Trafikafvikling på motorveje

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Trafikafvikling på motorveje"

Transkript

1 Trafikafvikling på motorveje En studie af trafikdata fra danske motorveje, delvist sammenholdt med vejrdata, og sammenlignet med simulerede data fra VISSIM. Hans Martin Kaae Johansen Juli 2006 Polyteknisk eksamensprojekt udført ved: Center for Trafik og Transport Danmarks Tekniske Universitet Vejledere: Henning Axel Sørensen Steen Leleur

2

3 Resume Formålet med denne rapport kan inddeles i tre forskellige emner. Dels at påvise karakteristika ved den generelle trafikafvikling, dels at påvise ændringer i disse karakteristika ved forskellige vejrforhold, samt til sidst at sammenligne mikrosimuleringsprogrammet VISSIM med virkelighedens trafikafvikling. Til alle disse tre formål er anvendt trafikdata fra TRIM-systemet, som systematisk registrerer overkørsler på motorvejene i Hovedstadsområdet. Til at behandle disse TRIM-data er udarbejdet en makro til Excel, der behandler og aggregerer både makroskopiske og mikroskopiske data. De makroskopiske data er i dette projekt opdelt i 10-minuttersintervaller, mens de mikroskopiske observationer er inddelt efter størrelsen på de makroskopiske data. Der er anvendt data for hele 2005, og der analyseres hovedsageligt på to målesnit på Holbækmotorvejen og Køge Bugt Motorvejen med hhv. tre og to kørespor. Til at beregne de fire nøgleparametre for den makroskopiske trafikafvikling er anvendt to forskellige foreskrifter for speed-flow-kurven. Dels er anvendt Van Aerdes kurve, der bliver bestemt vha. et program udviklet af Hesham Rakha til netop at bestemme disse parametre, dels er anvendt Mays kurve, til hvilken parametrene bliver fundet vha. orthogonal regression i Excel. Derudover er fordelingerne af headways og hastigheder bestemt for flere forskellige trafikintensiteter, densiteter og strækningsmiddelhastigheder. Ud fra disse kan det ses hvorledes de to mikroparametre fordeler sig alt efter tætheden i trafik. Der er her eftervist signifikante forskelle alt efter denne tæthed. Desuden er der for fordelingen af headways forsøgt eftervist sammenfald med log-normalfordelingen. I denne eftervisning er der fundet størst sammenfald ved store trafikintensiteter. Derudover er der for den generelle trafikafvikling skitseret sporfordelingen som funktion af den samlede trafikintensitet på vejstrækning for både to- og tresporede strækninger. I analysen af trafikafviklingen under forskellige vejrforhold er der specificeret 15 forskellige kategorier af vejrsituationer ud fra målbare parametre som nedbørsintensitet, vandspejlstykkelse og temperatur. Disse kategorier indbefatter regnvejr, snevejr, våd vej, sidevind, dårlig sigt og solstråling. Trafikobservationerne er herefter knyttet til de forskellige vejrkategorier. Der er ligesom for den generelle trafikafvikling bestemt formen på speed-flow-kurverne for 4 forskellige vejrsituationer. Der er her fundet størst signifikans for de frie hastigheder, men også en nedgang i kapaciteten er påvist i venstre kørespor, mens en egentlig kapacitetsnedgang i højre kørespor ikke har været mulig at påvise. Derudover er der for fordelingen af hastighed og headways set på forskellen mellem de forskellige vejrintensiteter. Her er der påvist størst forskel i hastighedsfordelingerne. Ved sammenligningen af VISSIM med virkelighedens trafikafvikling er der anvendt to forskellige parameterindstillinger. Der er anvendt standardindstillingen og indstillingerne anvendt ved simulering af M3. Sammenligningen her går på speed-flow-kurver, headwayfordeling og sporfordeling. Det har vist sig, at indstillingerne for M3 medfører trafiknedbrud samtidig som i virkeligheden, mens fordelingen af headways har vist sig fejlagtig.

4 Abstract The purpose of this thesis can be divided into three different topics. Partly the objective of the thesis is to establish characteristics of the general traffic flow process, and partly to identify changes in these characteristics under influence of different weather conditions. Finally the thesis will focus on the microsimulations program VISSIM s ability to imitate the flow process in reality. For all these purposes observations from the TRIM-system, which continuous collect data on the motorways around Copenhagen, are used. In the process of extracting and aggregating both macroscopic and microscopic data from the system, a macro for Microsoft Excel has been developed. The macroscopic data is in this thesis divided into intervals of ten minutes, and the microscopic data is divided into groups depending on the size of the macroscopic data. Data from the whole of 2005 has been used. The analyzed data is primarily collected on two observation points on the Køge Bugt Motorway and on the motorway to Holbæk carrying three and two lanes respectively. In the process of calculating the four key parameters, two different relations for the speed-flowcurve have been used. The Van Aerde model is estimated by using a program developed by Hesham Rakha, and the parameters describing the model suggested by May, is found in a macro, where orthogonal regression is used to finding the parameters. Furthermore the distribution of headways and speeds dependent on the flow, density and space mean speed is outlined. From these distributions it can be visualized how the two microscopic parameters disperse over the range, depending on the macroscopic parameters. Significant differences between the distributions due to the flow, density and speed has been shown. The distribution of headways is also showed to have a significant uniformity to the log-normaldistribution. This is particularly found in intervals with high traffic intensity. Also the lane distribution of flow between lanes in each section is outlined. This is done as a function of the total traffic flow on the section. In the analysis of the traffic flow under different weather conditions, 15 different categories of weather situations are defined from the measured parameters. These categories imply rain, snow, wet conditions, side wind, poor visibility and a low sun. The observed weather is then connected to the traffic observations. As for the general traffic process the shape of the speed-flow-curves for 4 different weather situations was found. The most significant change on these curves were in the free speed, but also a small reduction in capacity in the left lane was found, while a reduction in the right driving lane has not been proven. Furthermore the distribution of speed and headways was examined in different weather intensities. The biggest difference was found in the distribution of speeds. In the comparison between VISSIM and the real traffic flow process, two different settings were used. The default setup, and also the settings from the model used simulating M3. The comparison focused on the speed-flow-relationship, lane distribution and headway distribution. It was found that the settings used for M3 gave the real speed-flow-curve, however the distribution of headways was not correct.

5 Indholdsfortegnelse 1. Forord Indledning TRIM-systemet Dataudtræk Beregning af følgeafstand Hastighedsangivelser Trafikintensitet Konstaterede usikkerheder ved TRIM-systemet Trafikparametre Speed-flow kurver Greenshield Mays model Van Aerdes model Øvrige speed-flow-relationer Andre målbare parametre Fordeling af headway Hastighedsspredningen Sporfordeling Statistiske metoder Bestemmelse af parametre for speed-flow-kurver Ortogonal regression Simpel ikke-lineær regression Parametrisering Rakhas program Implementeret orthogonal regression Regression i SAS Databehandling af trafikobservationer Intervalperiode og målesteder Tidsrum for dataudtræk Observationsstrækninger Vejrets indflydelse på trafikken Udenlandske studier af vejrets indflydelse Highway Capacity Manual Prevedouros et. al Furukuwa et. al Agarwal et. al Vejrobservationer Forsimplinger i vejranalysen Definition af vejrsituationer Solstråling Beregning af solposition Resultater af den generelle trafikanalyse Headwayfordeling Hastighedsfordeling Sporfordeling Speed-flow-kurver Rakhas program... 79

6 12.1 SAS Mays model Vejranalyse Speed-flow-kurver Speed-flow-parametre Headwayfordelinger Hastighedsfordelinger Sporfordelinger Analyse af VISSIMs motorvejsmodel Fremgangsmåde Måleområde Definitioner Resultatbehandling Resultater Konklusion Perspektivering Anvendt litteratur Papers og rapporter Bøger Indhold af vedlagte CD-ROM

7 Nomenklatur d Densitet (km -1 ) Et mål for hvor mange køretøjer der befinder sig på en vejstrækning d j Maksimaldensitet eller jamdensity (km -1 ) Den densitet hvorved der skabes fuldstændigt nedbrud i trafikken h Headway eller følgeafstand (s -1 ) Den længde hvormed to køretøjer efterfølger hinanden i samme kørespor. I dette studie beregnet som afstanden mellem fronterne på bilen. I Trafikintensitet eller flow (t -1 ) Antallet af køretøjer der passerer et snit på en vejstrækning over en given tidsperiode. I max Maksimal trafikintensitet eller kapacitet (t -1 ) Den maksimale trafikintensitet der kan afvikles på en strækning v 0 Speed-at-capacity (km/t) Hastighed hvor kapaciteten optræder på speed-flow-kurven. v f Fri hastighed (km/t) Den hastighed hvormed bilisterne søger at køre, uden indflydelse fra andre køretøjer, men med indvirkning fra eksterne forhold, som f.eks. hastighedsgrænser, geometri og sigt. v s Strækningsmiddelhastighed (km/t) Den gennemsnitlige hastighed for alle køretøjer, der befinder sig på en strækning på f.eks. en km v snit Snitmiddelhastighed (km/t) Den gennemsnitlige hastighed for alle køretøjer der passerer et givent snit σ Varians µ Middelværdi

8 1. Forord 1. Forord Denne rapport er dokumentation for eksamensprojektet Trafikafvikling på motorveje udført af Hans Martin Johansen. Eksamensprojektet er udarbejdet ved Center for Trafik og Transport på Danmarks Tekniske Universitet i samarbejde med Vejdirektoratet i perioden februar til juli 2006 under vejledning af professor Steen Leleur og civilingeniør Henning Sørensen fra Vejdirektoratet. I forbindelse med arbejdet med projektet vil jeg gerne rette en stor tak til Henning Sørensen for god og tålmodig vejledning samt ideer og inspiration til projektet. Samtidig vil jeg også gerne takke Vejdirektoratet for at stille en stor mængde datamateriale, kontor samt hardware og software til rådighed for arbejdet med projektet. Desuden vil jeg naturligvis takke min vejleder på DTU, Steen Leleur, for god vejledning. Hans Martin Johansen, s København, juli

9 2. Indledning 2. Indledning For at sikre en tilfredsstillende mobilitet i dagens samfund forbindes landsdelene af et motorvejsnet, der siden midten af 50 erne stadigt er blevet udbygget, således at det danske motorvejsnet i dag består af km vejstrækning. (vejsektoren.dk) Definitionen på en motorvej er en vej med adskilte kørebaner, med typisk 2 eller 3 kørespor i hver retning, samt et eventuelt nødspor. Alle skærende veje føres over eller under motorvejen, og vejtilslutninger udformes som til- eller frakørsler, med ramper til acceleration. På de danske motorveje er den højest tilladelige hastighed som udgangspunkt 130 km/t, men på strækninger hvor specielle forhold eller trafikmængderne gør denne hastighedsgrænse uhensigtsmæssig i en sikkerhedsmæssig forstand, opereres med en skiltet hastighedsgrænse på typisk 110 km/t. Denne hastighedsgrænse anvendes bl.a. på størstedelen af motorvejsvejnettet omkring København. Fremkommeligheden på motorvejene er om noget påvirket af trafikmængden på den givne vejstrækning, og er i dag en af de store udfordringer i anstrengelserne for at bibeholde en god mobilitet i dagens samfund. På motorvejsnettet i hovedstadsområdet forekommer der dagligt trængsel i myldretiderne. Især imod den centrale del af København om morgenen og ud imod forstæderne om eftermiddagen. Disse store trafikstrømme medfører nedsat rejsehastighed og deraf forlængede rejsetider. Derfor bliver motorvejsnettet stadigt udvidet hvad i antal kørespor samt etableringer af nye strækninger for at kunne imødekomme en stigning i efterspørgslen. Senest bliver Motorringvej 3 omkring København udvidet med et ekstra spor, og yderligere udvidelser af motorvejsnettet i hovedstadsområdet er i gang, bl.a. på Køge Bugt Motorvejen. Til trods for at kun 1,3 % af det samlede danske vejnet består af motorvej, afvikles alligevel 1/5 af al trafikarbejdet på motorveje (vejsektoren.dk). Da en så stor en del af trafikken kører på motorvejsnettet, er det af stor betydning at foretage analyser af trafikafviklingen, for på den måde at kunne udarbejde metoder, som kan gøre trafikafviklingen mere sikker eller kan minimere rejsetiden. Af disse metoder kan bl.a. nævnes dynamisk vejvisning, varierende hastighedsgrænser, kampagner eller en anderledes dimensionering af nye trafikanlæg. Dette studie vil ligeledes søge at undersøge effekterne ved forskellige vejrsituationer. Den intuitive fornemmelse hos fagfolk er at både den frie hastighed og kapaciteten reduceres, når specielle vejrforhold indtræder og dermed påvirker trafikken. Imidlertid er det kun udenlandske studier, som påviser en forskel mellem de forskellige situationer, og disse studier er hverken ensartede i deres konklusioner, ej heller overensstemmende i metoderne. En anden trafikmæssig virkning ved ekstreme vejrforhold som f.eks. snevejr er også den sikkerhedsmæssige faktor. Erfaringerne fortæller at der ved nogle vejrforhold kan optræde forhøjede ulykkesfrekvenser i forhold til normale vejrforhold, hvorimod det omvendte forhold også kan gøre sig gældende, dvs. at et specielt vejrmæssigt forhold medfører at bilisterne tager ekstra forholdsregler, f.eks. i form af hastighedstilpasninger, og at ulykkesfrekvensen hermed bliver lavere. 9

10 3. TRIM-systemet Disse sikkerhedsmæssige aspekter vil dog ikke blive berørt i dette studie, men behandlingerne af de vejrmæssige data kan muligvis tjene som eksempel ved fremtidige undersøgelser af ulykkeforekomster under forskellige vejrforhold. Dog kan nogle af konklusionerne som studiet medfører, være forhold, som udgør en forskel sikkerhedsmæssigt. Derudover analyseres der heller ikke hvorledes efterspørgslen opfører sig over døgnet eller året, men der tages udgangspunkt i den efterspørgsel, der nu engang forekommer, og behandler på baggrund af denne efterspørgsel, den trafikafvikling, som herefter kommer. Ligeledes tager analysen i denne rapport udelukkende udgangspunkt i de forhold og betingelser, der nu engang er gældende på vejnettet, og søger udelukkende at konkludere på de enkelte trafikanters adfærd i forhold til kørslen. Af denne årsag foreslås heller ingen egentlige muligheder for infrastrukturudvidelser, trafikledelse eller andre muligheder for at minimere tidsforbruget. Igen må det antages at mange af de konklusioner, som senere hen drages af analysen kan anvendes til disse formål. Til analysen anvendes data fra TRIM-systemet, der vil blive beskrevet senere i rapporten. Til bearbejdelse af data fra dette system anvendes makroer skrevet til regnearket Microsoft Excel. Disse algoritmer skal dels sikre en ensartethed i de data der anvendes til udtræk, men formålet med at anvende et sådan automatiseret udtræk er at den tidsmæssige begrænsning til udtræk minimeres. Derudover må det forventes at metoden, der anvendes til udtrækket senere kan anvendes ved lignende analyser. 3. TRIM-systemet TRIM-systemet er blevet etableret med det formål at kunne monitere trafiksituationen på det storkøbenhavnske motorvejsnet kontinuerligt med henblik på trafikmeddelelser. Systemet består af en række elektroniske målespoler, som kan registrere hvorvidt der befinder sig et køretøj over spolen. Ved at sætte to spoler op umiddelbart efter hinanden, kan en række parametre såsom hastighed, køretøjets længde og tidsgabet i forhold til den forrige overkørsel bestemmes ud fra beregninger omkring hvorledes spolerne registrerer køretøjerne. Derudover registreres den nøjagtige dato og klokkeslæt hvor overkørslen har fundet sted. Spolerne er hovedsageligt placeret i nærheden af tilslutninger til motorvejsnettet, for at kunne registrere trafikmængderne for de enkelte ramper. 3.1 Dataudtræk Alle observationer af enkeltkøretøjsdata fra TRIM-systemet bliver arkiveret, så de senere kan findes frem, for at foretage historiske analyser. Dette sker blandt andet vha. et pakkeprogram, der reducerer størrelsen på observationsfilerne. Pakkeprogrammet kan efterfølgende anvendes til at eksportere observationer fra specifikke dage og tidsrum, således at størrelsen af data kan blive reduceret til kun at gælde i f.eks. myldretiden eller i dagtimer. 10

11 3. TRIM-systemet Spolenr Dato Time Speed Length Covertime Gap S :24: S :24: S :24: S :24: S :24: S :24: S :24: S :24: Tabel 3.1 Eksempel på uddata fra TRIM-systemet I tabel 3.1, ses et eksempel på et udtræk fra TRIM-spolerne, og det kan ses at der eksporteres alle de interessante parametre. For at reducere tidsforbruget ved et eventuelt udtræk af disse værdier, er der til formålet udviklet en række makroer til brug i Microsoft Excel. Denne makro har dels til formål at standardisere udtrækket fra TRIM-filerne, dels til formål at automatisere udtrækket. Metoden er udviklet således at udtrækkene kan defineres direkte i regnearket. Algoritmen foretager følgende overordnede trin for at indhente, bearbejde og aggregere data: Indlæsning af inddataparametre såsom intervallængde, spoler og datoer Kald af pakkeprogram, og afventer uddatafil Åbner uddatafilen fra pakkeprogrammet og sikrer at denne ikke er skrivebeskyttet Indlæser data i regneark Sorterer fejlobservationer fra Aggregerer data i de specificerede intervaller. Summerer over mikroskopiske køretøjsdata Udskriver til Excel-arket Antallet af observationer, der inddrages i analysen er udelukkende begrænset af den tid der er til rådighed til at foretage udtrækket, samt de tilgængelige data. Fordelen ved at anvende denne makro til at lave udtrækket, er endvidere at data på den måde bliver struktureret systematisk. I kaldet af pakkeprogrammet er det ligeledes vigtigt, at der bliver specificeret hvorvidt udtrækket består af observationer foretaget i sommer- eller vintertid. Dette er således specificeret i en funktion, der ud fra datoen returnerer tidstypen. Udtrækket vil senere hen blive anvendt til analyse af data, og vil desuden blive tilpasset alt efter formålet. 11

12 3. TRIM-systemet 3.2 Beregning af følgeafstand I udtrækket af TRIM-data er gaptime målt som tidsrummet mellem at køretøjet foran har sluppet den bagerste spole, til at det næste køretøj bliver registreret på spolen. Derfor beregnes den ønskede følgeafstand ud fra nogle flere registrerede parametre, som det er forsøgt illustreret på fig. 3.1 og 3.2. B 2 A Spole 1 A 2 Registreret gaptime Covertime Fig Målinger foretaget i TRIM-systemet B Spole A Gaptime Fig Ønsket målt afstand mellem køretøjer Da denne fil er anderledes end det ønskede tidsgab, er det nødvendigt at omregne. Coverlængde = 2 + LA 2 + LA Covertime = va 2 + LA Gaptime = Målt gaptime + va Der er blevet konstateret uregelmæssigheder mellem de beregnede gaptider og differencen mellem de registrerede klokkeslæt. En sådan forskel er naturligt forekommende, da klokkeslættet for overkørslerne kun registreres i hele sekunder, mens gaptiderne registreres i millisekunder. Dog forekommer der hyppigt, dvs. i omegnen af 50 % af tilfældene, værdier med en afvigelse på over 1 sekund. Dette kan altså ikke skyldes afrundingsfejlen, men må skyldes en anden faktor. Dog antages det i den følgende analyse, at fejlen ligger i tidspunktet for dataopsamlingen, og dermed at klokkeslættet ikke er registreret helt perfekt. Dette må antages at give en mindre fejlregistrering senere ved beregning af trafikintensiteten, men fejlen må antages at være så lille, at den kan negligeres. 12

13 3. TRIM-systemet 3.3 Hastighedsangivelser Et køretøjs hastighed til tiden t er defineret som: dx x2 x1 v i = = lim( t2 t1 ) 0 dt t2 t1 I tilfældet med TRIM-spolerne anvendes lige nøjagtig dette princip til at registrere hastigheden, da tidsrummet overkørslen af to spoler kan bestemmes, mens længden mellem spolerne på 2 meter er kendt. Snitmiddelhastigheden kan beregnes ud fra den kendte metode til at beregne middelværdier: n 1 vsnit = v i n i= 1 Ved nogle analysemetoder er det dog nødvendigt at anvende strækningsmiddelhastigheden i stedet for snithastigheden. Strækningsmiddelhastigheden betegner den gennemsnitlige hastighed kørt af alle køretøjer på en strækning over f.eks. en kilometer. Langsommere kørende biler vil befinde sig længere tid på strækningen, og dermed vægte tungere i middelberegningen. Denne vægtning bliver altså ikke medtaget ved beregning af snitmiddelhastigheden. Hvis den reelle strækningsmiddelhastighed skal måles er det nødvendigt at foretage målinger af tiden mellem ind- og udkørsel på strækningen, hvilket kan vise sig at blive en kompliceret affære, men kan gøres vha. kørepladeregistrering. Ligeledes er der foreslået mange andre metoder til at bestemme en sådan strækningsmiddelhastighed vha. luftfoto. Imidlertid kan der, hvis der er tale om en strækning med ensartede parametre over hele strækningen, antages at den målte snithastighed svarer til den gennemsnitlige hastighed på strækningen. Beregningen af strækningsmiddelhastigheden kan fremvises ved først at beregne strækningsmiddelrejsetiden: n n L v1 + L v L vn 1 L L 1 ts = = = n n v n v i= 1 i Da den gennemkørte distance L, antages konstant, kan der beregnes et udtryk for strækningsmiddelhastigheden v s ud fra målingerne i snittet: L L n vs = = = n n t L 1 1 m n v v i= 1 i i= 1 i i= 1 Det ses af udtrykket at en enkelt registreret hastighed v i 0 ligeledes vil resultere i en v s 0. Ligeledes kan det ses at hvis v 1 = v 2 = v 3 = = v n vil strækningsmiddelhastigheden svare til snitmiddelhastigheden. (15) 3.4 Trafikintensitet Ved beregning af trafikintensiteten anvendes de klokkeslæt, hvor hver enkelt overkørsel har fundet sted. Disse tælles op indenfor hvert tidsinterval. I denne optælling medtages desuden fejlregistreringer, hvor det ikke har været muligt at registrere parametrene for det enkelte i 13

14 3. TRIM-systemet køretøj, men da der har fundet en overkørsel sted, bør en sådan også medregnes i trafikintensiteten. Vejreglerne opererer desuden med såkaldte personbilækvivalenter. Disse er udtryk for hvor meget ekstra de længere og tungere køretøjer fylder på vejen. Dette er både rent kapacitetsmæssigt, men også fysisk på vejen. Der anvendes ækvivalenter som anbefalet i vejreglerne (15), som det fremgår af tabel 3.2. Disse ækvivalenter er selvfølgelig til en hvis grad afhængige af de forhold som trafikken afvikles under, f.eks. under forskellige hastigheder og densiteter, men dette tages der ikke højde for i de følgende udregninger, og der anvendes dermed konstante personbilækvivalenter i henhold til vejreglerne. Længde: Personbilsækvivalent 5,8 12,5 m 2,0 Større end 12,5 m 2,5 Tabel 3.2 Anvendte personbilsækvivalenter Der anvendes ækvivalenter for vandret vej, da det antages at de snit, som senere i rapporten analyseres, opfylder denne betingelse. 3.5 Konstaterede usikkerheder ved TRIM-systemet Der er konstateret en række uregelmæssigheder i udtrækkene fra TRIM-filerne, hvilket vil være naturligt ved en sådan automatiseret dataopsamling, og vil her kort blive nævnt. Der kan ikke tages yderligere højde for disse uregelmæssigheder, da det antages at hyppigheden af disse forekommer uafhængigt af vejrsituationer og trafikmængder. Hastighedsfordeling: Følgeafstand: Fejlregistreringer: Spolerne har tendens til at måle nogle hastigheder mere hyppigt end andre hastigheder. Dette skyldes den såkaldte samplingtid, som systemet opererer med. Dette må dog antages at give en minimal forskydning, og fejlen må ligeledes antages at være den samme under alle målte forhold og trafikmængder. Følgetiden mellem overkørslerne stemmer ikke overens med differencen mellem de registrerede klokkeslæt. Umiddelbart må det antages at fejlen ligger i de registrerede klokkeslæt, og dermed at beregningsmetoden fra afsnit 3.2 er troværdig. Derudover forekommer der en række fejlregistreringer i systemet. Disse optræder angiveligt ved køresporsskift under overkørsel af spolen, eller ved så tæt kørsel at der ikke kan skelnes mellem køretøjerne. Disse udelades dog udelukkende ved beregning af værdier for headways og hastighed, men medtages når der beregnes trafikintensiteter, således at en fejlregistrering antages at stamme fra en personbil. 14

15 4. Trafikparametre Dette må antages at skabe en mindre forskydelse ved analysen af headways, da vognbaneskift oftest sker i forbindelse overhaling, og dermed i umiddelbar nærhed af et andet køretøj. Manglende tidsrum: Der forekommer i datasættene ligeledes hele dage og tidsrum, hvor spolerne ikke har registreret overkørsler. Forekomsterne af disse udeladte målinger må ligeledes antages at optræde uafhængigt af trafikmængder, vejr osv. I nogle tilfælde er de forløbne trafikmængder herefter blevet registreret som forekommet ved genstart af systemet. De relativt få tilfælde, hvor det medfører unormalt afvigende observationer, er slettet manuelt. Forskellige trafikmængder: Derudover er der ved sammenligning af trafikintensiteterne på spoler beliggende umiddelbart efter hinanden også registreret en afvigelse i trafikmængderne. Desuden henvises ligeledes til (14), som beskriver at spolerne på Motorring 3 har en nøjagtighed for hastighedsmålingerne på 3 km/t ved hastigheder under 100 km/t og 3 % ved hastigheder over 100 km/t. Da måleprincipperne er ens, må det vurderes at de indsamlede data i tilstrækkelig grad opfylder målene om nøjagtighed. 4. Trafikparametre For at kunne fastslå nogle karakteristika for trafikafvikling, dels under varierende vejrforhold, men også forskellige kørespor er det nødvendigt først og fremmest at definere de interessante observationsparametre gældende for trafikafviklingen. Nogle af disse parametre er det nødvendigt at beregne over tid og betegnes derfor som tilhørende den makroskopiske trafikafvikling. I denne gruppe er det ikke muligt at fastslå den enkelte trafikants adfærd, men er derimod en funktion af samtlige trafikanters adfærd over den tidsperiode, der observeres over. Eksempler på makroskopiske trafikparametre, der kan være interessante i denne analyse, er: Trafikintensitet Antal køretøjer der passerer et snit pr tidsenhed Okkupation Andelen af tid et snit i vejen er optaget af et køretøj Densitet Antal køretøjer pr. længdeenhed på vejstrækningen Sporfordeling Hvorledes køretøjerne fordeler sig på forskellige kørespor Middelhastigheder Beskriver middelværdien for hastigheden Densitet og okkupation er to parametre med stor sammenhæng, men i dette studie anvendes udelukkende densiteten som mål for hvor tæt trafikken er. Fordelen ved at anvende okkupationen ville være at lange køretøjer indgår naturligt i denne parameter. Mikroskopiske trafikparametre kan, i modsætning til parametre relaterende til den makroskopiske trafikafvikling, registreres for hver enkelt overkørsel. Derfor kan der på denne vis registreres fordeling af parametrene, afhængig af de eksterne forhold. Blandt de makroskopiske forhold kan nævnes: 15

16 4. Trafikparametre Hastighed Distance tilbagelagt pr. tidsenhed Rejsetid Over strækning med kendt længde Tidsafstand mellem køretøjerne Tid pr. køretøj Længdeafstand mellem køretøjerne Længde pr. køretøj Alle de otte nævnte parametre kan registreres eller estimeres ud fra andre givne parametre i TRIM-systemet. 4.1 Speed-flow kurver En metode til at registrere trafikmæssige karakteristika for trafikafviklingen kan være at estimere parametrene for de såkaldte speed-flow-kurver. Disse kurver udtrykker sammenhængen mellem hvor meget trafik, der afvikles på en given strækning og strækningsmiddelhastigheden. Formen på en sådan kurve afhænger af en lang parametre, men det helt centrale element i denne kurve er den afstand køretøjerne har til hinanden, også kaldet headway eller følgeafstanden. Størrelsen af denne headway er en funktion af mange forskellige ting vedrørende kørslen, men vigtigste parameter i denne forbindelse er den hastighed hvorved trafikken afvikles. Især længdeafstanden vil have stor afhængighed af hastigheden, hvorimod tidsafstanden i mindre grad vil være påvirket. I køreskolens teoribog (17), nævnes at den mindste afstand til et forankørende køretøj bør være to sekunders køretid. Dette skal ske for at undgå en kollision, hvis den forankørende foretager en pludselig opbremsning. Afstanden skal altså tage højde for tidsrummet, som vil opstå mellem at den forankørende bil foretager en opbremsning, og til at føreren selv påbegynder decceleration. I dette tidsrum vil det forankørende køretøj have opnået en lavere hastighed, der således vil resultere i en afstandsminimering, indtil der er opnået ens hastigheder for de to køretøjer. Den nævnte afstand tager dog ikke hensyn til køretøjets længde, og må betragtes som en tommelfingerregel. Den er dog interessant, da det principielt set burde være denne regel kørslen blev afviklet efter. Om dette imidlertid forekommer i den virkelige verden er en anden sag. Tid (s) Bil 1 10 Bil 2 9 Bil 1 bremser 8 "Bil 2 bremser" Sted (m ) Fig. 4.1 Bilfølgediagram ved opbremsning 16

17 4. Trafikparametre På fig. 4.1, ses det hvorledes to biler vil opnå kontakt, hvis de kører med en indbyrdes afstand på 1 sekund ved 110 km/t, reaktionstiden er 1,5 sekund og de begge bremser op med en decceleration på -2 m/s 2. I modsætning til dette lidt sikkerhedsmæssige aspekt, ses nu på den trafikafviklingsmæssige side af sagen. Det må være klart at jo tættere bilister kører på hinanden ved en given hastighed, jo mere trafik kan afvikles på en strækning. Ligeledes må det stå klart at densiteten på en strækning må være omvendt proportional med den gennemsnitlige headway, givet ved: 1 d = h F.eks. vil en gennemsnitlig headway fra front til front på 10 m ~ 0,01 km medføre en densitet på 100 pe/km. En headway er udtryk for den afstand en bilist holder til det forankørende køretøj, for f.eks. at kunne reagere på pludselige opbremsninger. Selvfølgelig er afstanden ligeledes afhængig af det forankørende køretøjs længde, idet det typisk er bagenden af køretøjet man tager udgangspunkt i.. Ud fra formen på en sådan speed-flow-kurve kan identificeres en lang række interessante parametre, som f.eks. kapacitet, fri hastighed og strækningsmiddelhastigheden ved kapacitet. I sammenhæng med speed-flow-kurverne indgår desuden densiteten, der er angivet ved antallet af køretøjer pr. km vejstrækning. Disse tre parametre har følgende interne relation. I = v s d Hvor: I d v s : Trafikintensiteten igennem snittet (køretøjer pr. time pr. kørespor) : Densiteten (antal køretøjer pr. km pr. kørespor) : Strækningsmiddelhastigheden (km/t) Forholdet bunder i en betragtning om, at hvis der i et kørespor befinder sig f.eks. 15 køretøjer over en kilometer, og disse i gennemsnit kører med 100 km/t, vil der over en time blive afviklet 100 af disse strækninger med 15 køretøjer på hver, hvilket vil medføre en trafikintensitet på 1500 køretøjer/timen. Den vel nok vigtigste parameter der kan bestemmes ud fra parametrene, der foreskriver speedflow-kurverne, er kapaciteten, der opstår ved toppunktet af kurven. Highway Capacity Manual (17) definerer kapacitet som den trafikmængde en given trafikfacilitet kan afvikle under fremherskende betingelser. De danske vejregler (15) definerer derimod kapaciteten på en vejstrækning som et udtryk for den største mængde af trafik, der med rimelighed kan påregnes at kunne afvikles på vejen. Problemet er altså at der ikke findes en gængs matematisk beskrivelse af kapaciteten, og derfor vil de kapacitetsangivelser, der anvendes i dette studie let kunne variere ud fra de metoder der anvendes til beregne kapaciteten. En direkte observation af kapaciteten defineret ifølge HCM kan være vanskelig at foretage, da det sjældent kan sikres, at der ikke på noget andet tidspunkt kan afvikles mere trafik på 17

18 4. Trafikparametre strækningen. Det må forventes, at kapaciteten dermed bliver en værdi, som vil vokse som følge af observationsperioden. Ved den maksimale trafikintensitet, der kan optræde på strækningen, opnås en densitet d 0 og en hastighed v 0 : I max = v 0 d 0 Disse to parametre v 0 og d 0 er bestemt af en lang række forhold som f.eks. trafiksammensætningen, miljømæssige omgivelser og hastighedsbegrænsningen på vejstrækningen. Værdien v 0, der på engelsk kaldes speed-at-capacity, er interessant i en trafikmæssig analyse, da den er et udtryk for den optimale hastighed set i forhold til kapaciteten. Forskellige studier beskriver at kapaciteten typisk opnås ved en given hastighed på omkring 1/2 til 3/4 af den frie hastighed. På fig. 4.2 ses formen på en speed-flow-kurve. Som det ses er figuren tegnet med trafikintensitet ud af x-aksen og med strækningsmiddelhastigheden op af værdiaksen. Dette gøres udelukkende af historiske årsager, og er jo i grunden forkert som det ses af figuren, da der for hver trafikintensitet under kapaciteten kan opnås to værdier for strækningsmiddelhastigheden. Årsagen til denne spejlvenden af kurven, kan være at man tidligere har anset hastigheden over kapacitetshastigheden til at være en funktion af flowet. v s v f v 0 Fig. 4.2 Skitse af en speed-flow-kurve I litteraturen omtales kurverne som opdelt i tre såkaldte regimer. Dels regimet under frit flow, der er den øverste fladere del af kurven, regimet ved kapacitetsgrænsen helt ude omkring toppunktet til højre, og regimet under forceret trafikafvikling, hvor der er tale om køkørsel. I køkørselsregimet er trafikken præget af hyppige opbremsninger og accelerationer. Ud fra speed-flow-kurverne kan det identificeres, om det målte snit er beliggende ovenstrøms eller nedenstrøms for den fremherskende flaskehals. Hvis målesnittet ligger før flaskehalsen, vil I max I 18

19 4. Trafikparametre det medføre, at der typisk opnås få observationer omkring kapacitetspunktet, mens der vil være forholdsvist mange observationer under kapacitetshastigheden. Hvis målesnittet er placeret direkte i flaksehalsen, vil der kun være observationer ned til kapacitetshastigheden. Hvis der derimod observeres efter flaskehalsen, vil der kun observeres trafikafvikling i regimet under fri afvikling. Fig. 4.3 Princip for speed-flow-diagrammer på strækning med flaskehals Dette princip er forsøgt illustreret på fig. 4.3, hvor en indsnævring i vejens bredde skal illustrere flaskehalsen. Ved bestemmelse af parametrene, som bestemmer kurvens forløb, er det vigtigt at der forekommer en bred repræsentation af data for at kunne bestemme hele forløbet. På fig. 4.4 ses ligeledes en kurve observeret på Holbækmotorvejen genereret af data over et helt år. Det kan bemærkes at kurven fremtræder ret tydeligt især ved trafikintensiteter over 500 pe/time og helt ud til kapacitetsgrænsen. Fig. 4.4 Eksempel på observeret speed-flow-kurve på Holbækmotorvejen for hele 2005 Ligeledes kan det ses af figuren, at kurven ikke eksakt definerer observationernes placering, men at der forekommer stokastiske udfald omkring kurven, og dette især kan observeres ved små trafikmængder omkring den frie hastighed. Ligeledes kan det ses at der forekommer såkaldte outliers, som ikke umiddelbart følger kurvens forløb, under kurven, og er udtryk for en meget dårlig afvikling af trafikken. Til sidst kan det observeres af figuren, at der over kurven dannes en relativ skarp grænse, i modsætning til udsvingene under kurven. 19

20 4. Trafikparametre Specielt til denne figur kan det i øvrigt bemærkes at der optræder ganske få observationer ved kapacitetsgrænsen ved toppunkt at kurven, hvilket indikerer at observationspunktet ikke er placeret i flaskehalsen. Der findes en lang række forslag og udregninger til hvorledes disse speed-flow-kurver kan bestemmes matematisk. Nogle tager udgangspunkt i rent empiriske antagelser, mens andre tager udgangspunkt i en beskrivelse af den gennemsnitlige følgeafstand som funktion af hastigheden. Netop ved at kunne beskrive følgeafstanden som funktion af hastigheden, gives der mulighed for vha. beregning at kunne udlede relationen mellem hastighed og trafikintensiteten. 4.2 Greenshield Greenshield var den første til at opstille en model omhandlende forholdet mellem hastighed og flow, også kaldet speed-flow-kurven. Hans betragtninger bundede i observationer af trafikken i en tunnel i New York i 1930 erne, og han opstillede følgende lineære relation mellem hastighed og densitet: v s = v f v d f j d Ud fra den kendte relation mellem strækningsmiddelhastighed, densitet og hastighed fås følgende udtryk for relationen mellem densitet og flow. I = v d I = v s f v d d f j d 2 Det kan altså ses ud af formlen at der for små værdier af d, er stigning i flowet, indtil der opnås et maksimalt flow. Den optimale densitet kan udregnes ved: d( I ) v f = 0 v 2 f d0 = 0 d( d ) d j Dette giver: d = 0 d j 2 Altså vil maksimalkapaciteten ifølge modellen optræde ved det halve af trængselsdensiteten, hvilket ved studier ikke har vist sig at stemme overens med virkeligheden. Ligeledes kan denne øvelse foretages for at beregne den maksimale trafikintensitet. Først isoleres trafikbelastningen I: v f I d j 2 vs = v f I = ( v f vs vs ) d j vs v f 20

21 4. Trafikparametre 21 Det vides at j d = d 0 2 og at 0 0 max d v I =, hvilket giver: ( ) v v v v d d v f f = Dette giver en hastighed v 0, hvor flowet er lig med kapaciteten 2 0 v f v = Disse to formler sammenholdt giver en kapacitet for den givne strækning på: 4 max v f d j I = 4.3 Mays model A.D. May opstiller i sin bog om Traffic Flow Fundamentals (20) følgende udtryk for en carfollowing-model. ( ) ( ) [ ] () () [ ] () () [ ] t X t x t X t X t t X t t X n n l n n m n lm n = + & & & & α Ud fra dette udtryk er der opstillet følgende relation mellem strækningsmiddelhastigheden og densiteten givet ved: = l j m f m s d d v v, 1 0 < m og 1 > l Ud fra den kendte relation I = v d fås: = l j s m f s d v I v v Herefter isoleres flowet = l m f s j s v v d v I Dette giver altså en speed-flow-kurve givet ved fire parametre; den frie hastighed, maksimaldensiteten og de to parametre m og l. Dette medfører en model med flere frihedsgrader end Greenshields model Greenshields model er en variant af Mays model, hvor l = 2 og m = 0.

22 4. Trafikparametre 4.4 Van Aerdes model Van Aerde har ligeledes foreslået en model i (12), der bygger på en følgeafstand, bestående af tre parametre, som hver især angiver nogle komponenter i følgeafstanden som funktion af strækningsmiddelhastigheden. c2 h = c1 + + c3 vs v f v Hvor: h: Følgeafstanden mellem følgende køretøjer (km) c 1 : Konstant følgeafstandskonstant (km) c 2 : Første variable følgeafstandskonstant (km 2 /timer) c 3 : Anden variable følgeafstandskonstant (timer -1 ) v f : Fri hastighed (km/time) v s : Hastighed (km/time) Relationen bygger på nogle formodninger om bilisternes headway i forhold til deres ønskede hastighed. Da densiteten er omvendt proportional med følgeafstanden, fås en densitet givet ved: 1 1 d = = h c2 c1 + + c3 vs v v f s Ligeledes kan relationen mellem hastighed og trafikintensitet findes: vs I = c2 c1 + + c3 vs v v f s Det ses at denne relation, ligesom Mays model, opererer med fire parametre til at beskrive kurven. For at give et overblik over de tre forskellige relationer, plottes de op imod hinanden. Dette gøres ved hjælp af tre forskellige kurver. Der laves grafer, der viser strækningsmiddelhastigheden som funktion af densiteten, af trafikintensiteten som funktion af densiteten og strækningsmiddelhastigheden som funktion af trafikintensiteten. Her er den sidstnævnte, nok den af primær interesse i denne analyse. Bemærk at enhederne på akserne i fig. 4.5 er søgt bibeholdt på tværs af graferne. 22

23 4. Trafikparametre Fig. 4.5 De tre makroskopiske speed-flow modeller plottet med samme parametre På fig. 4.5 er de tre forskellige nævnte speed-flow-modeller plottet således, at de alle tre er søgt tilpasset, så de opfylder kriterierne at I max = 2200 pe/t, d j = 80 pe/km, v f = 110 km/t og v 0 = 80 km/t. Det kan ses på figuren at de tre speed-flow-modeller har forskellig opførsel under forskellige funktioner. F.eks. er det påfaldende at trafikintensiteten som funktion af densiteten, er forskellig for de tre funktioner ved densiteter større end 40 pe/km, og at trafikintensiteten ved Mays model for densiteter større end 60 pe/km er næsten 0 med de beregnede parametre. 4.5 Øvrige speed-flow-relationer De tre nævnte speed-flow-relationer er kun et udvalg af mange, der er foreslået gennem tiderne.. Derudover findes der en lang række alternative speed-flow-relationer. En række af disse er bestemt empirisk, og langt størstedelen gælder udelukkende for regimet over kapacitetsgrænsen. Heriblandt kan nævnes relationen, der anvendes til trafikmodeller, og som er diskontinuert ved kapaciteten. Netop pga. denne diskontinuitet vil det rent statistisk være en besværlig manøvre at bestemme begge kurvernes parametre. Disse går under betegnelsen Multiregime-models, og disse modeller går altså ud fra forskellige forskrifter, alt efter hvilket regime trafikken befinder sig. Problemet med at anvende disse kurver er selvfølgelig at der skal bestemmes parametre for begge kurver, og at en lille ændring for den ene kurve kan resultere i en stor ændring for kapacitetsgrænsen, da denne må bestå af skæringspunktet mellem de to kurver, der i dette tilfælde udgør speed-flow-kurven. 23

24 5. Andre målbare parametre Fig. 4.6 Eksempel på speed-flow kurver komponeret af flere funktioner (21) På fig. 4.6 kan ses et eksempel på en speed-flow-kurve sammensat af flere kurver. I dette tilfælde er det dog, som det også kan ses direkte af figuren, samme funktion, der beskriver de to forskellige kurver men med forskellige parametre. 5. Andre målbare parametre Ligesom det vil være muligt at estimere speed-flow-kurverne ud fra de registrerede TRIMobservationer, vil det ligeledes være muligt at konstatere karakteristika for trafikstrømmene, under forskellige trafiktætheder ved brug af andre parametre. Disse parametre vil alle være afhængige af den trafikintensitet der afvikles på strækningen, og bør derfor efter sorteres efter hvor stor en intensitet, der observeres i samme periode på strækningen. Problemet med en sådan sortering er som det ses af fig. 4.4, at der for samme trafikintensitet kan gælde to forskellige hastigheder. Dvs. at der både kan gælde fri afvikling af trafikken, men også køforhold, og derfor kan sortering vha. trafikintensiteter vise sig at være problematisk. Derfor anvendes ligeledes en sortering vha. den observerede strækningsmiddelhastighed og densitet. 5.1 Fordeling af headway Følgeafstanden indgår som et centralt element i speed-flow-relationerne, som tidligere nævnt. Derfor må det forventes at en særskilt analyse af denne parameter blot vil vise de samme resultater som analysen af speed-flow-relationen. Derimod vil en analyse af fordelingen af de observerede headways muligvis kunne vise hvorledes spredningen af headways ændrer sig. Under ekstremt små trafikintensiteter, dvs. under betingelser, hvor køretøjerne ikke behøver at tage hensyn til andre køretøjer, må ankomstfordelingen antages at følge en poisson-proces, dvs. at tiden imellem disse ankomster vil være fordelt efter en eksponentialfordeling. Dette vil dog ikke være tilfældet, når trafikintensiteten stiger, idet køretøjer har en udstrækning, og at der normalt i trafikken også bør holdes en minimumafstand. Derfor vil de ekstremt små headways, som eksponentialfordelingen også beskriver som forekommende, ikke være mulige ved større trafikintensiteter. 24

25 5. Andre målbare parametre VD (14), nævner at spredningen delvist følger en log-normal-fordeling. At den her kun delvist følger denne fordeling, tilskrives forskelligheden i trafikintensiteter, hvorunder observationerne er opsamlet. Ifølge Johnson (18), er log-normal-fordelingen givet ved parametrene α og β: ( ln x α ) x e 2 2β, x > 0, β > 0 f ( x) = 2π β 0, ellers For denne funktion er det endvidere givet, at: 2 α + β 2 µ = e 2 σ = e 2 2α + β 2 β ( e 1) De to ligninger for middelværdi og varians kan give udtrykket for de to ubekendte α og β: β = 2 2 σ + µ ln 2 µ 2 α = ln µ β 2 Således kan de to fordelingsparametre bestemmes ud fra middelværdien og spredningen for de observerede data. Parametrene α og β kan altså bestemmes for hvert enkelt interval, og herefter sammenlignes i de forskellige trafikale situationer. Desuden nævner Luttinen (19), som har udført detaljerede statistiske undersøgelser af headways, at en såkaldt Semi-Poissonfordeling er den bedste til at efterligne sandsynlighedsfordelingen, mens at den næstbedste undersøgte fordeling er log-normalfordelingen. Parametrene for Semi-poisson-fordelingen er vanskelige at bestemme, og hvis disse skal bestemmes præcist, kræver det en del statistiske udregninger. Derfor anvendes udelukkende lognormal-fordelingen ved den senere analyse. Derudover har HCM (23) en kort gennemgang af headwayfordelingen over tre forskellige kørespor. Det vides dog ikke, under hvilke trafikintensiteter eller hastigheder, at data er observeret. Ud fra figuren må det dog vurderes, at trafiksituationen under observationen ligger på en middel trafikintensitet, da middelheadwayen ud fra figuren må skønnes at ligge under 5 sekunder, svarende til at intensiteten minimum er 720 køretøjer/t. 25

26 5. Andre målbare parametre Fig. 5.1 Diagram for fordelingen af følgeafstanden i USA. (23) Det ses endvidere af figur 5.1 at spredningen for følgeafstanden er forskellig for de tre kørespor, og at det som forventet er i det højre spor, hvor der er størst spredning, hvilket dels må tilskrives de noget længere køretøjer i dette spor, men også anderledes køreadfærd. Det kan endvidere bemærkes at især for kørespor 2 og 3, noget der kunne minde om log-normal-fordelingen. 5.2 Hastighedsspredningen Ligeledes er hastighedsvariationen i de forskellige spor en faktor, der kan være interessant at undersøge under de varierende trafikintensiteter, kørespor og vejrkonditioner, samt for de forskellige kørespor. En sådan analyse vil vise om bilisterne i højere eller mindre grad er nødsaget til at tage hensyn til hinandens kørsel under forskellige forhold. Hastighedsfordeling må også give et billede om den sikkerhedsmæssige stil i kørslen, da en forhøjet hastighedsspredning må forventes at resultere i en større ulykkesfrekvens. Denne parameter må ligeledes antages at være afhængig af den hastighed hvorunder der bliver målt. Spredningen beregnes efter følgende gængse metode: Ifølge May (20), er de interessante fordelinger i denne henseende ligeledes log-normalfordelingen samt normalfordelingen. Ligeledes må spredningen her antages at variere alt afhængig af trafikintensitet og densitet på strækningen, og derfor vil der ligeledes her blive taget højde for dette ved opdeling. 5.3 Sporfordeling Endelig kan der analyseres hvorledes trafikken kvantitativt benytter køresporene. Da færdselsloven angiver at man så vidt muligt kun skal anvende venstre kørespor til overhalinger, må det forventes, at der ved meget små trafikintensiteter observeres størstedelen af den samlede trafik i højre kørespor. Det må forventes at jo mere trafik der afvikles på strækningen, jo mere ligelig vil fordelingen have tendens til at forekomme på de to spor. Derfor vil data ligeledes blive analyseret på baggrund af en opdeling efter forskellige over hele retningen. Endvidere kan denne metode anvendes til at konstateres anderledes adfærd i vejranalysen. F.eks. kan det forventes at intensivt sne- eller regnvejr vil medføre en mere ulige fordeling sporene imellem, da bilisterne oftere vil køre i sporene hvor vejen friholdes sne eller vand pga. 26

27 5. Andre målbare parametre den ekstra trafik, der som hovedregel benytter det langsomme spor. Ligeledes vil en sådan analyse kunne give et billede om bilisterne under forskellige forhold er mere villige til at indordne sig under de øvrige trafikanter. May (20) bringer omkring sporfordelingen en kort sammenligning mellem de tyske autobahns og de amerikanske freeways. Denne sammenligning kan ses på fig Fig. 5.2 Sporfordelinger for hhv. tyskland (stiplet linje) og USA (solid streg) (20) Her ses det at mønsteret mellem de to vejtyper overordnet er ens. Efterhånden som den totale trafikintensitet på strækningen stiger, falder andelen af trafik i venstre spor, andelen af trafik i midtersporet falder knap så markant, og antallet af køretøjer i venstre kørespor stiger. Dog kan det bemærkes at, på amerikanske highways forbliver andelen i venstre spor mindre end for midtersporet. Ifølge May (20), skyldes dette at det i USA er tilladt at overhale højre om i modsætning til Tyskland. Bemærkelsesværdigt er det dog, at ved en trafikintensitet på køretøjer i timen, afvikles kun 20 % af trafikken i højre kørespor. En mulig årsag til dette kunne muligvis være at data ikke er korrigeret for lange køretøjer. Det kan ligeledes bemærkes af figuren, at der ikke opnås trafikintensiteter i nærheden af 6.000, der må karakteriseres som tilstopning. 27

28 6. Statistiske metoder Fig. 5.3 Observerede sporfordelinger i Canada (4) Samme tendens kan ligeledes observeres på fig. 5.3, der viser henholdsvis observationer udført på tresporede vejstrækninger af Pignataro i 1970, og af Carter, Rakha og Van Aerde i Det ses at der opnås en lige fordeling imellem de to kørespor længst mod venstre, mens højre spor ligesom i Mays eksempel betjener en lav andel af den samlede trafik for høje trafikintensiteter. Bemærk at der i modsætning til Mays figur her er tale om den gennemsnitlige trafikintensitet i hvert kørespor ud af x-aksen. 6. Statistiske metoder For at kunne bestemme hvorvidt de forskellige vejrparametre har indflydelse på den makroskopiske trafikafvikling, er det nødvendigt at anvende den del af statistikken, der betegnes regressionsanalyse. Denne metode går i bund og grund ud på at få en valgt kurve til at passe bedst muligt med de indsamlede observationer ved at justere på de forskellige parametre. Her vil en gennemgang af de forskellige metoder til at tilpasse kurverne blive beskrevet, da resultaterne vil variere alt efter dette valg. 6.1 Bestemmelse af parametre for speed-flow-kurver Til statistisk at bestemme parametrene i funktionerne nævnt i afsnit 4 anvendes normalt regressionsanalyse. Regressionsanalyse går grundlæggende ud på at minimere summen af kvadraterne på differencen mellem estimatet og den observerede værdi. Dette sker ved at ændre parametrene således at man opnår den mindst mulige fejl. I det simpleste eksempel med estimation af en ret linie ud fra en række af observationer x x, K, x, y, y,, anvendes modellen: { }{ } 1, 2 n 1 2 K y n ( ˆ ) 2 min E = y i y i s. t. i yˆ i = a xi + b 28

29 6. Statistiske metoder Hvor ŷ i er den estimerede værdi ud fra øvrige observerede værdier, i dette tilfælde kun x i. I dette tilfælde er variablen x antaget uafhængig af størrelsen på y. Herefter justeres variablene a og b således at den mindste fejl E opnås. Grundelementet i anvendt regressionsanalyse er det væsentlige i at udvælge den uafhængige variabel med omhu, da resultatet af analysen kan veksle alt efter dette valg. F.eks. ville der i eksemplet være fremkommet anderledes resulterende variable, hvis y var blevet valgt som den uafhængige variabel. Problemet i tilfældet med bestemmelse af speed-flow kurver er, at ingen af de tre målbare makroskopiske trafikvariable kan antages at være den uafhængige variable. Dette skyldes at hver af de tre parametre, densitet, strækningsmiddelhastighed og trafikintensitet er afhængige af størrelsen på de to andre. 6.2 Ortogonal regression Rakha og Van Aerde foreslår pga. dette dilemma derfor, at anvende den såkaldte ortogonale regressionsanalyse til at bestemme nøgleparametrene for speed-flow-kurverne. I stedet for at minimere kvadratet på den lodrette eller vandrette afstand, der normalt anvendes ved regression, søges der i stedet at minimere den korteste afstand ind til kurven. Hvis denne kortest mulige afstand indtegnes, vil den altid stå vinkelret på kurven defineret af funktionen. Deraf stammer udtrykket ortogonal regression. v s Fig. 6.1 Principskitse i to dimensioner for de to regressionsmetoder På fig. 6.1 er søgt anskueliggjort hvorledes de to forskellige metoder beregner afstanden fra observationen til kurven. Den blå afstand skal illustrere afstanden ved normal regression, hvor hastigheden er valgt som den uafhængige variabel, og de sorte linier illustrerer fejlen ved anvendelse af ortogonal regression. Bemærk at der i den todimensionelle skitsering ikke er medtaget fejlberegningen i forhold til densiteten. Sættes metoden op rent matematisk, benyttes følgende forskrift ved bestemmelse af parametrene i speed-flow-relationen opstillet af Van Aerde i (13): I 29

30 6. Statistiske metoder = i i i i i i i d d d I I I v v v E ~ ˆ ~ ˆ ~ ˆ min 0 ˆ, ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ = + + = i i i i i i i i f i I v d v d I v c v v c c d s t Hvor: i v er hastigheden for observation i i I er flowet for observation i i d er densiteten i observation i i i i d og I v ˆ ˆ, ˆ er estimaterne af henholdsvis hastighed, flow og densitet for observation i. d og I v ~ ~, ~ er gennemsnittet af de observerede værdier for henholdsvis hastighed, flow og densitet. Det ses at i vˆ vælges frit, således at estimatet for hvert enkelt observationspunkt lægges bedst muligt på kurven i forhold til observationspunktet. Det kan endvidere observeres at afvigelsen er normaliseret for på den måde at tage højde for forskellen i størrelsen af enhederne. Den nævnte fremgangsmåde kun gælder for Van Aerdes speed-flow relation, da den første begrænsning udelukkende er gældende for den enkelte relation. Selve metoden, hvor der anvendes ortogonal regression kan dog overføres til de øvrige speedflow relationer nævnt i afsnit 4 ved følgende generelle forskrift: + + = i i i i i i i d d d I I I v v v E ~ ˆ ~ ˆ ~ ˆ min ( ) 0 ˆ, ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.. = = i i i i i i i i I v d v d I v f d s t Med denne forskrift kan parametrene for den valgte funktion bestemmes ved den ortogonale regression. Bemærk at denne funktion ikke nødvendigvis behøver at give densiteten som funktion af hastigheden, men også kan give trafikintensiteten som funktion af hastigheden, og at estimatet af densiteten herefter kan regnes ud vha. den kendte relation.

31 6. Statistiske metoder 6.3 Simpel ikke-lineær regression En mere simpel regression kan bestå af følgende metode: 2 min E = ( I i Iˆ i ) s. t. i i Iˆ = f ( v ) i Iˆ i 0 Her er flowet I altså valgt som den afhængige variabel, og den uafhængige variabel er valgt som hastigheden v. Der tages dermed ikke højde for om den målte densitet stemmer overens med den beregnede. Denne metode vil være den mest simple at implementere, da det udelukkende er de nødvendige parametre i funktionen, der skal estimeres og ikke som i Rakha og Van Aerdes eksempel også det bedste estimat på for hastigheden. Denne generelle problematik ved at anvende disse ikke-lineære regressionsmetoder er at de optimale værdier ikke kan udledes analytisk, og det anvendte programmel lokaliserer derfor de optimale parameterværdier gennem søge- og optimeringsalgoritmer. Ved anvendelsen af sådanne søgealgoritmer, er problemet at disse kan ende med resultater de ligger i et såkaldt lokalt minimum. 6.4 Parametrisering For at kunne bestemme om en bestemt vejrparameter, f.eks. nedbørsintensiteten har indflydelse på trafikafviklingen, kan der anvendes en såkaldt parametrisering i regressionsanalysen. Dvs. at der f.eks. for Mays model kunne anvendes følgende forskrift for regressionen: ( ˆ ) 2 min E = I i I i s. t. Iˆ v d i f j i 1 v = vi d j v = α N + β m = α N + β l = α N + β = α N + β 2 i f 1 m 1 l 1 Hvor N er en af de observerede vejrparametre f.eks. nedbørsintensiteten. Der antages altså en lineært forhold mellem de fire nøgletal og vejrparameteren. Et sådan lineært forhold er ikke nødvendigvis korrekt, men størrelsen og signifikansen af alfa-parameteren kan være med til at give et billede af om der er en sammenhæng mellem de indsamlede vejrparametre og de nøgleparametre, der ønskes bestemt under forskellige vejrforhold. Denne metode er dog ikke anvendt til analyse, da et kendt statistikprogram bør anvendes til bestemmelse af parametrene, for at undgå at der bliver bestemt lokale minima for parametrene. 31

32 6. Statistiske metoder 6.5 Rakhas program Ud fra metoden beskrevet i afsnit 6.2, har Hesham Rakha konstrueret et program til det formål at kunne indlæse observerede trafikdata, og ud fra disse udlede de fire interessante parametre til en analyse. Svagheden ved udelukkende at benytte dette program til at udlede nøgleparametrene er netop at metoden udelukkende benytter Van Aerdes speed-flow-relation, og derfor ikke er brugbar til at bestemme hvilken af de forskellige beskrevne relationer, der er bedst egnet til at beskrive speed-flow-relationen. Programmet giver heller ikke mange muligheder for at justere målfunktionerne. 6.6 Implementeret orthogonal regression For at kunne bestemme parametrene for andre speed-flow-relationer end Van Aerdes er der ligeledes udviklet en algoritme i Visual Basic til som en makro til anvendelse i Excel. Denne er baseret på følgende minimeringsmodel: min E = s. t. i vi vˆ i 100km/ t ˆ ˆ ˆ 1 v I = v d j v f vˆ, Iˆ 0 i i 2 1 m 2 I i Iˆ i pe/ t 1 l 1 Denne algoritme er altså kun implementeret todimensionalt, og tager derfor ikke højde for afvigelsen i densiteten mellem den beregnede densitet og den observerede, da den ikke anses for relevant i forhold til de ønskede resultater. Søgemetoden i algoritmen er ret simpel, og er derfor også ret tidskrævende, når der analyseres på mange observationer. Rutediagrammet for implementeringen af søgerutinen kan ses i bilag Regression i SAS Til at foretage en robust og standardiseret regressionsanalyse kan anvendes udbredte statistikprogrammer som f.eks. SAS. Et sådan program kan anvendes fordi de indbyggede funktioner til løsning af ikke lineær regressionsanalyse beregner en række statistiske resultater. Disse kan senere hen anvendes til at lave nogle antagelser omkring robusthed og sandsynlighed omkring de enkelte analyser. Til at foretage den ikke lineære regressionsanalyse i SAS bør anvendes funktionen NLIN, der dels beregner nøgleparametrene, og dels udregner konfidensintervallet for de forskellige parametre. Problemet med at anvende SAS til regressionsanalysen, at Mays model ikke er gyldig for v s > v f, og derfor vil observerede værdier over den frie hastighed medføre at SAS ikke kan udføre analysen. Endvidere kan programmet anvendes til den såkaldte ortogonale regressionsanalyse. Til denne metode bør anvendes funktionen NLP, der står for non linear programming. Denne funktion kan altså anvendes til at finde de optimale variable omtalt i afsnit 6.2. Da der anvendes et redskab 32

33 7. Databehandling af trafikobservationer fra operationsanalysen vil funktionen ikke komme ud med analytiske resultater i statistisk forstand, da funktionen ikke er udviklet til at foretage regressionsanalyse. Det vigtigste i denne henseende er dog også, at de søgte variable bestemmes, og ikke selve de statistiske resultater i denne henseende. Dog fås også den summerede afvigelse E som output, og ud fra denne afvigelse kan gøres nogle antagelser om signifikansen i bestemmelsen af kurverne. Implementering af ortogonal regression i SAS kræver erfaring med programmeringssproget, og en fuld forståelse af de bagvedliggende algoritmer, anvendes denne metode ikke i analysen. De implementerede koder, der er forsøgt anvendt i SAS er vedlagt på Bilag Databehandling af trafikobservationer Da dataobservationerne i TRIM-systemet indsamles kontinuerligt vil nogle af de opsamlede data også være opfanget under nogle omstændigheder, der ikke kan tages højde for i bearbejdningen af observationsdata. Dette kan f.eks. være en såkaldt kiggekø, der kan forårsage en lokal hastighedsnedsættelse, og som derfor forårsager en deraf følgende nedgang i kapaciteten. En sådan kiggekø kan være forårsaget af mange forskellige årsager, men en typisk kan være et trafikuheld, der ikke nødvendigvis spærrer fysisk for trafikken, men som påkalder sig bilisternes opmærksomhed. Ligeledes kan begivenheder som vejarbejde, havarerede biler i nødsporet eller andre ting, der påkalder sig opmærksomhed, have indflydelse på trafikafviklingen. I hvilke observationsdata at sådanne hændelser er forekommet, kan ikke bestemmes med sikkerhed, da kun meget store hændelser registreres centralt. Derfor vil der også blive observeret nogle såkaldte outliers, dvs. observationer, der altså ikke kan forklares ved den stokastiske variation i bilisternes præferencer angående hastighed og følgeafstand. Disse vil ligeledes blive medtaget i dataanalysen For at undgå at trafikobservationer under disse hændelser medtages i analysen har Furukawa et. al. (5) beregnet parametrene for speed-flow-kurverne under antagelser om et såkaldt convexhull. Dvs. at kun den mindste og største værdi for flowet anvendes, og at der derved laves en grænseværdi som det ses på fig. 7.1 Fig. 7.1 Udvælgelse af data 33

34 7. Databehandling af trafikobservationer I fig. 7.1, ses et eksempel på dette, hvor der over et helt observationsår er udtrukket de maksimale trafikintensiteter for hver hele kilometer i hastighedsangivelsen. Furukawa et. al. (5) anvender i stedet den maksimale og minimale værdi for hvert flow, men dette vil, hvis metoden anvendes stringent give problemer, når der forekommer få observationer ved lave trafikintensiteter, som det her er tilfældet. Metoden vil medføre at data observeret under de tidligere nævnt eksterne forhold ikke medtages i regressionsanalysen. Omvendt vil en stokastiske variation, som altid er gældende grundet bilisternes forskellige præferencer, hvad angår bl.a. acceleration og bremseafstand, medføre at der udelukkende medtages gode tilfælde, hvor bilisterne kører hensigtsmæssigt trafikafviklingsmæssigt. Dette er selvfølgeligt uhensigtsmæssigt, idet de endelige resultater skal kunne betragtes som en middelværdi og ikke som en række af ekstreme observationer. Ligeledes må det forventes at jo flere observationer, der medtages i analysen, jo længere mod højre vil grænsekurven strække sig. Dette vil især være et problem under analysen med vejrobservationerne, da det må ventes at der opnås relativt få observationer under de helt ekstreme vejrsituationer, og at det derfor vil være problematisk at generere en sådan grænsekurve. Det kan dog bemærkes at netop en sådan metode med kun at anvende de bedste observationer stemmer godt overens med Highway Capacity Manuals definition af kapacitetsbegrebet. Bemærk at figuren er baseret på et snit over to kørespor, og at der i dette snit ikke er decideret flaskehals, idet det kan observeres at der sjældent forekommer maksimalobservationer på over 4600, der altså må være kapaciteten nedstrøms på strækningen. 7.1 Intervalperiode og målesteder Derudover findes der spørgsmålet omkring de intervallængder, som anvendes til aggregeringen for senere beregning af trafikintensitet og strækningsmiddelhastighed. HCM omtaler at metoderne i manualen er baseret på intervallængder på 15 min. Problemet med at aggregere over for store intervaller i dette tilfælde, er at trafikken i løbet af intervallet kan nå at ændre sig fra over kapacitetsgrænsen til under kapacitetsgrænsen. v s Fig. 7.2 Illustration af problemstilling ved middelberegning I 34

35 7. Databehandling af trafikobservationer En illustration af dette problem kan ses på fig. 7.2, hvor de røde punkter illustrerer tre tænkte observationer over hver 5 minutter. En samlet observationsperiode på 15 minutter over de tre delperioder, ville i stedet resultere i en observation svarende til det grønne punkt. Omvendt vil et stokastisk udfald i trafikken ikke slå ud på samme vis, når der anvendes større intervalopdelinger. Optimalt set burde intervallerne opdeles efter ændringer i trafikmængderne, men en ændring i trafikken vil være svært at detektere direkte ud fra spoledata, og en større erfaring i statistisk analyse af spoledata vil være påkrævet for at kunne implementere en sådan metode. Dog vil der i den overordnede analyse af trafikafviklingen senere blive benyttet en intervallængde på 10 minutter. Denne vælges da de vejrobservationer, der senere skal kobles på trafikobservationerne indsamles med 10 minutters mellemrum, og derfor med den valgte intervallængde uden videre beregninger kan kobles direkte til trafikobservationerne. For at afgrænse den datamængde, der trækkes ud fra alle de tilgængelige trafikobservationer, samt for at have udgangspunkt mht. datasæt søges der nu afgrænset hvilke positioner, der måles trafik fra. 7.2 Tidsrum for dataudtræk Både køretøjernes specifikationer og bilisternes adfærd ændrer sig med tiden. Blandt de parametre, der må antages at præge kørselsadfærden over tiden, kan nævnes: Tidsværdier Brændstofpriser Motorstørrelser Bødestørrelser Alene af den årsag at der i de senere år kan være forekommet et adfærdsskift med indførelsen af højere bøder for hastighedsovertrædelser og større sanktioner ved alvorlige trafikforseelser, kan der være opstået anderledes trafikafvikling i de parametre, der vurderes i denne analyse. Derfor er hele året 2005 valgt som analyseperiode. Dels for at inkludere alle forhold, selvfølgelig udover dem der medtages i vejranalysen, der kan påvirke trafikafviklingen, men også for at få et afgrænset tidsinterval at forholde sig til i analysen. Derudover gøres dette også for at undgå den tidsforskydning som må antages at kunne eksistere. 35

36 7. Databehandling af trafikobservationer Fig. 7.3 Speed-flow-kurve på Køge Bugt Motorvejen i venstre spor Grunden til at et helt år anvendes, er for at lave et tværsnit af alle gennemkørsler over et år. Netop problematikken ved at anvende dette år som observationsperiode, er at der netop i 2005 blev gennemført nogle ekstra sanktioner ved hastighedsoverskridelser, som har været med til at sænke den generelle hastighed. Dette fænomen kan ses af fig. 7.6, hvor der kan observeres to speed-flow-kurver på trods af samme kørselsmæssige betingelser. Dette er selvfølgelig problematisk, fordi estimeringsprocessen vil ende ud i et gennemsnit af de to forskellige kurver. 7.3 Observationsstrækninger Som tidligere nævnt bør en analyse ved hjælp af et speed-flow-diagram ske ud fra observationer nedstrøms for en flaskehals, dvs. et snit på en vejstrækning hvor en ekstra trafikmængde, eller indsnævring af spor medfører en tilstopning. Dette for at få en repræsentation for mange hastigheder. En flaskehals er selvfølgelig et fænomen som den bestyrende vejmyndighed og brugerne ønsker at gå undgå, da disse vil skabe unødig ventetid. En udbedring af en sådan flaskehals, i forhold til den arbejdsindsats der skal til, vil medføre store tidsbesparelser. Flaskehalse kan typisk opstå ved følgende scenarier: Fig Flaskehals pga. den ekstra trafikmængde 36

37 7. Databehandling af trafikobservationer Fig. 7.5 Flaskehals umiddelbart inden overgang til tre spor Fig Flaskehals pga. indsnævring i vejbredden I de fleste tilfælde opstår disse ikke direkte i kraft af flaskehals på selve strækningen, men oftest på grund af indfletninger, som det f.eks. er tilfældet på fig. 7.4 og 7.5. Flaskehalse, lignende den på fig. 7.6 er ligeledes uhensigtsmæssige, og opstår som oftest udelukkende som en konsekvens af en tvungen indsnævring, som f.eks. tunneller eller broer, hvor standarderne for en almindelig motorvej for køresporsbredden eller den frie afstand vil være omkostningskrævende at bibeholde. De interessante målesteder er udpeget ved at lave dataudtræk for et kvartal i 2005 for alle de tilgængelige TRIM-spoler i myldretiderne. Der vælges som udgangspunkt en lidt længere analyseperiode, da et udtræk for bare en enkelt uge kan give udsving pga. vejarbejde og lign. Der ses i denne udvælgelse helt bort fra Motorring 3, da denne i størstedelen af observationsperioden har været under ombygning. Ud fra disse udtræk kan plottes speed-flow-diagrammer i hvert snit over hele perioden, og observere om der er tale om en flaskehals. Dette kan ses ved om der opnås en spids på speedflow-kurven, samt om der forefindes et relativt stort antal registreringer af hastighed under kapacitetsgrænsen. Ud af de undersøgte snit på Køge Bugt Motorvejen mod nord i tidsrummet mellem og lokaliseres to interessante målesnit. 37

38 7. Databehandling af trafikobservationer Fig. 7.7 Speed-flow diagram for målesnit ved Karlslunde Mosevej Det ses at der allerede her kan observeres en stor forskel mellem de tre forskellige kørespor, men den endelige konklusion på denne antagelse gøres først i resultatafsnittet. Ligeledes kan observationerne fra TRIM-spolerne ved cementvej plottes, og det ses ligeledes af denne at der forekommer observationer med trafikintensiteter omkring 2500 pe/time. Fig. 7.8 Speed-flow diagram for målesnit ved Karlslunde Mosevej Det kan bemærkes til disse to figurer at observationerne i de to snit er ret ens. Ligeledes kan det observeres for det venstre og midterste spor at der opnås en anelse større maksimal trafikintensitet end i det højre spor. Med samme fremgangsmåde udpeges 8 observationssnit på Holbækmotorvejen, der kan ses af tabel 7.1. I disse snit er konstateret hastigheder både over og under kapacitetsgrænsen, og er derfor udpeget som observationssnit i de senere afsnit. Det ses at der er valgt strækninger med både 2 og 3 spor. Ved alle observationssnit er den skiltede hastighedsgrænse 110 km/t. 38

39 7. Databehandling af trafikobservationer Navn Strækning Retning Km Karlslunde Mosevej Cementvej Frakørsel 8/ Hedevej i Fløng Frakørsel 9/ Hedelandsvej Frakørsel 10/ Roskilde Ø Frakørsel 9/ Hedelandsvej Frakørsel 10/ Roskilde Ø Frakørsel 11/ Roskilde SØ Køge Bugt Motorvejen Køge Bugt Motorvejen Holbækmotorvejen Holbækmotorvejen Holbækmotorvejen Holbækmotorvejen Holbækmotorvejen Holbækmotorvejen Antal kørespor Snit-ID s (v) Mod København 26/ (m) (h) (v) Mod København 28/ (m) (h) Mod (v) 27/ Roskilde (h) Mod (v) 28/ Roskilde (h) Mod Roskilde Mod 30/ (v) (h) København 28/ (v) (h) Mod København 30/ (v) (h) Mod København 31/ (v) (h) Tabel 7.1 De udvalgte målesnit Det ses at der altså er valgt flere snit i træk, men dette skyldes at den observerede flaskehals ligger umiddelbart foran de valgte snit og at tilbagestuvningen vil give et udtryk for den trafik der afvikles i flaskehalsen. Udtræk fra vejen i billeder på vejsektoren.dk er vedlagt i bilag 3. Som de helt primære målesnit anvendes dog målepositionerne ved Cementvej på Køge Bugt Motorvejen og på Holbækmotorvejen ved Hedevej mod Roskilde. For at sikre at resultaterne senere ikke er under indflydelse af nærliggende tilslutningsanlæg, er der undersøgt hvorledes observationsspolerne er placeret i forhold til disse. En nærvedliggende til- eller frakørsel må dog antages udelukkende at skabe forskydning i resultaterne for det højre spor. Det må dog bemærkes at observationsstederne er placeret i forbindelse med til- og frakørsler, hvilket må forventes at give nogle forskydninger i de observerede parametre. Det må især ventes at dette giver udslag i hastighedsspredningen, og især for målesnit placeret efter en tilkørsel, hvilket dog ikke er tilfældet på nogle af de anvendte målesnit. Det bør endvidere bemærkes at der ikke er tilgængelige målinger på de udvalgte målesnit på Køge Bugt Motorvejen fra midten af december måned Dette vurderes ikke at få indflydelse på analysen, da det svarer til 4 % af observationerne. 39

40 8. Vejrets indflydelse på trafikken 8. Vejrets indflydelse på trafikken I afsnit 4.1, blev der gennemgået hvorledes den generelle følgeafstand havde indflydelse på de forskellige parametre i forhold til trafikafviklingen. Denne følgeafstand var antaget på baggrund af optimale forhold hvad angår sigt og friktion. I mange tilfælde vil sådanne forhold dog ikke være eksisterende. Dels kan der være eksterne forhold som føreren af bilen bør forholde sig til, men også nogle forhold som føreren ikke bør reagere på, men alligevel skal tage stilling til. Ligeledes nævner Køreskolens teoribog (17) at der kan forekomme tilfælde, hvor den anbefalede afstand i køretid på 2 sekunder mellem køretøjerne ikke er tilstrækkelig. Eksterne forhold Opfattelse Kørsel Sikkerhed Trafikafvikling Fig. 8.1 Principdiagram overbeslutningstagen i trafikken Det kan ikke forventes at bilisten besidder et nøjagtigt overblik over den aktuelle situation hvad angår friktionen, og de parametre der bestemmer denne. Bilisten kan højst danne sig et indtryk af situationen ud fra nogle indtryk som bilisten kan indfange før og under kørslen. Disse inputs kan f.eks. bestå af følgende: Visuelle indtryk: Eksterne rapporter: Personlige målinger: Input om de nævnte parametre får føreren typisk gennem indtrykket af vejens tilstand. F.eks. om vejbelægningen er tør eller våd, og om eventuel vand på vejen forekommer at være frosset. Disse kan f.eks. bestå af vejrudsigter og trafikmeldinger fremført gennem medier såsom radio eller TV, hvor den aktuelle og fremtidige vejrsituation gennemgås. I de senere år er også bilerne blevet udstyret med udstyr til at konstatere temperatur, og dermed en mulighed for at kunne konstatere hvorvidt væske på vejen har mulighed for at fryse. Desuden kan disse målinger også bestå af afprøvninger af friktionen, f.eks. ved bremsetests ved lave hastigheder. Hvorvidt disse forskellige indtryk har indflydelse på trafikafviklingen vides ikke med sikkerhed, og vil ikke blive diskuteret yderligere. 40

41 8. Vejrets indflydelse på trafikken Vejrfænomen Tåge, støv, regn, sne, slud, hagl, solblænding Is, regn, sne, slud, hagl, oversvømmelse Vind Ekstreme temperaturer, lyn, vind Effekt for trafikken Reducerer sigtbarhed Blokerer vejspor Dækker skilte og vejmarkeringer Reducerer vejfriktionen Reducerer køretøjsstabiliteten Sætter elektronisk trafikkontrol og kommunikation ud af drift. Tabel 8.1 Vejrfænomener og effekter (6) Tabel 8.1 viser hvilke vejrfænomener, der kan være interessante at tage med i analysen. Under overvejelsen af hvilke fænomener bør medtages at analyse foregår for motorvejstrafik. F.eks. er de fænomener, der kan sætte trafikkontrol ud af drift ikke interessant i forhold til motorvejene, men derimod mere i forhold til bytrafik. Følgende vejrmæssige parametre må antages at have indflydelse på friktionen ved kørsel og dermed den generelle følgeafstand og dermed trafikafvikling. Nedbør: Alt afhængig af intensitet må det forventes at sigt og friktion af vejoverfladen nedsættes som følge af nedbør. Typen af nedbør har selvsagt stor indflydelse, da denne kan forekomme i fast eller flydende tilstand. Regnvejr vil dels medføre dårligere sigt pga. den opkørte regn, og nedbøren i sig selv. Desuden kan en stor intensitet af nedbør i form af regn medføre risiko for akvaplaning. Nedbør i form af sne må ligeledes forventes at medføre nedsættelse af friktionen, hvor denen reduktion selvfølgelig er afhængig af kørebanens tilstand i form af salt og temperatur. Temperatur: Temperaturen må antages at have størst indflydelse, når vejoverfladen er våd. Dette kan medføre nedsat friktion eftersom vandet på vejbanen fryser til is. Dog kan salt på vejen medføre at smeltepunktet af vandet sænkes. Sigtbarhed: Sigtbarheden kan dels være nedsat som følge af nedbør, men også pga. tåge, der er affødt af en kombination af høj luftfugtighed og lav temperatur. Det må forventes at en situation med nedsat sigt medfører en lavere fri hastighed. Vind: Denne faktor må især antages at have indflydelse på trafikken på åbne arealer, og især når vindretningen står på tværs af kørselsretningen, og den kraft som vinden dermed påvirker køretøjet med, dermed vil aflede bilistens opmærksomhed fra selve kørslen. Udover det sikkerhedsmæssige aspekt, giver dette også en trafikmæssig effekt. Effekten i denne kategori må umiddelbart antages at relatere sig mest til køretøjer med stort areal og en lille vægt. Af disse kan f.eks. nævnes campingvogne og lastbiler. Solstråling: Denne kategori relaterer sig især til sigt, hvor en lavtstående sol imod kørselsretningen må have indflydelse i forhold til bilisternes evne til at orientere sig i relation til den forankørende bilist, dels pga. problemer med direkte blænding, men en sådan modstråling kan også være med til at skabe et mere 41

42 9. Udenlandske studier af vejrets indflydelse diffust indtryk af vejen, hvis forruden ikke er ren. Dermed kan dette fænomen bevirke lavere fri hastighed og længere følgeafstand. Derfor må denne faktor også antages at have indflydelse på parametrene i bilfølgemodellen. Fig. 8.2 Eksempel på opfordring til adfærdsændring (trafikken.dk) 9. Udenlandske studier af vejrets indflydelse Der er udført en række udenlandske studier af vejrets indflydelse på trafikafviklingen. Størstedelen af de studier, som det har været muligt at opdrive via artikelsøgning på nettet og tilgængelige artikeldatabaser er af amerikansk oprindelse. Om disse kan overføres direkte til danske forhold er usikkert, da der kan være forskelle i kørselsadfærd, trafikanternes erfaring i kørsel under indflydelse af vejr, samt forskel i styrke for de vejrfænomener, der kan opstå forskellige steder i verden. Derudover indeholder Highway Capacity Manual (23) også en gennemgang af de trafikafviklingsmæssige effekter. 9.1 Highway Capacity Manual Den amerikanske Highway Capacity Manual lister de kapacitetsmæssige effekter ved hhv. våd vejbane og mørke og kombinationen af disse. Tallene er paradoksalt nok hentet fra et studie udført på tyske autobahns, og er altså ikke baseret på amerikanske forhold som det er tilfældet størstedelen af de øvrige studier. Antal spor Hverdag el. Dagslys Mørke Dagslys Mørke weekend Tør vej Tør vej Våd vej Våd vej 6 Hverdag (13 %) (12 %) (38 %) 6 Weekend (21 %) (27 %) - 4 Hverdag (19 %) (18 %) (47 %) 4 Weekend (25 %) (29 %) - Tabel 9.1 Effekt af lysforhold og vejtilstand på vejbanekapacitet på tyske autobahns (23) 42

43 9. Udenlandske studier af vejrets indflydelse Endvidere påviser Highway Capacity Manual hvorledes speed-flow kurverne ændrer sig ved forskellige vejrforhold. På fig. 9.1 kan det ses hvorledes både kapaciteten og den frie hastighed reduceres, når vejrforholdene ligeledes forværres. Bemærkelsesværdigt er det især, at den kategori, der betegnes som heavy snow, medfører en fri hastighed på omkring 70 km/t og en kapacitet på 1600 køretøjer/lane. Fig. 9.1 Speed-flow kurver under forskellige vejrforhold. (23) Som mange andre af de udenlandske studier også påpeger, er vejrkategorierne er ikke yderligere defineret i forhold til nedbørsintensiteter. Derfor kan en direkte overførsel til danske forhold, umiddelbar vise sig besværlig, da betegnelsen heavy snow ikke nødvendigvis har samme betydning i Danmark, som i USA. Det ses endvidere at denne figur ikke opererer med hastigheder under kapacitetsgrænsen. 43

44 9. Udenlandske studier af vejrets indflydelse 9.2 Prevedouros et. al. Alle de tilgængelige studiers metode og resultater vil ikke blive gennemgået, i detaljer, da både metoden og dermed resultaterne varierer fra studie til studie. Prevedouros og Kongsil (7) lister en gennemgang af mange gennemførte studier. Tabel 9.2 viser den observerede reduktion i hastigheden ved forskellige studier. Forfatter Årstal Sted Vejtype Hastighedsreduktion Stohner Highway med New York og 4 kørespor Ingen i let til moderat regn Maeki 4 % ved lavt flow og 2 % ved 1972 Finland Ukendt højt flow FHWA 1977 USA Ukendt Ingen Galin Highway med Australien kørespor 7 km/t Olson, Cleveland, Fancher and Kostyniuk 1984 Illinois, USA Highway Ingen i let regn Hawkins 1988 England Freeway Fra 4 km/t i langsomme kørespor til 6 km/t i hurtigt kørespor Lamm, Choueiri and Mailaender Ibrahim and Hall Brilon and Ponzlet 1990 New York Highway med 2 kørespor 1994 Ontario, Canada Freeway 1996 Tyskland Freeway Ingen i let regn Varierende fra 13 km/t ved let regn til 21 km/t ved intensiv regn Varierende fra 9,5 km/t ved 2 kørespor til 11 km/t ved 3 kørespor Hogema 1996 Holland Freeway 11 km/t Kockelman 1998 Californien, USA Highway Ukendt Holdener 1998 Texas, USA Freeway Varierende fra 4,8 km/t i let trafik til 13,9 km/t ved kapacitetsgrænsen May Varierende fra 10 km/t i let 1998 USA Ukendt regn til 20 km/t i intensiv regn Edwards 1999 England Freeway 3 km/t Martin, Perrin, Hansen and Quintana HCM Utah, USA Korridor med 2 kryds 2000 USA Freeway Kyte, Khatib, Shanon and Kitchener 2001 Idaho, USA Freeway Perrin, Martin and Hansen Korridor med Utah, USA kryds Kyte, Khatib, Shanon and Kitchener 2001 Idaho, USA Freeway Tabel 9.2 Oversigt over historiske studier (7) 10 % Varierende fra 10 km/t i let regn til 20 km/t i intensiv regn 9,5 km/t, og 11,7 km/t ved stærk vind. Større reduktion ved lav sigt. 10 % Varierende fra 14,1 km/t ved let regn til 31,6 km/t ved intensiv regn. 44

45 9. Udenlandske studier af vejrets indflydelse Det ses altså at der generelt tegnes et mønster af en lavere fri hastighed i en størrelsesorden mellem 5 og 15 km/t, men at der ud fra resultaterne langt fra kan konkluderes noget entydigt. Forskellighederne mellem studierne kan skyldes uensartede metodikker, heriblandt forskellige vejrdefinitioner, men variationen kan ligeledes skyldes forskellighederne i trafikantsammensætning, trafikantadfærd, geometrisk opbygning af vejsystemerne. Ligeledes har Prevedouros og Kongsil (7) udarbejdet en liste med reduktionen i kapacitet: Forfatter Årstal Sted Vejtype Kapacitetsreduktion Jones, Golsby og Brewer 1970 Texas, USA Freeway Kleistch og Cleveland 1971 USA Ukendt Reis 1981 Minnesota, USA Freeway % ved mere end 0,5 mm nedbør 8 % og meget afhængigt af nedbørsintensiteten 8 % og stigende med 0,6 % pr. 0,25 mm/t Hall og Barrow 1988 Ontario, Canada Freeway 8,5% ved 27 % okkupation Ibrahim og Hall 1994 Ontario, Canada Freeway % Brilon and Ponzlet 1996 Tyskland Freeway Varierende fra 9,6 % ved 2 kørespor til 9,1 % ved 3 kørespor Martin, Perrin, Hansen og Quintana 2000 Utah, USA Korridor med kryds Zuylen 2000 Holland Ukendt Venugopal og Tarko 2001 Indiana, USA Prevedouros 2002 Hawaii, USA Highway med 2 spor Freeway med 6 spor 6 % Varierende fra 6 til 9 %, afhængig af asfalttype og lysforhold 10 % (udført ved vejarbejde) 4 % Tabel 9.3 Oversigt over historiske studier (7) Overordnet set kan det altså konkluderes at studierne konkluderer en nedgang i den beregnede kapacitet som en konsekvens af nedbør, og at denne nedgang varierer mellem 4 og 20 %. Ligesom i hastighedsstudiet kan denne variation skyldes mange forskellige lokale forhold, såvel som det kan skyldes forskellighederne i den videnskabelige fremgangsmåde. Udover denne oversigtsmæssige gennemgang vil der ligeledes blive gennemgået to specifikke studier, for senere at kunne referere til fremgangsmåderne og resultaterne for disse. Det bør bemærkes, at disse studier ikke indgår i tabel 9.2 og Furukuwa et. al. Det første studie der gennemgås er et japansk studie fra 2003 udført på motorvejen mellem Tokyo og Nagoya af Furukuwa et. al (5). Den analyserede strækning består af 250 km og designhastigheden varierer fra 80 til 120 km/t og fra 4 til 7 kørespor over strækningen. I 301 målepunkter måles trafikspecifikke data, og fra 19 vejrmålestationer er opsamlet informationer vedrørende vejret. 45

46 9. Udenlandske studier af vejrets indflydelse Der opstilles en funktion for hastigheden ud fra to faktorer. Nedbøren og densiteten: b K + c Rain V = a e Hvor: V K Rain a,b,c : Hastigheden : Trafikdensiteten : Nedbørsintensitet (mm/10 min) : Prediktionsparametre for funktionen Ud fra den kendte relation mellem hastighed, flow og densitet omskrives funktionen til: V [ ln( V ) ln( a) c Rain] Q = b Hvor: Q : Er flowet Udover parametrene for regn og hastighed angives endvidere tilsvarende parametre, angivende kurver, klotoider og gradienter, for på samme måde at kunne tage højde for dette. Fig. 9.2 Udvælgelse af data til estimation (5) Ud fra de udvalgte data fra fig. 9.2 kan speed-flow-kurverne beregnes vha. regressionsanalysen og herefter plottes for forskellige nedbørsintensiteter. Fig. 9.3 Estimerede speed-flow kurver for forskellige nedbørsintensiteter (5) 46

47 9. Udenlandske studier af vejrets indflydelse På fig. 9.3 ses de estimerede funktioner for forskellige nedbørsintensiteter. De fuldt optrukne linier markerer observationer fra strækninger med permeabel asfalt, hvorimod stiplede kurver betegner målinger på almindelig asfaltbelægning. I den forbindelse kan det være interessant at bemærke forskellen i kapacitet mellem de to asfalttyper, hvor den permeable asfalttype medfører en noget højere kapacitet. Det ses ud af kurverne, at maksimumkapaciteten skal optræde ved noget nær tredjedelen af den frie hastighed, hvilket må siges at være urealistisk, selv for japanske forhold. Det kan endvidere ud af fig.9.2 ses, at dette forhold ikke er korrekt. Konklusionerne på studierne udført i dette projekt er at nedbør i form af regn medfører nedsættelse af den frie hastighed samt kapaciteten. Især store nedbørsintensiteter medfører reduktion af disse parametre. Dog kan det noteres at nedbørsintensiteter på omkring 1 cm/timen er mængder, der sjældent forekommer under danske klimaforhold, jf. afsnit Agarwal et. al Dette studie med titlen The weather and its impact on urban freeway traffic operations (1) er udført på freeways i Minnesota og anvender data fra januar 2000 til april Ud af i alt trafikobservationspunkter er udvalgt de punkter, der lå indenfor en radius af 2,5 miles svarende til ca. 4 km, hvilket i alt giver 13 observationssnit. Trafikobservationerne er aggregeret i intervaller af 10-minutter, og disse data benyttes til at bestemme den såkaldte flow-occupancy relation for at kunne registrere ændringer i flowet. Studiet antager at den effektive kapacitet er middelværdien af de øverste 5 % af de observerede trafikintensiteter. Vejrdata var organiseret således at der var registreret hvornår et regnvejr var påbegyndt og afsluttet, og nedbørsintensitet for denne periode. Ud fra disse værdier blev estimeret en intensitet for nedbøren i perioderne, hvor trafikobservationerne fandt sted. Regn Sne Temperatur Vind Sigt Definition USA enheder DK enhed Reduktion i kapacitet Reduktion i hastighed 0-0,01 inch/time 0-0,25 mm/time 1-3% 1-2,5% 0,01-0,25 inch/time 0,25-6,35 mm/time 5-10% 2-5% >0,25 inch/time >6,35 mm/time 10-17% 4-7% <= 0,05 inch/time <=1,27 mm/time 3-5% 3-5% 0,06-0,1 inch/time 1,52-2,54 mm/time 5-12% 7-9% 0,11-0,5 inch/time 2,54-12,7 mm/time 7-13% 8-10% > 0,5 inch/time > 12,7 mm/time 19-28% 11-15% 10-1º C 10-1º C 1% 1-1,5% º C º C 1,5% 1-2% < - 20º C < - 20º C 6-10% 0-3,6% km/t 4,4-8,9 m/s 1-1,5% 1% > 32 km/t > 8,9 m/s 1-2% 1-1,5% 1-0,51 miles m 9% 6% 0,5-0,25 miles m 11% 7% < 0,25 miles < 400 m 10,5% 11% Tabel 9.4 Fundne resultater af Agarwal et. al.(1) 47

48 10. Vejrobservationer Det ses altså at der opnås en reduktion for alle inddelingerne, og det ligeledes som forventet giver en større kapacitetsreduktion, jo større intensiteter, der bliver taler om i inddelingerne. 10. Vejrobservationer For at kunne identificere nogle af de vejrsituationer, der tidligere beskrevet skulle ændringer i trafikafviklingen, anvendes historiske data fra Vejdirektoratets og Danmarks Meteorologisk Instituts vejrmålestationer. Vejdirektoratets vejrmålestationer er etableret for at overvåge vejrsituationen på hovedvejene, primært med henblik på at kunne optimere vintertjenesten indsats. Derfor er størstedelen af de parametre, som disse stationer opsamler, også relaterede til vejrsituationer, der typisk kan afhjælpes af vintertjenesten. Disse parametre er typisk overfladetemperatur, lufttemperatur, dugpunktstemperatur, resistans i vandspejlet på vejbelægningen og vandspejlstykkelse. DMI s vejrmålestationer er omvendt etableret for at kunne overvåge den generelle vejrsituation, og lave generelle prognoser og statistikker over udviklingen af vejret over længere tid. Fig Vejrmålestationer med tilgængelige vejrdata Som det kan ses af fig er der stor forskel på tætheden af målestationer i forhold til de trafikmængder, der bliver afviklet på de tre største motorveje ind imod København. 48

49 10. Vejrobservationer Vejrstationerne måler følgende data, der kan være af interesse for en analyse af de trafikafviklingsspecifikke parametre: Lufttemperatur Vejtemperatur Nedbør Nedbørstype Vindstyrke- og retning Skydække Solindstråling Vandspejlstykkelse Saltkoncentration Vandret sigtbarhed Det mest hensigtsmæssige i en analyse af trafikafviklingen som funktion af vejrforholdene ville selvfølgelig være at vejrstationen opsamlede data fra præcis det sted, hvor trafikdata også blev indsamlet. Dette er dog ikke muligt. Derfor kan det være nødvendigt at gøre en række antagelser omkring vejret på de positioner, hvor trafikafviklingen bliver registreret. l 3 l 1 l 2 Fig Principdiagram over målesituation Selvfølgelig vil det i denne situation være oplagt at anvende den station, der er placeret tættest på snittet hvor de trafiktekniske data bliver opsamlet. Men da der i sådan en situation vil optræde lokale variationer i vejrfænomener såsom nedbør og temperaturer, kunne der anvendes en middelberegning vægtet efter afstanden. Her må nedbør især antages at være vanskelig at bestemme nøjagtigt, da dette vejrfænomen kan have tendens til at optræde som lokale byger. Til estimering af vejret ved det pågældende snit kan to forskellige fremgangsmåder anvendes. Dels kunne det fastslås at der skal optræde regnvejr ved et bestemt antal målepunkter rundt om 49

50 10. Vejrobservationer det pågældende punkt, for dermed at kunne fastslå om det regner i på trafikmålestationen. Dels kunne anvendes en metode, der tager udgangspunkt i alle målte værdier. N middel Hvor: k N i l i = 1 N k i li 1 k li : Parameter, der indikerer afhængigheden af afstanden : Observationsværdien, f.eks. nedbørsintensitet : Er afstanden mellem vejrobservationen og trafikobservationen Dvs. at der anvendes et gennemsnit af målingerne under hensyntagen til afstanden til målepunktet. Derfor vil en målestation placeret langt væk derfor også vægte meget lidt i forhold til en station placeret umiddelbart i nærheden. Det eneste forhold der ikke bør vurderes med i denne afstandsvægtede beregning er saltindholdet af væsken på vejen, da parameteren ikke er geografisk relateret, men derimod mere relateret til vejen. Det vil med andre ord være forkert at bruge en interpolation af saltindholdet på en motorvej ud fra saltindholdet på regionalvej, selvom denne er lokaliseret tæt på målepunktet. Derfor anvendes målingen fra stationen tættest på samme vejtype. Som det kan ses af fig er der dog placeret ganske få vejrmålestationer omkring de interessante snit, der er udpeget i afsnit 7.3, især på Køge Bugt Motorvejen. Ligeledes bør det bemærkes, at kun en af vejrmålestationerne omkring de interessante snit på Holbækmotorvejen måler nedbør, og at den enlige målestation på Køge Bugt Motorvejen ikke måler nedbør. Derfor anvendes ikke afstandsvægtningen i denne analyse, og der analyseres udelukkende på Holbækmotorvejen ud fra data indsamlet med målestationen Denne kobles sammen med trafikobservationerne ved Hedevej mod Roskilde, der er blevet udpeget som det primære observationssnit Forsimplinger i vejranalysen Under analysen af hvorledes vejrforholdene indvirker, er der selvfølgelig en række forhold, der kan bevirke at en opstået vejrsituation forstærker eller mindsker de målbare effekter. Asfalttypen: Afvandingsforhold: Asfalttypen kan i sig selv have en positiv eller negativ indflydelse på afviklingen. F.eks. kan en god mikro- og makrostruktur medføre bedre friktion på en våd vej, da en sådan vil medvirke til at lede vandet væk fra bildækkene. Det er dog tvivlsomt hvorvidt en bedre friktion vil blive registreret af bilisten, og dermed vil blive apteret i kørslen. Desuden kan en permeabel asfalttype medvirke til at vandet hurtigere ledes væk fra vejen, og derved skabe bedre sigtbarhed, samt bedre friktion. Dette fænomen er bl.a. blevet påvist af Furukuwa et. al (5). Afvandingen af vejbanen kan i mange tilfælde være forskellig vejene imellem alt efter geometrien, f.eks. om vejen ligger i et 50

51 10. Vejrobservationer sving osv. I denne kategori indgår også sporkøring. Dette vil selvfølgelig kunne have indflydelse under analysen af nedbør, men bør alligevel erindres under den endelig analyse. Målingsforskydning: Lokale forhold: Trafikanttyper: Som tidligere nævnt er kun få af TRIM-stationerne til observation af trafikafviklingen placeret i umiddelbar nærhed af vejrmålestationerne. Derfor må denne geografiske forskydning mellem målepunkterne også antages at have en fejlindflydelse på målingerne. Der kan ligeledes optræde forhold, der gør de registrerede vejrforhold bedre eller værre i forhold til andre steder. Dette kunne f.eks. være at en våd vejbane kan have større tendens til at fryse, når vejen føres over en bro, at en vej ligger i læ for tværvind, at tåge har større tendens til at optræde i lave fugtige områder. Dog anvendes ingen data fra spoler placeret i tørvejr eller på broer. Der tages ikke højde for forskellighederne i trafikantsammensætningen. F.eks. må det antages at erfarne bilister, som der optræder flest af på hverdage ikke vil have samme følsomhed overfor vejrforhold end bilister, der typisk kun kører i fritiden. Dette kun der tages højde for ved kun at anvende målinger fra hverdage, men for at få et generelt billede af effekterne anvendes altså trafikdata fra hele ugen Definition af vejrsituationer Til senere analyse af trafikafviklingen under forskellige vejrsituationer opstilles forskellige vejrdefinitioner, der må forventes at have forskellig indflydelse på trafikafviklingen, for ud fra disse kategorier, at kunne aggregere trafikdata og derefter beregne diverse statistiske parametre i hver gruppe. For de væsentlige vejrsituationer som f.eks. snevejr og regnvejr, der uden tvivl må forventes at have indflydelse på afviklingen af trafikken, defineres forskellige kategorier. Inspiration til opdeling af kategorierne kommer dels fra eksisterende udenlandske studier. En analyse af danske vejrforhold er dog i denne forbindelse nødvendig, da vejrforekomsterne i Danmark højst sandsynligt er forskellige fra landene, hvor de øvrige studier er udført. Selvom klimaforskningen normalt foreskriver at observationer betragtes over 30 år pga. variationerne fra år til år, vil der i denne analyse udelukkende blive set på forekomsterne over et enkelt år, men det må vurderes at det til formålet er tilstrækkeligt. Desuden bør det bemærkes at observationsåret til dette formål, ligesom analyseåret er Dette sker ved at udtrække observationer for forskellige parametre, og herefter lave histogrammer, der viser de forskellige hyppigheder. 51

52 10. Vejrobservationer Antal obs (10 min) Nedbør [mm/h] Fig Antal observationer for nedbør på Vestamager i hele år 2005 Som det ses af fig optræder der sjældent nedbør med intensitet over 5 mm/t, hvorimod nedbørsintensiteter mellem 0 og 1 mm/timen ifølge målingerne forekom næsten 120 timer i Nord-syd Øst-vest 7500 Antal obs. (10 min) Vindhastighed (m/s) Fig Antal observationer af vindhastigheder i Tune i hele år 2005 Ligeledes kan der på fig ses på hvorledes vindobservationerne fordeler sig. Det kan bemærkes af kurven, at der procentvis forekommer ganske få observationer for de vindhastigheder, hvor det må antages at være kritisk i forhold til afviklingen af trafikken, det vil sige over 10 m/s. Ligeledes ses på forekomsterne af vandspejlstykkelser, for at kunne afgøre hvilke størrelsesordener, der er gældende for denne parameter. 52

53 10. Vejrobservationer Fig Registrerede hyppigheder for vandspejlstykkelser på station 2509 Af fig ses sjældne registreringer over 1 mm, mens forekomster af små tykkelser er relativt hyppige. Det bør dog nævnes at disse vandspejlstykkelser i høj grad er korreleret med forekomsterne af nedbør. Der hvor det i denne analyse er interessant, er de tilfælde, hvor der ikke længere forekommer nedbør, men stadig er våd vejbane. Hvis disse tilfælde kan tidsbestemmes, vil det medføre at de beregnede effekter ved disse målinger udelukkende vil stamme fra væsken, der befinder sig på kørebanen. På baggrund af de tidligere antagelser om de forskellige vejrmæssige effekter, samt den løse gennemgang af hyppighederne for forskellige vejrfænomener er udarbejdet en række vejrkategorier. Disse skal hver især dække over de forskellige vejrsituationer, der må forventes at indvirke på den generelle trafikafvikling. 53

54 10. Vejrobservationer Vejrsituation Beskrivelse Betingelse Let snevejr Nedbørsintensitet: 0-2,5 mm/t Snevejr Middel snevejr Nedbørsintensitet: 2,5-5 mm/t Kraftigt snevejr Nedbørsintensitet: > 5 mm/t Finregn Nedbørsintensitet: 0-1 mm/t Regnvejr Let regn Nedbørsintensitet: 1-2,5 mm/t Middel regn Nedbørsintensitet: 2,5-5 mm/t Kraftig regn Nedbørsintensitet: > 5 mm/t Våd vej Temperatur > 0 º Vandspejlstykkelse: 0,2-1 mm Våd vej Frysende våd vej med salt Temperatur < 0 º - salt på vejen Vandspejlstykkelse: 0,2-1 mm Frysende våd vej uden salt Temperatur < 0 º - ingen salt på vejen Vandspejlstykkelse: 0,2-1 mm Meget våd vej Vandspejlstykkelse: > 1 mm Sidevind Tværvindsgradienten > 10 m/s Sigtbarhed Meget dårlig sigt Sigt < 250 m Dårlig sigt Sigt < 1000 m Skydække 0 % Lavtstående sol 5 º < α s < 15 º (Solhøjden) - 45 º < γ s vkørsel < 45 º (Solretningen) Tabel 10.1 Vejrdefinitioner Det ses at for de situationer, som er studeret indgående i litteraturen, er ligeledes foretaget opdeling efter intensiteter af vejrsituationerne. Dette er gjort dels for at udjævne den støj, der må forventes at optræde som følge af forskellige intensiteter, dels for senere at kunne dokumentere eventuelle forskelle alt afhængigt af intensiteterne. Denne opdeling er selvfølgelig lidt problematisk eftersom flere af disse kategorier kan registreres i samme interval. Dette giver teoretisk set 105 forskellige vejropdelinger, med to forskellige vejrkonditioner i samme interval. Selvfølgelig er det ikke muligt at detektere hård regn og let sne i samme interval, hvilket reducerer antallet af muligheder væsentligt, men alligevel må der tages højde for eventuelle sammenfald. Desuden er der relationer, der ifølge teorien ikke burde være mulige som f.eks. lavtstående sol samtidig med dårlig sigt. Disse vil i praksis kunne blive registreret, f.eks. pga. målingsforskydningen. Derudover vil der naturligvis forekomme registreringer, hvor flere af de definerede situationer vil forekomme, som f.eks. sidevind og regnvejr. I disse situationer vil det efterfølgende være svært at skelne hvilken af påvirkningerne der har skabt en ændret trafikadfærd. Derfor slettes disse situationer. Til sidst findes der situationer, hvor det må forventes at flere definitioner er opfyldt. I dette tilfælde vælges det vejrfænomen, som har afledt de øvrige effekter. Alle disse overvejelser er defineret mere overskueligt af tabel 10.2, hvor det er søgt anskueliggjort hvorledes vejrdefinitionerne er hhv. fra- og tilvalgt. 54

55 10. Vejrobservationer Sol Dårlig sigt Meget dårlig sigt Sidevind Meget våd vej Frysende våd vej uden salt Frysende våd vej med salt Våd vej Kraftig regn Middel regn Let regn Finregn Kraftigt snevejr Middel snevejr Let snevejr x Sne Sne x Sne Sne Sne Sne Middel snevejr x Sne Sne x Sne Sne Sne Sne Kraftigt snevejr x Sne Sne x Sne Sne Sne Sne Finregn x Regn Regn x Regn x x Regn Let regn x Regn Regn x Regn x x Regn - - Middel regn x Regn Regn x Regn x x Regn - Kraftig regn x Regn Regn x Regn x x Regn Våd vej x x x x Frysende våd vej med salt x x x x - - Frysende våd vej uden salt x x x x - Meget våd vej x x x x Sidevind x x x Meget dårlig sigt x - Dårlig sigt x Tabel 10.2 Tilvalg/fravalg af overlappende data I tabellen er en bindestreg en markering af at det ikke er muligt at registrere disse forekomster samtidigt, og et kryds markerer, at hvis denne kombination forekommer, vil der blive set bort fra tidsrummet i vejranalysen. Endelig markerer hhv. regn og sne, at disse kombinationer vil medføre en kategorisering af tidsrummet som tilhørende hhv. regn- og snekategorierne. Det bør her specielt bemærkes at der bliver set bort fra tidsrum hvor der både er registreret regnvejr og frysende vejbane, da disse forventeligt få observationer, må antages at udgøre et specialtilfælde, og ikke tilhører normale situationer med regnvejr Solstråling I trafikmeldinger i morgen- og eftermiddagsmyldretiderne meldes om problemer på grund af en lavtstående sol imod kørselsretningen. Dette fænomen er også en interessant faktor at inddrage i analysen, da den ligesom nedbør må antages at have nogen indflydelse på trafikafviklingen. To faktorer må antages at gøre sig gældende i denne forbindelse. Dels om solen i det hele taget skinner, og dels om solens position på himlen er ugunstig i forhold til trafikkens udsyn. Hvis der skal analyseres om solstrålingen og solens position på indflydelse på trafikafvikling er det, ligesom for de andre vejrparametre, nødvendigt, at kunne rekonstruere hvorledes forholdene har været på et bestemt tidspunkt. I den forbindelse er det selvfølgelig nødvendigt at kunne bestemme solens position til et bestemt tidspunkt. Som tidligere nævnt er der adgang til data fra vejrmålestationer, og enkelte af disse indsamler ligeledes data for solindstrålingen. Disse er dog placeret for langt fra hovedstadsområdet til at 55

56 10. Vejrobservationer kunne komme på tale som egentlige referencestationer i forhold til observationer fra TRIMspolerne i hovedstadsområdet. Derfor anvendes i stedet målingerne for skydække, da der findes en række målestationer i Københavnsområdet, som indsamler data for denne vejrparameter. Herudfra antages der er ideelle betingelser for en blændende sol ved værdier på 0 % for skydækket, idet der under denne betingelse må antages at solen kan skinne frit. Det må dog antages at sådanne situationer ligeledes kan opstå ved delvist skydække, men for at kunne bestemme tidsrum, hvor det er relativt sikkert at der har været solskin, benyttes denne betingelse. α s Fig Illustration af solvinklen Den første parameter der bestemmer solens placering er solvinklen, som det ses af fig Denne betegner højden over horisonten, og er derfor interessant i forhold om solen i det hele taget er over horisonten, samt om den står tilpas lavt til at genere bilisterne. Problemstillingen i dette tilfælde må indlysende være hvor lavt solen skal stå for at blive generende. Dette spørgsmål er selvfølgeligt afhængigt af en lang række faktorer som f.eks. bilens udstyr og i hvor høj grad omgivelserne reflekterer solens stråler. I dette tilfælde afgrænses det ved at solen skal stå 5º over horisonten, for at kunne komme over eventuelle forhindringer i landskabet, og under 15º grader. Dette kan måske synes at være en relativ snæver betingelse, men for på en måde at sikre, at betingelserne virkelig har indflydelse er hele spektret snævret ind. 56

57 10. Vejrobservationer N γ s γ s v køreretning Køreretning Fig Illustration af solretningen Ligeledes har solretningen en indflydelse på om solen er generende. Selvfølgelig er det rimeligt at antage at solen skal stå ret imod kørselsretningen, men en sådan betingelser må nok antages at være for snæver i denne. Derfor anvendes betingelsen at solen skal stå minimum 45º fra kørselsretningen Beregning af solposition For at eftervise den trafikafviklingsmæssige effekt af en lavtstående sol som nævnt i afsnit 10.3, anvendes en model for solens position på himlen, der kan udledes astronomisk ud fra den geografiske placering, datoen og tidspunktet på dagen: sinα s = sinδ sinφ + cosδ cosφ cosω Hvor: α s : Er vinklen mellem horisonten og solens placering δ : Betegner den såkaldte deklinationen φ : Er positionens breddegrad - for Københavnsområdet ca. 55 grader ω : Er den såkaldte timevinkel, og kan beregnes ud fra klokkeslættet. Der tages endvidere højde for den såkaldte lokalafvigelse, dvs. korrektionen for at solen ikke står øverst på himlen klokken 12 i Københavnsområdet, samt korrektionen for jordens bane. Derudover søges det at beregne den såkaldte azimuthvinkel, dvs. i hvilket verdenshjørne solen står i. Denne beregnes for at kunne fastslå hvorvidt solen skinner i modsat retning af en trafikstrøm, således at den må antage at genere bilisterne. γ s = C C1 C C2 γ s + C

58 10. Vejrobservationer Hvor: γ s γ s ω δ θ z : Er solens azimuthvinkel : Er solens pseudoazimutvinkel og beregnes ved: sinω cosδ sinγ s = sinθ : Timevinklen : Deklinationen : Zenitvinklen z Konstanterne C 1, C 2 og C 3 beregnes efter: C = 1, hvis ω ω C 1 1 = 1, hvis ew ω > ω ew Hvor: tanδ cos ωew = tanφ C C C C = 1, = 1, hvis hvis ( φ δ ) 0 ( φ δ ) < 0 = 1, hvis ω 0 = 1, hvis ω < 0 Alle disse udtryk implementeres i et regneark for på den måde at kunne standardisere en beregning af hvilke tidspunkter, der må betegnes som kritiske for trafikken hvad angår solstrålingen. Dette sammenholdt med skydækket skulle udgøre nok informationer til at kunne identificere tidspunkter hvor solens position og indstråling med høj sandsynlighed er generende for trafikken mar 23-okt 21-dec 21-jun Solhøjde [º] Azimuth (retning) [º] Fig Solens højde og retning på forskellige datoer på 55º nordlig bredde 58

59 10. Vejrobservationer For at sikre modellens beregninger plottes en graf, som det ses fig. 10.8, der viser solens position på forskellige datoer. Af denne ses det som forventet at solen står højest, når den står i syd. Ligeledes kan det f.eks. observeres at der omkring midten af marts opnås en solposition, der kan genere trafikken på motorvejsstrækninger med trafik i østlig eller vestlig retning. Fig Problematiske tidspunkter i fht. solstrålingen Ligeledes anvendes den opstillede Excel-model til at beregne de tidspunkter hvor der opstår en problematisk solstråling på en østgående motorvej som det ses i fig Det ses ligeledes her at det især er omkring marts til april og september til oktober måned, at der kan opstå problematiske situationer omkring myldretiderne. 59

60 11. Resultater af den generelle trafikanalyse 11. Resultater af den generelle trafikanalyse I første omgang ses udelukkende på resultater udtrukket for alle tidsrum uden hensyntagen til vejrliget på tidspunktet for udtrækket. Dels for at få en referencetilgang til den senere sammenligning med forskellige vejrsituationer, dels for at kunne lave nogle konklusioner for den generelle trafikafvikling. I første omgang vil der blive analyseret efter de tre parametre, hastighedsfordeling, headwayfordeling og sporfordeling, der blev gennemgået i afsnit 5. Resultaterne fra bearbejdningen af dataudtrækket vil i høj grad blive visualiseret frem for konklusioner draget ud i rent kvantitative beskrivelser. Som tidligere nævnt, kan en analyse sorteret efter flowet give forvirrende resultater eftersom der kan opnås samme flow under både fri kørsel og under tilbagestuvning pga. en flaskehals. Derfor er der ligeledes lavet visualiseringer og analyser ud fra flowet, hvor kun observationer fra tidsintervaller med strækningsmiddelhastigheder større end 80 km/t er medtaget. Vha. denne frasortering må det vurderes at man undgår tidspunkter hvor en tilbagestuvning er forekommet. Problemet med denne frasortering er dog der kan forefindes perioder i højre kørespor med strækningsmiddelhastighed mindre end 80 km/t, hvor der stadig kan være tale om frit flow, men betingelsen er implementeret som værende generel for alle sporene. Disse observationer forekommer omkring trafikintensiteter på 2000 pe/timen. Det bør ligeledes bemærkes til disse analyser at der er sorteret headways over 600 sekunder og hastigheder over 200 km/t fra. Dog må dette antages at give små udsving, eftersom de frasorterede observationer her må betragtes som ekstreme. Endvidere må det antages at disse ekstreme observationer kun forekommer under meget små trafikintensiteter. Alle analyserne i dette afsnit foretages hovedsageligt på de to observationssnit ved hhv. Holbækmotorvej ved Hedevej mod Roskilde, der er tosporet, og på Køge Bugt Motorvejen ved Cementvej mod København, der tresporet. Disse to er udvalgt pga. den store trafikintensitet der forekommer i snittene. Derfor vil høje trafikintensiteter være relativt godt repræsenteret. Bemærk at de medtagede figurer kun er et udsnit af de udarbejdede diagrammer. Resten kan findes på vedlagte CD-ROM Headwayfordeling Vha. udtrækket beskrevet i afsnit 3.1 tælles forekomsterne af headways inddelt i intervaller af 0,25 sekunder. Ligeledes inddeles de observerede makroskopiske trafikparametre, trafikintensitet, densitet og strækningsmiddelhastighed i grupper af hhv. 25 pe/time, 1 pe/km, og 1 km/t. 60

61 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Dette ses der et eksempel i tabel 11.1, hvor der er vist et udsnit af observationerne. Dog bør det nævnes, at der ved visualisering af hyppigheder anvendt intervallængder for headways på blot 0,125 s for at kunne vise grafernes fordelinger mere detaljeret, i modsætning til de 0,25 s i tabellen , , , , , , , , , Tabel 11.1 Eksempel på udtræk for af antal forekomster af headways som funktion af trafikintensiteten på højre spor ved Hedevej. Allerede i tabel 11.1 kan der ses tegn på uidentiske fordelinger ved forskellige trafikintensiteter, da de helt små trafikintensiteter medfører fladere fordelinger. Disse observationer omregnes til hyppigheder ved at dividere med summen af antallet af observationer inden for hver opdeling af makroparameterne. Dette vil eksempelvis give følgende datasæt ud fra eksemplet i tabel ,25 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004 0,004 0,005 0,5 0,003 0,006 0,010 0,011 0,014 0,015 0,017 0,75 0,004 0,008 0,012 0,015 0,017 0,020 0, ,004 0,008 0,012 0,016 0,018 0,020 0,025 1,25 0,004 0,009 0,010 0,014 0,017 0,018 0,022 1,5 0,004 0,006 0,011 0,015 0,017 0,018 0,021 1,75 0,004 0,006 0,010 0,013 0,016 0,017 0, ,004 0,007 0,010 0,012 0,013 0,015 0,018 2,25 0,003 0,007 0,010 0,011 0,013 0,014 0,016 2,5 0,004 0,007 0,009 0,011 0,013 0,014 0,016 2,75 0,003 0,007 0,008 0,011 0,012 0,015 0,015 Tabel 11.2 Udsnit af tabel med hyppigheder af headways som funktion af trafikintensiteten ved Hedevej. Her vil summen af hver kolonne altså være 1, hvis der blev summeret over alle observationer. På denne måde vil hyppighederne kunne anvendes til at sammenligne mellem kørespor og trafikintensiteter, uden hensyntagen til hvor ofte de forskellige trafikintensiteter er blevet målt. Den matematisk korrekte måde at foretage visualisering af sådanne hyppigheder er ved brug histogrammer, dvs. søjlediagrammer. Problemet med anvendelse af disse, er imidlertid at disse 61

62 11. Resultater af den generelle trafikanalyse kan virke uoverskuelige hvis flere fordelinger skal plottes i samme figur for at kunne foretage en sammenligning. Derfor visualiseres i stedet vha. kurver, selvom dette ikke er den korrekte metode at anvende. Det bør dog bemærkes, at disse udelukkende anvendes til at foretage sammenligningen mellem de forskellige spor, trafikintensiteter osv. Derudover bør det noteres at plottene ikke er udtryk for sandsynlighederne, da de anvendte værdier til kurverne er sandsynligheden for at værdien ligger indenfor et interval på 1/8 sekund. Derfor vil arealet under grafen også kun være 1/8. Derfor bør man, for at få den reelle fordeling, gange skalaen på aksen med 8. Ligeledes bør det nævnes at alle de observerede headways ikke er vægtede efter køretøjstype og ligeledes er observerede over alle typer af køretøjer. Dette vil muligvis give en falsk forskydning typisk for observationer i højre kørespor, eftersom tunge køretøjer her vil være medtaget. Dette skyldes dels at lastbiler har en større fysisk udstrækning og derfor vil resultere i en længere headway i forhold til det efterfølgende køretøj, men også at lastbiler kan have et anderledes mønster for headwayfordelingen. Mulighederne for at lave figurer til disse headwaysfordelinger er mangfoldige, og mange af figurerne viser blot vise samme mønster. Derfor er disse vedlagt på CD-ROM, og kan ses i PDF-format. Se eventuelt afsnit 18. Først plottes alle fordelingerne ved siden af hinanden i fig. 11.1, således at der opnås et konturplot, hvoraf det kan observeres hvorledes at højere trafikintensiteter som forventet medfører en tættere kørsel, og en mindre spredning i de observerede headways. Fig Sandsynlighedsfordeling observeret for forskellige trafikintensiteter Af denne figur kan det ses at jo højere trafikintensitet der opereres med i køresporet, jo mere vil fordelingen af de observerede headways blive tættere. F.eks. kan det observeres ved en trafikintensitet på 2500 pe/timen, at den mest observerede headway ligger omkring 1 sekund. Dette gør sig stort set gældende for alle trafikintensiteter ned til omkring 500 pe/timen, men 62

63 11. Resultater af den generelle trafikanalyse fordelingen bliver mere og mere jævn, jo lavere trafikintensiteten bliver. Hver farve illustrerer en sandsynlighed på 0,1 %. Bemærk at konturplottet er genereret med perspektiv, og derfor kan det være besværligt at se fordelingen på for små værdier. De efterfølgende figurer dannes, ved at lave tværsnit gennem denne 3D-figur, og tilsvarende figurer med densitet og strækningsmiddelhastighed ud af x- aksen. Først plottes fordelingerne af headways på forskellige kørespor ved strækningsmiddelhastigheder på 100 km/t. Fig Headwayfordelinger observeret ved 100 km/t Det ses af fig. 11.2, at der ved strækningsmiddelhastigheder på 100 km/t er tættere kørsel venstre spor og midtersporet. Dette forhold kan skyldes to ting. Dels må det skyldes at der i observationsværdierne ikke er skelnet mellem lange køretøjer og personbiler undtagen ved beregning af strækningsmiddelhastigheden. Derfor må højrespor, der nødvendigvis bærer størstedelen af lastbiltrafikken, også være præget af en længere tvunget headway pga. de noget længere køretøjer. Derudover må dette forhold skyldes det faktum, at der skal en langt større trafikintensitet til, før at strækningsmiddelhastigheden bliver bragt ned på 100 km/t i de hurtige spor, efter disse spor hovedsageligt bliver benyttet af bilister med en mere rask køreadfærd. Dette vil dog blive gennemgået i afsnit 12 under analysen af speed-flow-kurverne. Dette bliver endvidere understreget af fig. 11.3, der viser fordelingen af headways ved en trafikintensitet på 1000 personbilenheder/timen. Bemærk at der på denne figur kun er anvendt observationer med en strækningsmiddelhastighed over 80 km/t, og derfor burde alle observationerne være observeret under fri trafikafvikling. 63

64 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Fig Headwayfordeling ved identiske trafikintensiteter på Køge Bugt Motorvejen Her ses en lidt mere ligeligt fordelt tendens, hvor det dog stadig er højre kørespor, der har den fladeste kurve, hvilket igen må tilskrives de længere køretøjer på denne strækning. Det kan endvidere bemærkes til de to figurer, at der forekommer en del observationer under et halvt sekund, hvilket må betegnes som en relativ lille værdi i forhold til den anbefalede tommelfingerregel beskrevet i afsnit 4.1. Her bør det dog bemærkes at der undervejr i 2005 blev indført den såkaldte klippekortsregel, der medførte et klip kortet ved netop for kort afstand til den forankørende. Derfor kan de data der her er analyseret vise sig at være anderledes i dagens trafik. Fig Headwayfordeling i de tre spor ved samme trafikintensitet Af fig. 11.4, der ligeledes viser fordelingen på de tre spor ved samme trafikintensitet, kan det ligeledes ses at ved et flow på 1800 pe/timen, bliver de tre kurver noget mere identiske. Det må dog endnu en gang bemærkes at det stadig er i venstre kørespor, at små headways forekommer hyppigst, men at der nu kommer mere overensstemmelse mellem kurverne. Årsagen til højre 64

65 11. Resultater af den generelle trafikanalyse spor noget usikre forløb er at observationer under med v s < 80 km/t er sorteret fra. Derfor er forekommet ganske få observationer i dette spor, og derfor er fordelingen dannet ud fra ganske få observationsperioder. Hvis der i stedet for sammenligning mellem køresporene i stedet observeres på forskellige trafikintensiteter i samme kørespor, kan der for eksempel ses et mønster som i fig Fig Headwayfordeling i venstre kørespor ved forskellige trafikintensiteter Af fig. 11.5, der viser fordelingen i samme kørespor, men under forskellige trafikintensiteter, ses det som forventet at mindre trafik på en strækning ligeledes medfører en mere lige fordeling af headways. Ligeså kan det ses at den mest sandsynlige headway optræder ved omtrent samme værdi, ca. 0,8 sekunder, men at der dog ses en svag tendens til at denne på figuren bliver forskudt til højre ved stigende trafikintensiteter. Fig Observerede fordelinger af headways ved forskellige hastigheder 65

66 11. Resultater af den generelle trafikanalyse På fig. 11.6, der ligeledes viser fordelingerne under forskellige strækningsmiddelhastigheder i højre kørespor, ses det at den hastighed, der her skiller sig mest ud, er 100 km/t. Både 50 og 75 km/t ser næsten ens ud, men der kan anes en lille forskel omkring de to sekunder. Det kan endvidere bemærkes til figuren at de helt små headways har størst tendens til at optræde omkring 75 km/t, og mindst tendens til at optræde i perioder med strækningsmiddelhastigheder på 50 km/t. Fig Middelheadway som funktion af trafikintensitet ved v s > 80 km/t På fig ses den beregnede middelheadway som funktion af trafikintensiteten. Karakteristisk her er det at kurven angivende middelheadwayen for højre spor slår et knæk omkring 800 pe/t, og hældningen herefter bliver ret lille. Dette må umiddelbart skyldes at det er den grænse, hvor bilister begynder at trække ud i midtersporet, optræder omkring de 5 sekunder i headway. Det bør dog bemærkes til denne figur at observationerne ikke er vægtede i forhold til lange køretøjer. Det kan endvidere bemærkes at de to kurver for venstre- og midtersporet er næsten identiske. Især for trafikintensiteter over 1500 pe/t må dette fænomen siges at være udtalt. Dog ligger midtersporet noget højere ved helt lave trafikintensiteter, hvilket må tilskrives den anderledes køreadfærd, der hersker mellem disse kørespor. 66

67 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Fig Middelheadway som funktion af strækningsmiddelhastigheden. På fig. 11.8, der viser middelheadwayen som funktion af strækningsmiddelhastigheden kan det ligeledes ses at midter- og venstresporet igen opfører sig næsten identiske når trafikken bare nærmer sig lidt trængsel, i dette tilfælde ved hastigheder under 80 km/t. Det kan endvidere ses, at det for alle kurverne gælder en konstant headway mellem 40 og 80 km/t, inden den usikre trafikafvikling, der er gældende for regimet under køkørsel, begynder. Denne medfører til gengæld en drastisk stigning. Igen bør fluktuationen ved høje strækningsmiddelhastigheder tilskrives de relativt få observationer, som har været tilgængelige ved lige nøjagtigt disse forhold i køresporet. Ligeledes bør det nævnes, at der er set bort fra observationer over 30 sekunder, og derfor må det forventes at kurverne for høje strækningsmiddelhastigheder og trafikintensiteter i virkeligheden bør ligge højere. Fig Observeret spredning af headways under forskellige strækningsmiddelhastigheder Interessant er det også at se på hvorledes spredningen opfører sig ved forskellige observationer af strækningsmiddelhastigheden som det ses på fig Det ses her, at der opnås lavest spredning i begge spor omkring hastigheder på 40 km/t. Ligeledes kan konstateres en nogenlunde konstant spredning mellem 70 og 100 km/t, hvor spredningen fluktuerer svagt. Derefter kan bemærkes en stærk stigning i spredningen, jo friere trafikafviklingen bliver. Ligeledes kan det ses at også ved meget lave strækningsmiddelhastigheder kan observeres en stigning i spredning. Dette må skyldes at der ved køkørsel, som nødvendigvis må være gældende ved så små hastigheder, er tale om en så ustabil afvikling af trafikken, at spredning i de observerede headways stiger. Ud fra de nævnte metoder i afsnit 5.1 er der beregnet fordelingsparametrene for log-normalfordelingen i alle intervallerne. Herved kan sandsynlighedsfordelingen for de estimerede fordelinger plottes. 67

68 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Fig Observeret og teoretisk fordeling ved 1800 pe/time på Hedevej i venstre spor Det ses af fig , at der er god overensstemmelse mellem de den teoretiske og observerede fordeling, men at der forekommer forskydninger omkring de headways med størst sandsynlighed, og at der i området mellem 1,5 og 4 sekunder er estimeret en lidt højere sandsynlighed end der er forekommet i observationerne. Ud fra formlerne beskrevet om log-normal-fordelingen beskrevet i afsnit 5.1, udregnes nu parametrene α og β for hver enkelt gruppe af trafikintensitet. Med disse parametre kan fordelingen af headways testes for vha. en chi-i-anden-test for fordelingstype. Dette sker ifølge Johnson (18) ved benyttelse af følgende udtryk: 2 χ = k i= 1 ( o e ) i e i i 2 Hvor e i er den forventede hyppighed og o i er den observerede hyppighed. Chi-i-anden fordelingen anvendes med k-1 frihedsgrader, hvor k er antal inddelinger, ved behandlingen af headways er k = 2400 inddelinger, svarende til de 600 sekunder opdelt i intervallængder af ¼ sekund hver. Der anvendes en signifikans på 10 %, dvs. en opslagsværdi for χ. Ved beregning af χ 2 anvendes udelukkende en sammenligning for de første 60 værdier, dvs. for de laveste 15 sekunder. At der alligevel er medtaget observationer helt op til 600 sekunder, skyldes at disse medtages i udregningen af spredning og middelværdi for at kunne udlede parametrene der beskriver log-normal-fordelingen. At der anvendes de laveste 60 værdier medfører at der ved opslag anvendes 59 frihedsgrader for fordelingen. 2 0,05 68

69 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Parameter Værdi α β 2 χ 2 χ 0, pe/time 3,32 0, ,9 Trafikintensitet 1000 pe/time 0,81 0,91 0,061 77, pe/time 0,25 0,84 0,063 77,9 50 km/t 1,33 0,54 0,057 77,9 Hastighed 75 km/t 1,83 0,70 0,322 77,9 100 km/t 2,32 0,64 0,84 77,9 5 pe/km 2,43 0,64 0,351 77,9 Densitet 25 pe/km 1,33 0,66 0,038 77,9 50 pe/km 1,42 0,44 0,031 77,9 Tabel 11.3 Beregnede værdier for log-normal-fordeling ved headways Det kan altså ses at de beregnede fordelinger stemmer bedst overens med de observerede ved høje trafikintensiteter. Dette må skyldes at jo tættere den trafikale tilstand kommer på fri kørsel, jo nærmere vil fordelingen blive tilnærmet eksponentialfordelingen. Ligeledes kan afvigelsen i fordelingen for små intensiteter skyldes, at der ikke beregnet spredning og middelværdier for headways over 600 sekunder, og at de beregnede parametre derfor ikke er korrekte i forhold til den ægte spredning og middelværdi. Fig χ 2 -afvigelse mellem observeret og beregnet fordeling, for v s >80 km/t På fig ses det endnu tydeligere at den kvadrerede afvigelse er størst ved lave trafikintensiteter. Det ses endvidere at afvigelserne følger hinanden på tværs af de forskellige spor, men det kan dog noteres, at den estimerede fordeling i midtersporet stort set passer bedst for alle trafikintensiteter. 69

70 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Fig α-parameter beregnet for over trafikintensiteten i hvert spor Ligeledes kan det ses af fig , der viser den beregnede α-værdi for forskellige trafikintensiteter at denne falder jævnt efterhånden som trafikintensiteterne stiger. Dog kan det bemærkes at der i højre spor er en flad kurve mellem 800 og 1400 pe/t. Fig Beregnet β-parameter for log-normal-fordelingen som funktion af strækningsmiddelhastighed Fig viser den beregnede β-parameter som funktion af den observerede strækningsmiddelhastighed. Det kan her observeres at højre spor skiller sig ud, idet den under hastigheder på 80 km/t, er højere end for de to øvrige spor, mens den ved højere hastigheder er mindre end de øvrige spor. Det kan endvidere bemærkes, at det midterste og venstre kørespor følger hinanden rimeligt op til hastigheder på 100 km/t, hvorefter venstre spor ligger højest. 70

71 11. Resultater af den generelle trafikanalyse 11.2 Hastighedsfordeling Ligesom det var tilfældet med analysen af headways er der for hastigheder foretaget en optælling af forekomsterne under forskellige værdier for de tre makroskopiske parametre. Ligesom under analysen af headways, er der her foretaget en afgrænsning, idet der ikke er registreret hastigheder over 200 km/t, samt af åbenlyse årsager negative hastigheder. Det bør nok noteres inden gennemgangen, at der som tidligere nævnt registreres nogle hastigheder mere hyppigt end andre, der ligger umiddelbar i nærhed. Ligeledes forekommer der hastigheder, der slet ikke bliver registreret. Dette skyldes den samplingtid som systemet i marken opererer med. Pga. disse lokale forskelligheder i observationshyppigheden vil det derfor være problematisk at teste fordelingen på samme måde som det blev udført på headwayfordelingen, da der vil optræde store udfald undervejs. Derved vil en eventuel hypotese om at hastighedsfordelingen følger en normalfordeling vil blive forkastet netop pga. disse udfald, selvom fordelingen måske reelt følger denne fordeling. Dette kunne evt. løses ved at aggregere data i større hastighedsintervaller end det relativt snævre interval der er anvendt i dette tilfælde. På den måde ville de store udsving kunne udjævnes, men dette foretages dog ikke. Ligesom det var tilfældet ved headways laves først et konturplot for hvor fordelingen af de observerede hastigheder vises som funktion af flowet i fig Allerede her kan det anes at det er problematisk at anvende hastighedsfordelingerne til analyse pga. at nogle hastigheder har større hyppighed end naboerne. Fig Hastighedsfordeling som funktion af trafikintensiteten Ligeledes kan problemstillingen med uden videre at anvende flowet ses af fig , hvor det er helt tydeligt at samme trafikintensitet kan resultere i to forskellige hastigheder. Her ses det f.eks. at omkring et flow på 2200 pe/time er der en skæv fordeling, hvor fordelingen er domineret af regimet for køkørsel til venstre i figuren. Derfor er det nødvendigt at foretage opdelingen, når der ses på fordelingerne i forhold til flowet, da fordelingen her vil være afhængig af forekomsterne af trafikken på den specifikke strækning. 71

72 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Igen ses på tværsnittet gennem dette konturplot for forskellige kørespor, dog med den finesse, at når der anvendes trafikintensiteter, er der igen frasorteret observationer med strækningsmiddelhastigheder mindre end 80 km/t. Fig Hastighedsfordeling i venstre spor ved Cementvej under forskellige intensiteter Først ses på fig der viser hastighedsfordelingen ved tre forskellige trafikintensiteter i det enkelte kørespor. Her ses helt tydeligt at kurven ikke er helt jævn pga. forskydningen i registreringerne. Når dette er nævnt, kan der dog ses nogle helt tydelige forskelle ved differentierede trafikintensiteter. F.eks. kan det ses at kurverne hver især har form som en normalfordeling, når der ses bort fra de lokale udsving. Her ses endvidere at klokkekurverne fordeler sig over tre forskellige midtpunkter, med lavest midtpunkt ved høje trafikintensiteter, og højest hastighed, når trafikken ikke er så tæt, nøjagtigt som forventet. Ligeledes kan det ses at spredningen bliver større jo mere fri trafikafviklingen bliver, og at der i observationsperioden kan observeres køretøjer med hastigheder så høje som 175 km/t. Fig Hastighedsfordeling ved Cementvej på de tre forskellige kørespor Hvis der i stedet ses på fordelingen af de tre spor ved samme observerede trafikintensitet på 100 pe/t, kan der igen skimtes tre klokkekurver. Igen er der forskel i midtpunkternes placering, med højre spor placeret med lavest hastighed, og venstre spor, hvor fordelingen har tyngdepunkt 72

73 11. Resultater af den generelle trafikanalyse omkring 130 km/t. Det er dog bemærkelsesværdigt, at nogle hastigheder i venstre spor optræder ekstremt hyppigt omkring 85 km/t, og som skiller sig væsentligt ud fra fordelingen. Denne top kan skyldes to faktorer. Dels kan det skyldes en tilkørsel umiddelbart før målesnittet, men kan også skyldes de større køretøjer, som f.eks. lastbiler, hvis hastighed er begrænset dels af færdselsloven, men som oftest også i en indbygget mekanisme. Da der ikke findes nogle tilkørsler umiddelbart før, må denne top antages at skyldes de længere køretøjer, med denne kørselsrestriktion, som må forventes primært at benytte højre spor. Dog kan samme top ligeledes observeres på midtersporet, som repræsenterer den lille andel af de lange køretøjer der også benytter dette spor, om end i noget mindre skala. Til sidst kan det skimtes at spredningen er mindst i det venstre spor i forhold til midtersporet, hvorimod de lange køretøjer medfører noget støj i billedet for det højre kørespor. Ligesom det var tilfældet for graferne med headways plottes ligeledes middelværdierne for hvert intensitetsinterval. Fig Middelhastighed som funktion af trafikintensiteten for v s > 80 km/t På fig , der viser middelhastigheden som funktion af trafikintensiteten, ses at hastigheden er størst over alle trafikintensiteter i venstre spor, og ligeledes næststørst i midtersporet. Denne forskel kan ligesom så mange andre forskelle mellem de tre kørespor ikke alene tilskrives anderledes køreadfærd, men også en overrepræsentationen af store køretøjer i venstre spor. Det ses endvidere at for både venstre- og midtersporet, optræder et nærmest lineært aftagende forhold op til omkring en trafikintensitet på 1500 pe/t. Derimod er der for højre spor et mere konstant værdi ud til en værdi på 750 pe/t og herefter en lineært aftagende kurve frem til grænsen ved 1900 pe/t. Igen må de usikre forløb for kurverne ved trafikintensiteter større end 2000 pe/t skyldes at der forekommer ganske få observationer der opfylder betingelserne. 73

74 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Fig Middelhastighed som funktion af trafikintensiteten ved v s > 80 km/t ved Hedevej Samme fænomen kan ses på kurven for det to-sporede snit ved Hedevej på Holbækmotorvejen på fig En næsten konstant hastighed for højre spor mellem 0 og 750 km/t og et næsten lineært aftagende forhold frem til kapacitetsgrænsen. Ligeledes kan iagttages en jævnt aftagende kurve for hastigheden i venstre spor med nogenlunde konstant afstand til kurven for højre spor i størrelsesordenen 20 km/t. Til sidst plottes de kumulative hastighedsfordelinger for hhv. den tre- og tosporede strækning. Af disse kurver kan det ses hvor stor en andel af de observerede hastigheder der ligger under en given værdi. Der ses i dette tilfælde dog kun på fordelingen omkring trafikintensiteter på 100 pe/t pr. spor. Fig Kumulativ hastighedsfordeling ved Hedevej 74

75 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Fig Kumulativ hastighedsfordeling observeret ved Cementvej Af disse to figurer kan især bemærkes den pukkel der optræder for begge fordelinger i venstre spor, pga. hastighedsbegrænsningen for de lange køretøjer. Ligeledes kan det bemærkes for fig , visende fordelingen for den tresporede strækning, at afstanden mellem de tre kurver er størst i den nederste del af figuren, mens fordelingen bliver mere ligelig fordelt for højere hastigheder Sporfordeling For at kunne visualisere hvorledes fordelingen imellem sporene opfører sig som funktion af det samlede flow, er det nødvendigt at foretage en middelberegning indenfor et interval, da en fluktuation finder sted, som det eksempelvis kan ses af fig , der viser alle de observerede sporfordelinger på Cementvej. Dog kan der anes et mønster, der viser at andelen af den afviklede trafik i venstre kørespor går ned, at midtersporet allerede ved et samlet flow på personbilenheder afvikler samme andel som venstre spor, og at højre kørespor først bliver udnyttet i samme grad omkring personbilenheder. Fig Alle observationer for sporfordelingen af afviklet trafik ved Cementvej på Køge Bugt Motorvejen 75

76 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Ud fra alle disse observationer er foretaget en middelberegning. Denne middelberegning er foretaget ved at inddele observationerne i intervaller med en bredde på 25 personbilenheder, og herefter midle de observerede sporfordelinger i hvert interval. Fig Midlet sporfordeling for Cementvej Det ses af fig , der viser sporfordelingen ved Cementvej på Køge Bugt Motorvejen over 3 spor, at trafikintensiteten ikke overraskende fordeler sig næsten ligeligt over snittet, ved trafikintensiteter tæt på kapacitetsgrænsen. Det er dog bemærkelsesværdigt, at der i kapacitetsituationen afvikles mest trafik i venstre kørespor der tegner sig for ca. 37,5 %. Ligeledes afvikles der omkring 35 % af trafikken i midtersporet og omkring 27,5 % af trafikken i venstre kørespor. Denne forskel kan nok hovedsageligt tilskrives at bilister, der vælger at lægge sig i dette kørespor, opererer med en mere frisk køreadfærd end bilisterne i venstre spor vil have tendens til at gøre. Ligeledes er en mulighed, at de personbilækvivalenter, som anvendes ved beregning af flowet, ikke er helt tilstrækkeligt store til at tage højde for den kapacitet som lastbilerne stjæler i form af deres fysiske udstrækning, der kommer mere til udtryk ved trafikafvikling omkring kapacitetsgrænsen. Dog er forskellen mellem køresporene ikke nær så markante, som det er tilfældet ved de udenlandske studier nævnt i afsnit 5.3. Derudover kan bemærkes, at der også er forskel for kurvernes forløb i forhold til de udenlandske iagttagelser. Det ses, at kurverne for udlandet fordeler trafikken sig, allerede ved små intensiteter, meget mere ligeligt over sporene. Dog kan det umiddelbart bemærkes at sporfordelingen observeret på de tyske autobahns stemmer bedst overens med den observerede i tilfældet med observationerne foretaget på Køge Bugt Motorvejen ved Cementvej. Bemærk at tallene er omregnet til personbilenheder, og det vides ikke om en lignende beregning er foretaget ved de udenlandske studier, og derfor kan en egentlig sammenligning vise sig at være fejlagtig. 76

77 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Efter samme metode er der ligeledes plottet samme graf observeret på den 2-sporede vejstrækning ved Hedelandsvej på Holbækmotorvejen på fig Fig Sporfordeling ved Hedelandsvej mod København. Det ses, at samme mønster optræder i lidt mindre grad for målingerne i snit med kun 2 spor. Her stiger hhv. falder fordelingen nærmest lineært mellem trafikintensiteter på 500 pe/timen til 2500 pe/timen. Ligeledes kan det her observeres, at størstedelen af trafikken afvikles i venstre kørespor ved store trafikintensiteter. Igen kan dette fænomen tilskrives forskellighederne i kørselsadfærd og køretøjsudstyr. Her er forskellen ved høje trafikintensiteter mellem de to kørespor generelt så stor som 10 procentpoint. Bemærk dog at figuren er baseret på data fra alle observationer, dvs. også for regimet under kapacitetshastigheden. Ligesom som for fordelingerne mellem headways og hastigheder er der problemet med at anvende flowet som indikator for trafiksituationen, da samme trafikintensitet som tidligere nævnt kan forekomme under to forskellige situationer. Derfor foretages der, ligesom det var tilfældet for fordelingsanalysen, ligeledes en analyse af andelen af afviklet trafik som funktion af densiteten. 77

78 11. Resultater af den generelle trafikanalyse Fig Sporfordelingen som funktion af den samlede densitet På fig , der viser andelen af den afviklede trafik som funktion af densiteten summeret over alle tre spor, ses samme tendens, som på figuren med trafikintensiteten ud af x-aksen. Her ses dog ikke helt samme signifikans ved store værdier af densiteten. Dette må dog bunde i de relativt få observationer, der er til rådighed ved disse værdier. Derfor bør de indtegnede sporfordelinger for store densiteter, nok anskues med en hvis skepsis, da relativt små udfald på den måde kan skabe de fluktuationer der ses til højre. Ligesom det var tilfældet ved analysen af spredningen for hastigheden og headway, foretages der endvidere en analyse over flowet, hvor observationer med strækningsmiddelhastigheder under 80 km/t fravælges. Fig Sporfordeling for udelukkende observeret ved strækningsmiddelhastigheder større end 80 km/t 78

79 12. Speed-flow-kurver Af fig ses dog samme mønster, som det var tilfældet med analysen inkluderende værdier observeret i køsituationer. Ligeledes kan der her observeres en forskel i størrelsesordenen 10 procentpoint ved en samlet trafikintensitet over pe/timen. Det noget usikre forløb for kurven længst mod højre må tilskrives at der er relativt få observationer, der opfylder betingelserne. 12. Speed-flow-kurver Ligesom analyserne i de forrige afsnit anvendes data uden hensyn til vejsituationer. Der ses derimod udelukkende på de generelle tendenser for speed-flow-kurverne. Der søges at analyseres over de forskellige kørespor, og ligeledes for de forskellige speed-flow-kurver nævnt i afsnit 4. Dog anvendes udelukkende Van Aerdes model og Mays model, til sammenligning. Disse er valgt ud fra Van Aerde (12) og May (20), der beskriver deres baggrund. Til bestemmelse af parametrene, der beskriver disse modeller anvendes dels Rakhas program, som udelukkende beregner de fire parametre i Van Aerdes Model. Derudover anvendes en algoritme udarbejdet med henblik på bestemmelse af parametrene til Mays speed-flow-relation Rakhas program Ligeledes anvendes Hesham Rakhas program til at beregne de afgørende parametre. Dette program er imidlertid kun dimensioneret til at kunne arbejde med omkring dataobservationer, hvor observationer for et helt år i 10-minutters intervaller giver omkring datasæt. Derfor er observationerne for hele året opdelt i 6 datafiler, der indlæses i programmet. Herefter udregnes gennemsnittet af datafilerne ved en simpel vægtning af antal observationer i hver enkelt datafil. Resultatet for beregning af hver enkelt datafil kan ses af bilag 4. Som det ses er der udelukkende beregnet observationer for snittene ved Hedevej mod Roskilde og Cementvej på Køge Bugt Motorvejen. Snit v s (km/t) d j (pe/km) I max (pe/time) v 0 (km/t) Hedevej mod Roskilde (v) 118,9 117,5 2172,6 72,8 Hedevej mod Roskilde (h) 106,2 121,0 1844,6 57,1 Cementvej (v) 126,0 91,1 2077,3 86,7 Cementvej (m) 122,2 123,6 1810,2 79,5 Cementvej (h) 100,18 129,7 1532,0 62,5 Tabel 12.1 Resultater fra Rakhas program Værdierne i tabel 12.1, er beregnet på grundlag af enkeltberegningerne, der vedlagt på bilag 4. Af dette kan det ses at til trods for at disse er foretaget på samme snit, er der stor forskel på de forskellige opdelinger. Da opdelingerne er foretaget kronologisk, er det nærliggende allerede at drage den konklusion at dette kan skyldes variationerne henover året. Men mønsteret i forskellighederne er dog ikke så markant, at dette kan tilskrives hele den variation, variationen kan dog skyldes det faktum at nye sanktioner blev indført i løbet af 2005 og dermed har forskudt speed-flow-kurven. 79

80 12. Speed-flow-kurver Der findes en række muligheder for at stille på antallet af iterationer, startværdier og områder hvori der søges i Rakhas rutine. Forsøg med forskellige parametre har dog vist sig at udmunde i omtrent de samme resulterende parametre, hvorfor det må konkluderes at indstillingerne i beregningerne ikke er årsagen til denne unøjagtighed. Derudover er det muligt at stille på vægtningen imellem parametrene, men dette må antages at være noget risikabelt, da der dermed gås på kompromis mellem de forskellige makroskopiske parametre. Derfor bibeholdes standardindstillingerne under beregningerne. Antal observationer Forekomster af strækningsmiddelhastighed Cementvej - Midterspor Hastighed Fig Hyppighed for strækningsmiddelhastigheder Derimod kan årsagen måske findes i den måde hvorpå observationerne fordeler sig, som det kan ses af fig er den målte hastighed mest markant omkring den frie hastighed. Da programmet, som redegjort for i afsnit 6.2, minimerer over summen af de vinkelrette afstande fra kurven til observationerne uden hensyntagen til tætheden i observationerne, må algoritmen derfor også vægte at ramme bedst muligt, hvor der netop er flest observationer. Løsningen på dette kunne være at fjerne observationer fra områder med store tætheder, eller implementere en metode hvorved områder med mange observationer vægtes lavere. Desuden vil convex-hull-metoden anvendt af (5) også nedvurdere denne effekt, idet der kun anvendes én værdi uanset tætheden omkring punktet. Ligeledes kan en beregning af middelværdier eller medianer i hvert interval, anvendes til beregning af kurverne og dermed medføre en udjævning af den skæve fordeling. Dette er dog ikke gjort i denne forbindelse. Ud fra de estimerede parametre kan trafikintensiteten beregnes som funktion af hhv. densiteten og strækningsmiddelhastigheden, og disse plottes, som det ses af fig og

81 12. Speed-flow-kurver Fig Densitet-flow-kurve baseret på resultater fra Rakhas program Fig Speed-flow-kurve baseret på resultater fra Rakhas program På fig. 12.3, hvor den teoretiske kurve er plottet ud fra de resulterende parametre i Rakhas rutine, ses det, at der forefindes en lang række punkter til venstre for kapacitetspunktet på den beregnede kurve. Dette må ligeledes tilskrives at tætheden af punkter er størst øverst i venstre hjørne, og at der i rutinen derfor er lagt størst vægt på at få tilpasset denne del. Derfor kan det også konkluderes at de resultater som programmet genererer, ikke er helt urealistiske i forhold til den frie hastighed og hastighed ved kapacitetsgrænsen, men visuelt ser det ikke ud som at kurven når op på den kapacitet, som der kan udledes af observationerne. Ligeledes stemmer denne beregnede kapacitet heller ikke overens med kapaciteten anvendt i vejreglerne (15) på 2300 pe/timen. Dog må det konkluderes at hvis trafikintensiteten blev tillagt større vægt under iterationerne, dvs. at, I ~ kunstigt blev gjort mindre, ville det medføre at den beregnede kapacitet ville komme til at passe bedre, eftersom kurven blev tilpasset bedre vandret. 81

82 12. Speed-flow-kurver Fig Beregnede speed-flow-kurver for Hedevej Af fig. 12.4, kan konstateres en stor forskellighed mellem de to spor. Dette må dels skyldes forskellighederne i køreadfærd mellem de to spor. Men det kan også skyldes den overvejende andel af lange køretøjer i højre spor, der kan resultere i dels en lavere hastighed ved lave trafikintensiteter, og en lavere kapacitet. Ligeledes plottes de beregnede speed-flow-kurver for observationerne på Cementvej i fig Fig Beregnede speed-flow-kurver for Cementvej Her ses det at der er størst forskel mellem den højre hhv. venstre og midtersporet, men at det som forventet er højre spor, der ligger længst til venstre på figuren. Den væsentligste forskel mellem midterste og venstre kørespor ligger omkring kapacitetsgrænsen, hvor midtersporet ikke opnår samme kapacitet, på trods af ens forløb under kapacitetshastigheden. Ligeledes kan det bemærkes, at omkring 1200 pe/t følger kurverne stort set hinanden i køkørselsregimet. 82

83 12. Speed-flow-kurver 12.1 SAS Ligesom med Rakhas program er det søgt vha. SAS regressionsanalyse at bestemme speedflow-kurverne vha. det statistiske program SAS. Implementering har dog ikke vist sig mulig at implementere uden større arbejde i programmet. Umiddelbart vurderes dette til at skyldes at Mays speed-flow-relation ikke er gældende for hastigheder over den frie hastighed. Sådanne observationer vil selvfølgelig forekomme pga. det stokastiske udfald som vil forekomme henover tiden, og derfor resulterer kørslen i fejlmeddelelser. Derfor er denne del af analysen udeladt. Koden, der er udarbejdet med henblik på regressionsanalysen i SAS, er dog vedlagt i bilag Mays model I stedet for dette statistikprogram implementeres i stedet den model, som Rakha og Van Aerde (12) har foreslået anvendes til regressionsanalysen i en makro i til Excel. Den implementerede algoritme er rimelig simpel, og er derfor langsom i forhold til det program som Rakha har udviklet. Algoritmen, der yderligere er forklaret i afsnit 6.6, anvendes herefter til at bestemme parametrene for Mays relation for alle de observerede datapunkter. Ligesom det var tilfældet med resultaterne fra Rakhas program analyseres udelukkende på de to interessante snit ved hhv. Cementvej på Køge Bugt Motorvejen og Hedevej på Holbækmotorvejen. Det har vist sig algoritmen kommer frem til en parameterværdi, der ligger uden for grænserne specificeret af May (20), som det nævnes i afsnit. Det drejer sig om værdien m, der bliver estimeret til at blive negativ. Som nævnt i afsnit 4.3, beskriver May at denne variabel skal være mellem 0 og 1. Det kan dog ses af figurerne og resultaterne, at der alligevel opnås rimelige resultater, der beskriver kurverne. Fig Observeret og estimeret kurve for Hedevej venstre spor med Mays model Af fig. 12.6, ses det at der opnås en kurve, der måske overvurderer kapaciteten en anelse, idet det ser ud som om at kurven bliver en anelse for spids. Dog må det konkluderes at den frie hastighed bliver bestemt korrekt. 83

84 12. Speed-flow-kurver Fig Observeret og estimeret kurve for Hedevej højre spor med Mays model Af fig. 12.7, der på samme måde viser den estimerede speed-flow-kurve i højre spor, ser det omvendt ud som om at kurven undervurderer kapaciteten en smule. På samme vis er estimeret parametrene for alle de fem udvalgte spor, og ud fra disse parametre er estimeret kapacitet og kapacitetshastighederne. Snit Spor v s d j m l Kap. v 0 Hedevej Venstre 126,8 48,5 1,51-3, ,8 75,4 Højre 104,8 45,5 2,02-1, ,1 64,5 Venstre 128,8 39,9 1,91-2, ,3 80,4 Cementvej Midt 125,4 38,4 1,61-4, ,9 81,0 Højre 105,4 41,1 1,98-1, ,7 64,7 Tabel 12.2 Resultater fra beregninger med Mays kurve Det kan bemærkes, tabel12.2, at kapaciteterne med metoden muligvis bliver estimeret for lavt i forhold til hvad der kan ses på kurverne, og hvad vejreglerne anbefaler som kapaciteten i hvert spor. Ligeledes kan det bemærkes, at kapaciteten i midtersporet på den tresporede strækning er større end i venstre spor. Dog kan det konkluderes, at de estimerede frie hastigheder stemmer overens med de værdier, som det kan anslås ud fra speed-flow-kurven. 84

85 12. Speed-flow-kurver Fig De estimerede kurver for Mays model ved Cementvej På fig. 12.8, kan ses det helt bemærkelsesværdige at midtersporet har en højere top end venstre spor. Dette kan selvfølgelig skyldes, at den anvendte algoritme til bestemmelse af parametrene er relativ simpel, og derfor ikke har fundet helt korrekte parametre. Fig De estimerede kurver for Mays model ved Hedevej På fig har derimod et mere korrekt udseende, bortset fra den noget lave kapacitet for venstre spor. Det kan ligeledes bemærkes at de to kurver har nogenlunde ens forløb, bortset fra at kurven for venstre spor er skaleret op i forhold til kurven gældende for højre spor. 85

86 13. Vejranalyse 13. Vejranalyse I dette afsnit ses på trafikafviklingen som resultat af de beskrevne effekter ved forskellige vejrsituationer. Der vurderes visuelt på speed-flow-kurve for at kunne skitsere nogle af effekterne. Herefter beregnes parametrene for enkelte af disse speed-flow-kurver, for at kunne fastslå nøgleparametrene for trafikafviklingen i vejrsituationen. Desuden ses på hastigheds- og headwaysfordelingerne og sporfordelingen, for at kunne identificere ændringerne. For at rekonstruere hvilke vejrforhold, der har hersket ved de forskellige trafikforhold er de eksporterede tekstfiler fra Vejdirektoratets og DMI s vejrmålestationer indlæst i Excel. Derefter er de 15 forskellige vejrkategorier fra afsnit 10.2 defineret i arket, således at der præcist kan defineres hvilke tidspunkter, som er forekommet de forskellige vejrfænomener. Disse tidspunkter relateres senere til trafikobservationerne På nogle vejrstationer er forekommet tidsrum uden måling. I den opslagsfunktion, der er benyttet i regnearket, søges efter den observation der tidsmæssigt ligger bedst i forhold til det tidsrum der søges efter. Hvis den fremsøgte observationstid ligger udenfor de 10-minutters tidsintervaller, hvori trafikobservationerne er foretaget, forkastes vejrmålingen. Alle de tidsværdier, der opereres, med i denne del af analysen er omregnet til vintertid. Dels for at ensarte værdierne konsekvent, men også for kunne beregne solpositionen, da denne netop bør beregnes efter vintertid. Derfor er implementeret en funktion vintertid(dato) i regnearket, der omregner alle registrerede klokkeslæt til vintertid. Kategori Antal 10 min tidsrum Fin regn 2528 Let regn 57 Middel regn 11 Intensiv regn 5 Let snevejr 1333 Middel snevejr 32 Intensivt snevejr 12 Våd vej 2172 Frysende våd vej med salt 702 Frysende våd vej uden salt 21 Meget våd vej 99 Hård vind 335 Meget dårlig sigt 4 Dårlig sigt 257 Sol ved Hedevej mod Roskilde 95 Tabel 13.1 Antal 10-minutters intervaller med vejrkategorierne Det ses af tabel 13.1, at der for nogle af vejrkategorierne er indsamlet data i ganske få tidsintervaller. Derfor kan det blive nødvendigt at se bort fra disse. At der forekommer så få observationer af nogle kategorier kan dels skyldes at nogle bliver fjernet som en konsekvens af definitionerne i tabel Det kan ligeledes skyldes at vejrmålestationen ikke måler de store nedbørsintensiteter så præcist som det måske er tilsigtet, pga. målemetoden. 86

87 13. Vejranalyse Bemærk at de medtagede figurer kun er et udsnit af de udarbejdede diagrammer. Resten kan findes på vedlagte CD-ROM Speed-flow-kurver Først ses generelt på de genererede speed-flow-kurver for at kunne identificere forskelle. Fig Speed-flow-kurver for hhv. venstre og højrespor under påvirkning af fin regn Af fig. 13.1, ses påvirkningen af finregn i trafikafviklingen. Heraf kan det ses at der kun kan spores minimale ændringer. Dog kan der i højre kørespor konstateres ganske få observationer helt ude omkring kapacitetspunktet, hvilket må indikere at kapaciteten nedsættes en smule som konsekvens af påvirkningen fra vejret. Det ses endvidere at der ikke kan konstateres observationer helt ude omkring den ydre grænse, der afmærkes af observationerne under normale forhold. 87

88 13. Vejranalyse Ligeledes ses på de tilsvarende kurver med observationer indsamlet på tidspunkter med let regn. Fig Speed-flow-kurver for hhv. venstre og højrespor under påvirkning af let regn På fig der viser henholdsvis speed-flow-kurverne under påvirkning af let regn, kan det skimtes at observationerne generelt ligger lavere end under normale forhold i regimet for fri kørsel. Ud fra kurven kan det endvidere skimtes at den frie hastighed, især i højre spor er noget lavere end under normale forhold. For venstre spor, kan det dog bemærkes, at der registreres få intervaller med strækningsmiddelhastigheder højere end 125 km/t, og at disse observeres i perioder med lav trafikintensitet. Der er indsamlet for få observationer for køkørsels-regimet til egentlig at kunne konkludere noget for denne del af kurven. 88

89 13. Vejranalyse Fig Speed-flow-kurver for hhv. venstre og højrespor under påvirkning af let snevejr Af fig. 13.3, kan der i endnu højere grad påvises en forskel i trafikafviklingen. Det ses bl.a. at der er en stor tendens til at observationerne ved lave trafikintensiteter har en markant lavere hastighed, og at det især i højre spor kan observeres mange punkter med en trafikintensitet under 500 pe/t, men samtidig med strækningsmiddelhastigheder under 75 km/t. I øvrigt kan der observeres mange punkter beliggende under kurven, hvilket altså indikerer en dårligere trafikafvikling. 89

90 13. Vejranalyse Fig Speed-flow-kurver for hhv. venstre og højrespor i tidsrum med våd vej Desuden ses på kurverne observeret på tidspunkter med våd vej i fig Her kan det ses, at der ikke i samme grad kan observeres nogle ændringer, idet tyngdepunktet af observationerne med våd vej ligger omtrent i midten af punktskyen for de almindelige observationer. Dog bør det nævnes at der ikke ligger helt så mange observationer ude omkring kapacitetsgrænsen, hvilket kan indikere en dårligere trafikafvikling. 90

91 13. Vejranalyse Fig Speed-flow-kurver for hhv. venstre og højrespor i tidsrum med dårlig sigt På samme vis ses på perioder med dårlig sigt. Ud fra disse kan der overraskende nok ikke registreres nogen tydelige ændringer. Dog kan det skimtes at den frie hastighed måske ligger marginalt lavere i højre spor, mens der i venstre spor ikke kan ses nogen tydelige ændringer for denne vejrsituation. 91

92 13. Vejranalyse Fig Speed-flow-kurver for hhv. venstre og højrespor i tidsrum med solstråling imod kørselsretningen Af fig.13.6, der på samme måde viser speed-flow-kurverne hvor trafikafviklingen skulle være påvirket af solstråling, kan det bemærkes, at der udelukkende er registreret denne i perioder med trafikintensiteter over 500 pe/t i højre spor. Derfor kan det være svært at sige noget om den frie hastighed. Det kan bemærkes til begge spor, at der rent faktisk er registreret en god trafikafvikling i disse tidsrum. Dog kan det bemærkes at der i enkelte tidsrum registreres nogle observationer til venstre for kurven, og der i køkørsels-regimet registreres noget lavere trafikintensitet end grænserne foreskriver. Ligeledes kan det bemærkes at der netop i køkørsels-regimet forekommer få observationer omkring 2000 pe/t i begge spor, i modsætning til den store hyppighed omkring 1500 pe/t. Dette må skyldes at trafikafviklingen ved netop solstråling hurtigere stopper til. Dette er ligeledes forventet, da det netop er ved køkørsel at fokus er rettet på køretøjet foran, og dette fokus kan netop blive forstyrret af en modstående sol. 92

93 13. Vejranalyse 13.2 Speed-flow-parametre Rakhas program har indbygget en række betingelser for at kunne benytte programmet. F.eks. er det en betingelse, at der skal være repræsenteret data for de forskellige regimer. Derfor er der kun ganske få af de definerede kategorier, som kan anvendes til denne metode til at estimere speed-flow-kurverne. Af denne årsag anvendes Rakhas program ikke til at estimere speed-flowkurverne under vejrpåvirkningerne. I stedet anvendes nu den Excel-algoritme, som er anvendt til at bestemme kurveparametrene i afsnit Parametrene til at beskrive kurven, beregnes dog udelukkende for de fire kategorier, hvor det er vurderet at der er opsamlet tilstrækkelig med data til at kunne bestemme kurverne. Disse fire er fin regn, let snevejr, våd vej og dårlig sigt. Ud fra beregningerne er tallene i tabel 13.2 fremkommet, som værende de mest optimale i forhold til observationerne. Spor Vejr v f d j m m Kap. v 0 Reduktion i v f Kap. reduktion Fin regn 108,14 46,65 1,66-4, ,1 71,0 15% 6% Venstre Let Snevejr 107,51 46,49 1,68-4, ,0 70,7 15% 7% Våd vej 124,15 49,71 1,53-3, ,6 74,1 2% -1% Dårlig sigt 124,92 49,53 1,36-3, ,8 72,2 1% 0% Fin regn 101,66 42,51 1,68-4, ,0 68,2 3% -15% Højre Let Snevejr 89,15 43,56 2,28-4, ,5 65,5 15% -13% Våd vej 103,01 47,31 1,85-2, ,5 64,4 2% -11% Dårlig sigt 102,29 48,31 1,78-3, ,0 66,0 2% -21% Tabel 13.2 Beregnede parametre for Mays kurve under forskellige vejrsituationer på Hedevej Af disse tal kan det ses at højest kapacitet opnås for situationer med dårlig sigt, mens de værste situationer i venstre spor fremkommer ved fin regn og let snevejr, hvorimod den største kapacitetsmæssige effekt i højre spor kan ses i tidsrum med våd vej. Dette virker selvfølgelig lidt besynderligt, men at en våd vej kan have større effekt i højre spor kan forklares med at opkørt vand vil have større effekt i dette spor pga. den ekstra trafik. Ligeledes bør det bemærkes at den estimerede kapacitet højre spor under de forskellige vejrsituationer faktisk er større end estimeret for alle observationerne, hvilket allerede nu må konkluderes til at være fejlagtigt, også set i lyset af figurerne i afsnit Dette kan dog skyldes, at der er observeret ganske få observationer omkring kapacitetsgrænsen, og derfor kan kurvens toppunkt lægges relativt til trods for minimeringsmetoden. At algoritmen har undervurderet den fremherskende kapacitet i højre spor figurer træder tydeligt frem i de følgende figurer, hvor kurverne der markerer trafikafviklingen under vejrforholdene, har toppunkt længere til højre end den almindelige kurve. 93

94 13. Vejranalyse Fig Beregnede speed-flow-kurver for regnvejr Af fig. 13.7, der viser de estimerede speed-flow-kurver for observationer ved hhv. alle observationer og for let regn er det søgt illustreret hvorledes trafikafviklingen påvirkes af vejret. Her kan det ses at de estimerede frie hastigheder er noget lavere end for basisobservationerne. Derudover kan det observeres at der som forventet er beregnet en lavere kapacitet i venstre spor, mens beregningerne for dataobservationerne i højre spor faktisk medfører en højere kapacitet. Fig.13.8 Beregnede speed-flow-kurver for våd vej På samme plottes kurverne observeret på våd vej i fig Som nævnt i afsnit 13.1, er der her ikke den store effekt at spore, dog med den forskel at den frie hastighed er estimeret en anelse lavere i begge spor. 94

95 13. Vejranalyse Fig Beregnede speed-flow-kurver for snevejr I fig. 13.9, som viser de beregnede speed-flow-kurver for under påvirkning af let snevejr, ses at snevejret medfører en nedgang i kapacitet i venstre spor, mens den frie hastighed i begge spor reduceres væsentligt. Fig Beregnede speed-flow-kurver for dårlig sigt På fig , kan der ligeledes konstateres en lille nedgang i den frie hastighed, mens kapaciteten i venstre spor ikke påvirkes væsentligt, mens kapacitetshastigheden reduceres en anelse Headwayfordelinger Ligeledes er makroudtrækket i Excel tilpasset med henblik på at kunne inddele observationerne af mikroskopiske parametre i de forskellige vejrkategorier. I denne forbindelse er der anvendt samme betingelser som ved det generelle udtræk, og derfor er betingelsen med 80 km/t ved fordelingerne som flowet bibeholdt i koden. Dette er problematisk eftersom 95

96 13. Vejranalyse kapacitetshastigheden må antages at blive en anelse mindre under de forskellige vejrbetingelser. Derfor anvendes for disse grafer hovedsageligt som parameter, som et mål for de trafikmæssige under hvilke der er indsamlet fordelingerne. Ved optegning af fordelingen for hastigheder og headways anvendes udelukkende observationer indsamlet ved trafikintensiteter mellem 1200 og 1400 pe/t. At der anvendes et bredere interval, skyldes at der selvfølgelig er færre observationstidsrum, og derfor vil data ikke blive lige så udglattet, som det var tilfældet ved skitsering af fordelingerne i ved den generelle trafikafvikling. Fig Headwayfordeling under påvirkning af regnvejr Først ses på fordelingen af headways under forskellige intensiteter af regnvejr i fig observeret under trafikintensiteter mellem 1200 og 1400 pe/t. Først kan det bemærkes at jo kraftigere nedbørsintensiteten bliver, jo større bliver udsvingene, hvilket dog kan tilskrives, at der forekommer færre observationer med stigende intensiteter, og derved større udsving. Derudover kan det anes at toppen af kurven, dvs. den headway, der er mest den mest sandsynlige, forskydes en anelse til højre på figuren. Dette er dog mest tydeligt for let regnvejr, mens at de store udsving ved større intensiteter forplumrer billedet. Ligeledes kan det bemærkes til kurven at der ikke forekommer det samme antal observationer af helt små headways. 96

97 13. Vejranalyse Fig Headwayfordeling under påvirkning af snevejr Ligeledes kan det på fig , ses at der forekommer en lille forskydning af headways til højre på figuren. Ligeledes kan det konstateres at toppunktet på kurven forskydes en anelse til højre. Ligeledes kan det konstateres, at til venstre for toppunktet ligger kurverne for vejrsituationerne under basisobservationerne. Fig Headwayfordeling under påvirkning af dårlig sigt og solstråling Ligeledes kan det på fig ses, at der ikke forekommer de helt tydelige ændringer for de observerede headways. Dog kan der ligeledes anes en forskydning mod højre for toppunkterne af de to observerede kurver. Det skal dog, når der ikke er de helt store forandringer i afstandene mellem køretøjerne, bemærkes at en lavere hastighed automatisk vil medføre en længere fysisk afstand ved en konstant tidsafstand, og derfor vil blot en konstant headway faktisk betyde længere afstand, hvis blot hastigheden formindskes. 97

98 13. Vejranalyse 13.4 Hastighedsfordelinger Ligeledes vil der blive forsøgt påvist hvorvidt forskellige vejrfænomener medføre anderledes hastighedsfordelinger. Dette gøres dels med samme visningsmetode som det var tilfældet i afsnit, men der anvendes ligeledes kumulative fordelinger til at skitsere ændringerne. Fig Hastighedsfordeling under påvirkning af regnvejr Af fig , som viser hastighedsfordelingen ved hhv. let regn og for basisobservationerne ses det at der forekommer en forskydning af fordelingen mod venstre, dvs. mod lavere hastigheder. Især kan det ses ved de helt lave hastigheder omkring 60 til 70 km/t, hvor der kan konstateres en øget hyppighed. Omvendt kan der konstateres en markant lavere hyppighed for hastigheder mellem 100 og 120 km/t. Fig Hastighedsfordeling under påvirkning af snevejr Samme udvikling kan ses i fig , hvor to forskellige snevejrsintensiteter er medtaget. Her ses det at kategorien middel snevejr medfører en markant reduktion af hyppigheden for hastigheder over 90 km/t, og omvendt en klar stigning omkring 80 km/t. Dette er ligeledes 98

99 13. Vejranalyse gældende for trafikobservationer med let snevejr, hvor samme mønster kan konstateres, om end knap så markant. Fig Kumulativ hastighedsfordeling under påvirkning af snevejr For samme datasæt er ligeledes plottet den kumulative fordeling i fig Figuren understreger blot at en højere nedbørsintensitet medfører lavere hastighed i køresporet. F.eks. kan det observeres, at under middel snevejr kører næsten 90 % af de observerede køretøjer under 100 km/t, mens det tilsvarende tal for basisobservationerne er 60 %. Fig Hastighedsfordeling under påvirkning af våd vej Ligeledes kan det ses på fig , at de observerede data for kategorien våd vej også medfører en reduktion i hastigheden. Det ses bl.a. at den største effekt som forventet fremkommer ved kategorien meget våd vej, mens der også kan spores en knap så markant forskel ved kategorierne våd og frysende våd vej. Ligeledes plottes den kumulerede hastighedsfordeling for disse tre kategorier. 99

100 13. Vejranalyse Fig Hastighedsfordeling under påvirkning af våd vej Som det ses af fig viser den kumulerede hastighedsfordeling samme mønster, som det var tilfældet i fig , hvor kategorien meget våd vej skiller sig markant ud. Der kan ikke identificeres en stor forskel i, om vejtemperaturen er over eller under frysepunktet, dog kan det bemærkes at hastighederne ved frostvejr er marginalt mindre Sporfordelinger I dette afsnit vil blive fremvist en del kurver, der ligesom i afsnit 11.3, viser en række kurver med de observerede sporfordelinger. Disse kurver vil vise om bilisterne grundet de vejrforhold, der vil gælde i de plottede tidsrum, vil ændre deres adfærd i forhold til valg af kørespor. Ligesom for de øvrige forhold vil der her kun blive belyst forholdene på en tosporet strækning, og derfor vil de tresporede strækninger, der er mest interessante i forhold til sporvalg, ikke blive berørt. Det må forventes at det primært er vejrsituationer, hvor der kan aflejres nedbør på vejen, hvor sporfordelingen vil blive berørt. Der vil ikke blive foretaget en egentlig kvantitativ analyse af ændringen i sporfordelingen, da det vurderes, at sporfordelingen er for stokastisk fordelt i forhold til antallet af observationer i hver vejrgruppering. Hver enkelt observation plottes ind i diagrammet, sammen med den beregnede middelkurve for trafikafviklingen over hele året. På den måde er det muligt at identificere om der er tendens til anderledes forhold vedrørende sporfordelingen. Først ses på fig , som viser sporfordelingen på tidspunkter, hvor der ifølge vejrobservationerne skulle være forekommet let regn. 100

101 13. Vejranalyse Fig Sporfordeling på Hedevej ved hhv. standardsituationer og tidspunkter med let regn Her ses det at der er en lille tendens til en mere ligelig fordeling for samlede trafikintensiteter mindre end 2500 pe/t. Dette må siges at være noget overraskende, eftersom det var forventet at regnvejret ville medføre at bilisterne ville blive i sporet, der blev friholdt for vand i køresporet. Men at fordelingen bliver mere ligelig kan også skyldes at bilisterne søger ud i det venstre kørespor i højere grad for at undgå de opkørte vandpartikler fra køretøjerne foran. Ligeledes ses på observationerne indsamlet på tidspunkter med let snevejr som ses i fig Fig Sporfordeling på Hedevej ved hhv. standardsituationer og tidspunkter med let snevejr Her kan med lidt god vilje skimtes at for små intensiteter under 750 pe/t, er andelen større end normalt i højre spor, hvilket må tilskrives at dette spor har nemmere ved at blive friholdt for nedbøren pga. den ekstra trafik. Ved højere intensiteter er tendensen omvendt, hvor der kan observeres en stor sværm af prikker der markerer hhv. mindre andel for højre spor og større 101

102 13. Vejranalyse andel for venstre spor. Ligeledes kan det, bortset fra enkelte afvigelser, ses at sporfordelingen ved de helt store intensiteter følger de normale sporfordelinger. Til sidst ses på sporfordelingen ved meget våd vej på fig , dvs. ved vandspejlstykkelser større end 1 mm. Fig Sporfordeling på Hedevej ved hhv. standardsituationer og tidspunkter med meget våd vej Her kan det ses at der optræder en del observationer ved lave trafikintensiteter, hvor størstedelen indikerer en mere ligelig sporfordeling, og dette fortsætter indtil en samlet trafikintensitet på omkring 1500 pe/t. Overordnet kan konkluderes at der i de viste eksempler ikke forekommer store forskydninger, men når der kan observeres forskydninger findes de særligt ved små trafikintensiteter. 102

103 14. Analyse af VISSIMs motorvejsmodel 14. Analyse af VISSIMs motorvejsmodel I de senere år har mikrosimuleringsprogrammer vundet større og større indpas i processen med at dimensionere og analysere trafikanlæg. I modsætning til den makroanalyse, der tidligere blev anvendt til dimensionering og analyse af trafikanlæg, simulerer mikrosimuleringsprogrammer adfærden for hver enkelt trafikant. Simuleringen af adfærden foregår vha. matematikken i en såkaldt car-following-model. Da menneskelig adfærd er svær at efterligne matematisk, vil det selvfølgelig være en generalisering af den adfærd der sker i virkelighedens trafik. Netop pga. denne generalisering er det interessant at foretages en sammenligning imellem virkelighedens trafikafvikling, og den afvikling, som programmet antager ud fra simuleringen. Programmet VISSIM er udviklet af tysk firma i Stuttgart, og er det program, der bliver anvendt hyppigst til dimensionering og simulering i Danmark. Programmet tager udgangs i Wiedemanns bilfølgemodel, og derfor må det antages at modellen primært er opbygget til at simulere tyske trafikale forhold. Hvorvidt disse forhold kan overføres direkte til de danske kan ikke umiddelbart vurderes, og må vurderes konkret efter analysen af simuleringsresultaterne. Dog må det umiddelbart vurderes at den tyske trafikale adfærd ligger i nærheden af den tilsvarende danske opførsel på motorvejene. Endvidere er der selvfølgelig usikkert hvorvidt de tyske forhold i første omgang bliver simuleret korrekt, hvilket selvfølgelig ikke vil blive berørt i dette studie. Denne analyse har derimod udelukkende til formål at indikere om simuleringen er korrekt. Dette kan f.eks. være nyttig viden ved en såkaldt dynamisk simulering, som der er foretaget inden påbegyndelsen af byggeriet på Motorring Fremgangsmåde VISSIM indeholder en lang række muligheder for at få genereret resultater af den simulering af trafik, der foregår på det net som er opbygget. Dels findes der en lang række muligheder for dataopsamling på hele nettet, dels findes der mange muligheder for at foretage snitmålinger med programmet. Netop resultatopsamlingen i snittene er interessante i denne forbindelse, da disse kan sammenholdes med de resultater, der er opsamlet i virkelighedens motorvejsnet. Parametrene er som tidligere nævnt. Tidspunkt Hastighed Følgeafstand Længde og deraf type Disse parametre kan VISSIM ligeledes registrere i de kørte simuleringer, og kan derefter sammenlignes direkte. 103

104 14. Analyse af VISSIMs motorvejsmodel Fig Illustration af måleprincip for test af VISSIM For at have et acceptabelt sammenligningsgrundlag simuleres der på to forskellige målesnit. Ligesom ved analysen af speed-flow-kurverne er det vigtigt at vejstrækningerne udenfor det implementerede model i rimelig grad kan afvikle den trafik, der sendes ud af netværket, idet der ellers kan opstå tilbagestuvning i det virkelige vejnetværk, som simuleringen ikke vil opfange, men derimod vil fremgå af TRIM-observationerne. Ligeledes vil det være hensigtsmæssigt hvis analysen indeholder strækninger og tidspunkter med både høje og lave trafikintensiteter, for på den måde at kunne opnå en sammenligning over alle hastigheder og trafikintensiteter Måleområde Ud fra disse betragtninger må det antages at den strækning, der bedst opfylder disse betingelser, og som samtidig indeholder TRIM-observationer, er Holbækmotorvejen. Af tabel 14.1 ses de observationsspoler der er udvalgt til at danne datagrundlag for sammenligningen, og på fig ses opbygningen af nettet. Spolenummer Beskrivelse Anvendelse Tilkørsel fra M7 Trafikmængder Holbækmotorvej før tilkørsel fra M7 Trafikmængder Frakørsel 8 Rutevalg Holbækmotorvejen efter frakørsel 8 Rutevalg /Analyse Tilkørsel 8 Trafikmængder Frakørsel 9 Rutevalg Holbækmotorvejen efter frakørsel 9 Rutevalg Frakørsel 10 Rutevalg Holbækmotorvejen efter frakørsel 10 Rutevalg Tabel 14.1 Observationspunkter Da det selvfølgelig ikke kan forventes at VISSIM efterligner hver enkelt overkørsel, der er registreret i TRIM-systemet aggregeres de opsamlede TRIM-data, og ligeledes aggregeres de opsamlede data i VISSIM over intervaller opdelt for hver 10. minut. På den måde kan det konstateres i hvor høj grad mikrosimuleringsprogrammet efterligner virkelighedens trafikafvikling korrekt. 104

105 14. Analyse af VISSIMs motorvejsmodel Frakørsel 10 Frakørsel 9 Tilkørsel 8 Frakørsel 8 Tilkørsel fra M7 Fig Principskitse af måleområdet Eftersom at der findes muligheder for at registrere parametrene, som denne analyse anvender, er det selvfølgelig ikke disse parametre, der vil være interessante i en simulering af et fremtidigt trafikanlæg. Den valgte vejstrækning optegnes og defineres vha. luftfotos fremskaffet af Vejdirektoratet, som det ses af fig Fig Den definerede model ved afkørsel 8 På de frie strækninger mellem afkørslerne anvendes orthofoto med grov opløsning, hvorimod der ved til- og frakørsler anvendes luftfotos, hvor afmærkningen tydeligt kan observeres, således, at det definerede vejnet stemmer så meget overens med virkeligheden som muligt. Den væsentligste parameter ved en mikrosimulering er de trafikmængder, der defineres ved indgangene til netværket. Trafikmængderne, der er registreret i begyndelsen af netværket på Holbækmotorvejen er defineret i ti-minutters intervaller, hvilket giver i alt 144 intervaller. Denne fordeling anvendes for at kunne simulere opbygningen af trafik omkring eftermiddagsmyldretiden, og ligeledes variationen hen over døgnet. Ligeledes defineres trafikintensiteter på de ramper i systemet der leverer trafik til den vestgående del af Holbækmotorvejen for at have de helt rette trafikmængder i netværket. Disse defineres dog i intervallængder på en time, og vil derfor ikke have samme variation som de trafikmængder er specificeret fra Holbækmotorvejen. Det må dog vurderes at variationen i de 105

106 14. Analyse af VISSIMs motorvejsmodel relativt små trafikmængder, som disse består af, ikke vil have den store indflydelse på simuleringen. Til sidst defineres også andelene af lastbiler, der er observeret på strækningen. Disse defineres dog kun for fire forskellige tidsrum henover døgnet. Dette gøres fordi de observerede lastbilandele er nogenlunde konstante henover disse tidsrum. Frakørsel 8 M7 Holbækmotorvej Fig Ikke målfast principskitse af strækningen mellem M7 og frakørsel 8 Ligesom for trafikintensiteterne er der ud fra de observerede trafikmængder udregnet andele af den samlede trafik på afkørslerne. Disse er beregnet ud fra de trafikregistreringer der har fundet sted på hhv. afkørslen og på motorvejen efter afkørslen. Det eneste problem i dette tilfælde er den interne fordeling af trafikandelene mellem M7, Holbækmotorvejen fra øst, hhv. Holbækmotorvejen mod vest og tilkørsel 8. I lige nøjagtig denne situation må det antages at gøre en hvis forskel hvor stor en andel af køretøjerne fra M7 som skal videre mod vest eller op ad afkørslen. Da TRIM-systemet ikke måler identiteten på køretøjerne, men udelukkende registrerer de trafikafviklingsspecifikke parametre, kan det ikke umiddelbart ud fra de registrerede trafikdata bestemmes hvorledes andelene fordeler sig. Det kunne dog måske være muligt at lave gæt ud fra de registrerede længder på køretøjerne, men dette vurderes til at være for spinkelt et grundlag til at kunne generere andelene fra. Derfor antages en lige fordeling af trafikken til afkørsel 8. Dvs. at der er samme sandsynlighed for at en bil fra M7 skal op af rampen, som der vil gælde for en bil ankommende til systemet på Holbækmotorvejen. Hvorvidt dette er en rimelig antagelse må umiddelbart være svært at afgøre. Rutevalget implementeres ved at lægge identiske rutebeslutninger ind på hhv. M7 og Holbækmotorvejen inden indfletningen. Dette gøres for at simulere at førerne af køretøjet allerede inden sammenfletningen er klar over hvilke valg der skal tages for at komme i den retning, som stokastikken udpeger. Alle de anvendte trafikintensiteter, andele af tunge køretøjer og rutevalgene er vedlagt på bilag 5, samt på CD-ROM Definitioner Udover de gængse udtræk fra TRIM-systemet i form af trafikmængder og andele af tung trafik, defineres hastighedsfordelingerne som gennemgået i afsnit

107 14. Analyse af VISSIMs motorvejsmodel Fig Observeret kumulativ hastighedsfordeling ved trafikintensiteter under 200 pe/timen I dette tilfælde anvendes den kumulative hastighedsfordeling som observeret i snittet efter afkørslen ved Hedevej, som er den strækning, hvor der sammenlignes data. Dette gøres til trods for at der også simuleres over en kort strækning med tre kørespor, og derfor også kunne være anvendt fordelingen observeret på den tresporede strækning ved Cementvej. Når den alligevel ikke anvendes, er det fordi at det udelukkende vil være på den tosporede strækning at den simulerede trafikafvikling evalueres. Den resulterende fejl i resultaterne af simuleringen ved denne anderledes trafikspredning må ligeledes antages at være relativ lille på også på den 3- sporede strækning. Fig Defineret hastighedsfordeling for personbiler i VISSIM Udover denne umiddelbart målbare fordeling er der mulighed for at definere en lang række værdier. Da programmet er udviklet efter tyske forhold, er der dels mulighed for at justere på en række parametre, der dels relaterer sig til bilfølgemodellen, men også værdier, som skal defineres, for at kunne efterligne specifikke forhold i vejnettet. Disse parametre specificerer dermed hvorledes trafikafviklingen foregår, og er derfor ret væsentlige for denne analyse. 107

Brug af høj tavlevogn

Brug af høj tavlevogn Brug af høj tavlevogn Evaluering af hastighed og synlighed Foreløbig udgave Poul Greibe 2. juli 2012 Scion-DTU Diplomvej 376 2800 Lyngby www.trafitec.dk Indhold 1 Sammenfatning og konklusion... 3 2 Introduktion...

Læs mere

Fremkommelighed på motorveje i Københavnsområdet

Fremkommelighed på motorveje i Københavnsområdet Fremkommelighed på motorveje i Københavnsområdet af civ.ing. Steen Lauritzen, Vejdirektoratet, Danmark I 1997 idriftsatte Vejdirektoratet et system til dynamisk indsamling, behandling og formidling af

Læs mere

Bredde af cykelstier: Analyse af adfærd og kapacitet

Bredde af cykelstier: Analyse af adfærd og kapacitet Bredde af cykelstier: Analyse af adfærd og kapacitet Sammenfatningsrapport Thomas Skallebæk Buch Poul Greibe 4. februar 2015 Scion-DTU Diplomvej 376 2800 Kgs. Lyngby www.trafitec.dk Indhold 1 Introduktion...

Læs mere

Model til fremkommelighedsprognose på veje

Model til fremkommelighedsprognose på veje Model til fremkommelighedsprognose på veje Henning Sørensen, Vejdirektoratet 1. Baggrund Ved trafikinvesteringer og i andre tilfælde hvor fremtidige forhold ønskes kortlagt, gennemføres en trafikprognose

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

GPS data til undersøgelse af trængsel

GPS data til undersøgelse af trængsel GPS data til undersøgelse af trængsel Ove Andersen Benjamin B. Krogh Kristian Torp Institut for Datalogi, Aalborg Universitet {xcalibur, bkrogh, torp}@cs.aau.dk Introduktion GPS data fra køretøjer er i

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Adfærd og kapacitet på cykelstier

Adfærd og kapacitet på cykelstier Adfærd og kapacitet på cykelstier Et cykelpuljeprojekt Thomas Skallebæk Buch Poul Greibe Baggrund og formål Cykeltrafikken er voksende (flere specialcykler) Øget trængsel Eksisterende viden (ind- og udland)

Læs mere

Rejsetids-informationssystem på Helsingørmotorvejen

Rejsetids-informationssystem på Helsingørmotorvejen Rejsetids-informationssystem på Helsingørmotorvejen Afd.ing. Finn Krenk, Vejdirektoratet Nedenfor beskrives et rejsetids-informationssystem, der er implementeret på Helsingørmotorvejen for at forbedre

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Rumlestriber ved vejarbejde på motorvej

Rumlestriber ved vejarbejde på motorvej Rumlestriber ved vejarbejde på motorvej Effekt på hastighed Lene Herrstedt Poul Greibe 9. juli 2012 tec Scion-DTU Diplomvej 376 2800 Lyngby www.trafitec.dk Indhold Sammenfatning og konklusion... 3 1. Introduktion...

Læs mere

Estimat over fremtidig trafik til IKEA

Estimat over fremtidig trafik til IKEA BILAG Estimat over fremtidig trafik til IKEA Estimat af fremtidig trafik til IKEA For at estimere den fremtidige trafik til IKEA tages der udgangspunkt i en tælling af trafikken i IKEA Århus og i antallet

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

60-punktstællinger. Hovedresultater 2012

60-punktstællinger. Hovedresultater 2012 60-punktstællinger Hovedresultater 2012 1 01 Indledning Denne rapport beskriver resultaterne fra manuelle trafiktællinger, som er gennemført i 70 faste udvalgte steder på det danske vejnet. De benævnes

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

Serviceniveau for fodgængere og cyklister

Serviceniveau for fodgængere og cyklister VEJFORUM Serviceniveau for fodgængere og cyklister Trafikanters oplevelser i trafikken er en særdeles væsentlig parameter i trafikpolitik, både lokalt, regionalt og nationalt. I faglige kredse benævnes

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Fodgængeres og cyklisters serviceniveau i kryds

Fodgængeres og cyklisters serviceniveau i kryds Fodgængeres og cyklisters serviceniveau i kryds Af civilingeniør Søren Underlien Jensen Trafitec, suj@trafitec.dk Trafikanters oplevelser i trafikken er en vigtig parameter. I faglige kredse benævnes denne

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Test af uopmærksomhedsalarm i Abbott og Byggeriets arbejdsmiljøbus

Test af uopmærksomhedsalarm i Abbott og Byggeriets arbejdsmiljøbus Test af uopmærksomhedsalarm i Abbott og Byggeriets arbejdsmiljøbus Rådet for Sikker Trafik har i samarbejde med medicinalfirmaet Abbott og Byggeriets Arbejdsmiljøbus gennemført en undersøgelse af effekten

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Efficient Position Updating

Efficient Position Updating Efficient Position Updating Pervasive Positioning, Q3 2010 Lasse H. Rasmussen, 20097778 Christian Jensen, 20097781 12-03-2010 1 Introduktion Denne rapport har til formål at beskrive implementeringen og

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Samfundsøkonomisk vurdering af ITS

Samfundsøkonomisk vurdering af ITS Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603-9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Kompakte toplanskryds Geometri, ulykkesrisiko og vejvisning

Kompakte toplanskryds Geometri, ulykkesrisiko og vejvisning Kompakte toplanskryds Geometri, ulykkesrisiko og vejvisning Civ. ing. Puk Kristine Andersson, Trafitec. puk@trafitec.dk Civ. ing. Poul Greibe, Trafitec. pgr@trafitec.dk I relation til revidering af Vejregler

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

KATTEGAT- FORBINDELSEN

KATTEGAT- FORBINDELSEN TRAFIKAL VURDERING AF KATTEGAT- FORBINDELSEN SAMMENFATNING OKTOBER 2012 2 TRAFIKAL VURDERING AF KATTEGATFORBINDELSEN FORORD Mange spørgsmål skal afklares, før Folketinget kan tage endelig stilling til

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Pulje til forbedring af den kollektive trafik i yderområder, 2. ansøgningsrunde

Pulje til forbedring af den kollektive trafik i yderområder, 2. ansøgningsrunde Pulje til forbedring af den kollektive trafik i yderområder, 2. ansøgningsrunde 1. Projekttitel 5 fremkommelighedsprojekter på landevej 505 mellem Assens og Odense. 2. Resumé Fremkommelighed på vejene

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Energirigtig Brugeradfærd

Energirigtig Brugeradfærd Energirigtig Brugeradfærd Rapport om konklusioner fra fase 1 brugeradfærd før energirenoveringen Rune Vinther Andersen 15. april 2011 Center for Indeklima og Energi Danmarks Tekniske Universitet Institut

Læs mere

Baggrundsnotat: Lærernes gymnasiekarakterer og elevernes eksamensresultater

Baggrundsnotat: Lærernes gymnasiekarakterer og elevernes eksamensresultater 17. december 2013 Baggrundsnotat: Lærernes gymnasiekarakterer og elevernes eksamensresultater Dette notat redegør for den økonometriske analyse af betydningen af grundskolelæreres gennemsnit fra gymnasiet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

VURDERING AF INVESTERING I ITS PÅ STATSVEJE

VURDERING AF INVESTERING I ITS PÅ STATSVEJE VURDERING AF INVESTERING I ITS PÅ STATSVEJE 2 INDHOLD SAMMENFATNING 2 1. INDLEDNING 6 2. ITS-SYSTEMERNE I ANALYSEN 8 3. METODE 10 4. RESULTATER OG PERSPEKTIVERING 12 BILAG A. ITS VED UDBYGNING AF MOTORVEJE

Læs mere

PROJEKT TRÆNGSEL RESUMÉ

PROJEKT TRÆNGSEL RESUMÉ PROJEKT TRÆNGSEL RESUMÉ August 2004 PROJEKT TRÆNGSEL Indholdsfortegnelse 1 Baggrund og formål 3 2 Projektorganisation og - finansiering 3 3 Trængselsbegrebet 4 4 Metoder til opgørelse af trængsel 6 5

Læs mere

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilaget indeholder den tekniske beregning af omkostningsækvivalenterne til brug for benchmarkingen 2013. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING...

Læs mere

3D visualisering af trafik omkring ny letbane

3D visualisering af trafik omkring ny letbane 3D visualisering af trafik omkring ny letbane Ole Munk Riberholt COWI A/S Indledning I foråret 2005 tog Københavns Amt initiativ til en udstilling om den mulige kommende letbane på Ring 3. Til udstillingen

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Analyser af GPS data fra Test en elbil og TU data

Analyser af GPS data fra Test en elbil og TU data Denne artikel er publiceret i det elektroniske tidsskrift Artikler fra Trafikdage på Aalborg Universitet (Proceedings from the Annual Transport Conference at Aalborg University) ISSN 1603 9696 www.trafikdage.dk/artikelarkiv

Læs mere

REGNINPUT HVAD KAN VI REGNE MED?

REGNINPUT HVAD KAN VI REGNE MED? REGNINPUT HVAD KAN VI REGNE MED? EVA TEMAMØDE 21. MAJ 2015, NYBORG: DET URBANE VANDKREDSLØB SØREN THORNDAHL, AALBORG UNIVERSITET Indhold Dimensionering af regnvandsledninger Niveau 1 jf. SVK Skrift 27

Læs mere

http://www.sparpaafarten.dk/spr2/s1.php?p=9999&n=123456 1 of 1 02-11-2006 13:07

http://www.sparpaafarten.dk/spr2/s1.php?p=9999&n=123456 1 of 1 02-11-2006 13:07 http://www.sparpaafarten.dk/spr2/s1.php?p=9999&n=123456 1 of 1 02-11-2006 13:07 Nu begynder den del af spørgeskemaet, som omhandler dine holdninger til og erfaringer med trafik. Det er vigtigt, at du husker

Læs mere

Udtræk Udtræk findes under fanebladet Udtræk i imastra hovedmenuen. Skærmen er delt op i 5 afsnit, blokke, som har hver deres funktion

Udtræk Udtræk findes under fanebladet Udtræk i imastra hovedmenuen. Skærmen er delt op i 5 afsnit, blokke, som har hver deres funktion Udtræk Udtræk findes under fanebladet Udtræk i imastra hovedmenuen. Skærmen er delt op i 5 afsnit, blokke, som har hver deres funktion 1.Trafiksnit Her udvælges hvilke snit, som udtrækket skal omfatte.

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Trafikale effekter af en ny motorvejskorridor i Ring 5

Trafikale effekter af en ny motorvejskorridor i Ring 5 DEPARTEMENTET Dato 8. april 2010 Trafikale effekter af en ny motorvejskorridor i Ring 5 Det fremgår af Aftalen om en grøn transportpolitik af 29. januar 2009, at der skal gennemføres en strategisk analyse

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

TRAFIKBETJENING AF NY DAGLIGVAREBUTIK OG NYE BOLIGER VED HØJSKOLEVEJ I STRIB

TRAFIKBETJENING AF NY DAGLIGVAREBUTIK OG NYE BOLIGER VED HØJSKOLEVEJ I STRIB REITAN EJENDOMSUDVIKLING AS TRAFIKBETJENING AF NY DAGLIGVAREBUTIK OG NYE BOLIGER VED HØJSKOLEVEJ I STRIB ADRESSE COWI A/S Visionsvej 53 9000 Aalborg TLF +45 56 40 00 00 FAX +45 56 40 99 99 WWW cowi.dk

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Hvad er trængsel. Michael Knørr Skov Afd.chef, Plan og trafik 21. JANUAR 2013 HVAD ER TRÆNGSEL

Hvad er trængsel. Michael Knørr Skov Afd.chef, Plan og trafik 21. JANUAR 2013 HVAD ER TRÆNGSEL Hvad er trængsel Michael Knørr Skov Afd.chef, Plan og trafik 1 2 Projekt Trængsel Problemformulering Hvad er trængsel og med hvilke parametre kan den opgøres? Hvor stort er trængselsproblemet i Københavnsområdet

Læs mere

SF Nordjyllands E45-trafikløsning 2013-2030 : September 2013

SF Nordjyllands E45-trafikløsning 2013-2030 : September 2013 SF Nordjyllands E45-trafikløsning 2013-2030 : September 2013 Forbedring af sikkerhed og kapacitet på E45 ved Limfjordstunnelen SF er af den opfattelse, at den langstrakte diskussion om den 3. Limfjordsforbindelse

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Effekt af nedsættelse af promillegrænsen

Effekt af nedsættelse af promillegrænsen Effekt af nedsættelse af promillegrænsen Inger Marie Bernhoft Civilingeniør Danmarks TransportForskning/Ermelundsvej Ermelundsvej 101, 2820 Gentofte, Danmark Baggrund Pr. 1. marts 1998 blev promillegrænsen

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version

Indholdsfortegnelse. Miljørigtige køretøjer i Aarhus. Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune. Aarhus Kommune. Notat - kort version Aarhus Kommune Miljørigtige køretøjer i Aarhus Effekter af en mere miljørigtig vognpark i Aarhus Kommune COWI A/S Jens Chr Skous Vej 9 8000 Aarhus C Telefon 56 40 00 00 wwwcowidk Notat - kort version Indholdsfortegnelse

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Opdatering af stræknings-trafiktallene i vejman.dk

Opdatering af stræknings-trafiktallene i vejman.dk Opdatering af stræknings-trafiktallene i vejman.dk Stræknings-trafiktallene opdateres én gang årligt - den kan gøres tiere, men det normale vil være, at det foregår årlig efter at forrige års tællinger

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

Støjdæmpende vejbelægning på Motorring 3, samfundsøkonomisk analyse

Støjdæmpende vejbelægning på Motorring 3, samfundsøkonomisk analyse Støjdæmpende vejbelægning på Motorring 3, samfundsøkonomisk analyse Civilingeniør Henrik Nejst Jensen, Vejdirektoratet, Vej- og trafikområdet, hne@vd.dk Civilingeniør Carsten Bredahl Nielsen, Vejdirektoratet,

Læs mere

Finn Gilling The Human Decision/ Gilling. 12. 13. September Insights Danmark 2012 Hotel Scandic Aarhus City

Finn Gilling The Human Decision/ Gilling. 12. 13. September Insights Danmark 2012 Hotel Scandic Aarhus City Finn Gilling The Human Decision/ Gilling 12. 13. September Insights Danmark 2012 Hotel Scandic Aarhus City At beslutte (To decide) fra latin: de`caedere, at skære fra (To cut off) Gilling er fokuseret

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Vejledning til TimeTælleTure (TTT)

Vejledning til TimeTælleTure (TTT) Vejledning til TimeTælleTure (TTT) Tak fordi du vil påtage dig en TimeTælleTur i Atlas III! Ved at tælle fuglene i udvalgte TTT-kvadrater kan tætheden og bestandsstørrelsen af de mest almindelige fuglearter

Læs mere