Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Transkript

1 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web:

2

3 Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning 4 Modeller Lineær smmenhæng 7 Potenssmmenhæng 9 Eksponentiel udvikling Deskriptiv sttistik Grupperede observtioner 4 Ikke grupperede observtioner 9 Geometri Pythgors læresætning 3 Arelet f en treknt 3 Vinkelsummen i en treknt 3 Trigonometri 33 Ensvinklede treknter 38 Ligefrem og omvendt proportionlitet 40 Indekstl 4 Annuitetslån (supplerende stof) 4 Supplerende noter Procentregning 43 Lineære smmenhænge 44 Potenssmmenhænge 45 Eksponentielle udviklinger 48 Grfen for de 3 smmenhænge 49 Oversigt over de 3 modeller 50 Trigonometri 5 Mtemtisk bevisførelse Pythgors læresætning 5 Vinkelsummen i en treknt 53 Arel f en treknt 54 Lineære smmenhænge 55 Potenssmmenhænge 56 Eksponentielle udviklinger 58 Arbejdsspørgsmål 60 Formler 64 Stikordsregistrer 74 Bilg 75

4 Kære mtemtik studerende på Frederiksberg HF kursus At lære mtemtik betyder blod sved og tårer, og ikke mindst frustrtioner. Det er helt normlt og nødvendigt, uden disse ingen læring. Det er en del f processen. Dette kompendium er skrevet med henblik på t gøre Din rejse ind i mtemtikkens verden lidt lettere. De forskellige C niveu emner præsenteres på en simpel måde uden for mnge dikkedrer. Det er skrevet i et ukdemisk sprog der skærer direkte ind til benet f stoffet, uden en msse tngenter til t forplumre overblikket. Kompendiet er løbende blevet opdteret i forhold til konstruktiv feedbck fr kursister. C niveu kræver ikke nogen kompliceret lommeregner. Anbefler TI 30XS. Den er funktionel og simpel t håndtere. Held og lykke med mtemtiklæringen! Ved du kn hvis du beslutter dig for det. Det er godt t få en god mtemtikstrt på sin uddnnelse. Tk til lektor John Age Smith for gode tips under tilblivelsen f kompendiet. Lrs Bronée ugust 04 Mtemtiklærer på Frederiksberg HF kursus

5 Det grundlæggende: Når tl gnges med brøk Eksempel : = = = Tllet skl ltså gnges med brøkens tæller. Bemærk t brøkstreg bruges til t symbolisere divis ion i dette kompendium og ikke som nogen måske er mest vnt til. Når brøk gnges med brøk Eksempel : = = = Her skl vi ltså gnge de tællere smmen og gnge de nævnere smmen. At = 6 betyder på godt dnsk, t hvis 8 mennesker skl dele 48 bnner ligeligt, får de netop 6 hver Når en brøk divideres med t tl 30 ( 3 ) Eksempel 3: = = = Her skl vi blot gnge tllet der divideres med ind i brøkens nævner som vist i eksemplet. Når en brøk divideres med en brøk ( ) Eksempel 4: = = = 3 ( ) Vi skl ltså blot gnge brøken i tælleren med nævnerens brøk vendt om.

6 Når et tl divideres med en brøk 6 ( ) Eksempel 5: = = = = 9 ( ) ( ) Her hr vi ltså blot omskrevet tllet 6 til og herefter brugt brøk divideret med brøk. 6 Når vi skl ophæve en minusprntes Eksempel 6: 6 ( + ) = 6 + = 6 Vi ophæver minusprntesen ved t ændre fortegn for lle led i p rntesen. Herefter er lle tl i udtrykket slået smmen og det er trdition t skrive 6 og ikke + 6 selvom det er ligeså korrekt. Når et tl gnges ind i en prntes Eksempel 7: ( ) = = 4 Her ophæves prntes ved t gnge tllet ind i hvert led i prntesen. Bemærk t ( ) =. Når et tl sættes udenfor en prntes Eksempel 8: 6 6 y = 6 ( y) Her hr vi udnyttet t tllet 6 optræder i begge led i udtrykket. Herefter er 6 st udenfor en prntes og vi skriver blot hvd der er ti lbge når 6 er fjernet. Vi kn sige t vi gør det omvendte f t gnge ind i en prntes. 3

7 Når vi gnger negtive tl med hinnden Eksempel 9: ( ) ( 3) = 6 Vi får ltså et positivt tl når negtive tl gnges med hinnden. Bemærk t skrivemåden 3 er ukorrekt, d vi ikke kn skrive lige efter hinnden uden nogen prntesdskillelse. Når et positivt tl gnges med et negtivt tl Eksempe l 0: ( 3) = 36 Et positivt tl gnge et negtivt tl giver et negtivt tl. Bemærk igen den korrekte prntesdskillelse mellem regnerterne multipliktion ( ) og subtrktion ( ). Opgve : får vi et positivt eller et negtivt tl hvis 3 negtive tl gnges med hinnden? Når vi sætter på fælles brøkstreg Eksempel : + = = = Vi udnytter hr t 5 er nævner i begge brøker. Vi skl blot beholde 5 i nævneren og lægge de tl i tælleren smmen. Eksempel : = + = = 4 6 Når der som udgngspunkt ikke står smme tl i de brøkers nævnere er det lidt mere kompliceret. Vi finder det mindste tl som både 4 og 6 går op i () og forlænger de tællere. For eksempel skl vi gnge 4 med 3 for t få. Derfor skl tæller også gnges med 3. 6 skl gnges med for t få. Derfor gnges tæller med. På den måde hr vi fået smme tl i begge brøkers nævnere og herefter gøres som i forrige eksempel. 4

8 Når vi rbejder med potenser Eksempel 3: Hvis vi multiplicerer tl ( gnger) skrives for eksempel 3 = 6. Men hvis nu 3 vi rykker 3 tllet lidt op over tllet til højre ser det sådn her ud: = = 8. Så er det blevet en potensudregning. klder vi grundtllet og 3 klder vi eksponenten. Vi siger t grundtllet er opløftet til 3. På lommeregner ^3 enter = 8. TI 30 XS er en god simpel lommeregner på C niveu. Når vi rejder med rødder Eksempel 4 3 : Beregningen 8 = vil vi klde for den tredje rod f 8. Her kldes 3 3 rodeksponenten. På lommeregner 3 nd ^ 8 enter =. Bemærk t = 8. I prksis kn vi opftte rødder som potenser eftersom følgende gælder: n n ( ) = ( ) Opgve 3 ( ) : tjek om ligning ( ) psser ved t lve beregninger 64 og Den nden rod f et tl, for eksempel 6 er i virkeligheden bre kvdrtroden f 6, ltså 6 = 4. Der er trdition for t undlde tllet, så 6 = 6 underforstået. Opgver ( lommeregner tilldt) Udregn 3 = 55 = = 9 = = = 5 = 00 8 = 5

9 Når vi rbejder med lommeregner Vores lommeregner hr en helt bestemt måde t udføre beregninger på. Eller den gør det i en bestemt rækkefølge. Den følger regnerternes hierrki: ) Potenser/rødder ) Multipliktion/division gnge/dividere 3) Addition/subtrktion lægge smmen/trække fr Eksempel 5 : Vi vil gerne udregne + 3 på lommeregner + 3 ^ ente tilfælde skl lommeregner udregne en potens (3 ) og en ddition ( + ). D potenser er højere først derefter r =. I dette rngeret end ddition i hierrkiet vil lommeregne udregne 3 = 9 og beregne + 9 =. Prenteser kn indsættes i et regnestykke for t bede lommeregner om t se bort fr hierrkiet. På den måde bliver udregningen ( + udregne prntesen + 3 = 5 og derefter udregne 5 prntes. 3) noget helt ndet. Her vil lommeregner = 5, som jo er et ndet resultt end uden 0 0 Eksempel 6: Vi vil gerne beregne brøkken på lommeregner. Vi vil nu indtste 35 5 regnestykket på lommeregner enter = 04, Men det er forkert. D division er rngeret højere end subtrktion i hierrkiet hr lommeregner først udregnet 0 35 = 0, og derefter beregnet 0 0, = 04, Lom meregnerteknisk er det derfor vigtigt t omslutte tæller og nævner med prnteser når der er flere led i tæller og nævner. Korrekt på lommeregner (0 0) (35 5) enter = 3, som er det rigtige resutt. 6 3 Eksempel 7: Vi vil gerne udregne potensen på lommerregner. D eksponenten hr led er det igen vigtigt med en prntes om eksponenten ^(6 3) enter = 8. For t minimere risikoen for lommeregnerfejl vil det være hensigtmæssigt t opskrive (0 0) (35 5) (6 3) regnestykker med prnteser og og på den måde minde sig selv om vigtigheden f t indtste dem på lommeregner når regnestykker udregnes. 6

10 Når vi skl være præcise Eksempel 8: Ld os sige vi skl lve beregningen = 5 og derefter beregne y =, På den måde bliver udregningen f en slgs mellemregning inden vi udregner y. Vi udregner på lommeregner 5 = 3, ( = ). Nu kn y beregnes, ,5 = 5,74356 Problemet her er t vi ikke bruger lle decimler ( ) i vores videre beregning. Vi hr bre medtget den første deciml. Den korrekte beregning f y, , = 5, Ved t forkorte mellemregninger får vi ltså et upræcist resultt og jo flere mellemregninger der forkortes i en række f videre beregninger, jo mere upræcist fcit kn vi ende op med. I prktis hr en konkret mtemtikopgve en række mellemregninger inden det færdige fcit dobbeltunderstreges, så det er en god ide hele tiden t bruge lle decimler i videre beregninger. De fleste lommeregnere hr en "STO" funktion der kn gemme lle decimler i en beregning, men hvordn det gøres fhænger lidt f lommeregnermodel. Alterntivt kn lle decimler blot nedskrives på ppir så de ikke glemmes i videre beregninger. Det endelige "fcit" kn godt ngives upræcist y = 5, fcit fr før ngives: med en til to decimler. For eksempel kn med en deciml y = 5,8 med to decimler y = 5,83 (fordi tredje deciml er større eller lig 5). 7

11 Løsning f ligninger: Når vi løser ligninger, f.eks = 5, er det med henblik på t isolere, således t ligningen er snd for netop de fundne værdier. Nogen gnge er der mere end en løsning til en ligning, ndre gnge er der slet ingen løsning. Der er løsninger til ligningen 4, nemlig løsningerne og. Ligningen = = = = hr derimod ingen løsninger (d et tl i nden potens ikke kn blive negtivt). Når vi løser en ligning ved t mnipulere, er det som t spille et spil med nogle givne regler. Ligningens sndhedsværdi ændres ikke når vi bruger gyldige regler. Det er tilldt t ddere ( + ), subtrhere ( ), multiplicere ( ) og dividere ( ) med et hvilket som helt tl på begge sider f lighedstegnet. Dog er det ikke tilldt t multiplicere eller dividere med 0 på begge sider f et lighedstegn. Ld os løse = 5 ved simpel ligningsmnipultion: = 5 ( 7 på begge sider) 3 = 8 (dividere med 3 begge sider) = 6 ( er nu isoleret og ligningen er løst) Denne ligning hr ltså netop en løsning, nemlig 6. Vi kn ltid tjekke bgefter: = 5 (det psser!) Når vi skl mnipulere ligninger mere vnceret, kn vi også bruge potenser og logritmefunktionen, som vi skl se senere. 8

12 Nogle simple og nyttige ligningsløsningsregler Vi vil gerne løse ligningen 3 = Når et tl er lig en brøk og er ubekendt i brøkens tæller, skl vi blot gnge tllet med brøkkens nævner = 3 = 36 0 Vi vil gerne løse ligningen 0 = Når et tl er lig en brøk og er ubekendt i brøkens nævner, skl vi blot bytte om på 0 tllet og = = 0 Vi vil gerne løse ligningen = 3 Når en brøk er lig en brøk kn vi ltid ophæve brøkstreger ved t bruge " gnge over kryds / kors reglen" = 3 4 = 3 (bytte rundt på venstre/højre side) 3 = 4 (divider med 3 på begge sider) = 8 De ovennævnte regler er især nyttige når vi når til geometri og indekstl. 9

13 Når er er prnteser i en ligning Vi vil gerne løse ligningen 3( ) + 7 = 5 (gnge ind i prntes) = 5 (slå tl smmen på venstre side) 3 + = 5 (trække fr på begge sider) 3 = 4 (dividere med 3 på begge sider) = 8 Når der er potenser i en ligning 3 Vi vil gerne løse ligningen = 7 Her hr vi en ligning med en potens, hvor den ubekendte vribel er grundtl og tllet 3 3 eksponenten i potensen. Nu vil vi udnytte en potensregneregel: 3 4 (3 4) Reglen er ( ) = = = = 7 (opløfte til ( ) på begge sider) ( ) ( ) 3 ( ) = 7 (bruge potensregneregel) 3 ( ) 3 = 7 = 3 (tjek 3 = = 7) Vi vil gerne løse ligningen 3 = 8 ( må her være lidt større end 3. Hvorfor?) Her hr vi en ligning hvor den ubekendte vribel er eksponent beregningen 3. Nu vil vi udnytte en regneregel for logritmer: og 3 grundtllet i 3 Reglen er log( ) = 3 log() (vi kn ltså trække eksponenten 3 ud forn log) 3 = 8 (logritmen på begge sider) log(3 ) = log(8) (bruger regneregel for logritmer) log(3) = log(8) (divider med log(3) på begge sider) log(8) = = 3, ( v r lidt større end 3) log(3) 0

14 Procentregning: Procentregning er slet ikke så vnskeligt, når blot vi lærer visse grundlæggende principper. Vi kn dele procentregningen op i flere tilfælde : Tilfælde ) hvor mnge procent udgør et tl f et ndet tl? 3 f.eks. hvor mnge procent udgør 3 f? Udregnes således: 00% = 7,3% Tilfælde ) Hvilken fremskrivningsfktor skl vi gnge et tl B med, så B stiger p%? F.eks. hvilken fremskrivningsfktor skl vi gnge 0 med, så 0 stiger 5%? 5 Her skl vi sige: 0 ( + ) = 0,5 = 3 (0 stiger til 3 = 5%) 00 Altså når vi gnger 0 med en fremskrivningsfktor =,5 vil tllet 0 stige til 3 og det svrer til en stigning på 5%. Tilfælde 3) Hvilken fremskrivningsfktor skl vi gnge et tl B med, så B flder p%? F.eks. hvilken fremskrivningsfktor skl vi gnge 0 med, så 0 flder 30%? 30 Her skl vi sige: 0 ( ) = 0 0,70 = 4 (0 flder til 4 = 30%) 00 Altså når vi gnger 0 med en fremskrivningsfktor = 0,70 vil tllet 0 flde til 4 og det svrer til et fld på 30%. De sidste tilfælde giver en tydelig smmenhæng mellem en fremskrivningsfktor og ændringer i procent, som det vil fremgå f næste side.

15 Fremskrivningsfktor og ændringer i procent: Fr procentændring fremskrivningsfktor Det fremgår f eksempler på forrige side. Her er endnu et eksempel. Vi ønsker t tllet 40 skl stige 35%. Her er procentændringen givet = 35%. Nu kn vi omregne procentændringen (35%) til fremskrivningsfktor ved t benytte formlen: procentændringen 35 Fremskrivningsfktor = + = + =,35 ( ) Altså fremskrivningsfktor =, 35. Vi skl ltså blot sige 40,35 = 54. Konklusion: når tllet 40 stiger 35% svrer det til t gnge med fremskrivningsfktoren =,35. Fr fremskrivningsfktor procentændring Her gør vi det modstte f fomel ( ) ovenover. I stedet for t lægge til og dividere med 00, trækkes der fr og gnges med 00. Eksempel. Vi gnger tllet 65 med fremskrivningsfktoren =,45 65,45 = 94,5. Tllet 65 stiger ltså til 94,5 når vi gnger med fremskrivningsfktoren =,45. Hvd svrer det til i procentstigning? Her bruger vi formlen: Procentændringen = (fremskrivningsfktor ) 00% = (, 45 ) 00% = 45% ( ) Konklusion: når tllet 65 gnges med fremskrivningsfktoren =,45 svrer det til t 65 stiger 45%.

16 Tilfælde 4) En begyndelsesværdi B flder/stiger til en slutværdi S, hvd svrer det til i reltiv vækst? A) Reltiv stigning: tllet 0 stiger til tllet 5, hvd er den reltive stigning i procent? Vi udregner den reltive stigning i procent således: S 5 00% = 00% = 5 % B 0 Altså når 0 stiger til 5 svrer det til en reltiv stigning på 5 % B) Reltivt fld: tllet 30 flder til tllet 0, hvd er det reltive fld i procent? Vi udregner det reltive fld efter smme opskrift som før: S 0 00% = 00% = 33,3% B 30 Altså når 30 flder til 0 svrer det til et reltivt fld på 33,3% Tilfælde 4 kldes reltiv vækst i procent, som vi hr set er positiv hvis slutværdien S er større end begyndelsesværdien B og negtiv hvis slutværdien er mindre. S I begge tilfælde bruges formlen: 00% B Absolut vækst er blot forskellen mellem slutværdi og begyndelsesværdi (S B). Tilfælde Absolut og reltiv vækst: A ) giver bsolut stigning på 5 og tilfælde B) giver bsolut fld på 0. 3

17 Rentesregning: Kpitlfremskrivningsformlen ( renteformlen) ser således ud: K = K ( + r) n 0 n K : strtkpitlen 0 K : slutkpitlen n r : rentefoden eller vækstrten n : ntl terminer Hvis der f.eks. indsættes 0000 kroner på en opspringskonto med en årlig rente 5 på 5%, vil beløbet vokse i løbet f 7 år. Først findes rentefoden r = = 0,05 00 Nu bruger vi formlen direkte: K 7 = + = = ( 0,05) 0000 (,05) kroner på konto efter 7 år. Dette kldes t fremskrive en kpitl. Der fremskrives ltid et helt ntl terminer n. Ld os se formlen igen (isolere K ): 0 n n K = K ( + r) (divider med ( + r) på begge sider) n 0 K 0 Kn = ( + r) n Hvis f.eks. et beløb på 0 år er vokset til 0000 på en opspringskonto med en årlig rente på 5%, så kn vi bruge formlen til t finde strtkpitlen K : K0 = = = 78,3 0 0 ( + 0,05) (,05) Dette kldes t tilbgeskrive en kpitl. 4

18 Ld os se på formlen igen (isolere r): K = K ( + r) (divider med K på begge sider) n n 0 0 r K n n ( + ) = (opløfte til n på begge sider) K0 Kn ( K ) 0 Kn ( K ) 0 n n ( ) + r = ( på begge sider) ( ) r = Hvis f.eks. en strtkpitl på 5000 kr er vokset til en slutkpitl på 5000 kr i løbet f 4 år på en opspringskonto, så kn vi finde den årlige rentefod: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r = = = 3 = 0, Denne rentefod svrer så til en årlig rente på 3,6% (gng r med 00%). Ovenover så vi mnipultion f ligning ved hjælp f potenser. 5

19 Ld os endnu engng se på renteformlen (isolere n): K = K ( + r) (divider med K på begge sider) n n 0 0 n Kn ( + r) = (logritmen på begge sider) K 0 n K n log (( + r) ) = log (regneregel for logritmer) K 0 K n n log ( + r) = log (divider med log (( + r) ) på begge sider) K 0 K n log K 0 ( ) n = log ( + r) Eksempel : en strtkpitl på K med en årlig rente på 5%, ltså K 0 = 4000,- kr vokser til det dobbelte på en opspringskonto, n = 8000,- kr log 4000 log() Vi udregner nu: n = = = 4, log 0, 05 log(,05) ( + ) Men d n jo kun er defineret for hele positive tl, runder vi op til nærmeste hele tl, dvs. efter n = 5 år er kpitlen fordoblet. 6

20 Lineær smmenhæng: vrible og y siges t følge en lineær smmenhæng, hvis de vrible kn opskrives i ligningen: y = + b ( og b kn være lle tl) Når (, y) dt hentes fr virkeligheden, f.eks. fr fysik eller biologi, siges ofte t (, y) tilnærmelsesvist ligger på en ret linje i et koordintsystem, og ikke fuldstændigt præcist på en ret linje som perler på en lige snor. I et koordintsystem er det normlt t vi hr på den vndrette kse og y på den lodrette kse. y Figur skulle netop forestille et forsøg i fysik, y hvor (, y) dt er plottet i et koordintsystem (cirklerne). Det betyder t den lineære smmenhæng kn bruges til med tilnærmelse f beskrive fænomener i virkelighedens verden, Figur dvs. som mtemtisk model. I mtemtikkens verden er en lineær smmenhæng præcist en ret linje i et koordintsystem. kldes hældningskoefficienten eller stigningstllet og b er linjens skæringspunkt med y ksen. Hældningskoefficienten siger hvor meget y værdien ændres (dvs. stiger eller flder), når øges med. Hvis punkter (, y ) og (, y ) ligger på en lineær smmenhæng hr vi denne formel: = 0,5 + ( y y) = ( ) Eksempel) vi kender punkterne (, y) = (,3) og (, y ) = (5,6) og finder : ( y y ) (6 3) 3 ( ) (5 ) 4 = = = = 0,75 Altså den lineære smmenhæng kn nu skrives: y = 0,75 + b Nu skl vi blot finde b og nu sætter vi bre et f de kendte punker ind i ligningen, f.eks. (,3) : 3 = 0,75 + b ( 0,75 på begge sider) b = 3 0,75 =,5 Altså y = 0,75 +,5 er den rette linjes ligning gennem punkterne (,3) og (5,6). 7

21 Ld os igen se på ligningen for en lineær smmenhæng: y = + b ( b på begge sider) = y b (divider med på begge sider) ( y b) = ( formel ( ) til t finde når y er kendt) Eksempel) vi hr denne lineære smmenhæng: y = + 0 (her er = og b = 0) Spørgsmål : hvd er når y = 50? Vi bruger blot formlen ( ) ovenover: ( y b) (50 0) 40 = = = = 0 Vi kn ltid tjekke om det psser: 50 = ( 0) + 0 (det psser!) 8

22 Potenssmmenhæng: vrible og y siges t følge en potenssmmenhæng hvis de vrible kn opskrives i ligningen: y = b ( b > 0, vilkårlig) En potenssmmenhæng er ikke nogen ret linje i et lmindeligt koordintsystem, men en voksende eller ftgende buet grf (se figur 7 side 46). Til gengæld er en potenssmmenhæng præcis en ret linje på dobbeltlogritmisk ppir. Det betyder t dt (, y) fr den virkelige verden med tilnærmelse er en potenssmmenhæng, hvis dt med tilnærmelse følger en ret linje på dobbeltlogritmisk ppir. Hvis punkter (, y ) og (, y ) ligger på en potenssmmenhæng hr vi formlen: y log y = log Eksempel) vi kender punkterne (, y ) = (5,00) og (, y ) = (50,0) og finder : y log 0 log y 00 = = = 50 log log 5 Altså potenssmmenhængen kn nu skrives: y = b Nu skl vi blot finde b og nu sætter vi bre et f de kendte punker ind i ligningen, f.eks. (5,00) : 00 = b 5 (divider med 5 på begge sider) 00 b = = y = Altså 500 er ligningen for potenssmmenhængen gennem punkterne (5,00) og (50,0). 9

23 Ld os igen se på ligningen for en potenssmmenhæng: y = b (divider med b på begge sider) y = b = y b ( ) (opløfte til på begge sider) ( formel ( ) til t finde når y er kendt) Eksempel) vi hr denne potenssmmenhæng: y = = b = 5 (her er og 5) Spørgsmål : hvd er når y = 0? Vi bruger blot formlen ( ) ovenover: ( ) ( ) y 0 ( ) = = = 4 = 0,5 b 5 Vi kn ltid tjekke om det psser: 0 = 5 (0,5) (det psser!) Når ændres med en fktor k, vil y ændre sig med en fktor k. Procentregning hr lært os, t det t gnge med en fktor, svrer til en bestemt procent ændring. Eksempel) 3 se på potenssmmenhængen y = ( b = og = 3, voksende) Vi lder nu vokse med en fktor k =,0 (hvilket jo betyder t vokser med 0%). 3 Så vil y ændre sig med en fktor k =,0 =,33 (hvilket jo betyder t y vokser med 33,%). p Følgende formel gælder: %, og er det ntl procent y ændrer sig hvis vokser p% (B). I eksemplet ovenover vokser med p% = 0%, som derefter indsættes i formlen: 3 (( ) ) 3 0 y ændrer sig med: + 00% =,0 00% = 33,% 00 Opgve: med hvor mnge procent skl vokse, hvis y skl ændre sig med 40%? 0

24 Eksponentiel udvikling: vrible og y siges t følge en eksponentiel udvikling, hvis de vrible kn opskrives i ligningen: y = b ( > 0, b > 0) En eksponentiel udvikling er ikke nogen ret linje i et lmindeligt koordintsystem, men en voksende eller ftgende buet grf (se figur 8 side 48). Til gengæld er en eksponentiel udvikling præcis en ret linje på enkeltlogritmisk ppir. Det betyder t dt (, y) fr den virkelige verden med tilnærmelse er en eksponentiel udvikling, hvis dt med tilnærmelse følger en ret linje på enkeltlogritmisk ppir. kldes fremskrivningsfktoren og b er skæringen med y ksen ( begyndelsesværdien). Hvis punkter (, y ) og (, y ) ligger på en eksponentiel udvikling hr vi formlen: y = y ( ) Eksempel) vi kender punkterne (, y ) = (, 4) og (, y ) = (4,6) og finder : y ( ) = = y ( ) ( ) = 4 = Altså den eksponentielle udvikling kn nu skrives: y = b Nu skl vi blot finde b og nu sætter vi bre et f de kendte punker ind i ligningen, f.eks. (, 4) : 4 = b (divider med 4 b = = på begge sider) Altså y = er ligningen for den eksponentielle udvikling gennem punkterne (, 4) og (4,6).

25 Ld os igen se på ligningen for en eksponentiel udvikling: y = b (divider med b på begge sider) y = (logritmen på begge sider) b y log( ) = log (brug regneregel for logritmen) b y log( ) = log (divider med log( ) på begge sider) b y log b = ( formel ( ) til t finde når y er kendt) log( ) Eksempel) vi hr denne eksponentielle udvikling: y = 8, (her er =, og b = 8) Spørgsmål : hvd er når y = 00? Vi bruger blot formlen ( ) ovenover: y 00 log log b 8 = = = 3,85 log( ) log(,) Vi kn ltid tjekke om det psser: 3, , (det psser!) = En eksponentiel udvikling er voksende når er større end og ftgende når er mellem 0 og.

26 For en eksponentiel udvikling ( y = b ) gælder der: Hvis den er voksende (dvs. fremskrivningsfktoren er større end ), kn vi tle om fordoblingskonstnten: T log() = log( ) Eksempel) se på den eksponentielle udvikling y =,3 ( b = og =,3) log() log() Vi udregner fordoblingskonstnten T = = =,6 log( ) log(,3) Det betyder, t hvis vokser med T =,6 så vil y fordobles. Hvis den er ftgende (dvs. er mellem 0 og ), kn vi tle om hlveringskonstnten: T ½ log(½) = log( ) Eksempel) se på den eksponentielle udvikling y = 0,8 ( b = og = 0,8) log(½) log(½) Vi udregner hlveringskonstnten T½ = = = 3, log( ) log(0,8) Det betyder, t hvis vokser med T = 3, så vil y hlveres. ½ For eksponentielle udviklinger gælder der noget særligt, når vokser med. Der gælder nemlig t y vil ænd re sig med smme procentværdi, hver gng vokser med. Denne procentværdi findes således: ( ) 00% Eksempel) se igen på den eksponentielle udvikling y =,3 ( b = og =,3) y ændrer sig ltså med (,3 ) 00% = 30% når vokser med. Dette stemmer godt overens med t udviklingen er voksende. Eksempel) se igen på den eksponentielle udvikling y = 0,8 ( b = og = 0,8) y ændrer sig ltså med (0,8 ) 00% = 0% når vokser med. Dette stemmer godt overens med t udviklingen er ftgende. 3

27 vægt (g) Deskriptiv sttistik, grupperede observtioner: ] 40,50 ] ] 50,60 ] ] 60,70 ] ] 70,80 ] ] 80,90 ] ] 90, 00 ] ] 00, 0] hyppighed frekvens ( %),4 9,6 0,4 35 8,4,4,8 kumuleret frekvens (%),4 3,4 67,4 85,8 97, 00 Tbel. Sttistiske deskriptorer. N = 500 er observtionssættets størrelse. 500 = æbler er blevet vejet. Tbel viser hvordn æblernes vægt i grm fordeler sig på forskellige vægtintervller, hyppigheden, dvs. hvor mnge æbler der hvde en vægt indenfor det givne intervl. Dette er krkteristisk for grupperede observtioner, t vi interesserer os for hvor mnge observtioner, der forekommer i givne intervller. I dette tilfælde er observtionssættets st ørrelse N = 500, fordi 500 æbler er undersøgt. hyppighed For t udregne frekvensen i % bruges denne formel: 00% N Frekvensen for det første intervl: 00% =,4% Frekvensen for det ndet intervl: 00% = 9,6% osv. for de ndre intervller. 500 For t beregne kumuleret frekvens for et intervl, skl vi blot summere lle frekvenser for intervller til og med det givne intervl, f.eks. er kumuleret frekvens for intervllet ] ] 70,80 lig med,4% + 9, 6% + 0, 4% + 35% = 67, 4% I dette eksempel kender vi observtionssættets størrelse og vi kender hyppighederne, så kn vi beregne observtionssættets middelværdi M således: ( ) M = = 75,3 500 Her hr vi brugt lle intervl-midtpunkter og hyppigheder. 4

28 vægt (g) ] 40,50 ] ] 50,60 ] ] 60,70 ] ] 70,80 ] ] 80,90 ] ] 90, 00 ] ] 00, 0] frekvens ( %),4 9,6 0,4 35 8,4,4,8 Tbel. Vi kn bruge frekvenserne til t beregne middeltllet. Kn vi beregne middelværdien M hvis vi kun kender intervllerne og frekvenserne som i tbel? J! vi gnger lle frekvenserne med intervl-midtpunkter og dividerer til sidst med 00: (, , , ,4 85 +,4 95 +,8 05) M = 00 = 75,3 Altså smme resultt som på forrige side. For t beregne middelværdien M, er det ltså nok t kende intervllerne og frekvenserne. Typeintervl: når lle intervller er lige store som i dette tilfælde med æbler, er typeintervllet blot det intervl med den største frekvens, ltså ] ] intervllet 70,80. Hvis ikke lle intervller er lige store, skl typeintervllet findes på nden måde. Dette vil jeg komme ind på i undervisningen. 5

29 Kumuleret frekvens (%) Sumkurve (æble undersøgelsen) Figur observtion (vægt i grm) Når vi skl tegne en sumkurve for et grupperet observtionssæt, skl vi fsætte en række punkter (, y) i et koordintsystem, hvor vi på ksen hr observtionerne og på y ksen kumuleret frekvens. Punkterne fsættes efter opskriften: (. intervls venstre endepunkt, 0) (. intervls højre endepunkt, kumuleret frekvens) (. intervls højre endepunkt, kumuleret frekvens) osv. osv... (sidste intervls højre endepunkt, 00) Ser vi på tbel skl vi ltså fsætte punkterne: (40, 0) (50,.4) (60, ) (70, 3.4) (80, 67.4) (90, 85.8) (00, 97.) (0, 00) 6

30 Kumuleret frekvens (%) Sumkurve (æble undersøgelsen) 5 Figur observtion (vægt i grm) Når disse punkter er fsæt i koordintsystemet, er det vigtigt t bruge en linel til t tegne en ret linje mellem de fstte punkter, som vist ovenover. Når først sumkurven er tegnet, er det ligetil t flæse kvrtilsættet, dvs. 5%, 50% og 75% frktilerne. Her er det også vigtigt t bruge linel og tegne præcise vndrette og lodrette linjer. 5% frktilen findes ved t tegne en vndret linje fr 5% på y ksen, hen til sumkurven og derfr lodret ned til ksen. På ksen flæser vi 5% frktilen til 66, 50% frktilen til 75 og 75% frktilen til % frktilen siger ltså, t 75% f æblerne hvde en vægt der vr mindre eller lig med 84 grm (kldes også øvre kvrtil). 50% frktilen siger ltså, t 50% f æblerne hvde en vægt der vr mindre eller lig med 75 grm (kldes også medinen). 5% frktilen siger ltså, t 5% f æblerne hvde en vægt der vr mindre eller lig med 66 grm (kldes også nedre kvrtil). 7

31 Frekvens (%) 40 Typeintervllet findes ltid som den højeste ksse på et histogrm 30 0 Histogrm (æble undersøgelsen) 0 Figur observtion (vægt i grm) Når vi skl tegne et histogrm for et grupperet observtionssæt, skl vi tegne nogle ksser i et koordintsystem, hvor vi på ksen hr observtionerne og på y ksen frekvensen i % (dette gælder kun hvis lle intervller er lige store. Hvis ikke intervllerne er lige store vil jeg komme ind på i undervisningen, hvordn histogrm så lves). For t tegne histogrm, hr vi tegnet ksser der er ligeså brede som intervllerne og ligeså høje som de enkelte intervllers frekvenser i % (se tbel ). Opsummering: for grupperede observtioner hr vi følgende centrle begreber: intervl, intervlhyppighed, intervlfrekvens, kumuleret frekvens, middelværdi, typeintervl, histogrm, sumkurve og kvrtilsættet. Kvrtilsættet flæses på sumkurve. Det er vigtigt selv t flæse kvrtilsættet og ikke bre overlde det til læseren. 8

32 Deskriptiv sttistik, ikke grupperede observtioner: Her er en rodebutik f tl: Det er 6 elevers krkterer ved en eksmen. Når sttistikken er ikke grupperet, smler vi ikke observtionerne i intervller; vi tæller blot hvor mnge gnge den smme observtion optræder, ltså hyppigheden f observtionen. krkterer hyppighed frekvens (%),5 3, 46, 5,4 3,8 Tbel 3. Sttistiske deskriptorer. N = 6 er observtionssættets størrelse. Middeltllet M kn nu findes: ( ) M = 6 = 6,4 Her hr vi brugt lle hyppighederne. Til sidst divideres med observtionssættets størrelse N = 6. Vi kunne også beregne middeltllet, blot ved t bruge frekvenserne og til sidst dividre med 00: (, , , + 0 5,4 + 3,8) M = = 6,4 00 Det betyder t middeltllet sgtens kn beregnes, selvom der i en opgve kun er oplyst observtionerne, smt deres frekvenser i procent. Typet llet = 7, d krkteren 7 hr den største hyppighed. 9

33 hyppighed 6 Typetllet findes ltid som den højeste stolpe på et stolpedigrm. Stolpedigrm 8 4 Figur observtion (krkter) Et stolpedigrm er velegnet til t dnne sig et grfisk overblik over et tlmterile. 30

34 Vi vil gerne finde kvrtilsættet. Oplist de 6 krkterer i en stigende rækkefølge : Efter som ntllet f krkterer er lige kn vi ikke pege på et tl præcis i midten, men vi kn dele listen i lige dele som vist med ksser (3 tl i hver). Nu finder vi tllet midt mellem det sidste tl i første ksse (7) og første tl i sidste ksse (7). Tllet mellem 7 og 7 må være 7. Derfor er medinen m = 7. For t finde nedre kvrtil finder vi blot første ksses medin og eftersom første ksse hr et ulige ntl tl kn vi pege på et tl i midten: (første ksse). Derfor er Q = 4. For t finde øvre kvrtil finder vi blot nden ksses medin: (nden ksse). Derfor er Q = 7 3 Ld os se et eksempel med ulige ntl observtioner (7): Stigenede rækkefølge Tllet præcis i midten er 0, så medinen m = 0. Medinen for første ksse er 4, så Q = 4. Medinen for sidste ksse er 3, så Q = 3. Bemærk hvordn der ses bort fr tllet præcis 3 i midten når de ksser lves for ulige ntl observtioner. Lommeregner TI - 30XS kn hurtigt beregne kvrtilsættet for ikke grupperede observtionssæt. min Q m = Q 3 m Boksplot (de 6 krkterer) observtion (krkter) Figur 6. Når vi kender øvre/nedre kvrtil, medinen, mindste og største observtion, kn vi tegne et boksplot. I eksemplet er medinen lig med øvre kvrtil. Dette kunne ldrig ske for grupperede observtioner. 3

35 Pythgors læresætning: Pythgors læresætning gælder kun for retvinklede treknter, ltså hvor en 0 f vinklerne er 90. Sætningen siger t hypotenusen i nden er lig den ene ktete i nden plus den nden ktete i nden. Så hvis vi kender f de 3 sider i en retvinklet treknt, kn vi beregne den sidste ved t udnytte Pythgors læresætning. Hvis vi f.eks. gerne vil beregne kteten b på figuren gør vi således:? 3 + b = 5 (Pythgors læresætning) 9 + b = 5 ( 9 på begge sider) b = 6 (kvdrtrod på begge sider) b = 4 Vi hr ltså brugt Pythgors sætning til t beregne, t kteten b hr længden 4. Hypotenuse og ktete er kun noget vi klder siderne i retvinklede treknter. Den længste side i en retvinklet treknt er ltid hypotenusen, men de ndre sider ltid kldes kteter. Arelet f en vilkårlig treknt: Arelet f en treknt er en hlv højde gnge grundlinjen. Hvis vi lder T ngive relet f treknten ovenover hr vi: T = ½ h AB, hvor AB ngiver længden f linjestykket AB (grundlinjen) Hvis treknten er retvinklet er trekntens rel T = ½ ktete ktete (hvorfor?) 0 Summen f de 3 vinkler i en treknt er ltid 80. 3

36 Trigonometri (retvinklede treknter) Vinkel B`s hosliggende ktete Vinkel A`s modstående ktete Vinkel A`s hosliggende ktete Vinkel B`s modstående ktete Sinus, cosinus og tngensformlerne gælder kun for de spidse vinkler treknt, ltså vinkel A og B på figuren ovenover. i en retvinklet For vinkel A ser formlerne således ud: cos A = A` s hosliggende ktete hypotenusen sin A = A` s modstående ktete hypotenusen (Disse formler vil vi ikke bevise) tn A = A` s modstående ktete A ` s hosliggende ktete For vinkel B ser formlerne ud på smme måde, blot skl lle A`er i formlerne erstttes f B`er. På næste side er der eksempler på nvendelse f formlerne. 33

37 eksempler : 0 Vinkel 40 og hypotenusen 5. A = c = Beregn vinkel A`s modstående ktete : Her vil det være oplgt t benytte sinusformlen: A` s modstående ktete hypotenusen sin 40 = =, dvs. = sin 40 5 = 9,6 Beregn vinkel A`s hosliggende ktete b : Her vil det være oplgt t benytte cosinusformlen: A` s hosliggende ktete b hypotenusen cos 40 = =, dvs. b = cos 40 5 =,5 Bemærkning: det er vigtigt t lommeregneren er indstillet til "DEG", når sinus, cosinus og tngensformlerne bruges 34

38 B 5 Vinkel B`s modstående ktete er. Vinkel B`s hosliggende ktete er 5. Beregn vinkel B : Her vil det være oplgt t benytte tngensformlen: B` s modstående ktete tn B = = B ` s hosliggende ktete 5 Men så er vinklen B = tn = 65,

39 Sinusreltionen: Trigonometri (vilkårlige treknter) sin A sin B sin C = = b c På treknt kendes to vinkler ( A og B) og en side ( ). Nu kn sinusreltionen bruges til t beregne siden b : sin A sin B = (herefter indsættes de kendte størrelser) b 0 0 sin 63, sin 49,5 = (nu bruges "gnge over kryds" reglen) 6,4 b sin 63, b = 6, 4 sin 49,5 (nu divideres med sin 63, på begge sider) ,4 sin 49,5 b = = 5,45 0 sin 63, A 0 63, b 0 49,5 B Treknt = 6,4 C På treknt kendes to sider ( og b) og en vinkel ( B). Nu kn sinusreltionen bruges til t beregne vinklen A : sin A sin B = (igen indsættes de kendte størrelser) b 0 sin A sin 96,9 = (igen bruges "gnge over kryds" reglen) 3, 4,8 sin A 4,8 = 3, sin 96,9 3, sin 96,9 4,8 0 0 sin = = 0,66... (sin på begge sider) A A = sin (0,66...) = 4,4 0 (nu divideres med 4,8 på begge sider) B 0 96,9 = 3, Treknt C b = 4,8 A 36

40 Trigonometri (vilkårlige treknter) Cosinusreltionen (beregn side) = c + b c b cos A : cos På treknt 3 kendes en vinkel ( A) og dens to ben ( b og c). Nu kn cosinusreltionen bruges til t beregne siden : b =,9 = 4,6 +,9 = 44,06... = 44,06... = 6,64 4,6,9 cos,9 = c + b c b A 0 C A 0,9 Treknt 3 c = 4,6 B Vinklen = + cos B b c c B Vinklen = + cos C c b b C ( c + b ) Cosinusreltionen (beregn vinkel) : A = cos ( c b) På treknt 4 kendes lle tre sider (, b og c). Nu kn cosinusreltionen bruges til t beregne f.eks. vinklen A : A = cos ( c + b ) (4, 7 + 3,87 3,97 ) = cos ( c b) ( 4, 7 3,87) ( ) A = cos 0,57... = 58, 0 c = 4,7 B Treknt 4 = 3,97 Vinkel B Vinkel C c b ( c) ( + ) B = cos b c ( b) ( + ) C = cos A b = 3,87 C En hvilken som helst vinkel kn derfor beregnes hvis lle sider er kendte. 37

41 Ensvinklede treknter: z To treknter er ensvinklede hvis treknterne hr præcis de smme vinkler. Det gælder for eksempel for de treknter ovenover. Begge treknter hr vinklen, vinklen og vinklen. Den ene treknt er blot større end den nden. Når vi hr ensvinklede treknter som ovenover, er det meget hensigtsmæssigt t orientere dem på smme måde. De treknter er ikke orienteret på smme måde, f.eks. peger vinkel opd på den store treknt, mens det er vinkel der peger opd på den lille treknt. Så er det ikke så nemt t regne på ensvinklede treknter. Men vi kn dreje den lille treknt: z Nu er treknterne orienteret på smme måde. Nu er det meget lettere t spotte ensliggende sider i de treknter: og er ensliggende (ligger mellem og ) y og b er ensliggende (ligger mellem og ) z og c er ensliggende (ligger mellem og ) Når vi skl regne på ensvinklede treknter, er det nok t kende længden f ensliggende sider (se næste side). 38

42 0 5,8 Nu er der kommet sidelængder på nogle f siderne i de treknter, men vigtigst; ensliggende sider er kendte, nemlig siden 0 på store treknt og siden 5 på 0 5 lille treknt. Nu kn vi finde en sklfktor på måder: Vi kn sige eller. 5 0 Måske er det mest nturligt med den længste side i tælleren og den korteste side 0 i nævneren, således t sklfktoren k = =. 5 Nu ved vi, t vi blot skl gnge lle siderne i den lille treknt med, for t finde længden på den tilsvrende / ensliggende side i den store treknt. Derfor er y =,8 = 5,6 Derfor er = c, dvs. c = 6 Opsummering: når vi regner på ensvinklede treknter er det vigtigt t orientere treknterne på smme måde, sådn t det er let t spotte ensliggende sider. Hvis en opgve hndler om ensvinklede treknter og treknterne ikke er orienteret ens i opgven, så sørg for t tegne treknterne, så de er orienteret ens på et stykke ppir. 39

43 Ligefrem og omvendt proportionlitet: vrible y og (de behøver ikke hedde y og ) kldes omvendt proportionle, hvis y kn skrives som en konstnt k divideret med : k dvs. y = ( må nturligvis ikke være 0) Gnges med på begge sider f lighedstegnet fås: y = k Eksempel : Per cykler hver dg 5 km til skole. De vrible tiden t (timer) Per er om t cykle til skole og gennemsnitshstigheden v (km/t) Per cykler til skole med er omvendt proportionle, fordi: v t = 5 km Hvis f.eks. Per cykler med gennemsnitshstigheden v = 0 km/t, vil hn være 0,5 timer om turen (dvs. 5 minutter) og v t = 5 km = (0 km/t) 0,5 t = 5 km. Hvis Per cykler hurtigere vil tiden også være kortere og i lle tilfælde vil v t = 5 km. vrible y og (de behøver ikke hedde y og ) kldes ligefrem proportionle, hvis y kn skrives som en konstnt k gnget med : dvs. y = k (en lineær smmenhæng med b = 0) Eksempel : Det koster 5 kr pr. kilometer t blive trnsporteret f en bestemt cykelt. Hvis y er prisen turen koster og er ntl kilometer vi ønsker t blive trnsporteret, så er y og ligefrem proportionle, eftersom y = 5 Her skulle der ikke betles noget strtgebyr for turen. Hvis cykelt hvde krævet et strtgebyr på 0 kr, så hvde vi hft denne lineære smmenhæng: y =

44 Indekstl: Bsisår År Pris (kr) Indekstl?? 00?? Indekstl er bre en "omdøbning" f llerede kendte tl. Tbel 5 viser f.eks. en vres prisudvikling i perioden Først fstsættes et bsisår, hvor indekstllet pr. definition er 00. Nu kn vi nemt beregne indekstllet for de øvrige år. For t beregne indekstllet for et år, skl vi bre udregne for mnge procent vrens pris det år, udgør f vrens pris i bsisåret: Indekstl år 000: Tbel 5. Prisudvikling og indekstl = 9, Indekstl år 00: 00 = 93, Indekstl år 003: 00 = 04, Indekstl år 004: 00 = 0, 9800 For t beregne bsolut ændring f vrens pris fr et år til et ndet, skl de oprindelige tl benyttes, f.eks. er prisens bsolutte ændring fr lig med ( ) kr = 400 kr. De reltive ændringer i vrens pris kn godt findes ud fr indekstl og d indekstllet i 003 er 04, er det nemt t se t den reltive stigning i procent må være 4,% ( ( ) 00% = 4,% ). 04, 00 Vi kunne også beregne den reltive ændring ud fr de oprindelige tl: 000 ( ) 00% = 4,% 9800 Men hvis udgngspunktet er året hvor indekstllet er 00, er det nemmere t flæse de reltive ændringer ud fr indekstllene, som blot trækkes fr hinnden. 4

45 Annuitetslån (supplerende stof): GRYN - formlen for et nnuitetslån (f.eks. boligfinnsiering) ser således ud: n ( ( + r) ) G = y r G r y n : det lånte beløb (hovedstolen) : rentefoden pr. termin (givne rente divideret med 00) : ydelsen (det fste fdrgsbeløb) : ntl fdrg Eksempel : Hvis renten pr. måned er, % (dvs. r = 0,0) og vi kn betle y = 500, kr hver måned i n = 7 fdrg, giver GRYN formlen hvor meget vi kn låne G: n 7 7 ( ( + r) ) ( ( + 0,0) ) ( (,0) ) G = y = 500 = 500 = 7044, kr r 0,0 0,0 Vi kn ltså låne 7044, kr. Vi skl i 7 måneder betle 500, kr, ltså skl der i lt tilbgebetles (7 500) kr = 08000, kr. Så hr renteudgifter været ( ) kr = 35956, kr Det hr ltså kostet en del penge t optge nnuitetslånet. Den fste tilbgebetlingsydelse y = 500, kr skl både dække renteudgifter og fdrg på lånet. 4

46 Supplerende noter: A ) 00% B (så meget udgør tllet A f B i procent) p ) B + 00 (tllet B stiger p%, p > 0) p 3) B 00 (tllet B flder p%, p > 0) S 4) 00% B ( B` s re ltive ændring i procent, når B vokser/flder til S) 5) S B ( B` s bsolutte ændring, når B vokser/flder til S) ) (Per er 6 år gmmel og Pi er 43 år gmmel) 6 00% = 37,% (er det ntl procent som Pers lder udgør f Pis lder) 43 0 ) (Vnd hr en tempertur på 0 C. Vndet opvrmes og efter et stykke er vndets tempertur steget 75%) = 0,75 = 35 (er vndets nye tempertur) 00 3) (en computer koster 7000,-kr men nedsættes med % under jnurudslg) 7000 = ,88 = 660 (er computerens nye pris) 00 4) (en lndsby er på et år vokset fr 500 til 700 indbyggere) % = 40% (så mnge procent er ntllet f indbyggere vokset) 500 5) (vndtemperturen stiger fr 0 grder til 75 grder) 75 0 = 55 (er den bsolutte ændring f vndtemperturen) 43

47 y = + b (ligningen for en lineær smmenhæng, og y vrible) ( og b kn være lle tl) ( er hældningskoefficienten og b er skæringen med y ksen) (det er der fgør om linjen er voksende, ftgende eller vndret i et koordintsystem) > 0 < 0 = 0 Hvis punkter (, y ) og (, y ) er kendte på en lineær smmenhæng, så er: ( y y ) = = og b y ( ) Løsninger til ligningen: + b = + b Hvis = og b = b er lle løsninger. prllelle Hvis = og b b er der ingen løsninger: Hvis er der netop en løsning: Eksempel (klorieforbrug under fysisk ktivitet) I et forsøg ntges det t der er en lineær smmenhæng mellem bevægehstighed (, km/t) og klorieforbrug ( y, klorier) for hstigheder mellem 5 og 5 km/t. (, y ) = (5,00) og (, y ) = (.8,600) er kendte målinger: ( y y ) (600 00) 500 = = = = 64, og = = 00 64, 5 = 0,5 b y ( ) (,8 5) 7,8 Altså er den lineære model: y = 64, 0,5 44

48 y = b (ligningen for en potenssmmenhæng, og y vrible) b > 0, kn være lle tl (præcisering f konstnterne og b). ( kldes eksponenten. b hr ikke noget særskilt nvn. I et koordintsytem vil en potenssmmenhæng foregå i. kvdrnt, se side 46). Tilfælde ) < 0 (ftgende) Tilfælde ) = 0 (kontnt y = b) Tilfælde 3) 0 < < (voksende) Tilfælde 4) = ( y = b ) Tilfælde 5) > (voksende) (potenssmmenhænge er defineret for > 0) Hvis punkter (, y ) og (, y ) er kendte på en potenssmmenhæng, så er: y log y = log og b = p + 00%, og er det ntl procent y ændrer sig hvis vokser p%. 00 Eksempel) Smmenhørende værdier mellem (se tbel 6 side 47) Sturns måners omløbstid i døgn ( ) og fstnden til Sturn i Sturnrdier ( y), plottes ind på dobbeltlogritmisk ppir. Det ses t dt med god tilnærmelse følger en ret linje. På ppiret indtegnes den bedste rette linje gennem punkterne (, y) = (7,) og (, y ) = (70,58). Nu kn og b beregnes: y log 58 log y y = = = 0, b = = = 3, , log log 7 Derfor er smmenhængen y = b = 3,69 Hvis (omløbstid) vokser med 0%, vil y (fstnd) ændre sig med: 0,684 0,684 p % = + 00% = 3,9% y 45

49 Grfer for potenssmmenhænge: y > < 0 y = b 0 < < Figur 7 Hvordn ser grfen ud hvis b = og = 0? Hvordn ser grfen ud hvis b = 3 og =? Indtegn på millimeterppir og skitsèr på figur 7. 46

50 Smmenhørende værdier mellem omløbstiden i døgn for Sturns måner og fstnden til Sturn i Sturnrdier ( ) ( y) Tbel 6 y,37 3,9,89 4,9,74 6, 4,5 9,7 5,95 0,,8 4,5 79,33 58,9 Afsæt disse (, y) dt på dobbeltlogritmisk funktionsppir. Hvd ser du? 47

51 y = b (ligningen for t eksponentiel udvikling, og y vrible) b > 0, > 0 (præcisering f konstnterne og b) ( kldes fremskrivningsfktoren og b kldes begyndelses værdien) Tilfældet = : y = b = b 0 < < > Tilfældet > (voksende) : Tilfældet 0 < < (ftgende) : Figur 8 ( ) 00% ( centrl egenskb: når vokser med ændres y med den procent) Eksempel) Eksponentiel udvikling som mtemtisk model. Jordens befolkning: i 984 vr der 4,7 millirder mennesker på jorden. Befolkningsntllet vokser med c.,8% om året. Så er begyndelsesværdien b = 4,7 millirder. Fremskrivningsfktoren =,08 (lv udregningen +, se side ). Modellen er derfor y = 4,7,08,

52 Grfer eksponentiel udvikling y = b potenssmmenhæng y = b (5,4) lineær smmenhæng y = + b (7,0) (,5) ( 3,) (5, 4) Figur 9 (,) Figur viser kendte punkter (, y ) og (, y ) på en lineær smmenhæng, en eksponentiel udvikling og en potenssmmenhæng. Lineær smmenhæng ( y y ) = b = y ( ) : og y y Eksponentiel udvikling: = og b = y y log y Potensmmenhæng: = og b = log Eksempel: vi vil gerne finde ligningen for den eksponentielle udvikling gennem punkterne (, y ) = ( 3,) og (, y ) = (5,4) på figur. y Først Dernæst y 5 ( 3) 4 ( ( ) ) 8 findes = = = 4 =, y y findes b = = =, ltså y =, 690,3 ( 3),

53 Oversigt over modeller: Tbel 7. De 3 smmenhænge smmenlignes. Meget centrlt kernestof. (. y) smmenhænge y y = + b bsolut stigning på bsolut ændring på y = b p reltiv stigning på p% reltiv ændring på + 00% 00 y = b bsolut stigning på reltiv ændring på ( ) 00% Tbel 8. Krkteristisk vækstforhold for hver smmenhæng. For grfer, se figur 9 side

54 b sin A = cos A = tn A = c c b A = sin c = sin A c c = sin A Eksempel) flgstng på skrånende terræn BC sin 8, 5 = 3,9 BC = sin 8,5 3,9 =,05 DB cos 8,5 = 3,9 DB = cos 8,5 3,9 = 3,75 AB tn 36 = 3,75 AB = tn 36 3,75 = 9,99 Altså AC = AB + BC = 9,99 +,05 =,04 A D ,5 3,9 m B C 5

55 Mtemtisk bevisførelse: Sætning: i en retvinklet treknt er c = + b Bevis : c b v v b c c v v b kvdret med v v b sidelængder b c c b v v 0 D v + v = 90 hr vi et stort kvdret med sidelængder c. Arelet f store kvdrt må være c. Arelet f det store kvdrtet kn også findes som relet f det lille kvdrt i midten med sidelængder b plus relet f de 4 retvinklede treknter. Arelet f de 4 retvinklede treknter må være 4 (½ b) = b Arelet f lille kvdrt i midten må være ( ) b = + b b Derfor er c = b + + b b = + b 5

56 Sætning om treknter: i en treknt er vinkelsummen 80 0 Bevis: Topvinkler (hvorfor?) og ensliggende vinkler er lige store. v v w v w v C B B A A C Af nederste tegning fremgår, t A + B + C =

57 Sætning om treknter: Arelet f en treknt, T, er en hlv højde gnge grundlinje, dvs. med figurens betegnelser T = ½ h G B A T h T b C Bevis: G (grundlinje) der må gælde, t T = T + T, ltså summen f de retvinklede treknter på figuren. D relet f en retvinklet treknt er en hlv gnge produktet f de kteter fås: T = T + T = ½ h + ½ b h (kommer ½ h udenfor en prntes) T = ½ h ( + b) (udnytter t G = + b) T = ½ h G 54

58 Sætning om lineære smmenhænge y = + b : Hvis punkterne (, y ) og (, y ) ligger på en lineær smmenhæng, så er: ( y y) = ( ) Bevis: Vi hr, t y = + b og y = + b. Vi ser på en differens: y y = + b ( + b) (ophæver minusprntesen) y y = + b b (kn fjerne b) y y = (kommer udenfor en prntes) y y = ( ) (dividerer med ( ) på begge sider) ( y y) = ( ) 55

59 Sætning om potenssmmenhænge y = b : Hvis punkterne (, y ) og (, y ) ligger på en potenssmmenhæng, så er: y log y = log Bevis: Vi hr, t y = b og y = b. Vi ser på en brøk: y y b = b (kn forkorte b væk) y y = (bruger en potensregneregel) y y = (logritmen på begge sider) y = y log log (bruger en logritme regneregel) y = y log log (di viderer med log( ) på begge sider) y log y = log 56

60 Sætning om potenssmmenhænge y = b : p + 00% (så mnge procent ændres y, hvis vokser p%) 00 Bevis: Ld k være et tl større end 0 ( k > 0). Nu gnger vi k med, ltså k, som indsættes i ligningen for potenssmmenhængen: y = b ( k ) (bruger potensregneregel) = y b k (fktorernes orden er ligegyldig) y = k b (udnytter t y = b ) = y k y Hvis gnges med en fktor k, vil y gnges med en fktor k. Antg, t vokser p%.vi ved fr procentregning, t det svrer til p t gnge med en fktor k = + (se side ). 00 p Men så vil y blive gnget med en fktor k = Omregnes den fktor til procent ( se side 4), hr vi t y ændres med: p + 00% 00 57

61 Sætning om eksponentielle udviklinger y = b : Hvis punkterne (, y ) og (, y ) ligger på en eksponentiel udvikling, så er: y = y ( ) Bevis: Vi hr, t y = b og y = b. Vi ser på en brøk: y y b = b (kn forkorte b væk) y y = (bruger en potensregneregel) y y ( ) = (opløfte til ( ) på begge sider) y = y ( ) 58

62 Sætning om eksponentielle udviklinger y = b : en voksende eksponentiel udvikling (dvs. > ) hr fordoblingskonstnten T ( ) ( ) log = log Bevis: ( + T ) = b ( + T ) b (divider med b) = (log på begge sider) ( + T ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) log log (log regler) ( + T ) log = log + log ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) log( ) T = log( ) (gnge ind og log regel) log + T log = log + log ( log( )) T log log (divider medlog( )) Bemærkning: for t bevise, t hlveringskonstnten for en ftgende ½ ( ) ( ) log ½ eksponentiel udvikling (dvs. 0 < < ) er T½ = log skulle vi blot strte med ligningen b + ( T ) = ½ b 59

63 Arbejdsspørgsmål: Tænk på et tl mellem og 9 ( og 9 er med). Husk tllet. Det tl du tænker på fordobler du nu. Så skl du lægge 6 til. Nu skl du hlvere. Endeligt skl du trække det tl fr du tænkte på i begyndelsen. Hvilket tl giver det? 3 forhåbentligt! Hvofor er det sådn?. Ligningsløsning ) Redegør for metoden der nvendes, når vi løser ligninger, dvs. når vi isolerer en vribel i en ligning. b) Hvd sker der med ligningens sndhedsværdi, når vi ændrer ligningen v.hj. gyldige opertioner på hver side f lighedstegnet? c) Hvorfor er det ikke en tilldt opertion t gnge med 0 på hver side f et lighedstegn?. Procentregning ) Redegør for grundlæggende procentregningsprincipper. b) Hvilken enhed hr reltiv vækst ltid? c) Hvilken enhed hr bsolut vækst? d) Opstil forskellige tilfælde, hvor et tl stiger til et ndet tl, således t den bsolutte vækst er den smme i de tilfælde, men sådn, t den reltive vækst ikke er ens. e) Vi skl lægge 5% til en pris uden moms for t få prisen med moms. Hvilken fktor svrer det til t gnge pris uden moms med? Hvor mnge procent skl vi trække fr prisen med moms, for t få prisen uden moms? 60

64 3. Rentesregning ) Opskriv renteformlen og redegør for hvd de forskellige vrible betyder. b) Hvd er smmenhængen mellem en rente i procent på f.eks. en opspringskonto og den tilhørende rentefod? c) Hvd er forskellen på t fremskrive og tilbgeskrive en kpitl? d) n er ntl terminer i renteformlen. Hvilke værdier (tl) kn n være? e ) Hvis den årlige rente på en opspringskonto er % og vi ønsker t overflytte til en konto med månedlig rente, således t pengeudbyttet bliver det smme, tror du så t den månedlige rente skl være netop procent, over en procent eller und er procent? 4. Lineær smmenhæng ) Gå på opdgelse på nettet og find en smmenhæng mellem vrible fr virkeligheden, der med tilnærmelse kn beskrives v.hj.. en lineær smmenhæng. Forkl r hvd det hndler om. b) Diskutèr betydningen f konstnterne og b i en lineær smmenhæng. c) y ændrer sig med, når vokser med. Hvor meget ændrer y sig, hvis vokser med hhv. 5, 7 og? 5. Potenssmmenhæng ) Gå på opdgelse på nettet og find en smmenhæng mellem vrible fr virkeligheden, der med tilnærmelse kn beskrives v.hj.. en potenssmmenhæng. Forklr hvd det hndler om. b) Bevis, t en potenssmmenhæng ltid går gennem puntet (, b). c) På hvilken måde hænger potenssmmenhænge smmen med dobbeltlogritmisk ppir? d) På hvilken måde hænger procentregning smmen med potenssmmenhænge? e) Diskuter betydningen f for grfens forløb. 6

65 6. Eksponentiel udvikling ) Gå på opdgelse på nettet og find en smmenhæng mellem vrible fr virkeligheden, der med tilnærmelse kn beskrives v.hj.. en eksponentiel udvikling. Forklr hvd det hndler om. b) Diskutèr betydningen f konstnterne og b i en eksponentiel udvikling. c) På hvilken måde hænger eksponentielle udviklinger smmen med enkeltlogritmisk ppir? d) På hvilken måde hænger procentregning smmen med eksponentielle udviklinger? e) Hvd ville der ske med formel ( ) side 8, hvis K er det dobbelte f K og = + r? Kender du formlen? 0 f ) Hvd er fremskrivningsfktoren? n 7. Sttistik ) Hvd er forskellen på grupperet og ikke grupperet deskriptiv sttistik? b) Hvd er forskellen på middeltllet og medinen? c) Giv et eksempel på et tlmterile, hvor medinen og middeltl er ens. c) Redegør for histogrm og sumkurve for grupperede observtioner. d) Redegør for stolpedigrm og boksplot for ikke - grupperede observtioner. e) Hvd er sttistiske deskriptorer? f ) Hvd er kvrtilsættet? g) Hvordn ville du finde kvrtilsættet for grupperede observtioner? h) Hvordn ville du finde kvrtilsættet for ikke - grupperede observtioner? i) Hvd dækker betegnelserne Q, m og Q over? 3 6

66 8. Geometri ) Redegør for Pythgors læresætning for retvinklede treknter. b) Hvordn beregnes relet f en treknt? c) Redegør for trigonometriske formler i retvinklede treknter. d) Hvd er en sklfktor for ensvinklede treknter? e) En sklfktor kn både være en forstørrelsesfktor og en formindskelsesfktor. Forklr? f ) envinklede treknter hr forstørrelsesfktor 3. Hvor mnge procent er siderne i den store treknt større end de tilsvrende sider i den lille treknt? g) Hvor mnge spidse vinkler er der i en retvinklet treknt? For hvilke vinkler i en retvinklet treknt gælder cosinus, sinus og tngensformlerne? 9. Ligefrem og omvendt proportionlitet ) Redegør for t ligefrem proportionlitet er et speciltilfælde f lineære smmenhænge. b) Redegør for t omvendt proportionlitet er et speciltilfælde f potenssmmenhænge. 0. Indekstl ) Hvd er indekstllet ltid i bsisåret? b) På hvilken måde hænger procentregning smmen med indekstl? c) På hvilken måde hænger ensvinklede treknter smmen med indekstl?. Modeller ) Diskuter forskelle og ligheder mellem de 3 modeller. sønner og fædre er på fisketur. De fnger 3 lks. De får lle en fisk med hjem. Hvordn lder det sig gøre? 63

67 Procentregning Formel Forklring A 00% B Så mnge procent udgør tllet A f tllet B. p S = B + 00 Resulttet S svrer til t tllet B er vokset med p%. p S = B 00 Resulttet S svrer til t tllet B er fldet med p%. S B 00% B` s reltive ændring i procent når B vokser/flder til S. S B B` s bsolutte ændring når B vokser/flder til S. 64

68 Lineære smmenhænge Formel Forklring y = + b Ligningen for en lineær smmenhæng. er hældningskoefficienten og b er skæringspunktet på y ksen. = ( y y) ( ) Sådn kn beregnes når pr smmenhørende værdier (, y ) og (, y ) er kendte. b = y eller b = y Sådn kn b beregnes, når er beregnet. = ( y b) Sådn kn beregnes, når y er en kendt værdi. 65

69 Potenssmmenhænge Formel Forklring y = b ( større end 0) Ligningen for en potenssmmenhæng. og b hr ikke fået særlige nvne. kn være lle tl og b er større end 0. y log y = log Sådn kn beregnes når pr smmenhørende værdier (, y ) og (, y ) er kendte. y b = eller b = y Sådn kn b beregnes, når er beregnet. y = b Sådn kn beregnes, når y er en kendt værdi. p + 00% 00 Så mnge procent vil y værdien ændre sig når en hvilken som helst værdi vokser p%. 66

70 Eksponentielle udviklinger Formel Forklring y = b Ligningen for en eksponentiel udvikling. er fremskrivningsfktoren b er begyndelsesværdien. og b er begge større end 0. ( ) y = y Sådn kn beregnes når pr smmenhørende værdier y y (, ) og (, ) er kendte. y b = eller b = y Sådn kn b beregnes, når er beregnet. = y log( ) b log( ) Sådn kn beregnes, når y er en kendt værdi. T = log log Sådn beregnes fordoblingskonstnten for voksende eksponentielle udviklinger (dvs. fremskrivningsfktor er større end ). 67

71 Eksponentielle udviklinger (fortst...) Formel Forklring T ½ = log½ log Sådn beregnes hlveringskonstnten for ftgende eksponentielle udviklinger (dvs. fremskrivningsfktor er mellem 0 og ). ( ) 00% Så mnge procent vil y værdien ændre sig når en hvilken som helst værdi vokser med enhed. p = + 00 Sådn beregnes fremskrivningsfktoren hvis det om en vribel y gælder t den ændrer sig med p% når en vribel vokser med enhed. 68

72 Rentesregning Formel Forklring K = K ( + r) n n 0 Sådn beregnes slutkpitl hvis strtkpitl, rentefod og ntl terminer er kendte. Husk renten i % t r =. 00 Sådn beregnes strtkpitl K 0 = Kn ( + r) n hvis slutkpitl, rentefod og ntl terminer er kendte. Husk renten i % t r =. 00 r 0 n K n = K Sådn beregnes rentefod hvis strtkpitl, slutkpitl og ntl terminer er kendte ( r gnge 00% = renten i procent). n = K n log K 0 ( + r ) log ( ) Sådn beregnes ntl terminer hvis strtkpitl, slutkpitl og rentefod er kendte. Husk t renten i % r = 00 (rund n op til nærmeste hele tl). 69

73 Geometri (retvinklede treknter) Formel Forklring c = + b Dette er Pythgors læresætning. Hvis f de 3 sider er kendte kn den sidste beregnes. T = ½ b Sådn beregnes relet. En hlv gnge den ene ktete gnge den nden ktete. cos A = b c Cosinusformlen : Giver smmenhængen mellem cosinus til en vinkel, hosliggende ktete og hypotenusen. sin A = c Sinusformlen : Giver smmenhængen mellem sinus til en vinkel, modstående ktete og hypotenusen. Tngensformlen : tn A = b Giver smmenhængen mellem tngens til en vinkel, modstående og hosliggende ktete. A + B + C = 80 0 Hvis f de 3 vinkler i treknten er kendte kn den sidste beregnes d vinkelsummen er 80 grder. 70

74 Geometri (vilkårlige treknter) Formel Forklring A + B + C = 80 0 Hvis f de 3 vinkler i treknten er kendte kn den sidste beregnes d vinkelsummen er 80 grder. T = ½ b c sin A Sådn kn relet beregnes når en vinkel og vinklens ben er kendte. " en hlv ppelsin formlen" T = ½ h grundlinje Arelet kn beregnes hvis en højde og højdens grundlinje kendes. sin A sin B sin C = = b c Sinusreltionen : Forholdet mellem sinus til en vinkel og siden overfor er ens for lle 3 vinkler. Cosinusreltionen : = ( c + b c b cos A) Sådn beregnes en side hvis vinklen overfor og dens ben er kendte. A ( c + b ) = cos ( c b) Cosinusreltionen : Sådn beregnes en vinkel hvis vinklens ben ( b, c) og siden overfor ( ) er kendte. 7