Implicit differentiation Med eksempler

Transkript

1 Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel Prisme i hovedstillingen Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

2 Implicit fferentition. Implicit fferentition I sidste nummer f LMFK ldet, vr der en rtikel om ortogonle tngenter til en ellipse. D jeg gik i gmnsiet vr formlen for tngent til ellipse og hperel en del f det oligtoriske pensum i nltisk geometri, som gnske vidst er udgået f gmnsiets mtemtikpensum, og jeg husker stg med en vis ærefrgt, t formlerne lev udledt ved nvendelse f implicit fferentition. Grundlget for implicit fferentition lev først rigtig klrt for mig til Børge Jessens forelæsninger på mtemtik i 965 KU. Løseligt formuleret, så hvis mn hr en ligning f, = c, så er implicit en funktion f. At isolerer, kn godt vise sig t være særdeles esværligt eller umuligt. Men i mnge tilfælde kn mn lligevel godt finde et udtrk for d/d ved implicit t ntge, t =. Opskriver mn fferentilet f f, = c, får vi: Ved vision med d: df f f d d df d f f d d som kn løses mht. d/d. Og eventuelt løses mht. d/d =. Tngent til ellipse og hperel En ellipse, som hr centrum i, og hlvkser og. hr som ekendt ligningen: d Hvis, er et punkt på ellipsen, er udregnet i lig med hældningskoefficienten for d tngenten i. For t estemme d/d fferentierer vi ellipsens ligning implicit. som løses mht. d/d til t give. d d d d Ligningen for en linie gennem, og med hældning er: =. Indsættes ovenstående udtrk for d/d, som er hældningen tget i, finder mn:

3 Implicit fferentition 3 som omskrives til Mn finder ltså et simpelt udtrk for tngentligningen, som minder emærkelsesværgt om ellipsens ligning. For en hperel, som hr ligningen: den eneste forskel til tngentligningen for ellipsen er, t minustegnet følger med 3. Prisme i hovedstillingen D jeg for en del år siden skrev et hefte om Geometrisk optik til rug som vlgfrit emne i gmnsiet, skulle jeg nvende det kendte resultt, t føjningen i et prisme er mindst i hovedstillingen, ltså der hvor strålegngen er smmetrisk omkring prismet, og det urde jo være nemt nok t vise ud fr rdningsloven? Det er muligt, t der kn findes en simpel nltisk forklring, men jeg kunne ikke finde den, men efter t hve opgivet t løse prolemet med lmindelige nltiske metoder, kom jeg til t tænke på implicit fferentition. Simpelt? Nej! Men det kn gennemføres, som vist nedenfor.

4 Implicit fferentition 4 Vi etrgter firknten ACBD. Vi nvender t supplementvinklen 8 vinklen til vinklen i en treknt indlsende er lig med summen f de to ndre vinkler i treknten. Dette nvendt på treknt ABD og d A=B=9 fremgår det f figuren og geometrien: D 8 og 8 D Aføjningen f strålen ses t være i i i i i i Mn kn eksperimentelt påvise og teoretisk udlede, t føjningen er mindst, når strålegngen er smmetrisk, ltså når i = i = i og = =. Dette kldes for prismets hovedstilling. I dette tilfælde er min i, så: Anvender mn dette i rdningsloven finder mn: min sin n og sin sin. n sin min sin sin 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen. Ifølge udledningen ovenfor gælder i i nd, smt ifølge rdningsloven: sin n nd nsin nd sin n nsin nsin Ud fr den sidste ligning kn vi opftte i som en funktion f og ud fr den første ligning kn vi opftte som funktion f i. Dette skriver vi: i = i og = i => i = i i Den funktionelle fhængighed fremgår implicit ovenfor. Herefter kn vi implicit udtrkke φ som funktion f i og fferentiere den for et finde minimum.

5 Implicit fferentition 5 i i i i i i i nd Ved implicit fferentition f den smmenstte funktion med hensn til i for t estemme et eventuelt minimum, finder mn herefter: d d d Ved implicit fferentition f ligningerne: Finder vi: nsin nd nsin nsin cosi Ved t løse sse ligninger for d n cos nd n cos cosi d og d d og derefter indsætte i udtrkket for φ, finder mn: d d cos i cos i d cos cos cos i cos cos i cos d We cn now see from ove tht hs the solution i i d Det ses, t hr løsningen i i, idet egge de to cosinus røker liver lig med. Dette er netop etingelsen for hovedstillingen f prismet, hvilket vr det vi ville vise. At det er et minimum og ikke et mimum er indlsende f fsiske grunde.