Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Transkript

1 Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred?

2

3 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler 8.3 Ensvinklede treknter 0.4 Retvinklede treknter 7.5 Sinus, osinus og tngens 23.6 Sinus- og osinusreltionerne 33 Opgver 44 Fitliste 50 Kpiteloversigt 52 nvendte symoler Opgver er mærket med symolerne: L: let opgve eller øveopgve. Der er et fit i fitlisten M: mellemsvær opgve S: svær opgve Sætninger, definitioner og formler er mærket med FS: LS: sætningen findes i formelsmlinge lær selv formlen udend - den findes (underligt nok) ikke i formelsmlingen, og du får sikkert rug for den til eksmen

4 2.0 Indledning I dette fsnit vil du hovedsgeligt lære om trigonometri eller trekntsmålinger. I l sin enkelhed liver du præsenteret for en række metoder til t eregne vinkler og sidelængder i en treknt. Vores indgngsvinkel vil være den klssiske geometri, hvilket vil sige, t vi lver lle eregninger direkte på vores figurer uden t indlægge et koordintsystem. Dette er i modsætning til den nlytiske geometri, som introdueres i næste kpitel. Hvorfor lære det? En ven f forftterne stødte på følgende prolem: Hn skulle lve en fjernsynshylde: Hylde Nu vr træet meget dyrt, så hn ønskede t vide med 00 % sikkerhed, t hylden pssede, efter t hn hvde svet den til. Hvd rugte hn som hjælp? Jo, en stkkels mtemtiklærer, som måtte regne det hele ud for hm vi telefonen! For t forftterne skl slippe for denne sitution fremover, skl I lære t lve eregningerne selv! Et lille græsk-kursus Mnge ord indenfor mtemtikken kommer oprindeligt fr græsk. Derfor er der en god idé t kunne lidt græsk: meter etyder fktisk måler på græsk. Tænk re på lle de instrumenter, du ruger i fysik - et mperemeter måler strøm, et voltmeter måler spænding, et fotometer måler lysstryke osv. Selv længdeenheden hedder en meter. metri etyder måling - og det er jo også næsten det smme ord som meter. geo etyder jord, (geogrfi, geologi), så etydningen f ordet geometri er fktisk jordmåling, og det vr fktisk også det, mn først rugte geometrien til i oldtiden. En trigon er en treknt, så trigonometri etyder trekntsmåling. 2

5 O v 2. Vinkler En vinkel v ngives ved dens toppunkt O smt venstre og højre en. Dens størrelse ngives ved et grdtl: 0, 20, 9. Den rette vinkel er på 90 og tegnes normlt som på figuren til venstre. Den lille firknt etyder ltså, t vinklen er en ret vinkel. Ud fr den rette vinkel kn lle vinkler fstlægges, f.eks. er en vinkel på 9 en tiendedel f en vinkel på 90. Idet en ret linie kn opfttes som smmenst f to rette vinkler, og en irkel som smmenst f 4 rette vinkler, så får mn grdtllet for en ret linie og for en irkel til henholdsvis 80 og 360. Indenfor geometrien nvender mn en lidt speiel nottion for vinkler og liniestykker: Punkter etegnes med store ogstver:,,,... Liniestykker etegnes med to ogstver. F.eks. er liniestykket, som strter i punktet og ender i punktet. Længden f liniestykket etegnes som. Linier etegnes med små ogstver: l, m, n,... Vinkler kn etegnes på to måder - enten som et ogstv:,,..., eller som et vinkelsymol efterfulgt f tre ogstver:. Den sidste nottion virker ltid, mens den første kun kn ruges, hvis der ikke er tvivl. etyder, t vi etrgter den vinkel, hvis toppunkt er i punktet, og hvis en er liniestykkerne og. Mn kn ltså læse som: 'Vi strter i punktet, går hen til toppunktet og videre til punktet '. 3

6 Nu er der sikkert nogle, som sidder og undrer sig over, hvd forskellen mellem et liniestykke og en linie er. Forskellen er, t en linie fortsætter uendeligt lngt ud til egge sider, mens liniestykket kun er den del f linien, som efinder sig mellem de to endepunkter. Eksempel l Her er en typisk geometrisk tegning, omend den måske er lidt indviklet. E D F På de følgende tegninger er nogle f elementerne i denne tegning fremhævet. l linien l E D F l liniestykket EF, som ltså ikke er det smme som linie l E D F l vinklen E D F 4

7 l E vinklen D, som mn også kunne klde D - men det er kortere t skrive D, og der er jo ingen tvivl mulig. D F Vinkel mellem to linier v w w v Når to linier krydser hinnden, så dnnes der 4 vinkler. På figuren til venstre hr vi kldt disse vinkler for v, w, v og w. Vinklerne v og v kldes for modstående vinkler. w og w er også modstående vinkler. Sætning Modstående vinkler ved to skærende linier er lige store: v = v og w w evis: D vinkelsummen på en linie er 80 får mn v + w = 80 U V v v v + w = 80 W = og v + w = 80 U V w w v + w = 80 W = = 5

8 v w w v v w w v Når to prllelle linier skærer f en tredie linie, så får mn situtionen som på tegningen. Som mn ser, er lle vinklerne mærket v lige store, og lle vinklerne w er også lige store. En mtemtiker ville dog ikke nøjes med t se på tegningen, men kræve et evis for, t vinklerne er ens. Vinkelsummer Vi fslutter med t evise et pr sætninger, som du nok kender: evis: Sætning 2 (LS) Vinkelsummen i en treknt er 80 etrgt treknten, hvor lle siderne er levet forlænget til linier. l m Prllelforskyd linien l til linien m, som skl gå gennem punktet. l m l Ved t ruge emærkningen om prllelle linier, der skæres f en tredie linie, kn vi nu se, t vinklerne mellem den nye linie m og de forlængede trekntsider er og. Vi kn nu se, t de tre vinkler, og tilsmmen udgør en ret linie. D grdtllet 6

9 for en ret linie netop er 80, så må vinkelsummen i treknten ltså være 80. Sætning 3 (LS) Vinkelsummen i en firknt er på 360. evis: En vilkårlig firknt kn ltid opdeles i to treknter. Vinkelsummen i en firknt er derfor lig med vinkelsummen i to treknter, ltså 360. Opgver.L evis, t vinkelsummen i en femknt er L Kn du finde et generelt udtryk for vinkelsummen i en n-knt? 3.L Ud over det sædvnlige vinkelmål, hvor en ret vinkel er på 90, så nvender mn to ndre vinkelmål, nygrder, hvor en ret vinkel er på 00 g, og rdiner, hvor en ret vinkel er på π rdiner. (Nygrder ruges sjældent f 2 mtemtikere, men meget f f.eks. lndmålere. Rdiner ruges meget f mtemtikere, og du skl senere komme til t høre mere om rdiner). ) Hvor mnge nygrder er en ret linie og en irkel? ) Hvor mnge rdiner er en ret linie og en irkel? ) Kn du finde en formel, så mn kn 'oversætte' et grdtl til nygrder og til rdiner? 7

10 2.2 Treknter og irkler Her er en opsummering f forskellige egreer og sætninger i forindelse med treknter og irkler: rdius tngent dimeter rdius En dimeter forinder to punkter på irkelperiferien og går gennem entrum. En rdius går fr entrum til periferien. En tngent rører kun irkelperiferien i ét punkt. Den står ltid vinkelret på rdius'en. En højde i en treknt går fr en vinkelspids vinkelret ned på den modstående side. Højden kn dog godt flde udenfor treknten. v v En vinkelhlveringslinie deler en vinkel i to lige store hlvdele. En midtnorml deler en side i to lige store stykker. Den står vinkelret på siden. 8

11 En medin går fr midtstykket f en side til den modstående vinkelspids. v v I en ligeenet treknt er der to lige lnge sider,, og to lige store vinkler, v. s s I en ligesidet treknt er lle tre sider lige lnge. lle tre vinkler er også lige store - de hr nemlig lle grdtllet 60. s g h relet f en treknt er givet ved T hg = 2 hvor h er længden f en højde, og g længden f den tilsvrende grundlinie. (emærk, t vi ruger symolet T for trekntens rel. Det er fordi vi normlt vil ruge som etegnelsen for en f trekntens spidser). 9

12 2.3 Ensvinklede treknter Forestil dig, t du under en vndretur i Norge pludselig står over for en elv, som du ikke tør vde over, fordi strømmen er for stærk, og elven er for dy. I stedet må du ide i det sure æle og lede efter en ro! I en sådn sitution kn mn ikke lde være med t tænke på, hvor lngt der mon er til den nden side? Dette prolem kn fktisk løses kun fr den ene flodred, lot med 4 kæppe og så lige sætningen om ensvinklede treknter! Definition 4 (LS) To treknter og kldes ensvinklede, hvis treknternes vinkler prvist er ens, dvs. =, = og =. Her hr vi tegnet to ensvinklede treknter - emærk t vi hr nvendt stndrdnottionen for treknter, som går ud på t etegne den modstående side til en vinkel med det smme ogstv som vinklen. For t undgå misforståelser ruger mn dog det tilsvrende lille ogstv. Ser mn på tegningen, så kunne det se ud som om t den store treknt re er en forstørret udgve f den lille. Sådn forholder det sig fktisk også - mn hr nemlig følgende sætning (som vi for en enkelt gngs skyld ikke eviser): Sætning 5 (LS) Ensvinklede treknter er proportionle, dvs. der findes et tl k, således t følgende ligninger gælder: = k, = k og = k. En nden måde t sige dette på, er t forholdet mellem ensliggende sider er ens. Dette forhold k kldes forstørrelses/formindskelseskonstnten.. 0

13 En god måde t tænke på forstørrelses-/formindskelseskonstnten på er som et målestoksforhold. Tllet k kn nok ændre på trekntens størrelse, f.eks. ved t forstørre lle længder med 00 (dvs. k = 00); men k kn ikke ændre på trekntens form. En nden måde t sige dette på, er t forholdet mellem to sider i en treknt er det smme for lle ensvinklede treknter. Vi kn nemlig lve følgende omskrivninger: = = og = = osv. Regnet opgve Opgve: Følgende to treknter er ensvinklede. estem længderne f de ukendte sider. =2 =5 =7 =5 Løsning: Treknterne er ensvinklede, så de er også proportionle, dvs. = = Indsætter vi de kendte størrelser, så fås 7 5 = = 2 5 Ved en omrokering f leddene fås ltså = = = 7, 5 2 og 2 = = 7 5 0, 429 7

14 Eksempel Vi kn nu fsløre, hvordn du kn finde redden f den norske elv: T D Find dig et kendetegn på den nden side f floden - f.eks. et træ T. Stil dig lige overfor træet og stik en kæp i jorden i punktet. Gå et stykke hen d elvredden og stik endnu en kæp i jorden. Gå endnu et stykke hen d jorden til punktet, og stik den tredie kæp i jorden. Gå nu væk fr elvredden vinkelret på denne - på et tidspunkt vil du kunne se træet T og den nden kæp være på linie med dig selv. Dette er punktet D, hvor du også stikker en kæp ned. Mål fstndene, og D. Kig lidt på tegningen og overevis dig selv om, t treknterne T og D fktisk er ensvinklede. Men så er de også proportionle, og derfor gælder T D = T = D Så på denne måde kn du ltså finde redden T f elven. På den 3. Norgesekspedition i 904 nvendte den kendte polrforsker J. Normn Iversen denne metode til t måle redden f den hidtil ukendte Ulveelv. Hn rugte dog et elsdyrskrnie i stedet for et træ. Hn målte: = 70m = 2, 3m D = 6, 4 m. Ulveelven er ltså D K = = 6, 4m 70m = 94, 8m red. 2,3m Vi skl nu kigge lidt på kongruente treknter: 2

15 Definition 6 To treknter, som hr lle sider og vinkler prvist lige store, kldes kongruente. Dette er ltså mtemtikerens måde t sige på, t to treknter er ens. I mnge situtioner er det rrt t vide, om to treknter er kongruente uden nødvendigvis t skulle smmenligne lle pr f sider og vinkler - måske kender mn dem ikke lle smmen. Sætningerne nedenunder er såkldte entydighedssætninger. De siger lle smmen, t givet visse egensker hos en treknt, så findes der kun én treknt, som fktisk hr disse egensker. Og det er jo det smme som t sige, t hvis mn hr to treknter med disse egensker, så er de kongruente. Sætning 7 (Kongruenssætningerne) To treknter er kongruente, hvis de hr ) En vinkel og de to hosliggende sider prvis lige store, ) En side og de to hosliggende vinkler prvis lige store, ) lle tre sider prvis lige store, ) En side, en hosliggende og en modstående vinkel prvis lige store. evis: lle fire eviser går ud på t se, t der kun er én måde t konstruere en treknt med de givne egensker på. Mn tler derfor om et konstruktionsevis! ) Tegn vinklen og de to hosliggende sider. Konsttér, t der er én og kun én måde t indtegne den sidste side på, således t der dnnes en treknt. ) Tegn liniestykket og de to vinkler. Som det ses f figuren, vil de to vinklers frie en ved forlængelse skære hinnden ét og kun ét sted. 3

16 ) Tegn det ene liniestykke, og tegn en irkel i hver ende f liniestykket. Den ene irkels rdius skl være lig længden f side nummer 2, og den nden irkels rdius lig længden f side nummer 3. Dér, hvor irklerne skærer hinnden, ligger trekntens tredie hjørnespids. ) Dette evis er lidt snyd... Mn skynder sig t eregne den sidste vinkel i treknten, hvilket jo er let nok, idet vinkelsummen er 80. Og efter dette opdger mn, t mn er tilge i tilfælde ), hvor det jo vr let nok t tegne treknten. Indenfor den klssiske geometri tler mn om de 5½ trekntstilfælde (det ½ tilfælde er vist lidt f en vittighed). Et trekntstilfælde er en sitution, hvor mn skl konstruere en treknt ud fr kendsk til 3 f trekntens stykker. Et stykke i en treknt er enten en vinkel eller en side. I 4 f trekntstilfældene - nemlig dem i sætning 6 - kn mn netop konstruere én treknt med de givne stykker. I det 5. trekntstilfælde skl mn konstruere en treknt ud fr en vinkel, en hosliggende og en modstående side. Det viser sig, t der liver to muligheder: 4

17 Mn strter med t tegne vinklen og den hosliggende side. Fr den nden ende f den modstående side kn mn normlt tegne to liniestykker, som hr den krævede længde - på figuren er dette de to stiplede liniestykker. (Nturligvis kn mn være heldig, således t der kun kn tegnes et stiplet liniestykke. Og nturligvis kn mn være uheldig, således fstnden mellem den modstående og den hosliggende side er større end den tredie side, således t der slet ikke kn konstrueres en treknt.) Denne sitution vil optræde igen om nogle sider. Der vil vi klde den sinusfælden! Det sidste (og sjette) trekntstilfælde er egentligt slet ikke noget tilfælde. Her drejer det sig om t kunne konstruere en treknt ud fr kendsk til de tre vinkler i treknten. Som vi ved fr sætning 4, så er lle ensvinklede treknter proportionle, til dette 6. trekntstilfælde er der fktisk uendeligt mnge løsninger - nemlig lle mulige små og store udgver f en treknt med de tre opgivne vinkler. 5

18 Opgver.L Konstruér treknten med de givne mål. Vinkler fsættes med en vinkelmåler: ) = 0, = 5, = 2 ) = 40, = 5, = 0 ) = 25, = 35, = 8 d) = 50, = 70, = 6 e) = 30, = 0, = 2 (2 muligheder) 2.L Nedenfor er nogle f siderne i to pr f ensvinklede treknter ngivet. estem de ukendte sider: ) =5 =8 =5 ) =4 =3,2 =2,7 =8,8 =4,6 3.L Nedenfor er der tegnet to pr ensvinklede treknter. estem længderne f siderne,, og d. 3 2 d

19 2.4 Retvinklede treknter En treknt kldes retvinklet, hvis den hr en vinkel på 90. I en retvinklet treknt kldes den lnge side for hypotenusen, og de to ndre sider for kteterne. Pythgors vr en græsk mtemtiker og filosof, der levede omkring 530 fvt. i Grækenlnd og Syditlien, som det tidspunkt vr koloniseret f grækerne. Nedenstående sætning 8 er opkldt efter Pythgors; men det er helt sikkert ikke hm, der hr fundet på den - åde ægypterne, kineserne og ylonerne (i det nuværende Irk) hr kendt og nvendt denne sætning mere end tusind år før Pythgors. Måske er Pythgors den første, som hr evist sætningen. Sætning 8 (Pythgors) (FS) I en retvinklet treknt er summen f kvdrterne på kteterne lig kvdrtet på hypotenusen. + = evis: etrgt følgende figur: Figuren er konstrueret ved t tge 4 kopier f den retvinklede treknt (med siderne, og ). Som det ses, får mn to kvdrter, et stort med sidelængden + og et lille med sidelængden. Det er ikke helt indlysende, t rhomen i midten er et kvdrt; men de fire vinkler er rette. 7

20 Dette kn ses ved t oservere, t sidevinklen i rhomen er lig 80 minus de to vinkler i det retvinklede treknt - og dette giver jo 90. Strtegien i eviset er t udregne relet f det store kvdrt på to forskellige måder. relet må jo være det smme, unset hvilken metode vi nvender.. måde: relet f et kvdrt med sidelængden + er jo ( + ) måde: Det store kvdrt estår f 4 kopier f den retvinklede firknt og kvdrtet med sidelængde. relet f en treknt er, idet grundlinien er og højden. relet f det lille 2 kvdrt er 2. relet f det store kvdrt er derfor = Men de to reler må jo være ens: 2 2 ( + ) = = =. Regnede opgver Opgve: Løsning: En retvinklet treknt hr ktete-længderne 3 og 4. estem længden f hypotenusen. Vi nvender etegnelserne på figuren.. = = = = = 25 = 5 8

21 =4 =3 9

22 Opgve: En retvinklet treknt hr en ktete med længden 3 og en hypotenuse med længden 7. estem længden f den nden ktete. Løsning: =7 =3 + = = 2 2 = 2 2 = 7 3 = 49 9 = 40 Vi skl nu til t evise den omvendte sætning f Pythgors' sætning. Hvd menes der egenligt med dette? Ld os tge ud på lndet og esøge fårevler K. Hnsen, som or tæt ved sin fødey Kølvrå i Midtjyllnd. Efter mnge års intensive mtemtik-studier er fårevler Hnsen levet i stnd til t evise sætningen: lle Hnsens får er hvide. En dg er fårevler Hnsen ude på engen. Uheldigvis ter hn sine riller (hn er nærsynet), så det eneste, hn kn se, er kltter f forskellig størrelse og frve. Pludselig ser hr en hvid klt komme løene hen over engen. Fårevler Hnsen kster sig over, og fnger, denne hvide klt. Kn fårevler Hnsen være sikker på, t det indfngne dyr er et får? Nej - ovenstående sætning kn ikke ruges her! Fårevler Hnsen mngler nemlig den omvendte sætning: lle de hvide dyr, Hnsen ejer, er får. Hvis Hnsen ikke ved, t denne omvendte sætning gælder, så kunne det hvide, indfngne dyr fktisk være en hvid hyrdehund, eller en hvid ged, eller noget helt tredie. Tilge til mtemtikøgerne, hr. fårevler Hnsen! En tilsvrende sitution hr vi med Pythgors' sætning. Her kigger vi også på treknter, som måske/måske ikke er retvinklede, og som måske/måske ikke opfylder ligningen + =. 20

23 Pythgors' sætning siger, t hvis en treknt er retvinklet, så opfylder den ligningen + =. Omvendt Pythgors siger, t hvis en treknt opfylder ligningen + =, så er den retvinklet. Mn kn også vise forskellen ved rug f medføre-pile: Pythgors: Treknten er retvinklet + = 2 2 Omvendt Pythgors: Treknten er retvinklet + = 2. Endelig kn mn kominere de to sætninger til Treknten er retvinklet + = Ensetydende-pilen kn nemlig opfttes som en smmensmeltning f de to medføre-pile og. Sætning 9 (Omvendt Pythgors) (FS) En treknt, hvori summen f kvdrterne på to f sidelængderne er lig kvdrtet på den tredie sidelængde, er en retvinklet treknt. evis: Vi deler eviset op i to tilfælde, lt efter om trekntens højde flder udenfor eller indenfor treknten: h x Vi viser kun sætningen for den venstre trekntstype. Den nden går ligeså! Vi hr ltså en treknt, som opfylder ligningen + =. Vi nvender Pythgors på de to retvinklede treknter på figuren nedenfor: 2

24 h h x = ( + x) + h = x + h h = ( + x) h = Vi hr ltså h = ( + x) og h = x 2 ( + x) = x 2 2 ( + x + 2x) = x 2 2 x 2x = x = 2x Men vi hr jo ntget, t + =, så venstresiden f ligningen er 0. Ergo må 0 = 2x hvilket kun kn ske, hvis enten eller x er 0. Men er en side i en treknt og er derfor ikke 0. Derfor må x være lig 0, og treknten er derfor retvinklet. 22

25 Opgver.L Nedenfor er ngivet nogle f stykkerne i nogle treknter. Hvilke er retvinklede? (dvrsel: Det er ikke sikkert, t er ret, eller t er hypotenusen). ) = 8, = 6, = 0 ) = 2, = 4, = 20 ) = 9, = 3, = 32 d) = 3, = 6, = 3 e) = 4, = 4, = 45 f) = 3, = 2, = 5 g) = 90, = 6, = 2 h) = 30, = 60, = 2 2.M evis sætning 9 (omvendt Pythgors) i det tilfælde, hvor trekntens højde flder indenfor treknten. 3.L I nedenstående tel er ngivet længderne f de to kteter ( og ) og længden f hypotenusen (), i en retvinklet treknt. Desværre er én f de tre størrelser ikke opgivet. Din opgve er t eregne den mnglende størrelse: ,7 7,2 9, 23,4 8,3 9,2 9,23, ,6 3,2 0,03 0,07 4.L En gl vidensksmnd påstår t hve opdget en retvinklet treknt med en hypotenuse med længden 22 m. Den ene ktete er 34 m lng. Hr den gle vidensksmnd ret? 23

26 2.5 Sinus, osinus og tngens Vi kommer nu til det entrle indenfor trigonometrien - definitionen f de trigonometriske funktioner: sinus, osinus og tngens. etrgt følgende retvinklede og ensvinklede treknter: lle treknterne er ensvinklede, så forholdet mellem to sider i treknterne er ltid ens ifølge sætning 4: = = = = = = = = = Forholdet mellem siderne i en retvinklet treknt er åenrt ufhængigt f, om treknten er forstørret op eller ej. Fktisk fhænger disse forhold kun f vinklerne i treknten. De vi skl ruge disse forhold mellem siderne i en retvinklet treknt igen og igen, så døer vi disse på følgende måde: Definition 0 En stndrdtreknt er en retvinklet treknt med hypotenusen. 23

27 Definition I en stndrdtreknt med vinklen kldes siderne følgende: os( ) = længden f den hosliggende ktete sin( ) = længden f den modstående ktete tn( ) længden f den modstående ktete = = længden f den hosliggende ktete sin( ) os( ) En stndrdtreknt hr således ltid udseendet som til venstre sin( ) Iøvrigt: sin er en forkortelse f sinus. os er en forkortelse f osinus. os( ) tn er en forkortelse f tngens. Sætning 2 (FS) I en retvinklet treknt gælder følgende: os( ) = sin( ) = tn( ) = evis: 24

28 Vi smmenligner treknten med en stndrdtreknt med vinklen : sin( ) os( ) Idet de to treknter er ensvinklede, så må forholdet mellem tilsvrende sider være ens: hosliggende ktete hypotenuse modstående ktete os( ) = = sin( ) = = sin( ) hypotenuse modstående ktete hosliggende ktete = os( ) = Det smrte ved dette er, t lommeregneren hr indyggede sinus- osinus- og tngens-teller. Mn kn således styre smtlige retvinklede treknter kun ved rug f sin lommeregner! 25

29 Eksempel En retvinklet treknt med = 40 = 4 De ukendte stykker kn nu eregnes: E = 90 = = 50 Ved kteterne skl mn hve sving i sin og os: os( ) = sin( ) =.. = os( ) = sin( ) = 4 os( 40 ) 3, 064 = 4 sin ( 40 ) 2, 57 På din lommeregner skl du indtste følgende: TI-30X (og de fleste ndre): : 4 x 40 os = : 4 x 40 sin = TI-68 : 4 x os 40 = : 4 x sin 40 = I egge tilfælde får mn et fit med temmeligt mnge ifre. Som ltid er reglen: Skl du ruge resulttet senere (i ndre eregninger), så rug lle ifre - f.eks. ved t gemme resulttet i en hukommelse på lommeregneren. Men er det slutresulttet, så ps på ntllet f ifre i fittet. Her er der tle om længder, og som sådn er 4 etydende ifre mere end rigeligt. 26

30 Eksempel Endnu en retvinklet treknt - denne gng med Vi får = 40 = 5 = = 50 og sin( ) = tn( ) =.. = = sin( ) tn( ) 5 = , 778 = sin( ) 40 5, 959 tn( ) På lommeregneren skl mn tste TI-30 : 4 40 sin = : 4 40 tn = TI-68 : 4 sin 40 = : 4 tn 40 = Endelig kn mn komme i den sitution, t mn kender sinus (eller osinus eller tngens) til en vinkel, men ikke vinklen selv. Her skl mn ruge de omvendte trigonometriske funktioner: Eksempel 27

31 En retvinklet treknt med = 7 = 9 De mnglende stykker findes ved rug f trigonometrien og Pythgors. + = 2 2 = 2 2 = 9 7 = 8 49 = 32 5, 657 sin( ) = os( ) =.. = rsin( ) = ros( ) 7 7 = rsin( ) 5, 06 = ros( ) 38, På lommeregneren: TI-30X : 9 x 2 7 x 2 = x : 7 9 = 2nd sin = : 7 9 = 2nd os = 28

32 TI-68 : ( 9 x 2 7 x 2 ) = : inv sin ( 7 9 ) = : inv os ( 7 9 ) = De omvendte trigonometriske funktioner hr mnge nvne: rsin( x) = sin ( x) = INV sin( x) =... ros( x) = os ( x) = INV os( x) =... rtn( x) = tn ( x) = INV tn( x) =... Sætning 3 Ld v være en vinkel mellem 0 og 90. Så gælder sin( v) og os( v) evis: Dette evis er simpelt nok - i en stndrdtreknt med vinklen v, og som jo hr hypotenusen med længden og kteterne med længderne sin( v ) og os( v ), er hypotenusen den længste side. Dette etyder, t mn ikke kn tge rsin og ros f tl, som er større end - prøv selv. På mnge måder minder dette om det velkendte fktum, t mn ikke kn tge kvdrtroden f negtive tl. Til gengæld kn mn proppe lt muligt ind i rtn. sin, os og tn kn godt eregnes for vinkler, som er større end 90 - og lommeregneren gør det uden rok... Vi vil dog vente et pr hæfter med t forklre, hvorledes f.eks. sin(35 ) defineres. Der findes mnge formler involverende de trigonometriske funktioner. Vi vil her evise to og vente med resten. 29

33 Den første formel kldes trditionelt idiotformlen - åenrt fordi den vr så let t evise, t selv en idiot kunne forstå det. I sætningen optræder nogle lidt mystiske symoler: sin 2 v og os 2 v. Dette etyder sin v (sin v) sin( v) = = f Mn hr nvendt denne nottion for t skelne det fr sin( v 2 ). Sætning 4 (Idiotformlen) (FS) 2 2 For en vinkel v gælder os v + sin v = evis: sin( v ) etrgt stndrdtreknten til venstre: Hypotenusen hr længden, medens de to kteter hr længderne osv og sinv. nvender vi Pythgors' på dette, så ses, t v os( v ) (sin v) + (os v) = eller skrevet lidt pænere sin 2 2 v + os v = Sætning 5 (FS) For en vinkel v gælder formlerne sin( v) = os( 90 v) og os( v) = sin( 90 v). evis: 30

34 v os( v ) sin( w ) w sin( v ) os( w) Treknten til højre kn opfttes på to måder: Som en stndrdtreknt med vinklen v eller som en stndrdtreknt med vinklen w = 90 v. Kteternes længde må jo være ufhængig f, hvordn mn opftter treknten, så = sin( v) = os( w) = os( 90 v) og = os( v) = sin( w) = sin( 90 v) Opgver.L En måde t finde forskellige trigonometriske størrelser på er t tegne en stndrdtreknt med det ønskede vinkelmål og gnske simpelt måle kteterne. Det skl du gøre for nogle udvlgte treknter. Det er en god idé t lde hypotenusen være f.eks. 0 m lng - det liver mere nøjgtigt. ltså: Udfyld nedenstående skem vh. nogle pssende tegninger v sin v os v tn v Smmenlign med lommeregnerens resultter. 2.L Formålet med denne opgve er give dig øvelse i t ruge lommeregneren. Du skl eregne følgende tl med 4 deimler: ) os30 + os40 ) os( ) ) sin( 20 ) sin( 2 ) d) sin( 2 20 ) e) tn( 40 ) f) tn( 40 ) 2 2 g) sin ( 5 ) + os ( 5 ) h) sin( 5 ) + os( 5 ) i) sin( 5 ) + os( 5 ) j) sin( 5 ) + os( 5 ) 2 3.L I nedenstående treknt er ngivet nogle stykker i den retvinklede treknt. estem de mnglende stykker: 3

35 L I nedenstående treknt er ngivet nogle stykker i den retvinklede treknt. estem de mnglende stykker. emærk, t mn ikke som i opgve 3 kn være sikker på, t der er vinkel, som er ret! 2, ,

36 6. Sinus- og osinus-reltionerne Vi skl nu se på, hvordn mn kn eregne vinkler og sider i en generel treknt (ltså en treknt, som ikke er retvinklet). Her støder vi med det smme ind i et prolem - vi hr kun defineret sin, os og tn for vinkler mellem 0 og 90. Uheldigvis hr generelle treknter jo mulighed for t hve vinkler mellem 90 og 80. Vi udvider derfor definitionen f sin, os og tn på følgende måde: Definition 6 (FS) Ld v være en vinkel mellem 90 og 80. Vi definerer d sin( v) = sin( 80 v) os( v) = os( 80 v) tn( v) = tn( 80 v) Vi vil ikke egrunde denne definition hér, men vente til et senere hæfte. Den første formel, vi vil evise, er Sætning 7 (sinus-reltionerne) (FS) For en vilkårlig treknt gælder = = sin( ) sin( ) sin( ) evis: Vi eviser kun sætningen i det tilfælde, hvor højden flder indenfor treknten - se opgve 6.. h F 33

37 Indtegn højden h fr ned på siden. Højdens fodpunkt kldes F. F er retvinklet, så: Fer retvinklet, så: h h sin( ) = sin( ) =.. h = sin( ) h = sin( ) Sættes disse to ligninger lig hinnden, så fås sin( ) = sin( ) = sin( ) sin( ) Ved rug f højden fr til kn mn tilsvrende få, t =. sin( ) sin( ) Eksempel: =6 En treknt med de kendte stykker = 30 = 55 = 6 Vinkel findes o o =30 =55 = 80 = 95 Sinus-reltionerne ruges til og : = sin( ) sin( ). = sin( ) sin( ) = 6 sin( ) =, 95 sin( ) og 34

38 . = sin( ) sin( ) = sin( ) sin( ) = 6 sin( ) = 9, 83 sin( ) eslægtet med sinus-reltionerne er følgende rel-formler: Sætning 8 (FS) relet T f en vilkårlig treknt er givet ved T = sin( ) = sin( ) = sin( ) evis: D sin( ) = h gælder h Tilsvrende for de to ndre relformler. T h = 2 T = sin( ) 2 35

39 Eksempel =6 Vi vil finde relet f treknten fr det foregående eksempel. Her er det fristende re t tge de frundede værdier for og og proppe ind i relformlen - men det er forkert! o o =30 =55 Mn skl enten tge de værdier, lommeregneren gv (med lle 7 deimler), eller mn skl regne ekskt: T = = sin( ) sin( ) = 2 2 sin( ) sin( ) sin( 95 ) 55 = sin( 30 ) sin( ),, Forsøger mn t eregne relet med de frundede værdier =,95 og =9,83, så får mn relet til t være 2 2 T = sin( ) =, 95 9, 83 sin( 30 ) = 29, 36 Som mn ser, er der en vis forskel mellem de to resultter! Vi hr set, t sinus-reltionerne er gnske nyttige; men de kn dog ikke ruges til lt. Sinus-reltionerne kræver nemlig, t mn kender en vinkel og dens modstående side, før mn kn komme i gng. Kender mn en vinkel, men ikke dens modstående side, eller omvendt, så skl mn ruge osinus-reltionerne: Sætning 9 (osinus-reltionerne) (FS) I en vilkårlig treknt gælder = + 2os( ) = + 2os( ) = + 2os( ) osinus-reltionerne nvendes ofte omskrevet: 36

40 Sætning 20 (osinus-reltionerne) (-FS) I en vilkårlig treknt gælder + os( ) = 2 + os( ) = 2 + os( ) = 2 evis: Som ved sinus-reltionerne eviser vi kun sætningen for treknter, hvor højden flder indenfor treknten. Se opgve 6.2 for det ndet tilfælde. h x F -x Vi tegner højden fr ned på siden. Fodpunktet etegnes F, og vi indfører størrelsen x = F. Herf ses, t F = x. Pythgors nvendt på den retvinklede treknt F giver = h + x h = x Pythgors nvendt på den retvinklede treknt F giver 2 = h 2 + ( x) 2 h 2 = 2 ( x) 2 De to ligninger sættes lig hinnden: 37

41 ... 2 x = ( x) 2 2 x = ( + x 2x) 2 2 x = x 2x = + 2x Men treknt F er jo retvinklet, så x os( ) = x = os( ). Indsættes dette i ligningen ovenfor, så får vi osinus-reltionen: = + 2os( ) Regnet opgve Opgve: estem vinklerne i en treknt med sidelængderne 6, 0 og 2. Løsning: Vi strter med t lve en skitse f treknten: =2 =6 =0 Vinklerne findes nu vh. de omskrevne osinus-reltioner:. os( ) + = 2 + = ros( ) = ros( ) = 29, Tilsvrende eregninger giver = 56, 25 og = 93,

42 Vi kn nturligvis kontrollere resulttet ved t finde vinkelsummen: + + = 29, , , 83 = 80, 0 Grunden til, t vi ikke præist får 80 er nturligvis frundingerne. På lommeregnerne ville mn indtste eregningerne f vinkel således: TI-30X ( 0 x x 2 6 x 2 ) ( 2 x 0 x 2 ) = 2nd os TI-68 inv os ( ( 0 x x 2 6 x 2 ) ( 2 x 0 x 2 ) ) = Mn kn også nvende osinus-reltionerne til f eregne sider: 39

43 Regnet opgve Opgve: I treknt er =30, =9 og =8. eregn længden f siden. Løsning: Vi nvender osinus-reltionen på stndrd-formen: = + 2os( ) 2 2 = + 2os( ) 2 2 = os( 30 ) = 4, 505 TI-30X 9 x x 2 2 x 9 x 8 x 30 os = x TI-68 ( 9 x x 2 2 x 9 x 8 x os 30 ) = Sinus-fælden Vi skl nu se på den hyppigste fejl indenfor trigonometrien - sinusfælden. Vi husker fr kpitel 3, t i det 5. trekntstilfælde vr der generelt to muligheder for t konstruere en treknt med de givne stykker, som i dette 5. tilfælde vr en vinkel, en hosliggende og en modstående side. Ld os prøve t regne lidt på dette: Vi hr ltså en treknt,, hvor vi kender stykkerne = 30, = 0, = 2. osinus-reltionerne er edst her - vi ender i en ndengrdsligning, hvis vi vil finde, og vi skl senere læse, t en sådn ltid hr to løsninger. Desværre kn vi ikke løse ndengrdsligninger. Men sinus-reltionerne kn ruges til t finde :. = sin( ) sin( ) sin( ) = sin( ) 40

44 2 sin( ) = sin( 30 ) = 0, 6 0 Det er nu fristende t sige, t = rsin( 0, 6) = 36, 87 men der er ltså også en nden mulighed for : = 80 rsin( 0, 6) = 43, 3 og vi kn ikke ud fr de givne oplysninger vide, om vi skl ruge den ene eller den nden mulighed... Morle: Ps på, når du ruger sinus-reltionerne til t finde vinkler. Nu stiller den kvikke læser sig sikkert to spørgsmål: ) Er der noget, som hedder tngensreltionerne? J, se opgve 23. (Tngensreltionerne ruges næsten ldrig i prksis). 2) Gælder sinus- og osinus-reltioner også for retvinklede treknter? J, men vi kender dem llerede: Idet =90, så er sin( ) = sin( 90 ) = og os( ) = os( 90 ) = 0. Dette giver = sin( ) = sin( ) = sin( ) sin( ) ltså sætning 2. osinusreltionerne liver til = + 2os( ) = = + 2 ltså re Pythgors. osinusreltionerne kldes derfor nogen gnge den udvidede Pythgoræiske læresætning. Opgver.M 4

45 I eviset for sætning 7 tog vi ikke hensyn til det tilfælde, hvor højden flder udenfor treknten. h Gennemfør eviset i dette tilfælde også. rug tegningen til venstre. F Du får nok rug for formlen sin( v) = sin( 80 v) 2.M I eviset for sætning 9 tog vi ikke hensyn til det tilfælde, hvor højden fldt udenfor treknten. x F h Gennemfør eviset i dette tilfælde - det er en god idé t indføre størrelserne x = F og + x = F - se tegningen til venstre. 3.L Denne opgve er en fortsættelse f regneeksemplet til sinus-fælden. Vi hvde med =30, =0 og =2, og vi fndt ud f, t der vr to muligheder for, nemlig =36,87 eller =43,3. Find og i de to tilfælde, og konstruer de to løsningstreknter. 4.L I nedenstående skem er tre f stykkerne i treknten givet. eregn de mnglende stykker ,48 5,3 20,23,372 0,78 39,8 234,8 87,3 96,76 5,322 3,44 8, ,72 0,25 5.L Treknt hr vinklen =39 og siderne =8 og =6. ) eregn de ukendte stykker i treknten. ) eregn relet T f treknten. 6.L I er =5, =53 og =43. ) eregn de ukendte stykker i treknten. 42

46 ) eregn relet f treknten. 7.L eregn relet f lle de 0 treknter i opgve 4. Undgå i videst mulige omfng t nvende stykker, som du selv hr udregnet. (Dette kn ikke helt undgås, hvis mn er doven...) 8.M Opstil for hvert f de 5½ trekntstilfælde (pånær det hlve tilfælde) en proedure til t udregne de mnglende stykker. Det er en god idé f holde sig til følgende tommelfingerregler: ) rug fortrinsvis osinus-reltionerne til t eregne vinkler med (sinus-fælden!) 2) Sørg for i videst muligt omfng t ruge de stykker, du får opgivet, fremfor stykker, du eregner. 3) Hvis du eregner mere end en vinkel, så rug formlen + + = 80 efter udregningerne er færdige til t kontrollere, om du hr regnet rigtigt. (Sinus-fælden kn nogen gnge undgås på denne måde...) 43

47 lndede opgver.m En stige, der står op imod en lodret mur dnner en vinkel på 20 med muren. Stigens fod er,3 m fr muren. ) Hvor lng er stigen? ) Hvor højt op d muren når stigen? 2.M En telefonmst kster en skygge på 6 m. Solen efinder sig 48 over horisonten. Hvor lng er telefonmsten? 3.M Skyggen f en,00 m lng pæl er,54 m. Smtidigt er skyggen f en klippe på 60 m. Hvor høj er klippen? 4.M I den retvinklede treknt, hvor er ret, gælder t /=0,85. estem forholdene / og /. 5.M I treknt er siderne givet ved =6, =6 og =6. ) estem trekntens vinkler. ) Hvd kldes treknten? 6.M I er =, =34,8 og =4. ) estem vinklerne i treknten. ) estem siderne i treknten. ) Hvd kldes en sådn treknt? 7.M Treknterne og DEF er ensvinklede med =5, =4, d=0 og f=6. Find de øvrige sider. 8.M Treknt er retvinklet med =8,9 og =3. ( er ret...) estem de øvrige sider og vinkler i treknten. 9.M Treknt er retvinklet med ret. Endvidere er =9 og =25. estem de øvrige sider i treknten smt trekntens rel. 0.M I er =2, =3 og =5. estem trekntens vinkler..m I er =6. Endvidere er relet f treknten lig T=20. estem længden f højden h. 2.M I er =4,4, =5,32 og =6. ) estem trekntens vinkler. ) estem trekntens rel. ) estem længden f de tre højder i treknten. 44

48 3.M Nu er det vist på tide t regne opgven fr indledningen: Hylde Find hyldens redde, dens to sidelængder, og vinklen, som de to sider dnner med væggen. 4.M I er =4,4, =5,32 og =79. estem de øvrige sider og vinkler. 5.M Et rektngel hr sidelængderne 2 og 6. estem længderne f digonlerne i rektnglet. 6.S ) Et kvdrt hr sidelængden 5. estem længden f digonlerne. ) Et kvdrt hr sidelængden. evis, t digonlernes længde er givet ved 2. 7.M En f rdunerne, der holder en lodret mst fst, hr længden 6,2 m. Vinkelspidsen mellem rdunen og msten er 0. Hvor høj er msten? 8.M En rhome (dvs. en firknt, hvori lle siderne er lige lnge) hr sidelængden 0. Den ene digonl i rhomen hr længden 7. estem længden f den nden digonl. 9.M D estem længden f liniestykket smt størrelsen f vinklen D på figuren ovenfor. 20.S Ekskte trigonometriske værdier 45

49 Når mn finder sinus til et grdtl på lommeregneren, så får mn normlt kun en tilnærmet værdi ud. Det er sådn set forståeligt, idet de fleste trigonometriske værdier er nogle underlige tl, som det er umuligt t estemme ekskt. Men i denne opgve vil vi estemme de ekskte værdier f nogle f de få trigonometriske størrelser, mn kn gøre dette for. Fktisk vil vi finde smtlige værdier i nedenstående skem: v sin(v) os(v) tn(v) 30 / 2 3 / 2 / / 2 2 / / 2 / 2 3 etrgt den retvinklede, ligeenede treknt til højre. v ) evis, t vinklen v er 45. ) estem ktetelængden x vh. Pythgors. ) evis, t 2 = 2 2 d) estem den ekskte værdi f tllene sin(45 ), os(45 ) og tn(45 ). v x x etrgt nu den ligesidede treknt til højre. e) estem længden x. f) estem højden h vh. Pythgors. g) estem den ekskte værdi f tllene sin(60 ), os(60 ) og tn(60 ). 60 o x h h) estem den ekskte værdi f sin(30 ), os(30 ) og tn(30 ). (Vink: 30 =90-60 ) 2.M Treknt hr sidelængderne 2,73 ; 4,56 og 6,03. ) estem de tre vinkler i treknt. ) estem længden f de tre mediner i. 22.M I er =84, =23 og =23. ) eregn længden f vinkelhlveringslinien, som hlverer. ) eregn relet f treknten. 23.S Tngensreltionerne Vi skl nu evise tngensreltionerne: sin( ) sin( ) tn( ) = = os( ) os( ) 46

50 h x F -x os( ) ) evis, t os( ) =. ) evis, t sin( ) = sin( ). sin( ) ) Udled formlen tn( ) = os( ) d) En treknt hr stykkerne =27.3, =9.4 og =26. estem og vh. tngensreltionerne. 24.M I firknt D er = 5, = 8, = 7, D = og D=63. eregn de ukendte stykker i firknten. 25.M I firknt D er = 5, = 7, =0, D=45 og D = D. eregn de ukendte stykker i firknten. 26.M I treknt er vinkel =67,34, = 5, 2 og = 7, 3. eregn længden f siden smt vinklerne og. eregn trekntens rel. 47

51 27.M Figuren viser en stumpvinklet treknt, hvor = 2, 2, = 6, 9, = 4, 2 ) eregn vinklerne og. ) eregn længden f liniestykket. ) eregn relet f treknt. 28.M o o 27,2 43,6 50 m En llon svæver over en vndret mrk i punktet. Fr to punkter og på mrken måles vinklen mellem vndret og sigtelinien til. fstnden mellem og er 50 m, og grdtllene for de nævnte vinkler er vist på figuren. Hvor højt er llonen oppe? 29.M I treknt etegner F fodpunktet f højden fr på siden. Det oplyses, t vinkel er 4, = 7, og F =, 4. estem F og F. estem de resterende sider og vinkler i treknt. 30.M I treknt er =68,, =5,4 og =70,5. esten længden f højden H smt siderne og. 48

52 3.M H M I en treknt er =45. På siden ligger punkterne H og M. Punktet M er midtpunkt for, og punktet H er estemt ved, t H er ret. Endvidere er H = 35, M = 37, og M er spids. ) eregn HM, H og M. ) eregn sider og vinkler i treknt. 32.M I firknt D er vinkel D ret, vinkel er 20, = = 7 og D =. eregn vinklen og længden f digonlen. eregn D smt vinklerne og i firknten. 33.M I firknt D er vinklerne og rette. I treknt D er vinklen D lig 3,2. Digonlen D hr længden 8,5, og siden hr længden 5,. estem de ukendte sider og vinkler i firknt D. 34.M v D Figuren viser et tværsnit f et loftsværelse med skråvægge. Længden f skråvæggen er målt til,89 m, skunkvæggen hr længden,6 m, og højden D i værelset er 2,44 m. ) estem vinklen v mellem skråvæg og gulv. ) estem fstnden fr skunkvæggen ud til muren. 49

53 Fitliste Kpitel : 2: ( n 2) 80 g g 3: 200, 400 3: π, 2 π 3: Hvis v etegner grdtllet, w nygrdtllet og x rdintllet, så g 00 π / 2 w = v og x = v Kpitel 3: 2: = 2 =6 2: = 4, 68, = 2, 65 3: =8 =9,75 =8 d=,667 Kpitel 4: : Treknterne,, d, f, g og h er retvinklede. 3: 0 8 2,8062, , ,7 7,2 9,835 3,585 9, 23,4 8,3 9,2 2,3907 9,23,0 22, ,6 3,2 27,977 0,0632 0,03 0,07 4: Nej, hypotenusen er ltid den længde side i en retvinklet treknt. Mn kn også prøve t eregne den sidste ktete. Kpitel 5: 2: ),632 ) 0,3420 ) 0,09 d) 0,6428 e) 0,960 f) 0,08 g) h),5000 i) j) -,442 3: 6,43 2 3, , , , , , ,907 63, , , , ,8779 8, , ,50 34,

54 4: 4,076 2,57 6, , , ,4096 2, , , , ,7900 9,9760 7, , , ,380 22,699 Kpitel 6: 3: =3,3, =8,39 eller =6,87, =2,39 4: ,453 57,27 78,4630 6, , ,305 4, ,973 68, ,590 52, , ,7239 2, ,48 5,3 20,23 52,257 3,8740 4,0003,372 0,78 0,97 08, , ,8 2,26 234,8 87,3 30, ,76 52,3873 8,0554 5,322 3,44 32, ,77 8,37 309,4 758, ,72 27,03 0,25 5: =5,0392 =92,458 =48,5306 5: T=5,036 6: =84 =2,0455 =0,2863 6: T=6,527 7: relerne er i rækkefølge: 4,6969 3,8302 8, , ,3970 0, ,68 2, ,52 5

55 Kpiteloversigt Ensvinklede treknter = = Retvinklet treknt + = sin( ) = os( ) tn( ) = = Vilkårlig treknt Trigonometriske formler sin 2 2 v + os v = = = sin( ) sin( ) sin( ) = + 2 os( ) T = sin( ) 2 sin v = os( 90 v) osv = sin( 90 v) sin v = sin( 80 v) osv = os( 80 v) 52