Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne
|
|
- Emilie Jeppesen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige eksponentilfunktion e som omvendte funktioner... 3 Tllet e... 3 Den nturlige logritmefunktion Logritmeregneregler Smmenhængen mellem og e k... 8 Mnge funktioner er igennem historien første gng opstået som tbellgte funktioner. Sådnne tbeller kender vi helt tilbge fr den old-ægyptiske og den old-bbylonske mtemtik for c år siden. Disse tbeller, der repræsenterer en gnske vnceret mtemtik, kn du møde som projekter forskellige steder i lærebogssystemet, f I det foregående kpitel 7 om Tl og Ligninger. Vi bogens website er der yderligere dgng til en enestående portl med scnnede eller digitliserede versioner f lskens tbeller fr mtemtikhistorien. Logritmefunktionerne opstår som et omfttende tbelværk i første del f 600-tllet. De konstrueres som regnetekniske funktioner, der er i stnd til t oversætte multipliktion og division til plus og minus-stykker. Og logritmernes vidunderlige egenskber rkte endnu videre ved hjælp f dem kunne mn meget enkelt uddrge kvdrtrødder og løse eksponentielle ligninger. Hovedæren for opfindelsen f logritmerne og konstruktionen f tbellerne tilflder den skotske godsejer John Npier, der brugte de 20 sidste år f sit liv på dette. Formuleringen om de vidunderlige egenskber stmmer fr hns første tbelsmling. Hn dør midt i rbejdet, men en engelsk ven, Henry Briggs overtger rbejdet og forenkler Npiers system, så det bliver de logritmer, vi i dg kender som titls logritmerne, og som blev nvendt i skoler og til prktiske beregninger indtil regnestokke og lommeregnere overtog rbejdet med tbelopslg. Vi bogens website er der dgng til et lille projekt om regnestokke (projekt 8.8, Npiers stve), og til større projekter om logritmernes historie (projekt 8.7 Den frnske revolutions logritmefbrik), om de helt specielle beregningsmetoder, mn nvendte før logritmerne, metoder der byggede på de trigonometriske funktioners egenskber (projekt 8.3 Prostpheresis-Logritmiske beregninger med sin og cos), smt om linerisering og nvendelse f logritmiske koordintsystemer (projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer) I moderne mtemtik bliver Logritmefunktionerne indført på en helt nden måde, hvilket vi vender tilbge til på B- og A-niveu. 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
2 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne. log( ) og 0 som omvendte funktioner I kpitel 3 udvidede vi potensbegrebet, så udtryk som Øvelse Det udvidede potensbegreb 5, men hvordn definerede vi tl som: ) ) 3) ) 5) 6) Slå evt tilbge til kpitel 3 og repeter reglerne. hiver mening for lle tl, når er et positivt tl. Når vi hr defineret potenser f lle brøker, hr vi også defineret potenser f lle endelige decimltl som 3.45 og potenser f lle periodiske decimltl som Disse kn nemlig skrives som brøker. F er Vi hr ikke dermed fået defineret for lle reelle tl, men lle de decimltl, der svrer til brøker, 7 ligger meget tæt på tllinjen. Så det sidste skridt med t få lle tl med tger vi ved t kræve, t grfen for skl være kontinuert (smmenhængende). Det betyder specielt, t 0 er defineret for lle tl. Hvd er f D og, så må , med 3 decimlers nøjgtighed være et tl mellem og 00. Værktøjsprogrmmet giver: Men vi kn også gøre det omvendte, og spørge: Hvilken potens skl 0 opløftes til for t få 40? Igen kn værktøjsprogrmmet løse det: 0 40 hr løsningen.602, med 3 decimlers nøjgtighed Dette tl klder vi for logritmen til 40, og det betegnes log(40) Generelt er ltså logritmen til et positivt tl y løsningen til ligningen 0 y Definition: Titls logritmen log Givet et positivt tl y. Logritmen til y, som skrives log(y), er løsningen til ligningen 0 0 y log( y) (*) Ved t udnytte (*) to gnge får vi følgende: log( y) 0 y og log(0 ). (**) Funktionen log er således den omvendte funktion til funktionen 0. Vi udtrykker (**) kort ved t sige, t log og 0 ophæver hinnden. Bemærkning: Eksponentilfunktioner som 0 giver kun positive værdier. Derfor er logritmen kun defineret for positive tl. Eksempel: Titlspotenser 3 0 ) log(000) 3, fordi ) log() 0, fordi 0 6 3) log(000000) 6, fordi ) log( 0) 2, fordi Eksempel: Grferne for de omvendte funktioner log( ) og 0? y : Log er den omvendte funktion til 0. Dvs. hvis vi strter på 2. ksen med et y, så finder vi log( y ) på. ksen ved t gå vndret ud fr punktet y til vi rmmer grfen, og derfr lodret ned til. ksen, hvor vi flæser log( y ). Det 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
3 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne betyder, t vi for logritmefunktionerne hr byttet om på, hvor den ufhængige og den fhængige vribel flæses. Ønsker vi grfen for log præsenteret på sædvnlig vis med den ufhængige vribel ud f. ksen, kn vi blot spejle grfen for 0 i linjen y, så. og 2. ksen bytter plds. 2. Den nturlige logritmefunktion, og den nturlige eksponentilfunktion e som omvendte funktioner Under emnet differentilregning vil vi studere grfers forløb ved t se på tngenterne til grfen, og undersøge hvordn deres hældning vrierer. Hældningen f en tngent måler, hvor hurtigt eller hvor lngsomt den fhængige vribel vokser eller ftger, og det er en vigtig metode, t kunne bestemme sådnne hældninger. Det viser sig, t blndt eksponentilfunktionerne er der én, der udmærker sig som særlig betydningsfuld, og som ofte indgår i modeller over nturlige fænomener. ln( ) Den hr fået sit eget nvn, Den nturlige eksponentilfunktion, og sit eget symbol e. Af og til nvendes nottionen: ep( ) e, men vi vil hovedsgeligt bruge e. Definition: Den nturlige eksponentilfunktion Den nturlige eksponentilfunktion e, er den funktion blndt lle eksponentilfunktioner, hr hældningen, hvor grfen skærer y-ksen Tllet e, hvis grf Øvelse 2 På jgt efter tllet e Anvend dit værktøjsprogrm til t gennemføre en eksperimentel undersøgelse f, hvilket tl e, der opfylder definitionen: Tegn grfen for funktionen f ( ) smmen med tngenten til grfen i punktet (0,). Prmeteren defineres med en skyder i dit værktøjsprogrm. Tegn i smme koordintsystem grfen for +, der er den rette linje gennem (0,) med hældning. (Vi bogens website kn du finde en vejledning i, hvordn mn tegner tngenter til grfer i de gængse værktøjsprogrmmer). Forsøg nu t bestemme tllet så tngenten flder smmen med grfen for l ( ). Det tl, du bestemmer er en tilnærmelse til tllet e. Bestem tllet e med 0 cifre ved hjælp f dit værktøjsprogrm. Eksempel: Tllet e Tllet e spiller en lige så fundmentl rolle i mtemtik som tllet π. Det hedder Eulers tl, fordi Leonrd Euler () vr den første der nvendte symbolet e. Det sker i et f hns mest berømte værker fr 748 (Introductio), som er en introduktion til infinitesimlregningen (differentil og integrlregning). Der er så uftteligt meget i mtemtikkens verden, der er knyttet til Eulers nvn, så mn skl psse lidt på: Eulers konstnt er f et helt ndet tl. Euler vr ikke den første, der hvde opdget, t der vr et helt særligt tl inden for logritmernes og eksponentilfunktionernes verden, som det vr værd t få styr på. 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
4 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Første gng, vi ser et forsøg på t bestemme tllet e, er hos John Npier, opfinderen f logritmerne, der omtler det i et tillæg til sine første logritmetbeller fr 68. Den første der opstiller en korrekt formel for tllet e er fktisk slet ikke på jgt efter tllet, men efter formler til beregning f renters rente. Det vr en f de berømte Bernouilli brødre, Jkob Bernouilli (), der i 683 stiller sig den opgve t beregne tllet: lim n n Det er ikke indlysende, t dette er et tl, men hn viser t grænseværdien giver god mening, og t tllet ligger mellem 2 og 3! I det omtlte værk f Euler viser hn, t tllet e kn defineres på en række forskellige måde, og specielt t det kn opskrives som en sum og som en grænseværdi:! 2! 3! 4! n! i! i0 n n e......, hvor f 4! 432 e lim Euler beregnede tllet e med 8 decimler: e Tllet e er ligesom tllet π både irrtionl, dvs decimlerne gentges ikke efter en vis periode, og trnscendent, dvs tllet er ikke rod i noget polynomium med hele tl som koefficienter. Mn tler inden for mtemtik om de 5 fundmentle konstnter: 0,, π, e og den imginære enhed i (= ). Disse er forbundet i den fntstiske formel, der hr fået nvnet Eulers identitet: iπ e 0 Den nturlige logritmefunktion Funktionen e er en monotont voksende funktion. Værdimængden er lle positive tl. Hvis vi spørger: Hvilken potens skl tllet e opløftes til for t få 5, så kn værktøjsprogrmmet løse det: e 5 hr løsningen med tre decimlers nøjgtighed. Dette tl kldes for den nturlige logritme til 5, og det betegnes ln(5). Generelt er ln( ) løsningen til ligningen: e. Løsningen findes ltså ved t fjerne eksponentilfunktionen med den omvendte opertion ln. Definition: Den nturlige logritme ln Givet et positivt tl y. Den nturlige logritme til y, der skrives ln(y), er løsningen til ligningen e e y ln( y) (*) Ved t udnytte (*) to gnge får vi følgende: ln( ) e y y og ln(e ). (**) Funktionen ln er således den omvendte funktion til funktionen e. Vi udtrykker (**) kort ved t sige, t ln og e ophæver hinnden. Bemærkning: Eksponentilfunktioner som e giver kun positive værdier. Derfor er logritmen kun defineret for positive tl. y : 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
5 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Øvelse 3 Ligningsløsning uden brug f solve, men med brug f ln og e ) 2ln(3 5) b) 5.7e 256 Eksempel: Grferne for de omvendte funktioner ln( ) og e Ln er den omvendte funktion til e. Dvs. hvis vi strter på 2. ksen m ed et y, så finder vi ln( ) på. ksen ved t gå vndret ud fr punktet y til vi rmmer grfen, og derfr lodret ned til. ksen, hvor vi flæser. Det betyder, t vi for logritmefunktionerne hr byttet om på, hvor den ufhængige og den fhængige vribel flæses. Ønsker vi grfen for log præsenteret på sædvnlig vis med den ufhængige vribel ud f. ksen, kn vi blot spejle grfen for 0 i linjen, så. og 2. ksen bytter plds ln( y) y y 3. Logritmeregneregler Sætning Logritmeregnereglerne Ld og være positive tl, og et vilkårligt tl. Der gælder, d ) ) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) Bevis for logritmeregel : Ifølge punkt i definitionen gælder der, t log( ) log( b) 0 og b 0. Vi indsætter dette i udtrykket på venstre side og omskriver: log( ) log( b) log( b) log 0 0 log( ) log( b) log 0 (potensregel) log( ) log( b) (log og 0 ophæver hinnden) 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
6 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Bevis for logritmeregel 2: Ifølge punkt i definitionen gælder der, t 0 log( ) log( b) og. Vi indsætter dette i udtrykket på venstre side og omskriver b 0 log( ) 0 log( ) log b 0 log( b) log( ) log( b) log 0 (potensregel) log( ) log( b) (log og 0 ophæver hinnden) Alterntivt bevis for logritmeregel 2: Læg mærke til, t: b b Tg logritmen på begge sider: log b log( ) b Udnyt nu produktreglen fr ) på venstre side: log log( b) log( ) b log log( ) log( b) b ltså indholdet i formel 2. Bevis for logritmeregel 3: Ld være et positivt tl, og et vilkårligt tl. log( ) Igen indsætter vi 0 i udtrykket på venstre side og omskriver: log( ) log log0 log( ) log 0 (potensregel) log( ) (log og 0 ophæver hinnden) log( ) 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
7 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Bevis for logritmeregel 4: log( ) log( ) Ld være et positivt tl, og et vilkårligt tl. 0 log( ) Igen indsætter vi i udtrykket på venstre side og omskriver: log log (potensregel) log( ) log 0 (indsæt ) log( ) log 0 (potensregel) log( ) (log og 0 ophæver hinnden) log( ) Bevis for logritmeregel 5: Dette er fktisk en del f definitionen og kræver ikke som sådn et bevis. I definitionen indgår nemlig: log(0 ) Sæt heri = : log(0 ) log(0) Det er klrt t reglerne for ln går præcis på smme måde. Eksempel: Uendeligt mnge logritmefunkttioner De to definitioner f logritmefunktionerne log( ) ogln( ) er skrevet på en sådn måde, t det er let t se, t der er en logritmefunktion log ( ) til enhver eksponentilfunktion. Prøv selv t opskrive en definition på f logritmefunktionen log 2( ), der hører smmen med 2. Udregningerne i beviserne ovenfor byggede på potensregler og på definitionen f logritmefunktionen. Beviserne kunne derfor gennemføres for lle logritmefunktioner. Derfor: Regnereglerne gælder for lle logritmefunktioner, specielt også for den nturlige logritmefunktion, ln. I gymnsiet koncentrerer vi os om de to funktioner log og ln. Af og til skriver vi log 0( ) for log( ). log( ) er voksende, men væksten er meget lngsom: Når vi bevæger os ud til 00 er log-funktionen nået op på 2. Når vi bevæger os ud til million er log-funktionen nået op på 6. Øvelse 4 Log() går mod uendelig, når går mod uendelig ) Hvor lngt skl vi ud f. ksen, før logritmeværdien bliver 00? b) Selv om log( ) vokser lngsomt, kn logritmeværdierne lligevel blive så stor, det skl være. Hvis vi hr givet et stort tl K, hvor lngt skl vi så bevæge os ud f. ksen, før der gælder log( ) K? 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
8 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Øvelse 5 Log() går mod minus uendelig, når går mod 0 vi generlisering Dm(log) er de positive tl. Vi hr ovenfor set på situtionen med meget store tl, dvs hvor. Hvd sker der, når vi vælger meget små positive tl, dvs når ) Bestem tllet log(0,) uden brug f værktøj. (Hint:, og udnyt regnereglerne) b) Bestem tllet log(0,00000) uden brug f værktøj. (Hint: Skriv som en titlspotens) c) Hvordn vil du generlisere ) og b) 0? 0,0 Øvelse 6 Log() går mod minus uendelig, når går mod 0 vi teoretisk bevis ) Hvor tæt på 0 skl -værdierne ligge, før logritmefunktionen kommer under -0? b) Givet et stort negtivt tl: K. Hvor tæt på 0 skl -værdierne ligge, før logritmefunktionen kommer under K? Resultterne f de foregående øvelser smmenfttes i Sætning 2 Log-funktionens symptotiske egenskber Når nærmer sig 0 vil bevæge sig mod. 2. ksen er en lodret symptote til grfen for log. Bemærkning: Overvej, t vi i sætningen kn udskifte log med ln. 4. Smmenhængen mellem og e k I kpitel 4 blev eksponentilfunktionerne introduceret med regneforskriften y b. I mnge ndre fg og i videregående mtemtik foretrækker mn ofte t skrive regneforskriften således: yb. Men hvd er smmenhængen mellem og e k? Der gælder følgende: e k Sætning 3 Omskrivning mellem og ) kn omskrives til formen, ved t sætte. 2) kn omskrives til formen ved t sætte. Bevis for ) Regneforskriften er givet på formen y b e k. Vi ønsker t omskrive til formen y b k k e e vi udnytter en f potensreglerne e k e k Vi klder e k for Med denne værdi f hr vi således fået omskrevet til formen y b 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
9 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Bevis for 2) Regneforskriften er givet på formen y b Vi ønsker t omskrive til formen e k k yb e k Ligningen opstilles inspireret f det foregående ln(e ) ln( ) Vi nvender ln for t ophæve eksponentilfunktionen kln( ) Med denne værdi f k er e k ln( ) og e ophæver hinnden k k, og derfor er y b b(e ) b e, hvd vi ønskede. e k Eksempel: Omskrivning fr y til y En funktion hr forskriften y e 0,35. Omskriv til formen: 0,35 = e,49 Udnyt sætning 5 Konklusion: Vi kn omskrive forskriften til y,49. y. Eksempel: Omskrivning fr En funktion hr forskriften e k 0,892 y til y 0,892 y e k. Omskriv til formen: Udnyt sætning 5 y e k ln(e k ) ln(0,892) Vi nvender ln for t ophæve eksponentilfunktionen k ln(0,892) 0,4 ln( ) og e ophæver hinnden 0,4 Konklusion: Vi kn omskrive forskriften til y e.. Øvelse 7 Omskriv:. y 4,,29 til formen: y 4, e k 0,82t 2. y 0,69 e til formen: y0,69 t 207 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.dk
Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereProjekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer
Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mereFUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression
FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereProjekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN
Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Indhold Hvor kommer vektorerne fr? De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Findes
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereIntroduktion I dette forløb vil vi dels få et redskab til at sammenligne, hvor hurtigt givne funktioner vokser (eller aftager), og dels
Hvd e mtemtik? 2 Pojekte: Kpitel 5. Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktione Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktionene, og ln( ) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:
Læs mereEksamensspørgsmål: Potens-funktioner
Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereFor så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,
15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mere( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )
Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs merePotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul
PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...
Læs mereEt udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)
GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis
Læs mereMatematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011
Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................
Læs mereANALYSE 1, 2013, Uge 2
ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereStamfunktion & integral
PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereOpstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning
1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3
Læs mereDifferentialregning. integralregning
Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker
INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereIntegrationsteknikker
Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1
Læs mereOm Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.
Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereKort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul
Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...
Læs mereFremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen
Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for A-niveu i st 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for A-niveu i st, Å 013 Krsten Juul. Dette häfte kn downlodes fr www.mt1.dk. Det må bruges i undervisningen hvis läreren
Læs mere- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske
- 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,
Læs mereElementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12
Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi
Læs mere