Integralregning. 1. del Karsten Juul. M l

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l"

Transkript

1 Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul

2 Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral Kontrol a ubestemt integral Bestemme stamunktion5 Oversigt over stamunktioner 5 6 Regneregler or stamunktioner7 Bestemme stamunktion på TI-89's hovedskärm8 Finde en bestemt a stamunktionerne til en unktion 9 6 Kontrol på TI-89 a resultat ra ramme Stamunktion og areal Arealunktion Deinition og sätning Bestemme areal med stamunktion Bestemt integral 5 Bestemt integral Deinition og geometrisk ortolkning5 Beregne bestemt integral 6 5 Udregne bestemt integral på TI-89's hovedskärm 7 7 Besvare opgave med ortolkning a integral7 Bestemme integral ud ra arealer8 5 Bestemme areal 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränser oplyst 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränse ej oplyst 56 Areal mellem gra og akse Gra ej vist, gränser ej oplyst 59 Areal mellem to graer Beskrivelse a metoden 5 Areal mellem to graer Gra vist, gränser oplyst 5 5 Areal mellem to graer Gra ej vist, gränser ej oplyst 6 Nyere häter mm: Klik pä sidste del a linket! /- /9- /5- 7/-7 Integralregning del, udgave 6, Ç 6 Karsten Juul Dette häte kan downloades ra wwwmatdk HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som oplyser at dette häte benyttes (skriv ilnavn), og oplyser om hold, niveau, lärer og skole

3 Stamunktion Åvelse Bestem ved aläsning på igur a: () g() og () () g() og () OplÇg om stamunktion Figur a viser graerne or unktionerne () og g () Da l 's häldningskoeicient er, er g ( ) Da P 's andenkoordinat er, er NÅr ( ) gälder altså (* ) g ( ) ( ) Hvis man oretager tilsvarende aläsninger or en anden värdi a, vil man inde at (*) også gälder or denne värdi a Figur a Åvelse (a) Angiv to unktioner hvis dierentialkvotient er (b) Angiv to unktioner hvis dierentialkvotient er Integralregning Side 6 Karsten Juul

4 Deinition a stamunktion (b) Deinition At F() er en stamunktion til () betyder et F ( ) ( ) Eksempel Dierentialkvotienten a er dierentialkvotienten a 5 både og 5 er, og er stamunktioner til, så 5 Åvelse Figur c viser graerne or ire unktioner Det oplyses at enhver a unktionerne, g og h er stamunktion til en a unktionerne, g, h og p AgÉr or hver a unktionerne, g og h hvilken unktion den er stamunktion til () () () () g h p () () () Figur c () 6 Kontrol a stamunktion 6 Vi vil undersége om g( ) ( ) er en stamunktion til IÉlge deinition (b) skal vi bestemme dierentialkvotienten a g() resultatet er lig () : ( ) og se om g ( ) ( ) ( 6 6 ) 6 Ved at gange 6 ind i parentesen ses at dette er lig (), så g() er en stamunktion til () 6 Integralregning Side 6 Karsten Juul

5 7 Åvelse Brug metoden ra ramme 6 til at besvare Élgende tre spérgsmål: (a) UndersÉg om g( ) e er en stamunktion til ( ) e (b) UndersÉg om g ( ) er en stamunktion til ( ) (c) GÉr rede or at g( ) ln er en stamunktion til ( ) 8 Åvelse GÄt en stamunktion til hver a Élgende unktioner, og brug metoden ra ramme 6 til at kontrollere om du har gättet rigtigt: ( ), g( ) og n h( ) 9 SÇtning om stamunktionerne til en unktion (c) SÇtning Lad F() og () väre unktioner hvis deinitionsmängde er et interval I Hvis F() er en stamunktion til () gälder or enhver konstant k at F( ) k er en stamunktion til () og () har ikke andre stamunktioner end disse q p n m SÇtning (c) kan ogsä ormuleres sädan: Graerne or stamunktionerne til en unktion er de graer der kan Ås ved lodret orskydning a Ñn a stamunktionernes graer PÅ igur d er vist graerne or nogle a stamunktionerne til unktionen ( ) Figur d Åvelse Lad m, n, p og q väre unktionerne ra ramme 9 Bestem uden at regne tallene 7 n m (), n( ) m(), n( 8) m(8) og p( ) ( ) 7 Integralregning Side 6 Karsten Juul

6 Deinition a ubestemt integral (e) Deinition a ubestemt integral Stamunktionerne til en unktion () ( ) d betegnes og kaldes det ubestemte integral a () Funktionen der står mellem det lange s og d kaldes integranden Eksempler d d k ln k, Åvelse (uden hjälpemidler) Brug metoden ra ramme 6 og sätning (c) til at gére rede or at ( ) d k Kontrol a ubestemt integral Vi vil undersége om (* ) ( ) d k IÉlge metoden ra ramme 6 og sätning (c) gälder (*) hvis dierentialkvotienten a héjresiden er lig integranden A reglerne or at bestemme dierentialkvotient Ås at héjresidens dierentialkvotient er SÄttes heri uden or en parentes Ås integranden, så (*) gälder Åvelse Brug metoden ra ramme til at kontrollere om ( ) d ln k, Integralregning Side 6 Karsten Juul

7 Bestemme stamunktion Åvelse (a) (b) Bestem dierentialkvotienten a e og a, e, I (a) har du vist at de to givne unktioner er stamunktioner til to andre unktioner (se deinition b) Ud ra dette skal du gätte og ormulere en regel til at bestemme stamunktioner til en bestemt type unktioner Oversigt over stamunktioner I skemaet er k og c konstanter Funktion Stamunktionerne c k k c c, ln c, ln( ) c c c a a a c a a lna c e e c k e k e k c ln ln c cos sin sin c cos c Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

8 Åvelse Omskriv til ormen at bestemme stamunktionerne til angivet i ramme a Brug så reglen or stamunktion til a (se ramme ) til, og vis at de kan skrives på den orm som er Åvelse GÉr rede or hvordan reglerne i ramme kan bruges til at bestemme stamunktionerne til Élgende tre unktioner: ( ), g( ) e og h( ) e 5 Åvelse (a) Som bekendt gälder at og at er en stamunktion til er en stamunktion til (b) ReducÑr, og brug metoden ra 6 til at gére rede or at der gälder (c) (d) er IKKE en stamunktion til Brug metoden ra 6 til at gére rede or om er en stamunktion til Brug metoden ra 6 til at gére rede or? om er en stamunktion til? (e) Brug metoden ra 6 til at gére rede or om er en stamunktion til? Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

9 6 Regneregler or stamunktioner SÇtning Hvis () og g() har stamunktionerne F() og G (), så gälder: (a) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) (b) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) (c) k () har stamunktionen k F() Advarsel: Hvis man i (a) erstatter plus med gange eller med dividere, så Ås en regel der i de leste tilälde vil give et orkert resultat Eksempel så a (a) Ås at A (b) og (c) Ås: og e e har stamunktionerne har stamunktionen 6 e har stamunktionen og e e, e e 6 7 Åvelse (a) Brug reglerne i og 6 til at inde en a stamunktionerne til hver a Élgende unktioner: () (5) e () e 9 e (6) () (7) 8 () (8) (b) Brug reglerne i og 6 til at inde alle stamunktionerne til unktionen ( ), 8 Åvelse (a) Brug reglerne i og 6 til at inde en a stamunktionerne til hver a Élgende unktioner: () e () e () e Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

10 9 Åvelse (uden hjälpemidler) (a) Bestem ( 6 ) d (b) Bestem (e ) d (c) Bestem d, Åvelse (uden hjälpemidler) (a) Bestem ( 6 e (b) Bestem e ) ) d ( d, (c) Bestem ( ) d Bestemme stamunktion pä TI-89's hovedskçrm PÄ hovedskårmen, der Äs rem ved at taste HOME, kan en stamunktion bestemmes ved hjålp a det integraltegn der stär over 7-tasten F kan en stamunktion til e bestemmes ved at taste som vist pä igur d BemÅrk at man eter orskriten skal taste et komma eterulgt a den uahångige variabel PÅ igur d er bestemt Ñn a stamunktionerne til e Det ses at stamunktionerne til Dette kan også skrives sådan: e d ( ) e k e er ) e k ( Figur d Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 9 (b) Bestem stamunktionerne til ln Integralregning Side 8 6 Karsten Juul

