FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK

Transkript

1 FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK

2 Indhold Tl og lger 3 Tl 3 Primtl 3 Smmenstte tl 4 Intervller 4 Brøker 5 Kvdrtrødder 5 Potenser 6 Prentesregler 7 Procent Økonomi 9 9 Rente Smmenst rente 0 Vlut Geometri Treknter Linjer ved treknten Arel f en treknt 3 Ensvinklede treknter 3 Ligeenet treknt 3 Ligesidet treknt 4 Retvinklet treknt 5 Trigonometri 6 Firknter 6 Rektngel 6 Prllelogrm 6 Trpez 7 Cirkler Rumfng og overflde 8 Ksse 8 Prisme 8 Cylinder 9 Kegle 9 Pyrmide 9 Kugle Geometri flytninger 0 Spejling 0 Prllelforskydning Drejning Geometri i et koordintsystem 3 Koordintsystemet 4 Ligning for ret linje 5 Grfisk ligningsløsning Funktioner 6 Lineær funktion 7 Andre funktionstyper 7 Andengrdsfunktion 8 Ligefrem proportionlitet 8 Omvendt proportionlitet 9 Vækstfunktioner 9 Lineær vækst 9 Eksponentiel vækst Sttistik 30 Digrmmer for procentfordeling 3 Metoder til t eskrive oservtionssæt med enkeltoservtioner 3 Metoder til t illustrere oservtionssæt med enkeltoservtioner 33 Metoder til t eskrive grupperede oservtionssæt 34 Metoder til t illustrere grupperede oservtionssæt 35 Smmenligninger mellem oservtionssæt f forskellig størrelse 37 Metoder til t nlysere oservtionssæt Sndsynlighed 38 Sttistisk sndsynlighed 39 Komintorisk sndsynlighed Mssefylde og frt 40 Mssefylde 40 Frt Måleenheder 4 Længde 4 Arel 4 Rumfng 4 Vægt Geometri tegning Målestoksforhold

3 Tl og lger Tl Nturlige tl Hele tl 6 Rtionle tl Irrtionle tl 5 4 3, ,9 4, π Primtl Et primtl er et nturligt tl, som netop to tl går op i nemlig og tllet selv. De første 5 primtl er, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97. Smmenstte tl Et nturligt tl (større end ), der ikke er et primtl, kldes et smmenst tl. Et smmenst tl kn på netop én måde (på nær fktorernes rækkefølge) skrives som et produkt f primtl. Eksempler: er et smmenst tl, fordi = er et smmenst tl, fordi 87 = = er et smmenst tl, fordi 009 = = 7 4 3

4 Intervller Eksempler på intervller Lukket intervl fr og med til og med. [ ; ] eller x 0 3 [ ; 3] eller x 3 x Åent intervl fr til. ] ; [ eller < x < 0 3 ] ; 3[ eller < x < 3 x Hlvåent intervl fr til og med. ] ; ] eller < x 0 3 ] ; 3] eller < x 3 x Hlvåent intervl fr til og med. ] ; ] eller x 0 3 ] ; 3] eller x 3 x Brøker : = 4 : 3 = = + c c c = c c = c 5 4 = = c c 3 4 = 3 4 = c d = c d 4 5 = 4 = : c = c 5 7 : = 5 = : = c c 5 : = 5 3 = 5 3 = 5 3 c : = d d c = d c 3 : 3 = 4 = 4 =

5 Kvdrtrødder = 9 0 = 9 0 = 3 0 = = = Potenser n fktorer n =... 4 = = 6 n = = = = 0,00 n = = n p = n+p = = 3 6 n p = n p = = 4 ( n ) p = n p ( 5 ) = 5 = 0 5, 0 6 = = 5, mio.,3 µm =,3 0 6 m = 0, m x = x x ( x) = (x) (x) = 4x 5

6 Prentesregler + ( c + d) = + c + d Mn kn hæve (fjerne) en plusprentes uden videre. ( c + d) = + c d Mn kn hæve (fjerne) en minusprentes, hvis mn smtidig skifter fortegn på lle leddene i prentesen. ( c + d) = c + d Mn gnger en flerleddet størrelse med et tl ved t gnge hvert led med tllet. c d c d ( + ) (c + d) = c + d + c + d c d ( + ) (c + d) = c + d + c + d ( + ) (c d) = c d + c d ( + ) = + + ( + ) = + + ( ) = + ( + ) ( ) = 6

7 Procent 5 5 % = 00 = 0,05 5 ud f 00 0 kg 06 kg 35 kg 0 % 8 % 00 % 8 % f 35 kg er 0,08 35 kg = 06 kg 0 km 60 km 300 km 0 % 0 % 00 % Hvor mnge procent er 60 km f 300 km? 60 km : 300 km = 0,0 = 0 = 0 % 00 7

8 0 kr. 00 kr. 50 kr. 0 % 00 % 5 % Hvor mnge procent er 50 kr. større end 00 kr.? (50 kr. 00 kr.) : 00 kr. = 0,5 = 5 % 0 kr. 00 kr. 50 kr. 0 % 80 % 00 % Hvor mnge procent er 00 kr. mindre end 50 kr.? (50 kr. 00 kr.) : 50 kr. = 0,0 = 0 % 0 kr. 640 kr. 800 kr. 0 % 00 % 5 % 5 % f et elø er 800 kr. Beløet er 800 kr. :,5 = 640 kr. 0 kr. 684 kr. 00 kr. 0 % 57 % 00 % 57 % f et elø er 684 kr. Beløet er 684 kr. : 0,57 = 00 kr. 8

9 S I. cirkel ændres x et i centrum til et punkt tegnet med fed. I den nden cirkel ændres Rente Økonomi Renteeløet R f K kroner til p % p.. i d dge er R = K p d 00 D R: renteelø i kroner K: kpitl p: procent p.. (pr. år) d: ntl rentedge D: ntl dge i et renteår Smmenst rente K n = K (+r) n K: strtkpitl r: renten i procent ngivet som decimltl n: ntl terminer K n : kpitlens størrelse efter n terminer Ved de to første stænger flyttes følgende en linje ned og venstrestilles: Trinvis fremskrivning: Ny kpitl = forrige kpitl + rente f forrige kpitl i en termin. K n+ = K n + K n r = K n ( + r) I de tre lå tekster rettes Find til Beregn. 9

10 Vlut Vlutkurs: Prisen i dnske kroner for 00 enheder f den udenlndske vlut. Eksempler: Beregn prisen i dnske kroner 350 til kurs 744 koster = 350 7,44 = 604,00 kr. Beregn eløet i udenlndsk vlut Hvis kursen på engelske pund ( ) er 074, vil 500 DKK svre til 500 0,74 = 46,55 Beregn kursen 0 $ svrer til 660 dnske kroner Kursen er =

11 Geometri Treknter Vinkelsummen i en treknt er 80. A + B + C = 80 C C A B A B Linjer ved treknten C M h M: midtpunktet f siden AC h: højde v: vinkelhlveringslinje A x o x o v mi me mi: me: midtnorml medin B Midtnormlernes skæringspunkt er centrum for trekntens omskrevne cirkel.

12 C Vinkelhlveringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekntens indskrevne cirkel. A B Arel f en treknt C C h = g h A c B A c = g B h: højde g: grundlinje A: rel A = h g s er den hlve omkreds: s = Herons formel: A = + + c s (s ) (s ) (s c) C A = sinc A c B

13 Ensvinklede treknter C C A A c B Ensvinklede treknter er ligednnede. Når ABC er ensvinklet med A B C gælder c B c = = c Ligeenet treknt C I en ligeenet treknt er grundvinklerne lige store: A = B. h I en ligeenet treknt er højden fr toppunktet også vinkelhlveringslinje, medin og midtnorml. A B Ligesidet treknt C I en ligesidet treknt er lle vinkler 60. s s I en ligesidet treknt vil de tre højder også være vinkelhlveringslinjer, mediner og midtnormler. A s B 3

14 Retvinklet treknt B ktete hypotenuse c C ktete A Vinkler: Summen f de to spidse vinkler er 90. A + B = 90 Pythgors sætning: I en retvinklet treknt er summen f kteternes kvdrter lig med kvdrtet på hypotenusen. Hvis C = 90, gælder: B + = c c C A Omvendt Pythgors: Hvis + = c i treknt ABC, så er treknten retvinklet, og C er den rette vinkel. 4

15 Trigonometri B ktete hypotenuse c Siden er den hosliggende ktete til A. Siden er den modstående ktete til A. C ktete A B Om sinus til en spids vinkel v i en retvinklet treknt gælder: c sin v = den modstående ktete hypotenusen C A sin A = c B Om cosinus til en spids vinkel v i en retvinklet treknt gælder: c cos v = den hosliggende ktete hypotenusen C A cos A = c B Om tngens til en spids vinkel v i en retvinklet treknt gælder: C c A tn v = tn A = den modstående ktete den hosliggende ktete 5

16 Firknter Rektngel l : længde : redde A : rel A = l l Prllelogrm h h: højde g: grundlinje A: rel g A = h g Trpez h h: højde og : prllelle sider A: rel A = h ( + ) 6

17 Cirkler k C: centrum for cirklen p: cirkelperiferien d C r t d: cirklens dimeter r: cirklens rdius (r = d) t: tngent til cirklen p k: korde til cirklen den længste korde er d Arel: A = π r Omkreds: O = π r O = π d v Arel f cirkeludsnit: v A = π r 360 Cirkeludsnit 7

18 Ksse Rumfng og overflde flde h: højde l: længde h knt : redde V: rumfng l hjørne V = l h Prisme h h h: højde G: rel f grundflden V: rumfng G G V = h G Cylinder h h: højde r: rdius V: rumfng O: rel f den krumme overflde r V = π r h O = π r h 8

19 Kegle h: højde G: rel f grundflden h r r h V: rumfng V = h π r 3 Pyrmide h h h: højde G: rel f grundflden V: rumfng G G V = 3 h G Kugle d r r: rdius d: dimeter V: rumfng O: rel f overflde 4 V = π r 3 3 O = 4 π r 9

20 Geometri flytninger Drejning, spejling og prllelforskydning kldes for flytninger. Når en figur flyttes, vil den flyttede figur være kongruent med den oprindelige figur. Spejling A C s er spejlingskse ABC er spejlet i linjen s A B s B C Prllelforskydning C C A B A B ABC prllelforskydes i A B C 0

21 Drejning B C C v A = A B ABC flyttes over i A B C ved en drejning på v mod uret om punktet A C B C O v A A B ABC flyttes over i A B C ved en drejning på v mod uret om punktet O

22 Geometri Tegning R Stor de ÿsterg sevej Cir A kelvej R rmo Storke vênge t en Vieen g Trneh o lmen T rneho l e d Viee Målestoksforhold Lng gde Stdion ej vej Hylde Hnevej 409 men Hnekm t spore Hne vej B ge svej Sport Flck j ve Ahorn ejen vej Rypeevej N dd de neg Gr n de Adelg Ri ng Str ndv ejen H jen de ej Alleg Egev lle ens A Fred gde sens j ersve Bgg Cls ve jen B ej vev Engh inken Beregn fstnden i virkeligheden Målestoksforhold: : Afstnden mellem A og B er på kortet 4 cm. Afstnden er i virkeligheden: cm = cm = 000 m = km

23 Geometri i et koordintsystem Koordintsystemet y-kse ndenkse y. kvdrnt. kvdrnt A(3,5) B( 6,) D(6, 4) C( 3, 7) 3. kvdrnt 4. kvdrnt x x-kse førstekse 3

24 Ligning for ret linje y y = x + Lodret linje: x = k Ikke-lodret linje: (0,) y = y = x + : Stigningstl, hældningskoefficient : Skæring med y-ksen (k,0) x Vndret linje: y = ( = 0) x = k Eksempel: y y = x + 3 Stigningstl. Linjen skærer y-ksen i punktet (0,3) Punktet P(4,) ligger på linjen l, fordi = + 3 = = P l : y = x + 3 x 4

25 Grfisk ligningsløsning Ligning I: II: y = x x = x + y = x + Løsning: x = 3 3 y 3 I y = x x II y = x + To ligninger med to uekendte I: II: { y = x + 8 y = 6 x y = x + 8 y = 6 x Løsninger: (x,y) = (,6) og (x,y) = (3,) y II y = 6 x 3 5 x I y = x + 8 5

26 Funktioner Funktionsudtryk: y = x 3 x x + eller f(x) = x 3 x x + Tel: x 0 3 y 4 Grf (, 4) 3 (, ) (,) (0,) (3,) y (, ) x Lineær funktion Forskrift for en lineær funktion: y = x + eller f(x) = x + Eksempel: y = x + eller f(x) = x + Tllet er et udtryk for linjens hældning og kldes stigningstllet eller hældningskoefficienten. Grf y Skæringspunkt med y-ksen: (0,) (0,) = x Tel: x 0 y 3 6

27 Andre funktionstyper Andengrdsfunktion Forskrift for ndengrdsfunktion: Eksempel: y = x + x + c y = x 4x + 3 eller eller f(x) = x + x + c f(x) = x 4x + 3 Grfen kldes en prel. Funktionen kldes også et ndengrdspolynomium. Grf y x 3 Tel: x y

28 8 x y 3 Eksempel: Eksempel: Forskrift for ligefrem proportionlitet: y = x eller f(x) = x Forskrift for omvendt proportionlitet: y = x 0 eller f(x) = Grfen kldes en hyperel. Ligefrem proportionlitet Omvendt proportionlitet x y y = x x x y = x

29 Vækstfunktioner Lineær vækst y = x + : vækst pr. periode : egyndelsesværdi Hvis er negtiv ( < 0), er der tle om et fld. Eksponentiel vækst y y = ( + r) x r > 60 : egyndelsesværdi 50 r: vækstprocent pr. periode ngivet som decimltl x: ntl perioder Hvis r er negtiv ( < r < 0), er der tle om et fld (fx rdioktivt henfld) x 9

30 Sttistik Digrmmer for procentfordeling Cirkeldigrm Opspring 8 % 65 o 97 o 98 o Privt forrug 55 % Fælles forrug 7 % 7 % f 360 O = 97, O 97 O Kvdrtdigrm Steldigrm 00 % 00 % 0 % 0 % Privt forrug 55 % Opspring 8 % Fælles forrug 7 % 30

31 Metoder til t eskrive oservtionssæt med enkeltoservtioner Eksempel: Krkterfordeling i mtemtik for en skoles 9. klsser. Oservtion x Hyppighed h(x) Summeret hyppighed H(x) Frekvens f(x) 0 0 0,04 0,4 0,30 0,30 0, Summeret frekvens F(x) 0 0 0,04 0,8 0,58 0,88,00 Sttistiske deskriptorer Oservtionssættets størrelse: 50 Typetl: 7 og 0 Middeltl: = 7,58 Medin: 7 Størsteværdi: Mindsteværdi: 0 Vritionsredde: 0 Kvrtilsæt: (4, 7, 0) Metoder til t illustrere oservtionssæt med enkeltoservtioner Krkterfordelingen kn illustreres med digrmmer. Pindedigrm h(x) x 3

32 Trppedigrm F(x) i procent x 3

33 Metoder til t eskrive grupperede oservtionssæt Oservtionerne findes i intervller I = ] ; ]. Eksempel: Højdefordelingen i nogle 0. klsser. Intervl I = ]; ] ]50; 60] ]60; 70] ]70; 80] I lt Intervlhyppighed h(i) Summeret intervlhyppighed H() Intervlfrekvens f(i) 0,05 = 5 % 0,0 = 0 % 0,75 = 75 %,00=00 % Summeret intervlfrekvens F() 0,05 = 5 % 0,5 = 5 %,00 = 00 % Sttistiske deskriptorer: Oservtionssættets størrelse: 80 Typeintervl: ]70; 80] Middeltl: 55 0, , ,75 = 7 Kvrtilsæt (se side 68): (70, 73, 77) 33

34 Metoder til t illustrere grupperede oservtionssæt Histogrm 0 % Typeintervl: ]70; 80] Sumkurve F(x) x Øvre kvrtil Kvrtilsæt: (70, 73, 77) Medin Nedre kvrtil 34

35 Smmenligninger mellem oservtionssæt f forskellig størrelse Til smmenligning f oservtionssæt f smme rt men f forskellig størrelse ruges frekvenser og summerede frekvenser. Mn kn desuden smmenligne mindsteværdi, kvrtilsæt, størsteværdi mv. Mnge f disse oplysninger kn smles i et digrm som dette: Mindsteværdi Medin Størsteværdi Nedre kvrtil Øvre kvrtil Digrmmet kldes et oksplot. En smmenligning f oservtionssæt kræver kommentrer til de indsmlede dt. Kommentrer skl ygge på det indsmlede mterile. 35

36 Eksempel med mulige kommentrer: 9.A med 5 elever og 9.B med elever vil smmenligne deres resultter i højdespring. Ordnede resultter i 9. A (ngivet i cm): 00, 00, 05, 5, 0, 5, 30, 30, 30, 35, 35, 35, 35, 55, 70 Mindsteværdi: 00 Størsteværdi: 70 Vritionsredde: 70 Kvrtilsæt: (7, 30, 35) Ordnede resultter i 9. B (ngivet i cm): 0, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 30 Mindsteværdi: 0 Størsteværdi: 30 Vritionsredde: 0 Kvrtilsæt: (5, 0, 5) Smmenligning. Det er muligt t smmenligne de to oservtionssæt ved t tegne disse digrmmer: A 9.B Boksplot for de to klssers resultter i højdespring Af de to digrmmer kn mn l.. se, t hlvdelen f eleverne i 9.A hr sprunget 30 cm eller mere i højdespring. Det tilsvrende resultt i 9.B er 0 cm. Både det største og det mindste resultt findes i 9.A. Der er således større vritionsredde i resultterne fr 9.A end i resultterne fr 9.B. Mn kn også se, t fstnden mellem første og tredje kvrtil er mindst i 9.B. Det kunne tyde på, t eleverne i 9.B er mere ensrtede end eleverne i 9.A med hensyn til højdespring. D medinen i 9.A (30 cm) er lig med størsteværdien i 9.B, kn mn se, t hlvdelen f eleverne i 9.A kn springe højere end eller lige så højt som lle elever i 9.B. Sttistikken kn ikke forklre, hvorfor det er tilfældet. 36

37 Metoder til t nlysere oservtionssæt Punktdigrm Et punktdigrm (smmenknytningsdigrm) kn ruges til t undersøge eventuelle smmenhænge mellem vrile. Eksempel: Er der smmenhæng mellem højde og fodlængde? Højde i cm Fodlængde i cm Fodlængde i cm Fodlængde og højde Højde i cm Regression Regression er en metode til t fstlægge en kurve, som psser edst muligt med punkterne i et punktdigrm. Det kn vurderes ved t se på punkterne i punktdigrmmet, om en smmenhæng mellem vrile kn eskrives med en estemt type funktion. Eksempel: Fodlængde og højde Fodlængde i cm y = 0,53x + 0, Højde i cm Hvis en ret linje psser tilnærmelsesvist til punkterne i punktdigrmmet, er der tle om en lineær smmenhæng mellem de vrile. Den rette linje kldes regressionslinjen eller tendenslinjen. 37

38 Sndsynlighed Sttistisk sndsynlighed Eksperiment: Der kstes med en tændstikæske. Hvilken flde vender op? Udfldsrummet estår f disse udfld: Billedside, Bgside, Endeflde, Endeflde, Strygeflde, Strygeflde Endeflde Strygeflde Bgside Billedside Strygeflde Endeflde Fordelingstel for 50 kst med tændstikæsken: Oservtion x Billedside Bgside Endeflde Endeflde Strygeflde Strygeflde Hyppighed h(x) Frekvens f(x) ,39 0,4 0,0 0,04 0,096 0,064 39, % 4, %, %,4 % 9,6 % 6,4 % På ggrund f disse 50 kst er den sttistiske sndsynlighed for, t illedsiden vender op, 98 lig med = 0,39 = 39, %

39 Komintorisk sndsynlighed 9 Sndsynligheden for snurretoppens otte mulige udfld, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 etrgtes som lige store. Mn siger, t sndsynlighederne er jævnt fordelt. Sndsynligheden for udfldet skrives P (). P() = = 0,5 =,5 % 8 Sndsynligheden for den hændelse, t snurretoppen lnder på et lige tl, er P (lige tl) = ntl gunstige udfld ntl mulige udfld = 4 = 0,5 = 50 %. 8 Tllene, 4, 6 og 8 kldes her for hændelsens gunstige udfld. Tllene i udfldsrummet {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kldes her for de mulige udfld. 39

40 Mssefylde og frt Mssefylde mssefylde = msse rumfng Eksempel:,4 kg olie hr et rumfng på 3 dm 3.,4 kg Mssefylden er = 0,8 3 dm 3 kg dm 3 I SI-systemet enævnes mssefylde kg/m 3 = kg Dvs. 0,8 = 800 dm 3 kg m 3 kg m 3 Frt frt = vejlængde tid Eksempel: 00 meter løes på 0 sekunder. 00 m m Løerens gennemsnitsfrt er = 0 = 36 0 s s km t 40

41 Måleenheder SI-systemet er det interntionle system for, hvordn mn ngiver måleenheder. I overensstemmelse med SI-systemet ruges forkortelsen L for liter: 5 liter = 5 L. I oversigterne herunder er sjældent nvendte enheder gråtonet. Længde km hm dm m dm cm mm 000 m 00 m 0 m m 0, m 0,0 m 0,00 m 0 3 m 0 m 0 m 0 0 m 0 m 0 m 0 3 m Arel km hm dm m dm cm mm m 0000 m 00 m m 0,0 m 0,000 m 0,00000 m 0 6 m 0 4 m 0 m 0 0 m 0 m 0 4 m 0 6 m h 4

42 Rumfng km 3 hm 3 dm 3 m 3 dm 3 cm 3 mm m m m 3 m 3 0,00 m 3 0,00000m 3 0, m m m m m m m m 3 kl L ml m 3 dm 3 cm 3 kl hl dl L dl cl ml 000L 00L 0L L 0,L 0,0L 0,00L 0 dl 00cL 000 ml Vægt t kg hg dg g dg cg mg g = 000 kg 000 g 00 g 0 g g 0, g 0,0 g 0,00 g 000 mg 00 mg 0 mg 4

43 Præfiks Titlspotens T, ter 0 G, gig 0 9 M, meg 0 6 k, kilo 0 3 h, hekto 0 d, dek 0 d, deci 0 c, centi 0 m, milli 0 3 µ, mikro 0 6 n, nno 0 9 p, pico 0 43