes også døre som åbner udad og til dette skulle der findes en metode til at finde afstanden fra væggen til døren, så det kan tjekkes om afstanden er inden for grænserne. For at finde afstanden bliver skæringspunktet imellem væggen og døren fundet, derefter beregnes afstanden fra dette punkt til væggen der blev brugt til at finde punktet. Udover at tjekke om bredden af døråbningen passer, bliver der også set på om vinklerne for døren og væggen er indenfor nogle grænser, for at sikre imod fejldetekteringer. Et ekstra tjek er om længden af døren er inden for en grænse på 120cm > dør længde > 40cm. En dør er ca. 1 m lang, men da det sker at den bliver delt op i 2 linjer er grænsen taget med helt ned til 40cm. Der bliver ikke, som ved de andre døråbninger, tjekket om der er en dør i vejen så robotten ikke skal køre in ad døren, for hvis døren er lukket ville døråbningen ligne "normale" lukkede døre, kun med den ændring at døren er dybere inde i væggen og den vil blive detekteret tidligere i funktionen. Når en døråbning er fundet bliver der tjekket for objekter i døråbningen og denne funktion bruges på begge slags døråbninger som ikke har en lukket dør. Metoden til at se om et objekt er i vejen er at finde punktet der ligger midt i døråbningen. Ud fra dette punkt bliver der set efter 10 sammenhængende punkter som er inden for en radius af 45cm fra midtpunkt, punktet kan ses på Figur 24 og det er punktet fra "Robot path". De 10 punkter er valgt for at sikre imod at lidt støj vil frembringe et objekt, og robotten derfor ikke skal køre ind ad døråbningen. Grunden til valget af de 45 cm og ikke 50 cm er at enden af en væg nogle gange bliver sorteret fra i linje funktionerne og dermed sørger afstanden på 45 cm samt de 10 punkter for at fejl i enden af en linje ikke vil blive opfattet som et objekt i vejen for robotten. De omtalte fejl i slutningen af en linje kan ses på Figur

39 FIGUR 23 - ÅBEN DØR MED MARKERING AF FEJL VED SLUTNINGEN AF VÆG 5.7 Styrepunkter ved dør For at styre robotten ind ad døre skal det bestemmes hvornår den skal begynde at dreje og hvordan den skal køre. Til dette beregnes nogle punkter som kan ses på Figur 24 og Figur 25. "Turn point" er et punkt som bruges til at definere hvornår robotten er tæt nok på døren til at den må dreje, og når afstanden < 0,8m drejer robotten ind ad døren. At bruge afstanden gør det også nemt at sikre sig robotten forstår punktet lige meget hvor meget den har drejet rundt i koordinatsystemet. "Robot path" er den sti som robotten skal køre ad, for at komme ind af døren, og en kørsels kommando vil blive sendt til robotten med punktets koordinator og retning, hvis den skal ind ad døren. Det punkt bliver beregnet ud fra væggens vinkel og døråbningens afstand. Da der skal holdes styr på hvor mange døre robotten er kørt forbi, så den kan køre ind ad den rigtige dør bliver der også regnet et "door count point", som er der hvor robotten tæller døren hvis den kører forbi den. "door count point" og "Turn point bliver beregnet ud fra den afstand robotten har til væggen samt vinklen af væggen så punktet altid ligger korrekt. "door count point" bliver dog ikke regnet på de døre som åbner udad da døren bliver talt op hvis den bliver undveget. "turn point" samt "Robot path" bliver nulstillet hvis der f.eks. er en dør i vejen for døråbningen, en dør undviges eller robotten vender i enden af gangen. Udregninger af de 3 punkterne kan ses i bilag. 37

40 FIGUR 24 - PUNKTERNE TIL EN DØR DER ÅBNER FIGUR 25 - PUNKTERNE TIL EN DØRÅBNING UDAD Delkonklusion: Hvis hele koden var implementeret i C- så opdateringen var meget hurtigere, ville det have været en god ide at kun at acceptere en dør hvis man havde 2 efterfølgende målinger som gav sammen resultat. Dette har dog ikke været muligt for os pga. den noget langsommere opdateringshastigheden. Nogle af SMRerne har dårlige laserscannere, og en margen på kun 4 cm er for lidt i forhold til at en dårlig scanner der typisk måler 5 cm forkert. 38

