Integralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul

Transkript

1 Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul

2 Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt integral uden hjälpemidler5 F ortolk integral6 I integrere K kvadrant 7 S stamunktion,,, stamunktion med Nspire stamunktion uden hjälpemidler stamunktion, grapunkt givet U ubestemt integral,, 5 Indholdsortegnelse Stamunktion (ubestemt integral) Hvad er en stamunktion UndersÅg om g() er en stamunktion til () GÅr rede or at g() er en stamunktion til () En unktion har mange stamunktioner 5 Symbol or stamunktion 6 Bestem stamunktion med Nspire 7 Bestem stamunktion uden hjälpemidler 8 Bestem uden hjälpemidler 9 Find en bestemt a stamunktionerne 0 Hvad er en arealunktion? Vigtig regel om arealunktioner 5 Bestemt integral Hvad er det bestemte integral 5 Udregn med Nspire 5 Udregn uden hjälpemidler 5 Areal og bestemt interal 5 Regel om bestemt integral og areal 6 6 Bevis or regel om bestemt integral og areal 6 7 Fortolk integral 6 8 Kvadrant 7 9 Areal mellem gra og -akse uden hjälpemidler 7 0 Areal mellem gra og -akse med hjälpemidler 8 Areal mellem to graer, eksempel 0 Areal mellem to graer, eksempel Areal mellem to graer, eksempel Bestem k sç arealet a M er lig et tal der er oplyst En tidligere udgave a dette häte har skitet adresse til Integralregning or B-niveau i st É 05 Karsten Juul 9/0-05 Download nyeste version a dette häte ra HÄtet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@matdk som oplyser at dette häte benyttes, og oplyser om hold, niveau, lärer og skole

3 Stamunktion (ubestemt integral) Hvad er en stamunktion? g() er en stamunktion til () hvis g() dierentieret giver () dvs hvis g( ) ( ) UndersÅg om g() er stamunktion til () UndersÅg om g( ) er en stamunktion til ( ) Besvarelse For at undersåge om g( ) er stamunktion til vil vi dierentiere g () : g( ) ( ), ( ) Da g() dierentieret ikke giver (), gälder: g( ) er ikke en stamunktion til ( ) GÅr rede or at g() er stamunktion til () Besvarelse GÅr rede or at g( ) er en stamunktion til ( ) For at gåre rede or at g( ) er stamunktion til vil vi dierentiere g () : g( ) ( ), 0 ( ) Da g() dierentieret giver (), gälder: g( ) er en stamunktion til ( ) Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul

4 En unktion har mange stamunktioner En unktion har mange stamunktioner, da en konstant dierentieret giver nul: c er stamunktion til 5 8 uanset hvilket tal vi skriver i stedet or c NÇr vi Ändrer pç c, orskyder vi graen op eller ned I koordinatsystemet har vi tegnet graerne or nogle a stamunktionerne til Regel Hvis h() er en a stamunktionerne til (), sç er unktionerne h( ) k samtlige stamunktioner til () (,5),75,75 ( 0,5) Regel Hvis h() er en stamunktion til (), sç vil stamunktionerne til () hvis gra vi kan Ç ved at rykke h()-graen op eller ned väre de unktioner 5 Symbol or stamunktion Symbolet ( ) d betyder: stamunktionerne til () og läses: det ubestemte integral a () NÇr vi inder ud a hvad ( ) d er lig, sç siger vi at vi integrerer () Eksempel: ( ) d c 6 Bestem stamunktion med Nspire PÇ skabelon-paletten välger vi integralskabelonen Nspire skriver kun Ñn a stamunktionerne: Vi mç selv tilåje c : For at inde stamunktion til skal vi eter integraltegnet angive at 0 : ( ), 0 Husk at trykke pç håjrepilen inden du taster den lodrette streg! skal stç uden or Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul

5 7 Bestem stamunktion uden hjälpemidler k har stamunktionen k när k er en konstant eks 6 har stamunktionen 6 har stamunktionen a har stamunktionen a a dvs har stamunktionerne c eks har stamunktionen MEN har IKKE stamunktionen har stamunktionen ln() i intervallet 0 har stamunktionen ln() i intervallet 0 MEN har IKKE stamunktionen ln( ) e har stamunktionen e Hvis: () har stamunktionen F() sç: k () har stamunktionen k F() eks har stamunktionen dvs Hvis: () har stamunktionen F() g() har stamunktionen G() og sç: ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) eks eks 6 e har stamunktionerne 6 e c har stamunktionerne ln( ) c i intervallet 0 Advarsel: Man kan IKKE integrere et udtryk ved at integrere hver del a udtrykket (bortset ra visse specielle tilälde ), eks e har IKKE stamunktionen e e 5e har IKKE stamunktionen har IKKE stamunktionen e 5 e 8 Bestem () d uden hjälpemidler Besvarelse Bestem 6 d 6 d 6 c 6 c c Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul

6 9 Find en bestemt a stamunktionerne (Vi kender et punkt pç stamunktionens gra) F er en stamunktion til ( ) Det er oplyst at graen or F gçr gennem punktet (, 6) Find F I nogle opgaver er denne oplysning ormuleret sçdan: F ( ) 6 Besvarelse uden hjälpemidler Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant c sç F( ) c c Da graen or F gçr gennem punktet (, 6), mç dvs ( ) ( ) c c 6 c 6 c 6 c F ( ), 6 NÇr vi indsätter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat Besvarelse med hjälpemidler 0 Hvad er en arealunktion? Den viste gra er pç en skärm NÇr vi träkker -prikken mod håjre, bliver det grç omrçde stårre A() er arealet a det grç omrçde A() kaldes arealunktionen or () PÇ billedet ser vi at A( 9) 6 og A ( ) 5 A() Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul

7 Vigtig regel om arealunktioner NÇr A() er arealunktionen or en ikke-negativ unktion (), a b sç gälder at A() er en stamunktion til () dvs Betyder at graen ligger pä eller over -aksen A( ) ( ) Hvad er det bestemte integral Det bestemte integral ra a til b a () b a ( ) d F( b) F( a) hvor F() er en stamunktion til () Det bestemte integral er et tal Det ubestemte integral er unktioner Bestemt integral er tallet Udregn b () d med Nspire a PÇ skabelon-paletten välger vi integralskabelonen Eksempel ( 6 5) d 05 udregnet med Nspire Husk at skrive dette! Udregn b a () d uden hjälpemidler NÇr vi udregner bestemte integraler uden hjälpemidler, er det praktisk at bruge symbolet F ) b a ( som betyder F( b) F( a) Fordelen er at vi kan skrive stamunktionen inden vi indsätter gränserne a og b or ( 6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 05 I den kantede parentes [ ] skal stä en stamunktion til udtrykket eter integraltegnet KontrollÅr at ( 5) 6 5 Den Çvre grénse skal séttes ind or i Çrste parentes, den nedre grénse i sidste parentes Integralregning or B-niveau i st 5 05 Karsten Juul

8 Areal og bestemt interal 5 Regel om bestemt integral og areal Regel om bestemt integral og areal: Hvis ( ) 0 or a b og M er omrçdet mellem -graen og -aksen i intervallet a b sç gälder b a ( ) d arealet a M M 6 Bevis or regel om bestemt integral og areal Bevis F() er en stamunktion til () A() er arealunktionen or (), sç A() er en stamunktion til () Da A() og F() er stamunktion til samme unktion, indes en konstant c sç (* ) A( ) F( ) c Nu Çs areal a M A(b) IÅlge deinitionen pç arealunktion A( b) A( a) Da A ( a) 0 F b) k F( a k ( ) IÅlge (*) F( b) F( a) Hermed har vi bevist reglen i ramme 5 7 Fortolk integral I en opgave er Vi har udregnet at b a ( ) d IÅlge deinitionen pç bestemt integral ( ) 0 ( ) d Vi skal give en ortolkning a dette tal Svar pç dette spårgsmçl: Da ( ) 0 or 0, gälder: ( ) d er arealet mellem -graen og -aksen i intervallet 0 sç dvs 6 7 er arealet mellem -gra og -akse i intervallet er arealet a det grç omrçde Integralregning or B-niveau i st 6 05 Karsten Juul

9 8 Kvadrant I opgaver hvor vi skal bestemme arealer, kan der stç ordet kvadrant Koordinatakserne deler planen op i ire kvadranter Figuren viser hvad de ire kvadranter hedder kvadrant kvadrant kvadrant kvadrant 9 Areal mellem gra og -akse uden hjälpemidler Figuren viser graen or unktionen ( ) og linjen med ligningen Graen or skärer -aksen i punkterne (, 0) og (, 0) Bestem arealet a det grç omrçde Besvarelse indeholder ovenstçende oplysninger samt Ålgende: Det grç omrçde er omrçdet mellem graen or og -aksen i intervallet Da ( ) 0 i dette interval, er arealet ) ( d Tallet nederst pä er omrädets venstre génse Tallet Çverst pä er omädets hçjre grénse = = ( ) ( ) = 8 8 = = 9 Arealet a det grç omrçde er I den kantede parentes [ ] skal stä en stamunktion til udtrykket eter integraltegnet KontrollÅr at ) ( Det er den Çverste grénse der skal indséttes or i den Çrste parentes Den nederste grénse skal indséttes or i den sidste parentes Integralregning or B-niveau i st 7 05 Karsten Juul

10 0 Areal mellem gra og -akse med hjälpemidler 0 En unktion er bestemt ved ( ) 8 Graen agränser i Årste kvadrant sammen med koordinatakser et omrçde M Bestem arealet a M Svar på opgave 0: GrundlÄggende metode Skal kunnes Vi ser at hçjre grénse er skéring mellem gra og -akse Deror lçser vi Svar på opgave 0: Metode hvor () deineres Skal ikke kunnes 0 ortsätter på näste side! Integralregning or B-niveau i st 8 05 Karsten Juul

11 Svar på opgave 0: Metode hvor gra bruges Skal ikke kunnes God til kontrol og illustration Integralregning or B-niveau i st 9 05 Karsten Juul

12 Areal mellem to graer, eksempel I nogle opgaver skal et areal udregnes ved at udregne to arealer og träkke det ene ra det andet Vi har tegnet graerne or unktionerne ( ) og g( ) Vi vil udregne arealet a det grç omrçde V pç venstre igur g g g Vi låser ligningen V M H og Çr, sç graernes skäringspunkt har -koordinat Det grç omrçde M pç midterste igur har arealet ( ) d 0 Det grç omrçde H pç håjre igur har arealet 0 d 0 6 udregnet med Nspire udregnet med Nspire Hvis vi jerner H ra M, Çr vi V, sç arealet a V er Integralregning or B-niveau i st 0 05 Karsten Juul

13 Areal mellem to graer, eksempel Der er givet unktionerne ( ) og g ( ) 0, Bestem arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g Besvarelse indeholder ovenstçende oplysninger samt Ålgende: For at inde -koordinater til skäringspunkter mellem graer lader vi Nspire låse ligningen 0, og Çr, 0957 eller 7, 08 Se igur nedenor til venstre areal mellem -gra og g-gra = Dvs (areal mellem -gra og -akse) (areal mellem g-gra og -akse) = 7,08,0957 ( ) d ( 0, ) d = 7,08,0957 9,97687 udregnet med Nspire Arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g er 9, 98 g g,0957 7, 08 6 Figur til ramme Figur til ramme Areal mellem to graer, eksempel Der er givet unktionerne ( ) og g ( ) 0, Bestem arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g i intervallet [ ; 6] Besvarelse indeholder ovenstçende oplysninger samt Ålgende: Se igur ovenor til håjre Dvs areal mellem -gra og g-gra i [ ; 6] = (areal ml -gra og -akse i [ ; 6]) (areal ml g-gra og -akse i [ ; 6]) = 6 ( ) d ( 0, ) d = 6,60000 udregnet med Nspire 6 Arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g er 6, 60 Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul

14 Bestem k sç arealet a M er lig et tal der er oplyst Besvarelse Figuren viser graen or ( ) og linjen med ligningen k Bestem et positivt tal k sç det grç areal er Vi skal bestemme k sç det grç areal = dvs sç k 0 ) ( d Nspire låser ligningen k ( ) d mht k or k 0 0 og Çr k,080 Besvarelse Figuren viser graen or ( ) k, 0 k Bestem k sç det grç areal er 7 Vi skal bestemme k sç det grç areal = 7 dvs sç ) ( k d Nspire låser ligningen 7 Husk at taste gangetegn mellem k og 7 ( k ) d mht k or 0 k og Çr k Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul