Differentialregning. integralregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. integralregning"

Transkript

1 Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013

2 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7 Beregning f differentilkvotienter...8 Den konstnte funktion...8 Den lineære funktion...8 Andengrdspolynomiet...9 Tredjegrdspolynomium...10 Funktionen f(x) 1/x...10 Kvdrtrodsfunktionen...10 Kombintioner f funktioner...11 Andre polynomier...13 Tngenter...1 Type 1: kendt x-værdi...1 Type : kendt y-værdi...15 Type 3: kendt tngentældning...16 Øvelser...17 Funktioners monotoniforold og ekstrem...18 Monotonisætningen...18 Den omvendte monotonisætning...18 Lokle extrem...18 Eksempel på undersøgelse f monotoniforold...19 Optimering...0 Fugleburet...0 Ordrestørrelser...1 Integrtion...3 Sætninger om integrtion...3 Det bestemte integrl... Sætning... Bevis... Beregning f A'(x)... Trin I: Beregning f y-tilvækst... Trin II: Beregning f sekntældning...5 Trin III: Beregning f tngentældning...5 Eksempel: Eksmensopgven 1, stx B, mj Differentition og integrtion et overblik...9 Differentilkvotient...9 Den fledte funktion...9 Nottion...9 Sprogbrug: differentiere og integrere...9 En stmfunktion og det ubestemte integrl...9 Det bestemte integrl...30 Formel for tngentligning og generelle differentitionsregler...30 Formler for differentition f bestemte funktioner...31 Formler for integrtion f bestemte funktioner...3 Regneregler for integrtion...3

3 3 Tegneøvelser Herover ses fr grfen for funktionen f(x). Find ældningskoefficienten for den grønne tngent i A. Tegn tngenter i punkterne (-; f(-)), (-1; f(-1)), (1; f(1)), (; f()), (7; f(7)), (9; f(9)). Find ældningskoefficienterne for disse. Hældningskoefficenterne kldes differentilkvotienter. Hvis x-værdien er -, skrives differentilkvotienten f'(-) D der kn findes en differentilkvotient for enver x-værdi (vor der kn tegnes en tngent) kn vi definere en funktion: til enver x-værdi x knyttes den tilsvrende differentilkvotient (som viser ældningen på tngenten i ( x, f(x)). Denne funktion er den fledte funktion: f'(x). Skitser f'(x). Hvd sker der, vor f'(x) 0?

4 Introduktion Differentilregning ndler bl.. om t undersøge, vorledes funktioner vokser. Hvis der er tle om en lineær funktion, kn væksten beskrives med Δ y Δ x vor det græske bogstv store delt betyder en differens (i v. y- og x-værdier). Åbn linket ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_.tml og eksperimenter med skyderne: Kontroller, t når Δ x vokser og > 0, vokser Δ y også Hvd kldes smmenængen mellem de to vrible: Δ x og Δ y? Hvilken betydning r for væksten? Hvor stor er Δ y, vis Δ x1? Hvor stor er Δ y, vis Δ x0? Hvorfor giver det mening t klde vækststigeden Hvis du både kender Δ x og Δ y, er du så i stnd til t beregne? Vis vordn i et eksempel! Gælder det i lle tænkelige eksempler? Forestil dig t du kører med konstnt stiged ud d en uendelig lng lndevej, t tiden måles med vriblen x, t den kørte fstnd svrer til f(x). Hvd fortæller prmeteren om køreturen? Det er vigtigt t erkende, t ver gng vi tler om t en bil NU kører med en bestemt stiged som fx 75 km/time, skl vi benytte to målinger: en fstndsmåling og en tidsmåling. Det kunne i eksemplet være fstnden 75 km og tiden 1 time. Vi tler dog også om t køre med den stiged, selvom der ikke er tle om t køre en el time, men fx t køre 5 km på 0 minutter. Men vis vil vil måle stigeden i et NU, bliver begge målinger 0, og stigeden lder sig ikke bestemme umiddelbrt: enver stiged psser ind i ligningen: Δ y Δ x. Men når vi for lle fstnde på ele køreturen måler den smme stiged, vil vi tillde os t sige, t NU kører vi også med 75 km/time. For en lineær funktion gælder det, t for enver x-værdi (i definitionsmængden) er vækststigeden Men biler kører ikke ltid med smme stiged og der findes mnge ndre funktionstyper end de lineære. Den følgende grf viser en ikke lineær vækst (og bemærk: Δ y kn være negtiv). Vi vil

5 5 gerne beskrive vækststigeden, når x 0, men det kunne lige så godt være for enver nden x-værdi. Vi kunne som er tegne en seknt, for derefter t beregne vækststigeden for denne; i sekntens endepunkter er der jo smmenfld med grfen og funktionens vækst og sekntens vækst er identiske. Sekntældningen er en slgs gennemsnitsvækststiged for funktionen. Følg linket er for t lve nedenstående øvelser: ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_3.tml Peg med musen på et f sekntens endepunkter og træk det lngs med grfen Bemærk, vorledes sekntældningen ændres Modst vd der gælder for den lineære funktion, får vi er mnge forskellige vækststigeder. Men ld os undersøge, vd der sker, vis begge endepunkters xværdier ligger i intervllet [- 0, ; +0,]. Noter 10 forskellige ældningskoefficienter for seknter, vor endepunkterne opfylder ovenstående betingelse. Gentg eksperimentet, men vælg i stedet for intervllet [-0, ; +0,]. Kn du lve intervllet så lille, t lle ældninger for seknter med endepunkter over dette intervl øjst fviger 0,005 fr 1,5? Du svrer foråbentlig j! og kn finde intervller, der er små nok. Så er situtionen næsten den smme som for den lineære funktion: For lle fstnde (der er tilstrækkelig små) r vi (næsten) den smme vækststiged. Og jo mindre intervllet bliver, jo mere nærmer vi os et bestemt tl. Dette tl er grænseværdien og kldes differentilkvotienten i 0. Vi ville få det smme resultt, selv om vi nøjedes med t se på seknter, der vde det ene endepunkt i A.

6 6 Definition f differentilkvotient og tngent Ld P( x 0 ; f ( x 0 )) og Q(x 0 + ; f ( x 0+)) Differentilkvotienten for f i Det skrives: f ' ( x 0)lim x 0 er grænseværdien for sekntældninger, når f ( x 0+) f ( x 0 ) f (x 0 +) f ( x 0) lim ( x 0+) ( x 0) Linjen gennem P med ældningen f ' ( x 0) kldes tngenten i P. 0

7 7 Tngentældninger Prøv t følge linket erunder under og eksperimenter med konstruktionen som beskrevet i øvelsen er1: Link: ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_1.tml Peg med musen på punktet X, der er bundet til x-ksen Flyt punktet frem og tilbge Bemærk, t punktet A flytter sig smtidigt og ltid r smme x-værdi som X, men ltid ligger på grfen for funktionen f. I A er der tegnet en tngent til grfen, som flytter sig smmen med A. I lgebrvinduet kn du finde smmenørende værdier f x-værdien i A og ældningskoefficienten for tngenten i netop dette punkt. Lv en tbel med disse tl i regnerket for x -, -1, 0,, 7, 8 i 1. kolonne og ældningerne i. kolonne. Lv en liste f punkter bseret på tbellen. Overvej: vi r defineret en ny funktion der fortæller om f-funktionens tngenters ældninger. Kn du genkende grfens type? Du skl finde funktionen og tegne grfen gennem de nye punkter med kommndoen: g(x)fitpoly[liste1,] forudst t du ikke r lvet flere lister. Giv den nye grf en speciel frve, fx lill. Beregn en funktionsværdi med kommndoen g_9g(9) Flyt punktet X til x-værdien 9 og flæs tngentens ældning; smmenlign med resulttet g(9). Den fledte funktion Ld f (x ) være en funktion, vor vi for enver x-værdi kn finde differentilkvotienten. Så betegner vi med f ' ( x) den funktion, der for en givet xværdi r differentilkvotienten som y-værdi. f ' ( x) kldes den fledte funktion. Funktionen f siges t være differentibel. Du kn sikkert nemt se, t en nødvendig betingelse for t en funktion r en fledt funktion er, t den er kontinuert (dvs. smmenængende.) Ligeledes skl den være glt: grfen må ikke ve spidser. Fx vil f (x ) x ikke være differentibel, fordi ældningerne på seknterne i næreden f (0,0) ikke nærmer sig et bestemt tl unset vor lille intervllet bliver. 1 Konstruktionen forudsætter, t Jv er instlleret på din PC

8 8 Beregning f differentilkvotienter Den konstnte funktion Funktionen f er givet ved: f (x )k Den fledte funktion er d: f ' ( x)0 Bevis En konstnt funktion vokser ikke; derfor bliver enver sekntældning 0. f ' ( x)0. Mn kn også se det f, t Den lineære funktion Funktionen f er givet ved: f (x )k Den fledte funktion er d: f ' ( x)0 Bevis Vi vil introducere en bevisteknik, der kldes tre-trins metoden. Udgngspunktet er P( x ; f (x )) smt et nbopunkt: Q( x+ ; f ( x+)). I Først findes Δ y med formlens forskrift og reduceres så vidt muligt) II Dernæst findes sekntens ældningskoefficient: Δy, som også reduceres / Δx omskrives III Endelig findes grænseværdien (kldet limes, eng. limit) når nærmer sig 0 I Δ y f (x+) f ( x ) ( x+)+b (x+b) x+ +b x b II Δ y Δx III Δy lim Δx 0 0 lim At differentilkvotienten ltid er lig med grfens ældningskoefficient, skulle ikke være nogen overrskelse. Tngenten i etvert punkt på grfen vil også være smmenfldende med grfen!

9 9 Andengrdspolynomiet Ld os strte med et tleksempel: vi vil finde differentilkvotienten for x. Funktionen vi undersøger er f (x )x Trin I Δ y f (+) f ()(+) ( 16++ ) Trin II Δ y Δx Trin III Δy lim +8 8 Δx 0 0 lim f ' ()8 På elt tilsvrende måde kn differentilkvotienten findes for en vilkårlig x-værdi. Dermed findes også forskriften for den fledte funktion. Sætning Funktionen f er givet ved: f (x )x Den fledte funktion er d: f ' ( x) x Bevis Trin I Δ y f (x+) f ( x )( x+) x ( x + + x ) x x + + x x + x Trin II Δ y + x + x Δx Trin III Δy lim + x x Δx 0 0 lim

10 10 Tredjegrdspolynomium Find på nøjgtigt smme måde en forskrift for den fledte funktion i dette tilfælde Funktionen f(x) 1/x Funktionen f er givet ved: f (x ) 1 x Den fledte funktion er d: f ' ( x) 1 x Bevis Trin I Δ y f ( x+) f (x ) ( x +) x ( x+) x x 1 1 x ( x+) x x ( x +) x ( x+) x ( x+) x ( x+) x ( x+) Trin II 1 Δ y x ( x +) x ( x+) 1 Δx 1 x ( x+) Trin III Δ y lim 1 1 x (x+) Δx x 0 0 lim Kvdrtrodsfunktionen Funktionen f er givet ved: f (x ) ( x) Den fledte funktion er d: f ' ( x) 1 ( x) Bevis Trin I Δ y f (x+) f ( x ) ( x+) ( x )

11 11 Trin II Δ y ( ( x+) x) ( ( x+) x) ( ( x+)+ x ) ( x+) x x+ x Δx ( ( x+)+ x) ( (x+)+ x) ( ( x+)+ x) Δy 1 Δ x ( ( x+)+ x ) ( x+)+ x Trin III 1 Δ y lim 1 Δx ( x +)+ x ( x) 0 0 lim Kombintioner f funktioner Sum Ld f og g være to differentible funktioner. Ld s være sumfunktionen: s( x)( f + g)( x) defineret som s( x) f ( x )+g ( x). Så er s ' ( x) f ' ( x )+g ' ( x ) Bevis Trin I Δ yδ ss (x+) s( x)( f ( x+)+g ( x+)) ( f (x )+g ( x)) Δ y f (x+)+g ( x+) f ( x) g ( x) f ( x+) f ( x)+ g ( x+) g ( x) Δ yδ f +Δ g Bemærk betydningen f Δ s som en kort skrivemåde for forskellen i y-værdier for den pågældende funktion; tilsvrende gælder for funktionerne f og g. Vær opmærksom på vorledes vert skl forklres med envisning til definition eller regel. Trin II Δ y Δ f +Δ g Δ f Δ g + Δx Trin III ( ) Δy Δ f Δg Δf Δg lim + lim lim + Δx Δ x Δx Δx Δ x f ' ( x)+ g ' ( x) lim Differens Ld f og g være to differentible funktioner. Ld d være differensfunktionen: d ( x)( f g)( x) defineret som d ( x) f ( x) g ( x). Så er d ' (x ) f ' (x ) g ' ( x )

12 1 Bevis Bevises fuldstændigt som for sumfunktionen. Produkt f reelt tl og funktion Ld f være en differentibel funktion og t et reelt tl. Ld k være funktionen: k ( x)(t f )( x) defineret som k ( x)t f ( x). Så er k ' (x )t f ' ( x) Bevis Bevises tilsvrende som for sumfunktionen. Produkt f to funktioner Ld f og g være to differentible funktioner. Ld p være produktfunktionen: p ( x )( f g )(x) defineret som p (x ) f ( x ) g ( x). Så er p ' ( x) f ' ( x) g ( x)+ f (x ) g ' (x) Bevis Trin I Δ yδ p p( x+) p( x+) f ( x+) g (x+) f ( x ) g ( x) Δ y f (x+) g ( x+) f ( x) g (x+)+ f ( x ) g ( x+) f ( x) g ( x ) Δ y [ f (x+) f (x )] g ( x+)+ f (x) [ g ( x+) g ( x )] Δ yδ f g ( x+)+ f (x ) Δ g Bemærk omskrivningen i nden linje: der er indskudt to ens led med v. fortegnene minus og plus. Dermed er ele udtrykket ikke ændret. Trin II Δ y Δ f g ( x+)+ f (x ) Δ g Δ f Δg g ( x+)+ f ( x) Δx Bemærk: En flerleddet størrelse divideres med et tl ved t dividere vert f leddene med tllet; et produkt divideres med et tl ved t dividere en f fktorerne med tllet. Trin III ( ) Δy Δf Δg Δf Δg lim g ( x+)+ f (x ) lim g ( x +) lim f (x ) + Δx lim Δy Δ x f ' ( x) g ( x)+ f (x ) g ' (x) 0 lim

13 13 Bemærk: grænseværdien for summen er summen f grænseværdierne, grænseværdien f produkterne er produktet f grænseværdierne. Grænseværdierne for de enkelte fktorer er v. f ' ( x), fordi f er differentibel, g ( x), fordi g er kontinuert, f (x ), fordi den fktor er den smme ufængig f værdien f g ' (x ), fordi g er differentibel. Andre polynomier Funktionen f er givet ved: f (x )x n Den fledte funktion er d: f ' ( x)n x n 1 Bevis Sætningen bevises som et induktionsbevis: I stedet for t bevise sætningen for de uendeligt mnge ele tl 1,, 3 bevises sætningen for n 1 smmen med påstnden: vis sætningen er snd for n er den også snd for det næste ele tl: n+1. (Hvis vi ved, sætningen er snd for n1 smmen med den sidste påstnd, er sætningen også rigtig for n1+1. Når sætningen er rigtig for n, er den også rigtig for n3. Osv.) Del I Vi vil gerne vise (x 1)' 1 x 1 1 f (x )x 1 er den lineære funktion med ældningskoefficienten 1; vi r tidligere vist, t den fledte funktion for en lineær funktion er f ' ( x) og i dette tilfælde er 1. Dvs. t venstre side er 1. Men øjre side er 1 x 1 11 x Dermed er del I bevist. differentition f et produkt.

14 1 Del II Det ntges, t sætningen er rigtig for n; dvs. f ' ( x)n x Ld gælder. Vi vil vise, t sætningen også gælder for (n+1). n 1 g ( x) x n+1 n +1 g ' ( x)(x )' g ' ( x)( x 1 x n )' g ' (x )( x 1)' x n+ x 1 ( x n) ' g ' ( x )1 x n+x 1 n x n 1 n n 1+1 g ' (x )x +n x g ' (x )x n+n x n g ' ( x)(n+1) x n g ' ( x)(n+1) x (n +1 ) 1 vorf ses, t sætningen også gælder for det ele tl n+1. Ud over lmindelige regneregler, er der i beviset benyttet sætningens del I og reglen om differentition f et produkt. Tngenter Vi vil i eksemplet er finde tngenter til prblen på forskellige måder. Vi vil både benytte forskellige teknikker (lommeregner eller GeoGebr) og se forskellige opgvetyper. Hver x gng benyttes smme funktion: g ( x) x 3. Type 1: kendt x-værdi Vi vil finde tngentens ligning for den givne funktion, vor tngenten r røringspunktet A med x-værdien 6. Besvrelse y-værdien for A beregnes som: g (6) x (jævnfør regler og tidligere resultter) 6 1 og tngentældningen kn beregnes som: g ' (6) Dernæst findes g ' (x ) Tngentligningens nden prmeter b findes med den sædvnlige formel for rette linjer: b y 1 x 1, vori indsættes de kendte tl:

15 b Tngentens ligning er: y1 x 1 Normlt skrives ældningskoefficienten ikke, når den er 1; er er den medtget for t tydeliggøre beregning og resultt. Alterntiv besvrelse Grfen tegnes i GeoGebr; linjen x6 tegnes. Skæringspunktet mellem disse findes: det er røringspunktet A. Tngentværktøjet vælges: klik på grf og røringspunkt og tngenten tegnes. I lgebrvinduet eller på tegningen kn tngentligningen flæses. Tngentens ligning: y x - 1 Type : kendt y-værdi Vi vil finde prblens tngenter i røringspunkterne B og C med y-værdien. Besvrelse x-værdierne for B og C beregnes ved t løse ligningen: g ( x ) x x 3 x x 3 x x 50 Det er en sædvnlig ndengrdsligning med 1, b, c 5 1 d ( 5)9 x ( )± (9) ±3 1 1 Løsningerne er x 1 og x 10 15

16 16 De tilsvrende y-værdier er begge + (iflg. opgven): y 1 og y x de respektive tngentældninger: Dernæst findes med g ' (x ) 1 ( ) 10 3 og 3 Tngentligningens nden prmeter b findes med den sædvnlige formel for rette linjer: b y 1 x 1, vori indsættes de kendte tl: b1 ( 3) ( ) b Tngentligningerne bliver så: Tngent 1: y 3x Tngent : y 3x 8 Tngentligningerne kunne også være fundet som før: Punkterne B og C findes som skæringspunkter mellem grfen og linjen y. Derefter benyttes tngentværktøjet. Type 3: kendt tngentældning Antg, t der skl findes en tngent til g med ældningen -1; x-værdien i røringspunktet findes så ved t løse ligningen: g ' ( x) 1 x 1 x + 1+ x 1 1 x x y-værdien i røringspunktet findes som g() Tngentens prmeter b fås så som b 5 ( 1) 3 Tngentens ligning er : y -x

17 17 Med GeoGebr findes først g'(x); denne skæres med linjen y-1; i skæringspunktet (S) er xværdien også røringspunktets x-værdi. Røringspunktet kn findes som (x(s),f(x(s))). Derefter løses opgven som i de foregående eksempler. Øvelser I de følgende øvelser skl du benytte en nottion for funktioner og fledte funktioner med prenteser som vist i følgende eksempel: f (x )x ( x ) f ' ( x)(x )' x Du skl differentiere nedenstående funktioner og vise lle mellemresultter med ngivelse f den regel, du r nvendt som i dette vejledende eksempel: f ( x )3 x Reglen for differensfunktioner f ' ( x)(3 x ) '(3 x )' ()' Afledt funktion for konstnt funktion f ' ( x)(3 x ) ' 0 Reglen om produkt f reelt tl og funktion f ' ( x)3 ( x ) ' 1 Reglen om polynomier (n-reglen) f ' ( x)3 x 1 Beregnet produktet 3*6 og differensen -11 f ' ( x)6 x f ' ( x)6 x Almindelig skrivemåde: multipliktionstegn og 1 er er usynlige! f ( x )6 x 5 e x g ( x)3 ln( x) ( x) x (5 x ) j ( x )5 5 x k ( x) 3 e x m( x) x x x 7. n ( x ) x 8. o( x)e x ln( x ) 3 9. p ( x )ln ( x ) 10. q ( x )3 3 x x 3 Kontroller dine svr med GeoGebr. Bemærk, t for en del f opgverne er der flere relevnte løsningsmetoder.

18 18 Funktioners monotoniforold og ekstrem Opgven går ud på t beskrive, i vilke dele f funktionens definitionsmængde den er voksende v. ftgende. Der benyttes følgende definition: f er en voksende funktion (i et intervl), vis x 1< x f ( x 1)< f ( x ) f er en ftgende funktion (i et intervl), vis x 1< x f ( x 1) f ( x ) Monotonisætningen Hvis f ' ( x)>0 for lle x i et intervl, så er f ( x ) voksende i intervllet Hvis f ' ( x)<0 for lle x i et intervl, så er f (x ) ftgende i intervllet Hvis f ' ( x)0 for lle x i et intervl, så er f (x ) konstnt i intervllet Den omvendte monotonisætning Hvis f ( x ) er differentibel og voksende i et intervl, er f ' ( x) 0 Hvis f ( x ) er differentibel og ftgende i et intervl, er f ' ( x) 0 Lokle extrem Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring r f et loklt mksimum i x 0 og omvendt. x 0 er Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring r f et loklt minimum i x 0 og omvendt. x 0 er Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring x 0 er er f voksende i et intervl rundt om x 0 og r en vndret vendetngent i x 0 og omvendt. Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring x 0 er er f ftgende i et intervl rundt om x 0 og r en vndret vendetngent i x 0 og omvendt. Sætningerne benyttes til t beskrive monotoniforoldene for funktioner som i nedenstående eksempel.

19 19 Eksempel på undersøgelse f monotoniforold Eksmensopgve 10, og b, mj 01 gl-mtemtik B En funktion f er givet ved f ( x )x x + ) Løs f ' ( x)0 b) Bestem monotoniforoldene for f Besvrelse Ligningen løses Forskriften indtstes i GeoGebr og den fledte funktion findes (ved indtstning f f ' ( x) ) Skæringspunkter mellem grfen for f' og x-ksen findes, vorf ses, t løsningsmængden til ligningen f ' ( x)0 er: L{-1 ; 0; 1} På tegningen ses løsningerne, og d et 3. grdspolynomium øjst r 3 rødder, er L den fuldstændige løsning. Monotoniforold bestemmes På figuren til øjre ses informtionen om f ' ( x) : x<-1 x-1-1<x<0 x0 0<x<1 x1 x>1 f'(x) - 0 f(x) ft lok mi voks lok ft. lok voks mx mi som fører til udsgnet om f. I ] ; -1 ] ftger f I ] -1 ; 0 ] vokser f I ] 0; 1 ] ftger f I ] 1 ; ] vokser f + Løs opgven uden jælpemidler

20 0 Optimering Fugleburet Hr. Mortensen vil indrette et fuglebur til sine undulter som et rektngulært rum. Hn r 15 m trådnet med en øjde, der netop når fr gulv til loft; det skl udgøre eller 3 f siderne smmen med de murede vægge. De murede vægge udgør ltså f rektnglets sider evt. smmen med en del f trådnettet. Disse består f en mur på 3 m (BC på figuren) som står vinkelret på en lng mur (mere end 15 m). Opgven: Bestem målene på AB og AE, så rektnglet ABDE får det størst mulige rel. Beregn dette rel. Besvrelse Ld x AE og y AB ED (idet modstående sider i et rektngel er lige store) Betegnes længden f siderne med trådnet som L, fås L x + y +(x-3) x + y 3 (idet vi forudsætter t lle 3 m f den korte mur indgår i omkredsen) Hvis lt nettet benyttes, fås: L15 x+ y 315 x + y 3 x+315 x +3 y18 x Fugleburets rel er A, og d der er tle om et rektngel fås A x y D der er 15 m trådnet til rådiged, kn y 18 x indsættes: A x y A x (18 x ) A18 x x

21 1 På figuren er tegnet grfen for relfunktionen A(x) (blå) og grfen for den fledte funktion A' (lill, stiplet). Denne skærer x-ksen i (,5 ; 0); dvs. det tilsvrende toppunkt er i (,5 ; A(,5)) (,5 ; 0,5). Både f prblens udseende og fortegnsvritionen for A' (+ 0 -) ses, t A r et loklt mksimum for x,5. D der ikke er ndre ekstrem, er der tle om en størsteværdi. Længden f AE skl være,5 m Længden f AB er 9,0 m Arelet f ABDE er 0,5 m Ordrestørrelser I firmet FliA/S importeres produktet NOGO fr Megpolis. Firmet r et slg f produktet, der fordeler sig jævnt over ele året. Nogle f omkostningerne ved køb og slg f produktet, knytter sig til ordrestørrelsen. Hver gng, der fgives en ordre koster det kr. 900 (til frgt, personleomkostniner mv.) Yderligere er der omkostninger til lger beregnet til kr. 5 pr. ened pr år. (til forrentning og betling f lgerplds.) Der regnes med et slg på 000 eneder pr. år. Det forudsættes, t mn kn fgive ordrer der vil nkomme os Fli A/S præcis når lgeret er tomt. Bestem den optimle ordrestørrelse Besvrelse Ld x være ordrestørrelsen (ntl eneder); så fgives der 000/x ordrer pr. år kr Ld f(x) være de årlige omkostninger ved ordrestørrelsen x (i kroner) f (x ) x Ld g(x) være de årlige omkostninger ved t olde lger (i kroner). D lgeret vrierer mellem x og 0, vil det i gennemsnit være x/ i løbet f et år og omkostningerne bliver: x g ( x) 5 De smlede omkostninger (der er fængige f ordrestørrelsen), er ( x) f (x )+g ( x)

22 De tre funktioner er vist er: Den optimle ordrestørrelse fås, vor '(x) 0. Der er kun en løsning, og det indses nemt, t der er tle om et minimum, d fortegnsvritionen for ' er -0+. Herf ses, t den optimle ordrestørrelse er 379 eneder pr. ordre. Bemærk, t '(x) 0 medfører t t Overvej vorfor! f ' ( x) g ' ( x) f ' ( x) g ' ( x ) medfører f (x )g ( x)

23 3 Integrtion At integrere en funktion f vil sige t finde en / de funktion(er), der differentieret er lig med f. Resulttet kldes det ubestemte integrl og skrives således: f (x ) dxf (x )+k vor F ' ( x) f ( x) Det lngstrkte s og symbolet dx betyder blot, t funktionen skl integreres. F(x) er en vilkårlig funktion, der opfylder betingelsen i. linje. Alle sådnne funktioner kldes stmfunktioner. Der er tilføjet +k fordi lle ndre funktioner, der differentieret er lig med f, kn fås ved t lægge en konstnt til en tilfældig stmfunktion. Et eksempel: x3 x dx +k 3 Kontroller påstnden ved t vælge et tilfældigt tl for k; differentier øjresiden. Resulttet skl være x. Sætninger om integrtion Det kn let vises, t der findes tilsvrende sætninger om integrtion som om differentition: ( f +g )(x )dx f ( x )dx+ g ( x)dx og tilsvrende for differensen. (t f )( x )dxt f (x ) dx vor t er et tl.

24 Det bestemte integrl Sætning 3 Givet en voksende kontinuert funktion f(x), vor f(x) > 0 (for lle x-værdier i DM) gælder, t relet mellem grf og x-kse begrænset f linjerne x og x b er b ò f ( x)dx F (b) - F () vor F er en vilkårlig stmfunktion til f. Bevis Ld os ntge, t der findes en relfunktion A(x), der for etvert x0 > Ù x0 Î DM beregner relet mellem grf og x-kse begrænset f linjerne x og x x0 Beregning f A'(x) Vi benytter nu tretrinsreglen til t finde A (x0): Trin I: Beregning f y-tilvækst Δ y er defineret som forskellen mellem to y-værdier (for relfunktionen): Dy A( x0 + ) - A( x0 ), vor som sædvnlig er den lille ændring i x-værdien På næste side kn du se Δ y som størrelsen f det lill frvede rel; A( x0 + ) er jo størrelsen f ele det frvede rel (både blåt og lill), A( x0 ) er tilsvrende størrelsen f det blå rel. Sætningen kn udvides til t gælde flere funktioner, men bevises i denne version for ikke t komplicere beviset. 3 Venstresiden med integrltegnet mv. er defineret f øjresiden; bemærk t vlget f stmfunktion ingen betydning r: de giver lle smme resultt.

25 5 Vi r endnu ikke en teknik til t beregne Dy, men vi kn finde både en overgrænse og en undergrænse for relets størrelse. Det forudsættes stiltiende, t > 0; er < 0 ændres rgumenttionen, men det endelige resultt bliver det smme. Det er klrt, t det grønne rektngels rel er mindre end Dy, idet bredden er og øjden er f ( x0 ). D f er voksende, er øjden den mindste funktionsværdi i [ x0 ; x0 + ]. Ligeledes er det klrt, t det brune rektngels rel er større end Dy, idet bredden er og øjden er f ( x0 + ). D f er voksende, er øjden den største funktionsværdi i [ x0 ; x0 + ]. Derfor gælder denne dobbeltuliged: " Grønt - rel " Dy " Brunt - rel " Û f ( x0 ) Dy f ( x0 + ) Trin II: Beregning f sekntældning Sekntældningen for relfunktionen er Δy Δy. Derfor gælder: Δx f ( x 0) Δ y f ( x 0+) Δx Δy f (x 0 ) f ( x 0+) Δx Trin III: Beregning f tngentældning Tngentældningen er grænseværdien f sekntældningen for gående mod 0: Δy lim f ( x 0) lim lim f (x 0+) Δx f ( x 0) A' ( x 0) f (x 0) A' ( x 0) f ( x 0) Det følger f kontinuiteten for f, t lim f ( x 0+) f (x 0 ) og dermed skl A'(x0) både være større og mindre end f(x0), vorfor A ' ( x 0 ) f (x 0 )

26 6 Beregning f A(x) Herf følger, t relfunktionen er én f stmfunktionerne til f. Ld F(x) være en vilkårlig stmfunktion til f. Så gælder, t A( x) F ( x)+k D A( )0 fås A( )F ( )+k k A( ) F ()0 F ( ) F ( ) Hermed er relfunktionens forskrift: A( x) F ( x) F ( ) Beregning f relet fr til b For t finde netop det søgte rel mellem linjerne x og xb indsættes b i relfunktionen: A(b)F (b) F () vor det bemærkes, t F er en vilkårlig stmfunktion. Hvde vi vlgt en nden stmfunktion, ville begge led ændre sig lige meget og forskellen forblive den smme. Som skrivemåde for dette udtryk benyttes integrtionstegnet vist erunder med grænserne tilføjet. Udtrykket betegnes det bestemte integrl f f(x) fr til b og beregner er et rel. b ò f ( x)dx F (b) - F () Eksempel: Eksmensopgven 1, stx B, mj 1991 En funktion f(x) er bestemt ved f (x )x (k x ), vor k er et positivt tl. Grfen for f fgrænser smmen med koordintsystemets førstekse en punktmængde M, der r et rel. ) Skitsér for k 10 området M, og bestem relet f M. b) Bestem tllet k, når det oplyses, t relet f M er 100. Besvrelse Grfen for f tegnes med Geogebr Grfen tegnes med kommndoerne: k 10 og f(x) x(k - x) For t finde det søgte rel, findes skæringspunkter mellem førsteksen og gr-

27 fen med skæringsværktøjet. (Punkterne er A og B.) D grfen ligger over/på x-ksen, findes relet som det bestemte integrl beregnet med GeoGebr: M mrkeres og relet beregnes med Geogebr På figuren erunder er M det brune område. x(b ) Arel(M) f (x )dx166,7 x( A) Bestem k Konstnten k kn ændres med en skyder (se figuren); relet M er en voksende funktion f k, og M(8,3) 99,85, M(8,) 100,0 k er derfor et tl mellem 8,3 og 8, som frundes til 8,3. Arelet f M 100 for k 8,3 Besvrelse II (uden jælpemidler) Grfen for f skitseres og M mrkeres Af nulreglen ses, t funktionens nulpunkter er v. 0 og k. D f er et ndengrdspolynomium, er er grfen en prbel med et toppunkt, vor x-værdien 7

28 8 ligger midt i mellem nulpunkterne. k k k T, k ( ( )) ( ) k k, Når k 10 kn grfen skitseres med støttepunkterne (0,0), (10,0) og (5,5). På figuren er grfen for f den blå prbel og M det brune område under prbelen. Arelet beregnes D f (x ) 0 for x ϵ [0, k ], fås relet T k M (k ) f ( x)dx k M (k ) x ( k x)dx k M (k ) (kx x ) dx k [ ] k x x3 M ( k ) 3 0 ( M ( k ) )( ( ) ( ) ) k k k 3 k M ( k ) M ( k ) 3 k k (0 0) 3 k3 k3 (0 0) 3 k3 M (k ) 6 Idet k 10, fås M Beregn k Smmenængen mellem M og k er fundet som M ( k ) Derfor løses ligningen: M (k )100 k k k 600 k8,33 k 8,3 k3. 6

29 9 Differentition og integrtion et overblik Ld der være givet en differentibel funktion f. Differentilkvotient For et bestemt tl x 0 kn vi så finde f ' ( x 0) som er et tl, nemlig ældningskoefficienten for tngenten i (x 0, f ( x 0 )). Den fledte funktion Smmenængen mellem lle mulige værdier i DM(f ) og de tilsvrende differentilkvotienter er: den fledte funktion, som betegnes f'. Nottion Hvis f(x) 3x +5 er f' (x) 3; i stedet skrives ofte: (3x +5)' 3 Sprogbrug: differentiere og integrere At finde den fledte funktion (givet f ), kldes t differentiere. Den ene figur erunder viser symbolsk mængden f lle funktioner, der er differentible. De 3 røde elementer er mrkeret som eksempler på de uendeligt mnge funktioner, der tilører mængden. De sorte linjer viser så over til den fledte funktion i den nden mængde. Bemærk, t nogle funktioner r smme fledte funktion, nogle r forskellige. Differentible funktioner Afledte funktioner At gå den nden vej kldes t integrere eller t finde en stmfunktion. Af bemærkningerne ovenover ses, t der ikke kun er ét svr. I virkeligeden er der uendeligt mnge svr. En stmfunktion og det ubestemte integrl Ld der være givet en kontinuert funktion f. Så kldes F en stmfunktion, vis F ' ( x) f ( x) Mn kn vise, t lle de ndre stmfunktioner f r kn skrives som F (x)+k

30 30 At finde mængden f lle funktioner, der er stmfunktioner til f kldes t finde det ubestemte integrl til f og skrives: f ( x ) dxf (x )+k Det bestemte integrl Det bestemte integrl er ikke en funktion, men et tl. For t beregne det vælges én f stmfunktionerne (og det vises nemt, t resulttet bliver det smme ligegyldigt vilken f stmfunktionerne mn vælger). Resulttet skrives med symbolet erunder og beregnes som vist: b f (x )dxf (b) F ( ) Formel for tngentligning og generelle differentitionsregler

31 31 Formler for differentition f bestemte funktioner Lineære funktioner (----) x+b

32 3 Formler for integrtion f bestemte funktioner Konstnte funktioner (----) k Regneregler for integrtion ( f (x )+g ( x)) dx f (x )dx+ g ( x)dx ( f (x ) g ( x)) dx f (x )dx g ( x)dx ( k f ( x)) dxk f ( x)dx Helt tilsvrende regler gælder for bestemte integrler: b b b ( f (x )+g ( x)) dx f ( x ) dx+ g ( x) dx b b b ( f (x ) g ( x)) dx f ( x ) dx g ( x) dx b b ( k f ( x)) dxk f ( x)dx Endelig gælder også indskudsreglen: b c b f ( x)dx f ( x) dx+ f ( x) dx c kx

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER Brugervejledning RS-216 - AIA kl. 1 RS-224 - AIA kl. 2 RS-232 - AIA kl. 3 Indholdsortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2 1. INTRODUKTION...3 1. System oversigt:...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Blowerdoor test med Termograferingsrapport

Blowerdoor test med Termograferingsrapport Blowerdoor test med Termogrferingsrpport For Skætterivej 53 4300 Holbæk. Udført d. 6.2 & 12.2.12008 Af Ole Lentz Hnsen Sknsehgevej 5, 4581 Rørvig. Tlf.: 59 91 94 80 & 61 60 43 86 www.olelentz.dk mil@olelentz.dk

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent.

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent. Reserveret Post nmrk Så er det tid til betling f kontingent. Hvidovre LQ hl&itqi,ie 19.ÅRGANG AlN(JHqs.en A ') te1re rt EBRUAR 21 265 Hvidovre Medlemmerne hr i læsende stund fået tilsendt opkrævningen.

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik niveau

Læs mere

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Forftterhåndbog 72214_forftterhnd_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Er mnuskriptet klr til indlevering? Alle niveuer i teksten er mrkeret klrt med smme skriftstørrelse og skrifttype for hvert niveu. Evt. tl-

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

gudmandsen.net Integraler

gudmandsen.net Integraler gudmandsen.net 2000-203 Jako SvH Gudmandsen Kopiering fra denne pulikation må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Integraler Indholdsfortegnelse Integraler...

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere