TI Interactive version 1.2. En kortfattet formeloversigt

Transkript

1 TI Interactive version 1. En kortfattet formeloversigt

2 Indholdsfortegnelse: Husk decimalpunktum side Værd at vide om TI-interactive side 3 Standardopsætning af TI-interactive side 4 Justify baseline with text, Output same line, Colors Samspil med Word side 5 Algebra og Calculus menuerne side 6 Algebra-kommandoerne side 7 Solve, Factor, Expand Zeros, Approx, Exact, comdenom, propfrac Piecewise Funktion nsolve, texpand, tcollect, csolve, cfactor, czeros, Calculus-kommandoerne side 11 Derivative, Integral Limit, Sum, Product, fmin fmax, arclen, Taylor, nderiv fnint, AvrRC, desolve Mode Settings side 15 Radians, Degrees, Automatic, Exact, Approximate, Sandsynlighedsregningsmenuen side 15 Math-Probability-menuen side 16!, npr, ncr, RandSeed, rand, randint, randnorm, randbin normalpdf, normalcdf, invnorm, BinomPDF, binomcdf Enheder og Naturkonstanter side 18 Oversigt over enheder og naturkonstanter side 19 Grundlæggende enheder i fysik side 0 Grafskærmen side 1 Functions, Format, Table side Grafværktøjerne side 3 Trace, Nulpunkt, Minimum Maksimum, Skæringspunkt, Differentialkvotienter Tangent, Integral, Areal med skravering Data/Statistik-skærmen side 6 Math-List/List-Operations menuerne side 7 SortA/SortD, dim, Fill, seq, cumsum, deltalist, augment, Math-List/List-Calculus menuerne side 8 min/max, mean, medain, sumlist, prodlist, stddev, Variance Statistikmenuen: Regressionsmodellerne side 9 Statistik og Regressionsmodeller side 30 OneVarstats, TwoVarStats, MedMed, LinReg, QuadReg, CubicReg QuartReg, LnReg, ExpReg, PwrReg, Logistics, Logistics Plus, SinReg Stikordsregister side 3 1

3 Husk decimalpunktum! TI-Interactive's listeeditor (regneark) virker kun med decimalpunktum! Hvis din PC er sat til at arbejde med dansk decimalseparator, dvs. et komma vil det kunne føre til helt uforudsigelige problemer med håndtering af decimaltal i det indbyggede regneark. Hvis man vil arbejde med data i TI-intereactive er man derfor nødt til at starte med at omstille maskinen til decimalpunktum. Det sker i kontrolpanelet under Internationale og Sproglige indstillinger. Lidt afhængigt af styresystem osv. kan det fx se således ud: Du beder så om lov til at skifte formatering for tal, datoer og klokkeslæt og om at måtte tilpasse dine indstillinger. Det kan fx se således ud: Du skifter så Decimaltegnet i første række til et punktum og Ciffergruppeseparatoren i tredje række til et komma. Derefter skulle der ikke være problemer med at forstå tal i TI-Interactive (og det vil såmænd også spare dig for en del problemer i Excel.) Nu er du advaret

4 Værd at vide om TI-interactive: 1. TI-interactive er et interaktivt program, dvs. beregninger, grafer, tabeller osv. opdateres dynamisk, når du ændrer i forudsætningerne. Men og det er en meget vigtig pointe ændringerne sker kun i de efterfølgende udtryk, dvs. de beregninger, grafer og tabeller mm. der kommer længere til højre eller længere nede på siden. Hvis du specielt vil prøve at tegne grafen for en funktion du har beregnet udtrykket for, vil der kun fremkomme et billede på grafskærmen, såfremt grafskærmen følger efter funktionsudtrykket!. Når du gemmer et regneark eller en funktionstabel i TI-interactive vil der ofte kun blive vist et lille udsnit af tabellen/regnearket. Du skal så bare trække i tabellen/regnearket og udvide det til den viser alt det du ønsker skal ses i dokumentet. Billedet i dokumentet er nemlig kun et vindue ind til den underliggende tabel/regneark. 3. Når du ruller frem og tilbage i dokumentet med skyderen/elevatoren yderst på skærmen (scroller) kan du komme ud for at skærmbilledet bliver ved med at springe tilbage til udgangspunktet. Brug da i stedet Page Up og Page Down tasterne til at rulle op og ned i dokumentet. De virker altid 4. TI-Interactive er ikke beskyttet fuldstændigt mod crash. Specielt skal du passe på med at have flere udgaver af TI-interactive åbne samtidigt på skærmen. Hvis du fx forsøger at kopiere fra et TI-interactive dokument til et andet TI-interactive dokument kan programmerne nemt blive ustabile og du får ikke altid nogen advarsler. Sommetider forsvinder det ene TI-interactive dokument simpelt hen bare pludseligt fra maskinen uden at efter lade sig spor. Også selv om du kun har en enkelt udgave af TI-interactive åben vil visse fejltastninger i kommandoer også kunne føre til crash af programmet. Fx vil det følgende forsøg på løsning af et simpelt ligningssystem: solve((y = *x+1) = (y = 1/*x+), {x,y}) i stedet for det korrekte solve((y = *x+1) and (y = 1/*x+), {x,y}) føre til et spontant crash, hvor alt forsvinder. Endelig kan meget mega-store dokumenter fx med mange komplicerede billeder eller importerede billeder blive ustabile og føre til crash. 5. TI-interactive skriver langsomt ud, specielt når dokumenterne bliver komplicerede med store billeder osv. Det kan da være væsentligt hurtigere at kopiere dokumentet over i Word og skrive ud herfra. Gem flittigt når du arbejder med TI-interactive og skriv flittigt ud undervejs. Opdel meget gerne dit dokument i flere deldokumenter. Specielt når du arbejder med TI-Interactive til en eksamen er det en god ide at skifte til et nyt dokument, hver gang du skifter til en ny opgave, ligesom det er en god ide at skrive ud, hver gang du skifter til en ny opgave. Det giver langt mindre panik, når du nærmer dig afslutningen af eksamen 3

5 Standardopsætning af TI-Interactive: Som ved alle andre programmer kan man sætte nogle faste indstillinger for programmet. Det sker ved hjælp af menupunktet Preferences i Edit-menuen: Der kan sættes faste indstillinger for Selve Dokumentet De matematiske beregninger Graferne Listerne/Databehandlingen Funktionstabellerne Her vil vi kun kigge på indstillingerne for de matematiske beregninger. For de øvrige indstillinger vil fabriksindstillingerne nemlig normalt være fyldestgørende. I matematiske beregninger er det vigtigt at få sat formler på linje med tekst, så formlerne ikke hopper og springer i forhold til teksten. Det gør det også muligt at anvende beregningsboksene som en formelgenerator (equation-editor). Dernæst kan det betale sig dels at fjerne farverne fra de matematiske beregninger (de kommer alligevel ikke med på udskrifterne), dels at udskrive svarene på samme linje. Det kan altid ændres lokalt, hvis formlerne bliver for omfattende. Der skal altså sættes et hak i Justify baseline with text. Dernæst skal Output Mode ændres til 1. Same line Endelig skal Colors Foreground sættes til sort i såvel Input som Output. Personligt ville jeg så også foretrække et fast skilletegn, fx, men det kan også sættes lokalt. Husk Make default til sidst! 4

6 Samspil med Word: I mange sammenhænge kan det være bekvemt at lade TI-Interactive spille sammen med tekstbehandlingsprogrammet Word. Fx har Word stavekontrol på dansk, ligesom Word tillader flere muligheder for opsætningen af dokumentet. Endelig er det hurtigere at skrive ud fra Word. Men kan derfor med nogen fordel vælge at skrive dokumentet direkte i Word og så bare sætte beregninger, grafer, tabeller osv. løbende ind fra TI-interactive. Det kan da være værd at være opmærksom på følgende: Når man kopierer fra TI-interactive ind i Word kan man vælge forskellige formater. Dem får man adgang til ved at vælge menupunktet Indsæt Speciel i Word på Rediger-menuen (man kan også knytte en speciel tast til Indsæt Speciel, fx ALT-V). Hvis man bare sværter tekster, formler og billeder til i TI-interactive dokumentet og kopierer dem som en samlet bunke ser mulighederne ud som vist til venstre: Som standard vælger Word HTML-formatet (svarende til en web-side), men det er langt fra det bedste format. I almindelighed står man sig ved at vælge Formatteret tekst (RTF) (dvs. Rich Text Format) som er et meget udbredt format til at udveksle tekster, formler, billeder osv. Det er ikke bare det formet, der viser formlerne klarest på skærmen, men det er også det eneste format, der viser hele samlingen af tekster, formler og billeder! Man kan også vælge at udpege en enkelt formel (graf osv.) og kopiere den. I så fald får man også mulighed for at gemme den som et egentligt TI-interactive objekt. Det kan da redigeres direkte i Word ved at dobbeltklikke på det. Og det kan senere kopieres tilbage i et andet TI-interactive dokument og således genbruges. Men hvis man således indlejrer det i Word-dokumentet bliver det også tungere at arbejde med, fordi det stadigvæk er et dynamisk objekt. Bemærkning: Man kan også vælge at arbejde direkte i Word, dvs. uden at have TIinteractive åbent! Har man fx brug for at løse en ligning i Word vælger man menupunktet Objekt på Indsæt menuen, højreklikker på boksen og vælger Rediger. Derved åbnes lommeregneren fra TI-Interactive og man kan løse sin ligning i Word: solve x =, x x = - or x = 5

7 Algebra og Calculus menuerne: Algebra menuen Nøglekommandoen er Solve, der benyttes til alle mulige former for ligninger. Dernæst bør man i hvert fald kende Expand (gang parenteser ud mm.) og til en vis grad Factor. Når man arbejder med brøkudtryk er det en god ide at kigge på Common Denominator (sætte på fælles brøkstreg) samt Proper Fraction (ægte brøk, dvs. egentlig en heltalsdivision eller en polynomiers division). Calculus menuen Nøglekommandoerne er Derivative og Integral (på A-niveau) til symbolske differentiationer og integrationer. Til at finde tangentligninger symbolsk anvendes Taylor. Den er meget handy! Ved undersøgelse af maksima og minima er kommandoerne fmin og fmax meget nyttige til symbolske udregninger af toppunkter. Endelig er der en meget vigtig differentialligningsløser, der af uransaglige grunde ikke nåede at komme med på lommeregneroversigten: desolve 6

8 Algebra-kommandoerne 1: Solve Løser ligninger, ligningssystemer og simple uligheder. Forsøger først med symbolske metoder, dernæst med numeriske metoder. Én ligning med én ubekendt: solve(ligning,variabel): solve 4 x - 5 x + 6 = 0, x x = - 3 or x = 3 or x = - or x = Styret løsning med intervalindskrænkning: solve 4 x - 5 x + 6 = 0, x 1 < x and x < x = 3 or x = Styret løsning med gæt: solve 4 x - 5 x + 6 = 0, x = x = Ligningssystemer: solve(ligningssystem,variabelliste) solve x + y = and y = x - 1, x, y x = 1 and y = 1 or x = -1 5 and y = -7 5 NB! Man kan godt forsyne udvalgte variable med et gæt for at styre søgningen, ligesom løsningen kan styres med intervalindskrænkninger. Simpel ulighed af første grad: solve(ulighed,variabel) 7 solve x - 1 > 5-3 x, x x > 6 5 : Factor Faktoriserer udtrykket, dvs. opløser det i faktorer. Blød faktorisering (kun pæne heltallige faktorer): factor(udtryk) factor 4 a - factor b a + b a - b a + factor x 4-5 x + 6 x - 3 x - Hård faktorisering (vilkårl. faktorer): factor(udtryk,variabel) factor 4 x - 5 x + 6, x b x + x - x + 3 x - 3 3: Expand Opdeler udtrykket i summer (ved at gange ind i parenteser mm). Generel opløsning: expand(udtryk) expand a + b + c a + a b + a c + b + b c + c Delvis opløsning: expand(udtryk,variabel) expand a + b + c, a a + a b + c + Blød opløsning af brøkudtryk: expand(brøkudtryk) expand x + 1 x - 1 expand x + 4 x - Hård opløsning af brøkudtryk: expand(brøkudtryk,variabel) b + c -1 x x x - expand x +, x x - x - x + NB! Man kan også bruge expand til at opløse absolutværdier, potenser, rødder og logaritmer. Husk at fortælle, at argumenterne er positive! + 1

9 4: Zeros Finder nulpunkterne for et udtryk. Nulpunkterne afleveres i lister (ved udtryk med én variabel) eller matricer (ved flere variable). Udtryk i én variabel: zeros(udtryk,variabel) zeros x 4-5 x + 6, x, -, 3, - 3 Udtryk i flere variable: zeros(udtryksliste,variabelliste) zeros x + 8 y -, x - y - 1, x, y 1 1 NB! Variable kan forsynes med et gæt for at styre søgningen. 5: Approx Udskriver et svar som en tilnærmet værdi: approx(udtryk) approx NB! Tilnærmelsesværdi fås også ved at tilføje et decimalpunktum: : Exact Omformer et decimaltal til et eksakt symbolsk svar: 7: comdenom exact(udtryk) exact exact(udtryk, tolerance) exact 0.333, Sætter udtrykket på fælles brøkstreg (common denominator). Efterfølges af en udvid på tæller og nævner hver for sig! Generel udvid: comdenom(udtryk) comdenom Delvis udvid: comdenom(udtryk,variabel) comdenom 1 + b a - b + a - b a + b, a Uden udvid: comdenom(udtryk,dummy) a + b a - b + a - b a + b comdenom a + b a - b + a - b a + b, dummy -7 5 a + b a - b a - a b b b + 1 a - b a + b a + b a - b 8: propfrac Opdeler et brøkudtryk i heltalsdel og ægte brøkdel (proper fraction). Omskrivning til blandet tal: propfrac(brøktal) propfrac Polynomiers division i én variabel: propfrac(brøkudtryk) propfrac 3 x + x x x + 1 x - x - Polynomiers division i flere var.: propfrac(brøkudtryk,var) propfrac 3 x + y, x x + 1 y + x x - y x - y Ikke så kraftig som expand, idet brøkdelen ikke slås helt i stykker!

10 9: Piecewise function Håndterer stykkevis definerede funktioner. De indtastes nemmest via en skabelon, der automatisk åbnes af kommandoen eller kan vælges fra parentes-menuen (tuborg-paranteser) : NB! Syntaksen skal holdes meget stramt, hvis man ønsker at efterbearbejde den stykkevis definerede funktion symbolsk! Skillepunkterne for de enkelte grene skrives op i rækkefølge: x 1, x,, og de enkelte grene skrives ind i rækkefølge med betingelserne på formen: x < x 1, x < x,, x <, jfr. det følgende eksempel: x x < f x := -100 x x < x < "Done" Herefter er vejen åbnet for at tegne grafen, løse ligninger, differentiere og integrere: solve f x = 50, x x = 5 or x = 1 x f x f x x 9 50 x < -100 x < 4 0 x < x > 4 undef else x > undef else 5 x + 00 x x < -50 x x x < x x < 3 f x x 55 1

11 10:nSolve 11a:tExpand Løser ligningen numerisk. Virker som solve, men opgiver på forhånd at løse ligningen symbolsk og virker ikke med ligningssystemer. Er ofte hurtigere end solve og løsningen kan styres såvel med gæt som med intervalindskrænkninger: Én ligning med én ubekendt: nsolve(ligning,variabel): nsolve 4 x - 5 x + 6 = 0, x Styret løsning med intervalindskrænkning: nsolve 4 x - 5 x + 6 = 0, x 1.5 < x and x < Styret løsning med gæt: nsolve x 4-5 x + 6 = 0, x = Opløser trigonometriske udtryk i summer (trigonometric expand), men kun når maskinen regner i radianer! Vinkelvalget sættes i Indstillinger (F9) eller Edit-menuen (Mode settings)/ikonet: texpand(trigonometrisk udtryk) texpand cos x cos x b: tcollect Samler trigonometriske udtryk (trigonometric collect), men kun når maskinen arbejder i radianer! tcollect(trigonometrisk udtryk) tcollect sin x cos x sin x 1a: csolve Virker som solve, men finder også evt. komplekse løsninger. csolve(ligning. variabel) csolve x 4 = 1, x x = i or x = -i or x = 1 or x = -1 1b: cfactor Virker som factor, men finder også evt. komplekse faktorer. cfactor(udtryk): Blød faktorisering cfactor x 4-4 x - x + cfactor(udtryk,var): Hård faktorisering cfactor 4 x - 4, x x + x - x + i x + - i 1c: czeros Virker som zeros, men finder også evt. komplekse nulpunkter. czeros(udtryk,variabel) czeros 4 x - 4, x czeros 4 x - 4, x Imag x > 0, -, i, - i i 13a: getnum Sætter udtrykket på en fælles brøkstreg og returnerer tælleren. 13b: getdenom Sætter udtrykket på en fælles brøkstreg og returnerer nævneren. 13c: left Trækker venstresiden af en ligning ud som et selvstændigt udtryk. 13d: right Trækker højresiden af en ligning ud som et selvstændigt udtryk. 10

12 Calculus-kommandoerne 1: d( Derivative Udregner den symbolske afledede af et funktionsudtryk. Differentialkvotienter indtastes nemmest via skabelonerne og, der vælges fra differentiationsmenuen. Men kan altså vælge mellem texas-notationen d( y, x ) og differentialkvotientnotationen, dvs. dy / dx. Men TI-interactive understøtter ikke mærke-notationen y', fordi den uafhængige variabel x skal fremgå eksplicit af kommandoen! d(udtryk,uafhængig variabel,grad) Første afledede skrevet med differentialer Højere afledede skrevet med differentialer : ( Integral Første afledede (hældning, hastighed): d(udtryk,var) x Anden afledede (hulhed, acceleration): d(udtryk,var,) x Baglæns differentiation (integration): d(udtryk,var,-1) -1 x -1 x x x x Differentialkvotient i givet punkt: d(udtryk,var) var=værdi x x = 3 6 x NB! Antal forlæns/baglæns differentiationer kan vælges vilkårligt. Udregner integralet af et funktionsudtryk. Forsøger først en symbolsk integration og dernæst en numerisk integration. Integraler kan indtastes via skabelonerne og, der hentes fra integrationsmenuen. Integralsymbolet kan også hentes fra Catalog: Stamfunktion: (udtryk,variabel) 1 x ln sin x tan x Ubestemt integral: (udtryk,variabel,konstant) Integral 1, x, k ln sin x + k tan x (NB! Ved en fejl udskrives integraltegnet ikke på skærmen) Bestemt integral (areal): (udtryk,variabel,nedre,øvre) π π 4 1 tan x x 3 x 3 -ln 1 11

13 3: Limit Udregner grænseværdien for et funktionsudtryk ved hjælp af symbolske metoder. Grænseværdier indtastes nemmest ud fra skabelonerne og, der ligger på summations-menuen (ikke særligt oplagt, men det er altså den tredje calculus-skabelonmenu!): 4: Σ( Sum 5: Π( Product Almindelig to-sidet grænseværdi En-sidet grænseværdi fra venstre eller højre Almindelig to-sidet grænseværdi: limit(udtryk,var,punkt): lim sin x x 0 x Grænseværdi fra venstre: limit(udtryk,var,punkt,-1): 1 x 1 lim - - x 0 Grænseværdi fra højre: limit(udtryk,var,punkt,1): lim 1 + x 0 x NB! Brug altid tilstanden AUTO eller EXACT ved udregning af grænseværdier! Udregner en symbolsk sum. Summer kan indtastes ved hjælp af en skabelon, der hentes fra summations-menuen. Summationssymbolet Σ kan også hentes fra Catalog. Σ(udtryk,indeks,nedre grænse,øvre grænse): 1 1 i i + 1 a - 1 b + 1 NB! Ønsker man i stedet at finde summen af elementerne i en liste bruges listekommandoen sumlist(liste) fra Catalog. b i = a Udregner et symbolsk produkt. Symbolet Π skal hentes fra Catalog. Π(udtryk,indeks,nedre grænse,øvre grænse): b i = a i i + 1 a b + 1 NB! Ønsker man i stedet at finde produktet af elementerne i en liste bruges listekommandoen prodlist(liste) fra Catalog. 6: fmin Udregner minimumsstedet for et funktionsudtryk symbolsk. Globalt minimum: fmin(udtryk,var): fmin 3 x - 3 x, x x = - lim x - x 3-3 x - Lokalt minimum: fmin(udtryk,var) lav<var and var<høj: fmin 3 x - 3 x, x 0 < x and x < x = 1 y min = 3 x - 3 x x = 1 y min = - NB! Den tilhørende minimumsværdi findes ved særskilt beregning. 1

14 7: fmax Udregner maximumsstedet for et funktionsudtryk symbolsk. Globalt maksimum: fmin(udtryk,var): 8:arcLen 13 fmax 3 x - 3 x, x lim x x 3-3 x Lokalt maks.: fmax(udtryk,var) lav<var and var<høj: x = fmax 3 x - 3 x, x - < x and x < 0 x = -1 y max = 3 x - 3 x x = -1 y max = NB! Den tilhørende maximumsværdi findes ved særskilt beregning. Udregner buelængden for grafen til et funktionsudtryk. Forsøger først med symbolske metoder og dernæst med numeriske metoder. arclen(udtryk,variabel,nedre,øvre): arclen f x, x, a, b arclen x, x, -1, 1 b a ln x f x + 1 x 9: Taylor Udregner det approksimerende polynomium af en given grad i et givet punkt ved hjælp af symbolske metoder. Tangentligningen udregnet symbolsk: y = expand(taylor(f(x),x,1,x 0 )): y = expand Taylor x 3-3 x, x, 1, 4 y = 45 x - 18 Det approksimerende førstegradspolynomium (tangenten!): f'( x0) ( x x0) + f( x 0) Taylor(udtryk,variabel,1[,punkt]): Taylor x 3-3 x, x, 1, 4 45 x Det approksimerende andengradspolynomium: ½ f"( x 0) ( x x0) + f'( x0) ( x x0) + f( x 0) Taylor(udtryk,variabel,[,punkt]): Taylor x 3-3 x, x,, 4 1 x x Hvis punktet udelades sættes det til 0. Graden kan vælges vilkårligt. 10: nderiv Udregner den numerisk afledede af et udtryk på basis af formlen f( x0 + h) f( x0 h) for den symmetriske approksimation, dvs. f'( x ) : h Første numerisk afledede: nderiv(udtryk,var[,tilvækst]): nderiv f x, x, h 0 - f x - h - f x + h h nderiv x 3, x, x e-13 Den numerisk afledede i et givet punkt: nderiv(udtryk,var,tilvækst) var=værdi: nderiv 3 x, x, 1-6 x = 1. NB! Hvis tilvæksten udelades sættes den til

15 11: fnint Udregner en tilnærmet værdi for et bestemt integral ved hjælp af Gauss-Kronrod algoritmen med 6 betydende cifre. Hvis man på forhånd ved et integral ikke kan beregnes symbolsk, er fnint hurtigere. fnint(udtryk,var,nedre grænse,øvre grænse): fnint 1 - x e, x, -, π 1: AvgRC Udregner den numerisk afledede af et udtryk (average rate of change) på basis af formlen for sekantapproksimationen: Første numerisk afledede: avgcr(udtryk,var[,tilvækst]): desolve Punktligning: (x 0,y 0 ): y(x 0 )=x 0 '' : NB! To mærker! Linjeelementligning (x 0,y 0,y 0 '): y(x 0 )=y 0 and y'(x 0 )=y 0 ' 14 avgrc f x, x, h f x + h - f x h avgrc x 3, x, x + 1.e-6 x e-13 Den numerisk afledede i et givet punkt: avgcr(udtryk,var,tilvækst) var=værdi: avgrc x 3, x, 1-6 x = NB! Hvis tilvæksten udelades sættes den til Løser første- og andenordens differentialligninger symbolsk. Kommandoen findes kun i Catalog! Generel løsning til en første ordens differentialligning: desolve(difligning, uafhængig_var,afhængig_var): desolve y - y' = x, x, y y e x + x + 1 Konkret løsning til første ordens diff. ligning gennem et punkt: desolve(difl and punktligning,uafh_var,afh_var): desolve y - y' = x and y 1 =, x, y y = - e -1 e x - e x + 1 Generel løsning til en anden ordens differentialligning: desolve(difligning,uafhængig_var,afhængig_var): desolve y - y'' = x, x, y y e -x e x + x Familie af løsninger til anden ord. diff.ligning gennem ét punkt: desolve(difl and punktligning,uafh_var,afh_var): desolve y - y'' = x and y 1 =, x, y y - sinh x x Konkret løsning til anden ord. diff.ligning gennem linjeelement: desolve(difl and linjelem_ligning,uafh_var,afh_var): desolve y - y'' = x and y 1 = and y' 1 = 0, x, y y = x - sinh x - 1 Konkret løsning til anden ord. diff.ligning gennem to punkter: desolve(difl and pktl_1 and pktl_,uafh_var,afh_var): desolve y - y'' = x and y 0 = 1 and y 1 =, x, y y = 1 e e -x - x e + x e - 1 Bemærkning: Et system af to første ordens differentialligninger kan ofte oversættes til en anden ordens differentialligning. Fx kan {x'=y,y'=-x} oversættes til x'' = -x, dvs. den løses med kommandoen: desolve(x''=-x,t,x) osv.

16 Mode Settings Mode Settings, der kan sættes via det andet ikon på menubjælen er vigtig, fordi her vælger man: Vinkelmålet (Angle Format): Radian eller Degrees. Beregningsmåden (Computation): Automatic, Exact eller Approximate Antal decimaler (Display Digits) Float eller Fix samt antallet Man kan også ændre fx vinkelmål og beregningsmåde midt i en beregning ved at højreklikke på matematikboksen og derefter vælge Mode i den menu, der fremkommer (ændringen gælder også for de følgende matematikbokse!) Sandsynlighedsregningsmenuen: I stokastiske eksperimenter har man brug for stokastiske variable, dvs. tilfældige tal til at repræsentere fx møntkast eller terningkast eller mere avancerede tilfældige tal, fx normalfordelte tal. TI-interactive fire forskellige typer stokastiske variable: To diskrete: Random integer og Random Binomial To kontinuerte: Random Number [0,1) og Random Normal. 15

17 Math-Probability-menuen 1:! Factorial : npr Permutations 3: ncr Combinations 4: RandSeed Random Seed 5: rand Random Number 6: randint Random Integer 7: RandNorm Random Normal 8: randbin Random Binomial Fakultetstallet n!, dvs. produktet af de n første hele tal: Tal! 5! 10 Udregner symbolsk antallet af r-permutationer (ordnede delmængder med r elementer)udtaget af en grundmængde med n elementer: npr(udtryk1, udtryk) n! npr n, r npr 5, 3 60 n - r! Udregner symbolsk antallet af r-kombinationer (delmængder med r elementer) udtaget af en grundmængde med n elementer: ncr(udtryk1, udtryk) n! ncr n, r ncr 5, 3 10 r! n - r! Definerer et tilfældigt udgangspunkt for pseudotal-generatoren baseret på et opgivet helt tal mellem - 31 = og 31 = Fabriksværdien er tallet 0. I undervisningsmæssige sammenhænge kan man fx anvende CPR-numre. RandSeed(Helt tal): randseed "Done" Udregner en tilfældig værdi, som er ligefordelt i intervallet [0;1]. Enkeltværdi: rand() rand Stokastisk eksperiment: rand(antal gentagelser) rand ,.30871, Udregner en tilfældig ligefordelt heltalsværdi i et interval. Enkeltværdi: randint(nedre grænse,øvre grænse) randint 1, 6. Stokastisk eksperiment: randint(nedre,øvre,gentagelser) randint 1, 6, 10 1., 4., 6., 3., 6., 5., 6., 1., 5., 1. Udregner en tilfældig værdi for en normalfordelt stokastisk variabel med en foreskrevet middelværdi og spredning µ og σ. Enkeltværdi: randnorm(middelværdi, spredning) randnorm 4, Stokastisk eksperiment: randnorm(µ, σ, gentagelser) randnorm 4, 1, , , Udregner en tilfældig værdi for en binomialfordelt stokastisk variabel med foreskrevet antals- og sandsynlighedsparameter (n, p). Enkeltværdi: randbin(antalsparameter, sandsynlighedsparameter) randbin 1, 0.5. Stokastisk eksperiment: randbin(n,p,gentagelser) 16 randbin 1, 0.5, 5 5., 5., 3.,., 3.

18 1:normalPDF Normal Point Distribution Function :normalcdf Normal Cumulative Distribution Function 3: invnorm Inverse Normal Distribution Function 4: BinomPDF Binomial Point Distribution Function 5: binomcdf Binomial Cumulative Distribution Function Udregner normalfordelingssandsynlighedstætheden i et punkt: Standardnormalfordelingen (µ = 0, σ = 1) normalpdf(x-værdi) Vilkårlig normalfordeling normalpdf(x-værdi, middelværdi, spredning) normalpdf normalpdf, 1, Udregner normalfordelingssandsynligheden for et interval: Standardnormalfordelingen (µ = 0, σ = 1) normalcdf(nedre x-grænse, øvre x-grænse) normalcdf -,.9545 Vilkårlig normalfordeling normalcdf(nedre x, øvre x, middelværdi, spredning) normalcdf -,, 1, Udregner den inverse kumulerede normalfordelingsværdi x givet en sandsynlighed p svarende til intervallet ] ; x]: Standardnormalfordelingen (µ = 0, σ = 1) invnorm(p-værdi) invnorm Vilkårlig normalfordeling invnorm(p-værdi, middelværdi, spredning) invnorm 0.375, -, Udregner punktsandsynligheden for en binomialfordeling baseret på antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. Hele sandsynlighedsfordelingen: binompdf(n, p): binompdf 5, , ,.6367, , , Punktsandsynlighed: binompdf(n, p, x-værdi): binompdf 5, 0.5, Udsnit af fordelingen: binompdf(n, p, x-liste): binompdf 5, 0.5, 0, 1,.37305, ,.6367 Udregner punktsandsynligheden for en binomialfordeling baseret på antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. Hele sandsynlighedsfordelingen: binompdf(n, p): binomcdf 5, ,.63813, , ,.99903, 1. Punktsandsynlighed: binompdf(n, p, x-værdi): binomcdf 5, 0.5, Udsnit af fordelingen: binompdf(n, p, x-liste): binomcdf 5, 0.5, 0, 1,.37305,.63813, NB! Hvis man ønsker at udregne en intervalsandsynlighed skal man trække to kumulerede sandsynligheder fra hinanden: P(a x b) = binomcdf(n, p, b) binomcdf(n, p, a 1) 17

19 Enheder og naturkonstanter: TI-Interactive rummer mulighed for såvel at arbejde med enheder som at arbejde med naturkonstanter. De angives med en understregning _ i starten af symbolet. De kan indtastes direkte, men ligger også alle sammen som vist i kataloget (der også fremkommer ved CTRL-T, når man befinder sig i en matematikboks). Konverteringsoperatoren, der benyttes til omsætning af enheder ligger også på lommeregneren under specialsymboler : Man kan specificere hele den nye enhed, fx 30 _m _s _km 108. _km _hr _hr Man kan også specificere en del af en enhed, men skal så være omhyggelig med om enheden står i tælleren eller nævneren: 45 _J _hr 1 _s.015 _J _s 18

20 Oversigt over enheder og naturkonstanter på TI-Interactive Symbol Navn Størrelse Tilknyttede enheder _A Ampere Elektrisk strømstyrke I _ka _ma _µa (mikro-) _amu (atomic mass) unit (u) atomar masse _au Astronomisk Enhed Astronomisk afstandsmål _atm atmosfære Tryk p _bar bar Tryk p _c Lysets hastighed Elektromagnetisme _ C grader Celcius Temperatur T _cal kalorie (calorie) Energi E _kcal _Cc Coulombs constant (kc) Elektriske kræfter _cd candela Lysstyrke I _coul coulomb (C) Elektrisk ladning q _day døgn (d) Tidsrum t _ε0 Vakuumpermittiviteten Elektromagnetisme _ev elektronvolt Energi E _F Farad Kapacitet (kondensator) C _µf (mikro-) _nf (nano-) _pf (pico-) _φ0 Magnetisk fluxkvant Atomfysik _g Normalaccelerationen (gn) Faldloven _gm gram (g) Masse m _Gc Gravitationskonstanten (G) Gravitation (Tyngdekræfter) _h Plancks konstant Kvantefysik _henry Henry (H) Induktans (elektromagnetisk) L _mh _µh (mikro-) _nh (nano-) _hp Hestekraft (horsepower) Effekt P _hr Time (hour) (h) Tidsrum t _Hz Hertz Frekvens f _GHz (Giga-) _MHz (Mega-) _khz _J Joule Energi E _k Boltzmanns konstant Termodynamik _ K grader Kelvin (K) Temperatur T _kg kilogram Masse m _gm (gram) _mg _kwh kilo-watt-timer (hour) Energi E _kph kilometer i timen (per hour) _l liter (L) Rumfang V _ml _latm literatmosfære Energi E _ltyr lysår (light year) Astronomisk afstand _m meter Længde s _km _cm _mm _fm (femto-) _µ0 Vakuumpermeabiliteten Elektromagnetisme _µb Bohrs magneton Atomfysik _Me Elektronens hvilemasse Atomfysik _mmhg millimeter kviksølv Tryk p _µ micron (mikrometer, dvs. µm) Afstandsmål _min minut Tidsrum t _Mn Neutronens hvilemasse Atomfysik _mol mol Stofmængde n _Mp Protonens hvilemasse Atomfysik _mton metrisk ton (ton) Masse m _N Newton Kraft F _Na Avogadros konstant Gasser _Nmi Nautisk mil Geografisk afstandsmål _Ω Ohm (alternativt: _ohm) Resistans (elektrisk modstand) R _MΩ (Mega-) _kω _Pa Pascal Tryk p _pc parsec Astronomisk afstand _q elementarladningen (e) Atomfysik _Rb Bohrs radius (a0) Atomfysik _Rc Gaskonstanten (R) Gasser _Rdb Rydbergs konstant (R ) Atomfysik _s sekund Tid t _ms _µs (mikro-) _ns (nano-) _σ Stefan-Boltzmanns konstant Stråling _siemens siemens (S) Konduktans (elektrisk ledningsevne) G _T Tesla Magnetisk fluxtæthed B _torr torricelli Tryk p _V Volt Elektrisk spænding U _kv _mv _Vm Standard molar volumen Kemiske mængdeberegninger _W Watt Effekt P _kw _Wb Weber Magnetisk flux Φ _kwb _yr År (year) (y) Tidsrum t _Å Ångstrøm Atomart afstandsmål 19

21 Grundlæggende enheder i fysik: Tilladte enheder Grundenheder Afledte enheder Pa Tryk pascal:n/m atm, bar mmhg, _torr kg/m 3 Densitet kg masse kilogram _gm, _mton unit (_amu) sømil(_nmi) N Kraft newton:kg m/s Liter m 3 Volumen Gy (%) dosis gray: J/kg m areal m længde meter Å,mikron(_µ) au, pc lysår (_ltyr) cal, ev, _kwh L Atm (_latm) J Energi joule: N m Bq (%) aktivitet becquerel: s 1 m/s hastighed km/h (_kph) m/s acceleration Hz frekvens hertz: s 1 s tid sekund min, h (_hr), d (_day), år (_yr) hestekraft: _hp W effekt Watt: J/s C (_coul) ladning coulomb: A s F kapacitans farad: C/V A el. strøm Ampere V potential Volt:W/A H (_henry) induktans henry:wb/a Ω resistans ohm: V/A S (_siemens) konduktans siemens: Ω 1 Wb magnet. flux weber: V s T fluxtæthed tesla:wb/m rad (%) planvinkel radian sr (%) rumvinkel steradian lx (%) illuminans lux: lm/m lm (%) lysstrøm lumen: cd/sr cd lysstyrke candela K (_ K) temperatur kelvin C temperatur Celsius mol stofmængde mol 0

22 Graf-skærmen Graf-værktøjskassen 1

23 Graflisten Y = : Her indskrives funktioner på sædvanlig vis. Ved indskrivning af komplicerede kan symbolpaletten udnyttes. Læg mærke til muligheden for at skifte betegnelse på den uafhængige variabel, der altså ikke længere er bundet til at hedde x. Læg også mærke til muligheden for at indskrive lister i Stat Plots på det andet faneblad. Her åbnes bl.a. for Windows-menuen så man kan indstille Xscale og Yscale og derved få pæne inddelinger af koordinatakserne. Læg også mærke til muligheden for at skjule såvel gitter som akser under fanebladende Axes og Grid. Derved fås en fri tegneflade til illustrationer med brug af tegneredskaberne: Linje, Cirkel, Rektangel og Tekst! Som vist kan man automatisk få frembragt en funktionstabel for de aktive funktioner i graflisten Y =. Opsætningen af tabellen reguleres ved hjælp af kommandoen Table SetUp :

24 Graf-værktøjerne 0: Trace Grafisk beregning af funktionsværdier. NB! Ved at taste Label indsættes koordinatsættet på grafen. Symbolsk udregnes funktionsværdier ved algebra-kommandoen y1(x) x =. 1: Nulpunkt Grafisk beregning af nulpunkter (dvs. skæringspunkter med x-aksen). : Minimum Symbolsk udregnes nulpunkter ved algebra-kommandoen zeros. Grafisk beregning af (lokale) minimumspunkter. (NB! eventuelt et randpunkt) Symbolsk udregnes minimumsstedet ved calculus-kommandoen fmin. 3

25 3: Maksimum Grafisk beregning af (lokale) maksimumspunkter. (NB! eventuelt et randpunkt) 4: Skæringspunkt Symbolsk findes maksimumsstedet ved calculus-kommandoen fmax. Grafisk beregning af skæringspunkter (løsning af lign.systemer!) 5: Differentialkvotienter Symbolsk udregnes skæringspunkter ved algebra-kommandoen solve. Grafisk beregning af differentialkvotient (tangenthældning). dy/dx [dx/dt] [dy/dt] [dr/dθ] NB! Ved parameterkurver udregnes også dx/dt,dy/dt. Symbolsk udregnes tangenthældningen ved calculus-kommandoen. Linjeelementet tegnes! 4

26 5*: Tangent Grafisk beregning af tangentligning med tegning af tangenten. 6: Integral Symbolsk findes tangentligningen ved brug af calculus-kommandoen y = taylor(y1(x),x,1,x0). Grafisk beregning af bestemte integral ( areal ). Området skraveres. NB! Grænserne kan kopieres ind fra labels på figuren. 7: Areal med skravering Symbolsk udregnes integraler ved brug af calculus-kommandoen. Finder arealet grafisk og skraverer området mellem de to grafer. NB! Grænserne kan kopieres ind fra labels på figuren. NB! Den øverste graf skal stå først! Symbolsk udregnes arealer ved brug af calculus-kommandoen. 5

27 Liste-menuerne Man kan både arbejde med lister i matematik-bokse og i listeeditoren. I matematik-bokse skrives lister med krøllede parenteser, fx: {1,,3,4,5} I liste-editoren skrives de ind som i et regneark. Lister bruges især til at arbejde med data, fx fra eksperimenter. Data/Statistik-skærmen 6

28 Math-List-/List-Operations-menuen 1,: SortA / SortD Ascending Descending 3: dim Sorterer en liste i stigende (Ascending) eller faldende (Descending) rækkefølge. Hvis der er flere lister ombyttes de følgende lister i overensstemmelse med den første liste, dvs. korresponderende elementer følges ad: SortA(listenavn) / SortA(listenavn1, listenavn, ) La := 1, 7, 3, 5,, 8 1, 7, 3, 5,, 8 Lb := a, b, c, d, e, f SortA La a, b, c, d, e, f "Done" La 1,, 3, 5, 7, 8 Lb a, e, c, d, b, f Udregner antallet af elementer i en liste (dvs. listens dimension). dim(liste): Dimension 4: Fill Udfylder en liste med en konstant værdi: Fill(udtryk, Listenavn): 5: seq Sequence La := 1,, 3, 4, 5 dim a, b, c 3 1,, 3, 4, 5 Fill x, La "Done" La x, x, x, x, x Frembringer en talfølge (sekvens) udfra en formel med et index. seq(formel, index, nedre grænse, øvre grænse[,tilvækst]): seq i, i, 1, 6 1, 4, 9, 16, 5, 36 seq x i, i, 1, x, x, x, x, x, x 6: cumsum Udregner den symbolske kumulerede sum-liste: cumsum(liste): cumsum Cumulative x 1, x, x 3 x 1, x 1 + x, x 1 + x + x 3 sum cumsum 1, 3, 5, 7, 9 1, 4, 9, 16, 5 7: deltalist Udregner differenslisten symbolsk: deltalist(liste): deltalist Difference x 1, x, x 3 x - x 1, x 3 - x list deltalist 1, 4, 9, 16, 5 3, 5, 7, 9 8: augment Sætter to lister sammen til en enkelt liste: augment(liste1,liste): augment 1,, 3, 4, 5 1,, 3, 4, 5 9: left Udtrækker en delliste fra venstre med et opgivet antal elementer, dvs. bestående af de første k elementer: left(liste, antal): left 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 3 1,, 3 10: mid Udtrækker en delliste fra midten med et opgivet antal elementer, dvs. bestående af de midterste k elementer: mid(liste, start, antal): mid 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 3, 4 3, 4, 5, 6 11: right Udtrækker en delliste fra højre med et opgivet antal elementer, dvs. bestående af de sidste k elementer: right(liste, antal): right 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 3 6, 7, 8 7

29 Math-List-Math/List-Calculus-menuen 1,: min/max Minimum Maksimum 3: mean Middelværdi Udregner minimumsværdien/maksimumsværdien for én eller to tallister. Minimumsværdien for en enkelt liste returnerer det mindste element i listen: min(liste) min 1,, 4, 8, 16 1 Minimumsværdien for to lister returnerer en ny liste bestående af de parvis mindste elementer: min(liste1,liste) min 1,, 4, 8, 8, 4,, 1 1,,, 1 Udregner det symbolske middeltal, dvs. gennemsnittet for en liste. Man kan tilføje en hyppighedsliste og udregne det vægtede gennemsnit: mean(dataliste) / mean(datalliste, hyppighedsliste): mean a, b, c, d mean a, b, c, d, 1,, 3, 4 a + b + c + d 4 a + b + 3 c + 4 d 10 4: median Udregner medianen for en tal-liste, dvs. med et lige antal elementer returneres det midterste element, ved et ulige antal elementer returneres gennemsnittet af de to midterste elementer. median(dataliste): 5: sumlist Listesum 6: prodlist Listeprodukt 7: stddev Spredning median 1,, 4, 8 3. median 1,, 4, 8, Udregner den symbolske sum af elementerne i en liste. Man kan evt. tilføje start- og slutværdi for summen af et udsnit af listen: sumlist(liste): sumlist a, b, c, d a + b + c + d sumlist a, b, c, d,, 3 b + c Udregner det symbolske produkt af elementerne i en liste. Man kan evt. tilføje start- og slutværdi for produktet af et udsnit af listen: prodlist(liste): prodlist a, b, c, d a b c d prodlist a, b, c, d,, 3 b c Udregner den symbolske stikprøvespredning σ n 1 for en liste. Man kan tilføje en hyppighedsliste og få udregnet det vægtede gennemsnit: stddev(dataliste)/stddev(dataliste, hyppighedsliste): stddev a, b a - b 8: Variance Udregner den symbolske stikprøvevarians V n 1 = σ n 1 for en liste. Man kan også tilføje en hyppighedsliste og få udregnet det vægtede gennemsnit: variance(dataliste)/variance(dataliste, hyppighedsliste): Variance a, b a - b 8

30 Statistik-menuen: Regressions-Modeller Statistics Calculation kan både kaldes fra dokumentskærmen og fra liste-editoren. I begge tilfælde kan det ske via ikonet: Derved åbnes en dialogboks, hvor man kan indtaste en X-liste, en Y- liste og evt. en hyppigheds- eller vægtliste (Frequency), der angiver hvordan de enkelte (X,Y)-observationer skal vægtes. 9

31 Statistik og Regressions-modeller 1:OneVarStats One Variable Statistics :TwoVarStats Two Variable Statistics 3:MedMed Median-Median Line 4:LinReg Linear Regression 5:QuadReg Quadratic Regression 6:CubicReg Cubic Regression Udregner deskriptorerne for enkeltvariabel statistik. Enkeltvariabel statistik: Observationslisten indtastes som første liste. Hvis der er en hyppighedsliste indtastes den som anden liste (frequency). ShowStat() oplyser udover antallet af observationer n: dels mindste-kvadrat deskriptorerne: middeltallet x, stikprøvespredningen Sx (dvs. σ n-1 ), populationsspredningen σx (dvs. σ n ). dels de robuste deskriptorer: Minimum MinX, første kvartil Q1X, medianen MedX, tredje kvartil Q3X og maksimum MaxX. Resten kan ignoreres! Sandsynlighedsfelt: Udfaldsrummet indtastes som første liste, sandsynlighederne som anden liste (frequency). ShowStat() oplyser udover den samlede sandsynlighed n = 1: Forventningsværdien x eller Σx (dvs. µ eller E[X]) samt Spredningen σx (dvs. σ) Heraf fås variansen som kvadratet på spredningen! Resten kan ignoreres! Udregner deskriptorerne for dobbeltvariabelstatistik, herunder middelværdier og spredninger for hver af de to variable, men ikke covariansen eller korrelationen. Kan ignoreres! Finder den bedste rette linje ved median-punkts metoden: y = ax + b. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b og de tre medianpunkter. NB! Forklaringsgraden oplyses ikke! Finder bedste rette linje ved mindste kvadraters metode: y = ax + b. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b samt forklaringsgraden (r ) og korrelationskoefficienten r. Finder det bedste approksimerende andengradspolynomium ved mindste kvadraters metode: y = ax + bx + c. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b og c samt forklaringsgraden (R ). Finder det bedste approksimerende tredjegradspolynomium 3 ved mindste kvadraters metode: y = ax + bx + cx + d. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b,c og d samt forklaringsgraden (R ). 30

32 7:QuartReg Quartic Regression 8:LnReg Logarithmic Regression NB! x > 0 9:ExpReg Exponential Regression NB! y > 0 10:PwrReg Power Regression NB! x, y > 0 11:Logistics Logistic Regression 11*:Logistics Plus Shifted Logistic Regression NB! kun i Catalog 1:SinReg Sinusoidal Regression Finder det bedste approksimerende fjerdegradspolynomium 4 3 ved mindste kvadraters metode: y = ax + bx + cx + dx + e. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b, c, d og e samt forklaringsgraden (R ). Finder bedste approksimerende logaritmiske udvikling ved mindste kvadraters metode på de transformerede data ( ln(x), y ): y = a+ b ln( x). ShowStat() oplyser koefficienterne a, b samt forklaringsgraden (r ) og korrelationskoefficienten r for den lineære regression anvendt på de transformerede data. NB! Pas på rækkefølgen af koefficienterne! Finder bedste approksimerende eksponentielle udvikling ved mindste kvadraters metode på de transformerede data x ( x, ln(y) ): y = a b. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b samt forklaringsgraden (r ) og korrelationskoefficienten r for den lineære regression anvendt på de transformerede data. NB! Pas på rækkefølgen af koefficienterne! Finder bedste approksimerende potens-udvikling ved mindste kvadraters metode på de transformerede data b ( ln(x), ln(y) ): y = a x. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b samt forklaringsgraden (r ) og korrelationskoefficienten r for den lineære regression anvendt på de transformerede data. NB! Pas på rækkefølgen af koefficienterne! Finder den bedste approksimerende logistiske funktion ved a mindste kvadraters metode anvendt iterativt: y =. cx 1 + b e ShowStat() oplyser koefficienterne a, b og c. NB! Pas på rækkefølgen af koefficienterne! NB! Forklaringsgraden oplyses ikke! Finder den bedste approksimerende forskudte logistiske funktion ved mindste kvadraters metode anvendt iterativt: c y = + d. bx 1 + a e ShowStat() oplyser koefficienterne a, b,c og d. NB! Pas på rækkefølgen af koefficienterne! NB! Forklaringsgraden oplyses ikke! Finder den bedste approksimerende harmoniske svingning ved mindste kvadraters metode anvendt iterativt: y = a sin( b x + c) + d. ShowStat() oplyser koefficienterne a, b, c og d. NB! Der kan ikke anvendes hyppigheder (frekvenslister). NB! Hvis perioden ikke oplyses, skal x-dataene være ækvidistante. NB! Forklaringsgraden oplyses ikke! 31

33 Stikordsregister: Andengradsregression 30 Approx (udtryk) 8 arclen 13 Areal med skravering (graf) 5 augment (lister) 7 AvgRC 14 Bestemt integral 11 binomcdf 17 binomialfordeling 17 binompdf 17 Buelængde 13 CFactor 10 Combinations 16 comdenom 8 csolve 10 CubicReg 30 cumsum (lister) 7 Degrees 15 deltalist (lister) 7 Derivative 11 desolve 14 differensliste 7 Differentialkvotient (graf) 4 differentialligninger 14 differentiation grafisk 4 Differentiation 11 dim (lister) 7 dimension (lister) 7 Dobbeltvariabelstatistik 30 Eksponentiel regression 31 Enkeltvariabelstatistik 30 Exact 8 Expand 8 ExpReg 31 Factorial 16 Fælles brøkstreg 8 faktorisering i komplekse tal 10 Faktorisering 8 Fakultetstal (!) 16 Fill (lister) 7 Fjerdegradsregression 31 fmax 13 fmin 11 fnint 14 Format (graf) Functions (graf) Gaffelforskrift 9 Gang parenteser ud 8 gennemsnit 8 getdenom 10 getnum 10 Gradmål 15 grænseværdi 11 Grafisk differentiation 4 Harmonisk svingning 31 højresiden af en ligning 10 højreudsnit af liste 7 Integral (grafisk) 5 Integral 11 Integration 11 invnorm 17 Kombinationer 16 kompleks faktorisering 10 kompleks ligningsløsning 10 Kubisk regression 30 kumuleret sum 7 Kvadratisk regression 30 Left (lister) 7 left (ligninger) 10 Ligningsløsning (grafisk) 4 ligningsløsning, komplekse 10 Ligningsløsning numerisk 10 Ligningsløsning symbolsk 7 Limit 11 Lineær regression 30 Linjeelement 14 LinReg 30 listeprodukt 8 listesum 8 LnReg 31 Logaritmisk regression 31 Logistics (regression) 31 Logistiscs Plus (regression) 31 Logistisk regression 31 Logistisk udvidet regression 31 Løs ligninger 7 løsning af differentialligninger 14 Løsning af ligninger grafisk 4 Maksimum (graf) 4 Maksimum for funktion 13 max (liste) 8 mean (lister) 8 3

34 median (lister) 8 median-median linje 30 MedMed (regression) 30 mid (lister) 7 middelværdi 8 midterudsnit af liste 7 min (liste) 8 Mindsteværdi for funktion 11 mindsteværdi i liste 8 Minimum (graf) 3 Minimum for funktion 11 Nævner 10 ncr 16 nderiv 13 normalcdf 17 normalfordeling 17 normalpdf 17 npr 16 nsolve 10 Nulpunkt (graf) 3 Nulpunkter (symbolsk) 8 numerisk differentiation 13,14 numerisk integration 14 numerisk løsning af ligninger 10 Omvendt normalfordeling 17 OnevarStats 30 Permutationer 16 Piecewise function 9 Polynomiers division 8 Potensregression 31 prodlist (lister) 8 Produkt (symbolsk) 11 propfrac 8 PwrReg 31 QuadReg 30 QuartReg 31 Radian 15 rand 16 randbin 16 randint 16 randnorm 16 Randseed 16 right (lister) 7 right (ligninger) 10 Sæt på fælles brøkstreg 8 sæt to lister sammen 7 sekanthældning 14 seq (lister) 7 SinReg 31 sinus regression 31 Skæringspunkt (graf) 4 Solve 7 sorta, sortd 7 sortering af lister 7 spredning 8 Stamfunktion 11 standardafvigelse 8 stddev (lister) 8 Stokastisk eksperiment 16 Stokastisk variabel 15 størsteværdi for funktion 13 størsteværdi i liste 8 Stykkevis defineret funktion 9 Sum 11 sumlist 8 symmetrisk differentiation 13 Table (Graf) tæller 10 talfølger (lister) 7 Tangent (grafisk) 5 Tangent (symbolsk) 13 Taylor 13 tcollect 10 texpand 10 Tilfældig start 16 Tilfældigt tal 16 Trace 3 Tredjegradsregression 30 trigonometrisk samling 10 trigonometrisk udvid 10 TwoVarStats 30 Ubestemt integral 11 Udvid (udtryk) 8 Udvidet logistisk regression 31 Variance (lister) 8 venstresiden af en ligning 10 venstreudsnit af liste 7 Xscale Yscale Zeros 8 33