Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave"

Transkript

1 Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne er der også en oersigt oer mtemtiske tegn og smoler med tilhørende forklring. ISBN ef.dk renr Erhersskolernes Forlg

2 Teknisk Mtemtik - Formler 8. udge, 0 Erhersskolernes Forlg 0 Forlgsredktør: Kren Ageræk, Omslg: Henrik Stig Møller, EF/Strunge Grfik Grfisk tilrettelæggelse: Stig Bing, EF Dtp: Strunge Grfik Tegninger: Ee Lstein Forsidefoto: Bgningen Bølgen i Vejle ISBN: (e-og) ISBN: (e-og, særudge) Bogen er st med Pltino Alle rettigheder ifølge gældende lo om ophsret foreholdes. Kopiering fr denne e-og må ikke finde sted. Erhersskolernes Forlg Munkehtten 8 50 Odense SØ Tlf F

3 Teknisk mtemtik Formler 3 Forord Arejder du med en mtemtisk opge og mngler en formel, så kn Teknisk mtemtik Formler hjælpe dig. Teknisk mtemtik Formler indeholder et uddrg f de igtigste definitioner, regneregler og formler fr Teknisk mtemtik, 4. udge (renr på ef.dk). Den udgør hered et prktisk opslgsærk, der hurtigt gier et oerlik oer indholdet f formler fr læreogens enkelte kpitler. Teknisk mtemtik er ikke udrejdet til en estemt uddnnelse, men sigter mod en red nendelse inden for uddnnelser efter folkeskolen. Juni 0 Preen Mdsen

4 4 Teknisk mtemtik Formler INDHOLD Tl og lger Addition Sutrktion Multipliktion Diision Brøkregning Potens Rod Ligninger og uligheder Regneregler for løsning f ligninger ligninger med uekendte: determinnt-metoden.grdsligningen Numerisk ærdi Interller Regneregler for uligheder Geometri Retinklet treknt Ensinklede treknter Højder i en treknt Mediner i en treknt Vinkelhleringslinjer i en treknt Trekntens indskrene cirkel Trekntens omskrene cirkel Firknter Polgoner Trigonometri Den retinklede treknt Den ilkårlige treknt Cirklen Omkreds uelængder Areler m. Oerflder udfoldninger Oerflder m. Rumfng Retinklet prisme Ksse Clinder Clinderrør Prmide Prmidestu Kegle Keglestu Guldins. regel Guldins. regel Kugle Kugleudsnit Kuglefsnit Anltisk plngeometri Plngeometri Funktioner Definition på en funktion Lineær funktion Funktioner f. grd (prler) Smmenstte funktioner Omendte funktioner Proportionlitet Eksponentielle funktioner Logritmefunktioner Eksponentilfunktioner Trigonometriske funktioner Trigonometriske definitioner og grundformler Additionsformlerne Formler for den doelte inkel Singninger Differentilregning Smoler for differentilkotient Regneregler for estemmelse f differentilkotienter Bestemmelse f lokle mksimumsog minimumspunkter Implicit differentition Integrlregning Integrl stmfunktion integrtionsprøen Bestemmelse f stmfunktioner Logritmiske funktioner Regneregler for integrtion Bestemt integrl Prtiel integrtion eller delis integrtion Areleregning Rumfngseregning Vektorer i plnet Vektorkoordinter Vektorkoordinter i et koordintsstem Multipliktion f sklr med ektor Addition f to ektorer Vektorer i ligeægt Sutrktion f ektorer Enhedsektor Sklrprodukt eller prikprodukt Tærektor Trekntens tngdepunkt Trekntens rel Projektion Afstnd fr punkt til ret linje Vektorer i rummet Vektorkoordinter og ektorlængder Enhedsektor Sklrprodukt eller prikprodukt Projektion Prmeterfremstilling f ret linje Vektorprodukt Prmeterfremstilling f pln Plnets ligning på normlform Afstnd e mellem punkt P 0 og pln Afstnd e mellem punkt P 0 og ret linje Kugle med rdius r og centrum i (,,c) Vektorfunktioner Vektorfunktioner Beægelser Differentilligninger Ligningstpe/Løsning Mtemtiske tegn og smoler

5 Tl og lger 5 Addition + = c + = + + ( + c) = + + c Sum Addender Addendernes orden er ligegldig. En prentes med fortegn + kn hæes og sættes, uden t leddenes fortegn ændres. Sutrktion = c ( + c) = c Differens En prentes med fortegn kn hæes, når leddene i prentesen ændrer fortegn. Multipliktion = c = = 4 ( + c) = + c ( c) = c ( + )(c + d) = c + d + c + d ( + ) = + + ( ) = + ( + )( ) = Produkt Fktorer Fktorernes orden er ligegldig Regneregler Tre igtige formler

6 6 Teknisk mtemtik Formler Diision Brøkregning : = c Kotient Diisor Diidend = c Kotient Næner Tæller c = c Regneregler c = : : c n + c c n + n = + + n c c = c : = c. c c = d d : c d = d c Potens = 4 Regneregler 0 n = 0 0 = = n = n p q = p + q p P = p ( ) p = p p p p q = q ( p ) q = p q

7 Tl og lger 7 Rod n =, når n = n p = p n Regneregler n n n = n n = n

8 8 Teknisk mtemtik Formler Ligninger og uligheder Regneregler for løsning f ligninger Du må fltte et led fr den ene side f lighedstegnet til den nden ed t skifte fortegn på leddet. Du må gnge med smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med 0. Du må diidere på egge sider f lighedstegnet med smme tl dog ikke med 0. = 0 = 0 eller = 0 c = d d = c Nul-reglen: Et produkt er 0, his mindst en f fktorerne er 0. Består ligningen f en røk på her side f lighedstegnet, kldes ligningen en proportion. I en proportion må du gnge oer kors. ligninger med uekendte: determinnt-metoden = c = c D = = D D c = = c c c c = = c c c D D og D = = D

9 Ligninger og uligheder 9. grdsligningen + + c = 0 c = ± d = 4c 4. grdsligningens løsningsformel Diskriminnten d: His d = 0, hr. grdsligningen en rod. His d > 0, hr. grdsligningen to rødder. His d < 0, hr. grdsligningen ingen rødder. Numerisk ærdi nr, å 0 = { nr, å < 0 Interller { R { < R< } < = < ] } ; = [ ] ; [ { R { < R } < = ] } ; = ] ] ; ] { R { } R = [ } ; [ = [ ; [ { R { < } R = < ] } = ; ][ ; [ Regneregler for uligheder Du må fltte et led fr den ene side f ulighedstegnet til den nden side ed t skifte fortegn. Du må gnge med smme positie tl på egge sider f uligheds tegnet. Du må diidere med smme positie tl på egge sider f uligheds tegnet. Du må gnge med smme negtie tl på egge sider f uligheds tegnet, når du ender ulighedstegnet. Du må diidere med smme negtie tl på egge sider f uligheds tegnet, når du ender ulighedstegnet.

10 0 Geometri Teknisk mtemtik Formler 3 Retinklet treknt I en retinklet treknt er kdrtet på hpotenusen lig med summen f kteternes kdrter. B c c = + C A Ensinklede treknter For ensinklede treknter gælder: c = = c c c Højder i en treknt En højde i en treknt er en linje, der udgår fr en inkelspids og står inkelret på den modstående side eller dennes forlængelse. c B h h c A h C

11 A Geometri Mediner i en treknt En medin i en treknt er en linje, der forinder en inkelspids med den modstående sides midtpunkt. Medinerne går gennem smme punkt og deler hinnden i forholdet :. A c m B m O D m c C Vinkelhleringslinjer i en treknt En inkelhleringslinje i en treknt er en linje, der hlerer en f trekntens inkler. V A V C B V B C Trekntens indskrene cirkel Vinkelhleringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekntens indskrene cirkel. r Trekntens omskrene cirkel Midtnormlernes skæringspunkt er centrum for trekntens omskrene cirkel. R Firknter Kdrt: En firknt, hor lle inkler er rette, og lle sider lige lnge. Arel = Rektngel: En firknt, hor lle inkler er rette. Digonlerne er lige lnge og hlerer hinnden. Arel =

12 Teknisk mtemtik Formler Rome: En firknt, hor lle sider er lige lnge. De modstående inkler er lige store. Digonlerne hlerer hinnden, står inkelret på hinnden og hlerer romens inkler. A d B d C Arel = d d D Prllellogrm: En firknt, hor de modstående sider er prllelle og lige lnge. De modstående inkler er lige store, og digonlerne hlerer hinnden. Arel = g h A h B g D C Trpez: En firknt, hor to sider er prl lelle. B C Arel = h (BC + AD) h A D Polgoner Vilkårlige polgoner: En ilkårlig n-knt kn inddeles i n treknter. Vinkelsummen = (n ) 80 Regulære polgoner: En regulær polgon er en n-knt med lige store sider og lige store inkler.alle regulære polgoner hr en indskreen og en omskreen cirkel. Forindes centrum med polgonens inkelspidser, fremkommer n ligeenede treknter. = 360 n

13 Trigonometri 4 3 Den retinklede treknt modstående ktete sin= hpotenusen hosliggende ktete cos= hpotenusen modstående ktete tn= hosliggende ktete c h A B c = + A C Arel= h c=

14 4 Teknisk mtemtik Formler Den ilkårlige treknt c R sina = sin B = sin C = B = + c c cos A cosa= + c c c Arel= sin C c Arel = 4 R Arel= r s A R A C Arel= s ( s ) ( s ) ( s c) B C c s = + + R: Rdius i trekntens omskrene cirkel. r: Rdius i trekntens indskrene cirkel. r r r c

15 Cirklen 5 5 Omkreds uelængder O = p d = p r r = π 360 d=. r r Areler m. Cirkel: π Arel= π r = d 4

16 6 Teknisk mtemtik Formler Cirkelring: π π Arel= D d 4 4 Arel= π R π r d =. r D =. R Cirkeludsnit: r Arel = 360 π r Cirkelfsnit: r Arel = π sin 80 Korde: k= r sin Pilhøjde: h= r cos

17 Oerflder Udfoldninger 6 7 Oerflder m. Den krumme oerflde f en clinder: d A= π d h= π r h C A C h D B D π. d =. π.r Den krumme oerflde f en kegle: A= π r s A Vinklen : 360 = s r s Korden k: B r C k= s sin s k

18 8 Teknisk mtemtik Formler Den krumme oerflde f en keglestu: r A= π s ( R+ r) s h Vinklen : 360 R = s s s R Korden k: k= s sin k Den krumme oerflde f en kugle: A= 4 π r = π d d=r Den krumme oerflde f en kugleklot: A= π d h ( ) A= π + h Kugleklot d=r h Den krumme oerflde f en kugleskie: A= π d h Kugleskie h

19 Rumfng 7 9 Retinklet prisme V = G h G = grundrelet G h Ksse V = h h Clinder π V= π r h= d h 4 h d =. r

20 0 Teknisk mtemtik Formler Clinderrør V= ( π R π r ) h V= π π D d h 4 4 D = dre dimeter d = indre dimeter R = dre rdius r = indre rdius d =. r D =. R h Prmide V= G h 3 G = grundrelet h G Prmidestu V= h G+ g+ G g 3 ( ) g = rel f topflde G = rel f undflde h g G Kegle π V= d h π V= r h 3 A h d = r

21 Rumfng Keglestu π V= h R + r + R r 3 ( ) r h R Guldins. regel A= p L 360 L Guldins. regel V= A 360 p A Kugle π 4 V= d = π r d=r

22 Teknisk mtemtik Formler Kugleudsnit π V= d h 6 h d Kuglefsnit π V= h ( 3d h) 6 π V= h 3 + h 6 ( ) h d

23 Anltisk plngeometri 8 3 Plngeometri AB = ( ) + ( ) + + M(, ) =, Afstndsformlen Midtpunkt på et linjestkke A = 3 3 Determinnt-formlen for rel f treknt = = = = = + = ( ) = tn = = = r = ( ) + ( ) Vndret linje gennem punktet (0,) Lodret linje gennem punktet (,0) Ret linje med stigningstl, som går gennem (0,0) og (,) Ret linje, som går gennem (0,) og (,+) Ret linje med stigningstl som går gennem (, ) Forhold mellem stigningstl, inkel mellem ndret og linjen og to punkter. Når to linjer hr smme stigningstl, er de prllelle. Når produktet f to linjers stigningstl er, står de inkelret på hinnden. Cirklens centrumsligning Centrum er (,) og rdius er r.

24 4 Teknisk mtemtik Formler Funktioner 9 Definition på en funktion En funktion er en forskrift f, hor der til ethert element i en mængde A kn knttes et og kun et tl. f A: Definitionsmængde B: Værdimængde A B Lineær funktion f() = + : stigningstl/hældningskoefficient : konstntled Funktioner f. grd (prler) f() = f() = ( 0 ) f() = + 0 f() = ( 0 ) + 0 f() = + + c f() = + + c Toppunkt: (0,0) Toppunkt: ( 0,0) Toppunkt: (0, 0 ) Toppunkt: ( 0, 0 ) Toppunkt: d, d = 4c 4 Kn omskries til ( α)( β) his α og β er rødder i ligningen + + c = 0

25 Funktioner 5 Smmenstte funktioner f() = 3 og g() = + 5 (f o g)() = 3( + 5) Eksempel Den smmenstte funktion Omendte funktioner f() = = eller f ( )= Eksempel Den omendte funktion Proportionlitet Ligefrem proportionle størrelser = α Omendt proportionle størrelser = k

26 6 Teknisk mtemtik Formler Eksponentielle funktioner 0 Logritmefunktioner 0-tls logritmen f() = log, > 0 Den nturlige logritme f() = ln, > 0 Regneregler: log 0 = log = log + log log = log log log n = n log n log = log n Regneregler: ln e = ln = ln + ln ln = ln ln ln n = n ln n ln = n ln

27 Eksponentielle funktioner 7 Eksponentilfunktioner Eksponentilfunktionen f() =, > 0 og R Eksponentielle ækstfunktioner f() =, > 0, > 0 og R Renteformlen K n = K( + r) n Fordolingskonstnt for eksponentielt oksende funktion: T = log log Hleringskonstnt for eksponentielt ftgende funktion: T = log log Kpitlen, når grundeløet K hr stået i n terminer ed rentefoden r.

28 8 Teknisk mtemtik Formler Trigonometriske funktioner Trigonometriske definitioner og grundformler sin sin cos cos tn (cos ) + (sin ) = sin tn = cos tn

29 Trigonometriske funktioner 9 Additionsformlerne sin( + ) = sin cos + cos sin sin( ) = sin cos cos sin cos( + ) = cos cos sin sin cos( ) = cos cos + sin sin Formler for den doelte inkel sin( )= sin cos cos( ) = ( cos) ( sin ) = ( sin ) ( ) = cos tn tn( ) = ( tn ) Singninger f(t) = sin(ω t) : mplitude ω: inkelhstighed i rd/sekund t: tid i sekunder T = π ω f ω = = π T Periodetid Frekens f(t) = sin(ωt + φ), hor φ kldes fseforskdningen. (Vektoren dnner til tiden t = 0 inklen φ med ndret). f(t) = sin ωt + k, som er en singning, der er forskudt konstnten k i -ksens retning.

30 30 Teknisk mtemtik Formler Differentilregning Smoler for differentilkotient d df( ) lim = = = f ( ) = d d 0 Regneregler for estemmelse f differentilkotienter Funktion f() Differentilkotient f () Konstnt k 0 Potensfunktion n n n- Sum u + u + Differens u u Produkt u u + u Brøk Trigonometriske funktioner Eksponentilfunktioner Logoritmefunktioner Smmenst funktion u sin cos tn e ln log d d d = du dz du dz d u u cos sin + (tn ) = ( ) ln e ln0 cos

31 Differentilregning 3 Bestemmelse f lokle mksimums- og minimumspunkter Implicit differentition. Løs ligningen f () = 0. Fortegnsestemmelse for f () ) Loklt mksimum forekommer, når fortegnet for f () går fr + til ) Loklt minimum forekommer når fortegnet for f () går fr til + c) Vndret endetngent forekommer når fortegnet for f () er: +0+ eller 0 3. Beregning f m og min sker ed indsættelse f de fundne -ærdier i f() + = Eksempel d d d d d + = d d d + d = 0 d d d =

32 3 Teknisk mtemtik Formler Integrlregning 3 Integrl stmfunktion integrtionsprøen fd ( ) = F ( ) + k når F () = f() Bestemmelse f stmfunktioner Funktion f() Konstnt k k Potensfunktioner Trigonometriske funktioner n = sin cos Stmfunktion F ( ) = fd ( ) n+ n + ln cos sin tn sin = (sin ) cos = (cos ) + tn = cos ln cos ( sin cos ) ( + sin cos ) tn

33 Integrlregning 33 Logritmitiske funktioner e e + k + k ln ln ln + k log log + k ln0 Regneregler for integrtion Sum: u ( ) + d ( ) = ud ( ) + d ( ) Differens: u ( ) d ( ) = ud ( ) d ( ) Bestemt integrl fd ( ) = [ F ( )] = F ( ) F ( ) Prtiel integrtion eller delis integrtion u() ()d= U() () U() ( )d

34 34 Teknisk mtemtik Formler Areleregning f() A A = f ( d ) f() A A = f ( ) g ( d ) g() A = f ( ) g ( d ) c g() A = g( ) f( d ) c A A3 c A A 4 f() A3 = g( d ) c A4 = f ( d ) c Rumfngseregning Rumfnget f et omdrejningslegeme fremkommet ed drejning 360 om -ksen f det frede rel på figuren. f() V = π f( ) d

35 Integrlregning 35 Rumfnget f et omdrejningslegeme fremkommet ed drejning 360 om - ksen f det frede rel på figuren. f() V = π f ( ) d Rumfnget f et omdrejningslegeme fremkommet ed drejning 360 om - ksen f det frede rel på figuren. f() V = π f() f() d 0 f() Længde f en kure L =f() d L = + d f d d = + ( )

36 36 Teknisk mtemtik Formler Vektorer i plnet 4 Vektorkoordinter = Vektorkoordinter i et koordintsstem AB = B( ), A( ), Multipliktion f sklr med ektor n n = n n. n. n.

37 Vektorer i plnet 37 Addition f to ektorer r= + His = og = er P r + = + + P r Vektorer i ligeægt + + c+ d= 0 0 c d Sutrktion f ektorer = + ( ) His = og = er = Enhedsektor e = e e e e e og = e = e

38 38 Teknisk mtemtik Formler Sklrprodukt = cos = + cos= + cos= e e Sklrproduktet = 0, når ektorerne står inkelret på hinnden. Tærektor His = er = Trekntens tngdepunkt B(, ) T (, )= 3 3, 3 3 A(, ) T(,) C(, ) 3 3

39 Vektorer i plnet 39 Trekntens rel His AB = og AC = er Arel = = B C A Projektion = cos = = e Afstnd fr punkt til ret linje z = d + e + c + P(d,e) z + + c = 0

40 40 Teknisk mtemtik Formler Vektorer i rummet 5 Vektorkoordinter og ektorlængde = z = + + z Giet punkterne A(,,z ) og B(,,z ) AB = z z AB = ( ) + ( ) + ( z z ) Enhedsektor = z e = + + z + + z z + + z Sklrprodukt eller prik-produkt cos= + + zz = cos + + zz

41 Vektorer i rummet 4 Projektion = Prmeterfremstilling f ret linje r t z r t = z + r t 0 z Vektorprodukt = sin = = 3 3 := = z= = = z Prmeterfremstilling f pln z = z s z z + t 0 0 z z 0 0 Plnets ligning på normlform ( )+ ( )+ zz ( z ) + d = eller + + cz + d= 0 med n = c Afstnd e mellem punkt P 0 ( 0, 0,z 0 ) og pln + + cz + d = 0 e = + + cz + d c

42 4 Teknisk mtemtik Formler Afstnd mellem punkt P 0 ( 0, 0,z 0 ) og ret linje P(,,z ) e = r PP r 0 e k Kugle med rdius r og centrum i (,,c) P r ( ) + ( ) + (z c) = r

43 Vektorfunktioner Vektorfunktioner 6 43 Vektorfunktioner Ret linje t rt ()= = t 0 (,) t ( 0, ) 0 t t rt ()= = + 0 cos + t sin 0 t (,) ( 0, ) 0 Cirklen r t rt ()= = + cos + r sin t (,) r t (,) Ellipsen t rt ()= = cos sin t (0,) (,) t (,0)

44 44 Teknisk mtemtik Formler Beægelser t rt ()= () t () t t ()= r ()= t () ( t) ( ) + ( ( )) t ()= ( t) t t t ()= ( t)= r ()= t () () t Bnekuren Hstighedsektor Frten Accelertionsektor Længde f kure giet ed ektorfunktion L= ( ( t)) + ( ()) t dt L

45 Differentilligninger Differentilligninger 7 45 Ligningstpe Løsning = g() = g( ) d = h( ) g() d g( ) = h( ) d = = c e = g() d = + k g( ) = ( ) = k e = g() = g( ) d herefter som den første tpe

46 46 Teknisk mtemtik Formler Mtemtiske tegn og smoler Tegn, nendelse Betdning, læsning A tilhører mængden f A, er element i mængden A A tilhører ikke mængden A, er ikke element i mængden A { } { A p()} Mængden f elementer tilhørende A, for hilke udsgnet p() er sndt Ø N Z Q R Den tomme mængde Mængden f nturlige tl og nul Mængden f hele tl Mængden f rtionle tl Mængden f reelle tl (,) (,) Ordnet pr = = er lig med er forskellig fr er tilnærmet lig med < < er mindre end > > er større end er mindre end eller lig med er større end eller lig med Uendelig + + Summen f og, plus Differensen mellem og, minus : - p multipliceret med, gnget med diideret med, delt med opløftet til potensen p, i p ne ½ Kdrtroden f /n n Den n te rod f f g o f n Asolut ærdi f, numerisk ærdi f Funktion f. Kn ngies ed f() eller også ed f() Den f f og g smmenstte funktion (g o f) = g(f()) går mod

47 Mtemtiske tegn og smoler 47 Tegn, nendelse lim f() Betdning, læsning Grænseærdi for f(), når går mod I stedet for lim f() = kn skries f() for Grænseærdier fr højre og fr enstre kn etegnes ed henholdsis lim f() = og + lim f() = Δ df d df/d f Df Tilækst i Afledede funktion f én riel Også df() d d(f())/d f () Df() d n f d n òf()d òf()d e Den n-te fledede f funktionen f f én riel For n = eller 3 ruges også f henholdsis f i stedet for f(n) Et uestemt integrl (en stmfunktion) eller mængden f stmfunktioner til funktionen f Det estemte integrl f funktionen f fr til Grundtllet for den nturlige logritme e ep Eksponentilfunktionen (med grundtllet e) f ln log e Nturlig logritme f lg log 0 Titlslogritme f π sin cos tn Forholdet mellem en cirkels perimeter (omkreds) og dimeter Sinus til Cosinus til Tngens til Vektor Længden f ektor â Tærektor e e Enhedsektor i retning f ektor e, e e, e Enhedsektorer i koordintksernes retning i, j Sklrproduktet f ektor og ektor Krdsproduktet f ektor og ektor

48

49 Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne er der også en oersigt oer mtemtiske tegn og smoler med tilhørende forklring. Erhersskolernes Forlg

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til A-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup Mtemtisk formelsmling til A-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 og maj/juni 13/14 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2018 Institution Hansenberg Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Thomas Voergaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel Oversigt [S].4,.5,.7 Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polr coordintes Nøgleord og egreer epetition: Polære koordinter Lgkgestkker Koordintskift Tpe II vrinten August, opgve Populære nvendelser Flv højere...

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hansenberg Gymnasium htx Matematik A Thomas Voergaard.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oersigt [LA],, Prikprodkt Nøgleord og begreber Ortogonlitet Ortogonlt komplement Tømrerprincippet Ortogonl projektion Pthgors formel Kortest fstnd Agst 00, opge 6 Cch-Schwrz lighed For ektorer =,..., n,

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Matematik A Matematik kompendium til HTX 3år

Matematik A Matematik kompendium til HTX 3år Mtemtik A Mtemtik kompendium til HTX år Skrevet f Jco Lrsen og Mrtin Gyde Poulsen.år HTX Slgelse Udgivet f De Nturvidenskelige Side Indholdsfortegnelse StuGuide 4 Differentilregning 4 Integrlregning 4

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester efterår 2013-forår 2014 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX

Læs mere