11 Finde en bestemt a stamunktionerne til en unktion Opgave (Punkt på stamunktions gra er kendt) Bestem den stamunktion F til ( ) hvis gra går gennem punktet (, 6) Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant k så F( ) k Da graen or F går gennem punktet (, 6), må ( ) så k ( ) k, dvs 6 F( ) med alle reelle tal som deinitionsmängde Opgave (Tangent til stamunktions gra er kendt) Bestem den stamunktion F til ( ) hvis gra har linjen med ligningen y 5 som tangent Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant k så F( ) k Tangenten med ligningen y 5 har häldningskoeicienten a FÉrstekoordinaten til réringspunktet or tangenten bestemmes: F ( ) a Da réringspunktet ligger på linjen med ligningen y 5, er dets andenkoordinat y 5 ( ) 5 6 Da réringspunktet ligger på graen or F, kender vi nu et punkt på graen or F, så vi kan bestemme F ved hjälp a metoden ra opgave Integralregning Side 9 6 Karsten Juul

12 Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til som opylder F ( ) 5 Åvelse En unktion er bestemt ved ( ) 8 Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y tangent som 6 Kontrol pä TI-89 a resultat ra ramme I ramme andt vi at F( ) var den stamunktion til ( ) hvis gra går gennem (, 6) Vi År tegnet graen or F på lommeregneren og anbringer markéren i grapunktet med Érstekoordinat som vist på igur e Det ses at punktets andenkoordinat er 6, som det skulle väre Man Är anbragt markçren i grapunktet med Çrstekoordinat - ved at vålge Math/Value og taste - ENTER I ramme andt vi at F( ) var den stamunktion til ( ) hvis gra har linjen med ligningen y 5 som tangent PÅ lommeregneren tegner vi Érst graen or F Da Érstekoordinaten til tangentens réringspunkt viste sig at väre, År vi tegnet tangenten i grapunktet med Érstekoordinat Som vist på igur ses at tangentens ligning er y 5, som den skulle väre Man Är tangenten i grapunktet med Çrstekoordinat - ved at vålge Math/Tangent og taste - ENTER Figur e Figur Integralregning Side 6 Karsten Juul

13 7 Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 6 (b) KontrollÑr dine resultater i Évelserne og 5 på den måde som er beskrevet i ramme 6 8 Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra går gennem punktet (, 9) 9 Åvelse En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen tangent y som Integralregning Side 6 Karsten Juul

14 Stamunktion og areal Åvelse () A() 9 Figur a () PÅ igur a vokser det skraverede areal A() når värdien a Éges ved at träkke - punktet mod héjre (a) Hvad er A() når er 8, og når er? (b) Hvor meget Éges A() når Éges ra 8 til, og hvilken väksthastighed (arealenheder A() Éges med pr enhed Éges) svarer dette til? (c) Bestem väksthastigheden i hvert a intervallerne [ 8,5 ; 9,5 ] og [ 8,9 ; 9, ] (d) GÄt väksthastigheden A() i 9 (e) Hvad er (9)? () GÄt väksthastigheden A (8) (g) Hvad er (8)? (h) Er A() voksende, og er A() voksende? (i) Tegn graen or en unktion g() i intervallet [ ; 8] hvor den tilhérende arealunktion A() opylder Élgende: () A ( ) () A() er voksende Integralregning Side 6 Karsten Juul

15 Arealunktion Deinition og sätning () 9 () Lad A() betegne arealet under -graen svarende til intervallet [ ; ] på Érsteaksen A() kaldes arealunktionen (Hvis graen var tegnet i et interval der startede i 5, så ville A() betegne arealet under -graen svarende til intervallet [ 5; ]) Den skraverede strimmel ved 9 har ca samme areal som et rektangel med grundlinje og héjde (9), så omkring 9 vokser arealet A() med en hastighed på ca (9) enheder pr -enhed: Med symboler kan dette skrives Vi vil senere bevise Élgende sätning: (väksthastigheden or A() i 9) (9) A ( 9) (9) (b) SÇtning om arealunktion Om arealunktionen A() or en unktion () A ( ) ( ) gälder: Integralregning Side 6 Karsten Juul

