MATEMATISK FORMELSAMLING
|
|
- Signe Skov
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd
2 Mtemtisk formelsmling til A-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup
3 Mtemtisk formelsmling til A-niveu GUX Grønlnd
4 FORORD Denne formelsmling til mtemtik A-niveu er udrejdet for t give et smlet overlik over de formler og det symolsprog, der knytter sig til kernestoffet for dette niveu på GUX ifølge læreplnerne fr 0. Formelsmlingen vil være prktisk åde for elever og lærere. Den finder nvendelse i det dglige rejde, som et opslgsværk, og et nyttigt redsk under eksmen. Formelsmlingen hr imidlertid ingen juridisk sttus, og kernestoffet til skriftlig eksmen er ikke defineret f den. For overlikkets skyld er medtget formler for rel og rumfng f en række elementære geometriske figurer. Endvidere indeholder formelsmlingen en liste over mtemtiske stndrdsymoler. Hensigten hermed er dels t give eleverne et hurtigt overlik, dels t idrge til t undervisere og forfttere f undervisningsmteriler kn nvende ensrtet nottion, symolsprog og terminologi. Listen over mtemtiske stndrdsymoler rækker derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det mtemtiske område. Nogle formler optræder flere steder i formelsmlingen, hvor de hører nturligt hjemme. Dette er vlgt for t ske smmenhæng i det enkelte fsnit og f hensyn til elevers søgning i en eksmenssitution. En række f formlerne i formelsmlingen er kun nvendelige under visse forudsætninger (f.eks. t nævneren i en røk er forskellig fr 0). Sådnne forudsætninger er f hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figurerne er medtget som illustrtion til formlerne, og den enkelte figur viser ofte ét lndt flere mulige tilfælde. Betydningen f de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke ltid forklret, men vil dog være det i tilfælde, hvor denne etydning ikke følger umiddelrt f skik og rug i den mtemtiske littertur. Formelsmlingen udgives f Deprtementet for uddnnelse og stilles frit til rådighed vi deprtementets undervisningsportl. Tk til Mtemtiklærerforeningen smt opgvekommissionen for deres kommentrer og idrg rejdet. Redktionen er fsluttet decemer 05. Rsmus Andersen Fgkonsulent Jens Thostrup
5 Indholdsfortegnelse Mtemtisk formelsmling til A-niveu... Delprøven uden hjælpemidler - forventninger til eleven... 5 Procentregning... 6 Potenser... 6 Kvdrtsætninger... 7 Proportionlitet... 7 Ensvinklede treknter... 8 Retvinklet treknt... 8 Vilkårlig treknt... 8 Koordintsystem i plnen... 9 Vektorer i plnen... 9 Linjer i plnen... Cirkel... 3 Prel... 3 Koordintsystem i rummet... 4 Vektorer i rummet... 4 Plner i rummet... 7 Linjer i rummet... 7 Kugle... 8 Polynomier... 9 Logritmefunktioner... 0 Eksponentielt voksende funktioner... Eksponentielt ftgende funktioner... Potensfunktioner... 3 Trigonometriske funktioner... 4 Hrmonisk svingning... 4 Differentilregning... 5 Afledet funktion... 6 Integrlregning... 7 Stmfunktion... 8 Arel og rumfng... 9 Differentilligninger Ugrupperede oservtioner... 3 Grupperede oservtioner... 3 Arel og omkreds, rumfng og overflde f geometriske figurer Mtemtiske stndrdsymoler Stikordsregister Formler, der kn forekomme i delprøven uden hjælpemidler i prøveform, er ngivet med lå skrift. 3
6 4
7 Delprøven uden hjælpemidler - forventninger til eleven Ved prøveform er der en delprøve uden hjælpemidler. Nedenstående er en eskrivelse f forventninger til eleven ved denne delprøve. Beskrivelsen ør eleverne gøres ekendt med. Med hensyn til forståelse skl eleverne kunne: Opstille formler og ligninger ud fr en sproglig eskrivelse Aflæse på sumkurver, herunder flæse frktiler og give en fortolkning f disse Hve kendsk til grfers forlø Redegøre for konstnternes etydning i det grfiske forlø for første- og ndengrdspolynomier smt eksponentielle funktioner Fortolke konstnter i lineære og eksponentielle vækstmodeller Fortolke konstnter i modeller for svingninger Anvende viden om fordolings- og hlveringskonstnt for eksponentiel vækst, herunder grfisk flæsning f disse konstnter Anvende viden om smmenhængen mellem væksthstighed og differentilkvotient Anvende viden om smmenhængen mellem fledet funktion og monotoniforhold Fortolke værdien f fledet funktion Anvende viden om smmenhængen mellem stmfunktion, estemt integrl og rel Anvende plnvektorers geometriske egensker til t esvre spørgsmål om ortogonlitet, prllelitet og rel Opstille differentilligninger på ggrund f en sproglig eskrivelse Vise t en funktion er løsning til en given differentilligning Bestemme en ligning for en tngent ud fr en differentilligning og et givet punkt Anvende rumlige vektorers geometriske egensker til t esvre spørgsmål om ligning for en pln, prmeterfremstilling for en linje, sklrprodukt, ligning for en kugle og tngentpln for en kugle. Med hensyn til formler, ligninger og funktionsudtryk skl eleverne kunne: Løse første- og ndengrdsligninger Sætte tl ind i formler Bestemme fstnd mellem to punkter, i plnen og i rummet Foretge eregninger i ensvinklede og retvinklede treknter Anvende og opstille ligning for cirkel og ligning for kugle Bestemme ligning for linjer og estemme linjers skæring Isolere ukendte størrelser i formeludtryk Bestemme regneforskrifter for lineære funktioner og eksponentielle udviklinger Aflæse konstnterne A og smt estemme perioden ud fr en grf, for svingninger f typen f ( t) Asin(t) Differentiere polynomier, e k, ln( ), sin( ), cos( ) og Anvende følgende regneregler for differentition: f Bestemme en tngentligning Bestemme integrler f polynomier, e, Anvende regneregler for integrtion f f, herunder og g, k f og f g, sin( ), cos( ) og g og k f. 5
8 Procentregning Begyndelsesværdi B Slutværdi S Vækstrte r Strtkpitl K0 Rentefod pr. termin r Kpitl K efter n terminer () S B( r) () K K0 ( r) n Smlet rente R (3) R( r) n Gennemsnitlig rente (4) r n ( r) ( r) ( r n ) Potenser n m n m Potensregneregler (5) (6) n m (7) ( ) nm n m nm (8) ( ) n n n (9) n 0 (0) () () n n n n n n (3) q p p q Potensligninger Løsning til ligningen Løsning til ligningen n (4) n c (5) log( c) log() c log( ) 6
9 Kvdrtsætninger Kvdrt på en sum (6) Kvdrt på en differens (7) ( ) ( ) To tls sum gnge smme to tls differens (8) ( ) ( ) Proportionlitet og y er proportionle Proportionlitetsfktor k og y er omvendt proportionle (0) (9) y k y k y k k y 7
10 Ensvinklede treknter () k c c () c k k kc Sklfktor, forstørrelsesfktor k Retvinklet treknt Pythgors sætning (3) c Cosinus (4) cos( A) c Sinus (5) sin( A) c Tngens (6) tn( A) Vilkårlig treknt Cosinusreltion (7) (8) Sinusreltion (9) (30) Trekntens rel T (3) c C c cos( C) cos( ) c sin( A) sin( B) sin( C) sin( A) sin( B) sin( C) c T C sin( ) 8
11 Koordintsystem i plnen Afstnd AB mellem to punkter A og B Midtpunkt M f linjestykke AB (33) (3) AB ( ) ( y y ), y M y Vektorer i plnen Koordintsæt for vektor (34) Længde f vektor (35) Enhedsvektor e ensrettet med (36) Enhedsvektor e med retningsvinkel v (37) Vektor ud fr længde og vinkel (38) e sin() v e cos() v sin() v cos( v) 9
12 Sum f to vektorer (39) Differens mellem to vektorer (40) Multipliktion f vektor med tllet k (4) k k k Koordintsæt for vektor AB (4) AB y y Sklrprodukt (prikprodukt) f og (43) cos() v (44), hvor v er vinklen mellem og. (45) cos() v Ortogonle vektorer (46) 0 Projektion f på (47) Længde f projektionen (48) 0
13 Tværvektor til (49) Determinnt for vektorprret (, ) (50) (5) det(, ) det(, ) sin( v), hvor v er vinklen fr til Prllelle vektorer (5) det(, ) 0 Arel A f prllelogrmmet, der udspændes f og (53) A det(, ) Arel T f treknten, der udspændes f og (54) T det(, )
14 Linjer i plnen Ligning for linjen gennem punktet (0, ) med hældningskoefficient Hældningskoefficient for linjen gennem A og B (55) y (56) y y (57) tn( v) Ligning for linjen gennem punktet P0( 0, y 0) med hældningskoefficient (58) y( 0) y0 Ortogonle linjer (59) l m c Ligning for linjen l gennem P 0 med normlvektor n (60) ( 0) ( y y0) 0 Prmeterfremstilling for linjen l gennem P 0 med retningsvektor r r r (6) 0 r t y y r 0
15 Afstnd fr punktet P til linjen l med ligningen yc 0 Afstnd fr punktet P til linjen l med ligningen y (6) (63) yc dist( Pl,) y dist( Pl,) Cirkel Ligning for cirklen med centrum C (, ) og rdius r Ligning for tngenten t til en cirkel med centrum C (, ), rdius r og røringspunkt P0( 0, y0) (64) ( ) ( y) r ( )( ) ( y )( yy ) 0 (65) Prel Ligning for prel (66) Diskriminnt d (67) y c d 4 c d Toppunkt T (68) T, 4 d Nulpunkter (69), d 3
16 Koordintsystem i rummet Afstnd AB mellem to punkter A og B Midtpunkt M f linjestykke AB (7) (70) AB ( ) ( y y ) ( z z ), y y, z M z Vektorer i rummet Koordintsæt for vektor (7) Længde f vektor (73) Enhedsvektor e ensrettet med (74) Sum f to vektorer (75) Differens mellem to vektorer (76) Multipliktion f vektor med tllet k (77) 3 3 e k k k 3 k 3 4
17 Koordintsæt for vektor AB (78) AB yy zz Sklrprodukt (prikprodukt) f og (79) 33 cos() v, hvor v er vinklen (80) mellem og (8) cos() v Ortogonle vektorer (8) 0 Projektion f på (83) Længde f projektionen (84) 5
18 Vektorprodukt (krydsprodukt) f og (85) Længden f (86) sin() v, hvor v er vinklen mellem og (87) o Arel A f prllelogrmmet, der er udspændt f og (88) A Arel T f treknten, der er udspændt f og (89) T 6
19 Plner i rummet Ligning for plnen gennem punktet P0( 0, y0, z 0) med normlvektor n c (90) ( 0) ( yy0) c( zz0) 0 Afstnd fr punktet P til plnen med ligningen yczd 0 (9) dist( P, ) y cz d c Linjer i rummet Prmeterfremstilling for linjen l gennem P 0 med retningsvektor r (9) 0 r y y t r 0 z z 0 r 3 7
20 Afstnd fr punktet P til linjen l gennem P 0 med retningsvektor r rpp 0 (93) dist( Pl,) r Afstnd mellem vindskæve linjer l og npp l, der går gennem punkterne P og P og hr retningsvektorer r og r (94) dist( l, l), hvor n r r n Kugle Ligning for kuglen med centrum Cc (,, ) og rdius r (95) ( ) ( y) ( zc) r Ligning for tngentpln til en kugle med centrum Cc (,, ) smt røringspunkt P0( 0, y0, z0) (96) ( 0)( ) ( y0)( y) ( z0c)( zc) 0 8
21 Polynomier Førstegrdspolynomium, lineær funktion f (97) f( ) y y Hældningskoefficient, stigningstl (98) Andengrdspolynomium p med nulpunkter (rødder) og (99) Diskriminnt d (00) ) p( c ( ) ( ) d c d Nulpunkter (rødder) i p (0) 4, d 9
22 Logritmefunktioner Grfen for den nturlige logritmefunktion (0) yln( ) e y (03) ln( ) når 0 (04) ln( ) når Logritmeregneregler (05) ln(e) (06) ln( ) ln( ) ln( ) (07) ln ln( ) ln( ) r (08) ln( ) rln( ) Grfen for logritmefunktionen med grundtl 0 (09) ylog( ) 0 y (0) log( ) når 0 () log( ) når Logritmeregneregler () log(0) (3) log( ) log( ) log( ) (4) log log( ) log( ) r (5) log( ) rlog( ) 0
23 Eksponentielt voksende funktioner Grf for en eksponentielt voksende funktion f Fremskrivningsfktor > Vækstrte r > 0 (6) f( ) f( ) ( r) k f( ) e, hvor k ln( ) (7) f ( ) når (8) f ( ) 0 når Fremskrivningsfktor ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y) (9) y y y y Grf for f( ) i et enkeltlogritmisk koordintsystem Fordolingskonstnt T (0) T log ln ln log ln k
24 Eksponentielt ftgende funktioner Grf for en eksponentielt ftgende funktion f Fremskrivningsfktor 0 < < Vækstrte r < 0 () f( ) f( ) (r) k f( ) e, hvor k ln( ) () f ( ) 0 når (3) f ( ) når Fremskrivningsfktor ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y) (4) y y y y Grf for f( ) i et enkeltlogritmisk koordintsystem Hlveringskonstnt T (5) T log ln ln log( ) ln( ) k
25 Potensfunktioner Potensfunktion (6) f () Grfer for f( ) Grf for f () i et doeltlogritmisk koordintsystem Tllet ud fr to punkter på grfen (, y ) og (, y) Reltiv tilvækst i -værdi r Reltiv tilvækst i y-værdi r y y y log ln (7) y y log ln (8) r ( r ) y 3
26 Trigonometriske funktioner Grdtl v omst til rdintl (9) Rdintl omst til grdtl v (30) v (med enhed rdiner) v (med enhed grder) Definition f cos ( ) og sin ( ) (3) cos( ) sin( ) (3) Grdtl Rdintl 0 Grf for cosinus Cosinus (33) Grdtl Rdintl 0 Grf for sinus Sinus Hrmonisk svingning Grf for f( t) Asin(t) Amplitude A Periode T (34) T 4
27 Differentilregning Differentilkvotienten f ( 0) for funktionen f i tllet 0 (35) f ( ) f ( 0) f( 0 ) lim 0 f( 0 h) f( 0) lim h0 h 0 Ligning for tngenten t til grfen for f i punktet P( 0, f( 0)) (36) y f( ) ( ) f( ) ( 0) y0, hvor f( 0) og y 0 f( 0 ) Regneregler for differentition (37) ( f ( ) g( )) f) g( ) (38) ( f ( ) g( )) f) g( ) (39) ( k f ( )) k f( ) (40) ( f( ) g( )) f) g( ) f ( ) g( ) (4) f( ) f( ) g( ) f( ) g( ) g ( ) ( g ( )) (4) ( f g) ( ) ( f ( g( ))) f ( g( )) g( ) 5
28 Afledet funktion Funktion Afledet funktion dy y f ( ) y f ( ) d Logritmefunktion (43) ln( ) Eksponentilfunktioner (44) e e (45) e k k e k (46) ln( ) Potensfunktioner (47) (48) (49) Trigonometriske funktioner (50) cos( ) sin( ) (5) sin( ) cos( ) 6
29 Integrlregning Uestemt integrl (5) f( ) d F( ) c, hvor F ( ) er en stmfunktion til f( ) Regneregler for uestemte integrler (53) ( f( ) g( )) d f( ) d g( ) d (54) ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d (55) k f( ) d k f( ) d f() d F () F () F (), Bestemt integrl (56) hvor F ( ) er en stmfunktion til f( ) Regneregler for estemte integrler (57) ( f () g()) d f () d g() d (58) ( f () g ()) d fd () gd () (59) k f () d k f () d c Indskudsreglen (60) f () d f () d f () d c 7
30 Stmfunktion Funktion Stmfunktion f ( ) f () d Eksponentilfunktioner (6) e e (6) e k (63) e k k ln( ) Potensfunktioner (64) (65) (66) ln( ) Trigonometriske funktioner (67) cos (68) sin sin cos 8
31 Arel og rumfng Arel A f det mrkerede område (69) () A f d Arel A f det mrkerede område (70) A ( f ( ) g( )) d Rumfng V f omdrejningslegemet om førsteksen (7) V ( f ( )) d Rumfng V f omdrejningslegemet om ndenksen (7) V f ( ) d 9
32 Differentilligninger Ligning Løsning (73) y h ( ) y h( ) d (74) y ky y c e k (75) y y y c e (76) y y( y) (77) yy( M y) y c e M y c e M (78) y k y k c d 30
33 Ugrupperede oservtioner Pindedigrm (stolpedigrm) (66) Højden f en pind svrer til frekvens (eller hyppighed) Trppedigrm (79) Q : nedre kvrtil, 5%-frktil m : medin, 50%-frktil Q : øvre kvrtil, 75%-frktil 3 Middeltl for oservtionssættet,,..., n (80) n... n Middeltl for oservtionsværdierne,,..., n med frekvenser f, f,..., fn f f f (8) n n 3
34 Grupperede oservtioner Histogrm (8) Arelet f en lok svrer til intervlfrekvens (eller intervlhyppighed) Histogrm med ens intervlredder (83) Højden f en lok svrer til intervlfrekvens (eller intervlhyppighed) Sumkurve (84) Q : nedre kvrtil, 5%-frktil m : medin, 50%-frktil Q : øvre kvrtil, 75%-frktil 3 Middeltl på ggrund f intervlmidtpunkter m, m,, m3 og intervlfrekvenser f, f,, f3 m f m f m f (85) n n 3
35 Arel og omkreds, rumfng og overflde f geometriske figurer Treknt Prllelogrm Trpez Cirkel Kugle Cylinder Kegle h højde g grundlinje A rel A hg h højde g grundlinje A rel Ahg h højde, prllelle sider A rel A h( ) r rdius A rel A r O omkreds O r r rdius O overflde O 4 r V rumfng 4 V 3 r 3 h højde r grundflderdius O krum overflde Orh V rumfng V r h h højde s sidelinje r grundflderdius O krum overflde O rs V rumfng V 3 r h 33
36 Mtemtiske stndrdsymoler Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. {.,.,.,} mængde på listeform { 5,0,3,0}, {, 4, 6}, {,,0,, } N, mængden f nturlige tl N {,,3, } Z, mængden f hele tl Z {,,,0,,, } Q, mængden f rtionle tl tl, der kn skrives som røk p q, hvor p Z, q N R, mængden f reelle tl tilhører / er element i N, dvs. tllet er et nturligt tl ; lukket intervl ; hlvåent intervl ; hlvåent intervl ; åent intervl ;3 svrer til 3 ;3 svrer til 3 ;3 svrer til 3 ;3 svrer til 3 < er mindre end 3 < 7 > er større end 5 > 4, er mindre end eller lig med 3 7, 3 3, er større end eller lig med 5 4, 4 4 og i etydningen åde og (konjunktion) eller i etydningen og/eller (disjunktion) medfører, hvis så (impliktion) ensetydende, hvis og kun hvis (iimpliktion) y
37 Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. f ( ) Dm( f ) Vm( f ) f funktionsværdi f ved funktionen f definitionsmængden for f værdimængden for f f( ), så er (4) 3 g smmenst funktion ( f g)( ) f ( g( )) f omvendt (invers) funktion s f t t f t ( ) ( ) f. log logritmefunktionen med grundtl 0 ln den nturlige logritmefunktion ln e den nturlige eksponentilfunktion eksponentilfunktion med grundtl, > 0 potensfunktion ylog 0 y y e y e etegnes også ep() eksponentilfunktion eller en eksponentiel udvikling kldes undertiden for en potensfunktion eller en potensudvikling kldes undertiden for en numerisk (solut) værdi f 3 3, 7 7 etegnes også s() sin( ) cos( ) tn( ) sinus cosinus tngens sin() tn() cos() sin ( y) omvendt funktion til sinus sin( ) y sin ( y) etegnes også rcsin( y) sin ( y) cos ( y) omvendt funktion til cosinus cos( ) y cos ( y) etegnes også rccos( y) cos ( y) tn ( y) omvendt funktion til tngens tn( ) y tn ( y) tn ( y) etegnes også rctn( y) 35
38 Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. lim f( ) 0 grænseværdi for f ( ) når går mod 0 8 lim 3 lim f( ) f( ) når 0 f ( ) når grænseværdi for f() når går mod f ( ) går mod når går mod 0 f ( ) går mod når går mod lim 0 e 3 når 8 0 når -tilvækst 0 y, f funktionstilvækst for y f ( ) y f, differenskvotient for y f ( ) f( 0) differentilkvotient for y f ( ) i 0 y yy f f( ) f( ) 0 y f f( ) f( 0 ) f 0 f( ) f( 0) ) lim 0 f lim y lim dy d df f fledet funktion f y f ( ) etegnes f ( ), y,, f ( ) og d d d () n f den n te fledede funktion f y f ( ) f () ( ) skrives ofte f ( ), y eller dy d f ( ) d stmfunktion (uestemt integrl) til f ( ) f ( ) d estemt integrl fr til f f () 36
39 Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. AB AB AB AB linjestykke AB længde f linjestykket AB cirkelue AB længde f cirkeluen AB, AB vektor, AB længde f vektor ˆ, ˆ tværvektor sklrprodukt, prikprodukt vektorprodukt, krydsprodukt determinnt for vektorpr (, ) etegnelsen det(, ) enyttes også er prllel med er vinkelret på l m læses også l og m er ortogonle 37
40 Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. A vinkel A A 0 eller A 0 ABD vinkel B i treknt ABD (, ) vinklen v mellem og, hvor 0v 80 vinkel fr og retvinklet treknt midtnorml n for linjestykket AB 38
41 Symol Betydning Eksempler, emærkninger m.v. h højde fr B på siden eller dens forlængelse m medin fr B på siden vb vinkelhlveringslinje for vinkel B treknt ABC s omskrevne cirkel treknt ABC s indskrevne cirkel 39
42 Stikordsregister A fledet funktion 5, 35 H hlveringskonstnt fstnd fr punkt til linje, 7 hrmonisk svingning 3 fstnd fr punkt til pln 6 histogrm 3 fstnd mellem to punkter 8, 3 hypotenuse 37 mplitude 3 hældningskoefficient, 8 ndengrdspolynomium 8 højde 38 rccosinus 34 rcsinus 34 I impliktion 33 rctngens 34 indskreven cirkel 38 rel indskudsreglen 6 - estemt ved grfer 8 integrlregning 7 - f cirkel 3 intervl 33 - f prllelogrm 0, 5, intervlfrekvens 3 - f treknt 7, 0, 3 invers funktion 33 5,3 B estemt integrl 7, 35 K kpitl 5 iimpliktion 33 ktete 37 kegle 3 C cirkel, 3 koordintsystem cosinus 7, 3, 34 - i plnen 8 cosinusreltion 7 - i rummet 3 cylinder 3 krydsprodukt 5 kugle 7, 3 D definitionsmængde 33 - ligning for 7 determinnt for vektorpr 0 - tngentpln til 7 differenskvotient 35 kvdrtsætninger 6 differentilkvotient 4 kvrtiler 30, 3 differentilligninger 9 differentilregning 4 L lineær funktion 8 diskriminnt, 8 linjer - i plnen E eksponentilfunktioner - i rummet 7 0,, 5, 7, 34 linjestykke 36, 37 enhedsvektor 8 logritmefunktioner 9, 5, ensvinklede treknter 7 34 M medin 30, 3, F fordolingskonstnt 0 middeltl 30, 38 3 frekvens 30, 3 midtnorml 37 fremskrivningsfktor 0, midtpunkt f linjestykke 8, 3 førstegrdspolynomium 8 mængde 33 G gennemsnitlig rente 5 N nedre kvrtil 30, 3 grdtl 3 normlvektor 6 grupperede oservtioner 3 nulpunkt, 8 grænseværdi 35 numerisk værdi 34 40
43 O omdrejningslegeme 8 S smlet rente 5 omskreven cirkel 38 smmenst funktion 33 omvendt funktion 33, 34 sinus 7, 3, 34 omvendt proportionlitet 6 sinusreltion 7 ortogonle 9,, 4 sklrprodukt 9, 4 overflde f stmfunktion 7, 35 - cylinder, - kegle, - kugle 3 stigningstl 8 stolpedigrm 30 P prel sumkurve 3 prllelle 0 symolliste prllelogrm 0, 5, prmeterfremstilling 3 T tngens 7, 34 - linje i plnen tngent, 4 - linje i rummet 6 toppunkt pindedigrm 30 trpez 3 pln i rummet 6 trppedigrm 30 plnens ligning i rummet 6 treknt 7, 0, polynomier 8 trigonometriske 5,3 potensfunktion, 5, funktioner 3, 5, potensregneregler 7, 34 5 tværvektor 0 7 potensligninger 5 prikprodukt 9, 4 U uestemt integrl 6, 35 procentregning 5 ugrupperede oservtioner 30 projektion f vektor 9, 4 proportionlitet 6 V vektorer i plnen 8-0, 36 Pythgors sætning 7 vektorer i rummet 3-5, 36 vektorprodukt 5 R rdintl 3 vilkårlig treknt 7 regneregler for vinkelhlveringslinje 38 - differentition 4 vinkelret 36 - integrtion 6 vinkler 37 retvinklet treknt 7, 37 vækstrte 5, 0, rentefod 5 værdimængde 33 retningsvektor, 7 retningsvinkel 8 Ø øvre kvrtil 30, 3 rod, rødder 8 rumfng f - omdrejningslegeme 8 - cylinder 3 - kegle 3 - kugle 3 4
44
45
46
MATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereMatematisk formelsamling. stx B-niveau
Mtemtisk formelsmling st B-niveu mj 08 Denne udgve f Mtemtisk formelsmling st B-niveu er udgivet f Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk. Formelsmlingen er udrejdet i et smrejde mellem
Læs mereMatematisk formelsamling. stx A-niveau
Mtemtisk formelsmling st A-niveu mj 08 Denne udgve f Mtemtisk formelsmling st A-niveu er udgivet f Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk. Formelsmlingen er udrejdet i et smrejde mellem
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1
Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereTeknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave
Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereMatematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1
Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereFormelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11
Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...
Læs mereFormelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks
Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:
Læs mereFormelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til
Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle
Læs mereFormelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til
Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereStamfunktion & integral
PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereGymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen
Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereFORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK
FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK Indhold Tl og lger 3 Tl 3 Primtl 3 Smmenstte tl 4 Intervller 4 Brøker 5 Kvdrtrødder 5 Potenser 6 Prentesregler 7 Procent Økonomi 9 9 Rente Smmenst
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereMatematik A Matematik kompendium til HTX 3år
Mtemtik A Mtemtik kompendium til HTX år Skrevet f Jco Lrsen og Mrtin Gyde Poulsen.år HTX Slgelse Udgivet f De Nturvidenskelige Side Indholdsfortegnelse StuGuide 4 Differentilregning 4 Integrlregning 4
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereImplicit differentiation
Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereOversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2
geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs mereTekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereEksamensspørgsmål: Potens-funktioner
Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013-2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Lærer(e) Helle Kruchov
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereBeregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:
Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen
Læs mereFORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK
FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK Redktion og tilrettelæggelse f indhold for Skolestyrelsen: Lektor Hns Jørgen Beck, djunkt
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter
Læs mere1 Plan og rumintegraler
1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs mere1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014
1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser
Læs mereMatematisk formelsamling. Hf C-niveau
Mtemtisk fomelsmling Hf C-niveu Denne udgve f Mtemtisk fomelsmling Hf C-niveu e udgivet f Undevisningsministeiet og gjot tilgængelig på uvm.dk. Fomelsmlingen e udejdet i et smejde mellem Mtemtiklæefoeningen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker
INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs merePlanintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =
Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.
054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereMatematisk formelsamling. stx C-niveau
Mtemtisk fomelsmling st C-niveu mj 08 Denne udgve f Mtemtisk fomelsmling st C-niveu e udgivet f Undevisningsministeiet og gjot tilgængelig på uvm.dk. Fomelsmlingen e udejdet i et smejde mellem Mtemtiklæefoeningen
Læs mereMatematik B. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale. Uddannelse. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Matematik B Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole HTX MATEMATIK B Katrine
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereFUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression
FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013/2014 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf Matematik
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg stx
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2010 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Stx Matematik
Læs mere