Differentialregning. integralregning

Transkript

1 Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013

2 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7 Beregning f differentilkvotienter...8 Den konstnte funktion...8 Den lineære funktion...8 Andengrdspolynomiet...9 Tredjegrdspolynomium...10 Funktionen f(x) 1/x...10 Kvdrtrodsfunktionen...10 Kombintioner f funktioner...11 Andre polynomier...13 Tngenter...1 Type 1: kendt x-værdi...1 Type : kendt y-værdi...15 Type 3: kendt tngentældning...16 Øvelser...17 Funktioners monotoniforold og ekstrem...18 Monotonisætningen...18 Den omvendte monotonisætning...18 Lokle extrem...18 Eksempel på undersøgelse f monotoniforold...19 Optimering...0 Fugleburet...0 Ordrestørrelser...1 Integrtion...3 Sætninger om integrtion...3 Det bestemte integrl... Sætning... Bevis... Beregning f A'(x)... Trin I: Beregning f y-tilvækst... Trin II: Beregning f sekntældning...5 Trin III: Beregning f tngentældning...5 Eksempel: Eksmensopgven 1, stx B, mj Differentition og integrtion et overblik...9 Differentilkvotient...9 Den fledte funktion...9 Nottion...9 Sprogbrug: differentiere og integrere...9 En stmfunktion og det ubestemte integrl...9 Det bestemte integrl...30 Formel for tngentligning og generelle differentitionsregler...30 Formler for differentition f bestemte funktioner...31 Formler for integrtion f bestemte funktioner...3 Regneregler for integrtion...3

3 3 Tegneøvelser Herover ses fr grfen for funktionen f(x). Find ældningskoefficienten for den grønne tngent i A. Tegn tngenter i punkterne (-; f(-)), (-1; f(-1)), (1; f(1)), (; f()), (7; f(7)), (9; f(9)). Find ældningskoefficienterne for disse. Hældningskoefficenterne kldes differentilkvotienter. Hvis x-værdien er -, skrives differentilkvotienten f'(-) D der kn findes en differentilkvotient for enver x-værdi (vor der kn tegnes en tngent) kn vi definere en funktion: til enver x-værdi x knyttes den tilsvrende differentilkvotient (som viser ældningen på tngenten i ( x, f(x)). Denne funktion er den fledte funktion: f'(x). Skitser f'(x). Hvd sker der, vor f'(x) 0?

4 Introduktion Differentilregning ndler bl.. om t undersøge, vorledes funktioner vokser. Hvis der er tle om en lineær funktion, kn væksten beskrives med Δ y Δ x vor det græske bogstv store delt betyder en differens (i v. y- og x-værdier). Åbn linket ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_.tml og eksperimenter med skyderne: Kontroller, t når Δ x vokser og > 0, vokser Δ y også Hvd kldes smmenængen mellem de to vrible: Δ x og Δ y? Hvilken betydning r for væksten? Hvor stor er Δ y, vis Δ x1? Hvor stor er Δ y, vis Δ x0? Hvorfor giver det mening t klde vækststigeden Hvis du både kender Δ x og Δ y, er du så i stnd til t beregne? Vis vordn i et eksempel! Gælder det i lle tænkelige eksempler? Forestil dig t du kører med konstnt stiged ud d en uendelig lng lndevej, t tiden måles med vriblen x, t den kørte fstnd svrer til f(x). Hvd fortæller prmeteren om køreturen? Det er vigtigt t erkende, t ver gng vi tler om t en bil NU kører med en bestemt stiged som fx 75 km/time, skl vi benytte to målinger: en fstndsmåling og en tidsmåling. Det kunne i eksemplet være fstnden 75 km og tiden 1 time. Vi tler dog også om t køre med den stiged, selvom der ikke er tle om t køre en el time, men fx t køre 5 km på 0 minutter. Men vis vil vil måle stigeden i et NU, bliver begge målinger 0, og stigeden lder sig ikke bestemme umiddelbrt: enver stiged psser ind i ligningen: Δ y Δ x. Men når vi for lle fstnde på ele køreturen måler den smme stiged, vil vi tillde os t sige, t NU kører vi også med 75 km/time. For en lineær funktion gælder det, t for enver x-værdi (i definitionsmængden) er vækststigeden Men biler kører ikke ltid med smme stiged og der findes mnge ndre funktionstyper end de lineære. Den følgende grf viser en ikke lineær vækst (og bemærk: Δ y kn være negtiv). Vi vil

5 5 gerne beskrive vækststigeden, når x 0, men det kunne lige så godt være for enver nden x-værdi. Vi kunne som er tegne en seknt, for derefter t beregne vækststigeden for denne; i sekntens endepunkter er der jo smmenfld med grfen og funktionens vækst og sekntens vækst er identiske. Sekntældningen er en slgs gennemsnitsvækststiged for funktionen. Følg linket er for t lve nedenstående øvelser: ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_3.tml Peg med musen på et f sekntens endepunkter og træk det lngs med grfen Bemærk, vorledes sekntældningen ændres Modst vd der gælder for den lineære funktion, får vi er mnge forskellige vækststigeder. Men ld os undersøge, vd der sker, vis begge endepunkters xværdier ligger i intervllet [- 0, ; +0,]. Noter 10 forskellige ældningskoefficienter for seknter, vor endepunkterne opfylder ovenstående betingelse. Gentg eksperimentet, men vælg i stedet for intervllet [-0, ; +0,]. Kn du lve intervllet så lille, t lle ældninger for seknter med endepunkter over dette intervl øjst fviger 0,005 fr 1,5? Du svrer foråbentlig j! og kn finde intervller, der er små nok. Så er situtionen næsten den smme som for den lineære funktion: For lle fstnde (der er tilstrækkelig små) r vi (næsten) den smme vækststiged. Og jo mindre intervllet bliver, jo mere nærmer vi os et bestemt tl. Dette tl er grænseværdien og kldes differentilkvotienten i 0. Vi ville få det smme resultt, selv om vi nøjedes med t se på seknter, der vde det ene endepunkt i A.

6 6 Definition f differentilkvotient og tngent Ld P( x 0 ; f ( x 0 )) og Q(x 0 + ; f ( x 0+)) Differentilkvotienten for f i Det skrives: f ' ( x 0)lim x 0 er grænseværdien for sekntældninger, når f ( x 0+) f ( x 0 ) f (x 0 +) f ( x 0) lim ( x 0+) ( x 0) Linjen gennem P med ældningen f ' ( x 0) kldes tngenten i P. 0

7 7 Tngentældninger Prøv t følge linket erunder under og eksperimenter med konstruktionen som beskrevet i øvelsen er1: Link: ttp://mimimi.dk/mixi/dif/dif_1.tml Peg med musen på punktet X, der er bundet til x-ksen Flyt punktet frem og tilbge Bemærk, t punktet A flytter sig smtidigt og ltid r smme x-værdi som X, men ltid ligger på grfen for funktionen f. I A er der tegnet en tngent til grfen, som flytter sig smmen med A. I lgebrvinduet kn du finde smmenørende værdier f x-værdien i A og ældningskoefficienten for tngenten i netop dette punkt. Lv en tbel med disse tl i regnerket for x -, -1, 0,, 7, 8 i 1. kolonne og ældningerne i. kolonne. Lv en liste f punkter bseret på tbellen. Overvej: vi r defineret en ny funktion der fortæller om f-funktionens tngenters ældninger. Kn du genkende grfens type? Du skl finde funktionen og tegne grfen gennem de nye punkter med kommndoen: g(x)fitpoly[liste1,] forudst t du ikke r lvet flere lister. Giv den nye grf en speciel frve, fx lill. Beregn en funktionsværdi med kommndoen g_9g(9) Flyt punktet X til x-værdien 9 og flæs tngentens ældning; smmenlign med resulttet g(9). Den fledte funktion Ld f (x ) være en funktion, vor vi for enver x-værdi kn finde differentilkvotienten. Så betegner vi med f ' ( x) den funktion, der for en givet xværdi r differentilkvotienten som y-værdi. f ' ( x) kldes den fledte funktion. Funktionen f siges t være differentibel. Du kn sikkert nemt se, t en nødvendig betingelse for t en funktion r en fledt funktion er, t den er kontinuert (dvs. smmenængende.) Ligeledes skl den være glt: grfen må ikke ve spidser. Fx vil f (x ) x ikke være differentibel, fordi ældningerne på seknterne i næreden f (0,0) ikke nærmer sig et bestemt tl unset vor lille intervllet bliver. 1 Konstruktionen forudsætter, t Jv er instlleret på din PC

8 8 Beregning f differentilkvotienter Den konstnte funktion Funktionen f er givet ved: f (x )k Den fledte funktion er d: f ' ( x)0 Bevis En konstnt funktion vokser ikke; derfor bliver enver sekntældning 0. f ' ( x)0. Mn kn også se det f, t Den lineære funktion Funktionen f er givet ved: f (x )k Den fledte funktion er d: f ' ( x)0 Bevis Vi vil introducere en bevisteknik, der kldes tre-trins metoden. Udgngspunktet er P( x ; f (x )) smt et nbopunkt: Q( x+ ; f ( x+)). I Først findes Δ y med formlens forskrift og reduceres så vidt muligt) II Dernæst findes sekntens ældningskoefficient: Δy, som også reduceres / Δx omskrives III Endelig findes grænseværdien (kldet limes, eng. limit) når nærmer sig 0 I Δ y f (x+) f ( x ) ( x+)+b (x+b) x+ +b x b II Δ y Δx III Δy lim Δx 0 0 lim At differentilkvotienten ltid er lig med grfens ældningskoefficient, skulle ikke være nogen overrskelse. Tngenten i etvert punkt på grfen vil også være smmenfldende med grfen!

9 9 Andengrdspolynomiet Ld os strte med et tleksempel: vi vil finde differentilkvotienten for x. Funktionen vi undersøger er f (x )x Trin I Δ y f (+) f ()(+) ( 16++ ) Trin II Δ y Δx Trin III Δy lim +8 8 Δx 0 0 lim f ' ()8 På elt tilsvrende måde kn differentilkvotienten findes for en vilkårlig x-værdi. Dermed findes også forskriften for den fledte funktion. Sætning Funktionen f er givet ved: f (x )x Den fledte funktion er d: f ' ( x) x Bevis Trin I Δ y f (x+) f ( x )( x+) x ( x + + x ) x x + + x x + x Trin II Δ y + x + x Δx Trin III Δy lim + x x Δx 0 0 lim

10 10 Tredjegrdspolynomium Find på nøjgtigt smme måde en forskrift for den fledte funktion i dette tilfælde Funktionen f(x) 1/x Funktionen f er givet ved: f (x ) 1 x Den fledte funktion er d: f ' ( x) 1 x Bevis Trin I Δ y f ( x+) f (x ) ( x +) x ( x+) x x 1 1 x ( x+) x x ( x +) x ( x+) x ( x+) x ( x+) x ( x+) Trin II 1 Δ y x ( x +) x ( x+) 1 Δx 1 x ( x+) Trin III Δ y lim 1 1 x (x+) Δx x 0 0 lim Kvdrtrodsfunktionen Funktionen f er givet ved: f (x ) ( x) Den fledte funktion er d: f ' ( x) 1 ( x) Bevis Trin I Δ y f (x+) f ( x ) ( x+) ( x )

11 11 Trin II Δ y ( ( x+) x) ( ( x+) x) ( ( x+)+ x ) ( x+) x x+ x Δx ( ( x+)+ x) ( (x+)+ x) ( ( x+)+ x) Δy 1 Δ x ( ( x+)+ x ) ( x+)+ x Trin III 1 Δ y lim 1 Δx ( x +)+ x ( x) 0 0 lim Kombintioner f funktioner Sum Ld f og g være to differentible funktioner. Ld s være sumfunktionen: s( x)( f + g)( x) defineret som s( x) f ( x )+g ( x). Så er s ' ( x) f ' ( x )+g ' ( x ) Bevis Trin I Δ yδ ss (x+) s( x)( f ( x+)+g ( x+)) ( f (x )+g ( x)) Δ y f (x+)+g ( x+) f ( x) g ( x) f ( x+) f ( x)+ g ( x+) g ( x) Δ yδ f +Δ g Bemærk betydningen f Δ s som en kort skrivemåde for forskellen i y-værdier for den pågældende funktion; tilsvrende gælder for funktionerne f og g. Vær opmærksom på vorledes vert skl forklres med envisning til definition eller regel. Trin II Δ y Δ f +Δ g Δ f Δ g + Δx Trin III ( ) Δy Δ f Δg Δf Δg lim + lim lim + Δx Δ x Δx Δx Δ x f ' ( x)+ g ' ( x) lim Differens Ld f og g være to differentible funktioner. Ld d være differensfunktionen: d ( x)( f g)( x) defineret som d ( x) f ( x) g ( x). Så er d ' (x ) f ' (x ) g ' ( x )

12 1 Bevis Bevises fuldstændigt som for sumfunktionen. Produkt f reelt tl og funktion Ld f være en differentibel funktion og t et reelt tl. Ld k være funktionen: k ( x)(t f )( x) defineret som k ( x)t f ( x). Så er k ' (x )t f ' ( x) Bevis Bevises tilsvrende som for sumfunktionen. Produkt f to funktioner Ld f og g være to differentible funktioner. Ld p være produktfunktionen: p ( x )( f g )(x) defineret som p (x ) f ( x ) g ( x). Så er p ' ( x) f ' ( x) g ( x)+ f (x ) g ' (x) Bevis Trin I Δ yδ p p( x+) p( x+) f ( x+) g (x+) f ( x ) g ( x) Δ y f (x+) g ( x+) f ( x) g (x+)+ f ( x ) g ( x+) f ( x) g ( x ) Δ y [ f (x+) f (x )] g ( x+)+ f (x) [ g ( x+) g ( x )] Δ yδ f g ( x+)+ f (x ) Δ g Bemærk omskrivningen i nden linje: der er indskudt to ens led med v. fortegnene minus og plus. Dermed er ele udtrykket ikke ændret. Trin II Δ y Δ f g ( x+)+ f (x ) Δ g Δ f Δg g ( x+)+ f ( x) Δx Bemærk: En flerleddet størrelse divideres med et tl ved t dividere vert f leddene med tllet; et produkt divideres med et tl ved t dividere en f fktorerne med tllet. Trin III ( ) Δy Δf Δg Δf Δg lim g ( x+)+ f (x ) lim g ( x +) lim f (x ) + Δx lim Δy Δ x f ' ( x) g ( x)+ f (x ) g ' (x) 0 lim

13 13 Bemærk: grænseværdien for summen er summen f grænseværdierne, grænseværdien f produkterne er produktet f grænseværdierne. Grænseværdierne for de enkelte fktorer er v. f ' ( x), fordi f er differentibel, g ( x), fordi g er kontinuert, f (x ), fordi den fktor er den smme ufængig f værdien f g ' (x ), fordi g er differentibel. Andre polynomier Funktionen f er givet ved: f (x )x n Den fledte funktion er d: f ' ( x)n x n 1 Bevis Sætningen bevises som et induktionsbevis: I stedet for t bevise sætningen for de uendeligt mnge ele tl 1,, 3 bevises sætningen for n 1 smmen med påstnden: vis sætningen er snd for n er den også snd for det næste ele tl: n+1. (Hvis vi ved, sætningen er snd for n1 smmen med den sidste påstnd, er sætningen også rigtig for n1+1. Når sætningen er rigtig for n, er den også rigtig for n3. Osv.) Del I Vi vil gerne vise (x 1)' 1 x 1 1 f (x )x 1 er den lineære funktion med ældningskoefficienten 1; vi r tidligere vist, t den fledte funktion for en lineær funktion er f ' ( x) og i dette tilfælde er 1. Dvs. t venstre side er 1. Men øjre side er 1 x 1 11 x Dermed er del I bevist. differentition f et produkt.

14 1 Del II Det ntges, t sætningen er rigtig for n; dvs. f ' ( x)n x Ld gælder. Vi vil vise, t sætningen også gælder for (n+1). n 1 g ( x) x n+1 n +1 g ' ( x)(x )' g ' ( x)( x 1 x n )' g ' (x )( x 1)' x n+ x 1 ( x n) ' g ' ( x )1 x n+x 1 n x n 1 n n 1+1 g ' (x )x +n x g ' (x )x n+n x n g ' ( x)(n+1) x n g ' ( x)(n+1) x (n +1 ) 1 vorf ses, t sætningen også gælder for det ele tl n+1. Ud over lmindelige regneregler, er der i beviset benyttet sætningens del I og reglen om differentition f et produkt. Tngenter Vi vil i eksemplet er finde tngenter til prblen på forskellige måder. Vi vil både benytte forskellige teknikker (lommeregner eller GeoGebr) og se forskellige opgvetyper. Hver x gng benyttes smme funktion: g ( x) x 3. Type 1: kendt x-værdi Vi vil finde tngentens ligning for den givne funktion, vor tngenten r røringspunktet A med x-værdien 6. Besvrelse y-værdien for A beregnes som: g (6) x (jævnfør regler og tidligere resultter) 6 1 og tngentældningen kn beregnes som: g ' (6) Dernæst findes g ' (x ) Tngentligningens nden prmeter b findes med den sædvnlige formel for rette linjer: b y 1 x 1, vori indsættes de kendte tl:

15 b Tngentens ligning er: y1 x 1 Normlt skrives ældningskoefficienten ikke, når den er 1; er er den medtget for t tydeliggøre beregning og resultt. Alterntiv besvrelse Grfen tegnes i GeoGebr; linjen x6 tegnes. Skæringspunktet mellem disse findes: det er røringspunktet A. Tngentværktøjet vælges: klik på grf og røringspunkt og tngenten tegnes. I lgebrvinduet eller på tegningen kn tngentligningen flæses. Tngentens ligning: y x - 1 Type : kendt y-værdi Vi vil finde prblens tngenter i røringspunkterne B og C med y-værdien. Besvrelse x-værdierne for B og C beregnes ved t løse ligningen: g ( x ) x x 3 x x 3 x x 50 Det er en sædvnlig ndengrdsligning med 1, b, c 5 1 d ( 5)9 x ( )± (9) ±3 1 1 Løsningerne er x 1 og x 10 15

16 16 De tilsvrende y-værdier er begge + (iflg. opgven): y 1 og y x de respektive tngentældninger: Dernæst findes med g ' (x ) 1 ( ) 10 3 og 3 Tngentligningens nden prmeter b findes med den sædvnlige formel for rette linjer: b y 1 x 1, vori indsættes de kendte tl: b1 ( 3) ( ) b Tngentligningerne bliver så: Tngent 1: y 3x Tngent : y 3x 8 Tngentligningerne kunne også være fundet som før: Punkterne B og C findes som skæringspunkter mellem grfen og linjen y. Derefter benyttes tngentværktøjet. Type 3: kendt tngentældning Antg, t der skl findes en tngent til g med ældningen -1; x-værdien i røringspunktet findes så ved t løse ligningen: g ' ( x) 1 x 1 x + 1+ x 1 1 x x y-værdien i røringspunktet findes som g() Tngentens prmeter b fås så som b 5 ( 1) 3 Tngentens ligning er : y -x

17 17 Med GeoGebr findes først g'(x); denne skæres med linjen y-1; i skæringspunktet (S) er xværdien også røringspunktets x-værdi. Røringspunktet kn findes som (x(s),f(x(s))). Derefter løses opgven som i de foregående eksempler. Øvelser I de følgende øvelser skl du benytte en nottion for funktioner og fledte funktioner med prenteser som vist i følgende eksempel: f (x )x ( x ) f ' ( x)(x )' x Du skl differentiere nedenstående funktioner og vise lle mellemresultter med ngivelse f den regel, du r nvendt som i dette vejledende eksempel: f ( x )3 x Reglen for differensfunktioner f ' ( x)(3 x ) '(3 x )' ()' Afledt funktion for konstnt funktion f ' ( x)(3 x ) ' 0 Reglen om produkt f reelt tl og funktion f ' ( x)3 ( x ) ' 1 Reglen om polynomier (n-reglen) f ' ( x)3 x 1 Beregnet produktet 3*6 og differensen -11 f ' ( x)6 x f ' ( x)6 x Almindelig skrivemåde: multipliktionstegn og 1 er er usynlige! f ( x )6 x 5 e x g ( x)3 ln( x) ( x) x (5 x ) j ( x )5 5 x k ( x) 3 e x m( x) x x x 7. n ( x ) x 8. o( x)e x ln( x ) 3 9. p ( x )ln ( x ) 10. q ( x )3 3 x x 3 Kontroller dine svr med GeoGebr. Bemærk, t for en del f opgverne er der flere relevnte løsningsmetoder.

18 18 Funktioners monotoniforold og ekstrem Opgven går ud på t beskrive, i vilke dele f funktionens definitionsmængde den er voksende v. ftgende. Der benyttes følgende definition: f er en voksende funktion (i et intervl), vis x 1< x f ( x 1)< f ( x ) f er en ftgende funktion (i et intervl), vis x 1< x f ( x 1) f ( x ) Monotonisætningen Hvis f ' ( x)>0 for lle x i et intervl, så er f ( x ) voksende i intervllet Hvis f ' ( x)<0 for lle x i et intervl, så er f (x ) ftgende i intervllet Hvis f ' ( x)0 for lle x i et intervl, så er f (x ) konstnt i intervllet Den omvendte monotonisætning Hvis f ( x ) er differentibel og voksende i et intervl, er f ' ( x) 0 Hvis f ( x ) er differentibel og ftgende i et intervl, er f ' ( x) 0 Lokle extrem Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring r f et loklt mksimum i x 0 og omvendt. x 0 er Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring r f et loklt minimum i x 0 og omvendt. x 0 er Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring x 0 er er f voksende i et intervl rundt om x 0 og r en vndret vendetngent i x 0 og omvendt. Hvis f ( x ) er differentibel og fortegnsvritionen for f ' ( x) omkring x 0 er er f ftgende i et intervl rundt om x 0 og r en vndret vendetngent i x 0 og omvendt. Sætningerne benyttes til t beskrive monotoniforoldene for funktioner som i nedenstående eksempel.

19 19 Eksempel på undersøgelse f monotoniforold Eksmensopgve 10, og b, mj 01 gl-mtemtik B En funktion f er givet ved f ( x )x x + ) Løs f ' ( x)0 b) Bestem monotoniforoldene for f Besvrelse Ligningen løses Forskriften indtstes i GeoGebr og den fledte funktion findes (ved indtstning f f ' ( x) ) Skæringspunkter mellem grfen for f' og x-ksen findes, vorf ses, t løsningsmængden til ligningen f ' ( x)0 er: L{-1 ; 0; 1} På tegningen ses løsningerne, og d et 3. grdspolynomium øjst r 3 rødder, er L den fuldstændige løsning. Monotoniforold bestemmes På figuren til øjre ses informtionen om f ' ( x) : x<-1 x-1-1<x<0 x0 0<x<1 x1 x>1 f'(x) - 0 f(x) ft lok mi voks lok ft. lok voks mx mi som fører til udsgnet om f. I ] ; -1 ] ftger f I ] -1 ; 0 ] vokser f I ] 0; 1 ] ftger f I ] 1 ; ] vokser f + Løs opgven uden jælpemidler

20 0 Optimering Fugleburet Hr. Mortensen vil indrette et fuglebur til sine undulter som et rektngulært rum. Hn r 15 m trådnet med en øjde, der netop når fr gulv til loft; det skl udgøre eller 3 f siderne smmen med de murede vægge. De murede vægge udgør ltså f rektnglets sider evt. smmen med en del f trådnettet. Disse består f en mur på 3 m (BC på figuren) som står vinkelret på en lng mur (mere end 15 m). Opgven: Bestem målene på AB og AE, så rektnglet ABDE får det størst mulige rel. Beregn dette rel. Besvrelse Ld x AE og y AB ED (idet modstående sider i et rektngel er lige store) Betegnes længden f siderne med trådnet som L, fås L x + y +(x-3) x + y 3 (idet vi forudsætter t lle 3 m f den korte mur indgår i omkredsen) Hvis lt nettet benyttes, fås: L15 x+ y 315 x + y 3 x+315 x +3 y18 x Fugleburets rel er A, og d der er tle om et rektngel fås A x y D der er 15 m trådnet til rådiged, kn y 18 x indsættes: A x y A x (18 x ) A18 x x

21 1 På figuren er tegnet grfen for relfunktionen A(x) (blå) og grfen for den fledte funktion A' (lill, stiplet). Denne skærer x-ksen i (,5 ; 0); dvs. det tilsvrende toppunkt er i (,5 ; A(,5)) (,5 ; 0,5). Både f prblens udseende og fortegnsvritionen for A' (+ 0 -) ses, t A r et loklt mksimum for x,5. D der ikke er ndre ekstrem, er der tle om en størsteværdi. Længden f AE skl være,5 m Længden f AB er 9,0 m Arelet f ABDE er 0,5 m Ordrestørrelser I firmet FliA/S importeres produktet NOGO fr Megpolis. Firmet r et slg f produktet, der fordeler sig jævnt over ele året. Nogle f omkostningerne ved køb og slg f produktet, knytter sig til ordrestørrelsen. Hver gng, der fgives en ordre koster det kr. 900 (til frgt, personleomkostniner mv.) Yderligere er der omkostninger til lger beregnet til kr. 5 pr. ened pr år. (til forrentning og betling f lgerplds.) Der regnes med et slg på 000 eneder pr. år. Det forudsættes, t mn kn fgive ordrer der vil nkomme os Fli A/S præcis når lgeret er tomt. Bestem den optimle ordrestørrelse Besvrelse Ld x være ordrestørrelsen (ntl eneder); så fgives der 000/x ordrer pr. år kr Ld f(x) være de årlige omkostninger ved ordrestørrelsen x (i kroner) f (x ) x Ld g(x) være de årlige omkostninger ved t olde lger (i kroner). D lgeret vrierer mellem x og 0, vil det i gennemsnit være x/ i løbet f et år og omkostningerne bliver: x g ( x) 5 De smlede omkostninger (der er fængige f ordrestørrelsen), er ( x) f (x )+g ( x)

22 De tre funktioner er vist er: Den optimle ordrestørrelse fås, vor '(x) 0. Der er kun en løsning, og det indses nemt, t der er tle om et minimum, d fortegnsvritionen for ' er -0+. Herf ses, t den optimle ordrestørrelse er 379 eneder pr. ordre. Bemærk, t '(x) 0 medfører t t Overvej vorfor! f ' ( x) g ' ( x) f ' ( x) g ' ( x ) medfører f (x )g ( x)

23 3 Integrtion At integrere en funktion f vil sige t finde en / de funktion(er), der differentieret er lig med f. Resulttet kldes det ubestemte integrl og skrives således: f (x ) dxf (x )+k vor F ' ( x) f ( x) Det lngstrkte s og symbolet dx betyder blot, t funktionen skl integreres. F(x) er en vilkårlig funktion, der opfylder betingelsen i. linje. Alle sådnne funktioner kldes stmfunktioner. Der er tilføjet +k fordi lle ndre funktioner, der differentieret er lig med f, kn fås ved t lægge en konstnt til en tilfældig stmfunktion. Et eksempel: x3 x dx +k 3 Kontroller påstnden ved t vælge et tilfældigt tl for k; differentier øjresiden. Resulttet skl være x. Sætninger om integrtion Det kn let vises, t der findes tilsvrende sætninger om integrtion som om differentition: ( f +g )(x )dx f ( x )dx+ g ( x)dx og tilsvrende for differensen. (t f )( x )dxt f (x ) dx vor t er et tl.

24 Det bestemte integrl Sætning 3 Givet en voksende kontinuert funktion f(x), vor f(x) > 0 (for lle x-værdier i DM) gælder, t relet mellem grf og x-kse begrænset f linjerne x og x b er b ò f ( x)dx F (b) - F () vor F er en vilkårlig stmfunktion til f. Bevis Ld os ntge, t der findes en relfunktion A(x), der for etvert x0 > Ù x0 Î DM beregner relet mellem grf og x-kse begrænset f linjerne x og x x0 Beregning f A'(x) Vi benytter nu tretrinsreglen til t finde A (x0): Trin I: Beregning f y-tilvækst Δ y er defineret som forskellen mellem to y-værdier (for relfunktionen): Dy A( x0 + ) - A( x0 ), vor som sædvnlig er den lille ændring i x-værdien På næste side kn du se Δ y som størrelsen f det lill frvede rel; A( x0 + ) er jo størrelsen f ele det frvede rel (både blåt og lill), A( x0 ) er tilsvrende størrelsen f det blå rel. Sætningen kn udvides til t gælde flere funktioner, men bevises i denne version for ikke t komplicere beviset. 3 Venstresiden med integrltegnet mv. er defineret f øjresiden; bemærk t vlget f stmfunktion ingen betydning r: de giver lle smme resultt.

25 5 Vi r endnu ikke en teknik til t beregne Dy, men vi kn finde både en overgrænse og en undergrænse for relets størrelse. Det forudsættes stiltiende, t > 0; er < 0 ændres rgumenttionen, men det endelige resultt bliver det smme. Det er klrt, t det grønne rektngels rel er mindre end Dy, idet bredden er og øjden er f ( x0 ). D f er voksende, er øjden den mindste funktionsværdi i [ x0 ; x0 + ]. Ligeledes er det klrt, t det brune rektngels rel er større end Dy, idet bredden er og øjden er f ( x0 + ). D f er voksende, er øjden den største funktionsværdi i [ x0 ; x0 + ]. Derfor gælder denne dobbeltuliged: " Grønt - rel " Dy " Brunt - rel " Û f ( x0 ) Dy f ( x0 + ) Trin II: Beregning f sekntældning Sekntældningen for relfunktionen er Δy Δy. Derfor gælder: Δx f ( x 0) Δ y f ( x 0+) Δx Δy f (x 0 ) f ( x 0+) Δx Trin III: Beregning f tngentældning Tngentældningen er grænseværdien f sekntældningen for gående mod 0: Δy lim f ( x 0) lim lim f (x 0+) Δx f ( x 0) A' ( x 0) f (x 0) A' ( x 0) f ( x 0) Det følger f kontinuiteten for f, t lim f ( x 0+) f (x 0 ) og dermed skl A'(x0) både være større og mindre end f(x0), vorfor A ' ( x 0 ) f (x 0 )

26 6 Beregning f A(x) Herf følger, t relfunktionen er én f stmfunktionerne til f. Ld F(x) være en vilkårlig stmfunktion til f. Så gælder, t A( x) F ( x)+k D A( )0 fås A( )F ( )+k k A( ) F ()0 F ( ) F ( ) Hermed er relfunktionens forskrift: A( x) F ( x) F ( ) Beregning f relet fr til b For t finde netop det søgte rel mellem linjerne x og xb indsættes b i relfunktionen: A(b)F (b) F () vor det bemærkes, t F er en vilkårlig stmfunktion. Hvde vi vlgt en nden stmfunktion, ville begge led ændre sig lige meget og forskellen forblive den smme. Som skrivemåde for dette udtryk benyttes integrtionstegnet vist erunder med grænserne tilføjet. Udtrykket betegnes det bestemte integrl f f(x) fr til b og beregner er et rel. b ò f ( x)dx F (b) - F () Eksempel: Eksmensopgven 1, stx B, mj 1991 En funktion f(x) er bestemt ved f (x )x (k x ), vor k er et positivt tl. Grfen for f fgrænser smmen med koordintsystemets førstekse en punktmængde M, der r et rel. ) Skitsér for k 10 området M, og bestem relet f M. b) Bestem tllet k, når det oplyses, t relet f M er 100. Besvrelse Grfen for f tegnes med Geogebr Grfen tegnes med kommndoerne: k 10 og f(x) x(k - x) For t finde det søgte rel, findes skæringspunkter mellem førsteksen og gr-

27 fen med skæringsværktøjet. (Punkterne er A og B.) D grfen ligger over/på x-ksen, findes relet som det bestemte integrl beregnet med GeoGebr: M mrkeres og relet beregnes med Geogebr På figuren erunder er M det brune område. x(b ) Arel(M) f (x )dx166,7 x( A) Bestem k Konstnten k kn ændres med en skyder (se figuren); relet M er en voksende funktion f k, og M(8,3) 99,85, M(8,) 100,0 k er derfor et tl mellem 8,3 og 8, som frundes til 8,3. Arelet f M 100 for k 8,3 Besvrelse II (uden jælpemidler) Grfen for f skitseres og M mrkeres Af nulreglen ses, t funktionens nulpunkter er v. 0 og k. D f er et ndengrdspolynomium, er er grfen en prbel med et toppunkt, vor x-værdien 7

28 8 ligger midt i mellem nulpunkterne. k k k T, k ( ( )) ( ) k k, Når k 10 kn grfen skitseres med støttepunkterne (0,0), (10,0) og (5,5). På figuren er grfen for f den blå prbel og M det brune område under prbelen. Arelet beregnes D f (x ) 0 for x ϵ [0, k ], fås relet T k M (k ) f ( x)dx k M (k ) x ( k x)dx k M (k ) (kx x ) dx k [ ] k x x3 M ( k ) 3 0 ( M ( k ) )( ( ) ( ) ) k k k 3 k M ( k ) M ( k ) 3 k k (0 0) 3 k3 k3 (0 0) 3 k3 M (k ) 6 Idet k 10, fås M Beregn k Smmenængen mellem M og k er fundet som M ( k ) Derfor løses ligningen: M (k )100 k k k 600 k8,33 k 8,3 k3. 6

29 9 Differentition og integrtion et overblik Ld der være givet en differentibel funktion f. Differentilkvotient For et bestemt tl x 0 kn vi så finde f ' ( x 0) som er et tl, nemlig ældningskoefficienten for tngenten i (x 0, f ( x 0 )). Den fledte funktion Smmenængen mellem lle mulige værdier i DM(f ) og de tilsvrende differentilkvotienter er: den fledte funktion, som betegnes f'. Nottion Hvis f(x) 3x +5 er f' (x) 3; i stedet skrives ofte: (3x +5)' 3 Sprogbrug: differentiere og integrere At finde den fledte funktion (givet f ), kldes t differentiere. Den ene figur erunder viser symbolsk mængden f lle funktioner, der er differentible. De 3 røde elementer er mrkeret som eksempler på de uendeligt mnge funktioner, der tilører mængden. De sorte linjer viser så over til den fledte funktion i den nden mængde. Bemærk, t nogle funktioner r smme fledte funktion, nogle r forskellige. Differentible funktioner Afledte funktioner At gå den nden vej kldes t integrere eller t finde en stmfunktion. Af bemærkningerne ovenover ses, t der ikke kun er ét svr. I virkeligeden er der uendeligt mnge svr. En stmfunktion og det ubestemte integrl Ld der være givet en kontinuert funktion f. Så kldes F en stmfunktion, vis F ' ( x) f ( x) Mn kn vise, t lle de ndre stmfunktioner f r kn skrives som F (x)+k

30 30 At finde mængden f lle funktioner, der er stmfunktioner til f kldes t finde det ubestemte integrl til f og skrives: f ( x ) dxf (x )+k Det bestemte integrl Det bestemte integrl er ikke en funktion, men et tl. For t beregne det vælges én f stmfunktionerne (og det vises nemt, t resulttet bliver det smme ligegyldigt vilken f stmfunktionerne mn vælger). Resulttet skrives med symbolet erunder og beregnes som vist: b f (x )dxf (b) F ( ) Formel for tngentligning og generelle differentitionsregler

31 31 Formler for differentition f bestemte funktioner Lineære funktioner (----) x+b

32 3 Formler for integrtion f bestemte funktioner Konstnte funktioner (----) k Regneregler for integrtion ( f (x )+g ( x)) dx f (x )dx+ g ( x)dx ( f (x ) g ( x)) dx f (x )dx g ( x)dx ( k f ( x)) dxk f ( x)dx Helt tilsvrende regler gælder for bestemte integrler: b b b ( f (x )+g ( x)) dx f ( x ) dx+ g ( x) dx b b b ( f (x ) g ( x)) dx f ( x ) dx g ( x) dx b b ( k f ( x)) dxk f ( x)dx Endelig gælder også indskudsreglen: b c b f ( x)dx f ( x) dx+ f ( x) dx c kx