16 Bestemme areal med stamunktion (c) SÇtning om areal og stamunktion Hvis ( ) or alle i [ a; b] og F() er en stamunktion til (), () så kan arealet S mellem aksen og graen i intervallet [ a ; b] (se igur d) beregnes sådan: S F( b) F( a) a S Figur d b () Bevis or (c) Lad A() väre arealunktionen or () Da A() og F() (* ) A( ) F( ) k Nu Ås S A(b) er stamunktion til samme unktion, indes en konstant k så A( b) A( a) Da A ( a) F b) k F( a k ( ) IÉlge (*) F( b) F( a) Hermed er sätning (c) bevist IÉlge deinitionen på arealunktion Åvelse Figur e viser graen or unktionen ( ), (a) Bestem en stamunktion til () (b) Brug sätning c til at bestemme arealet a punktmängden der begränses a graen or () og Érsteaksen (c) Brug sätning c til at bestemme arealet a punktmängden der begränses a graen or g( ) og Érsteaksen () Figur e () Integralregning Side 6 Karsten Juul

17 Bestemt integral Bestemt integral Deinition og geometrisk ortolkning (a) Deinition a bestemt integral Antag at () er deineret i [ a; b] og har stamunktionen F () Tallet kaldes F( b) F( a) integralet ra a til b a () og betegnes med symbolet b a ( ) d () kaldes integranden BEMÖRK: Det er ikke krävet at ( ) (b) SÇtning om areal og bestemt integral Hvis () så gälder har en stamunktion og ( ) or alle i [ a; b] b a (* ) ( ) d arealet a M hvor M er området mellem Érsteaksen og -graen i intervallet [ a ; b] (se igur c) a () M Figur c b () Bevis or sätning (b) Da og areal a M F( b) F( a) b a ( ) d F( b) F( a) iélge sätning (c) iélge deinition (a) må (*) gälde da de to tal der påstås at väre ens, begge er lig F( b) F( a) Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

18 Beregne bestemt integral Bestemme integral ved hjçlp a deinitionen ( ) d F( b) F( a) Vi vil beregne tallet (* ) ( 6 5) d Da integranden har stamunktionen 5 Ås a deinitionen på bestemt integral at (*) er 5 ( ) 5 ( ) 5 b a b Skrive ovenstäende ved hjçlp a symbolet [ F( )] a F( b) F( a) OvenstÅende kan skrives mere overskueligt ved at bruge symbolet F ( ) som betegner dierensen F( b) F( a) SÅ kan udregningen skrives sådan: (6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 5 Man kan evt indéje to linjeskit i ovenstående ormellinje så den kommer til at se sådan ud: ( 6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 5 b a Åvelse Brug metoden ra ramme til at bestemme Élgende tal: () ( ) d () 6e d () ( ) d Åvelse (uden hjälpemidler) Bestem Élgende tre tal: () ( e ) d () ( 6 ) d () d Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

19 5 Udregne bestemt integral pä TI-89's hovedskçrm PÄ hovedskårmen, der Äs rem ved at taste HOME, kan en stamunktion bestemmes ved hjålp a det integraltegn der stär over 7-tasten PÅ igur d er vist hvordan man kan taste or at Å bestemt tallet e d Det ses at dette tal er e Figur d 6 Åvelse (a) UdÉr det der er beskrevet i ramme 5 (b) Bestem tallet e ln( ) d 7 Besvare opgave med ortolkning a integral Opgave Bestem integralet Besvarelse ) ( d ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ( ) ( ) 7 6 PÅ iguren er skitseret graen or unktionen ( ) Da ( ) or alle tal i [, ], gälder: Resultatet 6 7 er lig arealet a det skraverede område () () Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

20 8 Åvelse (Uden hjälpemidler) Bestem integralet 9 Åvelse (Uden hjälpemidler) Bestem integralet d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet Bestemme integral ud ra arealer Opgave PÅ igur e ses graen or en unktion der har nulpunkter 6, og () Sammen med aksen agränser graen en punktmängde M der har arealet 7 Sammen med aksen og aksen agränser graen i kvadrant en punktmängde M som har arealet 6 Bestem 6 ( ) d M 6 M Figur e () Besvarelse Da ( ) or alle tal i [ 6; ], gälder 6 ( ) d er lig arealet mellem aksen og graen i [ 6; ] Dette areal er summen a arealerne a M og M, dvs så ( ) d Integralregning Side 8 6 Karsten Juul

21 Åvelse PÅ igur ses graen or en unktion der har nulpunkterne og 7 Sammen med akserne agränser graen to områder hvis arealer er hhv og () Bestem 7 ( ) d og 7 ( ) d 7 Figur () Åvelse Graregnervinduet på igur g viser graen or en unktion og en linje l der skärer graen i punkterne (, ) og (, ) Graen or agränser sammen med linjen l den skraverede punktmängde der har arealet 6 Bestem ( ) d Figur g Åvelse Figur h viser graen or en unktion hvis nulpunkter er 6 og Graen agränser sammen med Érsteaksen en punktmängde der har arealet 6 () Andenaksen deler denne punktmängde i to punktmängder M og M Det oplyses at Bestem 6 ( ) d ( ) d M Figur h M () Integralregning Side 9 6 Karsten Juul

22 5 Bestemme areal 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränser oplyst Opgave PÅ igur 5a ses graen or unktionen () ( ) Graen skärer Érsteaksen i punkterne P (, ), Q(, ) og R (, ) I Érste og anden kvadrant agränser graen or unktionen sammen med Érsteaksen en punktmängde M som har et areal () Bestem arealet a M Figur 5a Besvarelse Man skal inde arealet a området M mellem Érsteaksen og graen or i intervallet [ ;] Da ( ) or alle i dette interval, er arealet lig d 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Arealet a M er Åvelse (Uden hjälpemidler) En unktion er givet ved 7 ( ) En punktmängde M begränses a graen, Érsteaksen, andenaksen og linjen med ligningen (se igur 5b) Bestem arealet a M () M () Figur 5b Integralregning Side 6 Karsten Juul

23 5 Åvelse (Uden hjälpemidler) Funktionen () er bestemt ved ( ) PÅ igur 5c ses graen or () Graen skärer Érsteaksen i punkterne P (, ), Q(, ) og R (, ) Sammen med Érsteaksen agränser graen i Érste og anden kvadrant en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a denne punktmängde Figur 5c 5 Areal mellem gra og akse Gra vist, gränse ej oplyst Opgave PÅ igur 5d er vist graen or unktionen ( ) En punktmängde M er på iguren angivet som et prikket område der begränses a graen, Érsteaksen og linjen med ligningen Bestem arealet a M () () Besvarelse Da ligningen ( ) har lésningerne og, er Érstekoordinat til det venstre a graens skäringspunkter med Érsteaksen Figur 5d Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt Da ( ) or alle i [ ; ], er arealet a M lig ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) Arealet a M er Integralregning Side 6 Karsten Juul

24 55 Åvelse Figur 5e viser graen or unktionen 5 ( ) Graen og Érsteaksen agränser en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M Figur 5e () () 56 Areal mellem gra og akse Gra ej vist, gränser ej oplyst Opgave Graen or unktionen ( ) en punktmängde som har et areal Bestem arealet a denne punktmängde agränser sammen med aksen i Érste kvadrant Besvarelse Skitse a lommeregnerens gravindue: () () Figur 5 Da orskriten er et gradspolynomium kan graen ikke have lere sving end de viste, så det er det prikkede område vi skal inde arealet a For at bestemme néjagtigt hvor graen skärer Érsteaksen, léser vi ligningen ( ) LÉsningerne er, og Vi skal altså inde arealet a området mellem Érsteaksen og graen i [ ; ] Da ( ) or alle i dette interval, er arealet ( ) d Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt PunktmÄngden der agränses a aksen og graen i Érste kvadrant har arealet Integralregning Side 6 Karsten Juul

25 57 Åvelse Graen or ( ) agränser sammen med Érsteaksen og andenaksen i anden kvadrant en punktmängde der har et areal Bestem arealet a denne punktmängde 58 Åvelse Graen or unktionen ( ) 9 punktmängde M der har et areal agränser sammen med Érsteaksen en Bestem arealet a M Integralregning Side 6 Karsten Juul

26 59 Areal mellem to graer Beskrivelse a metoden PÅ de tre igurer nedenor er vist graerne or to unktioner og g samt tre arealer A, A og A : Vi vil angive en metode til at bestemme A Det ses at vi kan Å A ved at träkke A ra A : A A A Hvert a arealerne A og A er arealet mellem Érsteaksen og en gra over Érsteaksen, så de kan bestemmes ved hjälp a sätning (b) : b g( d og A ) a b ( d a A ) () () () A a g b () a A g b () a A g b () PÅ de tre igurer nedenor er vist graerne or to unktioner og g samt tre arealer A, A og A Vi vil angive en metode til at bestemme A Det ses at A A A, så A k ( ) d g( ) d k () g () g () g A A () () k k A () Integralregning Side 6 Karsten Juul

27 5 Areal mellem to graer Gra vist, gränser oplyst Opgave Graen or unktion ( ) 7 agränser sammen med linjerne med ligningerne, og y en punktmängde M som har et areal (se igur 5g) () Bestem arealet a M M Besvarelse Arealet mellem aksen og graen i [ ; ] er Figur 5g ( 7) d y () Arealet mellem aksen og linjen med ligningen y 6 d er Arealet a M er 6 6 BemÇrkning Arealet mellem aksen og linjen med ligningen y kunne også väre bestemt ved at bruge ormlen or areal a rektangel: Areal lig héjde gange grundlinje 5 Åvelse PÅ igur 5h ses graen or unktionen ( ) og linjen l med ligningen y Graen og linjen skärer hinanden i punktet (, 8) Graen og linjen agränser sammen med y-aksen en punktmängde der har et areal Bestem arealet a denne punktmängde Figur 5h () l () Integralregning Side 5 6 Karsten Juul

28 5 Areal mellem to graer Gra ej vist, gränser ej oplyst Opgave Graen or ( ) agränser sammen med linjen med ligningen y en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M Besvarelse Ud ra lommeregnerens vindue skitserer vi graen or () og linjen l med ligningen y, og vi skraverer punktmängden M (Se igur 5i) FÉrstekoordinaterne til skäringspunkterne mellem graen og linjen er lésningerne til ligningen Vi inder lésningerne og Disse tiléjer vi på skitsen (Se igur 5j) Arealet mellem aksen og graen or () i [; ] er ( ) d Arealet mellem aksen og linjen ( ) d 5 y i [; ] er (Dette areal kunne også väre bestemt ved at bruge ormlen or areal a trapez) Nu Ås at areal( M ) 5 9 Her skal indéjes en redegérelse or hvordan lésningerne er bestemt Der skal indéjes redegérelser or hvordan integralerne er bestemt () () M l M l () () Figur 5i Figur 5j Integralregning Side 6 6 Karsten Juul

29 5 Åvelse Graen or ( ) agränser sammen med linjen med ligningen y punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M en 5 Åvelse En unktion () er bestemt ved ( ) En ret linje l skärer graen or () i punkterne S (, 9) og S (, ) Graen or () agränser sammen med linjen l en punktmängde M som har et areal Bestem arealet a M 55 Åvelse Graen or unktionen ( ) y et område der har et areal Bestem arealet agränser sammen med linjen med ligningen 56 Åvelse Graen or unktionen med orskriten ( ) e agränser sammen med linjerne med ligninger y, og et område der har et areal Bestem dette areal 57 Åvelse Graen or unktionen med orskriten ( ) agränser sammen med linjerne med ligninger y og et område der har et areal Bestem arealet Integralregning Side 7 6 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-6-U Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Grupperede observationer

Grupperede observationer Grupperede observationer Tallene i den følgende tabel viser antallet af personer på Læsø 1.januar 2012, opdelt i 10-års intervaller. alder antal 0 131 10 181 20 66 30 139 40 251 50 318 60 421 70 246 80

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin december 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Fag: Matematik C->B, HFE Niveau: B Institution: VoksenUddannelsescenter Frederiksberg (147248) Hold: 670e 1208 Ma (Matematik C-B, halvårshold) Termin: December

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Om tastaturgenveje i Noter

Om tastaturgenveje i Noter Om tastaturgenveje i Noter Lad os starte med at præcisere, hvad det er vi har I tankerne: Tastaturgenveje er genveje til at frembringe særlige symboler, særlige skabeloner, særlig layout og særlige handlinger

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere