Generaliserede koordinater. Opstilling af Euler-Lagrange ligningerne

Transkript

1 Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen Generiseree koorinter. Opstiin f Euer-rne ininerne. = T - U Hvis et syste er estet ve eneriseree koorinter q i er Euer-rnes ininer for ekstreu f en funktion F. F F. q i q i q i etyer so sævni ifferentition f q i e hensyn ti tien. rne funktionen fr en nytiske eknik er: Hvor T er en kinetiske eneri o U er en potentiee eneri. Urykt ve iver Euer- rne ininerne:. q i q i So iver evæesesininerne for et eknisk syste i e eneriseree koorinter. På fiuren ovenfor er vist et syste f koee penuer. De eneriseree koorinter er θ so er et øverste penus nuære usvin fr oret o φ so er et neerste penus nuære usvin fr oret. Msserne f e to tetiske penuer er o o penuænerne er o. Vi esteer først en potentiee eneri f e to oer.. E E pot pot h h cos cos cos Den kinetiske eneri er i vnskeiere for o iet vi først estee positionen f e to oer so funktion f θ o φ.. Herf fås:. O føei:.7 x y x y sin sin cos cos sin x y cos sin x y cos sin cos cos sin x y cos sin For t opnå resuttet for hve vi nu ikke ehøvet t opskrive et i koorinter iet en eneriseree koorint ti er r så r en e er et inre sipet. Vi esteer en kinetiske eneri f u fr e eneriseree hstiheer:

2 Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen.8 x y cos cos sin sin Suen f kvrterne på et første e i e to prenteser vi so før ive: o suen f kvrterne på et net e i e to prenteser vi på se åe ive: fori cos + sin =. Men vi ner e to oete proukter ne ½ : cos cos o sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin.9 cos Det siste e vi nok øre et het o ees uuit t øse evæesesininerne nytisk. Først opstier vi rne funktionen for systeet f e to penuer. T U. Vi urener erefter: cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin cos cos Vi urener ernæst evæesesininerne først for Thet. cos cos sin

3 Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen. sin sin sin cos Vi urener ernæst evæesesininerne for Fi: sin cos cos sin sin sin cos So et ti er tifæet e tetiske penuer e så usvin x så tinærer n sin x = x o cos x =. Derefter får n: I: Thet: II: Fi: Isoerin f o fr e to ininer Dette er e to koee ifferentiininer so esteer evæesen f e to penuer. D åe o optræer i ee ininer er vi nø ti t øse e to ininer e hensyn ti o. Dette er ret erisk ret ostæneit en je eer e e e so je sev hr nven. Vi eiinerer først ve t ne I e o ne II e -. I: II: O erefter t ere ininerne I+II : Dernæst eiinerer vi ve t ne I e o ne II e

4 Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen I: II: I+II: Bevæesesininen for thet: Divieres ienne e Vi Infører korte eteneser for ininens konstnter. Vi infører føene : k k Den eneie reuceree evæesesinin for Thet e tværier. 8 9 Bevæesesininen for Fi: Divieres ienne e.

5 Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen Vi Infører korte eteneser for ininens konstnter. k k Vi hr erfor e to koee ifferentiininer: Differentiinin for Thet Differentiinin for Fi På forhån nser je et for ueukket t n kn estee en nytisk øsnin så je hr vt t øse ininerne nuerisk. Det er jort e et ofttene tetik pror so je vee i Turo Psc Turo 7. i 99. Det kn ikke ænere køre efter føseren for Winows XP o er kn ikke ves screen ups efter Winows 98. De to oer hr se usvin pi for t = en je hr forsku rfen for et ette o stykket op. ksen. Grferne er vet u fr e værier so er nivet ovenfor.

6 Koee penuer en kotisk evæese En nvenese f rne forisen Grfen neenfor ti venstre viser neerst usvinet f et store o o øverst usvinet for et ie o. Grfen ti højre viser neerst usvinet f et store o o øverst forskeen ee usvinet for et store o o et ie o. So et freår er forskeen i usvin større en e enkete oers usvin o næsten perioisk for et ie penu e to perioer. Hvis n væer t e to penuer hr et oert stort eynesesusvin en ti forskei sie uviker et si kotisk so vist på fiuren neenfor. De to rfer er e to penuers usvin. Eksepet e e koee penuer i tynefetet sk ikke etrtes so øsnin f en opve so hr en prktisk etynin en ere en ere teoretisk eonstrtion f nvenesen f en nytiske eknik o rne forise.

7 Koee penuer en kotisk evæese 7 En nvenese f rne forisen