MATEMATISK FORMELSAMLING

Transkript

1 MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd

2 Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup

3 MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd

4 FORORD Denne formelsmling til mtemtik B-niveu er udrbejdet for t give et smlet overblik over de formler og det symbolsprog, der knytter sig til kernestoffet for dette niveu på GUX ifølge læreplnerne fr 0. Formelsmlingen vil være prktisk både for elever og lærere. Den finder nvendelse i det dglige rbejde, som et opslgsværk, og et nyttigt redskb under eksmen. Formelsmlingen hr imidlertid ingen juridisk sttus, og kernestoffet til skriftlig eksmen er ikke defineret f den. For overblikkets skyld er medtget formler for rel og rumfng f en række elementære geometriske figurer. Endvidere indeholder formelsmlingen en liste over mtemtiske stndrdsymboler. Hensigten hermed er dels t give eleverne et hurtigt overblik, dels t bidrge til t undervisere og forfttere f undervisningsmteriler kn nvende ensrtet nottion, symbolsprog og terminologi. Listen over mtemtiske stndrdsymboler rækker derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det mtemtiske område. Nogle formler optræder flere steder i formelsmlingen, hvor de hører nturligt hjemme. Dette er vlgt for t skbe smmenhæng i det enkelte fsnit og f hensyn til elevers søgning i en eksmenssitution. En række f formlerne i formelsmlingen er kun nvendelige under visse forudsætninger (f.eks. t nævneren i en brøk er forskellig fr 0). Sådnne forudsætninger er f hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figurerne er medtget som illustrtion til formlerne, og den enkelte figur viser ofte ét blndt flere mulige tilfælde. Betydningen f de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke ltid forklret, men vil dog være det i tilfælde, hvor denne betydning ikke følger umiddelbrt f skik og brug i den mtemtiske littertur. Formelsmlingen udgives f Deprtementet for uddnnelse og stilles frit til rådighed vi deprtementets undervisningsportl. Tk til Mtemtiklærerforeningen smt opgvekommissionen for deres kommentrer og bidrg til rbejdet. Redktionen er fsluttet december 05. Rsmus Andersen Fgkonsulent Jens Thostrup

5 Indholdsfortegnelse Mtemtisk formelsmling til B-niveu... Delprøven uden hjælpemidler - forventninger til eleven... 4 Procentregning... 5 Potenser... 5 Ensvinklede treknter... 6 Retvinklet treknt... 6 Vilkårlig treknt... 6 Kvdrtsætninger... 7 Proportionlitet... 7 Koordintsystem... 7 Linjer... 8 Cirkel... 9 Prbel... 9 Polynomier... 0 Logritmefunktioner... Eksponentielt voksende funktioner... Eksponentiel ftgende funktioner... 3 Potensfunktioner... 4 Differentilregning... 5 Afledet funktion... 6 Integrlregning... 7 Stmfunktion... 8 Arel... 8 Ugrupperede observtioner... 9 Grupperede observtioner... 0 Arel og omkreds, rumfng og overflde f geometriske figurer... Mtemtiske stndrdsymboler... Stikordsregister... 7 Formler, der kn forekomme i delprøven uden hjælpemidler i prøveform b, er ngivet med blå skrift. 3

6 Delprøven uden hjælpemidler - forventninger til eleven Ved prøveform b er der en delprøve uden hjælpemidler. Nedenstående er en beskrivelse f forventninger til eleven ved denne delprøve. Beskrivelsen bør eleverne gøres bekendt med. Med hensyn til forståelse skl eleverne kunne: Opstille enkle formler og ligninger ud fr en sproglig beskrivelse Aflæse på sumkurver, herunder flæse frktiler og give en fortolkning f disse Hve kendskb til grfers forløb Redegøre for konstnternes betydning i det grfiske forløb for første- og ndengrdspolynomier smt eksponentielle funktioner Fortolke konstnter i lineære og eksponentielle vækstmodeller Anvende viden om fordoblings- og hlveringskonstnt for eksponentiel vækst Anvende viden om smmenhængen mellem væksthstighed og differentilkvotient Anvende viden om smmenhængen mellem fledet funktion og monotoniforhold Fortolke værdien f fledet funktion Anvende viden om smmenhængen mellem stmfunktion, bestemt integrl og rel Med hensyn til formler, ligninger og funktionsudtryk skl eleverne kunne: Løse simple første- og ndengrdsligninger Sætte tl ind i formler Bestemme fstnd mellem to punkter Foretge beregninger i ensvinklede og retvinklede treknter Anvende og opstille ligning for cirkel Bestemme ligning for linjer og bestemme linjers skæring Isolere ukendte størrelser i simple formeludtryk Bestemme regneforskrifter for lineære og eksponentielle funktioner Differentiere polynomier, e, ln() og, herunder og Anvende følgende regneregler for differentition: Bestemme en tngentligning f g og k f Bestemme integrler f polynomier, e, og Anvende de regneregler for integrtion, som er beskrevet i kernestoffet 4

7 Procentregning Begyndelsesværdi B Slutværdi S Vækstrte r Strtkpitl K0 Rentefod pr. termin r Kpitl K efter n terminer () S B( r) () K K0 ( r) n Smlet rente R (3) R ( r) n Gennemsnitlig rente (4) r n ( r) ( r) ( r n ) Potenser n m n m Potensregneregler (5) (6) n m (7) ( ) nm n m nm (8) ( b) n n b n (9) n b b 0 (0) () () n n n n n n (3) q p p q Potensligninger Løsning til ligningen Løsning til ligningen n n (4) c (5) log( c) log() c log( ) 5

8 Ensvinklede treknter (6) (7) b c k b c b c k kb kc Sklfktor, forstørrelsesfktor k Retvinklet treknt Pythgors sætning (8) c b Cosinus (9) b cos( A) c Sinus (0) sin( A) c Tngens () tn( A) b Vilkårlig treknt Cosinusreltion () (3) Sinusreltion (4) (5) Trekntens rel T (6) c b b C b c cos( C) b cos( ) b c sin( A) sin( B) sin( C) sin( A) sin( B) sin( C) b c T b C sin( ) 6

9 Kvdrtsætninger Kvdrt på en sum (7) Kvdrt på en differens (8) To tls sum gnge smme to tls differens (9) ( ) b b b ( ) b b b ( b) ( b) b Proportionlitet og y er proportionle y (30) y k k Proportionlitetsfktor k og y er omvendt proportionle (3) yk k y Koordintsystem Afstnd AB mellem to punkter A og B Midtpunkt M f linjestykke AB (33) (3) AB ( ) ( y y ), y M y 7

10 Linjer Ligning for linjen gennem punktet (0, b) med hældningskoefficient Hældningskoefficient for linjen gennem A og B (34) y b (35) y y (36) tn() v Ligning for linjen gennem punktet P0( 0, y 0) med hældningskoefficient (37) y( 0) y0 Ortogonle linjer (38) l m c Afstnd fr punktet P til linjen l med ligningen byc 0 Afstnd fr punktet P til linjen l med ligningen yb (39) (40) byc dist( Pl,) b by dist( Pl,) 8

11 Cirkel Ligning for cirklen med centrum C(, b ) og rdius r (4) ( ) ( yb) r Prbel Ligning for prbel (4) Diskriminnt d (43) y bc d b 4 c b d Toppunkt T (44) T, 4 b d Nulpunkter (45), b d 9

12 Polynomier Førstegrdspolynomium, lineær funktion f (46) f ( ) b y y Hældningskoefficient, stigningstl (47) Andengrdspolynomium p med nulpunkter (rødder) og (48) Diskriminnt d (49) ) p( bc ( ) ( ) d b c b d Nulpunkter (rødder) i p (50) 4, b d 0

13 Logritmefunktioner Grfen for den nturlige logritmefunktion (5) yln( ) e y (5) ln( ) når 0 (53) ln( ) når Logritmeregneregler (54) ln(e) (55) ln( b) ln( ) ln( b) (56) ln ln( ) ln( b) b r (57) ln( ) rln( ) Grfen for logritmefunktionen med grundtl 0 (58) y log( ) 0 y (59) log( ) når 0 (60) log( ) når Logritmeregneregler (6) log(0) (6) log( b) log( ) log( b) (63) log log( ) log( b) b r (64) log( ) rlog( )

14 Eksponentielt voksende funktioner Grf for en eksponentielt voksende funktion f Fremskrivningsfktor > Vækstrte r > 0 (65) f( ) b f( ) b( r) k f( ) be, hvor k ln( ) (66) f( ) når (67) f( ) 0 når Fremskrivningsfktor ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y) (68) y y y y Grf for f( ) b i et enkeltlogritmisk koordintsystem Fordoblingskonstnt T (69) T log ln ln log ln k

15 Eksponentiel ftgende funktioner Grf for en eksponentielt ftgende funktion f Fremskrivningsfktor 0 < < Vækstrte r < 0 (70) f( ) b f( ) b( r) k f( ) be, hvor k ln( ) (7) f( ) 0 når (7) f ( ) når Fremskrivningsfktor ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y) (73) y y y y Grf for f( ) b i et enkeltlogritmisk koordintsystem Hlveringskonstnt T (74) T log ln ln log( ) ln( ) k 3

16 Potensfunktioner Potensfunktion (75) f( ) b Grfer for f( ) Grf for f( ) b i et dobbeltlogritmisk koordintsystem Tllet ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y) (76) y y log ln y y log ln Reltiv tilvækst i -værdi r Reltiv tilvækst i y-værdi ry (77) r ( r ) y 4

17 Differentilregning Differentilkvotienten f ( 0) for funktionen f i tllet 0 (78) f( ) f( 0) f( 0 ) lim 0 f( 0 h) f( 0) lim h0 h 0 Ligning for tngenten t til grfen for f i punktet P( 0, f( 0)) (79) y f( ) ( ) f( ) ( 0) y0, hvor f( 0) og y 0 f ( 0 ) Regneregler for differentition (80) ( f ( ) g( )) f ) g( ) (8) ( f ( ) g( )) f ) g( ) (8) ( k f ( )) k f ( ) (83) ( f ( ) g( )) f ) g( ) f ( ) g( ) 5

18 Afledet funktion Funktion Afledet funktion dy y f ( ) y f ( ) d Logritmefunktion (84) ln( ) Eksponentilfunktioner (85) e e (86) e k k e k (87) ln( ) Potensfunktioner (88) (89) (90) 6

19 Integrlregning Ubestemt integrl (9) f( ) d F( ) c, hvor F ( ) er en stmfunktion til f( ) Regneregler for ubestemte integrler (9) ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d (93) ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d (94) k f ( ) d k f ( ) d b Bestemt integrl (95) b f() d F () Fb () F (), hvor F ( ) er en stmfunktion til f( ) Regneregler for bestemte integrler b b b (96) ( f () g()) d f () d g() d b b b (97) ( f () g ()) d fd () gd () b (98) k f () d k f () d Indskudsreglen (99) f() d f() d f() d b c b c b 7

20 Stmfunktion Funktion Stmfunktion f ( ) f () d Eksponentilfunktioner (00) e e (0) e k (0) e k k ln( ) Potensfunktioner (03) (04) (05) ln( ) Arel Arel A f det mrkerede område (06) A () b f d Arel A f det mrkerede område (07) A ( f () g()) d b 8

21 Ugrupperede observtioner Pindedigrm (stolpedigrm) (66) Højden f en pind svrer til frekvens (eller hyppighed) Trppedigrm (08) Q : nedre kvrtil, 5%-frktil m : medin, 50%-frktil Q : øvre kvrtil, 75%-frktil 3 Middeltl for observtionssættet,,..., n (09) n... n Middeltl for observtionsværdierne,,..., n med frekvenser f, f,..., fn f f f (0) n n 9

22 Grupperede observtioner Histogrm () Arelet f en blok svrer til intervlfrekvens (eller intervlhyppighed) Histogrm med ens intervlbredder () Højden f en blok svrer til intervlfrekvens (eller intervlhyppighed) Sumkurve (3) Q : nedre kvrtil, 5%-frktil m : medin, 50%-frktil Q : øvre kvrtil, 75%-frktil 3 Middeltl på bggrund f intervlmidtpunkter m, m,, m3 og intervlfrekvenser f, f,, f3 m f m f m f (4) n n 0

23 Arel og omkreds, rumfng og overflde f geometriske figurer Treknt Prllelogrm Trpez Cirkel Kugle Cylinder Kegle h højde g grundlinje A rel A hg h højde g grundlinje A rel Ahg h højde, prllelle sider b A rel A h( b) r rdius A rel Ar O omkreds O r r rdius O overflde O4r V rumfng 4 V 3 r 3 h højde r grundflderdius O krum overflde O rh V rumfng V r h h højde s sidelinje r grundflderdius O krum overflde O rs V rumfng V 3 r h

24 Mtemtiske stndrdsymboler Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v. {.,.,.,} mængde på listeform { 5, 0,3,0}, {,4,6}, {,,0,, } N, mængden f nturlige tl N {,,3, } Z, mængden f hele tl Z {,,,0,,, } Q, mængden f rtionle tl tl, der kn skrives som brøk p q, hvor p Z, q N R, mængden f reelle tl tilhører / er element i N, dvs. tllet er et nturligt tl b ; lukket intervl b ; hlvåbent intervl b ; hlvåbent intervl b ; åbent intervl ;3 svrer til 3 ;3 svrer til 3 ;3 svrer til 3 ;3 svrer til 3 < er mindre end 3 < 7 > er større end 5 > 4, er mindre end eller lig med 3 7, 3 3, er større end eller lig med 5 4, 4 4 og i betydningen både og (konjunktion) eller i betydningen og/eller (disjunktion) medfører, hvis så (impliktion) ensbetydende, hvis og kun hvis (biimpliktion) y

25 Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v. f ( ) Dm( f ) Vm( f ) funktionsværdi f ved funktionen f definitionsmængden for f værdimængden for f f ( ), så er f (4) 9. log logritmefunktionen med grundtl 0 ln den nturlige logritmefunktion ln e den nturlige eksponentilfunktion eksponentilfunktion med grundtl, > 0 potensfunktion ylog 0 y y e e y betegnes også ep() b eksponentilfunktion eller en eksponentiel udvikling kldes undertiden for en b potensfunktion eller en potensudvikling kldes undertiden for en numerisk (bsolut) værdi f 3 3, 7 7 betegnes også bs() sin( ) sinus cos( ) tn( ) cosinus tngens sin( ) tn( ) cos( ) sin ( y) omvendt funktion til sinus sin( ) y sin ( y) sin ( y) betegnes også rcsin( y) cos ( y) omvendt funktion til cosinus cos( ) y cos ( y) cos ( y) betegnes også rccos( y) tn ( y) omvendt funktion til tngens tn( ) y tn ( y) tn ( y) betegnes også rctn( y) 3

26 Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v. lim f( ) 0 grænseværdi for f ( ) når går mod 0 8 lim 3 lim f( ) f( ) når 0 f( ) når grænseværdi for f() når går mod f ( ) går mod når går mod 0 f ( ) går mod når går mod lim 0 e 3 når 8 0 når -tilvækst 0 y, f funktionstilvækst for y f( ) y f, differenskvotient for y f( ) f( 0) differentilkvotient for y f( ) i 0 y yy f f( ) f( ) 0 y f f( ) f( 0) f 0 f( ) f( 0) ) lim 0 f lim f fledet funktion f y f ( ) betegnes f ( ), y og dy d 0 0 y lim b f ( ) d f ( ) d stmfunktion (ubestemt integrl) til f ( ) bestemt integrl fr til b f f () 4

27 Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v. AB AB AB AB linjestykke AB længde f linjestykket AB cirkelbue AB længde f cirkelbuen AB er prllel med er vinkelret på l m læses også l og m er ortogonle A vinkel A A 0 eller A 0 ABD vinkel B i treknt ABD retvinklet treknt midtnorml n for linjestykket AB 5

28 Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v. h b højde fr B på siden b eller dens forlængelse mb medin fr B på siden b vb vinkelhlveringslinje for vinkel B treknt ABC s omskrevne cirkel treknt ABC s indskrevne cirkel 6

29 Stikordsregister A fledet funktion 6, 4 G gennemsnitlig rente 5 fstnd fr punkt til linje 8 grupperede observtioner 0 fstnd mellem to punkter 7 grænseværdi 4 ndengrdspolynomium 0 rccosinus 3 H hlveringskonstnt 3 rcsinus 3 histogrm 0 rctngens 3 hypotenuse 5 rel hældningskoefficient 8, 0 - bestemt ved grfer 8 højde 6 - f cirkel - f prllelogrm 0, 5, I impliktion - f treknt 7, 0, 5, indskreven cirkel 6 indskudsreglen 7 B bestemt integrl 7, 4 integrlregning 7 biimpliktion intervl intervlfrekvens 0 C cirkel 9, invers funktion 3 cosinus 6,3 cosinusreltion 6 K kpitl 5 cylinder ktete 5 kegle D definitionsmængde koordintsystem 7 differenskvotient 4 kvdrtsætninger 7 differentilkvotient 4 kvrtiler 9, 0 differentilregning 5 diskriminnt 9, 0 L lineær funktion 0 linjer 8 E eksponentilfunktioner linjestykke 5,3, 6, 8, 3 logritmefunktioner, 6, 3 ensvinklede treknter 6 M medin 9, 0, 6 F fordoblingskonstnt middeltl 9, 0 frekvens 9,0 midtnorml 5 fremskrivningsfktor,3 midtpunkt f linjestykke 7 førstegrdspolynomium 0 mængde 7

30 N nedre kvrtil 30, 3 S smlet rente 5 nulpunkt 9, 0 sinus 6, 3 numerisk værdi 3 sinusreltion 6 stmfunktion 8 O omskreven cirkel 6 stigningstl 0 omvendt funktion 3 stolpedigrm 9 omvendt proportionlitet 7 sumkurve 0 ortogonle 8 symbolliste -6 overflde f - cylinder, - kegle, - kugle T tngens 6, 3 tngent 9, 5 P prbel 9 toppunkt 9 prllelogrm trpez pindedigrm 9 trppedigrm 9 polynomier 0 treknt 6, potensfunktion 4, 6, 8, 3 potensregneregler 5 U ubestemt integrl 7, 4 potensligninger 5 ugrupperede observtioner 9 procentregning 5 proportionlitet 7 V vilkårlig treknt 6 Pythgors sætning 7 vinkelhlveringslinje 6 vinkelret 5 R regneregler for vinkel 5 - differentition 5 vækstrte 5,, 3 - integrtion 7 værdimængde retvinklet treknt 6, 5 rentefod 5 Ø øvre kvrtil 9, 0 rod, rødder 0 rumfng f - cylinder 3 - kegle 3 - kugle 3 8

31

32