Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Transkript

1 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning Æskeregning Høseringe-regning, indkodning og fkodning Vndret tilgeregning, t dnse en ligning Lodret tilgeregning, flyt&vend-metoden (flyt over og vend regnetegnet) Regneskem el&kurve-metoden Neutrlisering, vægtskålen Oversigt over ligningsløsning Den kvntittive littertur OPGAVER...6 C1 C2 A1 A2 1 2 S1 S2 PoMo KL GE Fr unke til undt - mngfoldighed, undtning & stkning Uforudsigelig vrition kn forudsiges f gennemsnitstl Smmenstkning f konkrete og strkte stkke Smmenlægning f per-tl Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning Stkke i tid, konstnt og forudsigelig vrition Stkke i rum, geometri Stkke i gitre, koordintgeometri Mængde-mtemtik eller mngfoldigheds-mtemtik Kvntittiv littertur, Alger: Opsmle & opdele Geometri: Jordmåling MAHeCADEMY: Mtemtik nedefr

2 Vi tæller forlæns, men ldrig glæns. Vi regner derimod åde forlæns og glæns. ilgeregning kldes også ligningsløsning. En ligning kn løses på flere forskellige måder. 1.1 Fremdregning og tilgeregning Fremdregning ilgeregning I 3 og 4 er otlt? 3 og? er otlt ? 3 +? x 3 + x 7 7 x 3 + x (7-3) omstkkes til (7-3) hvorf ses t Kontrol II 3 4 ere er otlt?? 4 ere er otlt?12 3*4??*4 12 3*4 x x* x x*4 (12/4)*4 3*4 12 omundtes til 4 ere x*4 3*4 hvorf ses t x 3 Kontrol 3 * 4 12 III 3 4 ere plus 2 1 ere er? 3 4 ere plus? 1 ere er? 4 ere plus 2 1 ere er 3*4 + 2? 3*4 +??* *4 + 2 x 3*4 + x x*4 + 2 x 12 + x x*4 + 2 (-2) x (-12)+12 x* x x*4 12 x 2 x*4 (12/4)*4 x*4 3*4 x 3 Kontrol 3* *4 + 2 IV 5 undter og 1 indeholder det smme som 3 undter og 9. De undter indeholder d 9-1 styk, som omundtes i 2 ere: (/2)*2 4*2, hvorf ses t : 5 undter og 1 er lig med 3 undter og 9 undter og er lig med undter og d 5 * x * x + 9 * x + * x + d 5*x 3*x 9-1 *x *x d - 2*x (-)*x d - 2*x (/2)*2 (-)*x (d-)/(-)*(-) 2**2 x (d-)/(-) Kontrol 5* * Prøv selv! 1.2 Æskeregning En æske med? tændstikker plus 3 løse er optlt til 7 x + 3 7? æsker med 4 tændstikker plus 2 løse er optlt til x*4+2 3 æsker med? tændstikker plus 2 løse er optlt til 3*x+2 2

3 Eksempel. En stk med 3 æsker tændstikker plus 2 løse tændstikker er optlt til tændstikker. Hvor mnge tændstikker indeholder hver æske? Lodret Vndret II IIIIIIIIIIIIII 3*x + 2 (-2) *x + 2 (-2)+2 Vi fjerner enerne og opundter 12 i 3 ere: III III III III 3*x 12 (12/3)*3 4*3 3*x 12 (12/3)*3 Herf ses t, d 4 3 ere 3 4 ere (4*3 3*4). 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning Skrivemåden 3*B + 2 er en indkodning f f.eks. ntllet 3*5 + 2*1. En fkodning kn f.eks. være spørgsmålet: 3*B+2, B? Kodningen kn f.eks. ske ved rug f hønseringe, C er eller S er: 3C er + 2 S er gælder som. Afkodning liver så det smme som ligningsløsning. 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning Regnefortællingen 3*x + 2 fortæller følgende regnehistorie, der kn gås eller dnses på gulvet: FØRS lev x gnget med 3, og SIDEN plusset med 2, hvilket førte til x --(*3)--> 3*x --(+ 2)--> 3*x + 2 (fremdregning) 4 <--(/3)-- 12 <--(- 2)-- (tilgeregning) Fortællingen kn nu vendes om: Hvis liver minusset med 2 og siden delt med 3 fører det til x. Dvs. x (-2)/3 4. Som kontrol kn der igen lves fremdregning. 1.5 Lodret tilgeregning, flyt&vend-metoden (flyt over og vend regnetegnet) Først ygges regnestykket op, så rydes resulttet ned. Som kontrol ygges regnestykket tter op Fremd-siden ilge-siden Frem ilge 3*x + 2 3*x x +2-2 *3 / /3 4 3*x + 2 3*x x 12/3 4 *x + *x - x (-)/ 1.6 Regneskem ogstvregning x? 3*x + 2 x? *x + (3*x) (*x) + 3*x -2 2 *x - x 12/3 x Kontrol: 3*4 + 2 emærk den skjulte prentes omkring gngestykket (-) x (-2) 3 Kontrol: 3*

4 Omundtning 3 kr for 4 styk: 21kr for? styk 3 kr for 4 styk:?kr for 24 styk styk? styk styk/kr*kr kr? kr kr/styk*styk Styk/kr 4/3 kr 21 Styk 4/3*21 Styk 2 kr/styk 3/4 styk 24 Kr ¾*24 Kr 1 Proenter 30 kr 40%, 21kr?% 30 kr 40%,?kr 24% %? % %/kr*kr kr? kr kr/%*% %/kr 40/30 kr 21 % 40/30*21 % 2 kr/% 30/40 % 24 Kr 30/40*24 Kr 1 Pr.-regning 25kg. à 4 kr./kg.? kr. 25kg. à? kr./kg. 200kr.?kg. à 4 kr./kg. 300kr.? k*p p? k*p k? k*p k 25 p 4 25*4 100 k p /k p 200/25 p p p /k p 300/4 p 75 Proentregning 25% f 200 kr.? kr. 25% f? kr. 40 kr?% f 200 kr. 40 kr A? p /? p / p? p / p 25% 200 p* 25%* p 25% 40 p* /p 40/25% p 40/200 p 0.20 p 20/100 p 20% Proenttilæg %?? + 25% ?% 20 K? K Ko (1+r) Ko? K Ko (1+r) r? K Ko (1+r) Ko 200 r 25% 0.25 K 200 (1+0.25) K 250 K 500 r 25% 0.25 K/(1+r) Ko 500/(1+0.25) Ko 400 Ko K 20 Ko 200 K/Ko 1+r (K/Ko)-1 r (20/200)-1 r 0.40 r 40% r 1.7 el&kurve-metoden En undersøgelse f de forskellige muligheder ved tel og kurve, som kn tegnes på ppir, eller ygges med legeklodser, på et perleræt eller ndet. x 3*x * * * * * *

5 1. Neutrlisering, vægtskålen Neutrliseringsmetoden stmmer fr mængde-mtemtikken. En regningsrt kldes her en kompositionsforskrift. En ligning (3*x+2) opfttes her som et åent udsgn, som udtrykker ækvivlensen ( opfttes som en ækvivlensreltion) mellem to tl, 3*x+2 og. Ligningsløsning opfttes her som estemmelse f udsgnets løsningsmængde L, dvs. mængden f tl, der gør udsgnet til et sndt udsgn. Dette gøres ved t ændre de to tl på smme måde. Herved omformes udsgnet til et nyt ensetydende udsgn, hvilket vises ved t forinde udsgnene med ensetydende-pile : L {x 3*x + 2 } L er mængden f x, hvorom det gælder t 3*x *x + 2 det åne udsgn, hvis løsningsmængde skl findes (3*x) + 2 den skjulte prentes sættes ((3*x) + 2)+(-2) +(-2) for t fjerne +2 plusses dets modstte (inverse) tl 2 på egge sider (3*x) + (2+(-2)) 12 +prenteser kn hæves og sættes efter ønske (den ssoitive lov) (3*x) og 2 neutrliserer hinnden, og + s neutrle tl er 0 3*x 12 pr. definition f det neutrle tl er (3*x)*(1/3) 12*(1/3) for t fjerne *3 gnges med dets modstte tl 1/3 på egge sider (x*3)*(1/3) 4 *tl (og +tl) kn omyttes efter ønske (den kommuttive lov) x*(3*(1/3)) 4 *prenteser kn hæves og sættes efter ønske (den ssoitive lov) x*1 4 *3 og /3 neutrliserer hinnden, og * s neutrle tl er 1 pr. definition f det neutrle tl er *1 1* L {x 3*x + 2 } {4} Løsningsmængden L. På grund f pilene ehøves ingen kontrol 1.9 Oversigt over ligningsløsning Fremdregning 5+3? 5 * 3? 5^2? 5^3? ilgeregning?+3? * 3 15?^2 25?^3 64? -3? 15/3? 25? 25^½? 3 64 Definitioner Ved -3 forstås det tl, der plusset med 3 giver Overflytnings- x + 3 x -3 Ved 15/3 forstås det tl, der gnget med 3 giver 15 x * 3 15 x 15/3 Ved 25 forstås det tl, der gnget med sig selv 2 gnge giver 25 x^2 25 x 25 regler +tl <--> -tl *tl <--> /tl ^2 <--> 1.10 Den kvntittive littertur Gå videre til ilget KL: Kvntittiv littertur Ved 3 64 forstås det tl, der gnget med sig selv 3 gnge giver 64 x^3 64 x 3 64 ^3 <--> 3 5

6 1 OPGAVER Spørgsmål 11: Hvordn kn vi vende en regneproes om fr fremd-regning til tilge-regning? Svret gives f overflytningsmetoden: x*3+2 vendes til x (-2)/3. Eller generelt: x+ vendes til x-, x* vendes til x/, x^ vendes til x, ^x vendes til xlog/log Fglige opgver 1. Isoler hver f størrelserne, og i nedenstående ligninger. Afslut med prøve. Løs opgverne inden for hver f de to løsningsmetoder: overflytning og neutrlisering. +* +(1+)* +(1-)* +*(1+) +*(1-) -* -(1+)* -(1-)* -*(1+) -*(1-) +/ +(1+)/ +(1-)/ +/(1+) +/(1-) -/ -(1+)/ -(1-)/ -/(1+) -/(1-) 2. Isoler hver f størrelserne, og i nedenstående ligninger. Afslut med prøve. Løs opgverne inden for hver f de to løsningsmetoder: overflytning og neutrlisering. +*^d +(1+)*^d +(1-)*^d +*(1-)^d -*^d -(1+)*^d -(1-)*^d -*(1-)^d +/^d +(1+)/^d +(1-)/^d +/(1-)^d -/^d -(1+)/^d -(1-)/^d -/(1-)^d 3. Isoler hver f størrelserne, og i ligningen D ^2 4**. Afslut med prøve. Løs opgven inden for hver f de to løsningsmetoder: overflytning og neutrlisering. 4. Du er levet vikr i en 10. klsse, og skl undervise denne i løsning f ndengrdsligninger. Skitser et lterntivt undervisningsforlø (Læreogen hr ry for t være uheldig på dette punkt). 5. Færdiggør det vedlgte Exel-regnerk Ligninger med rutineopgver Rutineopgver ræn din evne til ogstvregning på nedenstående opgver. Når du er færdig så tg udgngspunkt i et f svrene, f.eks., og regn opgverne igen. Slut f med t gøre prøve. Givet, Find, og Svr: ( ) ( ) - 5 ( + ) + 6 ( ) (+) + 10 ( ) ( ) - 12 (+) + 6

7 13 15 ( ) 16 ( ) log ( ) log log ( ) log log log ( ) log log ( ) 17 ( + ) log log (+) 1 ( ) log + log (-) 19 + log (-) - log 20 + log (-) - log 21 (+) (+) 22 ( ) (-) 11.3 Didktisk opgve Hvordn udføres tilgeregning efter nturmetoden? log log log log + log log log log 1. ænk på et tl mellem 1 og 10. Plus med 3. Hvd lev det? 9. Så tænkte du på ænk på et tl mellem 1 og 10. Gng med 3. Hvd lev det? 24. Så tænkte du på. 3. ænk på et tl mellem 1 og 10. Gng med 3. Plus med 4. Hvd lev det? 19. Så tænkte du på ænk på et tl mellem 1 og 10. Plus med 4. Gng med 3. Hvd lev det? 27. Så tænkte du på ænk på et tl mellem 1 og 10. Gng det med sig selv. Gng med 3. Plus med 4. Hvd lev det? 16. Så tænkte du på 2. Afprøv ovenstående fem ænk på et tl -gættelege på en forsøgsperson A. Personen vil sikkert svre: Det kn jeg d også gøre. Ld A prøve lle fem tilfælde. Først i hovedet, siden med nedskrivning på ppir. Vis derefter hver f følgende ligninger til A, én d gngen: x+39, x*324, x*3+419, 3*(x+4)27, 3*x^ I stedet for 9, 24 osv. indsættes A s tl. Rpporter dine oservtioner f hvd A gør og siger (hndling og refleksion). Vær især opmærksom på eksempler på genkendelse og ny erkendelse (ssimilering og kkommodering). Gentg undersøgelsen med B fr en nden ldersgruppe (f.eks. rn & ung eller voksen). 7