Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl
Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1 3. Pyhagoas såning... 3.1 Kaee og hyoense... 3. Pyhagoas' såning... 3.3 esem kaee med Pyhagoas' såning.... 3.4 esem hyoense med Pyhagoas' såning... 4. Sogbg... 3 4.1 ModsÇende inkel elle side... 3 4. eegnelse fo modsçende inkel elle side... 3 4.3 Od fo sidene i en einkle ekan... 3. Ensinklede ekane... 4.1 Od og meode i ogae om ensinklede ekane... 4. Simel ogae om ensinklede ekane... 4.3 Sammensa ogae om ensinklede ekane.... osins, sins, angens og Nsie... 7. osins, sins og angens i einkle ekan... 7.1 De e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan.... 7. Eksemle Ç degninge med cos, sin og an i einkle ekan... 8. Sinsfomlen fo aeal af ekan... 7 8.1 Sinsfomlen fo aeal af ekan... 7 8. eis fo sinsfomlen fo aeal af ekan... 7 8.3 Eksemle Ç bg af sinsfomlen fo aeal af ekan... 7 9. Sinselaionen... 8 9.1 Sinselaionen... 8 9. eis fo sinselaionen... 8 9.3 esem inkel med sinselaionen... 8 9.4 esem side med sinselaionen... 8 9. Ogae med o läsninge... 9 10. osinselaionen... 10 10.1 osinselaionen... 10 10. eis fo cosinselaionen... 10 10.3 esem inkel med cosinselaionen... 10 10.4 esem side med cosinselaionen... 10 11. Nogle begebe... 11 11.1 HÄjde... 11 11. Median... 11 11.3 Vinkelhaleingslinje... 11 11.4 Nogle beegnelse... 11 1. Sammensa ogae... 1 13. KadasÅninge... 1 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan... 13 De 4 fomle il degning af side og inkle i einkle ekan... 14 De 4 ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen... 1 De 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal... 1 De 3 fomle fo ilkçlig ekan... 1 14. E ande beis fo cosinselaionen... 17 14.1 osinselaionen... 17 14. eis fo cosinselaionen... 17 En idligee esion af dee häfe ha skife adesse il: h://ma1.dk/ekansbeegning_fo_b_og_a_niea_i_sx_og_hf_01.df I fålgende häfe e de Åelse, men ikke alle e eleane fo bgene af nääende häfe. h://ma1.dk/oeelse_il_haefe_kofae_ekansbeegning_fo_gymnasie_og_hf.df Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf, dgae Ç 014 Kasen Jl. Nyese dgae af dee häfe kan downloades fa h://ma1.dk/noe.hm. HÄfe mé benyes i ndeisningen his läeen med de samme sende en e-mail il kj@ma1.dk som olyse a dee häfe benyes, og olyse hold, niea, läe og skole. 19/-01
1. Vinkle. 180 180 90 180 I en ekan e de e inkle alid 180 ilsammen: 180 180 I ligebene ekan e inkle ed gndlinje lige soe, ds. nç = e =. l m His l og m e aallelle, e =. En inkel i en ekan e sids his den e nde 90 e his den e 90 sm his den e oe 90.. Tekans häjde og aeal..1 HÄjde. HÅjden fa e de linjesykke de gé fa og inkele ind É den modséende side. HÅjden fa gé inkele ind É den modséende sides folängelse. Siden e håjden fa.. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal. Fo ekane gålde: aeal = 1 häjde gndlinje Tekans aeal = En af håjdene i ekanen. 1 da Gndlinje, ds. den af sidene de e inkele É den alge håjde. a c d b Fomlen bges ikke kn il a besemme aeal. His i kende o af allene aeal, håjde og gndlinje, sé kan i besemme de sidse af allene..3 Eksemel ho aeal e kend. eal = 10 = 1 häjdegndlinje 1 h 8 19, 8 h aeal 10 1, LÄsning af ligningen den hjålemidle: 10 1 h 10 h 14 8 10 14 h 14 14 7, h h 7, LÄsning af ligningen med hjålemidle: Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 014 Kasen Jl
