Perfekt Bayesiansk ligevægt
|
|
- Gudrun Paulsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Perfekt Bayesiansk ligevægt Christian Schultz TheAuthor Forår 1998 Abstract Replace this text with your own abstract. Formålet med disse par sider er at give en husmandsindføring i sekventiel rationalitet og perfekt bayesiansk ligevægt. Dem, der virkelig ønsker at lære, hvadtingene drejer sig omher, henvises til faget i spilteori. Vi husker, at i spil på ekstensivformmed perfekt information var underspilsperfekt Nash ligevægt smukt designet til at udrydde utroværdige trusler. Standardeksemplet varsomi gur1. fv;vg og fh;hg er begge Nash ligevægt. Men fv;vg bygger på den utroværdige trussel, at 2 vil spille v; hvis han kommer til at trække. Underspilsperfekthedskravet, som krævede at ligevægtsstrategierne skulle være Nashligevægt i ethvert underspil rydder fv;vg ud. I underspillet, derstarter ved 2 s node giver Nash ligevægtskravet, at 2 skal vælge h: Så fh;hg er den eneste underspilsperfekte Nash ligevægt. Imidlertiderverdenlangt fra så simpel, nårderer imperfekt information. Lad os se på en situation, hvor 2 ikke ved hvad 1 har trukket. Se på gur 2. Dette angiver vi ved at der er (ikke-trivel) informationsmængde, der indeholder begge de to punkter, hvor det er 2 der skal trække. Det symboliserer, at 2 ikke ved, hvilket punkt han er på. Når 2 ikke ved, hvor han er, kan han selvsagt ikke betinge sin strategi på, hvor han er. Han kan altså igen kun vælge mellemv ogh: Spillet har to NL, ft;hg og fv;vg; og da der ikke er nogle ægte underspil erbegge disse ligevægte også uderspilsperfekte. Men ft;hg kan vi ikke lide. Ligegyldigt hvilket punkt 2 er på i sin informationsmængde er det bedst for ham at trækkev-hvis HAN KOMMER TIL AT TRÆKKE-så truslen om at trække h er utroværdig. Men da 2 har en ikke triviel informationsmængde, 1
2 starter der ikke noget underspil, der hvor to skal trække, og følgelig rydder underspilsperfekt Nashligevægt ikke denutroværdige trussel ud. Vi har altså brug for et begreb, der er strærkere end underspilsperfekt nashligevægt, menhar samme ånd. Somen lille byggesten vil viførst se på 1 Sekventiel rationalitet. Ideeni sekventielrationalitet er, at enspillersstrategialtidskal foreskrive et rationelt valg på hvilket som helst tidspunktm, hvadenten valget tages under perfekt ellerimperfekt informationomhvorispillet, spillerenbe ndersig. I tilfældet i gur2 betyder det, at 2 s strategi skal foreskrive en handling som er optimal for to i det tilfælde, hvor han faktisk kommer til at trække. Dette betyder, at en plan om at trækkehikke duer. Det er jo ikke optimalt for 2 at trække h; hvishanfaktisk kommer til at trække. Vi vil altså kræve, at en spillersstrategi skal foreskrive handlingerveden informationsmængde som eroptimal for spilleren, givet at han har nået informationsmængden. Hvad der er optimalt kan imidlertid ikke altid afgøres før spilleren har en ide om hvor i informationsmængden han be nder sig. I eksemplet i gur 2 spiller dette ingen rolle, men sådan er det ikke altid. Spilleren må gøre sig nogle tankeromhvor han er, disse tanker formaliseres ved en sandsynlighedsfordeling over de punkter, der er i informationsmængden. I eksempelt gur 2 bliver dette til at spilleren med sandsynlighed p regner med at være på venstre punkt og med sandsynlighed1 p regner med at være på højre punkt. Spilleren kan så regne sin forventede payo ud ved at trækkev-nemligp 1+(1 p) 1=1 - og hans forventede payo ved at trækkeh-nemligp ( 1)+(1 p) 0= p: Vi ser at den rationelle spiller trækker v: (Det er en dominerende strategi). Sekventiel rationalitet tilsiger altså, at to skal trække v; så den eneste ligevægt der overlever sekventiel rationalitet er fv;vg: Nu vil vi være en anelse mere præcise. Lad ~ h være en informationsmængde for spiller i; som indeholder punkternex 1 ;:::;x k: : Se gur 3. Spillerens opfattelse af hvilket punkt han er på er givet ved hans belief¹ h (x):¹ h (x j ) giver den sandsynlighed spilleren tillægger x j givet han har nåeth: I gur 4 er¹ h (x 1 )=1=4: En belief er en sandsynlighedsfordeling, så der gælder¹ h (x) 0 for allex 2 ~ h og P x2h¹ h (x)=1: Sekventiel rationalitet siger nu at spillerens valg i informationsmængden ~h skal være optimalt for ham givet hans belief¹ h : Med optimalt mener vi, 2
3 at det skal maksimere hans forventede payo givet beliefs. Sekventiel rationalitet løser alle vores problemer i eksempel 2, men ofte har vi brug for at have lidt mere styr på disse her beliefs. F.eks. virker det som noget rod, hvis en spillers beliefs er direkte i modstrid med, hvad han burde kunne udlede fra sin opfattelse af modpartens strategi. Se på gur 5. Antag, at 1 spiller den blandede strategi {V med ssh 2/3 ogh med ssh 1/3}. Som altid i Nash ligevægt vil en del af vort ligevægtskrav være, at en spiller spiller optimalt givet den andens strategi. Hvis 2 går ud fra at 1 s strategi er {V med ssh 2/3 ogh med ssh 1/3} er det klart, at den korrekte belief er¹(x 1 )=2=3 og¹(x 2 )=1=3: Alt andet vil være i modstrid med, at2tror at 1 spiller strategien {V med ssh 2/3 ogh med ssh 1/3}. Vi vil altså kræve, at en spillers belief - i det omfang det er muligt - skal være konsistent med andres strategier (og egen strategi). I eksemplet ovenfor var det klart hvad dette indebar. I lidt mere indviklede eksempler, med ere spillere og ere træk, tyr man til Bayes regel. Betragt et to-personers spil. Lad¼ i betegnei 0 s strategi. Ladp(h j¼ 1 ;¼ 2 ) være sandsynligheden for at informationsmængdenh nås givet strategierne¼ 1 og¼ 2 : Tilsvarende erp(x h n j¼ 1;¼ 2 ) sandsynligheden for, med disse strategier, at nå punktet x h n i informationsmængden h. Den sandsynlighed, hvormed spilleren regner med at være påx h n; givether nået, er spillerens belief:¹ h (x h n): Vi vil kræve, at¹ h (x h n) er den betingede sandsynlighed forx h n; givether nået, og strategierne er¼ 1 ;¼ 2. Bayes regel giver så, at ¹ h (x h n )= p(xh n j¼ 1 ;¼ 2 ) p(h j¼ 1 ;¼ 2 ) : Det er klart, at Bayes regel kun giver brød i skabet, når nævneren er forskellig fra nul, dvs kun hvis h nås med positiv sandsynlighed. For informationsmængder, der ikke nås med positiv sandsynlighed, vil vi ikke (i første omgang) begrænse mulige belifs, de skal blot være ikke negative og summe til en, dvsvære sandsynlighedsfordelinger. Forsyn de forskellige punkter med de beliefs der er tilladelige fra Bayes regel i gur 6. Lader vi nuh i være mængden afi 0 s informationsmængder,h mængden af alle spilleres informationsmængder og¹ f¹ h g h2h en vektor, der består af alle beliefs (enfor hver informationsmængde) (dette kaldes en belief-pro l på nt), og ¼ = ¼ 1 ;¼ 2 vektoren af alle strategier (en for hver spiller, en strategipro l) kan vi de nere 3
4 De nition 1 En perfektbayesiansk ligevægt, PBL, er (¼;¹) så 1. For alle spillere i og alle informationsmængder h 2 H i er ¼ i optimal forigivet¹ h og de andre spilleres strategier. 2. For allehog allex2h gælder, at hvisp(h j¼ 1 ;¼ 2 )>0 så er ¹ h (x h n )= p(xh n j¼ 1 ;¼ 2 ) p(h j¼ 1 ;¼ 2 ) : I enperfekt Bayesiansk ligevægt skalspillernesstrategierforeskrive handlinger, der er rationeller givet de faktisk skal udføres, og givet spillerens belief om, hvor i informationsmængden han er. Disse beliefs må ikke være taget udaf den blå luft, menskalvære forenelige medde spillede strategier, dvsgivet ved Bayes regel. Dererenrække ting manskallægge mærke til: 1. En perfekt Bayesiansk ligevægt består både af strategier og beliefs. 2. I en perfekt Bayesiansk ligevægt er der intet krav til beliefs for informationsmængder, der ikke nås med positiv sandsynlighed (ud over det trivielle at beliefs skal være givet ved en sandsynlighedsfordeling). Det gør i praksis, at der ofte er mange forskellige PBL. Populært sagt er der stadig rum for utroværdige trusler i informationsmængder, som man ikke når med positiv sandsynlighed. Så PBL er glimrende til at holde styr på beliefs for informationsmængder, der nås, men ikke for informationsmængder, derikke nås. 3. En prominent for ning af PBL, sekventiel ligevægt, indeholderkrav til beliefs for informationsmængder, somnås med nul ssh. I spil med kun to spillere og få handlinger betyder dette dog ikke det store. 4. Som vi vil se senere er problemet med abitrære beliefs i informationsmængder, der nås med nul sandsynlighed stort. Ligevægtsmængden blivertit stor. Derforindføresforskellige for ninger - re nements- hvor man med forskellige argumenter søger at begrænse tilladelige beliefs. Find PBL i nedenstående eksempel. 4
5
6
7
Spilteori og Terrorisme
Spilteori og Terrorisme UNF Foredrag Thomas Jensen, Økonomisk Institut, KU September 2016 1 / 24 Oversigt Simple matematiske modeller af terrorisme og terrorbekæmpelse 2 / 24 Oversigt Simple matematiske
Læs mereSpilteori og Terrorisme
Spilteori og Terrorisme UNF Foredrag Thomas Jensen, Økonomisk Institut, KU September 2016 1 / 24 Oversigt Simple matematiske modeller af terrorisme og terrorbekæmpelse Matematisk værktøj: Spilteori Program:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mere1 Oligopoler (kapitel 27)
1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Indtil nu har vi undersøgt to markedsformer (a) Fuldkommen konkurrence: Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation med mange "små" aktører. (b) Monopol:
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereØvelse 17 - Åbne økonomier
Øvelse 17 - Åbne økonomier Tobias Markeprand 20. januar 2009 Opgave 21.2 Betragt et land, der opererer under faste valutakurser, med den samlede efterspørgsel og udbud givet ved ligninger (21.1) og (21.2)
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mere1 Oligopoler (kapitel 27)
1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun
Læs mere1 Oligopoler (kapitel 27)
1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation med mange "små" aktører. (b) Monopol. Kun
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereMikro II, Øvelser 3. ) er mindre eller lig i begge koordinater, da er (u, 1 u 2
Mikro II 208I Øvelser 3, side Mikro II, Øvelser 3. To individer har i fællesskab opnået ret til 00 enheder af en vare, under den betingelse at de kan blive enige om en fordeling, ellers mistes denne ret.
Læs mereBilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS
Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereBayesiansk statistik. Tom Engsted. DSS Aarhus, 28 november 2017
Bayesiansk statistik Tom Engsted DSS Aarhus, 28 november 2017 1 Figure 1: Nicolajs gur 2 Klassisk frekvensbaseret statistik Statistisk beslutningsteori Bayesiansk statistik Et kompromis mellem den klassiske
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 30)
1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Fredag den 25. januar 2013 kl. 1013 Alle hjælpemidler (computer, lærebøger, notater,
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereSikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet
Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mere2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der
SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et
Læs mereOpgave X4. Tobias Markeprand. January 13, Vi betragter en økonomi med adfærdsligninger
Opgave X4 Tobias Markeprand January 13, 2009 Vi betragter en økonomi med adfærdsligninger og ligevægtsligninger C = 60 + 0:8 (Y T ) I = 250 10i G = 150 N X = 400 0:1Y 500E T = 50 + 0:25Y M d = 0:25Y 10i
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereVi har valgt at bruge navnet på de personer, som eleverne spillede, hver gang der bliver sagt noget
Bilag 5. Vi har valgt at bruge navnet på de personer, som eleverne spillede, hver gang der bliver sagt noget 02:15-02:24 (dommer): Ja Ooooooog, øhm øhm Nu vil jeg så spørge nogen fra Højre.. Hvad synes
Læs mere3.s. i Fasten d.27.3.11. Luk.11,14-28.
3.s. i Fasten d.27.3.11. Luk.11,14-28. 1 Det hænder, præsten synes, at teksterne til en søndag er så svære at komme ind i, så menigheden burde have udleveret et åndeligt brækjern. Ordene er vanskelige
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereRettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler
Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne
Læs mereBilag 7. SFA-modellen
Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereUGESEDDEL 4 MAKROØKONOMI 1, 2003. Henrik Jensen Københavns Universitets Økonomiske Institut Hjemmeside: www.econ.ku.dk/personal/henrikj/makro1-e2003/
UGESEDDEL 4 MAKROØKONOMI 1, 2003 M -Ø Henrik Jensen Københavns Universitets Økonomiske Institut Hjemmeside: www.econ.ku.dk/personal/henrikj/makro1-e2003/ I uge 39 (23/9 og 26/9) har vi gennemgået: I.b.
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereVideregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
Læs mereGrundliggende regning og talforståelse
Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...
Læs merePlan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.
Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 31)
1 Bytteøkonomier (kapitel 31) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! (b) Vi har en "generel
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereKapitel 12: Valg under usikkerhed
1 November 25, 2008 2 Usikkerhed Usikre faktorer: Fremtidige priser Fremtidig (real)indkomst Vejret Andre agenters handlinger (strategisk interaktion).... Håndtering af usikkerhed: Forsikring (sundhed,
Læs mereDagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePrevalens af navnet Lars i det danske folketing
Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Ege Rubak Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 18. januar 011 Som udgangspunkt oplyses det fra Danmarks Statistik at der er 46.440 personer der
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereBM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47
BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model
Læs mereRollespil Projektsamarbejde Instruktioner til mødeleder
Instruktioner til mødeleder Introduktion Med dette rollespil træner I det lærte i lektionen Hjælp en kollega i konflikt. Der skal medvirke to personer, der skal spille henholdsvis Christian og Bente, hvor
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereEt generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige
Læs mereLyngby Fotoklub januar 2009
Lyngby Fotoklub januar 2009 Om Komposition Oplæg til en medlemsaften af Jørgen Aage Jensen og Finn Worsø Indledning Der findes eksempler på colleges i USA hvor man på fotograferingsuddannelserne afviser
Læs mereSpillernavn Klub Transfer-sum Ole Madsen Skævinge 67.000 kr Otto Skævben Døllefjelde 9.000 kr Lars Larsen Sengeløse 187.000 kr Viggo Lund KGB 885 kr
Word-6: Tabulatorer Tabulatorer i tekstbehandling bruges til at lave opstillinger af den slags, hvor tingene står pænt under hinanden. Tit forsøger folk at lave noget lignende ved at bruge mellemrums-tasten
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereProjekt Planlægning: PERT/CPM
Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5
25. februar 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5 Husk at eksamenstilmelding foregår i uge 9 & 0 (23/2-7/3). Hvis man møder op i auditorium 8 onsdag 3/3 kl. 3.5, kan
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereHvad sker der med Christan IV s skillingemønter under den store kroneudmøntning 1618-1622
numismatisk rapport 95 5 Hvad sker der med Christan IV s skillingemønter under den store kroneudmøntning 1618-1622 Der er ingen tvivl om, at den mest urolige periode i Christian IV s mønthistorie er årene
Læs mereKap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen
Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.
Læs meredpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer
Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også
Læs mereHvad skal man bruge for at kunne spille? Godt, du og din modspiller har hver især brug for et sæt kort med 60 kort, en mønt til at slå plat og krone
Hvad skal man bruge for at kunne spille? Godt, du og din modspiller har hver især brug for et sæt kort med 60 kort, en mønt til at slå plat og krone med og nogle brikker til at holde regnskab med din Pokémons
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSkole med vilje En højtpræsterende og skabende skole
Skole med vilje En højtpræsterende og skabende skole SMTTE-Modellen SMTTE - modellen har sit udgangspunkt i Pædagogisk Center i Kristiansand i Norge, og er i Danmark bl.a. beskrevet af Frode Boye Andersen
Læs mere1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereTØF Jernbanestrategien Fokus på innovation 22. juni Ole-Jan Nielsen NCC Roads A/S
TØF Jernbanestrategien Fokus på innovation 22. juni 2010 Ole-Jan Nielsen NCC Roads A/S 1 Udfordring Kompetence 2 En perfekt verden er netop perfekt, fordi den ikke er perfekt. Derfor giver det mening at
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereDagens program. Praktisk information:
Dagens program Praktisk information: Husk hjemmeopgaven i statistik Hypoteseprøvning kap. 11.2,11.3 og 11.8 Eksempel på test Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse kap. 11.3 Likelihood ratio
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereSkatteministeriet har 20. marts 2009 fremsendt ovennævnte udkast med anmodning om bemærkninger.
Skatteministeriet Nicolai Eigtveds Gade 28 1402 København K E-mail: pskper@skm.dk Foreningen af Statsautoriserede Revisorer Kronprinsessegade 8, 1306 København K. Telefon 33 93 91 91 Telefax nr. 33 11
Læs mereØvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet
29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende
Læs mereOPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL Indledning Den kolde krig er betegnelsen for perioden 1948 til 1989, hvor USA og USSR i kølvandet på anden verdenskrig
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mere