Differentialregning. for stx og hf Karsten Juul

Transkript

1 Dierentialregning r st g h t s 09 Karsten Juul

2 Dierentialkvtient Tangent g røringspunkt Funktinsværdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' når er tiden 5 Frtlkning a ' når ikke er tiden 6 Frtlkninger a ' begrundet 7 Bestem ' med Nspire 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjælpemidler 9 Advarsler m regler ra ramme Eksempler på brug a regler ra ramme 8 4 Eksempel på brug a regel 8k 4 Eksempler på brug a regel 8j med ydre g indre unktin 5 Alæs tallet r på igur 6 4 Alæs tallet 'r på igur 6 5 Alæs løsninger til =t på igur 7 6 Alæs løsninger til '=s på igur 7 7 Aledede unktin 8 8 Er det graen r den aledede? 8 Tangent 9 Bestem ligning r tangent 9 0 Bestem punkt på gra når vi kender -krdinat 9 Bestem punkt på gra når vi kender y-krdinat 0 Bestem punkt på gra når vi kender tangenthældning eller ligning der er parallel med tangenten i punktet 0 Bestem tangenthældning 4 Har graen en tangent med hældningskeicienten a? 5 Bestem 0 ud ra tangents ligning 6 Er linjen tangent? 7 Bestem røringspunkt r tangent 8 Vinkel g tangent 9 Bestem knstant i rskrit 4 0 Bestem røringspunkt r tangent gennem givet punkt 4 Væksthastighed Væksthastighed 5 Alæs størrelsen når tidspunktet er kendt 5 Alæs væksthastigheden når tidspunktet er kendt 6 4 Alæs tidspunktet når størrelsen er kendt 6 5 Alæs tidspunktet når væksthastigheden er kendt 7 6 Udregn størrelsen når tidspunktet er kendt 7 7 Udregn væksthastigheden når tidspunktet er kendt 7 8 Udregn tidspunktet når størrelsen er kendt 8 9 Udregn tidspunktet når væksthastigheden er kendt 8 40 Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed 8 Mntni 4 Vksende g atagende 9 4 Hvad er mntnirhld? 0 4 Regel r at inde mntnirhld 0 44 Bestem mntnirhld 45 Gør rede r at er vksende eller at er atagende 46 Bestem k så er vksende eller så er atagende 47 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm 48 Bestem mntnirhld r ud ra -gra 49 Bestem mntnirhld r ud ra '-gra

3 Ekstrema 50 Maksimum g minimum 4 5 Bestem med ' den værdi a hvr y er størst 5 5 Bestem med ' den største værdi a y 6 5 Bestem med ' den værdi a hvr y er mindst 7 54 Bestem med ' den mindste værdi a y 7 55 Bestem ekstrema 7 56 Gør rede r at unktinen har et minimum eller maksimum 7 57 Lkalt maksimum g minimum 8 58 Bestem lkale ekstrema 9 59 Bestem r hver værdi a a antal løsninger til = a 0 60 Gør rede r at ligning ikke kan have mere end én løsning 0 6 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum 0 Beviser 6 Dierentiabel 6 Kntinuert 64 Grænseværdi 65 Udregning a grænseværdi 66 Grænseværdi-rmel r dierentialkvtient 4 67 Udledning a rmlen r at dierentiere 5 68 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk 5 Dierentialregning r st g h, 09 Karsten Juul /8-09 Nyeste versin a dette hæte kan dwnlades ra Hætet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til kj@matdk sm plyser at dette hæte benyttes, g plyser hld, niveau, lærer g skle

4

5 Dierentialkvtient Tangent g røringspunkt a At l er tangent i P betyder at l er linjen gennem P sm ølger graen nær P b P kaldes tangentens røringspunkt c Grapunkterne nær P ligger nrmalt ikke på tangenten selv m det ser sådan ud på en tegning da stregen ikke er uendelig tynd l P d På iguren er linje l tangent til -gra i P Funktinsværdi g dierentialkvtient a At t er unktinsværdien a r betyder at t er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat r g skrives t = r sm læses t er lig a r t P a b At a er dierentialkvtienten i r betyder at a er tangenthældningen i grapunktet med -krdinat r g skrives a = 'r sm læses a er lig mærke a r l r c r = y-krdinat til -gras punkt med -krdinat r d ' r = tangents hældning i -gras punkt med -krdinat r e ' r = væksthastighed r på tidspunkt r Hvis er tid c g d er vedtægter e g er begrundet i ramme 6 Når er lig r, g vi lægger et lille tal til, så lægges ca ' r gange dette lille tal til y g I ligninger a typerne m = n g 'm = p gælder: Tallet på m 's plads er en -værdi Tallet på n 's plads er en y-værdi Tallet på p 's plads er en tangenthældning eller væksthastighed h typerne i rammerne 0-, 7-9, 6-9, 6 løses med ølgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n g m p Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten Denne metde indgår sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

6 Frtlkning a ' vedr gra ' 5 = 4 Hvad rtæller dette m graen? ' = tangenthældning se d så at ' 5 = 4, rtæller: I grapunktet med -krdinat 5 er tangenthældningen er 4 Løsningerne til ligningen ' = er = g = 7 Hvad rtæller dette m graen? ' = tangenthældning se d så det at løsningerne er = g = 7, rtæller: Det er grapunkterne med -krdinat g 7 hvr tangenthældningen er 4 Frtlkning a ' når er tiden Der er et tegnet dyr på skærmen er dyrets højde målt i mm, g er tiden målt i minutter Det er plyst at 0 Gør rede r betydningen a dette Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen Du behøver ikke bruge arve Regel se e: ' r er væksthastighed r på tidspunkt r I denne regel indsætter vi de aktuelle rd g tal: er væksthastighed r højden på tidspunktet 0 Dvs På tidspunktet 0 minutter vkser dyrets højde med hastigheden mm pr minut 5 Frtlkning a ' når ikke er tiden Der er et tegnet dyr på skærmen er dyrets højde målt i mm, g er længden målt i mm Det er plyst at 0 Gør rede r betydningen a dette Regel Se : Når er lig r, g vi lægger et lille tal til, så lægges ca ' r gange dette lille tal til y I denne regel indsætter vi de aktuelle rd g tal: Eksempel Når længde lig 0, g vi lægger et lille tal til længde, så lægges ca gange det lille tal til højde Tal i tabel er arundet til decimal Pris kr Agit øre g 7, 8,0 8,7 9,4 0,0 0,6 Vi ser at g'=0,7 g g'6 = 0,6 Hvis du glemmer rdet hastighed, så betyder sætningen at højden i løbet a et minut vkser mm, g det er ikke det der er meningen Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen Du behøver ikke bruge arve 6 Frtlkninger a ' begrundet Symblet '0 betyder tangenthældning, så '0 = betyder tangenthældning er, så på tangenten gælder: når bliver større, så vil y blive større Fr nær 0 er gra g tangent næsten ens, så når er ca 0 g bliver større, * så vil blive ca større ca h l Når er sm i ramme 4, så versættes * til ølgende: Når tidspunktet er ca 0 minutter g der går ét minut, vil dyrets højde blive ca mm større dvs væksthastigheden er ca mm pr minut Når er sm i ramme 5, så versættes * til ølgende: Når er nær 0 g vi lægger et lille tal til, så bliver der lagt ca gange dette lille tal til y, dvs når vi lægger et lille tal til længden, så lægges gange dette lille tal til højden h Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

7 7 Bestem ' med Nspire 7a Fr at å Nspire til at dierentiere mht bruger vi skabelnen : Udregnet a Nspire 7b Hvis rskrit indehlder cs eller sin: Højreklik på matematikelt, vælg Attributter g sæt vinkel til radianer HUSK at skrive dette! 7c Fr at udregne ' skal vi ørst bestemme rskriten r ' sm vist i 7a Så indsætter vi r i denne rskrit: d Symblet kan IKKE skrives ved hjælp a en brøkstreg d 7d Eksempel Dette er både krrekt matematiksprg g krrekt Nspiresprg 7e Eksempel Her rtæller vi til Nspire g til læseren at m betyder ' := bevirker at kmmer til at betyde ln så vi kan skrive g i stedet r ln g ln 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjælpemidler 8a k 0 når k er en knstant eks 4 0 8b g ln 0 k k eks g 4 4 8c a aa eks 4 4 g,6, 6 4, 6 8d e er et bestemt tal ligesm e,788 e er ikke den sædvanlige e-tast Brug tegn-palet e e 8e ln Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin" eks k k 8g g g g ln 7 7 eks 4 ln eks 4 ln eks ln ln ln 8h g g 8i g g g 5 4 eks 5 8j g g g 8k Da ln ln g kan vi udregne g med reglen a aa På de t næste sider er der lere eksempler på brug a reglerne 8a-8k 7 Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

8 9 Advarsler m regler ra ramme 8 a er IKKE a g 4 e er IKKE e g er IKKE ln er IKKE e er IKKE e g er IKKE er IKKE 4 e er IKKE g ln g e e er IKKE er IKKE e 0 Eksempler på brug a regler ra ramme 8 0a En unktin er givet ved 4 Bestem Her må vi ørst inde ' Dereter indsætter vi r i det dierentierede udtryk Da 4 er så Regel 8g, 8, 8a g 8c 0b En unktin er givet ved e ln Bestem Her må vi ørst inde ' Dereter indsætter vi r i det dierentierede udtryk Da e ln Hera år vi er e ln e ln e ln ln e0 e ln e e ln Eksempel på brug a regel 8k En unktin er givet ved 8 Bestem 4 Her må vi ørst inde ' Dereter indsætter vi 4 r i det dierentierede udtryk Da 8 er Hera år vi Dierentialregning r st g h Side 4 09 Karsten Juul

9 Eksempler på brug a regel 8j med ydre g indre unktin 8j Når g h er g h h g er ydre unktin g h er indre unktin a En unktin er bestemt ved 4 Bestem Sådan tænker vi Fr 4 er ydre unktin = 4 g indre unktin = ydre dierentieret = 4 g indre dierentieret = ' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = 4 = 4+ ' = 4+ 8 b En unktin er bestemt ved ln Bestem Sådan tænker vi Første del a rskriten vil vi dierentiere ved hjælp a reglen m ydre g indre unktin Fr g= ln er ydre unktin = ln g indre unktin = ydre dierentieret = g indre dierentieret = g' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = = Vi skal gså huske at dierentiere sidste del a rskriten: ' = + Måske synes du ikke at det er klart at vi kan mskrive til dette Man kan evt rklare det med ølgende mellemregninger: c En unktin er bestemt ved e Bestem Sådan tænker vi Fr e er ydre unktin = e g indre unktin = ydre dierentieret = e g indre dierentieret = ' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = e = e + ' = e + e Dierentialregning r st g h Side 5 09 Karsten Juul

10 Alæs tallet r på igur Alæs tallet 4 på iguren Sådan tænker vi Der står 4 i parentesen, så vi skal vi inde det punkt på graen hvr -krdinaten er 4 Der står, så y-krdinaten er acit 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4 Se markering på igur Husk Når vi alæser et tal på en igur, skal vi skrive tallet på iguren der hvr vi har alæst det Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alæst 4 Alæs tallet ' r på igur Alæs tallet '4 på iguren Sådan tænker vi Der står 4 i parentesen, så vi skal inde det punkt på graen hvr -krdinaten er 4 Der står, så tangenthældningen er acit '4 = hældningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4 Vi tegner l Vi alæser punkterne 4, g 6, 7 på l l 's hældningskeicient er så ' 4 6,7 l 4, Dierentialregning r st g h Side 6 09 Karsten Juul

11 5 Alæs løsninger til =t på igur Alæs løsningerne til ligningen 6 på iguren Sådan tænker vi Der står 6, så vi skal inde de punkter på graen hvr y-krdinaten er 6 Der står i parentesen, så acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal løse 6 er y-krdinaten til et grapunkt Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6 Vi alæser -krdinaten til hvert a disse punkter g år g 7 Se markeringen på iguren Løsningerne til 6 er eller 7 6 Alæs løsninger til ' =s på igur Alæs løsningerne til ligningen 0 på iguren Sådan tænker vi Der står 0, så vi skal inde de punkter på graen hvr tangenthældningen er 0 Der står i parentesen, så acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal løse 0 er tangenthældningen i et grapunkt Vi inder det grapunkt hvr tangenthældningen er 0 Vi alæser -krdinaten til dette punkt g år 5 Se markeringen på iguren Løsningen til 0 er 5 Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes hældningskeicient Dierentialregning r st g h Side 7 09 Karsten Juul

12 7 Aledede unktin Funktinen ' kaldes den aledede unktin a Hvis g er den aledede a er g = ' r alle i deinitinsmængden r 8 Er det graen r den aledede? 8 Gør rede r at g ikke er den aledede a Se igur g = P 's y-krdinat så g er psitiv ' = tangenthældning i Q så ' er negativ Da g ' er g ikke den aledede a g g Q P 8 Figuren viser graen r t unktiner g ' Gør rede r hvilken gra der hører til hvilken unktin A B Tangenten i P har hældningskeicient 0, så hvis A var -gra, g B var '-gra, så skulle y-krdinaten til Q være 0 Det er den ikke Så må det mvendte gælde: -B er -gra, g A er '-gra- I pgaver a disse typer skal man altid vise at det ene ikke kan være rigtigt Så har man vist at det mdsatte gælder 8 Figuren viser graerne r tre unktiner, g g h Gør rede r hvilken a unktinerne g g h der er den aledede a P Q A B Se igur Fr < t er -graens tangenthældning ' negativ Fr < t er g psitiv så g kan ikke være den aledede ' -Det er h der er den aledede a -- Dierentialregning r st g h Side 8 09 Karsten Juul

13 9 Bestem ligning r tangent Tangent Bestem ligning r tangent til gra r i punktet, er plyst Se ramme 8, y g a er røringspunkt g hældning r tangent: er plyst y 4 Se c g ramme 0 Tangent: a Se d g ramme y a y y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y Grønne kmmentarer er ikke en del a besvarelsen Du skal IKKE bruge tallene g i andre pgaver I stedet skal du bruge de tal du inder ved at dierentiere den givne unktin Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med hældningskeicienten a har ligningen y = a + y Kntrl a tangentligning med Nspire Vi angiver rskriten g -krdinaten, g år Nspire til at bestemme tangentligning, g år y 0 Bestem punkt på gra når vi kender -krdinat En unktin er givet ved Bestem y-krdinaten til det punkt på graen r hvr -krdinaten er 5 Bevarelse y-krdinat = 5 Se c y-krdinat = 5 5 da y-krdinat = 50 Det punkt på graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50 Dierentialregning r st g h Side 9 09 Karsten Juul

14 Bestem punkt på gra når vi kender y-krdinat En unktin er givet ved Bestem -krdinaten til hvert a de punkter på graen r hvr y-krdinaten er 4 Bevarelse Fr unktinen år vi: y-krdinat = 4 = 4 Se c = 4 Nspire løser ligningen = 4 mht g år = eller = Nspire: De punkter på graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g Bestem punkt på gra når vi kender tangenthældning eller ligning r linje der er parallel med tangenten i punktet a En unktin er givet ved Bestem krdinatsættet til hvert a de punkter på graen r hvr tangenthældningen er 9 Bevarelse Fr unktinen år vi: tangenthældning = 9 ' = 9 Se d 6 = 9 Se ramme 7 g 8 Nspire løser ligningen 6 = 9 mht g år = eller = Nspire: Når = er y = = = 4 Se c Når = er y = = = 0 De punkter på graen hvr tangenthældningen er 9, har krdinatsættene, 4 g, 0 b En unktin g er givet ved g 4 En linje m er giver ved m: y På graen r g ligger et punkt P Tangenten i P er parallel med med linjen m Bestem -krdinaten til P Bevarelse Ligningen r m er på rmen y a b med a =, så m's hældningskeicient er Tangenten i P er parallel med m, så tangenthældning i P er Fr unktinen g 4 år vi tangenthældning = g' = 4 = = 6 = -krdinaten til P er Dierentialregning r st g h Side 0 09 Karsten Juul

15 Bestem tangenthældning En unktin g er givet ved g Bestem tangenthældningen i gra-punktet med -krdinat Bevarelse g tangenthældning = g' Se d tangenthældning = + da g Se ramme 7 g 8 tangenthældning = 4 Tangenthældningen i gra-punktet med -krdinat er 4 4 Har graen en tangent med hældningskeicienten a? En unktin g er givet ved g Er der et punkt på g-graen så tangenten i dette punkt har hældningskeicienten? Bevarelse g tangenthældning = g' = Se d + = Se ramme 7 g 8 = Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt Der er ikke et punkt på graen så tangenten i dette punkt har hældningskeicienten 5 Bestem 0 ud ra tangents ligning Bevarelse Linjen l : y 4 er tangent til graen r i punktet med -krdinat 7 Bestem 7 7 er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat 7 Da dette punkt ligger på l, kan dets y-krdinat bestemmes a l 's ligning: y 47 y 7 Dvs 7 7 Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

16 6 Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der både gælder at y-krdinat er ens g tangenthældning er ens Dette er vist på de tre igurer ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab Tangenthældning er ens: a Tangenthældn er rskellig: a Tangenthældning er ens: a Linjen er ikke tangent Linjen er ikke tangent Linjen er tangent Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? l : y 9 7 g Hvis l er tangent til -gra: I røringspunktet skal -graens tangenthældning være lig l 's hældningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire løser ligning 9 mht g år eller Nspire: Hvis er y-krdinat på -gra lig y-krdinat på l lig så y-krdinaterne er ikke ens, så l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat Hvis er y-krdinat på -gra lig Hvis du skriver i hånden, skal der y-krdinat på l lig parentes m - eter gangetegn så y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthældningerne er ens, så l er tangent i grapunktet med -krdinat Linjen l er tangent til graen r Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

17 7 Bestem røringspunkt r tangent Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen Bestem krdinatsættet til røringspunktet l : y 9 7 er tangent til gra r I røringspunktet skal -graens tangenthældning være lig l 's hældningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire løser ligning 9 mht g år eller Nspire: Hvis er y-krdinat på -gra lig y-krdinat på l lig så y-krdinaterne er ikke ens, så grapunkt med -krdinat er ikke røringspunkt Hvis er y-krdinat på -gra lig Hvis du skriver i hånden, skal der y-krdinat på l lig parentes m - eter gangetegn så y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthældningerne er ens, så grapunkt med -krdinat er røringspunkt Krdinatsættet til røringspunktet er, 8 Vinkel g tangent Linjen l er tangent til graen r 0,875 i punktet P4, Bestem vinklen v mellem vandret g tangenten l Figuren viser graen r 0,875 g tangenten l i punktet P4, g vinklen v mellem vandret g l 0,875 0, 75 så l 's hældningskeicient er 4 0,75 4,5 A den viste trekant år vi tanv =,5 så v = tan -,5 = 56,099 dvs v 56, Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

18 9 Bestem knstant i rskrit 9a a4 g Bestem a a4 g, så a 4, så a 9b Punktet, ligger på graen r a4 Bestem a Da, ligger på graen r a4, er a 4, så a 9c a4 g 8 Bestem a a4 g 8 4a så 4a 8, dvs a 9d Gra r a4 har i punkt med -krdinat tangenthældning 8 Bestem a a4 så 4a Fr = er tangenthældning 8, så 4a 8, dvs a 0 Bestem røringspunkt r tangent gennem givet punkt P er IKKE røringspunkt r tangenten! Punktet P 0, ligger på linjen l sm er tangent til graen r Bestem det punkt Q 0, y hvr l rører graen r 0 P 0, ligger på tangenten l sm rør -gra i Q 0, y 0 I stedet kan vi skrive da er så nem at dierentiere i hvedet Vi skriver ligningen r l udtrykt ved 0 : Vi bruger metden ra ramme 9 Da Q 0, y ligger på -graen, er 0 y Da Q 0, y er røringspunkt r l, er l 's hældningskeicient a 0 0 l har ligningen y a 0 y 0 dvs l : y Vi indsætter P 's krdinater i l 's ligning r at bestemme 0 : l 's ligning er sand r, y 0, da P 0, ligger på l : Nspire løser ligningen mht 0 g år 0 Nspire: Vi udregner y 0 : Da Q 0, y ligger på -graen, er 0 l 's røringspunkt er Q, Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter + Dierentialregning r st g h Side 4 09 Karsten Juul

19 Væksthastighed Væksthastighed Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at måle = plantens højde i mm På iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens højde blive ca 0,5 mm højere pr dag Vi siger at på tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at måle, er væksthastigheden lig 0,5 mm pr dag I et lille tidsum på -aksen er graen næsten sammenaldende med den tegnede tangent Det er i dette tidsrum at væksthastigheden er ca 0,5 mm pr dag dage Alæs størrelsen når tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t måles i sekunder Bestem temperaturen på tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alæser at r dette punkt er T 4 Dette har vi vist på skitsen T / C På tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C t / s Dierentialregning r st g h Side 5 09 Karsten Juul

20 Alæs væksthastigheden når tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t måles i sekunder Bestem temperaturens væksthastighed på tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g på l alæser vi punkterne A,5 g B 7, 7 Alt dette har vi vist på skitsen T / C A l B l 's hældningskeicient er temperaturens væksthastighed på tidspunktet sekunder l 's hældningskeicient er t / s ,75 Temperaturens væksthastighed på tidspunktet sekunder er 0,75 C pr sekund 4 Alæs tidspunktet når størrelsen er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t måles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alæser at r dette punkt er t Dette har vi vist på skitsen T / C Temperaturen er 4 C på tidspunktet sekunder t / s Dierentialregning r st g h Side 6 09 Karsten Juul

21 5 Alæs tidspunktet når væksthastigheden er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t måles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturens væksthastighed er 0,75 C pr sekund T / C Vi tegner en linje m sm har hældningskeicient 0,75, g vi lægger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alæser at r røringspunktet er t Alt dette har vi vist på iguren Væksthastigheden r t er l 's hældningskeicient: På tidspunktet sekunder er temperaturens væksthastighed T / C l m 0 t / s 5 0,75 C pr sekund 0 0,75 5 t / s 6 Udregn størrelsen når tidspunktet er kendt Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram Bestem dyrets vægt på tidspunktet 0 dage 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage Dyrets vægt er 4 gram på tidspunktet 0 dage Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0 7 Udregn væksthastigheden når tidspunktet er kendt Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram Bestem den hastighed hvrmed dyrets vægt vkser på tidspunktet 0 dage 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage På tidspunktet 0 dage vkser dyrets vægt med hastigheden Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0,0 gram pr dag Dierentialregning r st g h Side 7 09 Karsten Juul

22 8 Udregn tidspunktet når størrelsen er kendt Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vægt er 500 gram 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage vægt = 500 = , = 500 Nspire løser ligning 56, mht g år 77, 56 Dyrets vægt er 500 gram på tidspunktet 78 dage 9 Udregn tidspunktet når væksthastigheden er kendt Vægten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vægten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vægt vkser med hastigheden 4 gram pr dag 56,0 40 er dyrets vægt på tidspunktet dage Vi år hastighed = 4 ' = 4 Se e,0895,0 = 4 Nspire løser ligningen,0895,0 4 På tidspunktet Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0 mht g år 64, dage vkser dyrets vægt med hastigheden 4 gram pr dag 40 Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed! Et linjestykkes længde ændres sådan at = hvr er længden på tidspunktet Hvr hurtigt ændres længden på tidspunktet? er længden på tidspunktet = ' = ' = = 6 På tidspunktet ændres længden med hastigheden 6 Et linjestykkes længde ændres sådan at = hvr er den hastighed sm længden ændres med på tidspunktet Hvr hurtigt ændres længden på tidspunktet? er den hastighed sm længden ændres med på tidspunktet = = = 9 På tidspunktet ændres længden med hastigheden 9 Dierentialregning r st g h Side 8 09 Karsten Juul

23 4 Vksende g atagende Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskærm Når vi trækker -punktet hen på et tal kan vi alæse unktinsværdien På iguren kan vi se: Når vi trækker gennem tallene ra g med til g med 9, vil hele tiden blive større Når vi trækker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive mindre 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er både atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i ét tal Vi taler m at en unktin er vksende i et interval Der skal være mindst t y-værdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet større eller mindre At er vksende i intervallet 9 betyder at når vi i intervallet vælger større g større -værdi, så bliver y-værdien større g større At er atagende i intervallet 9 4 betyder at når vi i intervallet vælger større g større -værdi, så bliver y-værdien mindre g mindre Dierentialregning r st g h Side 9 09 Karsten Juul

24 4 Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver står at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser På iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium Mntnirhldene kan vi skrive sådan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 4 Regel r at inde mntnirhld Hvis ' er psitiv * tangenthældningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4 ** er vksende i intervallet 4 Hvis man prøver at tegne graen sådan at *, men ikke ** gælder, så bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gøre Man kan bevise at hvis * gælder, så gælder ** gså Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen på nederste igur er vksende selv m der er ét punkt hvri tangenthældningen er 0 Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gælder Sætning 4a Hvis er psitiv r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, så er vksende i intervallet Hvis er negativ r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, så er atagende i intervallet Dierentialregning r st g h Side 0 09 Karsten Juul

25 44 Bestem mntnirhld Bestem mntnirhldene r unktinen udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 0, dvs hvr 0 Nspire løser ligningen 0 mht g år eller 0 : Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller I hvert a disse vælger vi et tal g udregner : 9 så negativ r så psitiv r 0 så psitiv r 0 A dette ølger at mntnirhldene er ølgende: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Oversigt: : 0 : 0 0 : Husk at kntrllere at tallene der agrænser intervallerne, er de tal du ik sm løsning til '=0 Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

26 45 Gør rede r at er vksende eller at er atagende En unktin er givet ved 4 4 e Bestem g gør rede r at er vksende 4 e 4 Da 4 e altid er psitiv, er psitiv, g så er vksende 4 Bemærkning: Hvis e 4, er 4e Da 4 e altid er psitiv, er negativ, så er atagende 46 Bestem k så er vksende eller så er atagende En unktin er givet ved k Bestem de værdier a k r hvilke er vksende k Hvis k 0 er psitiv, da 0, så er vksende Hvis k 0 er lig 0 når er 0, g ellers psitiv, så er vksende Hvis k 0 er negativ når er 0, så er ikke vksende er vksende netp når k 0 Bemærkning: Hvis k e, er negativ netp når k, så er atagende netp når k 0 47 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist på tallinjen: Når : : m n, går -graen gennem punktet m, n er atagende i -intervaller hvr er negativ er vksende i -intervaller hvr er psitiv Fr de -værdier hvr er 0, har graen vandret tangent Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

27 48 Bestem mntnirhld r ud ra -gra Figuren viser graen r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 På iguren har vi vist hvrdan vi alæser at -værdierne r de lkale ekstrema er g 4 På iguren ser vi at er atagende i intervallet 4 er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet Bestem mntnirhld r ud ra '-gra Figuren viser graen r den aledede unktin ' r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 På iguren har vi vist hvrdan vi alæser at 4, 5 På næsten samme måde kan vi alæse r andre værdier a end 4 Feks ser vi at g at er 0 når er eller er psitiv r 4 er negativ r er psitiv r 6 Hera ølger at er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet På -gra er ' lig tangenthældning På '-gra er ' lig y-krdinat På '-gra er ' ' lig tangenthældning er vksende i intervallet 6 Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

28 50 Maksimum g minimum Ekstrema g Maksimum r er den største y-krdinat til et punkt på -graen Vi ser at maksimum r er Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt på -graen Vi ser at minimum r er Graen r g er en parabel hvr grenene går uendelig højt p Der er ikke nget punkt på graen der har den største y-krdinat da man altid kan asætte et punkt højere ppe på graen, så unktinen g har ikke nget maksimum Når vi skriver hvad maksimum eller minimum er, så skriver vi nrmalt gså hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere, eks: har maksimum i 4 g maksimum er har minimum i g minimum er Størsteværdi g mindsteværdi r en unktin er det samme sm hhv maksimum g minimum I ngle pgaver står at vi skal bestemme ekstrema Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum Ekstremum er en ællesbetegnelse r maksimum g minimum Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r st g h Side 4 09 Karsten Juul

29 5 Bestem med ' den værdi a hvr y er størst 6 Højden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens højde Bestem bredden så højden bliver størst mulig 6 86, 9, hvr igurs bredde g højde er g 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 6 0, dvs hvr 0 5 Nspire løser ligningen 0 mht r 9 g år : Vi udregner i en -værdi på hver side a : 6 4 så er psitiv r så er negativ r 9 4 Hera slutter vi ølgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9 Vi bestemmer bredden så højden er størst mulig: 5 A mntnirhldene ølger: er størst mulig når, dvs Højden bliver størst mulig når bredden er Dierentialregning r st g h Side 5 09 Karsten Juul

30 5 Bestem med ' den største værdi a y 6 Højden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens højde Bestem den størst mulige højde 6 86, 9, hvr igurs bredde g højde er g 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 6 0, dvs hvr 0 5 Nspire løser ligningen 0 mht r 9 g år : Vi udregner i en -værdi på hver side a : 6 4 så er psitiv r så er negativ r 9 4 Hera slutter vi ølgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9 Vi bestemmer den størst mulige højde: 5 6 A mntnirhldene ølger: er størst mulig når Den størst mulige højde er 74 Dierentialregning r st g h Side 6 09 Karsten Juul

31 5 Bestem med ' den værdi a hvr y er mindst Dette gøres sm vist i ramme 5 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r størst 54 Bestem med ' den mindste værdi a y Dette gøres sm vist i ramme 5 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r størst 55 Bestem ekstrema Når der står Bestem ekstrema, så skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum Se ramme 5 g Gør rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Metde Gør rede r at unktinen 9, 0 har et minimum Vi bestemmer mntnirhld r med metden ra ramme 44 Hereter skriver vi: Da er atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r Dierentialregning r st g h Side 7 09 Karsten Juul

32 57 Lkalt maksimum g minimum P Figuren viser graen r en unktin I de t ender rtsætter graen uendelig højt p P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5 Vi kan vælge et stykke a graen mkring P sådan at 5 er mindste y-krdinat på dette stykke Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 5 er ikke minimum da der andre steder på graen er y-krdinater sm er mindre Hvis Q, y er et punkt på graen r en unktin, g vi kan vælge et stykke a graen mkring Q sådan at y er mindste y-krdinat på dette stykke, så siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt på graen r en unktin, g vi kan vælge et stykke a graen mkring Q sådan at y er største y-krdinat på dette stykke, så siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gælder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5 har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5 har minimum r 70 g minimum er y 5 Undertiden er det skrevet krtere, eks: har minimum i 70 g minimum er 5 har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5 I ngle pgaver står at vi skal bestemme lkale ekstrema Dette betyder at vi skal inde både de lkale minimummer g de lkale maksimummer Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r st g h Side 8 09 Karsten Juul

33 58 Bestem lkale ekstrema Bestem de lkale ekstrema r unktinen Vi bestemmer mntnirhldene r : ' = udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de værdier a hvr 0, dvs hvr 8 0 Nspire løser ligningen 8 0 mht g år = 6 eller = 6 g deler tallinjen p i tre intervaller I hvert a disse vælger vi et tal g udregner : Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r A dette ølger at mntnirhldene er ølgende: er vksende i intervallet 6, atagende i intervallet 6 g vksende i intervallet Vi bestemmer de lkale ekstrema: A mntnirhldene ølger: der er lkalt maksimum r = 6 g lkalt minimum r = har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 4 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = : 6 ': : vks at vks 4 Dierentialregning r st g h Side 9 09 Karsten Juul

34 59 Bestem r hver værdi a a antal løsninger til = a a Undersøg mht lkale ekstrema b Bestem r hver værdi a a antal løsninger til ligningen a a b A undersøgelsen i a ølger at graen r er sm vist på skitsen På skitsen har vi vist hvrdan vi ser at hvis a 4, har a t løsninger g På næsten samme måde ser vi: a 0 : 0 løsninger a 0 : løsninger 0 a : 4 løsninger a : løsninger a 89 : løsninger a 89 : løsning 89 a 0 løsninger 60 Gør rede r at ligning ikke kan have mere end én løsning Fr unktinen sin cs 5 ser vi på ligningen c hvr c er et tal Gør rede r at denne ligning ikke kan have mere end én løsning sin cs 5, cs g sin kan ikke være under Da der lægges 5 til, er resultatet psitivt Da er psitiv, er vksende, g kan derr ikke vær lig c r mere end én værdi a 0,0 89, Udregnet a Nspire med matematikelt indstillet til radianer 6 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum Funktinen k har lkalt minimum r Bestem k k har lkalt minimum r k Da har lkalt minimum r, år vi 0 k 0 k Hvis der i stedet er plyst en -værdi med lkalt maksimum, løses pgaven på samme måde Dierentialregning r st g h Side 0 09 Karsten Juul

35 Beviser 6 Dierentiabel 6a Gra med knæk Graen r har et knæk i punktet med -krdinat Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt Tangenten er en linje der ølger graen nær punktet Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens hældningskeicient, g der er ikke ngen tangent Der gælder altså at ikke eksisterer 6b Gra med ldret tangent Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat En ldret linje har ikke ngen hældningskeicient g Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens hældningskeicient, g tangenten har ikke ngen hældningskeicient Der gælder altså at g ikke eksisterer 6c Deinitin Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs hvis eksisterer 6 Kntinuert Figuren viser graen r en unktin Fr = 5 er der et spring i graen Man siger at ikke er kntinuert i 5 er kntinuert i ethvert andet tal end 5 Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

36 64 Grænseværdi Figuren viser graen r en unktin Fr = er der ikke nget grapunkt Frskriten kan ikke udregnes r = er ikke med i unktinens deinitinsmængde Da vi ikke kan udregne unktinsværdien r -værdien, prøver vi med -værdier tæt på På iguren ses at r -værdien,9 er unktinsværdien,9 =,9 Ved at sætte ind i rskriten ås,99 =,99 Det tal sm sm unktinsværdierne er tæt på når er tæt på, er tallet Vi siger at er grænseværdien a r gående md Symblet r denne grænseværdi er lim Symblet læses grænseværdien a r gående md Der gælder lim = Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

37 65 Udregning a grænseværdi 65a Oplæg Figuren viser graen r en unktin g, På iguren ser vi: Fr gående md er grænseværdien Funktinsværdien i er 4 Vi ser at hvis unktinsværdien havde været, så ville der ikke have været nget spring i graen, så unktinen havde været kntinuert i g 65b Regel En unktin h er kntinuert i et tal 0 netp hvis unktinsværdien i 0 = unktinens grænseværdi r gående md 0 Hvis en unktin er kntinuert, kan vi altså inde grænseværdien ved at udregne unktinsværdien 65c Regel Hvis et regneudtryk u er pbygget a sædvanlige symbler ikke lim, så gælder: Regneudtrykket er kntinuert i ethvert tal hvr det er deineret dvs i -værdier hvr det kan udregnes 65d Metde 6 Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nævneren bliver 0 I stedet vil vi udregne grænseværdien a u r gående md Vi kan regne s rem til denne grænseværdi ved at bruge ølgende metde: Vi aktriserer brøkens tæller g rkrter brøken Så år vi et udtryk sm vi kan udregne når er : 6 lim lim da 6 r = da er kntinuert i = se 65b g 65c = 6 65e lim k udtryk k lim udtryk når k er en kntant 65 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk 65g Udregning a grænseværdi med Nspire e lim udregnet a Nspire 0 På Nspire kan vi vælge grænseværdi-skabelnen på skabelnpaletten Skabelnen ser sådan ud: Vi behøver ikke skrive nget i det tredje elt Dierentialregning r st g h Side 09 Karsten Juul

38 66 Grænseværdi-rmlen r dierentialkvtient Hvis er dierentiabel i, så gælder 66a lim Dette er grænseværdi-rmlen r dierentialkvtient Begrundelse r 66a: y t m t er tangent til -graen ' = t 's hældk Dette er deinitinen på dierentialkvtient Vi tegner en linje m der skærer -graen i punkterne med -krdinater g y-krdinater til disse punkter er g Så m 's hældk = Når nærmer sig til vil m 's hældk nærme sig til t 's hældk, så t 's hældk = lim m ' s hældk = lim iølge rmlen y y a Vi har nu indset at både venstre g højre side i ligningen i 64a er lig t 's hældk, så ligningen gælder Dierentialregning r st g h Side 4 09 Karsten Juul

39 Dierentialregning r st g h Side 5 09 Karsten Juul 67 Udledning a rmlen r at dierentiere Når er lim iølge grænseværdi-rmlen r dierentialkvtient 66a lim lim iølge en a kvadratsætningerne lim vi har rkrtet med da + er kntinuert Vi har nu undet rem til ølgende: 67a: 68 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk Når h g er lim iølge grænseværdi-rmlen r dierentialkvtient 66a lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iølge 6 h g grænseværdi-rmlen r dierentialkvtient 66a er brugt t gange Vi har nu undet rem til ølgende: 68a: h g h g

40 Stikrdsregister aledede unktin 8 atagende 9, 0, dierentiabel dierentialkvtient,, 4 dierentialkvtient på gra 6 dierentialkvtient, udledning 5 dierentialkvtients rskrit dierentialkvtients rtlkning dierentiatinsregler ekstrema 4, 7 ekstremum 4 rtlkning a dierentialkvtient unktinsværdi unktinsværdi på gra 6 gra grænseværdi,, 4 hældningskeicient 9,, 6, 7, knstant i rskrit, bestem 4 kntinuert lkale ekstrema 8, 9 lkalt ekstremum 0 lkalt maksimum 8, 9, 0 lkalt minimum 8, 9, 0 løs ligning ud ra gra 7 løsninger, antal 0 maksimum 4, 7 mindsteværdi 4, 7 minimum 4, 7 mntnirhld 0,, Nspire, 9, 0,, 4, 7, 8,, 6, 9, 0 røringspunkt,,, 4 størsteværdi 4, 5, 6 tangent, 9,,, 5, tangent, vinkel tangenthældning 0,,, 4 vinkel g tangent vksende 9, 0, væksthastighed 5, 6, 7, 8