Matematikken bag perspektivet I

Transkript

1 Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for punkter, injer og pner i rumgeometri. R m Gennem to forskeige punkter og går der netop én ret inje. Gennem tre forskeige punkter, og R, der ikke igger på den smme rette inje, går der netop én pn. Gennem et punkt og en ret inje, der ikke indehoder punktet, går der netop én pn. Gennem ét punkt, der ikke igger på en ret inje, går der netop én ret inje m, som er pre med. reen m igger i pnen frembrgt f punktet og den rette inje. b b Gennem et punkt og en pn, der ikke indehoder, går der netop en pn b, der er pre med. To forskeige pner og b er enten indbyrdes pree eer de skærer hinnden i en ret inje. En perspektivtegning fremkommer som en centrprojektion fr et f en rumig ind på en p. Det er d underforstået t den rumige og et igger på hver sin side f en p.

2 Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter ' ' Biedet f et genstndspunkt fremkommer ved t mn forbinder med et med en ret inje, synsstråen. Denne kn ikke være pre med en, d et og genstndspunktet igger på hver sin side f en p. Der hvor synsstråen skærer en tegnes biedpunktet '. Hvis fere punkter fbides i det smme biedpunkt er det kun det forreste der tegnes det forreste punkt skygger for de ndre. Hovedkonkusionen er tså t punkter fbides i punkter (skæringspunkter i skæringspunkter osv.). frontinje k' k ' m'=s m dybdeinje S dybdeinje m, der går gennem et Vi ser dernæst på biedet f en inje hørende ti den rumige. Hvis injen er pre med en kdes den en frontinje og eers en dybdeinje. For dybdeinjer gæder det, t dee f injen igger på igttgerens side f en. Dybdeinjer skærer en i et punkt, der kdes injens spor.

3 Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Hvis en dybdeinje m går gennem et fbides e injens punkter i det smme biedpunkt, nemig injens spor S m i en. En dybdeinje gennem et fbides tså i et enket punkt. I e ndre tifæde, vi injen smmen med et udspænde en pn, synsstråepnen. Denne kn ikke være pre med en, d den indehoder punkter på hver sin side f en. Den skærer derfor en i en ret inje '. Ethvert punkt på injen fbides derfor i et punkt på injen ', hvorfor denne kdes biedinjen. I mindeighed fbides en ret inje tså i en ret inje. Hvis den rette inje k er en frontinje, dvs. pre med en, vi biedinjen k' være pre med k. Afbidningen fr k ti k' er d en igednnethed (mutipiktion) med øjet som mutipiktionscentrum. 0 F ' Synsstråepn ' ' 0 dybdeinje 0 S Hvis den rette inje er en dybdeinje vi biedinjen ' indehode sporet S i en, d dette fbides i sig sev. Vi kn d trække en inje 0 pre med gennem et. Den skærer en i punktet F som kdes forsvindingspunktet for dybdeinjen. Hvis dybdeinjen ikke indehoder et vi forsvindingspunktet F være forskeigt fr sporet S. Dette vi vi ntge i det føgende. Synsstråepnen frembrgt f et og injen vi d også indehode preen 0. Men synsstråepnen skærer netop en i biedinjen. Denne går derfor også gennem forsvindingspunktet F. Vi hr dermed vist perspektiværens hovedsætning: Biedet f en dybdeinje som ikke går gennem et er den rette inje, der forbinder injens spor S med injens forsvindingspunkt F. Biedet f en dybdeinje, der går gennem et er injens spor i en. Biedet f en frontinje er en dermed pre inje i en. Vi ser ydermere t injestykket fr S ti F netop er biedpunkterne for den sceniske hvinje, der udgår fr sporet og igger på den modstte side f en. Rykker mn et punkt på injen ængere og ængere væk fr en vi biedpunktet tisvrende rykke tættere og tættere på forsvindingspunktet. Mn siger t forsvindingspunktet er biedpunktet for injens uendeigt fjerne punkt.

4 Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter D forsvindingspunktet for en ret inje kun fhænger f injens retning vi enhver nden dermed pre inje frembringe det smme forsvindingspunkt. Herf føger: ree injer i rummet fbides i injer, der går gennem det smme forsvindingspunkt. En gnske særig roe spier ens normer, dvs. de rette injer, der står vinkeret på en. Deres forsvindingspunkt svrer ti projektionen f et ind på en, det såkdte hovedforsvindingspunkt H. Enhver ret inje, der står vinkeret på en vi enten fbides i hovedforsvindingspunktet H (hvis den rette inje indehoder et ) eer i en ret inje gennem hovedforsvindingspunktet. Den vndrette pn gennem et, kdet horisontpnen, skærer en i en ret inje kdet horisonten. Hvis speciet en står odret vi de to pner, den vndrette pn gennem et og den odrette, stå vinkeret på hinnden og horisonten vi d indehode hovedforsvindingspunktet H. Ae vndrette dybdeinjer vi hve deres forsvindingspunkt iggende på horisonten. Når mn sk nysere perspektiviske bieder sk mn dog huske på t en ikke tid står odret. Fx vi mn ofte kunne finde oftsmerier, som forestier himen ovenover betrgteren. Her vi en være vndret. Når mn fbider en figur perspektivisk ved hjæp f en centrprojektion vi den ofte fremstå forvrænget: Rette vinker i virkeigheden fremstår ikke som rette vinker på tegningen, injestykker der er ige store i virkeigheden fremstår ikke som ige store injestykker på tegningen osv. ' ' Frontfigur Der er dog en meget vigtig undtgese: Hvis en simpe pn figur (poygon, cirke osv.) igger i en frontpn, dvs. en pn pre med en vi biedet være en dermed

5 Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter igednnet figur, der fremkommer ved en rumig mutipiktion meem frontpnen og en med et som mutipiktionscentrum og forhodet meem fstndene ti de to pner som mutipiktionsfktor. Hvis punkterne og er to punkter på figuren vi treknterne og '' nemig være igednnede treknter og forhodet meem siderne og '' vi være det smme som ethvert ndet forhod meem korresponderende sider i treknterne. Speciet vi det være det smme som forhodet meem højderne for et i de to treknter. Men det er netop det smme som forhodet meem fstndene fr et ti de to pner. Dette gør det speciet nemt t tegne figurer fr frontpner, fordi formen er præcis den smme: Ae vinker er bevret og e deingsforhod er bevret, så midtpunkter går i midtpunkter osv. Het nderedes forhoder det sig med pne figurer i dybdepner (dvs. pner som ikke er pree med en). Her vi der kunne være store forvrængninger f figuren. Vi kn derfor ikke umiddebrt se på tegningen, hvd den snde form er for en treknt eer en firknt. Der gæder den føgende overrskende sætning: Enhver firknt på tegningen, som ikke er et preogrm, vi i et pssende vgt perspektiv kunne være tegningen f et kvdrt. D' H A' C' B' Denne sætning vi vi dog ikke bevise i dette dokument. 1 1 Sætning vi bive vist i et ndet dokument på GeoMeters hjemmeside