Integralregning. 1. del Karsten Juul. M l

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l"

Transkript

1 Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul

2 Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral Kontrol a ubestemt integral Bestemme stamunktion5 Oversigt over stamunktioner 5 6 Regneregler or stamunktioner7 Bestemme stamunktion på TI-89's hovedskärm8 Finde en bestemt a stamunktionerne til en unktion 9 6 Kontrol på TI-89 a resultat ra ramme Stamunktion og areal Arealunktion Deinition og sätning Bestemme areal med stamunktion Bestemt integral 5 Bestemt integral Deinition og geometrisk ortolkning5 Beregne bestemt integral 6 5 Udregne bestemt integral på TI-89's hovedskärm 7 7 Besvare opgave med ortolkning a integral7 Bestemme integral ud ra arealer8 5 Bestemme areal 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränser oplyst 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränse ej oplyst 56 Areal mellem gra og akse Gra ej vist, gränser ej oplyst 59 Areal mellem to graer Beskrivelse a metoden 5 Areal mellem to graer Gra vist, gränser oplyst 5 5 Areal mellem to graer Gra ej vist, gränser ej oplyst 6 Nyere häter mm: Klik pä sidste del a linket! /- /9- /5- 7/-7 Integralregning del, udgave 6, Ç 6 Karsten Juul Dette häte kan downloades ra wwwmatdk HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som oplyser at dette häte benyttes (skriv ilnavn), og oplyser om hold, niveau, lärer og skole

3 Stamunktion Åvelse Bestem ved aläsning på igur a: () g() og () () g() og () OplÇg om stamunktion Figur a viser graerne or unktionerne () og g () Da l 's häldningskoeicient er, er g ( ) Da P 's andenkoordinat er, er NÅr ( ) gälder altså (* ) g ( ) ( ) Hvis man oretager tilsvarende aläsninger or en anden värdi a, vil man inde at (*) også gälder or denne värdi a Figur a Åvelse (a) Angiv to unktioner hvis dierentialkvotient er (b) Angiv to unktioner hvis dierentialkvotient er Integralregning Side 6 Karsten Juul

4 Deinition a stamunktion (b) Deinition At F() er en stamunktion til () betyder et F ( ) ( ) Eksempel Dierentialkvotienten a er dierentialkvotienten a 5 både og 5 er, og er stamunktioner til, så 5 Åvelse Figur c viser graerne or ire unktioner Det oplyses at enhver a unktionerne, g og h er stamunktion til en a unktionerne, g, h og p AgÉr or hver a unktionerne, g og h hvilken unktion den er stamunktion til () () () () g h p () () () Figur c () 6 Kontrol a stamunktion 6 Vi vil undersége om g( ) ( ) er en stamunktion til IÉlge deinition (b) skal vi bestemme dierentialkvotienten a g() resultatet er lig () : ( ) og se om g ( ) ( ) ( 6 6 ) 6 Ved at gange 6 ind i parentesen ses at dette er lig (), så g() er en stamunktion til () 6 Integralregning Side 6 Karsten Juul

5 7 Åvelse Brug metoden ra ramme 6 til at besvare Élgende tre spérgsmål: (a) UndersÉg om g( ) e er en stamunktion til ( ) e (b) UndersÉg om g ( ) er en stamunktion til ( ) (c) GÉr rede or at g( ) ln er en stamunktion til ( ) 8 Åvelse GÄt en stamunktion til hver a Élgende unktioner, og brug metoden ra ramme 6 til at kontrollere om du har gättet rigtigt: ( ), g( ) og n h( ) 9 SÇtning om stamunktionerne til en unktion (c) SÇtning Lad F() og () väre unktioner hvis deinitionsmängde er et interval I Hvis F() er en stamunktion til () gälder or enhver konstant k at F( ) k er en stamunktion til () og () har ikke andre stamunktioner end disse q p n m SÇtning (c) kan ogsä ormuleres sädan: Graerne or stamunktionerne til en unktion er de graer der kan Ås ved lodret orskydning a Ñn a stamunktionernes graer PÅ igur d er vist graerne or nogle a stamunktionerne til unktionen ( ) Figur d Åvelse Lad m, n, p og q väre unktionerne ra ramme 9 Bestem uden at regne tallene 7 n m (), n( ) m(), n( 8) m(8) og p( ) ( ) 7 Integralregning Side 6 Karsten Juul

6 Deinition a ubestemt integral (e) Deinition a ubestemt integral Stamunktionerne til en unktion () ( ) d betegnes og kaldes det ubestemte integral a () Funktionen der står mellem det lange s og d kaldes integranden Eksempler d d k ln k, Åvelse (uden hjälpemidler) Brug metoden ra ramme 6 og sätning (c) til at gére rede or at ( ) d k Kontrol a ubestemt integral Vi vil undersége om (* ) ( ) d k IÉlge metoden ra ramme 6 og sätning (c) gälder (*) hvis dierentialkvotienten a héjresiden er lig integranden A reglerne or at bestemme dierentialkvotient Ås at héjresidens dierentialkvotient er SÄttes heri uden or en parentes Ås integranden, så (*) gälder Åvelse Brug metoden ra ramme til at kontrollere om ( ) d ln k, Integralregning Side 6 Karsten Juul

7 Bestemme stamunktion Åvelse (a) (b) Bestem dierentialkvotienten a e og a, e, I (a) har du vist at de to givne unktioner er stamunktioner til to andre unktioner (se deinition b) Ud ra dette skal du gätte og ormulere en regel til at bestemme stamunktioner til en bestemt type unktioner Oversigt over stamunktioner I skemaet er k og c konstanter Funktion Stamunktionerne c k k c c, ln c, ln( ) c c c a a a c a a lna c e e c k e k e k c ln ln c cos sin sin c cos c Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

8 Åvelse Omskriv til ormen at bestemme stamunktionerne til angivet i ramme a Brug så reglen or stamunktion til a (se ramme ) til, og vis at de kan skrives på den orm som er Åvelse GÉr rede or hvordan reglerne i ramme kan bruges til at bestemme stamunktionerne til Élgende tre unktioner: ( ), g( ) e og h( ) e 5 Åvelse (a) Som bekendt gälder at og at er en stamunktion til er en stamunktion til (b) ReducÑr, og brug metoden ra 6 til at gére rede or at der gälder (c) (d) er IKKE en stamunktion til Brug metoden ra 6 til at gére rede or om er en stamunktion til Brug metoden ra 6 til at gére rede or? om er en stamunktion til? (e) Brug metoden ra 6 til at gére rede or om er en stamunktion til? Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

9 6 Regneregler or stamunktioner SÇtning Hvis () og g() har stamunktionerne F() og G (), så gälder: (a) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) (b) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) (c) k () har stamunktionen k F() Advarsel: Hvis man i (a) erstatter plus med gange eller med dividere, så Ås en regel der i de leste tilälde vil give et orkert resultat Eksempel så a (a) Ås at A (b) og (c) Ås: og e e har stamunktionerne har stamunktionen 6 e har stamunktionen og e e, e e 6 7 Åvelse (a) Brug reglerne i og 6 til at inde en a stamunktionerne til hver a Élgende unktioner: () (5) e () e 9 e (6) () (7) 8 () (8) (b) Brug reglerne i og 6 til at inde alle stamunktionerne til unktionen ( ), 8 Åvelse (a) Brug reglerne i og 6 til at inde en a stamunktionerne til hver a Élgende unktioner: () e () e () e Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

10 9 Åvelse (uden hjälpemidler) (a) Bestem ( 6 ) d (b) Bestem (e ) d (c) Bestem d, Åvelse (uden hjälpemidler) (a) Bestem ( 6 e (b) Bestem e ) ) d ( d, (c) Bestem ( ) d Bestemme stamunktion pä TI-89's hovedskçrm PÄ hovedskårmen, der Äs rem ved at taste HOME, kan en stamunktion bestemmes ved hjålp a det integraltegn der stär over 7-tasten F kan en stamunktion til e bestemmes ved at taste som vist pä igur d BemÅrk at man eter orskriten skal taste et komma eterulgt a den uahångige variabel PÅ igur d er bestemt Ñn a stamunktionerne til e Det ses at stamunktionerne til Dette kan også skrives sådan: e d ( ) e k e er ) e k ( Figur d Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 9 (b) Bestem stamunktionerne til ln Integralregning Side 8 6 Karsten Juul

11 Finde en bestemt a stamunktionerne til en unktion Opgave (Punkt på stamunktions gra er kendt) Bestem den stamunktion F til ( ) hvis gra går gennem punktet (, 6) Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant k så F( ) k Da graen or F går gennem punktet (, 6), må ( ) så k ( ) k, dvs 6 F( ) med alle reelle tal som deinitionsmängde Opgave (Tangent til stamunktions gra er kendt) Bestem den stamunktion F til ( ) hvis gra har linjen med ligningen y 5 som tangent Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant k så F( ) k Tangenten med ligningen y 5 har häldningskoeicienten a FÉrstekoordinaten til réringspunktet or tangenten bestemmes: F ( ) a Da réringspunktet ligger på linjen med ligningen y 5, er dets andenkoordinat y 5 ( ) 5 6 Da réringspunktet ligger på graen or F, kender vi nu et punkt på graen or F, så vi kan bestemme F ved hjälp a metoden ra opgave Integralregning Side 9 6 Karsten Juul

12 Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til som opylder F ( ) 5 Åvelse En unktion er bestemt ved ( ) 8 Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y tangent som 6 Kontrol pä TI-89 a resultat ra ramme I ramme andt vi at F( ) var den stamunktion til ( ) hvis gra går gennem (, 6) Vi År tegnet graen or F på lommeregneren og anbringer markéren i grapunktet med Érstekoordinat som vist på igur e Det ses at punktets andenkoordinat er 6, som det skulle väre Man Är anbragt markçren i grapunktet med Çrstekoordinat - ved at vålge Math/Value og taste - ENTER I ramme andt vi at F( ) var den stamunktion til ( ) hvis gra har linjen med ligningen y 5 som tangent PÅ lommeregneren tegner vi Érst graen or F Da Érstekoordinaten til tangentens réringspunkt viste sig at väre, År vi tegnet tangenten i grapunktet med Érstekoordinat Som vist på igur ses at tangentens ligning er y 5, som den skulle väre Man Är tangenten i grapunktet med Çrstekoordinat - ved at vålge Math/Tangent og taste - ENTER Figur e Figur Integralregning Side 6 Karsten Juul

13 7 Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 6 (b) KontrollÑr dine resultater i Évelserne og 5 på den måde som er beskrevet i ramme 6 8 Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra går gennem punktet (, 9) 9 Åvelse En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen tangent y som Integralregning Side 6 Karsten Juul

14 Stamunktion og areal Åvelse () A() 9 Figur a () PÅ igur a vokser det skraverede areal A() når värdien a Éges ved at träkke - punktet mod héjre (a) Hvad er A() når er 8, og når er? (b) Hvor meget Éges A() når Éges ra 8 til, og hvilken väksthastighed (arealenheder A() Éges med pr enhed Éges) svarer dette til? (c) Bestem väksthastigheden i hvert a intervallerne [ 8,5 ; 9,5 ] og [ 8,9 ; 9, ] (d) GÄt väksthastigheden A() i 9 (e) Hvad er (9)? () GÄt väksthastigheden A (8) (g) Hvad er (8)? (h) Er A() voksende, og er A() voksende? (i) Tegn graen or en unktion g() i intervallet [ ; 8] hvor den tilhérende arealunktion A() opylder Élgende: () A ( ) () A() er voksende Integralregning Side 6 Karsten Juul

15 Arealunktion Deinition og sätning () 9 () Lad A() betegne arealet under -graen svarende til intervallet [ ; ] på Érsteaksen A() kaldes arealunktionen (Hvis graen var tegnet i et interval der startede i 5, så ville A() betegne arealet under -graen svarende til intervallet [ 5; ]) Den skraverede strimmel ved 9 har ca samme areal som et rektangel med grundlinje og héjde (9), så omkring 9 vokser arealet A() med en hastighed på ca (9) enheder pr -enhed: Med symboler kan dette skrives Vi vil senere bevise Élgende sätning: (väksthastigheden or A() i 9) (9) A ( 9) (9) (b) SÇtning om arealunktion Om arealunktionen A() or en unktion () A ( ) ( ) gälder: Integralregning Side 6 Karsten Juul

16 Bestemme areal med stamunktion (c) SÇtning om areal og stamunktion Hvis ( ) or alle i [ a; b] og F() er en stamunktion til (), () så kan arealet S mellem aksen og graen i intervallet [ a ; b] (se igur d) beregnes sådan: S F( b) F( a) a S Figur d b () Bevis or (c) Lad A() väre arealunktionen or () Da A() og F() (* ) A( ) F( ) k Nu Ås S A(b) er stamunktion til samme unktion, indes en konstant k så A( b) A( a) Da A ( a) F b) k F( a k ( ) IÉlge (*) F( b) F( a) Hermed er sätning (c) bevist IÉlge deinitionen på arealunktion Åvelse Figur e viser graen or unktionen ( ), (a) Bestem en stamunktion til () (b) Brug sätning c til at bestemme arealet a punktmängden der begränses a graen or () og Érsteaksen (c) Brug sätning c til at bestemme arealet a punktmängden der begränses a graen or g( ) og Érsteaksen () Figur e () Integralregning Side 6 Karsten Juul

17 Bestemt integral Bestemt integral Deinition og geometrisk ortolkning (a) Deinition a bestemt integral Antag at () er deineret i [ a; b] og har stamunktionen F () Tallet kaldes F( b) F( a) integralet ra a til b a () og betegnes med symbolet b a ( ) d () kaldes integranden BEMÖRK: Det er ikke krävet at ( ) (b) SÇtning om areal og bestemt integral Hvis () så gälder har en stamunktion og ( ) or alle i [ a; b] b a (* ) ( ) d arealet a M hvor M er området mellem Érsteaksen og -graen i intervallet [ a ; b] (se igur c) a () M Figur c b () Bevis or sätning (b) Da og areal a M F( b) F( a) b a ( ) d F( b) F( a) iélge sätning (c) iélge deinition (a) må (*) gälde da de to tal der påstås at väre ens, begge er lig F( b) F( a) Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

18 Beregne bestemt integral Bestemme integral ved hjçlp a deinitionen ( ) d F( b) F( a) Vi vil beregne tallet (* ) ( 6 5) d Da integranden har stamunktionen 5 Ås a deinitionen på bestemt integral at (*) er 5 ( ) 5 ( ) 5 b a b Skrive ovenstäende ved hjçlp a symbolet [ F( )] a F( b) F( a) OvenstÅende kan skrives mere overskueligt ved at bruge symbolet F ( ) som betegner dierensen F( b) F( a) SÅ kan udregningen skrives sådan: (6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 5 Man kan evt indéje to linjeskit i ovenstående ormellinje så den kommer til at se sådan ud: ( 6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 5 b a Åvelse Brug metoden ra ramme til at bestemme Élgende tal: () ( ) d () 6e d () ( ) d Åvelse (uden hjälpemidler) Bestem Élgende tre tal: () ( e ) d () ( 6 ) d () d Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

19 5 Udregne bestemt integral pä TI-89's hovedskçrm PÄ hovedskårmen, der Äs rem ved at taste HOME, kan en stamunktion bestemmes ved hjålp a det integraltegn der stär over 7-tasten PÅ igur d er vist hvordan man kan taste or at Å bestemt tallet e d Det ses at dette tal er e Figur d 6 Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 5 (b) Bestem tallet e ln( ) d 7 Besvare opgave med ortolkning a integral Opgave Bestem integralet Besvarelse ) ( d ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ( ) ( ) 7 6 PÅ iguren er skitseret graen or unktionen ( ) Da ( ) or alle tal i [, ], gälder: Resultatet 6 7 er lig arealet a det skraverede område () () Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

20 8 Åvelse (Uden hjälpemidler) Bestem integralet 9 Åvelse (Uden hjälpemidler) Bestem integralet d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet Bestemme integral ud ra arealer Opgave PÅ igur e ses graen or en unktion der har nulpunkter 6, og () Sammen med aksen agränser graen en punktmängde M der har arealet 7 Sammen med aksen og aksen agränser graen i kvadrant en punktmängde M som har arealet 6 Bestem 6 ( ) d M 6 M Figur e () Besvarelse Da ( ) or alle tal i [ 6; ], gälder 6 ( ) d er lig arealet mellem aksen og graen i [ 6; ] Dette areal er summen a arealerne a M og M, dvs så ( ) d Integralregning Side 8 6 Karsten Juul

21 Åvelse PÅ igur ses graen or en unktion der har nulpunkterne og 7 Sammen med akserne agränser graen to områder hvis arealer er hhv og () Bestem 7 ( ) d og 7 ( ) d 7 Figur () Åvelse Graregnervinduet på igur g viser graen or en unktion og en linje l der skärer graen i punkterne (, ) og (, ) Graen or agränser sammen med linjen l den skraverede punktmängde der har arealet 6 Bestem ( ) d Figur g Åvelse Figur h viser graen or en unktion hvis nulpunkter er 6 og Graen agränser sammen med Érsteaksen en punktmängde der har arealet 6 () Andenaksen deler denne punktmängde i to punktmängder M og M Det oplyses at Bestem 6 ( ) d ( ) d M Figur h M () Integralregning Side 9 6 Karsten Juul

22 5 Bestemme areal 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränser oplyst Opgave PÅ igur 5a ses graen or unktionen () ( ) Graen skärer Érsteaksen i punkterne P (, ), Q(, ) og R (, ) I Érste og anden kvadrant agränser graen or unktionen sammen med Érsteaksen en punktmängde M som har et areal () Bestem arealet a M Figur 5a Besvarelse Man skal inde arealet a området M mellem Érsteaksen og graen or i intervallet [ ;] Da ( ) or alle i dette interval, er arealet lig d 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Arealet a M er Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er givet ved 7 ( ) En punktmängde M begränses a graen, Érsteaksen, andenaksen og linjen med ligningen (se igur 5b) Bestem arealet a M () M () Figur 5b Integralregning Side 6 Karsten Juul

23 5 Åvelse (Uden hjälpemidler) Funktionen () er bestemt ved ( ) PÅ igur 5c ses graen or () Graen skärer Érsteaksen i punkterne P (, ), Q(, ) og R (, ) Sammen med Érsteaksen agränser graen i Érste og anden kvadrant en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a denne punktmängde Figur 5c 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränse ej oplyst Opgave PÅ igur 5d er vist graen or unktionen ( ) En punktmängde M er på iguren angivet som et prikket område der begränses a graen, Érsteaksen og linjen med ligningen Bestem arealet a M () () Besvarelse Da ligningen ( ) har lésningerne og, er Érstekoordinat til det venstre a graens skäringspunkter med Érsteaksen Figur 5d Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt Da ( ) or alle i [ ; ], er arealet a M lig ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) Arealet a M er Integralregning Side 6 Karsten Juul

24 55 Åvelse Figur 5e viser graen or unktionen 5 ( ) Graen og Érsteaksen agränser en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M Figur 5e () () 56 Areal mellem gra og akse Gra ej vist, gränser ej oplyst Opgave Graen or unktionen ( ) en punktmängde som har et areal Bestem arealet a denne punktmängde agränser sammen med aksen i Érste kvadrant Besvarelse Skitse a lommeregnerens gravindue: () () Figur 5 Da orskriten er et gradspolynomium kan graen ikke have lere sving end de viste, så det er det prikkede område vi skal inde arealet a For at bestemme néjagtigt hvor graen skärer Érsteaksen, léser vi ligningen ( ) LÉsningerne er, og Vi skal altså inde arealet a området mellem Érsteaksen og graen i [ ; ] Da ( ) or alle i dette interval, er arealet ( ) d Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt PunktmÄngden der agränses a aksen og graen i Érste kvadrant har arealet Integralregning Side 6 Karsten Juul

25 57 Åvelse Graen or ( ) agränser sammen med Érsteaksen og andenaksen i anden kvadrant en punktmängde der har et areal Bestem arealet a denne punktmängde 58 Åvelse Graen or unktionen ( ) 9 punktmängde M der har et areal agränser sammen med Érsteaksen en Bestem arealet a M Integralregning Side 6 Karsten Juul

26 59 Areal mellem to graer Beskrivelse a metoden PÅ de tre igurer nedenor er vist graerne or to unktioner og g samt tre arealer A, A og A : Vi vil angive en metode til at bestemme A Det ses at vi kan Å A ved at träkke A ra A : A A A Hvert a arealerne A og A er arealet mellem Érsteaksen og en gra over Érsteaksen, så de kan bestemmes ved hjälp a sätning (b) : b g( d og A ) a b ( d a A ) () () () A a g b () a A g b () a A g b () PÅ de tre igurer nedenor er vist graerne or to unktioner og g samt tre arealer A, A og A Vi vil angive en metode til at bestemme A Det ses at A A A, så A k ( ) d g( ) d k () g () g () g A A () () k k A () Integralregning Side 6 Karsten Juul

27 5 Areal mellem to graer Gra vist, gränser oplyst Opgave Graen or unktion ( ) 7 agränser sammen med linjerne med ligningerne, og y en punktmängde M som har et areal (se igur 5g) () Bestem arealet a M M Besvarelse Arealet mellem aksen og graen i [ ; ] er Figur 5g ( 7) d y () Arealet mellem aksen og linjen med ligningen y 6 d er Arealet a M er 6 6 BemÇrkning Arealet mellem aksen og linjen med ligningen y kunne også väre bestemt ved at bruge ormlen or areal a rektangel: Areal lig héjde gange grundlinje 5 Åvelse PÅ igur 5h ses graen or unktionen ( ) og linjen l med ligningen y Graen og linjen skärer hinanden i punktet (, 8) Graen og linjen agränser sammen med y-aksen en punktmängde der har et areal Bestem arealet a denne punktmängde Figur 5h () l () Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

28 5 Areal mellem to graer Gra ej vist, gränser ej oplyst Opgave Graen or ( ) agränser sammen med linjen med ligningen y en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M Besvarelse Ud ra lommeregnerens vindue skitserer vi graen or () og linjen l med ligningen y, og vi skraverer punktmängden M (Se igur 5i) FÉrstekoordinaterne til skäringspunkterne mellem graen og linjen er lésningerne til ligningen Vi inder lésningerne og Disse tiléjer vi på skitsen (Se igur 5j) Arealet mellem aksen og graen or () i [; ] er ( ) d Arealet mellem aksen og linjen ( ) d 5 y i [; ] er (Dette areal kunne også väre bestemt ved at bruge ormlen or areal a trapez) Nu Ås at areal( M ) 5 9 Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt Der skal indéjes redegérelser or hvordan integralerne er bestemt () () M l M l () () Figur 5i Figur 5j Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

29 5 Åvelse Graen or ( ) agränser sammen med linjen med ligningen y punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M en 5 Åvelse En unktion () er bestemt ved ( ) En ret linje l skärer graen or () i punkterne S (, 9) og S (, ) Graen or () agränser sammen med linjen l en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M 55 Åvelse Graen or unktionen ( ) y et område der har et areal Bestem arealet agränser sammen med linjen med ligningen 56 Åvelse Graen or unktionen med orskriten ( ) e agränser sammen med linjerne med ligninger y, og et område der har et areal Bestem dette areal 57 Åvelse Graen or unktionen med orskriten ( ) agränser sammen med linjerne med ligninger y og et område der har et areal Bestem arealet Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Kap 5 - beviser - matematikb2011

Kap 5 - beviser - matematikb2011 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Integralregning ( 23-27)

Integralregning ( 23-27) Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Dernæst vil der komme et vindue frem, hvor man kan ændre på x- og y-aksen samt andre indstillinger så som farve og skrift.

Dernæst vil der komme et vindue frem, hvor man kan ændre på x- og y-aksen samt andre indstillinger så som farve og skrift. IT Inden du starter med at tegne funktionerne ind i Graph er det en god ide, at indstille akserne til behovet. Det gør man ved at gå op i værktøjslinjen hvor man finder det ikon som her er markeret med

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Funktion af to eller flere variable I

Funktion af to eller flere variable I MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktion a to eller lere variable I Dierentiation og Optimering. udgave 005 FORORD Dette notat giver en indøring i de grundlæggende begreber or analse a reelle unktioner a to og

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Optimering a unktioner a lere variable. udgave 04 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere