Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o inpus. Den ene er ved a modellere de relaive forhold mellem de o varer, og den anden er ved a modellere den ene vare på baggrund af de samlede budge il de o varer. I dee papir gennemgås fordele og ulemper ved de o måder, og der gives e konkre eksempel. Konklusionen er, a på grund af simulaionsvanskeligheder ved den relaive formulering vælges de a modellere den ene vare på baggrund af de samlede budge il de o varer. GRH0807 Nøgleord: Forbrugssysem, nese CES, effekiviesindeks Modelgruppepapirer er inerne arbejdspapirer. De konklusioner, der drages i papirerne, er ikke endelige og kan vfre Fndre inden opsillingen af nye modelversioner. De hensilles derfor, a der kun cieres fra modelgruppepapirerne efer afale med Danmarks Saisik.
. Indledning I dee papir gennemgås fordele og ulemper ved o forskellige formuleringer af en effekiviesudvide CES-funkion. Uden effekiviesindeks kan en o-vare- CES-funkion opskrives på o ækvivalene måder. Den ene er en relaion for de relaive forhold, og den anden er en for den ene vare ud fra de samlede budge il de o varer. Med effekiviesindeks er forskellen hvilken funkionel form, der ønskes. Udgangspunke er, a der ønskes en lineær relaion, hvilke beyder, a de har beydning for den funkionelle form, hvilken opskrivning der benyes, da de eoreisk korreke prisaggrega approksimeres med e Törnqvis prisaggrega. Konklusionen er, a selvom opskrivning i relaive forhold er a forerække både på grund af simulaniesbias, og da man undgår, a benye de kun approksimaiv korreke Törnqvis prisindeks på ande end effekiviesrenden, så giver denne formulering simulaionsproblemer. Endvidere giver opskrivningen i relaive forhold lid knas i relaionen for serviceydelser versus andre forbrugsvarer, hvor den anden formulering ser ud il a have en bedre funkionel form. I afsni gennemgås de o forskellige funkionelle former, og deres fordele og ulemper diskueres. E hel konkre eksempel gives i afsni 3, hvor problemerne med serviceydelser og andre forbrugsvarer illusreres. Afsni 4 beskriver, hvordan man muligvis kan snyde PCIM il a simulere den relaive model. Endelig konkluderes i afsni 5.. To funkionelle former Der findes minds o måder a opskrive eferspørgslen for en vare, hvor nyefunkionen er en effekiviesudvide CES-funkion, jf. GRH806. Den ene er: p log x = σ log ( θ ) log p (.) ( ) ( x ) ( σ ) log e ( x ) + log + og den anden er: ( ) log x 0 log p ( ) log e x = α σ + σ (.) x p e ( x ) Hvor priserne p, p og den overordnede forbrugsnye x er give. Hermed er eferspørgslen efer begge varer x og x give, blo der suppleres med o eksra ligninger, nemlig: p p x = x x p p (.3) [,,, ] p = F p p x x (.4) Der skal vælges en funkionel form for effekiviesindekse. De leese er:
3 a Y ( e ( x )) = log ( x ) log σ for den førse formulering og: e ( x ) a log Y = log ( x ) e ( x ) σ for den anden. Indsæes disse fås: p log x = α σ log + αy log x p og x p log = α σ log + αy log x x p ( ) ( ) 0 (.5) (.6) (.7) (.8) For a gøre aling mege nemmere benyes e superlaiv prisindeks Törnqvisprisindekse i sede for de eoreisk korreke. Dee giver sor se ingen bias i esimaionen, dog kan de give inkonsisene langsigsegenskaber. α ulig, så vil den i udgangspunke være sørre end for den ene vare og Er Y mindre end for den anden. De vi esimerer, er en gennemsnilig elasicie for den observerede periode. Når der benyes e Törnqvisprisindeks, så er de o funkionelle former forskellige. Er den førse som give af (.5), så kan den anden umulig være af formen give ved (.6), når der benyes e prisindeks ande end de eoreisk korreke. En vares budgeelasicie kan være konsan mindre end en, hvilke vil beyde, a den kommer il a udgøre en mindre og mindre andel af budgee. Asympoisk vil den gå mod a udgøre en uendelig lille del af budgee. Budgeelasicieen for den anden vare er hermed i udgangsposiionen sørre end en, men vil i ak med a den kommer il a udgøre en sørre og sørre del af budgee gå mod en. Er en vares budgeelasicie konsan sørre end en, så vil den vokse mere end budgee. På e idspunk før endepunke vil den udgøre en så sor andel, a den anden vare må afage i sigende budge og il sids blive negaiv. Dee er en mege uheldig egenskab. Alså er de vigig a sikre sig, a benyes den førse opskrivning, så skal de alid vælges a modellere den vare med den sørse budgeelasicie residual. Den anden formulering er umiddelbar mere sikker. Her angives ikke en konsan indkomselasicie for en af varerne, men en konsan forskel på deres indkomselasicieer. Er varegrupperne lige sore, så vil deres indkomselasicieer summe il. Har den sørse varegruppe en indkomselasicie på over en, så vil de summe il mindre end, og de vil summe il mere end, hvis den har den mindse. Den vare med en indkomselasicie på over, vil igen gå mod a fylde hele budgee. Med en α numerisk mindre en, så vil de ande forbrugsgode gå mod a have en Y
4 indkomselasicie på -α Y i ak med, a de førse gode nærmer sig en indkomselasicie på. Er indkomselasicieen numerisk sørre end, så vil den anden vare på lang sig gå mod a have en negaiv indkomselasicie. Alså er de for de langsigede egenskaber beds a resrikere α Y il a være mellem - og. Dog kan indkomselasicieen på mellemlang sig være pæn selv med en α Y numerisk sørre end. Umiddelbar har vi ønske a modellere alle formler i relaive forhold - alså ved hjælp af ligning (.). Der har være flere årsager il dee. For de førse forvenes simulaniesskævheden ved esimaionerne a blive mindre mere om dee i GRH7807. For de ande mener Asger, a de vil være mes eoreisk korrek med en Taylor approksimaion for effekiviesindeksene i de relaive forhold. Ved mes eoreisk korrek mener Asger, a probleme ved a benye Törnqvisprisindekse bliver isolere il rendledde. Så umiddelbar var der enighed om a prøve denne modellering. De sore problem opsod, da modellen skulle simuleres. Umiddelbar havde jeg ænk mig a have boliger og brændsel i samme nes. Jeg ombeseme mig dog senere jf. GRH06807. Modellen kunne simuleres, når der blev valg en ilsrækkelig dæmpningsfakor, hvilke ikke er speciel rar a være vunge il a have inde i modellen eller for den sags skyld er særlig beryggende for simulaionerne fremover. Hel gal gik de dog førs, da jeg inkluderede brændselsforbruge i syseme. Så kunne der ikke simuleres selv med dæmpningsfakorer. Asger foreslog, a sæe den mindse af de o variabler i ælleren. Tidligere havde jeg i ælleren sa den med den mindse indkomselasicie. Dee hjalp dog ikke på probleme. Min umiddelbare konklusion må derfor være, a selvom de skulle lykkedes a rykke rund på ligninger, så delsyseme kan simuleres med en dæmpningsfakor, så vil de være for usabil a inkludere i den samlede formelfil. Selvom de skulle gå god denne gang, så ligger der en poeniel russel mod sabilieen af syseme, og hvis de førs går gal om nogle år, så kan de også age lang id a lokalisere, hvor de gik gal og ree op på de. En redje mulighed er a benye den relaive formulering, men a snige sig udenom, a skulle definere den ene vare residual, da vi ror, de er her PCIM får problemer. Denne fremgangsmåde er endnu ikke implemenere, men hvis den virker, er de muligvis den bedse løsning. Hvordan denne fremgangsmåde vil foregå er beskreve i afsni 4. Den er dog esimere på samme måde som den anden formulering af de relaive forbrug, så kriikken fra afsni 3 gælder også mod den. 3. Eksempel: Serviceydelser og andre forbrugsvarer Forbrug eksklusiv bolig, ranspor og brændsel deles ud på serviceydelser og forbrugsvarer. I dee eksempel sammenlignes egenskaberne ved e sysem opsille på baggrund af (.) med e sysem opsille på baggrund af (.). Lige præcis dee eksempel udvælges, da de er her der er sørs forskel på priselasicieer samidig med, a der her indføres de srengese resrikioner på
5 renden i den relaive relaion. Udover ligningerne (.) og (.) ilføjes dog fri korsigsdynamik. Langsigsrelaionerne er esimere som: pcfv log fcfv =.7.0* log + 0.34*log ( fcsfv) (.9) (0.6) (0.6) pcsfv (0.06) fcs pcs log = 7.88.57*log +.80*log ( fcsfv) (.0) fcfv (.55) (0.76) pcfv (0.36) Pålægges resrikionen med α Y mindre eller lig numerisk fås: fcs pcs log = 4.6 0.0* log + *log ( fcsfv) (.) fcfv (0.) (0.44) pcfv For a få en rimelig langsige priselasicie bindes den il a være lig den langsigede: fcs pcs log = 4.9 0.87*log + *log ( fcsfv) (.) fcfv (0.9) (0.3) pcfv E par ing er umiddelbar værd a bemærke. Subsiuionselasicieen er omkring en for begge formuleringer, men lid mere usikker besem i den relaive ligning. Generel ser den relaive ligning ud il a være præge af mere usikkerhed, hvilke kan yde på, a den funkionelle form af a inkludere den lineære rend i relaionen for fcfv fier bedre. Endvidere kan den langsigede rend ikke lide a blive bunde il i den relaive ligning. Hver af de re ligninger (.9), (.0) og (.) giver e bud på de srukurelle niveau for forbruge af serviceydelser give de andre variabler. Endvidere giver alle ligninger også e bud på indkomselasicieen i de re ligninger. I ligning (.9) er den give direke og er lig 0,34. For de andre ligninger skal den beregnes. Disse beregnede indkomselasicieer afhænger af niveaue af indkomsvariablen (her: fcpsfv). Tabel viser indkomselasicieerne beregne i år 003 og i 967. Ved ligning (.0) er indkomselasicieen falde fra 0,35 il 0,06, mens den for ligning (.) er falde fra 0,53 il 0,44. Alså er den langsigede indkomselasicie mege afhængig af specifikaionen og parameerresrikioner. Ikke så overraskende rammer den ikke-resrikerede model bedre end den resrikerede, men de ser ud il den ikke-relaive model (.9) har svær ved a forklare i saren af perioden. I 003 har den resrikerede model (.) e langsige niveau der ligger lang fra de observerede, mens den ikke-relaive model (.9) i 967 har e uroværdig lav ligevægsniveau. Tabel viser også resulaer for år 038. Jeg har fremskreve med uændrede priser og en signing på pc. om åre i indkomsvariablen. Forbruge af andre varer, fcpfv, er give ud fra budgebeingelsen: pcsfv pcs fcfv = fcsfv fcs pcfv pcfv (.3) med uændrede priser og en signing i forbruge på pc. om åre.
6 Tabel. Langsigede niveauer og indkomselasicieer i de re modeller. fcsfv/ fcs/u fcfv/u pcs pcfv U pcsfv Indk.elas. for fcfv 003 Fakisk 40.6 4.4.05.05 83.0.05 (.9) 43.66 39.35.05.05 83.0.05 0.34 (.0) 43.04 39.97.05.05 83.0.05 0.06 (.) 46.4 36.77.05.05 83.0.05 0.44 038 (.9) 6. 49.8.05.05 66.0.05 0.34 (.0) 3.07 34.95.05.05 66.0.05-0.4 (.) 8.78 47.4.05.05 66.0.05 0.8 967 Fakisk 7.55 9.44 0.6 0. 47.67 0.8 (.9) 6.0 4.65 0.6 0. 47.67 0.8 0.34 (.0) 7.8 30.49 0.6 0. 47.67 0.8 0.35 (.).7 5.40 0.6 0. 47.67 0.8 0.53 For den uresrikerede relaive model (.0) falder indkomselasicieen il under nul og er -0,4 i 038 i fremskrivningen. De virker uroværdig med en implicere indkomselasicie for andre varer under nul. Samidig bliver den endda af en re høj sørrelse i den uresrikerede model. Konklusionerne fra dee afsni må være, ) a den funkionelle form for effekivieseffek har sor indflydelse, ) a de er nødvendig a resrikere den relaive model for ikke a få uroværdige effeker, 3) resrikionerne har sor beydning for de implicerede langsigede elasicieer. Al i al er ovensående konklusion ikke særlig beryggende. For ikke a få uroværdige egenskaber skal man i den relaive model påvinge resrikioner i modsrid med empirien. Min holdning er, a så skal man hellere benye den ikke relaive model. Denne påvinger måske en urealisisk anagelse om en konsan indkomselasicie for andre varer, men i de mindse har man så re mege snor i, hvad den er og undgår andre resrikioner på denne parameer. 4. Den redje vej; eller hvordan man muligvis kan snyde PCIM Dee afsni vil opsille en alernaiv formulering, som dog sadig er a opsille modellen som relaive forbrug. Formåle er a få skreve nogle ligninger som PCIM ikke går ned af. I JAO0D00 vises de, a for CES-funkionen gælder følgende ligning: C θ p = px θ p hvor noaionen følger den fra GRH806. σ (.4)
7 Med effekiviesindeks bliver ligningen: σ C θ p / e = θ / p x p e σ θ p = θ p e hvor e = e / e. Her kan eferspørgslen efer vare isoleres: C x = σ θ p p + e θ p På ilsvarende måde kan eferspørgslen efer vare findes som: C x = σ θ p p σ + e θ p De relaive forbrug var jf. GRH806 give ved: hvilke kan omskrives il: x x σ θ p = θ p σ θ p p x p x = θ p e σ (,, ) σ e xlr p p e (.5) (.6) (.7) (.8) (.9) Alså kan eferspørgslerne skrives som: C x = + xlr p (.0) C x = + xlr p (.) Som i GRH806 ønskes de dog kun a beskrive den langsigede eferspørgsel på denne måde. Den korsigede eferspørgsel ønskes give ved: x, p, D log = φpd log + φed log ( e ) x, p, * (.) x, x, γ log log x, x, hvilke kan omskrives il: og igen il: φp φ γ E,,,, e, / = / / xlr,,,,, x x p p x x x p p e x φp φ γ E,,,, e,,, / / χ,,,,,,, p x p p x p x = xsr p x p p e x p x Vare kan isoleres, hvilke giver: (.3) (.4)
8 xsr x = p x (.5),,, p, Dee kan indsæes i budgebeingelsen: p x + p x = C (.6),,,, De o varer kan isoleres og eferspørgslen efer de o varer kan findes som: C x, = (.7) + xsr p hvor x,, C = (.8) + xsr p, p log xlr = a0 + log + log e p, ( σ ) ( σ ) ( ), φp p D log xsr D log D log e, ( ) = ( φ ) + φ ( ) P E p, x γ log x,, log ( xlr ) (.9) (.30) Ovensående formulering har samme egenskaber som den model, der ikke kan simuleres. Til gengæld er den bleve opskreve i PCIM og der kunne uden problemer simuleres. Alså er den e robus alernaiv. Mege yder på, a denne formulering bliver den der vælges. Der er dog sadig spørgsmåle om, hvordan J-leddene sæes og flere mindre dealjer, der skal afgøres. 5. Konklusion CES-eferspørgselsfunkionen kan opskrives både som en relaiv ligning og som en ligning på baggrund af de aggregerede forbrug af de o komponener. Begge dele er forsøg. Opsillingen af de relaive forbrug kræver, a man i PCIM er lid mere kreaiv, men begge dele kan lykkedes. Umiddelbar ser de ud il, a den mere kreaive meode, hvor de relaive forbrug opsilles er den, der vil blive benye. Ved modelgruppemøde kom de frem, a Thomas Thomsen også benyer meoden beskreve i afsni 4 i EMMA, og a den virker upåklagelig. Spørgsmåle drejer derfor mere i rening af en diskussion om funkionel form på effekiviesindekse og mindre i rening af, hvad der kan simuleres i PCIM. Mere om dee i GRH0807.