41 6 PROGRAMSTRUKTUR Programmet er opbygget omkring en overordnet funktion der styrer og kalder kontrolfunktioner. Den overordnede funktion definerer rækkefølgen af funktionskaldene og dermed bl.a. hvilke forhindringer der skal kontrolleres for først. Strukturen og rækkefølgen er vist i nedenstående flowchart. FIGUR 26 FLOWCHART 39

42 7 TEST Testen af robotten foregik i korridoren på DTU, bygning 326, ved at køre 20 meter frem og tilbage indtil den enten løb tør for batteri eller fejlede. De er foretaget i nærheden af den trådløse router så responstiderne for kommunikationen med robotten holdes lave. Som nævnt tidligere er der stor forskel på hvor god laserscanneren er, det der testes her er en tilfældig robots reaktion på programmet. Undervejs i projektet er funktionerne testet sammen tidligere, men for at generere brugbar statistik blev der sat et fast tidspunkt, hvor effektiviteten skulle måles. FIGUR 27 HHV. TESTRUTE 1 OG 2 For at kunne afgøre hvilke delfunktioner der virker bedst, føres der statistik over alle handlinger, f.eks. korrekt vending ved væg eller undvigelse af dør. Handling Korrekte Fejlede Procent Undvigelse af døre ,8 Vending ved endevæg ,5 Detektion af lukkede døre Detektion af åbne døre Indkørsel Undvigelse af døre virker, den eneste fejlsituation er når robotten ikke identificerer en linje på den modsatte side af gangen og døren dermed opfattes som en endevæg. Robotten vil derfor fortsætte mod døren og forhåbentligt finde væggen på den anden side af korridoren senere. Gør den ikke det, vender den når den er helt tæt på døren og, alt efter dataet, får den fundet tilbage på plads. Når robotten skal vende ved en endevæg sker der af og til at væggen bliver opfattet som en dør der skal undviges. Dette ser det ikke så godt ud, men den bliver reddet når den kommer ned til væggen, hvor den stopper og drejer for så at køre videre. Selve detektionen af lukkede døre fungerer korrekt, et problem er dog at robotten kan finde døre hvor der ikke er nogle, og dermed bliver der talt forkert. Dette resulterer i at der bliver kørt ind ad 40

43 en forkert dør senere i forløbet. Som det ses virker indkørsel ad døre 100 procent, dette skal ses i lyset af at det er blevet testet på den korte rute 2, hvilket ikke giver anledning til så mange fejl. Robottens grundfunktion er at følge den rigtige væg i korridoren således at den fejlfrit kan navigere rundt. Det sker aldrig at robotten vælger en forkert væg at følge i starten, og hvis den vælger en forkert væg er det fordi den optræder som den mest hensigtsmæssige for den videre navigation at følge. 41

44 8 VIDEREUDVIKLING De funktioner der er blevet implementeret til f.eks. at finde døre virker ikke optimalt på alle DTU s SMRer pga. for stor måleusikkerhed. Grunden til at dette problem er den meget lille margen der bruges til at se forskel på døre og skabe samt de fejl der opstår pga. de sorte dørkarme og lister. Hvis der skal arbejdes videre på dette projekt anbefales det først at oversætte matlab koden til c- kode og derefter implementere det som et plugin, så funktionerne kan køres direkte på robotterne. Opdateringsfrekvensen på SMRerne er 5Hz og realtidskravet kan dermed sættes meget op. Med en meget højere opdateringshastighed kan objekter verificeres f.eks. 2 gange før de accepteres og generelt skal der bruges mere statistik i de forskellige funktioner, så koden bliver mere robust overfor støj og usikkerheder. På den måde kan alle funktionerne komme til at virke på alle robotterne. En funktion der kunne arbejdes på er at få robotten til at køre autonomt ud af en dør igen så hele programmet kommer til at køre flydende. Dermed vil det være muligt at få robotterne til at køre helt autonomt rundt i gangene og køre ind af f.eks. hver 5. dør, samt ud igen, indtil der ikke er mere batteri. En større udvikling af programmet er at få robotten til at bygge et kort over det den opfatter når den kører rundt i gangene, så robotten kan huske dørenes placeringer. Dette er et stort projekt, men vil bidrage meget til robustheden. Programmet kunne også kombineres med objekt undvigelses algoritmer så robotten bliver bedre og mere intelligent når den skal undvige objekter i gangen. 42

45 9 KONKLUSION Hovedkonklusionen i dette projekt er at det er svært at lave et system til navigation rundt i en korridor som er robust. Robustheden afhænger af kvaliteten af det målte data, hvilket er meget svingende, og til tider så fejlagtige at robotten fejler. Der er opnået et program der fungerer, men ikke er robust nok til f.eks. kommercielt brug. Det er lykkedes at lave et program så robotten kan undvige åbne døre i en korridor med 93,8 procents sandsynlighed, samtidigt med at den kommer rundt ved endevæggene i 87,5 procent af tilfældene. Robotten følger korridorvæggen rundt i 100 procent af forsøgene, og bliver kun påvirket minimalt af lukkede døre som overtager rollen som væg. Påvirkningen sker kun, når afstanden mellem væg og dør er indenfor måleusikkerheden, ellers fortsætter den upåvirket. Ud over at køre og følge væggen rundt i en korridor er det lykkedes at identificere de forskellige døråbninger med 95,8 procent sandsynlighed og køre ind ad dem med 100 procent sandsynlighed. Det bliver også identificeret om døren er åben eller lukket og døren bliver talt korrekt, med en sandsynlighed på 93,7 procent. Ved at tælle dørene når robotten passerer, kan man guide robotten til at køre ind ad en valgt dør. Den adaptive linjesegmentering i kombination med krumningsfunktionen viste sig at være velegnet til at identificere linjer, og giver robotten en god opfattelse af omgivelserne. Robottens reaktioner på omgivelserne er i projektet fastlagt og den er ikke hvad vi forstår som intelligent. Den foretager valg grundet i observationer. For at opnå en bedre navigation end det implementerede, er det nødvendigt at opbygge et bibliotek af handlinger, den kan kombinere ud fra sin opfattelse af omgivelserne. Det er tydeligt at det emne som projektet fokuserer på, navigation vha. laserscanner, er et uafsluttet forskningsområde og var det muligt kunne der bruges meget længere tid på et projekt som dette. Det er generelt ikke nemt at styre en robot rundt i et ukendt område med mange uforudset forhindringer i forhold til hvis man selv har opstillet en testbane eller testet i en simulator. 43

46 10 BIBLIOGRAFI Borenstein, J., Everett, H. R., & Feng, L. (u.d.). Navigating Mobile Robots: Systems and Techniques. A. K. Peters, Wellesley, MA. Borges, G. A., & Aldon, M.-J. (2004). Line Extraction in 2D Range Images for Mobile. Journal of Intelligent and Robotic Systems, s Diaz, J. F., Stoytchev, A., & Arkin, R. C. (2001). Exploring Unknown Structured Environments. Proceedings of the Fourteenth International Florida Artificial Intelligence Research Society Conference, s Núñez, P., Vázquez-Martín, R., Toro, J. C., Bandera, A., & Sandoval, F. (Maj 2006). Feature Extraction from Laser Scan Data based on Curvature Estimation for Mobile Robotics. IEEE International Conference on Robotics and Automation. Reche, P., Urdiales, C., Bandera, A., Trazegnies, C., & Sandoval, F. (4. Juli 2002). Corner detection by means of contour local vectors. Electronics Letter, s Rosenfeld, A., & Johnston, E. (1973). Angle detection on digital curves. IEEE Trans. on Computers 22, s Skrzypczynski, P. (1995). Building geometrical map of environment using IR range finder data. Intelligent Autonomous Systems, s Xavier, J., Pacheco, M., Castro, D., & Ruano, A. (2001). Fast line, arc/circle and leg detection from laser scan data. Campus de Gambelas, Faro, Portugal: Centre for Intelligent Systems - CSI, University of Algarve. 44

47 11 BILAG På billederne ses udførte test for indsving af robotten til en sti ved forskellige værdier af afstand og vinkel forstærkninger. 45

48 11.1 Udregninger til dør og væg punkt For at opstille parameterfremstillingen for dør-linjen og væg-linjen, når der skal findes skæringspunkt imellem dem, skal et punkt på væggen og et punkt på døren findes. Punkter, linjer og skæringspunkt bliver udrenget i laserkoordinater hvorefter kun det ene punkt bliver konverteret til laserkoordinater. Ud fra normalen til væggen beregnes punktet b = normal lent tan wall angle ypotonuse = v normal lent x wall = ypotonouse cos wall angle y wall = ypotonouse sin wall angle. Punktet på døren findes på samme måde med normalen til døren x door = normal lengt cos normal angle y door = normal leng t cos normal angle. 46

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering HTX, RTG Rumlige Figurer Matematik og programmering Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Morten Bo Kofoed Nielsen & Michael Jokil 10-10-2011 In this assignment we have been working with

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Programmering C Eksamensprojekt Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Indledning Analyse Læring er en svær størrelse. Der er hele tiden fokus fra politikerne på, hvordan de danske skoleelever kan

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

AGV Kursus August 1999

AGV Kursus August 1999 AGV Kursus August 1999 Dato: 26.08.99 Morten Nielsen Daniel Grolin Michael Krag Indledning: Princippet bag en AGV (Autonomous Guided Vehicle) er at få et køretøj til at bevæge sig rundt i nogle omgivelser,

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Efficient Position Updating

Efficient Position Updating Efficient Position Updating Pervasive Positioning, Q3 2010 Lasse H. Rasmussen, 20097778 Christian Jensen, 20097781 12-03-2010 1 Introduktion Denne rapport har til formål at beskrive implementeringen og

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Autonome robotsystemer Kursus 31385

Autonome robotsystemer Kursus 31385 Problemformulering Basalt set drejer projektet sig om at man skal kunne få en robot til at finde sin vej i en labyrint. Selve labyrinten er opsat af sorte og hvide streger der fører i forskellige retninger.

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Brydningsindeks af luft

Brydningsindeks af luft Brydningsindeks af luft Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 14. marts 2012 1 Introduktion Alle kender

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Identifikation af planer der ikke findes i PlansystemDK vha. datasættet... 9

Identifikation af planer der ikke findes i PlansystemDK vha. datasættet... 9 Vejledning i brug af Tingbogsudtrækket Version 1.0 af 1. juli 2009 Indhold Indledning... 1 Planer i Tingbogen... 2 Planer i PlansystemDK... 3 Sammenhæng mellem Tingbogen og PlansystemDK... 3 Datastruktur...

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Kom godt i gang med Mini Bots fra

Kom godt i gang med Mini Bots fra Kom godt i gang med Mini Bots fra Indholdsfortegnelse Generel Information... 3 Elektricitet... 3 Robotter, kunstige mennesker?...3 Forklaring af komponenter... 4 Robot-byggesættet inderholder følgende:...4

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Modelkontrol i Faktor Modeller

Modelkontrol i Faktor Modeller Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk

Læs mere

Ide med Diff. Mål. Tidsplan. 1.uge: 2.uge:

Ide med Diff. Mål. Tidsplan. 1.uge: 2.uge: Side 1 af 5 Ide med Diff. Min ide med differenertierings modulet er at lave et program som kan vise 3d objekter, og få lavede en konverter som kan konventer 3ds filer over til noget som flash kan bruge.

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels ANALOG vs DIGITAL Ordet digitalt bliver brugt ofte indenfor skitsering. Definitionen af digitalt er en elektronisk teknologi der genererer, gemmer, og processerer data ved at benytte to tilstande: positiv

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Rapport. Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD. Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus

Rapport. Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD. Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus Rapport Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus 2003-08-19 DELTA Dansk Elektronik, Lys & Akustik Teknisk-Audiologisk

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Fang Prikkerne. Introduktion. Scratch

Fang Prikkerne. Introduktion. Scratch Scratch 2 Fang Prikkerne All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/ccwreg to register your club. Introduktion

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Diffusion of Innovations

Diffusion of Innovations Diffusion of Innovations Diffusion of Innovations er en netværksteori skabt af Everett M. Rogers. Den beskriver en måde, hvorpå man kan sprede et budskab, eller som Rogers betegner det, en innovation,

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side. TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Byggeriets Evaluerings Center

Byggeriets Evaluerings Center Byggeriets Evaluerings Center Bygge Rating Notat om pointsystem til faktablade og karakterbøger for entreprenører og bygherrer Version 2015 Indholdsfortegnelse 1 Bygge Rating... 3 2 Bygge Rating for entreprenører...

Læs mere

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition

DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning. Disposition DGF møde, 28.11.2013 i Odense DS 1537 Jordankre Prøvning Disposition Udførelse af jordankre: DS/EN 1537:2013 (indført 29/7 2013... ikke længere ny) Scope Bond type and compression type anchors Formål med

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Empirisk Miniprojekt 2

Empirisk Miniprojekt 2 Empirisk Miniprojekt 2 Michael Bejer-Andersen, Thomas Thulesen og Emil Holmegaard Gruppe 5 26. November 2010 Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Bane og Robot..................................... 2 1.2 Counter

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode Fokus på Forsyning I notatet gennemgås datagrundlaget for brancheanalysen af forsyningssektoren sammen med variable, regressionsmodellen og tilhørende tests. Slutteligt sammenfattes analysens resultater

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere