Elementær Matematik. Analytisk geometri
|
|
- Else Skaarup
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0
2 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning Ortogonle linier Liniers skæring. To ligninger med to uekendte Afstnd fr punkt til linie Cirklens ligning...4
3 Anltisk Geometri. koordintsstemet En tllinie er en orienteret linie den hr en positiv gennemløsretning, som er forsnet med et nulpunkt og en enhed. Til ethvert reelt tl, hører der netop et punkt på linien og omvendt. Tllet kldes for punktets koordint. Et koordintsstem i plnen estår f to ortogonle tllinier med smme enhed og fælles nulpunkt. De etegnes. kse og. kse, -kse og -kse eller sissekse og ordintkse. De tl, der svrer til punkter på. ksen og. ksen kldes henholdsvis. koordint og. koordint eller sisse og ordint. I lmindelighed vælger mn orienteringen, således t drejningen fr. kse til. kse er mod uret. Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn det, t nedfælde den vinkelrette på linien. Forstået på den måde, t mn tegner en linie gennem punktet, som er vinkelret på tllinien. De to liniers skæring er projektionen. I prksis tegner mn ikke den vinkelrette linie, men nvender en linel Nedenfor er vist et koordintsstem. De to kser deler plnen op i 4 områder, som kldes for kvdrnter. De nummereres I IV mod uret. Koordinterne til et punkt P fås som projektionen f P på. og. kse. Koordinterne til et punkt skrives,. F.eks -,, som er eliggende i. kvdrnt. Ved nvendelse f koordinter, kn mn lidt mere formelt definere kserne og de fire kvdrnter, som punktmængder i plnen. - ksen = {, = 0 } - ksen = {, = 0 }
4 Anltisk Geometri. kvdrnt = {, > 0 > 0 }. kvdrnt = {, < 0 > 0 }. kvdrnt = {, < 0 < 0 } 4. kvdrnt = {, > 0 < 0 } Punktmængden: {, = } vil være en linie, der ligger i. og. kvdrnt, og som dnner en vinkel på 45 0 med såvel.ksen som. ksen. Punktmængderne: {, = -5 } vil være en linie prllel med -ksen, som går gennem = -5. Punktmængden {, = 4 }, vil være en linie prllel med -ksen, som går gennem = 4. Hvis to punkter ligger smmetrisk omkring linien =, så hr de omttede koordinter. Dette kn ses på figuren nedenfor.. Afstndsformlen For to forskellige punkter P og Q med sisserne og, hvor <, kn mn estemme fstnden mellem P og Q som -. PQ = -. Dette gælder ufhængigt f fortegnene for og, når lot - >0 Eksempel: Afstnden mellem 5 og er 5 =. Afstnden mellem -5 og er -5 =.
5 Anltisk Geometri Afstnden mellem - og -5 er -5 - = Hvis >, så - < 0 er formlen for fstnden nturligvis. Vi minder om definitionen på numerisk værdi: for 0 for 0 Af dette, kn vi se, t fstnden mellem to punkter på en koordintkse i lle tilfælde kn udregnes som: eller Eksempel Afstnden mellem -5 og - er 5 5 Vi vil nu søge en formel for fstnden mellem to punkter A og, B i et koordintsstem, hvor liniestkket AB i første omgng ikke er prllelt med nogen f kserne. Som det fremgår f figuren er liniestkkerne AC og BC kseprllelle og fstndene AC og BC kn derfor udregnes som de tilsvrende fstnde på kserne: AC = og BC = Treknt ABC er imidlertid retvinklet, så AB =AC + BC Herf følger:
6 Anltisk Geometri 4 AB - - AB - - Denne vigtige formel kldes for fstndsformlen Hvis AB er kseprllelt er udledningen ved hjælp f den retvinklede treknt ikke gldig, men det viser sig, t fstndsformlen lligevel kn nvendes. Er AB f.eks. prllel med -ksen er = så formlen liver: AB, hvilket er korrekt for en kseprllel linie. Afstndsformlen gælder tilsvrende, hvis linien er prllel med -ksen.. Liniens ligning - P, o P, - o I det viste koordintsstemet er tegnet en linie. Punktet Po= o,o er et fst punkt på linien og punktet P =, er et vilkårligt løende punkt på linien. Vi ntger, først t P Po og t linien ikke er prllel med nogen f koordintkserne. Endvidere er der tegnet en lille treknt med en ktete prllel med -ksen, som hr længden. Den nden ktete i den lille treknt er. På figuren er positiv, idet linien peger opd, men det er ikke fgørende for det efterfølgende. Vi kn nu indse: Punktet P=, ligger på linien, hvis og kun hvis de to viste treknter er ensvinklede. D ensvinklede treknter er ligednnede, etder dette, t forholdet mellem ensliggende sider er konstnt Den sidste ligning gælder åenrt for lle, eliggende til højre for 0. Den kldes for liniens ligning og kldes for liniens hældningskoeffiient. - 0 = 0 er derfor ligningen for den linie, som går gennem 0, 0, og som hr hældningskoeffiienten.
7 Anltisk Geometri 5 Bemærk, t også 0, 0 tilfredsstiller ligningen. Indsætter mn nemlig 0, 0, finder mn t 0=0. Det emærkes, t mn får den smme ligning, hvis < 0. Længderne f kteterne i den store treknt liver i dette tilfælde 0 - og 0 -, men, d de står i tæller og nævner i smme røk ovenfor, er røken uforndret og ligningen liver den smme. Mn får også den smme ligning, hvis er negtiv, så linien peger nedd. Længden f den lille ktete er d -, mens længderne f de store kteter for > 0 liver 0 og Igen vil de to fortegnsskifte ophæve hinnden, så også i dette tilfælde får det smme udtrk for liniens ligning som ovenfor. Dette vil også gælde hvis < 0. Hvis linien gennem 0, 0, er prllel med -ksen, hr ligningen = 0, idet lle punkter på denne linie og ingen ndre hr. koordint ordint 0. Smmenligner mn med liniens ligning, etder dette, t hældningskoeffiienten er 0 for en linie prllel med -ksen. Hvis linien gennem 0, 0 er prllel med -ksen, hr den ligningen = 0, idet lle punkter på denne linie og ingen ndre hr. koordint sisse 0. I dette tilfælde defineres ingen hældningskoeffiient. Eksempel Find ligningen for den linie, som går gennem punktet P o =,- og som hr hældningen = -½. Ved indsætning i formlen finder mn: - - = - - = - I det sidste udtrk hr vi isoleret. Af dette udtrk ses lndt ndet, t linien fskærer stkket - f -ksen. Dette fås ved t sætte =0 i ligningen. Skæring med -ksen findes ved t sætte =0 i ligningen og løse for. Vi finder herf: 0= -, som løses til t give = -4. Linien skærer -ksen i -4. I lmindelighed kn mn finde det stkke, som en linie fskærer f -ksen ved t sætte = 0 og løse for. Nedenfor isolerer vi først : - o = -o = +o o = + Det ses umiddelrt, t = 0-0 er det stkke, som linien fskærer f -ksen, idet = for =0 Kender vi således liniens hældning og stkket, som linien fskærer f -ksen kn liniens ligning umiddelrt opskrives som = +. Dette nvendes mindst lige så ofte som det første udtrk for liniens ligning. Ofte er en linie estemt ved to punkter P, og P,. Vi vil nu opstille en formel til eregning f hældningskoeffiienten for linien. I det oprindelige udtrk for liniens ligning vr P 0 0, 0 et fst, men vilkårligt punkt på linien, mens P, vr et vrielt punkt.
8 Anltisk Geometri 6 Hvis mn i liniens ligning: - 0 = 0, ersttter 0, 0 med, og, med,, hvilket er lovligt d, og, ligger på linien, finder mn et udtrk for hældningskoeffiienten udtrkt ved koordinterne til to punkter på linien: 0 0 for Udregnes hældningskoeffiienten med denne formel, kn liniens ligning ud fr to punkter nemt opskrives, idet mn som det fste punkt P 0 lot vælger et f de to punkter P og P. Eksempel Opskriv ligningen for linien gennem punkterne P -, og P 4,. 4 Linien hr således hældningskoeffiient -/ og fskærer stkket / f -ksen. Et udtrk f formen + + = 0 hvor, og er reelle tl og ikke åde og er 0 kldes for en førstegrdsligning i og. En sådn førstegrdsligning fremstiller en ret linie i et koordintsstem. Er nemlig 0, kn ligningen omskrives: 0 Hvorf ses, t førstegrdsligningen fremstiller en ret linie med hældningskoeffiient og som fskærer stkket f -ksen. Hvis = 0, så er ligningen f formen: + = 0 =. Dette fremstiller en ret linie prllel med -ksen. Hvis = = 0, fremstiller ligningen ikke noget Vi ser ltså, t en førstegrdsligning i lle tilfælde fremstiller en ret linie i et koordintsstem. På den nden side kn enhver linie fremstilles ved en førstegrdsligning i og. Ligningerne = + hældning, fskærer f -ksen, = linien prllel med -ksen og = o linien prllel med -ksen, kn lle omskrives til en førstegrdsligning i og ved t smle leddene på venstre side. = = 0 = = 0 = = 0
9 Anltisk Geometri 7 4. Ortogonle linier Figuren viser to ortogonle linier l og m, dvs. to linier der står vinkelret på hinnden. Vi ntger, t ingen f linierne er kseprllelle. Hældningskoeffiienterne for linierne etegnes og. På figuren er > 0 mens < 0. Vi minder om, t hældningskoeffiienten kn estemmes som tilvæksten på -ksen, svrende til en tilvækst på på -ksen. er den lodrette ktete i en treknt, hvis vndrette ktete er, og hvor hpotenusen ligger på linien l. - fordi er negtiv er den lodrette ktete i en treknt, hvis vndrette ktete også er, og hvor hpotenusen ligger på linien m. Treknt OPQ er retvinklet og højden fr O er h =. Fr geometrien ved vi t h =, hvor og er de stkker, hvori højden deler hpotenusen. I dette tilfælde er = og = -. Herf følger h = => = - = - For ortogonle linier, der ikke er kseprllelle gælder, t produktet f deres hældningskoeffiienter er -. Denne sætning kn f.eks. nvendes, når mn vil finde ligningen for en tngent til en irkel i et punkt. Tngenten er nemlig ortogonl på linien gennem irklens entrum og punktet. Eksempel Bestem ligningen for den linie, som går gennem -5, og som står vinkelret på linien = -4. Hældningskoeffiienten estemmes f: 5 Ligningen estemmes d f: 0 = 0 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte. Vi vil i dette fsnit søge t løse og opstille løsningsformel for to ligninger med to uekendte. Ligningerne opskrives trditionelt som vist nedenfor. + =, 0,0 + =, 0,0
10 Anltisk Geometri,, og,, er reelle tl, som etegnes ligningssstemets koeffiienter, og, er de uekendte, som mn ønsker t estemme. Et tlsæt, siges t være løsning til ligningssstemet - eller tilfredsstille ligningssstemet - hvis ligningerne er opfldt, når tlsættet indsættes. At løse ligningerne vil sige, t undersøge om der findes løsninger, og i givet fld finde dem lle smmen. Geometrisk set fremstiller de to førstegrdsligninger to linier i et koordintsstem. Et tlsæt,, som tilfredsstiller egge ligninger, ligger åenrt på egge linier og svrer derfor til liniernes skæringspunkt. At løse ligningerne svrer derfor til den geometriske opgve, t estemme koordinterne til liniernes skæringspunkt. Fr et geometrisk snspunkt, er det umiddelrt klrt, t ligningssstemet kn hve én, ingen eller uendelig mnge løsninger - svrende til t linierne skærer hinnden, er prllelle eller smmenfldende. Dette vil vi nu godtgøre ved regning. For t løse ligningerne multiplierer vi den øverste ligning med den nederste med, og sutrherer den nederste fr den øverste. Metoden kldes for lige store koeffiienters metode. + = + = Ved sutrktionen går leddene med ud mod hinnden, og vi finder: = = Af den sidste ligning kn estemmes ved t dividere med. For t gøre dette er det imidlertid nødvendigt t forudsætte, t det ikke er nul. Størrelsen D = kldes for ligningssstemets determinnt. For determinnter nvendes følgende prktiske skrivemåde, hvor koeffiienterne skrives under hinnden: D Ved nvendelse f determinntsmol, kn den sidste ligning skrives: For t estemme, må vi forudsætte t D 0. Hvis D 0 finder mn:
11 Anltisk Geometri 9 På fuldstændig tilsvrende måde finder mn ved t multipliere den øverste ligning med og den nederste ligning med og sutrhere den øverste fr den nederste: = - Mn emærker, t koeffiienten til igen er ligningssstemets determinnt. Er D 0, finder mn udtrkket for. Vi kn således konkludere vores undersøgelse: Hvis ligningssstemets determinnt D 0, hr ligningssstemet netop løsning, givet ved udtrkkene: + = + = Vi skl d etrgte tilfældet D = 0, hvor løsningsformlen ikke kn nvendes. D = 0 0 og er ikke egge 0, så vi ntger t 0. Vi kn d estemme et tl k, således t = k. Indsættes dette i udtrkket for D fås: 0 k 0 k 0 k Ved t indsætte udtrkkene = k og k i de oprindelige ligninger finder mn.
12 Anltisk Geometri 0 + = + = + = + = k +k = + = /k Af dette fremgår, t hvis og kun hvis = k er ligningernes koeffiienter proportionle. Ligningerne er d identiske og ligningssstemet hr uendelig mnge løsninger. Hvis derimod k findes der intet tlsæt, som tilfredsstiller egge ligninger. Venstresiderne er jo identiske, mens højresiderne er forskellige. Ligningssstemet hr ingen løsninger, og ligningerne siges t være i strid med hinnden. De to tilfælde D 0 og D = 0, svrer netop til t de tilsvrende linier, som ligningerne fremstiller i et koordintsstem, hr netop et skæringspunkt eller er smmenfldende/prllelle. D = 0 skulle derfor svre til t linierne hr smme hældningskoeffiient hvis den er defineret. Finder mn hældningskoeffiienterne for de to linier ud fr de oprindelige ligninger finder mn og Betingelsen D = 0 giver imidlertid t, hvilket netop udtrkker t de to linier hr smme hældning. Det skl understreges, t mn godt kn nvende lige store koeffiienters metode, selv om mn ikke nvender determinnterne. En nden metode kldes for sustitutionsmetoden. Ved denne metode, isolerer mn eller f den ene ligning og indsætter i den nden, som derefter er en førstegrdsligning. Vi viser de tre metoder ved ét og smme eksempel: Eksempel Løs ligningerne 5
13 Anltisk Geometri. Sustitutionsmetoden: Lige store koeffiienters metode 5 Vi vælger t eliminere. Vi kn så gnge den første ligning med 5 og den nden med og trække den ene ligning fr den nden. Hvis mn vil undgå t lve fejl ved sutrktionen, så er det mere sikkert t gnge den første ligning med +5 og den nden med - og lægge ligningerne smmen = -50 er fundet ved t indsætte = i en f de oprindelige ligninger.. Determinntmetoden 5 Ligningssstemets determinnt er D 5 Ligningssstemet hr derfor netop løsning, som opskrives: Hvilke f de metoder, mn vælger fhænger f flere ting. Hvis eller står lene i en f ligningerne er det nok lettes t nvende sustitutionsmetoden. I lmindelighed er det hurtigst og lettest t nvende lige store koeffiienters metode og hvis mn vil undgå røkregning og det vil mn, er det lettes t gnge ligningerne igennem med et tl, så der kun optræder hele tl, og så nvende determinntmetoden. Når denne metode lligevel sjældent nvendes, er det fordi det ikke ltid er lige let t huske formlerne for determinntmetoden.
14 Anltisk Geometri 6. Afstnd fr punkt til linie Vi vil søge, t estemme en formel for fstnden fr et punkt P, til linien l med ligningen + + =0. Det mest oplgte, ville være t estemme ligningen for den linie, der er vinkelret på l og som går gennem punktet P. l hr hældningen, så ligningen for den ortogonle linie er =. Hvis mn estemmer skæringspunktet mellem de to linier, kn mn til slut finde fstnden mellem skæringspunktet og, med fstndsformlen. Dette vil også fungere udmærket om end lidt esværligt med et tleksempel, men det fører til uoverskuelige udregninger i det generelle tilfælde. Vi vælger derfor en nden metode, hvor vi etrgter to ensvinklede treknter For t simplifiere regningerne, vil vi skrive liniens ligning, + + =0 som mn gjorde tidligere, hvis linien ikke er prllel med -ksen, så =0 = α + q Her etegner α liniens hældningskoeffiient og q er stkket linien fskærer f -ksen. d =distp,l = PQ, er det stkke vi ønsker t estemme. Som det fremgår f figuren er den lille treknt ensvinklet med treknt PQR. Begge treknter er retvinklede og de hr egge en lodret linie, der skærer l under smme vinkel. Den lille treknt hr kteterne og α ifølge definition f hældningskoeffiient og dermed hpotenusen kn nu se:. Vi
15 Anltisk Geometri PR d Det kseprllelle stkke PR =, men d ligger på linien, svrende til er = α q. Vi får således: PR = α q, som indst ovenfor giver den ønskede formel:, q l P dist d Denne formel, kn nvendes, som den er, men den liver mere enkel, hvis vi indsætter α som og α + q som., q l P dist d Efter omtning f leddenes rækkefølge får mn: Formlen for fstnden mellem punktet P, og linien med ligningen + + = 0, l P dist d Eksempel Bestem fstnden fr -5,7 til linien med ligningen = 0. Det er lot, t indsætte punktets koordinter i liniens ligning , l P dist Eksempel Vi vil estemme relet f en treknt givet ved vinkelspidserne A,, B, og C,. Arelet udregnes som T = ½hg en hlv højde gnge grundlinie. Vi vælger højden fr C. Grundlinien er d AB, som eregnes med fstndsformlen: AB. Højden h estemmes som fstnden fr C til linien gennem A og B. Denne linie hr ligningen: 0 h Herefter kn vi opskrive en formel for trekntens rel AB h T
16 Anltisk Geometri 4 T Formlen er mere overskuelig, hvis den opskrives som en determinnt. T Vi skl senere vise denne formel på en mere enkel måde ved vektorregning. Eksempel Bestem relet f treknten med vinkelspidserne: A-,-4, B4, og C-,. Mn kn selvfølgelig gennemfør de smme regninger som ovenfor, men det er lettere t indsætte i formlen: T Cirklens ligning Hvis mn opskriver en ligning, der indeholder og, så svrer det til en punktmængde i en pln, der er forsnet med et koordintsstem. Vi nfører de to sidste uden evis {, - 5=0} er en ret linie med hældning som fskærer stkket - 5 på -ksen. {, + = 9} er en irkel med entrum i 0, 0 og rdius {, 0 } er en prelgren. Udtrkkene - 5=0, + = 9 og 0 kldes for ligningerne for de pågældende punktmængder. Foreløig hr vi kun udledt et udtrk for liniens ligning, og vi fortsætter med t udlede et udtrk for irklens ligning. Ld irklen hve entrum C, og rdius r. Vi kn nu indse, t P ligger på irklen, hvis og kun hvis CP= r CP eregnes med fstndsformlen. CP r Det sidste udtrk etegnes som ligningen for irklen med entrum i, og rdius r.
17 Anltisk Geometri 5 Eksempler. Bestem ligningen for irklen med entrum i -, og rdius 4. Løsning: = 6. Det sker, t der er forelgt et ndengrdsudtrk i og, som fremstiller en irkel, og mn så skl estemme entrum og rdius for irklen. F.eks = 0 Vi omskriver d leddene med og til kvdrtet på en toleddet størrelse. D kvdrtet på. led som regel ikke findes i udtrkket, må vi trække det fr gefter. Regningerne udføres edst uden fejl som vist nedenfor: Cirklen hr derfor entrum i,- og rdius.. Undersøg om linien l med ligningen = + skærer irklen med entrum C=, og rdius 4. Find i givet fld skæringspunkterne. Betingelsen for t linien skærer irklen er, t fstnden fr linien til entrum er mindre end rdius. Linien kn skrives: + = 0 d dist C, l 4 Linien skærer irklen. Cirklen hr ligningen = 6. For t finde skæringspunkterne indsætter vi = + i irklens ligning, hvorefter vi får en ndengrdsligning i = = 6 6 = 0 d = 6-4 = ,, , 0,76 Linien skærer ltså irklen i punkterne 4,; 6, og -,; 0, Bestem ligningerne for de tngenter til irklen = 9, som er prllelle med linien + 5 = 0. Alle linierne + = 0 hr smme hældningskoeffiient. Det gælder så lot om t estemme, således t fstnden til irklens entrum er lig med rdius. d dist P, l De to ligninger er derfor
18 Anltisk Geometri Ligningen for tngenten til en irkel gennem et givet punkt Ld irklen hve entrum C, og rdius r, og ld P 0 = 0, 0 være et punkt på irklen.. Linien fr C to P 0 hr hældningen: 0, og derfor vil tngenten i P 0 hve hældningen 0 fordi produktet f hældningskoeffiienterne for ortogonle linier er - Ligningen for tngenten gennem 0, 0 liver derfor. 0,
Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors
Læs mereVektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereElementær Matematik. Plangeometri
Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereElementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs mereGymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen
Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs merehvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.
!#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet
Læs mereOpstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning
1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3
Læs mereMatematik notater: Mængder:...5. uligheder:...5 tegn:...5 Sætning Sætning Sætning Sætning 4...6
Mtemtik noter.g mtemtisk Mtemtik notter: Diverse:...4 Formlen for volumen f en pyrmide og en tetrede:...4 Formlen for volumen f en keglestu:...4 ojekter:...4 udtryk:...4 udsgn:...4 Fiunni:...4 Reiprok
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Læs mereImplicit differentiation
Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereElementær Matematik. Ligninger og uligheder
Elementær Mtemtik Ligninger og uligheer Ole Witt-Hnsen 0 Inhol. Førstegrsligninger.... Nulreglen.... Uligheer og regning me uligheer.... Doeltuligheer.... Anengrsligningen... Ligninger og uligheer. Førstegrsligninger
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereSfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016
Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 4 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors
Læs mereTeknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave
Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mereKEGLESNIT OG BANEKURVER
KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger
Læs mere1. Eksperimenterende geometri og måling
. Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t
Læs mereElementær Matematik. Rumgeometri
Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.
Læs mereEt udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)
GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker
INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereLinjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.
Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereProjekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mere