3. Pyhagoas' såning. 3.1 Kaee og hyoense. Sidene og eekanens kaee. De kan i se fodi inklen imellem og e e. Siden e hyoensen. De kan i se fodi ikke e en af kaeene. dasel: His en ekan ikke e einkle, sç ha den heken hyoense elle kaee. 3. Pyhagoas' såning. Pyhagoas såning som fomel Fo en einkle ekan gålde: nç og e kaee, og e hyoense. Pyhagoas såning i od GÄlde kn i einkle ekan. Den ene kaee i anden ls den anden kaee i anden e hyoensen i anden. 3.3 esem kaee med Pyhagoas' såning. Vi se: kaeene e a og hyoensen e 10 Defo e a 10 LÄsning af ligningen den hjålemidle: a 10 a 10 da 0<a a a 4 8 10 a LÄsning af ligningen med hjålemidle: 3.4 esem hyoense med Pyhagoas' såning. Vi se: kaeene e og 1 hyoensen e Defo e 1 LÄsning af ligningen den hjålemidle: 1 1 da 0< 19 13 1 LÄsning af ligningen med hjålemidle: Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 014 Kasen Jl
4. Sogbg. 4.1. ModsÇende inkel elle side. e modsçende inkel il siden l, og l e modsçende side il inklen, fodi l ikke säde o il. Vi se a m og n säde o il, sç m og n e ikke modsçende il. l w m e modsçende il m. w e modsçende il n. n 4. eegnelse fo modsçende inkel elle side. His de sç i ekan DEF e f 14 gålde de e siden oe fo inkelsidsen F de e 14. Sogbgen e nemlig sçdan a nç e so bogsa e en inkelsids i en ekan, gålde de ilsaende lille bogsa e siden oe fo inkelsidsen, D f E e d F his de ikke femgç ande. Eksemel Ç dnyelse af denne sogbg: I en ekan ho inkel e e, e a b c. dasel: Se fig il häje. De d ikke his d skie m =,. LÅseen kan ikke ide om de e elle de e,. Ski m Ç den side d mene. D skal alid egne en skise i en geomeiogae. M 4.3 Od fo sidene i en einkle ekan. Siden e en kaee fodi den säde o il den ee inkel. Siden e hyoensen fodi den ikke säde o il den ee inkel. Siden e den hosliggende kaee il inkel fodi e den af kaeene de säde o il inkel. Siden e den modsçende kaee il inkel fodi e den af kaeene de ikke säde o il inkel. dasel: Odene kaee og hyoense kan kn bges i en einkle ekan. Eksemle d n 8 k 3 w g e hosliggende kaee il n e hosliggende kaee il w h e modsçende kaee il inklen Ç 3 e modçende kaee il d e modçende kaee il w Hyoensen e 8 g e hyoense 7 h Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 3 014 Kasen Jl
. Ensinklede ekane..1 Od og meode i ogae om ensinklede ekane. PÇ figen ha jeg bg be il a ise hilke inkle de e lige soe: De o inkle med dobbelbe e lige soe. De o inkle med enkelbe e lige soe. De o sidse inkle mç sç Åe lige soe da inklene i en ekan ilsammen e 180. de o ekane ha samme inkle, dykke i ed a sige a ekanene e ensinklede. Regel: NÇ o ekane ha samme inkle, e de en skalafako. NÇ i gange sidene i den ene ekan med skalafakoen, sç fç i sidene i den anden ekan. PÇ figen ha jeg is a jeg ha alg a kalde skalafakoen k, og a jeg ha alg a de e sidene i ense ekan de skal ganges med skalafakoen. (1) 0k = 8 da sidene de e 0 og 8 ha lige soe modsçende inkle (dobbelbe). () 47k = da sidene de e 47 og ha lige soe modsçende inkle (ingen be). (3) nk = 4, da sidene de e n og 4, ha lige soe modsçende inkle (enkelbe). f (1) fç i k = 8 = 1,4 Vi ha n degne k og kan bge k il a degne og n. 0 f () fç i = 471,4 =,8 4, f (3) fç i n = = 33 1,4. Simel ogae om ensinklede ekane. Ogae Tekanene og DEF Ç figen e ensinklede. esem d og c. Sa Tekanene e ensinklede, sç de e de en skalafako som i gange side i med fo a fç side i DEF. c 4 D 9 1 F NÉ de i ogaen sé ode ensinklede, skal i nomal degne en skalafako. d E = 9 da sidene de e og 9, ha ens modsçende inkle. = 1, Vi ha diidee begge side med. Vi ha n degne og kan bge il a degne d og c. 4 = d da sidene de e 4 og d, ha ens modsçende inkle. 41, = d d =.. c = 1 da sidene de e c og 1, ha ens modsçende inkle. c 1, = 1 c =.8. Vi ha diidee begge side med 1,. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 4 014 Kasen Jl
.3 Sammensa ogae om ensinklede ekane. Ogae PÇ figen e aallel med DE. esem E. 1 E 1 Sa Da e aallel med DE, e ekanene og DE ensinklede, sç de e en skalafako k. Udegning af k : k 1 k 1 k 3 da sidene de e og 1, ha samme modçende inkel. Vi ha n degne k og kan bge k il a degne. D Ved hjäl af eglene fo ensinklede ekane kan i degne längde af side i ekanene, men E e ikke side i en af ekanene. Vi degne defo fås. SÉ kan i deefe degne E ed a Äkke fa 1. Udegning af : 3 1 3 1 3 3 7 Udegning af E : E E 1 7 14 da og siden de e 1, ha ens modsçende inkle.. osins, sins, angens og Nsie. I mange ogae med ekane ha i bg fo a egne med noge de hedde cosins, sins og angens. I e maemaikfel i e noeinde i Nsie ase i cos() og cl-ene (cmd-ene Ç Mac) : NÇ i låse denne ligning, sige i: cosins il e 0,898794. Flee degninge: NÇ i låse disse ligninge, sige i sins il 138 e 0,9131 og angens il 1, e 0,7194. His e en inkel i en ekan og 7cos() = 4, sç skal i läse denne ligning. Ligningen ha mange osiie og negaie läsninge, men da e en inkel i en ekan, skal i kn finde läsninge mellem 0 og 180. Nsie läse ligningen 7cos() = 4 mh. fo 0<<180 og fç =,101. His e en inkel i en einkle ekan, skal i kn finde läsninge mellem 0 og 90. HUSK: Oe sole-linjen skie i med sädanlig maemaiksog had de foegé i solelinjen. HUSK alid: HÅjeklik, ibe, Gade fo a Äe hel sikke. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 014 Kasen Jl
7. osins, sins og angens i einkle ekan. 7.1 De e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan. NÇ sç gålde: e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee e ' s modsçende kaee cos( ) ds. hyoense gange cos() e 's hosliggende kaee sin( ) ds. hyoense gange sin() e 's modsçende kaee an( ) ds. 's hosliggende kaee gange an() e 's modçende kaee I mange ilfålde hedde inklen og sidene noge ande end,,,. Defo e de ofe en fodel a dykke eglene i od som i ha gjo il ense fo fomlene. 7. Eksemle Ç degninge med cos, sin og an i einkle ekan. 7. a Ogae esem inkel. Sa f den einklede ekan D fç i sin( ). Nsie läse ligningen sin( ) mh. fo 0 90 og fç, 447,4. 0 7. b Ogae esem. Sa D f den einklede ekan D fç i cos( 0). Nsie läse ligningen cos( 0) mh. fo 0 og fç 7, 778 7,78. 7. c Ogae 30 mee fa e Å sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e. Tekanen il häje e en model af denne siaion. esem Åes häjde. h Sa f denne einklede ekan fç i 30 an() h. TÅes häjde e 38 m. 30 Enhed: mee Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 014 Kasen Jl
8. Sinsfomlen fo aeal af ekan. 8.1 Sinsfomlen fo aeal af ekan. Sinsfomlen fo aeal af ekan e T 1 sin( ) ho T e aeale, og e o side i ekanen, og e inklen mellem disse side. T Fomlen bges ikke kn il a besemme aeal. His i kende e af allene T,, og, sé kan i besemme de sidse af allene. Sinsfomlen fo aeal af ekan dyk i od: eal af ekan = 1 den ene side den anden side sins il inklen imellem de o side. 8. eis fo sinsfomlen fo aeal af ekan. PÇ figen egne i en häjde h de dele ekanen o i o ekane. f den ense af disse og af fomlen fo sins i einkle ekan fç i: sin() = h f häjde-gndlinje-fomelen fo ekans aeal fç i: aeal = 1 häjde gndlinje h T = 1 h T = 1 h Hei esae i h med sin(). Oenfo sç i a sin() = h. T = 1 sin() Dee e sinsfomlen fo ekans aeal, sç i ha beis a den gålde. 8.3 Eksemle Ç bg af sinsfomlen fo aeal af ekan. Ogae eale af ekan D e 31,. esem långden af D. esem aeale af ekan D. Sa Da aeal af ekan D e 31,, fç i af sinsfomlen fo aeal af ekan: 31, = 0, D sin(110). Nsie läse ligningen 31, = 0, D sin(110) mh. D og fç D = 13,41 13, D 110 9 3 f ekan D og sinsfomlen fo aeal af ekan fç i: eal af ekan D e Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 7 014 Kasen Jl
9. Sinselaionen. 9.1 Sinselaionen. Sinselaionen gålde i alle ekane og sige a ho sin( ) sin( ) siden e modsçende il inklen siden e modsçende il inklen Vi bge IKKE sinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 9. eis fo sinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde h, de dele ekanen i o ekane. Da disse e einklede, e sin( ) h og sin( ) h. sin( ) sin( ) da begge side e lig h. sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) Vi ha diidee begge ligningens side med sin( ) sin( ). Vi ha fokoe de o bäke. sin( ) sin( ) Dee e sinselaionen, sç i ha beis a den gålde. h 9.3 esem inkel med sinselaionen. Ogae esem inklen Ç figen. Sa 34 34 f sinselaionen fç i sin( ) sin(110). Nsie läse ligningen 34 mh. fo sin( ) sin(110) 0 180 og fç 37, 9094 elle 14, 091 ds. = 37,9 fo mç Åe minde end 90 da en af de ande inkle e oe 90. 110 9.4 esem side med sinselaionen. Ogae esem siden b Ç figen. Sa Vi fç bg fo siden b 's modsçende inkel: = sé den fo maemaikfele. ibe skal Äe = og gade. TilfÅj efe faci. b f sinselaionen fç i: sin( 48) sin(10) 7 b Nsie läse mh. b fo 0b og fç b 4, 11. Ds.: b = 4, sin( 48) sin(10) 10 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 8 014 Kasen Jl
9. Ogae med o läsninge. Ogaen I ekan e (* ) 34, a og c 8. Vi il degne inkel. Skisen Vi egne en skise: Udegningen Vi såe ind i sinselaionen: 8 sin(34) sin( ) Nsie läse denne ligning mh. fo 0 180 og fç: 3, elle 11, De o ekane De ise sig a de e o ekane de ofylde (*). I den ene af disse ekane e 3,, og i den anden e 11,. Vi il egne de o ekane. FÄs egne i og inkel. 34 l 8 Pnke ligge Ç l, og afsanden fa il e. Defo egne i en cikel med cenm og adis : N ha i de o ekane. l 34 8 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 9 014 Kasen Jl
10. osinselaionen. 10.1 osinselaionen. osinselaionen gålde i alle ekane og sige a ho cos( ), og e ekanens side siden e modsçende il inklen Vi bge IKKE cosinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 10. eis fo cosinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde. n = m n = ( m) Dee se i Ç figen. Vi ha oläfe begge side il anden. (1) n = + m m Vi ha omskee häjesiden ed hjål af en af kadasåningene. Se afsni 13. HÄjden dele ekanen i o einklede delekane. f den ense fç i () cos() = m Hyoense gange cos() e 's hosliggende kaee. h + n = og h + m = Vi ha bg Pyhagoas Ç he af de o delekane. h = n og h = m Vi ha kke samme al fa Ç begge side. n = m Da begge side e lig h. = m + n Vi ha lag n il begge side. = m + + m m Vi ha esae n med häjesiden fa (1). = + m De o led m og m e gçe d mod hinanden = + cos() Vi ha esae m med ensesiden af (). Dee e cosinselaionen, sç i ha beis a den gålde. m h n 10.3 esem inkel med cosinselaionen. Ogae esem inklen Ç figen. Sa f cosinselaionen fç i: 3,,4,0,4,0 cos( ) 3,,4 Nsie läse ligningen 3,,4,0,4,0 cos( ) mh. fo 0 180 og fç 3, 09. Ds.: = 3,1.,0 10.4 esem side med cosinselaionen. Ogae esem siden Ç figen. Sa f cosinselaionen fç i: = 8 + 4 84cos(9) Nsie läse ligning = 8 + 4 84cos(9) mh. fo 0 og fç 1, 93. Ds.: =,0. 9 4 8 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 10 014 Kasen Jl
11. Nogle begebe. 11.1 HÄjde. En häjde i en ekan e e linjesykke de gç fa en inkelsids il e nk Ç den modsçende side og e inkele Ç denne side. I enhe ekan e de e häjde. PÇ figen e is häjden ha fa Ç siden a. F.eks.: His de i en ogae e olys a D e häjden Ç (se fig), sç ha d fçe olys a inkel D e e. SÇ kan d bge eglene fo einkle ekan. h a D 11. Median. En median i en ekan e e linjesykke de gç fa en inkelsids il midnke af den modsçende side. I enhe ekan e de e mediane. D PÇ figen e is medianen mb fa Ç siden b m b His de i en ogae e olys a D e median Ç (se fig), sç ha d fçe olys a D og D e lige lange: F.eks.: His d kende D elle kan degne D, sç kan d degne ed a gange D med. F.eks.: His d kende elle kan degne, sç kan d degne D ed a diidee med. 11.3 Vinkelhaleingslinje. En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gç gennem en af inkelsidsene og halee inklen. I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÇ figen e is inkelhaleingslinjen fo inkel. w w His de i en ogae e olys a D e inkelhaleingslinje fo inkel D (se fig), sç ha d fçe olys a inklene og e lige soe: F.eks.: His d kende elle kan degne, sç kan d degne inkel i ekan ed a gange med. F.eks.: His d kende inkel i ekan elle kan degne den, sç kan d degne inkel ed a diidee inkel med. 11.4 Nogle beegnelse. e inkel i ekan. Eksemel: PÇ figen e RSQ. S R e linjesykke med endenke og. e långden af linjesykke. Eksemel: PÇ figen e PQ og PS ikke samme linjesykke, men PQ PS. I en ekan beegne, og bçde nke og inkle. Eksemel: Man kan skie P 90 elle P 90. P Q Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 11 014 Kasen Jl
1. Sammensa ogae. En gndogae i ekansbeegning kan d läse ed a finde ogaen i oesigen side 13-1. En sammensa ogae kan d ikke läse ed a finde ogaen i en låebog da de e al fo mange mlighede. Meningen med en sammensa ogae e a d skal se hodan d kan läse den ed hjål af gndogae. I mange sammensae ogae e de egne e linjesykke som dele en ekan o i o delekane. Fo a finde d af had d skal gäe, kan d egne de e ekane he fo sig og skie al og bogsae Ç dem. NÇ d ha egne de e ekane, se d om de e en af dem ho d kan egne noge d. His de d ha egne d, ogsç e en side elle inkel i en af de ande ekane, sç skie d ogsç eslae he. De e iså igig a egne den soe ekan da de ise sig a linjen inden i den e disaheende nç man egne Ç den soe ekan. 13. KadasÅninge. De e kadasåninge: Kadae Ç en sm: Kadae Ç en diffeens: ( a b) a b ab ( a b) a b ab To als sm gange samme als diffeens: ( a b)( a b) a b Sogbg: kadae Ç e al = alle oläfe il anden. Eksemel: kadae Ç 4 = 1 og kadae Ç 3x = 9x. Eksemle Ç bg af kadasåningene: Kadae Ç en sm: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b Kadae Ç en diffeens: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b To als sm gange samme als diffeens: (3x ) (3x ) (3x) ( a b) ( a b) a b 9x Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 014 Kasen Jl
De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il häje e sidene med långde 3 og 4 kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med långde e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. Den kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. Den anden kaee e inklens modsçende kaee. 4 3 Tye 1 Tye Tye 3 Hyoensen og en sids inkel. Vinklens hosliggende kaee. cos(37) Nsie degne ense side inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen En sids inkel og dens hosliggende kaee. Hyoensen. cos( 37) 4 Nsie läse mh. inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Hyoensen og en kaee. Vinklen mellem disse. cos( ) 4 Nsie läse mh. fo 0 90 37 37 4 inklens sids inkel hyoensen hosliggende kaee 4 Tye 4 Tye Tye Hyoensen og en sids inkel. Vinklens modsçende kaee. sin (37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens modsçende kaee. Hyoensen. sin ( 37) 3 Nsie läse mh. Hyoensen og en kaee. Kaeens modsçende inkel. sin ( ) inklens sids inkel hyoensen inklens sids inkel hyoensen 3 modsçende kaee modsçende kaee Nsie läse mh. fo inklens modsçende kaee sids inkel hyoensen 0 90 37 37 3 3 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 13 014 Kasen Jl
Tye 7 Tye 8 Tye 9 En sids inkel og dens hosliggende kaee. Vinklens modsçende kaee. 4 an(37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens modsçende kaee. Vinklens hosliggende kaee. an( 37) 3 Nsie läse mh. De o kaee. En sids inkel. 4 an( ) 3 inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Nsie läse mh. fo inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee 0 90 37 37 4 4 3 3 Tye 10 Tye 11 De o kaee. Hyoensen. 3 4 hyoense kaee Nsie läse mh. fo Hyoensen og en kaee. Den anden kaee. 4 Nsie läse mh. fo hyoense kaee 0 0 4 4 3 De 4 fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af fälgende fie fomle: I en einkle ekan gålde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gålde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee (3) hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsående_kaee (4) inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsående_kaee Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 14 014 Kasen Jl
De 4 ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. En inkel mellem o side og disse o side. Siden oe fo inklen. alid cos(41,4) inklensben siden oe fo inklen Nsie läse ligningen mh. fo 0 41,4 Tye 13: 4 Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. De e side. Vinklen. alid cos( ) inklensben siden oe fo inklen Nsie läse ligningen mh. fo 0 180 4 Tye 14: Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. En side og o inkle. En af de ande side. sin( 41.4) sin( 8.8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 41,4 Nsie läse ligningen mh. fo 0 41,4 His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, sç mçe i fäs degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e 180. 8,8 Tye 1: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. To side og inklen oe fo en af dem. Vinklen oe fo den anden af de o side. 4 8,8 sin( 4 ) sin( 8,8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e 4 enhede, ligge oe fo inklen af säelse Nsie läse ligningen mh. fo 0 180 Nsie gie bçde en läsning nde 90 og en läsning oe 90. Hsk a begnde hilken af läsningene de skal bges. I dee ilfålde kan begndelsen Åe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den säse i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 014 Kasen Jl
De 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal Tye 1 eale e alid 1 To side og inklen mellem dem. eale. T 1 sin(41,4 ) inklen skal Åe mellem disse side Nsie degne ligningens häje side. T 41,4 Tye 17 alid 9,9 1 eale, inklen mellem o side og en af de o side. Den anden af de o side. 1 sin(41,4 ) Nsie läse ligningen mh.. inklen skal Åe mellem disse side 9,9 41,4 Tye 18 alid 9,9 1 eale og o side. Vinklen mellem de o side. 1 sin( ) inklen skal Åe mellem disse side Nsie läse ligningen mh. fo 0 180. Ligningen ha bçde en läsning nde 90 og en läsning oe 90. His ogaen e i en Äe, sç il de Åe flee olysninge sç de femgç hilken af de o ekane ogaen deje sig om. 9,9 De 3 fomle fo ilkçlig ekan He af meodene 1-18 bge en af fälgende e fomle: I alle ekane gålde 1 () T sin( ) nç T e ekanens aeal og e inklen mellem sidene og. () sin( ) nç e siden oe fo inklen og e siden oe fo inklen. sin( ) (7) cos( ) nç, og e sidene og e inklen mellem og. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 014 Kasen Jl
14. E ande beis fo cosinselaionen. 14.1 osinselaionen. osinselaionen gålde i alle ekane og sige a ho cos( ), og e ekanens side siden e modsçende il inklen Vi bge IKKE cosinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 14. eis fo cosinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde. h Vi bge yhagoas Ç den häje af de o einklede ekane og fç: m n = h + n I denne ligning esae i h med m (yhagoas bg Ç den ense af de o einklede ekane, se (1)), og i esae n med m (da m og n ilsammen e ). SÇ fç i = m + ( m) Hei ( ds. i = m + ( m) ) esae i m med cos() (Vense ekan: hyoense gange cos e inkels hosliggende kaee, se ()). = (cos()) + ( cos()) Nsie edcee häje side (se (3)) og fç = + cos() Dee e cosinselaionen som hemed e beis. emåkninge (1) m +h = e yhagoas bg Ç den ense af de o einklede ekane h = m i ha kke m fa begge side () I den ense af de o einklede ekane se i a e hyoense m e hosliggende kaee il inklen sç cos() = m da hyoense gange cosins il inkel e lig inkels hosliggende kaee. (3) NÇ Nsie edcee, se de sçdan d: Vi se a Nsie fç samme e led som i ha skee, men Nsie skie de e led i en anden ÅkkefÄlge. De e led e, og. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 17 014 Kasen Jl
Sikodsegise aeal 1, 7, 1 aeal og sins 7 beis fo cosinselaionen 10, 17 beis fo sinsfomlen fo aeal af ekan 7 beis fo sinselaionen 8 cosins cosins og Nsie cosins i einkle ekan, 13, 14 cosinselaionen 10, 1, 17 ensinklede ekane 4, hosliggende kaee 3, 13, 14 hyoense, 13, 14 häjde 1, 11 häjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal 1 kaee, 13, 14 kadasåninge 1 median 11 modsçende kaee 3, 13, 14 modsçende side 3 modsçende inkel 3 Pyhagoas' såning, 14 e inkel 1 einkle ekan 13, 14 sammensa ogae 1 sins, 7 sins i einkle ekan, 13, 14 sins og Nsie sinsfomel fo aeal 7 sinselaionen 8, 1 skalafako 4 sids inkel 1 sm inkel 1 angens angens i einkle ekan, 14 angens og Nsie o läsninge 9 ilkçlig ekan 1 inkel 1, 11 inkelhaleingslinje 11