Indekserede Obligationer

Transkript

1 Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder Handels Højsolen i Århus 001

2 Indholdsforegnelse 1 INDLEDNING... 1 BARRIER OPTION....1 INTRODUKTION.... PRIFATÆTTELE AF BARRIEREOPTIONER Den eoreis esae prisformel ENDELIG-DIFFEREN-METODE aionariesbeingelser og onvergens Beregning af værdien for opionen FØLOMHEDANALYE OG EALUERING AF BARRIEREOPTIONER Dela og Gamma ega og Thea AMMENFATNING TIAFHÆNGIGE OPTIONER DE FORETÅENDE AIATIKE OPTIONER PRIFATÆTTELEN AF DE AIATIKE OPTIONER De indgående paramere MONTE CARLO IMULATION OG BA IMPLEMENTERING BA implemenering PRIFATÆTTELE OG FØLOMHEDANALYE AF AIAN RATE OPTION AMMENFATNING AKTIEINDEKEREDE OBLIGATIONER KONTRUKTIONEN AF OBLIGATIONEN Forudsæninger alg af indes Design af opionsdelens araerisia FØLOMHEDANALYE OG EALUERING AF PRODUKTERNE ALGMULIGHEDER DEN INDEKEREDE OBLIGATION ALGMULIGHEDER KONKLUION... 4

3 1 Indledning Indeserede obligaioner har længe være populære inveseringsobjeer i vore nabolande men er er førs for alvor ved a finde indpas i Danmar. idse år blev der igennem Danse Andelsasser Ban A/ udsed indeserede obligaioner på bl.a. enologiaier sam de sørse globale indes. Igen i år prøves lyen hvor obligaionerne ilnyes andre sore poenielle gazeller som healh care-aier sam de japanse Nieiindes. Invesor sår nu overfor disse nye inveseringsmuligheder der loer med garaniafas under ampråbe aieinveseringer med sierhed mod ab. Men bliver invesor før bag lyse eller er disse produer pure guldfund? Al dee afhænger af onsruionen af den indeserede obligaion hvile ydelig vil fremgå i de nedensående analyser. De onree delelemener ved vurderingen af sådanne obligaionsproduer med ilnye opion indebærer i høj grad e få forsåelse for de indbyggede opioners egensaber. Da banen har e for-definere ønser om a opionsdelen sal beså af barrier ypen eller sær siafhængige asiaise- elle Loobac opioner vil vi i apiel henholdsvis 3 analysere disse opionsyper. Analysens hovedformål er a få belys de forsellige opioners egensaber deres prisdannelse sam risioforhold ved forsellige parameer værdier. luelig i apiel 4 vil vi onsruere e indeserede obligaionsprodu på basis af analyserne foreage i de foregående o apiler. Hovedformåle med onsruionen af produe er a sræddersy nogle egensaber som er araive for en ræe invesorer privae som insiuionelle således produe i sidse ende an sælges. Den enise del af opgaven vedrører vurdering af forsellige numerise meoder il værdiansæelse af opioner herunder endelig-differens meode og Mone Carlo simulering sam programmel BA implemenering. I opgaven forudsæes de a vi befinder os i en Blac-choles verden hvorved de gængse forudsæninger for anvendelsen af Blac-choles ligningen er opfyld. Ide den indeserede obligaion vil blive basere på e underliggende enologiindes hvor virsomhederne bag næppe er de sore udbyebealere er analysen af barriereopionerne i opgave 1 sam de asiaise opioner i opgave foreage uden indbefaelse af dividende. 1

4 Barrier Opions I de ommende apiel vil grundanegangen bag barriereopioner og deres egensaber blive fremlag. Efer en or inroduion og forlaring af araerisiaene bag barriereopionerne vil afsni opsille de beingelser prisformlerne for opionerne sal opfylde. Dee leder hen il esplicie formler for udvalge barriereopioner og deres overholdelse af B-ligningen sam randbeingelser undersøges. De forsellige prisformler implemeneres i BA hvorved de fundne værdier sammenlignes med de approsimerede funde gennem endelig-differens-meode således a onvergenshasigheden for de numerise resulaer an ansueliggøres. Inden denne ommenering vil afsni 4 forlare indholde af vores finie-difference-program hvorefer resulaerne vil blive præcenere i afsni 5 med ilhørende følsomhedsanalyser..1 Inroduion I modsæning il almindelige opioner er værdien af barriereopioner afhængige af om en prædefinere grænse nås gennem opionens løbeid hvorfor denne ype opion araeriseres som siafhængig. Hvis denne grænse nås bliver beseme aspeer i onraen udløs og al afhængig af hvilen barriereopion der er ale om miser opionen sin værdi ou opion eller i modsa fald opnår opionen værdi in opion. Denne egensab gør a denne ype opion er billigere end den lassis europæis eller amerians opion. Berag nedensående figur for en up-and-ou Call med en barrier på 10 og exercise 100. Figur -1: Up-and-ou Call Opionsværdi Aieurs De logise ræsonnemen ligger i a hvis opionen enen 1 miser eller førs opnår sin værdi hvis en besem grænse nås sal denne opion gennem e arbirageargumen være billigere end de lassise onraer. Under 1 er upside chancen begrænse hvile gør opionen billigere end en vanilla call. Denne barriereopion an gøres endnu billigere hvis e lavere niveau for grænsen afales. Med hensyn il opnås en mulig upside chance førs hvis grænsen nås hvile selvfølgelig også resulerer i en lavere pris. ame argumener an anvendes for andre ombinaioner af barriereopioner. Ovensående fremgår også af figuren hvor callopionens værdi er nul på barrieren. I nærheden af denne grænse har opionen nogle specielle egensaber som vil fremgå mere ydelig i den eferfølgende analyse.

5 Endvidere vil opionen når aieursen bevæger sig væ fra barrieren opfører sig som en almindelige vanilla call 1.. Prisfassæelse af barriereopioner om omal ovenfor er barriereopioner siafhængige hvile beyder a opionens payoff og derved værdien er afhængig af den si de underliggende aiv følger. Dog er der un ale om svag afhængighed hvile bevirer a al informaion nødvendig il a prisfassæe disse opioner er viden omring om grænsen er bleve aivere. Inden grænsen er aivere vil barriereopionen opfylde Blac-choles ligningen 1.1 : ½σ + r r = 0 Ubb: 1. = = 0 u d 1.4. u = alm opion 1.5. Løsningen il denne parielle differenialligning er end som Blac-choles formel hvilen for barriereopioners vedommende bliver modificere for a overholde grænsebeingelserne. Disse er for up-and-ou 1. down-and-ou 1.3 up-and-in 1.4 sam down-and-in 1.5 opioner. d = alm opion u d..1 Den eoreis esae prisformel Berages en down-and-ou call opion hvor den nedre grænse d er under exercise an prisen opsrives som følgende: 1r / σ 1.6 Call DO v v d / = d Inuiionen i ligning 1.6 er mege enel. Hvis opionen rammer barrieren er d lig og derfor er d / også lig hvorved opionen bliver værdiløs. Dee er neop randbeingelsen for denne ype opion. Endvidere ses de a hvis barrieren ie nås er sidse led posiiv hvorved værdien er mindre end den ilsvarende europæise callopion. De an endvidere vises gennem maemaise udledninger a prisformlen følger Bligningen. Ide førse led selvfølgelig opfylder B er poinen af sidse led også gør hvorfor summen af leddene il sammen opfylder B-ligningen. 3.3 Endelig-differens-meode I visse henseender an de være prais age umulig a opsille en esplici prisformel for den auelle opion. Derfor anvendes numerise meoder herunder endelig-differens-meoden il a finde en approsima- 1 Tilsvarende er ilfælde for puopionerne. Hvile grundig er forlare i Wilmo s. 191ff. 3 Tilsvarende argumenaion an gennemføres for de øvrige yper ligesom der også an opsilles den almindelige arbiragebeingelse: pu-call parie for barriereopioner. e for gennemgang af øvrige opioner. 3

6 iv værdi. elvom de er mulig a beregne esae værdier for barriereopioner jf. forgående afsni vil vi opsille e program il numeris approsimaion vha. endelig-differens-algorimen. De esae værdier vil blive brug som sammenligningsgrundlag for onvergens værdi og følsomhedsberegninger. i vil arbejde med esplici endelig-differens-meoden hvile beyder a vi arbejder os ilbage gennem giere og approsimerer opionsværdien ved hjælp af re gierpuner på idspun +1. Denne meode er ie den mes nøjagige og an under beseme parameerværdier være usabil. Begge disse problemer an løses gennem anvendelse af Cran-Nicholson hvor værdien af opionen beregnes på baggrund af ses gierpuner. Derved sal forsås a meoden er e gennemsni af den implicie sam esplicie meode hvile beyder a der anvendes re nabo-gierpuner på hver side af de pun hvor vi undersøger værdien af opionen. Resulaerne bliver sabile og har hurigere onvergerende løsninger. Grunden il a den esplicie meode alligevel er valg sal ses i lyse af a de auelle forbedringen i onvergenshasigheden ved brug af Cran-Nicholson ie er udpræge 4. Endvidere er den esplicie meode nemmere af programmere og hvis den omale usabilie sulle opså an den uden besvær spores i resulaerne. Dermed også sag a de er vigig a undersøge hvorvid saionariesbeingelserne er opfyld..3.1 aionariesbeingelser og onvergens Opsilling af endelig-differens giere ager udgangspun i differensligninger i sede for differenialligninger. om vi ved er de mulig af beregne esae værdier af forsellige opioner ved a finde løsningen il den parielle differenialligning: Blac-choles-ligningen. I sede for denne fremgangsmåde an differenialligningen approsimeres gennem differensligninger. Disse o onvergerer mod samme værdi hvis der approsimeres over mege små inervaller. De vil sige a approsimaionsfejlen er gående mod nul for uendelig små ændringer i de underliggende aiv når der fouseres på dela. For a beregne værdien af opionen sal vi derfor have endsab il Γ og Θ ide B-ligningen fra 1 an opsrives som: 1.7 Θ + ½σ Γ + r r = 0 elvom den esplicie meode er nemmere a implemenere end Cran-Nicholson er de ie alid a denne onvergere mod den sande værdi. Dee afhænger af sørrelsen på ids- og aieseppe sam de esogen valge paramere rene volailie sam aieursniveau. Der gælder generel a ids- og aieseppe sal overholde følgende sammenhænge: 4 e Wilmo s. 649ff for sammenligning af de re meoder. 4

7 σ hvorved der fås a σ σ r r hvor angiver i dvs. den masimale aieurs for hvilen vi undersøger opionsværdien. Imidlerid er de angive fra banens side a sal være en esogen parameer. De beyder a vi orrigerer idsseppe i BA-programme således a sabiliesbeingelserne er overhold. 5 Ovensående er indarbejde i nedensående BA-ode for up-and-ou callopionen. Max = UpBarrier ' Den masimale aieurs som beregnes i giere hvilen er lig barrieren NoAsseeps = Max / Asseep 'Analle af aiesep i giere beregnes Timeep = Asseep * Asseep / olailiy * olailiy * Max * Max 'Tidsseppe beregnes il a overholde sabiliesrierie ide aieseppe er esogen give NoTimeseps = InExpiry / Timeep + 1 'Analle af idssep beregnes il nærmese helal. Dog minimum 1 Timeep = Expiry / NoTimeseps 'De endelige idssep il videre anvendelse i programme beregnes Konvergenshasigheden for BA-programme an ansueliggøres gennem nedensående abel hvor de numerise sam esae resulaer for en a he money up-and-ou call- og puopion beregnes. Tabel 1: Konvergens for numeris beregning af Up-And-Ou Call- og Pu opion Asse sep No. grid poins Call ærdi fejl% % % % % % % % % % % Pu ærdi fejl% % % % % % % % % % % Esa Ovensående beregninger er udarbejde i de ilhørende regnear. po price = Exercise = 100 med Barrier = 10 olailie = 0% Ineres = 5% og e år il udløb. om de fremgår af abellen onvergerer den numerise meode forholdsvis hurig mod den sande værdi og ved e aiesep på 1 er værdien for begge opioner æ på den esae værdi. Dog er de værd a bemære a giere bliver forholdsvis sor inden den numerise løsning approsimerer den esae ilfredssillende. Dee resula var også a forvene i forhold il den eoreise approsimaionsfejl som er give ved O. De vil sige a approsimaionsfejlen bliver reducere med en faor 4 når aieseppe halveres hvile også fremgår af abellen..3. Beregning af værdien for opionen I nedensående implemeneres approsimaionerne for dela gamma og hea i 1.7. Disse approsimaioner er udled maemais med ilhørende BA-oder i appendis 1. Herved fås følgende udry: 5 De er endvidere e rav a r 0 hvile må anages alid a være opfyld 5

8 i i i+ i + i i+ i1 + ½σ r r + i = Ο Hvis der ses bor fra fejlledde an værdien il idspun +1 isoleres og ovensående udry an omformuleres il a give: i i = ½σ +1 i = i+ 1 i + ½σ i + i1 + r + i+ 1 i1 r i i+ 1 i + r ri i+ 1 i i1 1 Ligning 1.9 giver værdien på opionen il idssep +1 hvile beyder a der arbejdes ilbage gennem giere hvile var meningen. BA-oden heril findes ommenere i Bilag. I nedensående abel er resulaerne af numerise approsimaioner af down-and-ou opioner hvor allene i parenes er afvigelsen i forhold il den eoreise orree værdi. Endvidere er de esae værdier af ilsvarende vanillaopioner beregne il sammenligning. De ses a barriereopionerne sælger med en raba i forhold il vanillaopionerne hvile de også sulle gøre. Tabel -1: ammenligning af Down-and-ou med vanilleopioner Down-And-Ou Barrier anilla po Call Pu Call Pu % 005% % 117% % 000% Ineres=5% T=1 year Barrier = 80 Exercise = 100 olailiy = 15% and Asse ep ize = 3.4 Følsomhedsanalyse og evaluering af barriereopioner om de fremgi af afsni. og illusrere i Figur -1 så har barriereopioner nogle hel specielle araerisia. Dela for barriereopioner er ie-oninuere ved barrieren. For en up-and-ou opions vedommende afager værdien oninuer og approsimaiv lineær indil barrieren hvorefer opionen bliver værdiløs. Denne egensab bevirer a opionens dela bliver ie-oninuer. Dee opsår da dela er den førse aflede af værdien af opionen med hensyn il de underliggende aiv. Denne inoninuie i dela medfører samidig a gamma som er den anden ordens aflede af værdien mh. bliver uendelig på barrieren. Dee an resulere i a beregninger af vega an blive meningsløse ide gammas asympoise egensaber beyder a denne an sife foregn. Dee er ilfælde for up-and-ou call down-and-ou pu sam mange dobbel barrier opions. Al i al forårsager dee a dela hedgning gennem barrieren næsen er umulig og under alle omsændigheder mege omosningsfuld. 6 6 e endvidere Wilmo s. 199ff. 6

9 I nedensående afsni vil resulaerne af vores beregninger sam følsomhedsanalyser blive ommenere. Der vil blive age udgangspun i analyser af up-and-ou call- og puopioner. Hensigen er a verificere og ommenere barriereopioners egensaber ved ændring i paramerene. Endvidere vil de græse mål for opionsværdiens følsomhed overfor ændringer i modellens paramere blive gjor il gensand for disussion..4.1 Dela og Gamma Dela viser opionsværdiens følsomhed overfor ændringer i værdien af de underliggende aiv her aieursen. I Figur - fremgår både den numerise og esae dela for en up-and-ou barrier callopion. Den numerise værdi er esimere gennem vores esplicie endeligedifferens-meode med e aiessep på hvorimod den esae dela som navne lyder er besem gennem en esa prisformel hvilen samidig fremgår af vores BA-oder. Figur -: Numeris & Esa Dela for Up-And-Ou Call Opion Dela N-Dela Numeris Dela 5 56 Kilde: Beregne på baggrund af medfølgende regnear. 60 E-Dela Esa Dela Aieurs om figuren viser er disse o esimaer sammenfaldende hvile underbygger orreheden af vores endelige-differens-meode. Hvis figuren sammenholdes med udvilingen for dela for en vanilla call ser forløbe ens ud e sye af vejen. For en vanilla call siger dela monoom mod 1 for sigende aieurs. De underliggende hedegeargumen er ligefrem. I a med a vanilla callopionen bevæger sig længere in-hemoney vil ændringer i værdien på opionen være næsen idenis med værdiændringer på de underliggende. E delahedge af en lang posiion i én vanilla call ræver derfor or posiion i de underliggende. Denne egensab er ie a finde for en up-and-ou barriereopion. For de førse er dela nul fra barrieren og frem ide opionen bliver værdiløs ved barrieren. Endvidere når dela e oppun for derefer a afage og blive negaiv. Denne udviling er endeegne for omale opion. Konsevenserne heraf er flere. For de førse beyder dee foregnssif i dela a opionsværdien når e masimum over udvilingen i aieursen og ie som ved vanilla calls ved udløb. Dee masimum er a finde før barrieren. Når aieursen nærmer sig barrieren siger sandsynligheden for a opionen bliver værdiløs hvile an ansueliggøres gennem den negaive dela dvs. man sal gå or i de underliggende for a eliminere risioen og når barrieren mødes bliver opionen værdiløs og dela springer il nul dvs. dela er ie-oninuerlig ved barrieren. Denne egensab gør de svær a hedge sådanne opioner ide en dela-hedgeporefølje sal rebalanceres ofe hvile er omplicere ved barrieren. om de fremgår senere forbedre gamma- og vega-hedging ie siuaionen. 7

10 Den omale udviling i dela er selvfølgelig æ forbunde med udseende for gamma ide gamma er den anden ordens aflede af opionsværdien med hensyn il aieursen. ag på en anden måde er gamma den førse ordens aflede af dela mh. aieursen. Derfor an monoomiforholdene for barriereopionens dela spores ilbage il gamma. I Figur -3 er up-and-ou callopionens gamma vis som funion af aieursen. Figur -3: Numeris & Esa Gamma for Up-And-Ou Call Opion Gamma N-Gamma E-Gamma Aieurs X=100 r=5% ol.=0% T=1 B=10 Kilde: Beregne på baggrund af medfølgende regnear. ammenholdes den esimerede udviling for barriereopionens gamma med den ilsvarende for en vanilla call er de førse der springer i øjnene gammas foregnssif dvs. a barriereopionens gamma i modsæning il vanilla opionens anager negaive værdier. Denne variaion i gamma medfører de ovenfor omale onsevenser for dela. Hvis de holdes for øje a barrieren er sa il 10 må de onsaeres a gamma forholdsvis idlig bevæger sig væ fra vanilla callopionens. For vanillaopionens vedommende har gamma sin masimale værdi ved exercise hvor gamma for barrieropionen næsen når si minimum. Denne egensab bevirer i vores ilfælde a hvor vanillaopionens værdi siger mes falder barrieropionens. Når aieursen rammer barrieren opnår gamma asympoise egensaber og går mod uendelig ide opionen her bliver værdiløs 7. Disse udsving i gamma forårsager som sag a dela ændrer sig mege som følge af aieursændringer. Derfor vil værdien på den ovenfor omale dela-hedgeporefølje afhænge af gamma. Normal vil de være forholdsvis smerefri a gøre en sådan porefølje gammaneural hvis der var ale om en vanilla call hvile ie er ilfælde her. ed a berage Figur -1og Figur - eferfølgende må der onluderes a værdiændringer i up-and-ou barrieropionen prais er svære eller i hver fald hvis vi bevæger os ud af Blac- choles verdenen og inddrager ransaionsomosninger dyre a hedge. amme analyse an laves for en up-and-ou puopion med samme barriere. Da barrieren allerede ligger så høj a puopionen er forholdsvis mege ude af pengene vil en sammenligning af dela og gamma for denne opion med en vanilla pu give ens onlusioner. Dog er der sadig den sore forsel a barrieropionen bliver værdiløs hvis barrieren nås. Denne egensab gør puopionen særdeles nemmere a hedge end callopionen. 8

11 Mere ineressan vil de være a analysere en down-and-ou puopion hvor vi eoreis ville have fåe en 180 graders roaion af udvilingen for dela for den ovenfor omale up-and-ou callopion. Hermed sal forsås a udvilingen for dela ligner en vanilla pu for sore værdier af aieursen men herefer ophøre ligheden. ed barrieren er dela selvfølgelig ie-oninuer ide opionen er værdiløs men inden barrieren er dela posiiv. De vil sige a opionsværdien har masimum e sed inden barrieren for derefer a falde når opionen ommer ud af pengene når aieursen siger. Derfor vil vi søde ind i samme problemer med downand-ou puopionen som vi gjorde ved up-and-ou callopionen..4.1 ega og Thea. De er sjælden a volailieen an forudsæes uafhængig af aieursniveaue men ie deso mindre anages dee når den eoreise pris beregnes. I prasis er de vigig a vide hvordan ændringer i volailieen påvirer opionsværdien. De værs ænelige i ilfælde med en up-and-ou callopion eller down-and-ou puopion er 1 lav volailie omring exercise og høj volailie omring barrieren. De førse er generel gældende for alle opioner hvor høj volailie forøger værdien af opionen. Men høj volailie omring barrieren påvirer værdien negaiv ide der opsår en chance for a opionen bliver værdiløs. Figur -4: Numeris & Esa ega for Up-And-Ou Call Opion ega N-ega E-ega ega Numeris ega olailie Kilde: Beregne på baggrund af medfølgende regnear. I Figur -4 fremgår de o esimaer på vega den numerise og esae for up-and-ou callopionen. Ligesom for de andre følsomhedsmål er disse o mål ævivalerende. Endvidere er vega beregne for en aieurs på 115 hvile er æ på barrieren. Alle re grafer viser de samme endenser nemlig a vega er posiiv indil volailieen bliver neop så sor a værdiabe ved den forøgede chance for a ramme barrieren oversiger den generelle værdisigning ved forøgelse af volailieen. Endvidere bliver vega hurigere negaiv ved en signing i volailieen når vi befinder os æ på barrieren hvile visualiseres ved grafen for ega-115. Dee undersøer a høj volailie er uønse nær barrieren. ammenligne med vega for en 7 e Wilmo afsni 14.7 s

12 vanilla call hvilen er posiiv for alle aieværdier an de igen onsaeres a en up-and-ou callopionen er mege speciel. Afled af ovensående an de være mege svær a gøre hedgeporeføljen vega-neural uden høje hedgeomosninger il følge. For up-and-ou puopionens vedommende er vega posiiv for alle værdier af volailieen hvile var a forvene ide opionen alligevel er lang ude af pengene ved barrieren. Dvs. a værdisigningen ved forøge volailie er sørre end værdiabe ved den sørre sandsynlighed for a ramme barrieren for øge volailie. I forhold il en vanilla pu er værdisigningen som følge af volailiesændringer hurigere afagende og begrænsede for sore volailieer. E ande følsomhedsmål der ofe bliver anvend i prasis er hea hvilen besriver opionsværdiens ændring som følge af den reducerede id il udløb af opionen. Denne er normal negaiv for vanilla callopioner 8 da den formindsede id il udløb bevirer a der er mindre id il a opionen an omme i pengene. For up-and-ou callopioner er dee også ilfælde indil værdisigningen ved a barrieren sandsynligvis ie nås inden udløb oversiger værdiabe ved a opionen muligvis ie når i in he money. Figur -5: Numeris Thea for Up-And-Ou Call Opion Thea Thea X=100 r=5% ol.=0% T=1 B=10 Kilde: Beregne på baggrund af medfølgende regnear Aieurs Dog er værdisigningen sørs omring exercise og ved barrieren er hea meningsløs a beregne pga. nulværdien af opionen. Da iden ie er en usier parameer hedges der ie herfor. I sede anvendes hea i prasis som en prosy for gamma i en delaneural porefølje ide posiive værdier af hea opvejes af negaive værdier af gamma. Dee an i vores ilfælde onsaeres gennem en sammenholdelse af Figur -4 og Figur ammenfaning Barriereopioner er billigere end ilsvarende europæise vanillaopioner. Hel generel an denne discoun forlares ved den begrænsede sandsynlighed for a opionerne giver e payoff ved udløb. Esempelvis har 8 e Hull s

13 man for up-and-ou barriers dels frasolg sig e upside og dels opionernes forsae esisens hvis den prædefinerede barriere rammes. Barrieropioners egensaber bevirer a de er mege svær a gennemsue risioen på disse yper opioner. Da gamma sifer foregn vil en lang posiion i en noc-ou bevire a høj volailie er ønsværdig væ fra barrieren og omvend æ på barrieren. Men da de er anage a banen an hedge sig fuldsændig ved a øbe ilsvarende opioner i en sor inveseringsban må de derfor anages a banen er indifferen overfor de risiomæssige aspeer ved opionen. De vigigse for banen er a opionen er billig og om dens egensaber er araiv for invesor. Hvorfor dee er vigig vil blive disuere i apiel 4. 3 iafhængige opioner Anden del af banens oplæg vedrører analyse og vurdering af en ræe aspeer mh. prisfassæelse af sær siafhængige opioner ved hjælp af Mone Carlo imulaion. I behandlingen vi udeluende besæfige os med asiaise rae opioner ide de er disse vi ønser a implemenere i den indeserede obligaion. Kommende apiel vil derfor gennemgå følgende puner: 1. For a unne onreisere beydningen af de indgående paramere vil vi indledningsvis ansueliggøre asiaise opioners generelle egensaber og prisdannelse. Dernæs vil vi verificere MC simulaion il prisfassæelse af sådanne opioner sam forlare eniens fordele og ulemper - herunder eniens onvergenshasighed 3. For il slu a opsille e regnear il prisfassæelse af asiaise opioner med disre sampling. Evaluering af MC eniens onvergenshasighed ansueliggøres ved analyse af sandard europæise puog callopioner ide de an løses esa ved anvendelse af Blac-choles formlen De foresående asiaise opioner De foresående asiais opioner er de man alder siafhængige opioner ide de som beegnelsen anyder ie blo er en funion af de underliggende og iden men også af en eller flere andre variable som opfanger de underliggendes hididige forløb. Asiaise opioner opdeles normal i average srie og average price opioner hvor payoff afhænger af de underliggendes gennemsnilige pris gennem en prædefinere periode og med en prædefinere samplingsfrevens. Randbeingelserne for average srie opioner er give ved Max{ T - Ave 0} og Max{ Ave - T 0} for calls henholdsvis pus. Tilsvarende for average price opioner er payoff give ved Max{ T - X Ave 0} og Max{X Ave - T 0} for calls henholdsvis pus. 9 BA former er indarbejde i de forsellige regnear. 11

14 Disse yper opioner har nogle særlige egensaber som har gjor dem mege populær bland ineressener. Esempelvis er flere baner og sørre virsomheder de senese år gåe over il a hedge balancens gennemsnilige udsving hvoril asiaise average price er særdeles velegnede. 10 Opionerne har også diree appel il mere risioaverse invesorer ide en posiion i en asiais opion i sammenligning med en posiion i en sandard europæis/amerians opion er mindre esponere overfor pludselige udsving i des underliggende. Den saisise forlaring på dee er a variansen på gennemsnie er lavere end variansen på prisserien selv. 3. Prisfassæelsen af de asiaise opioner iafhængighed forhindrer ie en prisfassæelse. Der sal blo defineres en esra variable hvorved den parielle differenialligningen opsilles i en esra dimension. /I angiver opionens følsomhed overfor ændringer i gennemsnie..1 + ½σ + f + r r = 0 I Afhængig af om onsruionen af den pågældende opionsonra illader de vil denne ligning unne løses på en lue form. Alernaiv må ligningen løses numeris. De onree opioner banen ønser analysere og værdiansa er asiaise opioner sreve på arimeis gennemsni med disre sampling. Inden vi sal se hvorfor denne ype opion ie illader a ovensående differenialligning an løses på en lue form er der imidlerid en ræe overvejelser vedrørende opionernes araerisia som er vigige a få larlag for a unne forså prisdannelsen for opionerne De indgående paramere ed sammenligning med almindelige vanillaopioner udvides parameersæe for siafhængige opioner. Udover paramerene srie spo rene volailie løbeid dividende som er sandardparamere for besrivelse af almindelige vanillaopioner er de nødvendig med nogle paramere og onvenioner som giver informaion om hvorledes den esra dimension i differenialligningen opfører sig. For de førse så afhænger prisen på opionerne af samplingsfrevensen dvs. hyppigheden for gennemsnisberegning. om allerede nævn dæmpes volailieen hvis opionen gøres afhængig af gennemsnie på de underliggende hvorfor en lavere pris må forvenes. Derfor må de også under normale omsændigheder forvenes a værdien af en asiais opion med oninuer sampling er billigere end en ilsvarende opion med disre sampling. For de onree opioner ønses en disre sampling hvile også har sørs prasis rele- 10 Briys & Bellalay 1998 p. 41 1

15 vans. Dee bevirer a processen degenererer ide di = 0 mellem samplingsdaoerne hvile beyder a /I falder ud af ligning.1. I relaion il samplingsfrevensen er de ie ligegyldig hvorledes samplingsdaoerne fordeler sig over opionens leveid hvile er illusrere i nedensående Tabel 3-. Her er asiaise opioner med jævn fordele samplinger samplinger oncenrere i begyndelsen og sluningen sammenligne. Tabel 3-1: ammenligning af asiaise opioner med forsellig samplingsfrevenser Average rae opion X= 100 =100 T=5 r=5% vol.=37% Beregninger: MC im Jævn måned Begyndelse Tail Hvis de anages a de underliggende følger en geomeris browns bevægelse med drifled sørre end nul så vil de forvenede afas på en invesering i en asiais rae call med jævn fordele beregningsidspuner værre sørre end en ilsvarende opion med beregningsidspuner oncenrere i begyndelsen af perioden. Man an sige a gennemsnisberegningerne i en opion med hyppigere samplinger i begyndelsen af opionens leveid ynges af forvenede lavere værdier. Omvend er de for opioner med samplinger oncenrere i sluningen af perioden hvile ofe endeegnes af begrebe asian ail. En anden faor med indflydelse på værdien af asiaise opioner er hvorledes de enele observaioner væges. De er ie noge vi implemenerer i den senere simulering og værdiansæelse af de ønsede asiaise opioner. Dog an de nævnes a der er flere forsellige vægningsprocedurer som ændrer værdien af opionen. Generel an de siges a des æere på udløb des mindre usier bliver den endelige exercise urs. å længe a average rae opionerne ie væges med faldende væge vil dee være ilfælde men ved anden vægning an denne affinie ændres og dermed også værdien af opionerne. En sidse ing som er mege afgørende for værdien og i særdeleshed værdiansæelsesmeoden er hvorledes de løbende gennemsni beregnes. Hvis de anages a de underliggende følger en logonormalfordeling så vil de geomerise gennemsni også følge denne fordeling. Dee ræsonnemen følger af a produe af logonormalfordele priser selv er logonormalfordel. Derfor an ovensående differenialeligning løses på en lue form. I modsa fald vil e arimeis gennemsni ie være logonormalfordel hvorfor de er nødvendig a løse differenialeligningen numeris. 3.3 Mone Carlo simulaion og BA implemenering En mege anvend numeris meode som er i fuld overenssemmelse med Blac-choles verdenen er Mone Carlo simulaion. I den onree siuaion er meoden dog ie numeris efficien sammenhold med ende- 13

16 lig-differens-meoden. Tiden de ager a gennemføre N simuleringer voser ca. lineær med analle af indgående variable hvor andre meoder ypis voser esponeniel og da MC simulaion har en forholdsvis sløv onvergens N vil meoden førs være numeris efficien med mere end 3-4 indgående variable. 11 Inuiionen ved meoden er mege enel beregn P af de forvenede payoff for en given simulere proces genag no gange og ag middelværdien. Relaionen il Blac-choles ligningen for en given randbeingelse fås fra Feynman-Kac s sæning. I ligning. er de forvenede payoff for en callopion. [ ] r T. = E e max X 0 N φ / N r T φ = e E max X 0 / N T [ ] T om de fremgår er den esimerede værdi af opionen lig med middelværdien af de N simulerede payoffs ilbagedisonere il i dag. De sore spørgsmål er så hvor mange simulaioner de er nødvendig a gennemføre for a være sier på a den esimerede værdi er lig med eller i de mindse mege æ på den esae værdi? Ide de ved MC simulaion er mulig a beregne e diree mål for usierheden udry ved sandardafvigelsen på den esimerede værdi vil de sige a man sal gennemføre de anal simulaioner der gør sandardafvigelsen ilsræelig lille. Da usierheden på esimae er omvend proporional med vadraroden af gennemføre simulaioner vil de sige a en fordoble præcisionen i esimae ræver en firedobling i analle af gennemføre simuleringer. I Figur 3-1 har vi simulere værdien af en a he money europæis pu. Dee valg er ruffe ide de herfor er mulig a beregne en esa værdi il sammenligning. Figur 3-1: Mone Carlo imulaion anilla pu Anal simuleringer Anal imeseps 1 30 dage 4 15 dage 48 7½ dag Gnsl. værdi 95%KI Gnsl. værdi 95% KI Gnsl. værdi 95%KI [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Esa værdi =X= 100 r=5% vol. =0% T=1. imuleringer foreage i regneare: MC im. 1 se Bilag 3. om de fremgår af figuren så onvergerer esimae på opionsprisen med analle af gennemføre simuleringer. Endvidere ses de a ved en firedobling af analle af gennemføre simuleringer halveres sandardafvi- 11 Hull 1999 p

17 gelsen. ed gennemførelse af simuleringer er sandardafvigelse på gennemsnie ca svarende il 95% onfidensinerval på ca. [54-565]. De vil sige man ved gennemførelse af simuleringer med 95% sierhed ie begår fejl sørre end +/- -3%. 1 Er dee ie ilfredssillende an analle af simulaioner blo øge. Hvis der esempelvis gennemføres ½ million simuleringer er denne fejl reducere il +/- 6 0 / 00. Dee gør meoden mege ung og idsrævende. Til gengæld giver MC simulaion mulighed for analyse af mege omplicerede payoff-sruurer. Den anden dimension i figuren er mh. sepsørrelse. De fremgår a denne ie har beydning for præcisionen i esimaionen. De ville ellers være nærliggende a ro a des finere processen simuleres des bedre esimaer. Dee ville også være ilfælde hvis ie vi havde simulere den logonormalfordele random wal. Men for den lognormalfordele random wal er ipssepsalgorimen Euler-meoden esa hvorfor længden på ipsseppe = den inverse il anal imeseps er uden beydning for præcisionen af den simulerede proces BA implemenering Med hensyn il den praise implemenering af simulerings-algorimen i BA il prisfassæelse af de asiaise opioner har vi opsille o regnear som illader forsellige analyser. De førse regnear MC im 1 se Bilag 3 er opbygge i BA og giver mulighed for analyse af almindelige vanilla og average rae opions. Endvidere giver de mulighed for analyse og esimaion af dela og gamma for de forsellige opioner. De er dog ie mulig a analysere asiaise opioner med ie jævn fordele samplingsdaoer hvile i sede an gøres i regneare MC im som dog er lid ungere a arbejde i. 3.4 Prisfassæelse og følsomhedsanalyse af Asian rae opions om omal i afsni 3..1 er asiaise opioner generel billigere end ilsvarende vanillaopioner. Denne egensab fremgår også af Tabel 3-. Resulaerne for den asiaise rae callopion er udarbejde på baggrund af MC simulering med disre sampling månedlig. Tabel 3-: Asiaise call vs. ilsvarende europæis vanilla call In-he-money A-he-money Ou-of-he money olailie 0 = 10 X = = 100 X = = 80 X = 100 Asian call anilla call Asian call anilla call Asian call anilla call 10 % % % % N = simuleringer amplings frevens = månedlig r=5% T=1 år imuleringer foreage i regneare: MC im Dee er selvfølgelig beregne approsimaiv. 15

18 om de fremgår besidder asiaise opioner i høj grad de samme egensaber som ilsvarende europæise opioner. I søjlerne i Tabel 3- er beregne opionspriser ved forsellige volailiesniveauer. om for almindelige opioner er asiaise opioner posiiv orrelere med volailieen på de underliggende. Hel generel er opioner posiiv orrelerede med volailieen på des underliggende hvis udeluende ieesoise opioner berages. 13 Forlaringen på denne sammenhæng sal ses i lyse af opioners asymmerise afasprofil. olailieen på e aiv er udry for des chance for a udvile sig mege posiiv eller mege negaiv. For en posiion i de underliggende vil disse o forhold opveje hinanden mens de for opioner ie gør de. For opioner vil højere volailie derfor beyde a chancen for a ende dybere in-he-money al ande lige er sørre. om de an ses af abellen er de asiaise in- og ou-of-he-money opioner ie så følsomme overfor ændringer i volailieen som de ilsvarende vanillaopioner ide en signing i volailieen på 30 %-poin medfører en signing på henholdsvis 9% og 9%. Argumenaionen er ligefrem når opionens afregningsurs låses fas il hisorise niveauer så er sandsynligheden for a in-he-money opionen ommer dybere i pengene sam a ou-of-he-money opionen ommer i pengene mere begrænse. Asiaise average price opioner er derfor normal billigere end ilsvarende europæise opioner da gennemsnie er mindre volailie. Denne egensab er ineressan for invesorer som ønser en billigere opion i relaion il den ilsvarende vanillaopion. om de vil fremgå senere er de neop hvad flere udsedere af de nye indeserede obligaioner har gjor brug af Hvis vi berager opionerne i figuren ved onsan volailiesniveau så fremgår de a både asiaise og europæise vanillaopioner er posiiv orrelerede med aieursen og modsa mh. exercise 14 men som allerede nævn så er Asiais < anilla grunde gennemsnisberegningernes volailiesbegrænsende effe. De vil også sige a dela-hedge af en or posiion i en asiaise callopion foregår på samme vis som ved den almindelige europæise call. Men ide vi bliver mere sier på den endelige sluurs i a med a vi nærmer os udløb dela nærmer sig 0 sam a vol Gensl. < vol så er asiaise opioner også nemmere og billigere a hedge. ed beregning af dela og gamma for asiaise opioner an MC enien anvendes. E lille ric an her anvendes hvorved den approsimaionsfejl man begår ved esimaionen begrænses. ed beregningerne af opionspriserne +h og -h genbruges de ilfældige al il beregningen af aieursprocessen hvor- 13 Tag for esempel Barriereopions som gennemgåe i forgående afsni. I siuaioner æ på barrieren vil ou-opioner være negaiv orrelere med volailieen. 14 Fremgår ie af abellen 16

19 ved den fejl som begås un bliver Oh i sede for O1/hN ½. 15 Beregningsmeoden er analog med meoden som anvende i endelig-difference meode. Inuiionen i beregningen af dela an resoneres ved a vi sår på idspun 0 og ender ine il den fremidige udviling de enese som er end i dag er dagens niveau 0. Ønsers en dela-hedge sraegi er de derfor nødvendig a beregne de fremidige payoff ved en marginal ændring i dagens aieniveau. Figur 3-: Dela og gamma for asiaise opioner A Dela B Gamma Asian call anilla call Asian call anilla call Exercise = 100 Ineres = 5% olailiy = 0% Time o mauriy = 1 year wih zero dividends. I ovensående figur sammenholdes dela og gamma for henholdsvis den asiaise opion med månedlig samplingsfrevens og den europæise call. Esimaionen af dela og gamma for den asiaise opion er foreage med henholdsvis og simuleringer ved hver aieniveau fra 0 il 160. De ilsvarende esimaer ½ ½ for vanilla callopionen er de esae værdier hvor = Nd 1 og Γ = [ ] 1 1 π e d σ T. om de fremgår af graferne for dela siger esimae for den asiaise opion hurigere mod 1 end den ilsvarende vanillaopion. ag med andre ord er de inerval hvor dela varierer mindre for den asiaise opion. Denne egensab er diree afled fra gamma hvor graferne for esimaerne an ses il højre i figuren. om der an onsaeres er variaionsområde for den asiaise opions gamma mindre end for vanilla-opionen. om graferne for dela larlagde siger gamma for den asiaise opion mege hurigere end vanillaopionen og når si oppun ved exercise. 15 Wilmo p

20 De har både sine fordele sam ulemper. Hvis en posiion i den asiais opion sal gøres dela-neural er de en fordel a variaionsområde for dela er små ide de derfor er e mindre inerval af aieursen invesor behøver a beymre sig omring. Ulempen besår derimod i a hedgeporeføljen ofere sal rebalanceres da dela ændres mege indenfor variaionsområde. Den asiaise opion er derfor nemmere a hedge så længe invesor er opmærsom på den hyppigere omlægning i de inerval hvor opionsværdien er mege følsom overfor ændringer i aieursen omring a-he-money. amme argumenaion gør sig gældende hvis hedgeporeføljen sal gøres gamma-neural. ariaionsområde for gamma er mindre for den asiaise opion men udviler sig rafig indenfor område. 3.5 ammenfaning Asiaise opioner er sær siafhængige opioner ide deres payoff afhænger diree af deres hisorise udviling. I modsæning il barrieropions gennemgåe i forgående afsni som er urolig svære a besemme risioen på så er asiaise opioner mege nemme a hedge grunde deres naur. Dee er derfor anbefaleværdig over for banen ide de vil have mege leere ved a syre deres esponering i opionerne. Endvidere an asiaise opioner gøres mege billige ved a syre samplingsfrevensen og idspunerne for sampling hvile an være fordelagig ved onsruionen af den foresående indes obligaion. Med hensyn il MC simulaions enien så er den ie så efficien som explici endelig differens meode som blev anvend il værdiansæelse af barrieropionerne da mone carlo simulaion un onvergerer 1/ N. Imidlerid så får meoden sin oprigigpelse ved siuaioner med mere end 3-4 indgående soasise variable og mege omplicerede payoff-sruurer. 4 Aieindeserede obligaioner En indesere obligaion er araerisere ved a afase er nye il ursudvilingen på e eller flere mareder. En sådan obligaion besår af o dele; en obligaion ypis nulupon sam en opion på de indes som afase på obligaionen er nye il. I nedensående vil vi refererer il den implicie nuluponobligaion som n-obligaionen. N-obligaionen garanerer a obligaionen an indfries il urs 100 ved udløb. Afasmulighederne ud over nuluponafase ligger derfor gem i opionsdelen og afhængig af udvilingen i de indes obligaionen er ilnye sam opions araerisia an payoff fra opionen blive posiiv hvorved obligaionen samle se giver e posiiv afas. Figur 4.1 ammensæning og afas for den indeserede obligaion Opion Obligaion Kilde: Egen ilvirning Evenuel afas Garanere udbealing 18

21 For invesor beyder dee a den ilnyede risio for denne obligaion ligger i a dee indes ie siger i perioden hvorved obligaionen indfries il urs 100. Derved bliver invesors alernaivomosning den gængse indlånsrene i referenceperioden. I og med a vi banen sal ud og øbe opioner ilsvarende den implicie opion sreve il invesor for a hedge risioen på vores posiion så er de nødvendig a ilpasse den andel invesor får af den implicie opion - ald denne andel for afasgrad. Afasningsgraden eller afasfaoren defineres som de beløb der er il rådighed il a øbe opioner for i forhold il de beløb der sal bruges il a afdæe posiionen i de underliggende indes. Invesors forrenning an derfor beregnes som: 4.1 Afas 1 P disponibel Indessar + *max Indesslu Indessar0 p. a. = C Emissionsurs Hvor Indes sar per definiion er 100 P disponibel er de disponible beløb il opionsøb C er prisen på opionen og Indes slu er indesværdien ved udløb. Invesors afasningsgrad afhænger derfor af prisen på den valge opion sam den ønsede lånerene ide højere lånerene sam lavere opionspris bevirer a der an øbes flere opioner Konsruionen af obligaionen ed onsruion af den aieindeserede obligaionen er der visse delelemener som vi er nød il a forudsæe os ud af dels med hensyn il maredsparamere og dels med hensyn il banens forhold. Øvrige elemener i onsruionen af obligaionen syres af hvorledes vi vælger de pågældende design. I onsruionen af den indeserede obligaion vil vi derfor følge følgende fremgangsmåde: 1 Opsille en forudsænings ramme for analysen ælge e underliggende indes 3 Designe opionsdelens araerisia 4 am evaluering af produe an de sælges? I nedensående vil onsruionen af den indeserede obligaion blive ansueliggjor gennem de nye produ som navngives TPUTEC Forudsæninger Den indeserede obligaion er e sående lån hvor der ie udbeales uponrene. Grunden heril sal ses i lyse af a vi ønser en så lav nuidsværdi af den indbyggede obligaion som mulig således a fribeløbe il øb af opioner bliver så sor som mulig ved den givne lånerene/renesruur. Alernaive ville være a udsede en uponobligaion hvorved de bliver nødvendig a hæve emissionsursen for a have samme be- 19

22 løb a øbe opioner for. i mener de er leere a sælge e obligaionsprodu som ie ligger al for lang over urs 100. i har derfor valg en emissionsurs for TPUTEC på 105 med 0% i upon hvoraf de anages a 5 poin går il emissionsomosninger. Der forvenes en hovedsol på 100 mio. DKK hvoraf udseder modager 765 mio. DKK hvile svare il en lånerene på 55% p.a.. 16 De reserende beløb bruges il afdæning af aiedelen gennem øb af opioner. Dee gøres for a undgå en for høj fundingsrene ved sigende indesværdi. Endvidere er renen for den femårige horison valg ævivalerende med den effeive rene for en sasobligaion i samme referenceperiode alg af indes i har valg a afase nyer sig il en femårig udviling i de amerianse enologiaieindes DJUTEC. Grunden il dee sal ses i lyse af de senese års rafige ursfald i neop denne seor hvile unne yde på a den indlejrede boble er punere og indese er omme ned i e realisis leje. i forvener a udvilingen de ommende år vil indræde i en ny fase araerisere ved sundere virsomheder. i mener derfor a valge af enologiaieindese som underliggende indes går obligaionen leere a sælge. Til værdiansæelse af den implicie opion sal vi derfor vide noge om volailieen på dee indes. Den anvende volailie er beregne på baggrund af den hisorise udviling for ugenlige observaioner for samme indes i perioden 16. april 1996 il 17. april 001. De vigigse elemener ved besemmelse af den hisorise Blac-choles volailie besår i a 1 beregne volailieen il bruoafasserien ln i / i-1 dvs. volailieen på de oninuere ilsrevne afas sam a orrigere for idsperioden. Dee fås diree fra Ios Lemma. Ide de anages a aieursen følger en geomeris browns bevægelse d = µd + σdz så vil LN T / 0 jf. Io s Lemma følge en normalfordeling med paramerene [µ - σ /T σ T]. Da den hisorise volailie er beregne på baggrund af ugenlige observaioner sal de beregnede esima orrigeres med en faor 5 for omregning il årsbasis.. Den hisorise volailie på de valge indes er i perioden fra den 16. april 1996 il den 7. april 001 esimere il 516% på ugebasis hvile svarer il en årlig Blac-choles volailie på 37%. De an dog alid anfæges hvor god en prosy den hisorise volailie er for den forvenede fremidige volailie. 16 Denne rene er naurligvis afhængig af udseders raing men forudsæes vilårlig i denne opgave. 0

23 4.1.3 Design af opionsdelens araerisia idse srid inden den indeserede obligaion er onsruere ligger i valge af opionsype. om nævn ovenfor er prisen på opionen af afgørende beydning for afasfaoren og dermed invesors mulige forrenning. Dermed vil en billig opion i en salgssiuaion være a foreræe. I den ommende analyse er der age udgangspun i re forsellige yper af callopioner;: 1 den almindelige vanilla call up-and-in barrieropion sam 3 en asiais callopion med oe samplinger de fire førse med års mellemrum og de sidse o år samples gange årlig. Argumenaionen for denne ie-jævnfordele samplingsalgorime er med de for øje a de underliggende er e høj volail indes a vi ønser a ilbyde e produ hvor invesor er mindre følsom overfor ændringer i de underliggende op mod udløb. Dee ror vi er e god salgsargumen. anilla callopionen vil blive brug il sammenligning og denne vil derudover blive modificere med en noc-in barriere for a reducere prisen herpå. ammen med de valge reneesima udgør volailieen hovedparamerene i prisfassæelsen af a-hemoney vanilla callopionen der an esimeres il 408 gennem BCall-funionen i medfølgende regnear 17. Dee er en forholdsvis dyr opion hvilen da også un som udgangspun med en ønse lånerene på 55% eferlader invesor med en afasfaor på 35/408 lig 576%. Prisen på denne opion an reduceres ved indførelse af en øvre barriere for a opionen opnår værdi. Denne noc-in opion er billigere end den europæise ide upside chancen gives fra e højere niveau. Dog sal denne barriere sæes væsenlig højere end indesværdien ved obligaionens udsedelse for a opionsprisen falder beydelig i forhold il den europæise call. Hvis barrieren sæes il henholdsvis og 300 an værdien på up-and-in callopionen med samme paramere som for vanilla callopionen esimeres ved hjælp af EUICall-funionen i samme regnear il henholdsvis og 85. Der sal dog poineres a en sådan opion vil være mege svær a sælge il invesor ide barrieren sal sæes mellem 00 og 300 for a opionen bliver nævneværdig billigere end den europæise. Hvordan an man forlare invesor a afase førs bliver aivere hvis de underliggende indes fordobles? De sidse alernaiv er derfor også den opion som vil indgå i produe TPUTEC. Dog sal der nævnes a denne opion førs giver invesor upside chance fra indesniveau 105. Dee anses dog ie som nogen salgshindring ide indesvæsen forvenes relaiv høj over hele referenceperioden. Med samme paramere exercise 105 sam de ovennævne samplingsidspuner er prisen på den asiaise opion esimere il 3 ved simuleringer. 17 poprise = Exercise = 100 Ineres = 5% olailiy = 37% Dividend = 0 Time-o-mauriy = 5 years. Prisen på en opion med disse paramere an esimeres gennem Blac_scholes formel eller ved brug af BCall-funionen i medfølgende regnear. 1

24 4. Følsomhedsanalyse og evaluering af produernes salgsmuligheder I nedensående abeller bliver invesors forrenningsgrad beregne på baggrund af forsellige anagelser om den årlige værdisigning i de underliggende enologiindes sam anagelser for udseders rediværdighed som esemplificeres gennem lånerenen. æs i enologiindes Opgørelsesidspun i år 10% 0% 30% Gennemsni Indesafas 33% 76% 131% Lånerene for udseder 450% 550% 650% Beløb disponibel il opionsøb Afasfaor anilla Call 48% 58% 66% Barrier Call ved 00 5% 6% 7% Asiais Call 89% 105% 11% Afas p.a. 10% væs anilla Call 43% 5% 60% Barrier Call ved 00 00% 00% 00% Asiais Call 35% 43% 50% 0% væs anilla Call 104% 11% 136% Barrier Call ved % 19% 145% Asiais Call 9% 108% 11% 30% væs anilla Call 171% 195% 16% Barrier Call ved 00 18% 07% 9% Asiais Call 151% 173% 19% Inden resulaerne ommeneres sal abellerne orfae forlares. Til vensre an udvilingen i enologiindese ansueliggøres under forudsæning af en årlig signing på henholdsvis 10% 0% og 30% hvor de gennemsnilige indesesima er beregne udfra samplingsidspunerne. De an her onsaeres a ved anvendelse af den asiaise opion får invesorerne ie afas af den fulde signing i indese men derimod un il de beregnede gennemsni. Derfor er indesafase henholdsvis 33% 76% eller 131% al afhængig af væsen i de underliggende indes og ie 61% 149% eller 71%. Hvis opionsypen i sede var en vanilla call ville invesor få andel i hele denne indessigning hvorimod up-and-in opionen førs får værdi fra barrieren hvorfor en i procens signing ie ville resulere i e indesafas. I abellen il højre er de disponible beløb il øb af opioner som funion af forsellige lånerener beregne. Disse beregninger viser som omal ovenfor a hvis udseder vælger en højere lånerene vil de disponible beløb sige. Dee al beregnes ved a finde nuidsværdien af nuluponobligaionsdelen afhængig af reneniveauerne. Dee beløb går il udseder og de reserende beløb af obligaionen går il opionsøb 18. om de fremgår an invesor forvene en mege høj afasfaor hvis den asiaise opion vælges og hele 11% hvis 18 Da de anages a 5 urspoin af emissionsursen går il diverse omosninger an dee beløb beregnes som 100 * [1 1+r - ] mio. DKK.