Differentialregning. integralregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. integralregning"

Transkript

1 Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013

2 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7 Beregning f differentilkvotienter...8 Den konstnte funktion...8 Den lineære funktion...8 Andengrdspolynomiet...9 Tredjegrdspolynomium...10 Funktionen f(x) 1/x...10 Kvdrtrodsfunktionen...10 Kombintioner f funktioner...11 Andre polynomier...13 Tngenter...1 Type 1: kendt x-værdi...1 Type : kendt y-værdi...15 Type 3: kendt tngentældning...16 Øvelser...17 Funktioners monotoniforold og ekstrem...18 Monotonisætningen...18 Den omvendte monotonisætning...18 Lokle extrem...18 Eksempel på undersøgelse f monotoniforold...19 Optimering...0 Fugleburet...0 Ordrestørrelser...1 Integrtion...3 Sætninger om integrtion...3 Det bestemte integrl... Sætning... Bevis... Beregning f A'(x)... Trin I: Beregning f y-tilvækst... Trin II: Beregning f sekntældning...5 Trin III: Beregning f tngentældning...5 Eksempel: Eksmensopgven 1, stx B, mj Differentition og integrtion et overblik...9 Differentilkvotient...9 Den fledte funktion...9 Nottion...9 Sprogbrug: differentiere og integrere...9 En stmfunktion og det ubestemte integrl...9 Det bestemte integrl...30 Formel for tngentligning og generelle differentitionsregler...30 Formler for differentition f bestemte funktioner...31 Formler for integrtion f bestemte funktioner...3 Regneregler for integrtion...3

3 3 Tegneøvelser Herover ses fr grfen for funktionen f(x). Find ældningskoefficienten for den grønne tngent i A. Tegn tngenter i punkterne (-; f(-)), (-1; f(-1)), (1; f(1)), (; f()), (7; f(7)), (9; f(9)). Find ældningskoefficienterne for disse. Hældningskoefficenterne kldes differentilkvotienter. Hvis x-værdien er -, skrives differentilkvotienten f'(-) D der kn findes en differentilkvotient for enver x-værdi (vor der kn tegnes en tngent) kn vi definere en funktion: til enver x-værdi x knyttes den tilsvrende differentilkvotient (som viser ældningen på tngenten i ( x, f(x)). Denne funktion er den fledte funktion: f'(x). Skitser f'(x). Hvd sker der, vor f'(x) 0?

4 Introduktion Differentilregning ndler bl.. om t undersøge, vorledes funktioner vokser. Hvis der er tle om en lineær funktion, kn væksten beskrives med Δ y Δ x vor det græske bogstv store delt betyder en differens (i v. y- og x-værdier). Åbn linket ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_.tml og eksperimenter med skyderne: Kontroller, t når Δ x vokser og > 0, vokser Δ y også Hvd kldes smmenængen mellem de to vrible: Δ x og Δ y? Hvilken betydning r for væksten? Hvor stor er Δ y, vis Δ x1? Hvor stor er Δ y, vis Δ x0? Hvorfor giver det mening t klde vækststigeden Hvis du både kender Δ x og Δ y, er du så i stnd til t beregne? Vis vordn i et eksempel! Gælder det i lle tænkelige eksempler? Forestil dig t du kører med konstnt stiged ud d en uendelig lng lndevej, t tiden måles med vriblen x, t den kørte fstnd svrer til f(x). Hvd fortæller prmeteren om køreturen? Det er vigtigt t erkende, t ver gng vi tler om t en bil NU kører med en bestemt stiged som fx 75 km/time, skl vi benytte to målinger: en fstndsmåling og en tidsmåling. Det kunne i eksemplet være fstnden 75 km og tiden 1 time. Vi tler dog også om t køre med den stiged, selvom der ikke er tle om t køre en el time, men fx t køre 5 km på 0 minutter. Men vis vil vil måle stigeden i et NU, bliver begge målinger 0, og stigeden lder sig ikke bestemme umiddelbrt: enver stiged psser ind i ligningen: Δ y Δ x. Men når vi for lle fstnde på ele køreturen måler den smme stiged, vil vi tillde os t sige, t NU kører vi også med 75 km/time. For en lineær funktion gælder det, t for enver x-værdi (i definitionsmængden) er vækststigeden Men biler kører ikke ltid med smme stiged og der findes mnge ndre funktionstyper end de lineære. Den følgende grf viser en ikke lineær vækst (og bemærk: Δ y kn være negtiv). Vi vil

5 5 gerne beskrive vækststigeden, når x 0, men det kunne lige så godt være for enver nden x-værdi. Vi kunne som er tegne en seknt, for derefter t beregne vækststigeden for denne; i sekntens endepunkter er der jo smmenfld med grfen og funktionens vækst og sekntens vækst er identiske. Sekntældningen er en slgs gennemsnitsvækststiged for funktionen. Følg linket er for t lve nedenstående øvelser: ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_3.tml Peg med musen på et f sekntens endepunkter og træk det lngs med grfen Bemærk, vorledes sekntældningen ændres Modst vd der gælder for den lineære funktion, får vi er mnge forskellige vækststigeder. Men ld os undersøge, vd der sker, vis begge endepunkters xværdier ligger i intervllet [- 0, ; +0,]. Noter 10 forskellige ældningskoefficienter for seknter, vor endepunkterne opfylder ovenstående betingelse. Gentg eksperimentet, men vælg i stedet for intervllet [-0, ; +0,]. Kn du lve intervllet så lille, t lle ældninger for seknter med endepunkter over dette intervl øjst fviger 0,005 fr 1,5? Du svrer foråbentlig j! og kn finde intervller, der er små nok. Så er situtionen næsten den smme som for den lineære funktion: For lle fstnde (der er tilstrækkelig små) r vi (næsten) den smme vækststiged. Og jo mindre intervllet bliver, jo mere nærmer vi os et bestemt tl. Dette tl er grænseværdien og kldes differentilkvotienten i 0. Vi ville få det smme resultt, selv om vi nøjedes med t se på seknter, der vde det ene endepunkt i A.

6 6 Definition f differentilkvotient og tngent Ld P( x 0 ; f ( x 0 )) og Q(x 0 + ; f ( x 0+)) Differentilkvotienten for f i Det skrives: f ' ( x 0)lim x 0 er grænseværdien for sekntældninger, når f ( x 0+) f ( x 0 ) f (x 0 +) f ( x 0) lim ( x 0+) ( x 0) Linjen gennem P med ældningen f ' ( x 0) kldes tngenten i P. 0

7 7 Tngentældninger Prøv t følge linket erunder under og eksperimenter med konstruktionen som beskrevet i øvelsen er1: Link: ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_1.tml Peg med musen på punktet X, der er bundet til x-ksen Flyt punktet frem og tilbge Bemærk, t punktet A flytter sig smtidigt og ltid r smme x-værdi som X, men ltid ligger på grfen for funktionen f. I A er der tegnet en tngent til grfen, som flytter sig smmen med A. I lgebrvinduet kn du finde smmenørende værdier f x-værdien i A og ældningskoefficienten for tngenten i netop dette punkt. Lv en tbel med disse tl i regnerket for x -, -1, 0,, 7, 8 i 1. kolonne og ældningerne i. kolonne. Lv en liste f punkter bseret på tbellen. Overvej: vi r defineret en ny funktion der fortæller om f-funktionens tngenters ældninger. Kn du genkende grfens type? Du skl finde funktionen og tegne grfen gennem de nye punkter med kommndoen: g(x)fitpoly[liste1,] forudst t du ikke r lvet flere lister. Giv den nye grf en speciel frve, fx lill. Beregn en funktionsværdi med kommndoen g_9g(9) Flyt punktet X til x-værdien 9 og flæs tngentens ældning; smmenlign med resulttet g(9). Den fledte funktion Ld f (x ) være en funktion, vor vi for enver x-værdi kn finde differentilkvotienten. Så betegner vi med f ' ( x) den funktion, der for en givet xværdi r differentilkvotienten som y-værdi. f ' ( x) kldes den fledte funktion. Funktionen f siges t være differentibel. Du kn sikkert nemt se, t en nødvendig betingelse for t en funktion r en fledt funktion er, t den er kontinuert (dvs. smmenængende.) Ligeledes skl den være glt: grfen må ikke ve spidser. Fx vil f (x ) x ikke være differentibel, fordi ældningerne på seknterne i næreden f (0,0) ikke nærmer sig et bestemt tl unset vor lille intervllet bliver. 1 Konstruktionen forudsætter, t Jv er instlleret på din PC

8 8 Beregning f differentilkvotienter Den konstnte funktion Funktionen f er givet ved: f (x )k Den fledte funktion er d: f ' ( x)0 Bevis En konstnt funktion vokser ikke; derfor bliver enver sekntældning 0. f ' ( x)0. Mn kn også se det f, t Den lineære funktion Funktionen f er givet ved: f (x )k Den fledte funktion er d: f ' ( x)0 Bevis Vi vil introducere en bevisteknik, der kldes tre-trins metoden. Udgngspunktet er P( x ; f (x )) smt et nbopunkt: Q( x+ ; f ( x+)). I Først findes Δ y med formlens forskrift og reduceres så vidt muligt) II Dernæst findes sekntens ældningskoefficient: Δy, som også reduceres / Δx omskrives III Endelig findes grænseværdien (kldet limes, eng. limit) når nærmer sig 0 I Δ y f (x+) f ( x ) ( x+)+b (x+b) x+ +b x b II Δ y Δx III Δy lim Δx 0 0 lim At differentilkvotienten ltid er lig med grfens ældningskoefficient, skulle ikke være nogen overrskelse. Tngenten i etvert punkt på grfen vil også være smmenfldende med grfen!

9 9 Andengrdspolynomiet Ld os strte med et tleksempel: vi vil finde differentilkvotienten for x. Funktionen vi undersøger er f (x )x Trin I Δ y f (+) f ()(+) ( 16++ ) Trin II Δ y Δx Trin III Δy lim +8 8 Δx 0 0 lim f ' ()8 På elt tilsvrende måde kn differentilkvotienten findes for en vilkårlig x-værdi. Dermed findes også forskriften for den fledte funktion. Sætning Funktionen f er givet ved: f (x )x Den fledte funktion er d: f ' ( x) x Bevis Trin I Δ y f (x+) f ( x )( x+) x ( x + + x ) x x + + x x + x Trin II Δ y + x + x Δx Trin III Δy lim + x x Δx 0 0 lim

10 10 Tredjegrdspolynomium Find på nøjgtigt smme måde en forskrift for den fledte funktion i dette tilfælde Funktionen f(x) 1/x Funktionen f er givet ved: f (x ) 1 x Den fledte funktion er d: f ' ( x) 1 x Bevis Trin I Δ y f ( x+) f (x ) ( x +) x ( x+) x x 1 1 x ( x+) x x ( x +) x ( x+) x ( x+) x ( x+) x ( x+) Trin II 1 Δ y x ( x +) x ( x+) 1 Δx 1 x ( x+) Trin III Δ y lim 1 1 x (x+) Δx x 0 0 lim Kvdrtrodsfunktionen Funktionen f er givet ved: f (x ) ( x) Den fledte funktion er d: f ' ( x) 1 ( x) Bevis Trin I Δ y f (x+) f ( x ) ( x+) ( x )

11 11 Trin II Δ y ( ( x+) x) ( ( x+) x) ( ( x+)+ x ) ( x+) x x+ x Δx ( ( x+)+ x) ( (x+)+ x) ( ( x+)+ x) Δy 1 Δ x ( ( x+)+ x ) ( x+)+ x Trin III 1 Δ y lim 1 Δx ( x +)+ x ( x) 0 0 lim Kombintioner f funktioner Sum Ld f og g være to differentible funktioner. Ld s være sumfunktionen: s( x)( f + g)( x) defineret som s( x) f ( x )+g ( x). Så er s ' ( x) f ' ( x )+g ' ( x ) Bevis Trin I Δ yδ ss (x+) s( x)( f ( x+)+g ( x+)) ( f (x )+g ( x)) Δ y f (x+)+g ( x+) f ( x) g ( x) f ( x+) f ( x)+ g ( x+) g ( x) Δ yδ f +Δ g Bemærk betydningen f Δ s som en kort skrivemåde for forskellen i y-værdier for den pågældende funktion; tilsvrende gælder for funktionerne f og g. Vær opmærksom på vorledes vert skl forklres med envisning til definition eller regel. Trin II Δ y Δ f +Δ g Δ f Δ g + Δx Trin III ( ) Δy Δ f Δg Δf Δg lim + lim lim + Δx Δ x Δx Δx Δ x f ' ( x)+ g ' ( x) lim Differens Ld f og g være to differentible funktioner. Ld d være differensfunktionen: d ( x)( f g)( x) defineret som d ( x) f ( x) g ( x). Så er d ' (x ) f ' (x ) g ' ( x )

12 1 Bevis Bevises fuldstændigt som for sumfunktionen. Produkt f reelt tl og funktion Ld f være en differentibel funktion og t et reelt tl. Ld k være funktionen: k ( x)(t f )( x) defineret som k ( x)t f ( x). Så er k ' (x )t f ' ( x) Bevis Bevises tilsvrende som for sumfunktionen. Produkt f to funktioner Ld f og g være to differentible funktioner. Ld p være produktfunktionen: p ( x )( f g )(x) defineret som p (x ) f ( x ) g ( x). Så er p ' ( x) f ' ( x) g ( x)+ f (x ) g ' (x) Bevis Trin I Δ yδ p p( x+) p( x+) f ( x+) g (x+) f ( x ) g ( x) Δ y f (x+) g ( x+) f ( x) g (x+)+ f ( x ) g ( x+) f ( x) g ( x ) Δ y [ f (x+) f (x )] g ( x+)+ f (x) [ g ( x+) g ( x )] Δ yδ f g ( x+)+ f (x ) Δ g Bemærk omskrivningen i nden linje: der er indskudt to ens led med v. fortegnene minus og plus. Dermed er ele udtrykket ikke ændret. Trin II Δ y Δ f g ( x+)+ f (x ) Δ g Δ f Δg g ( x+)+ f ( x) Δx Bemærk: En flerleddet størrelse divideres med et tl ved t dividere vert f leddene med tllet; et produkt divideres med et tl ved t dividere en f fktorerne med tllet. Trin III ( ) Δy Δf Δg Δf Δg lim g ( x+)+ f (x ) lim g ( x +) lim f (x ) + Δx lim Δy Δ x f ' ( x) g ( x)+ f (x ) g ' (x) 0 lim

13 13 Bemærk: grænseværdien for summen er summen f grænseværdierne, grænseværdien f produkterne er produktet f grænseværdierne. Grænseværdierne for de enkelte fktorer er v. f ' ( x), fordi f er differentibel, g ( x), fordi g er kontinuert, f (x ), fordi den fktor er den smme ufængig f værdien f g ' (x ), fordi g er differentibel. Andre polynomier Funktionen f er givet ved: f (x )x n Den fledte funktion er d: f ' ( x)n x n 1 Bevis Sætningen bevises som et induktionsbevis: I stedet for t bevise sætningen for de uendeligt mnge ele tl 1,, 3 bevises sætningen for n 1 smmen med påstnden: vis sætningen er snd for n er den også snd for det næste ele tl: n+1. (Hvis vi ved, sætningen er snd for n1 smmen med den sidste påstnd, er sætningen også rigtig for n1+1. Når sætningen er rigtig for n, er den også rigtig for n3. Osv.) Del I Vi vil gerne vise (x 1)' 1 x 1 1 f (x )x 1 er den lineære funktion med ældningskoefficienten 1; vi r tidligere vist, t den fledte funktion for en lineær funktion er f ' ( x) og i dette tilfælde er 1. Dvs. t venstre side er 1. Men øjre side er 1 x 1 11 x Dermed er del I bevist. differentition f et produkt.

14 1 Del II Det ntges, t sætningen er rigtig for n; dvs. f ' ( x)n x Ld gælder. Vi vil vise, t sætningen også gælder for (n+1). n 1 g ( x) x n+1 n +1 g ' ( x)(x )' g ' ( x)( x 1 x n )' g ' (x )( x 1)' x n+ x 1 ( x n) ' g ' ( x )1 x n+x 1 n x n 1 n n 1+1 g ' (x )x +n x g ' (x )x n+n x n g ' ( x)(n+1) x n g ' ( x)(n+1) x (n +1 ) 1 vorf ses, t sætningen også gælder for det ele tl n+1. Ud over lmindelige regneregler, er der i beviset benyttet sætningens del I og reglen om differentition f et produkt. Tngenter Vi vil i eksemplet er finde tngenter til prblen på forskellige måder. Vi vil både benytte forskellige teknikker (lommeregner eller GeoGebr) og se forskellige opgvetyper. Hver x gng benyttes smme funktion: g ( x) x 3. Type 1: kendt x-værdi Vi vil finde tngentens ligning for den givne funktion, vor tngenten r røringspunktet A med x-værdien 6. Besvrelse y-værdien for A beregnes som: g (6) x (jævnfør regler og tidligere resultter) 6 1 og tngentældningen kn beregnes som: g ' (6) Dernæst findes g ' (x ) Tngentligningens nden prmeter b findes med den sædvnlige formel for rette linjer: b y 1 x 1, vori indsættes de kendte tl:

15 b Tngentens ligning er: y1 x 1 Normlt skrives ældningskoefficienten ikke, når den er 1; er er den medtget for t tydeliggøre beregning og resultt. Alterntiv besvrelse Grfen tegnes i GeoGebr; linjen x6 tegnes. Skæringspunktet mellem disse findes: det er røringspunktet A. Tngentværktøjet vælges: klik på grf og røringspunkt og tngenten tegnes. I lgebrvinduet eller på tegningen kn tngentligningen flæses. Tngentens ligning: y x - 1 Type : kendt y-værdi Vi vil finde prblens tngenter i røringspunkterne B og C med y-værdien. Besvrelse x-værdierne for B og C beregnes ved t løse ligningen: g ( x ) x x 3 x x 3 x x 50 Det er en sædvnlig ndengrdsligning med 1, b, c 5 1 d ( 5)9 x ( )± (9) ±3 1 1 Løsningerne er x 1 og x 10 15

16 16 De tilsvrende y-værdier er begge + (iflg. opgven): y 1 og y x de respektive tngentældninger: Dernæst findes med g ' (x ) 1 ( ) 10 3 og 3 Tngentligningens nden prmeter b findes med den sædvnlige formel for rette linjer: b y 1 x 1, vori indsættes de kendte tl: b1 ( 3) ( ) b Tngentligningerne bliver så: Tngent 1: y 3x Tngent : y 3x 8 Tngentligningerne kunne også være fundet som før: Punkterne B og C findes som skæringspunkter mellem grfen og linjen y. Derefter benyttes tngentværktøjet. Type 3: kendt tngentældning Antg, t der skl findes en tngent til g med ældningen -1; x-værdien i røringspunktet findes så ved t løse ligningen: g ' ( x) 1 x 1 x + 1+ x 1 1 x x y-værdien i røringspunktet findes som g() Tngentens prmeter b fås så som b 5 ( 1) 3 Tngentens ligning er : y -x

17 17 Med GeoGebr findes først g'(x); denne skæres med linjen y-1; i skæringspunktet (S) er xværdien også røringspunktets x-værdi. Røringspunktet kn findes som (x(s),f(x(s))). Derefter løses opgven som i de foregående eksempler. Øvelser I de følgende øvelser skl du benytte en nottion for funktioner og fledte funktioner med prenteser som vist i følgende eksempel: f (x )x ( x ) f ' ( x)(x )' x Du skl differentiere nedenstående funktioner og vise lle mellemresultter med ngivelse f den regel, du r nvendt som i dette vejledende eksempel: f ( x )3 x Reglen for differensfunktioner f ' ( x)(3 x ) '(3 x )' ()' Afledt funktion for konstnt funktion f ' ( x)(3 x ) ' 0 Reglen om produkt f reelt tl og funktion f ' ( x)3 ( x ) ' 1 Reglen om polynomier (n-reglen) f ' ( x)3 x 1 Beregnet produktet 3*6 og differensen -11 f ' ( x)6 x f ' ( x)6 x Almindelig skrivemåde: multipliktionstegn og 1 er er usynlige! f ( x )6 x 5 e x g ( x)3 ln( x) ( x) x (5 x ) j ( x )5 5 x k ( x) 3 e x m( x) x x x 7. n ( x ) x 8. o( x)e x ln( x ) 3 9. p ( x )ln ( x ) 10. q ( x )3 3 x x 3 Kontroller dine svr med GeoGebr. Bemærk, t for en del f opgverne er der flere relevnte løsningsmetoder.

18 18 Funktioners monotoniforold og ekstrem Opgven går ud på t beskrive, i vilke dele f funktionens definitionsmængde den er voksende v. ftgende. Der benyttes følgende definition: f er en voksende funktion (i et intervl), vis x 1< x f ( x 1)< f ( x ) f er en ftgende funktion (i et intervl), vis x 1< x f ( x 1) f ( x ) Monotonisætningen Hvis f ' ( x)>0 for lle x i et intervl, så er f ( x ) voksende i intervllet Hvis f ' ( x)<0 for lle x i et intervl, så er f (x ) ftgende i intervllet Hvis f ' ( x)0 for lle x i et intervl, så er f (x ) konstnt i intervllet Den omvendte monotonisætning Hvis f ( x ) er differentibel og voksende i et intervl, er f ' ( x) 0 Hvis f ( x ) er differentibel og ftgende i et intervl, er f ' ( x) 0 Lokle extrem Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring r f et loklt mksimum i x 0 og omvendt. x 0 er Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring r f et loklt minimum i x 0 og omvendt. x 0 er Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring x 0 er er f voksende i et intervl rundt om x 0 og r en vndret vendetngent i x 0 og omvendt. Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring x 0 er er f ftgende i et intervl rundt om x 0 og r en vndret vendetngent i x 0 og omvendt. Sætningerne benyttes til t beskrive monotoniforoldene for funktioner som i nedenstående eksempel.

19 19 Eksempel på undersøgelse f monotoniforold Eksmensopgve 10, og b, mj 01 gl-mtemtik B En funktion f er givet ved f ( x )x x + ) Løs f ' ( x)0 b) Bestem monotoniforoldene for f Besvrelse Ligningen løses Forskriften indtstes i GeoGebr og den fledte funktion findes (ved indtstning f f ' ( x) ) Skæringspunkter mellem grfen for f' og x-ksen findes, vorf ses, t løsningsmængden til ligningen f ' ( x)0 er: L{-1 ; 0; 1} På tegningen ses løsningerne, og d et 3. grdspolynomium øjst r 3 rødder, er L den fuldstændige løsning. Monotoniforold bestemmes På figuren til øjre ses informtionen om f ' ( x) : x<-1 x-1-1<x<0 x0 0<x<1 x1 x>1 f'(x) - 0 f(x) ft lok mi voks lok ft. lok voks mx mi som fører til udsgnet om f. I ] ; -1 ] ftger f I ] -1 ; 0 ] vokser f I ] 0; 1 ] ftger f I ] 1 ; ] vokser f + Løs opgven uden jælpemidler

20 0 Optimering Fugleburet Hr. Mortensen vil indrette et fuglebur til sine undulter som et rektngulært rum. Hn r 15 m trådnet med en øjde, der netop når fr gulv til loft; det skl udgøre eller 3 f siderne smmen med de murede vægge. De murede vægge udgør ltså f rektnglets sider evt. smmen med en del f trådnettet. Disse består f en mur på 3 m (BC på figuren) som står vinkelret på en lng mur (mere end 15 m). Opgven: Bestem målene på AB og AE, så rektnglet ABDE får det størst mulige rel. Beregn dette rel. Besvrelse Ld x AE og y AB ED (idet modstående sider i et rektngel er lige store) Betegnes længden f siderne med trådnet som L, fås L x + y +(x-3) x + y 3 (idet vi forudsætter t lle 3 m f den korte mur indgår i omkredsen) Hvis lt nettet benyttes, fås: L15 x+ y 315 x + y 3 x+315 x +3 y18 x Fugleburets rel er A, og d der er tle om et rektngel fås A x y D der er 15 m trådnet til rådiged, kn y 18 x indsættes: A x y A x (18 x ) A18 x x

21 1 På figuren er tegnet grfen for relfunktionen A(x) (blå) og grfen for den fledte funktion A' (lill, stiplet). Denne skærer x-ksen i (,5 ; 0); dvs. det tilsvrende toppunkt er i (,5 ; A(,5)) (,5 ; 0,5). Både f prblens udseende og fortegnsvritionen for A' (+ 0 -) ses, t A r et loklt mksimum for x,5. D der ikke er ndre ekstrem, er der tle om en størsteværdi. Længden f AE skl være,5 m Længden f AB er 9,0 m Arelet f ABDE er 0,5 m Ordrestørrelser I firmet FliA/S importeres produktet NOGO fr Megpolis. Firmet r et slg f produktet, der fordeler sig jævnt over ele året. Nogle f omkostningerne ved køb og slg f produktet, knytter sig til ordrestørrelsen. Hver gng, der fgives en ordre koster det kr. 900 (til frgt, personleomkostniner mv.) Yderligere er der omkostninger til lger beregnet til kr. 5 pr. ened pr år. (til forrentning og betling f lgerplds.) Der regnes med et slg på 000 eneder pr. år. Det forudsættes, t mn kn fgive ordrer der vil nkomme os Fli A/S præcis når lgeret er tomt. Bestem den optimle ordrestørrelse Besvrelse Ld x være ordrestørrelsen (ntl eneder); så fgives der 000/x ordrer pr. år kr Ld f(x) være de årlige omkostninger ved ordrestørrelsen x (i kroner) f (x ) x Ld g(x) være de årlige omkostninger ved t olde lger (i kroner). D lgeret vrierer mellem x og 0, vil det i gennemsnit være x/ i løbet f et år og omkostningerne bliver: x g ( x) 5 De smlede omkostninger (der er fængige f ordrestørrelsen), er ( x) f (x )+g ( x)

22 De tre funktioner er vist er: Den optimle ordrestørrelse fås, vor '(x) 0. Der er kun en løsning, og det indses nemt, t der er tle om et minimum, d fortegnsvritionen for ' er -0+. Herf ses, t den optimle ordrestørrelse er 379 eneder pr. ordre. Bemærk, t '(x) 0 medfører t t Overvej vorfor! f ' ( x) g ' ( x) f ' ( x) g ' ( x ) medfører f (x )g ( x)

23 3 Integrtion At integrere en funktion f vil sige t finde en / de funktion(er), der differentieret er lig med f. Resulttet kldes det ubestemte integrl og skrives således: f (x ) dxf (x )+k vor F ' ( x) f ( x) Det lngstrkte s og symbolet dx betyder blot, t funktionen skl integreres. F(x) er en vilkårlig funktion, der opfylder betingelsen i. linje. Alle sådnne funktioner kldes stmfunktioner. Der er tilføjet +k fordi lle ndre funktioner, der differentieret er lig med f, kn fås ved t lægge en konstnt til en tilfældig stmfunktion. Et eksempel: x3 x dx +k 3 Kontroller påstnden ved t vælge et tilfældigt tl for k; differentier øjresiden. Resulttet skl være x. Sætninger om integrtion Det kn let vises, t der findes tilsvrende sætninger om integrtion som om differentition: ( f +g )(x )dx f ( x )dx+ g ( x)dx og tilsvrende for differensen. (t f )( x )dxt f (x ) dx vor t er et tl.

24 Det bestemte integrl Sætning 3 Givet en voksende kontinuert funktion f(x), vor f(x) > 0 (for lle x-værdier i DM) gælder, t relet mellem grf og x-kse begrænset f linjerne x og x b er b ò f ( x)dx F (b) - F () vor F er en vilkårlig stmfunktion til f. Bevis Ld os ntge, t der findes en relfunktion A(x), der for etvert x0 > Ù x0 Î DM beregner relet mellem grf og x-kse begrænset f linjerne x og x x0 Beregning f A'(x) Vi benytter nu tretrinsreglen til t finde A (x0): Trin I: Beregning f y-tilvækst Δ y er defineret som forskellen mellem to y-værdier (for relfunktionen): Dy A( x0 + ) - A( x0 ), vor som sædvnlig er den lille ændring i x-værdien På næste side kn du se Δ y som størrelsen f det lill frvede rel; A( x0 + ) er jo størrelsen f ele det frvede rel (både blåt og lill), A( x0 ) er tilsvrende størrelsen f det blå rel. Sætningen kn udvides til t gælde flere funktioner, men bevises i denne version for ikke t komplicere beviset. 3 Venstresiden med integrltegnet mv. er defineret f øjresiden; bemærk t vlget f stmfunktion ingen betydning r: de giver lle smme resultt.

25 5 Vi r endnu ikke en teknik til t beregne Dy, men vi kn finde både en overgrænse og en undergrænse for relets størrelse. Det forudsættes stiltiende, t > 0; er < 0 ændres rgumenttionen, men det endelige resultt bliver det smme. Det er klrt, t det grønne rektngels rel er mindre end Dy, idet bredden er og øjden er f ( x0 ). D f er voksende, er øjden den mindste funktionsværdi i [ x0 ; x0 + ]. Ligeledes er det klrt, t det brune rektngels rel er større end Dy, idet bredden er og øjden er f ( x0 + ). D f er voksende, er øjden den største funktionsværdi i [ x0 ; x0 + ]. Derfor gælder denne dobbeltuliged: " Grønt - rel " Dy " Brunt - rel " Û f ( x0 ) Dy f ( x0 + ) Trin II: Beregning f sekntældning Sekntældningen for relfunktionen er Δy Δy. Derfor gælder: Δx f ( x 0) Δ y f ( x 0+) Δx Δy f (x 0 ) f ( x 0+) Δx Trin III: Beregning f tngentældning Tngentældningen er grænseværdien f sekntældningen for gående mod 0: Δy lim f ( x 0) lim lim f (x 0+) Δx f ( x 0) A' ( x 0) f (x 0) A' ( x 0) f ( x 0) Det følger f kontinuiteten for f, t lim f ( x 0+) f (x 0 ) og dermed skl A'(x0) både være større og mindre end f(x0), vorfor A ' ( x 0 ) f (x 0 )

26 6 Beregning f A(x) Herf følger, t relfunktionen er én f stmfunktionerne til f. Ld F(x) være en vilkårlig stmfunktion til f. Så gælder, t A( x) F ( x)+k D A( )0 fås A( )F ( )+k k A( ) F ()0 F ( ) F ( ) Hermed er relfunktionens forskrift: A( x) F ( x) F ( ) Beregning f relet fr til b For t finde netop det søgte rel mellem linjerne x og xb indsættes b i relfunktionen: A(b)F (b) F () vor det bemærkes, t F er en vilkårlig stmfunktion. Hvde vi vlgt en nden stmfunktion, ville begge led ændre sig lige meget og forskellen forblive den smme. Som skrivemåde for dette udtryk benyttes integrtionstegnet vist erunder med grænserne tilføjet. Udtrykket betegnes det bestemte integrl f f(x) fr til b og beregner er et rel. b ò f ( x)dx F (b) - F () Eksempel: Eksmensopgven 1, stx B, mj 1991 En funktion f(x) er bestemt ved f (x )x (k x ), vor k er et positivt tl. Grfen for f fgrænser smmen med koordintsystemets førstekse en punktmængde M, der r et rel. ) Skitsér for k 10 området M, og bestem relet f M. b) Bestem tllet k, når det oplyses, t relet f M er 100. Besvrelse Grfen for f tegnes med Geogebr Grfen tegnes med kommndoerne: k 10 og f(x) x(k - x) For t finde det søgte rel, findes skæringspunkter mellem førsteksen og gr-

27 fen med skæringsværktøjet. (Punkterne er A og B.) D grfen ligger over/på x-ksen, findes relet som det bestemte integrl beregnet med GeoGebr: M mrkeres og relet beregnes med Geogebr På figuren erunder er M det brune område. x(b ) Arel(M) f (x )dx166,7 x( A) Bestem k Konstnten k kn ændres med en skyder (se figuren); relet M er en voksende funktion f k, og M(8,3) 99,85, M(8,) 100,0 k er derfor et tl mellem 8,3 og 8, som frundes til 8,3. Arelet f M 100 for k 8,3 Besvrelse II (uden jælpemidler) Grfen for f skitseres og M mrkeres Af nulreglen ses, t funktionens nulpunkter er v. 0 og k. D f er et ndengrdspolynomium, er er grfen en prbel med et toppunkt, vor x-værdien 7

28 8 ligger midt i mellem nulpunkterne. k k k T, k ( ( )) ( ) k k, Når k 10 kn grfen skitseres med støttepunkterne (0,0), (10,0) og (5,5). På figuren er grfen for f den blå prbel og M det brune område under prbelen. Arelet beregnes D f (x ) 0 for x ϵ [0, k ], fås relet T k M (k ) f ( x)dx k M (k ) x ( k x)dx k M (k ) (kx x ) dx k [ ] k x x3 M ( k ) 3 0 ( M ( k ) )( ( ) ( ) ) k k k 3 k M ( k ) M ( k ) 3 k k (0 0) 3 k3 k3 (0 0) 3 k3 M (k ) 6 Idet k 10, fås M Beregn k Smmenængen mellem M og k er fundet som M ( k ) Derfor løses ligningen: M (k )100 k k k 600 k8,33 k 8,3 k3. 6

29 9 Differentition og integrtion et overblik Ld der være givet en differentibel funktion f. Differentilkvotient For et bestemt tl x 0 kn vi så finde f ' ( x 0) som er et tl, nemlig ældningskoefficienten for tngenten i (x 0, f ( x 0 )). Den fledte funktion Smmenængen mellem lle mulige værdier i DM(f ) og de tilsvrende differentilkvotienter er: den fledte funktion, som betegnes f'. Nottion Hvis f(x) 3x +5 er f' (x) 3; i stedet skrives ofte: (3x +5)' 3 Sprogbrug: differentiere og integrere At finde den fledte funktion (givet f ), kldes t differentiere. Den ene figur erunder viser symbolsk mængden f lle funktioner, der er differentible. De 3 røde elementer er mrkeret som eksempler på de uendeligt mnge funktioner, der tilører mængden. De sorte linjer viser så over til den fledte funktion i den nden mængde. Bemærk, t nogle funktioner r smme fledte funktion, nogle r forskellige. Differentible funktioner Afledte funktioner At gå den nden vej kldes t integrere eller t finde en stmfunktion. Af bemærkningerne ovenover ses, t der ikke kun er ét svr. I virkeligeden er der uendeligt mnge svr. En stmfunktion og det ubestemte integrl Ld der være givet en kontinuert funktion f. Så kldes F en stmfunktion, vis F ' ( x) f ( x) Mn kn vise, t lle de ndre stmfunktioner f r kn skrives som F (x)+k

30 30 At finde mængden f lle funktioner, der er stmfunktioner til f kldes t finde det ubestemte integrl til f og skrives: f ( x ) dxf (x )+k Det bestemte integrl Det bestemte integrl er ikke en funktion, men et tl. For t beregne det vælges én f stmfunktionerne (og det vises nemt, t resulttet bliver det smme ligegyldigt vilken f stmfunktionerne mn vælger). Resulttet skrives med symbolet erunder og beregnes som vist: b f (x )dxf (b) F ( ) Formel for tngentligning og generelle differentitionsregler

31 31 Formler for differentition f bestemte funktioner Lineære funktioner (----) x+b

32 3 Formler for integrtion f bestemte funktioner Konstnte funktioner (----) k Regneregler for integrtion ( f (x )+g ( x)) dx f (x )dx+ g ( x)dx ( f (x ) g ( x)) dx f (x )dx g ( x)dx ( k f ( x)) dxk f ( x)dx Helt tilsvrende regler gælder for bestemte integrler: b b b ( f (x )+g ( x)) dx f ( x ) dx+ g ( x) dx b b b ( f (x ) g ( x)) dx f ( x ) dx g ( x) dx b b ( k f ( x)) dxk f ( x)dx Endelig gælder også indskudsreglen: b c b f ( x)dx f ( x) dx+ f ( x) dx c kx

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere