Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Transkript

1 Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0

2 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne..... Regningsrternes hierrki...4. Primtl Nul og de negtive hele tl Brøker og rtionle tl Regneregler for røker Deimlrøker Irrtionle tl Numerisk værdi Andre tlsystemer Additions-, sutrktions-, multipliktions- og divisionslgoritme...5 Kp. Mængder og udsgn...6. Mængder...6. Intervller...9. Mtemtisk Logik. Udsgnslogik...0. Åne udsgn...4 Kp 4 Ligninger og uligheder...6. Førstegrdsligninger...6. Nulreglen...7. Uligheder og regning med uligheder...8. Doeltuligheder...0. Andengrdsligningen... Kp. Anlytisk Geometri...5. koordintsystemet...5. Afstndsformlen...6. Liniens ligning...8 Eksempel...9 Eksempel Ortogonle linier Liniers skæring. To ligninger med to uekendte Afstnd fr punkt til linie Cirklens ligning...48 Kp 5. Trigonometri vinkler Sinus, osinus og tngens...5. Overgngsformler...5. Den retvinklede treknt Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne Projektion på en linie Kordeformlen. Sinusreltionerne Cosinusreltionerne Arelet f en treknt ved trigonometri De 5 trekntstilfælde...64

3 Kp 6. Funktioner og grfer funktioner Grfen for en funktion grfers skæring med koordint kser To grfers skæringspunkter Egensker for funktioner Omvendt funktion Smmenstte funktioner...74 Kp 7. Nogle vigtige funktioner Den lineære funktion Stykkevis lineære funktioner Andengrdspolynomiet Prllelforskydning f koordintsystemet Prllelforskydning f en prel. Toppunktsformlen Fktorisering f.grdspolynomiet Andengrdspolynomiets fortegn. Andengrdsuligheder...8 Kp 6. Trigonometriske funktioner Grdtl og rdintl sin, os og tn Trigonometriske ligninger Trigonometriske uligheder Hrmoniske funktioner...9

4 Tl og regning med tl Kp. Tl og regning med tl. De nturlige tl Tælle-tllene,,,.hr været kendt f lle kulturer. De kldes i mtemtikken for de nturlige tl, og etegnes med N. Vi skriver tllene ved hjælp f 0 symoler "0", "", "", "", "9". Symolerne for tl, hr nturligvis ikke været de smme i lle kulturer. Andre kulturer hr nvendt ndre symoler, f.eks. romertllene I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII og X, og der hr også været et ndet ntl symoler i tlsystemerne, f.eks. tolv, tyve eller tres. Det tlsystem, vi nvender kldes for 0-tlssystemet, fordi der er 0 symoler. Det er et positionssystem, fordi positionen f et iffer i en række f ifre, er fgørende for etydningen f dette iffer. Tg for eksempel tllet 476. Betydningen f disse ifre i denne rækkefølge er helt præist: Omytter mn to ifre, liver tllet et ndet. Det er dette mn udtrykker ved t klde det et positionssystem. Hvis mn mtemtisk skl forklre, hvd tllet tre er, så er det ikke nok t skrive tegnet "", fordi det er lot ét lndt mnge symoler for egreet "tllet tre". For t forklre egreet, er det fktisk nødvendigt t forklre, hvorledes mn ærer sig d med t tælle. I mtemtikken formuleres det t tælle ved en række ksiomer (definitioner og påstnde, som mn ikke kn føre evis for), som kldes Penos ksiomer. Ud fr disse ksiomer, kn mn udlede lle egenskerne for de nturlige tl. Mest emærkelsesværdigt, t det første tl er, t ethvert tl hr netop én efterfølger, og t der ikke findes noget største element. Når mn regner med tl - eller symoler for tl - i mtemtikken, skriver mn tllene i rækkefølge (fr venstre mod højre), dskilt f tegnene "+" (plus), "-" minus, " " (gnge) og "/" (division). Oftest, skriver mn dog divisionsstregen som en vndret streg med en tæller og en nævner. At lægge to tl smmen kldes for ddition. At trække et tl fr et ndet kldes for sutrktion. At gnge to tl med hinnden kldes for multipliktion. At dividere et tl med et ndet kldes for division. Tl som er dskilt f '+' eller ' ' kldes for led. Tl som er dskilt f ' ' eller '/' kldes for fktorer. Ser vi f.eks. på udtrykket: Så hr venstresiden f lighedstegnet 5 led. Det tredje og fjerde led estår hver f to fktorer. Det femte led estår f tre fktorer.

5 Tl og regning med tl For multipliktion og division med nturlige tl, findes der en multipliktions- og divisionslgoritme, som urde være velkendte. (Ved en lgoritme forstår mn en endelig række veldefinerede række skridt, som mn skl udføre for t nå til resulttet. Det er ikke noget krv, t mn forstår, hvorfor det fører til det ønskede resultt.) Vi viser et pr eksempler på de to lgoritmer nedenfor. Opstillingen kn godt vriere lidt, men jeg hr vlgt den mest udredte. Multipliktionslgoritmen Divisionslgoritmen ( kvotient) ( rest) Det er ikke så vnskeligt, t forstå multipliktionslgoritmen, mens divisionslgoritmen er etydelig vnskeligere t forklre, så det vil vi ikke forsøge, (før mn hr lært om polynomiers division). Resulttet f divisionen udtrykkes i divisionsligningen, (som mn kn kontrollere rigtigheden f) Regneregler for nturlige tl I mtemtikken formulerer mn ofte sætninger, der gælder for lle tl i en fgrænset mængde. For t skrive sådnne tl, nvender mn ltinske eller græske ogstver til t repræsentere "hvilket som helst tl". F.eks. kn divisionsligningen ovenfor skrives mere generelt, hvor (dividend) p og (divisor) d er nturlige tl, mens (kvotient) q og (rest), r er nturlige tl eller nul. p q d + r (dividend kvotient divisor + rest) f.eks For de nturlige tl, gælder nogle velkendte regneregler (som ikke kn evises). For lle nturlige tl,, gælder der, således: Den kommuttive lov for ddition: + + f.eks Den ssoitive lov for ddition: + ( + ) ( + ) + f.eks. + (6 + 9) ( + 6 ) + 9

6 Tl og regning med tl Den kommuttive og ssoitive lov for ddition udtrykker, t ddendernes orden og rækkefølge er underordnet. Den kommuttive lov for multipliktion: f.eks. 7 7 Den ssoitive lov for multipliktion: ( ) ( ) f.eks. (6 9) ( 6 ) 9 Den kommuttive og ssoitive lov for multipliktion udtrykker, t fktorernes orden og rækkefølge er underordnet. Den distriutive lov: ( + ) + f.eks. (4 + 7) ( ) Af den ssoitive lov følger t mn kn hæve (dvs. fjerne) en plus prentes. Hvis mn derimod hæver en minus prentes, skl mn skifte fortegn for hvert led i prentesen. ( + - d) + d f.eks. ( + 4 7) ( 4) Mn nvender prenteser til t mrkere, t flere led skl opfttes som et enkelt led eller en enkelt fktor. Mn sætter således ldrig prenteser omkring et enkelt led eller en enkelt fktor (med mindre, der står et minustegn forn tllet). Mn sætter ldrig en plusprentes. Ikke fordi nogen f delene er forkerte, men fordi det er overflødigt og det mindsker overskueligheden f regningerne. Den distriutive lov viser, hvorledes mn gnger en flerleddet størrelse med et tl. Af reglen følger, hvorledes mn gnger to prenteser med hinnden. Under hensyntgen til fortegnet for de to led, gnger mn hvert led i den ene prentes med hvert led i den nden prentes. Eksempel ( ) ( + d e) + d d + e. Kvdrtsætningerne. Når mn tler om kvdrtet på et tl, er det det smme som tllet gnget med sig selv (i. potens) Når kvdrtsætningerne er meget vigtige t kunne - uden t foretge mellemregningerne er det fordi de meget ofte nvendes i reduktioner og til løsning f opgver. ( + ) ( + )( + )

7 Tl og regning med tl ( - ) ( - )( - ) Kvdrtet på en toleddet størrelse, er lig med kvdrtet på første led plus kvdrtet på ndet led plus eller minus det doelte produkt. ( + ) ( - ) To tls sum gnge to tls differens er lig med kvdrtet på første led minus kvdrtet på ndet led. Eksempler Når det er vigtigt t huske kvdrtsætningerne, så er det fordi mn også skl kunne nvende dem, når tllene ikke hedder og. (5 - ) ( 4) (7 - ) (7 + ) (5 9 45) (-y) () + (y) y 4 + 9y -y 9 5 ( + 5)( 5). Regningsrternes hierrki Mn udregner et udtryk fr venstre mod højre i den rækkefølge leddene eller fktorerne optræder efter følgende regler:. Potensopløftning og roduddrgning udføres før multipliktion og division.. Multipliktion og division udføres før ddition og division. Eksempel. Udregningen f nedenstående udtryk sker som følger: Primtl Et primtl er et nturligt tl større end, som kun hr tllet og sig selv som divisor. Det første 0 primtl er velkendte:,, 5, 7,,, 7, 9, og 9. Der findes ingen formel for primtllene, men det er let t evise, t der findes uendelig mnge primtl. Ld os nemlig ntge, t vi hr fundet n primtl: p, p, p, p n. Vi vil vise, t der må findes et primtl større end p n. Tllet: p p p p n hr primtlsdivisorerne p, p, p, p n og ingen ndre. Tllet p p p p n + hr imidlertid resten ved division med enhver f p, p, p, p n, så derfor er tllet enten et primtl, eller der må findes et primtl større end p n, som går op i tllet. Når mn skl forkorte en røk, gøres det i lmindelighed ved t opløse tllet i dens primfktorer. 4

8 Tl og regning med tl For eksempel: (57 er et primtl) Det findes ikke nogen nlytisk metode til t estemme primtlsopløsningen for et tl. Mn liver nødt til t forsøge sig frem med rækken f primtl. Hvis mn skl finde primtlsopløsningen f et tl p, ehøver mn dog kun t forsøge med primtl, som er mindre (eller lig med) p. Dette kn indses på følgende måde: Hvis p kn skrives som, og ltså ikke er et primtl, så vil der gælde p p p. Af denne ligning kn ses, t de to fktorer og ikke egge kn være større end p, så den ene må være mindre end p. Følgelig ehøver mn kun t forsøge sig med primtl mindre end p. Skl vi forsøge t fktorisere 47, så er 47, 9, så vi ehøver kun t forsøge med primtl op til. Det viser sig, t Nul og de negtive hele tl Vi vil nu illustrere, hvorledes mn i mtemtikken foretger en udvidelse f tlegreet til også t omftte tllet nul og de negtive hele tl. Når mn udvider tlegreet, vil mn stille den etingelse, t regnereglerne for de nturlige tl også skl gælde for tllene efter udvidelsen. Dette hr så nogle konsekvenser, som vi skl se nærmere på. Vi indfører først nul, som et neutrl element ved ddition. Neutrlt etyder, t for lle nturlige tl, skl der gælde: + 0 og 0 + Hvis regnereglerne skl være opfyldt, kn vi herf slutte t for lle nturlige tl og 0. Bevis (+0) + 0 hvorf sluttes t 0 0 De negtive tl indføres som modstte tl til et nturligt tl ved definitionen: er det modstte tl til + 0 (Vi hr her nvendt symolet, som læses hvis og kun hvis eller ensetydende med. Det modstte tl til etegnes og læses: minus. Herf følger så: og (-) Det modstte tl til det modstte tl er ltså tllet selv (fordi ddition er kommuttiv). 5

9 Tl og regning med tl Vi viser nu, t det følger f regnereglerne, t (-) - og + (-) - (sutrktion f fr ) Bevis 0 0 ( + (-)) + (-) og smtidig 0 0 ( - ) - Dette viser t (-) er det modstte tl til og er derfor lig med. Smtidig ses det, t + (-). Begge tl er nemlig det modstte tl til. Endvidere så vi tidligere (-). Oven for hr vi vist, t minus gnge plus giver minus, nu vil vi vise, t minus gnge minus giver plus. Bevis 0 - ( + (-)) - + (-) (-) Ligningen viser, t (-) (-) er det modstte tl til - og følgelig er lig med, så Eller minus gnge minus giver plus (-) (-). 5. Brøker og rtionle tl Når mn i mtemtikken udvider tlegreet til også t omftte røker, så er det en etingelse, t de grundlæggende regneregler stdig gælder. Vi vil først indføre de såkldte stmrøker. Hvis mn f.eks. deler et liniestykke f længden (eller en lgkge) i 7 lige store stykker, så siger mn t længden (størrelsen) f ethvert f stykkerne er 7, som læses en syvendedel. er derfor et symol for ét (ekskt) tl, og det skrives ltid med en vndret røkstreg og i lmindelighed ikke som /7 eller :7. (/7 etyder også den. juli, og :7 er et symol for en divisi- 7 on) Tre f stykkerne hr længden + + som skrives. Altså På smme måde dderer mn to røker med smme nævner: For hele positive tl p og q indfører mn i mtemtikken røken: q p,, som det (nye) tl som multiplieret med q giver p. p q q p 6

10 Tl og regning med tl p kldes for røkens tæller (top) og q kldes for nævner (ned). 4 4 p p For eksempel defineres tllet ved: 4. Speielt gælder p og p Denne definition giver også forklringen på hvorfor mn ikke kn dividere med nul. 4 Hvis nemlig vr et tl, så skulle det være det tl som gnget med 0 giver D lle tl gnget med 0 giver nul, kn ikke være noget tl. Dette plejer mn t formulere på den 0 måde: Mn kn ikke dividere med nul. Det modstte tl til en røk q p, hvor p og q er hele positive tl skrives ikke som p q eller p q p q, og i lmindelighed. Dette fordi symolet q p står for ét tl, som ikke kn skilles d. 5. Regneregler for røker Regnereglerne for røker er vigtige for lle grene f mtemtikken og er derfor nødvendige t lære og kunne. Mn dderer (eller sutrherer) to røker med smme nævner ved t ddere (sutrhere) tællerne og lde nævneren uforndret p r p r + + q q q f.eks: 7 0 +, 7 4, En røk, som er større end, skriver mn ind imellem som et lndet tl. 5 er jo lig med +, som mn kort skriver som. I mtemtik nvender mn dog kun og kun denne skrivemåde til t få et overlik over resulttet og ldrig i regninger! Dette f to grunde. For det første kn forveksles med, og for det ndet, kn mn ikke direkte nvende regneregler for røker på lndede tl. Mn kn gnge eller dividere med det smme hele positive tl i tæller og næver. 7

11 Tl og regning med tl Når mn gnger med det smme tl i tæller og nævner, kldes t forlænge, og når mn dividerer med det smme tl, kldes det t forkorte. Eksempler: 5 0 og ( + ) ( + 5) ( 5)( + 5) ( 5) 5 ( + 5) ( + 5) + 5 Når en røk ikke kn forkortes, dvs. t tæller og nævner ikke hr fælles primfktorer, så kldes røken uforkortelig. Det er god skik ltid t flevere et resultt som en uforkortelig røk. Mn gnger et tl med en røk ved t gnge i tælleren og lde nævneren uforndret Eksempler: 7 5 5, 7 5, ( + ) + d d d Mn dividerer en røk med et tl ved t gnge med tllet i nævneren og lde tælleren uforndret. Eksempler 7 7 7, , d d 7 Bemærk, t det er vigtigt, t vide, hvd der er den store røkstreg. kn (skrevet på denne måde) opfttes som 7 7 divideret med eller som 7 divideret med ( 4). Idet er det vigtigt, t skelne mellem røk divideret med tl eller tl divideret med røk! Hvis mn skl ddere to røker, som ikke hr smme nævner, skl mn forlænge hver f røkerne, for t skffe smme nævner (en fællesnævner) før de kn dderes. Eksempler

12 Tl og regning med tl Mn kn ltid finde en fællesnævner ved t tge produktet f de enkelte røkers nævnere -(også hvis der er mere end to led), men dette er lngtfr nødvendigt i mnge tilfælde. Kn mn lot estemme et tl som lle nævnere går op i, kn dette nvendes som fællesnævner. Det mindste tl som de nævnere går op i kldes de mindste fælles mål. Eksempel Det ses umiddelrt, t 6 kn nvendes som fællesnævner, og t 6 er mindste fælles mål for, 9 og Mn multiplierer to røker med hinnden, ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. Eksempel , , d d I det midterste eksempel, hr vi forkortet med og, før vi gnger de to røker smmen. Dette er ltid en fordel, d tllene liver mindre og dermed mere overskuelige. Mn dividerer et tl (eller røk) med en røk ved t gnge tllet (eller røken) med den omvendte røk. Ved den omvendte røk, forstår mn den røk, hvor tæller og nævner er yttet om. Gnger mn en røk med dens omvendte røk, får mn (én). Eksempler p q pq ( ) ( ) q p pq , , d d d Reglen om, t gnge med den omvendte er knp så indlysende som de øvrige regneregler, men den kn let evises, hvis mn nvender de øvrige regneregler for røker. Bevis d d d d d d d d d d d d 9

13 Tl og regning med tl Vi hr gnget med den omvendte f nævnerrøken i tæller og nævner, og herved fås regnereglen for division med en røk. Hele tl og røker kldes tilsmmen for rtionle tl. De etegnes med ogstvet Q. 5. Deimlrøker Deimlrøker nvendes sjældent i mtemtik, f den grund t de ofte er tilnærmede tl og ikke ekskte tl. De nvendes derimod ltid i de empiriske vidensker (hvor mn foretger målinger), f den grund t mn ikke kn måle et ekskt tl. Der er ltid en usikkerhed på en måling. Opskriver vi en deimlrøk, som f.eks. 4,567, så etyder det som ekendt hundrede, -0 ere, 4 - ere, 5- tiendedele, 6 - hundrededele og 7 - tusindedele. Dette hr mn en prktisk skrivemåde for i mtemtik. Vi minder om potenssymolet: 0 00, osv. Vi indfører nu en skrivemåde, som også nvendes i fysik og kemi, og som vil live egrundet senere osv. På denne måde kn vi præis udtrykke, hvd tllet 4,567 etyder. 0 4, Mn kn omskrive en røk til en deimlrøk ved hjælp f divisionslgoritmen. Vi ser f.eks. på :7, og opskiver divisionslgoritmen. 7, Det ses, t divisionen med 7giver resterne 6, 4, 5,,, og Herefter gentges divisionerne og ifrene i kvotienten, indtil 60 vi igen får resten 6. Resulttet er en uendelig, men periodisk 56 deimlrøk. Som det ses hr deimlrøken perioden På forhånd kunne vi indse, t den ville være periodisk med en periode 5 på højst 6. Der er nemlig kun 6 mulige rester ved division med 7 50 De er,,, 4,5 og 6 49 Af eksemplet kn vi slutte t enhver røk, kn skrives som en endelig - 0 eller en uendelig, men periodisk deimlrøk. 7 0 Mn kn så stille det omvendte spørgsmål, om enhver endelig eller 8 uendelig periodisk deimlrøk, også kn skrives som en røk. Svret 0 på dette er ekræftende. Ser vi først på en endelig deimlrøk, er det 4 let. 6 Eksempel En endelig deimlrøk: d,46 ( π,4596.) En uendelig deimlrøk: d,

14 Tl og regning med tl Vi hr mrkeret perioden på 4 deimler, som ntges t fortsætte uendeligt. Vi gnger nu med (4 er lig med perioden), herved liver ifrene forskudt nøjgtig en periode. Vi ser nu på tllet 0000 d 78,88888., og herfr sutrherer vi tllet d, , Bemærk, t periodeifrene nu står lige under hinnden lot forskudt en periode. Herf følger: 9999 d 780, eller 780 d Denne omskrivning er ltid mulig, idet mn lot skl gnge deimlrøken med 0 P, hvor p er perioden og så sutrhere deimlrøken fr dette og reduere. Opgve. Bestem perioden, når røken 7 omskrives til deimlrøk.. Omskriv 7,654 til en røk En endelig mængde siges t hve et endeligt krdinltl. Krdinltllet er det smme som ntllet f elementer i mængden. Mængdens elementer kn nummereres ved hjælp f de nturlige tl. Nogle uendelige mængder kn også nummereres. Et gælder f.eks. de hele tl. Rækkefølgen kunne f.eks. være 0, -,, -,, En uendelig mængde, der hr den egensk t den kn nummereres efter de nturlige tl, kldes numerel. Det er lidt overrskende, t også de rtionle tl er numerle. Vi ser først på de positive ægte røker: Rækkefølgen:,,,, ( ),,,,,... Vil give lle de ægte røker. Vil mn undgå, t røker, der kn forkortes nummereres to gnge, skl det gøres lidt mere kunstfærdigt. 6. Irrtionle tl Hvis mn tillægger et liniestykke et måltl (længden f liniestykket), så er det klrt, t ethvert rtionlt tl svrer til længen f et liniestykke. Det omvendte er imidlertid ikke tilfældet. Ser vi på en retvinklet treknt med kteterne, så vil hypotenusen + +. Vi plejer, t skrive. (Læses: kvdrtroden f ). er så det positive tl som opløftet i nden potens giver. På smme måde kn mn konstruere liniestykker med længden 5 og ved t vælge kteterne i en retvinklet treknt til t være, som,, og,. Der gælder nemlig: og + + Pythgoræerne. år 400 fvt. kendte oprindelig kun de rtionle tl, og vr ekymrede for disse nye tl, som det ikke lykkedes dem, t kunne skrive som en røk. Det lykkedes dem imidlertid t evise, t ikke er et rtionelt tl. Beviset forløer som følger: 5 p p Vi ntger t kn skrives som, hvor er en uforkortelig røk. q q

15 Tl og regning med tl p Af q p p følger imidlertid: så q q > p q > p er et lige tl. Men så må p selv være et lige tl, d et ulige tl gnge et ulige tl er et ulige tl. (r) 4r Vi kn derfor skrive p r. Indsættes, får mn: som giver, som redueres til q q q r. herf ses t også q og dermed også q må være et lige tl. p Hvis åde p og q er lige tl, så kn røken forkortes med. Dette er i imidlertid strid med t q røken vr uforkortelig, og dermed kn mn slutte, t ikke er en uforkortelig røk. I lmindelighed definerer mn kvdrtroden f et positivt tl, som det positive tl, som opløftet til. potens giver tllet. Kvdrtroden f 0 er nul. Mn kn ikke tge kvdrtroden f et negtivt tl, fordi der ikke findes noget tl som kvdreret giver et negtivt tl. Ser vi f.eks. på 9, så findes der to tl, og -, der opløftet til. potens giver 9. 9 er det positive f disse tl, ltså 9. Bemærk, t kvdrtrodsuddrgning og potensopløftning ikke i lmindelighed ophæver hinnden. Således er ( ) (og ikke -), idet ( ) 9. På tilsvrende måde definerer mn den. rod f et positivt tl, som det positive tl som opløftet til. potens giver tllet. Eksempler fordi fordi 5 5 Tl der ikke kn udtrykkes ved hele tl og røker, kldes for irrtionle tl. De rtionle tl og lle tl, der kn udtrykkes ved hjælp f rodtegn, kldes for lgeriske tl. (De er rødder i et polynomium med heltllige koeffiienter). Der findes imidlertid tl, som ikke kn udtrykkes ved rodtegn, det gælder f.eks. tllet π. Sådnne tl kldes for trnsendente tl. Alle de her omtlte tl kldes for reelle tl. De reelle tl kn fsættes på en tllinie, således t der til ethvert punkt på tllinien, netop svrer et reelt tl og omvendt. Lighed mellem to tl udtrykkes med lighedstegn. At to tl og er forskellige skrives: 7. Numerisk værdi Ved den numeriske værdi f et tl forstår mn tllet, når mn ser ort fr fortegnet. Den numeriske værdi f nul er nul. Numerisk værdi skrives ved t omslutte tllet med to lodrette streger. For eksempel er: 5 5 og Mere generelt defineres den numeriske værdi f, hvis er et vilkårligt reelt tl:

16 Tl og regning med tl for 0 for < 0 Ifølge denne definition er 5 5, d 5>0 og -5 -(-5) 5, d -5<0 Der gælder en vigtig sætning om numerisk værdi: (og ikke lig med ) For eksempel er ( ) 9. Potensopløftning og kvdrtrodsuddrgning ophæver ikke (nødvendigvis) hinnden. For numeriske værdier f en sum eller differens gælder endvidere nogle uligheder: Hvis og hr forskelligt fortegn, så gælder lighedstegnet mellem de første to uligheder, ellers gælder lighedstegnet mellem de to sidste. 8. Andre tlsystemer I moderne tid hr mn stort set kun nvendt 0-tlssysmet til lmindelige eregninger, (fordi vi hr 0 fingre og det er sådn, mn lærer t tælle). Der findes imidlertid ndre tlsystemer (fktisk lige så mnge, som der er nturlige tl), hvorf nogle dog er mere prktiske end ndre. Vi hr imidlertid stdig levn fr ndre tlsystemer. Antllet f måneder, vores døgn smt den tidligere engelske møntfod er eksempler på levn fr et -tls-system. Inddelingen i minutter og sekunder er et levn fr et 60-tls system. Computere kn imidlertid kun regne i -tlssystemet (det inære tlsystem), ligesom dette tlsystem hr mnge teoretiske nvendelser, for eksempel i informtionsteori. Det er sundt t huske på t ikke er det smme som tllet tre, men et ret vilkårligt vlgt symol for dette egre. Begreet kn kun forklres ved t præiserer, hvd det vil sige t tælle, noget der fr et teoretisk synspunkt ikke er så simpelt endd. 0-tls systemet også kldet de deimle tlsystem, hr grundtllet 0. Tl, der er skrevet i -tls systemet med grundtl det inære tlsystem - estår som ekendt udelukkende f to symoler for nul og én, så det er oplgt - næsten tvunget - t repræsentere tllene i dette tlsystem med symolerne 0 og. Vi minder endvidere om positionssystemet for et vilkårligt tlsystem. For eksempel etyder tllet 467 skrevet i 0-tlsystem, t 467 * * * * 0 0.

17 Tl og regning med tl Ethvert tl kn på helt smme måde skrives ved hjælp f potenser f grundtllet i et ndet tlsystem. Med positionssystemet følger ufhængigt f grundtllet lle de fordele, der er ved regneopertionerne ddition, sutrktion, multipliktion og division. Grundtllet skrives ltid 0, (ltså ét og nul), ufhængigt f tlsystemet. Totlssystemet hr to ifre 0 og og grundtllet skrives 0.(læses et- nul) 0-tlssystemet hr 0 ifre: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 0 skrives som 0. Det hedeimle tlsystem (6-tls-systemet) hr 6 ifre: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F og 6 skrives i dette tlsystem som 0 6. Det skulle fremgå, t A0 0, B 0, C 0, D 0, E4 0 og F5 0. Når mn opererer med forskellige tlsystemer, tilføjer mn - for t undgå misforståelser - grundtllet som indeks på tllet. For eksempel eller 45 6, idet egge de to tl prinipielt kunne være tl i 0-tls-systemet. Vi ser på et pr eksempler på omregning mellem tlsystemer: AF * Skl mn omregne et deimlt tl, f.eks. 8 til inært tlsystem, kn det gøres ved suessivt t dividere tllet med. Resterne ved divisionen, tget i omvendt rækkefølge, vil være de inære ifre i tllet. Algoritmen er vist nedenfor for tllet På den smme måde kn mn for eksempel omskrive 7 til 6-tlssystem AB 6. (A0, B) 4

18 Tl og regning med tl 8. Additions-, sutrktions-, multipliktions- og divisionslgoritme Hvis et tlsystem er seret på positionssystemet er lgoritmerne for regning med tllene ufhængigt f tlsystemet, idet mn lot skl huske, t grundtllet ltid skrives som 0. Binært: 0. Deimlt: Hedeimlt: Vi viser først multipliktions og divisionslgoritmerne for inære tl. (I disse lgoritmer nvendes nemlig såvel dditions som sutrktionslgoritmen. Vi vil multipliere 57 med og derefter dividere op i og (kvotient) (rest) * 9 +* 7 +* 5 +* +* 684 *57 57 *8 + 9 For Hedeimle tl nøjes vi med t vise et pr eksempler med ddition og sutrktion BF og CD BF5 + BF5 - CD CD C BC

19 Mængder og udsgn Kp. Mængder og udsgn. Mængder En mængde er lot en prktisk etegnelse for en smling f forskellige elementer opfttet som en helhed. En mængde ngives ved hjælp f mængdeprenteserne { og }. Når mn nvngiver mængder, gøres det ved hjælp f store ogstver fr strten f lfetet. Mængden f nturlige tl mellem og 9 skrives: {, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Rækkefølgen, hvori elementer ngives er underordnet. Mn kn godt ngive et element flere gnge, men gør det nturligvis ikke. At elementet tilhører mængden A skrives A. At elementet d ikke tilhører mængden A, skrives d A Hvis A {-,-,0,,,} Kn vi f.eks. skrive: A og 4 A Mn kn godt ngive uendelige mængder, hvis der er en indlysende systemtik. Det gøres så ved t skrive prikker for fortsættelsen. Eksempel: 4 Stmrøker {,,,...} Kvdrttl {, 4, 9, 6, } Det emærkes, t elementerne i en mængde godt kn være noget ndet end tl Når en mængde er estemt ved t ngive elementerne, siges mængden t være på listeform. Ligesom det ved tllene er nødvendigt t indføre tllet nul, som indfører mn i mængdelæren den tomme mængde, som en mængde, der ikke indeholder noget element. Den tomme mængde skrives Ø eller {}. (Men ikke {Ø}, som jo netop er en mængde, der indeholder et element den tomme mængde) Vi hr tidligere indført de mtemtiske stndrdetegnelser. N (Mængden f nturlige tl), Z (Mængden f hele tl), Q (Mængden f rtionle tl), R (Mængden f reelle tl). To mængder A og B siges t være lig med hinnden, hvis og kun hvis de indeholder de smme elementer. Dette skrives: A B A sige t være en delmængde f B, hvis ethvert element i A også er element i B. Dette skrives A B Hvis A er en delmængde f B men Dette skrives: A B A B, siges A t være en ægte delmængde f B. 6

20 Mængder og udsgn Hvis A {,, } og B {-,-,-,0,,,} så gælder der såvel Hvis A ikke er en delmængde f B skrives dette: A B. A B som A B. Ud fr to mængder, kn mn dnne nogle nye mængder, som kldes fællesmængde, foreningsmængde, overskudsmængde og komplementærmængde. Disse egreer nskueliggøres lettest, ved t illustrere mængderne som fsluttede punktmængder, f.eks. irkler i et univers, som er den mængde elementerne tges fr. I Ved fællesmængden f to mængder A og B, forstår mn de elementer som åde tilhører A og B. Fællesmængden f A og B skrives: A B Fællesmængden kn godt være tom. I dette tilfælde siges de to mængder t være disjunkte. Fællesmængden f A{-, -,,, 5} og B{,,, 4, 5} er {,, 5} eller A B {,,5 } Ved foreningsmængden f A og B, forstår mn de elementer som enten ligger A eller i B. Foreningsmængden f A og B skrives: A B Foreningsmængden f de to mængder ovenfor er A B {,,,,, 4, 5} Ved komplementærmængden til en mængde A, forstår mn de elementer, som ikke ligger i A. Komplementærmængden til A skrives: C A eller A. Der gælder C(C A) A 7

21 Mængder og udsgn Ved overskudsmængden (eller mængdedifferensen eller lot A minus B) mellem A og B, forstår mn de elementer som ligger i A men ikke i B. Mængdedifferensen A minus B skrives: Der gælder A\B A \ B A \ (A B) A B For mængder gælder den distriutive lov, åde for fællesmængde og foreningsmængde: A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Når mn skl tegne mængder, hvor lle muligheder findes, gøres det som vist på tegningerne nedenfor. Der er 8 muligheder for eliggenheden f et element. Det ligger i A eller ikke i A. For hver f disse to muligheder er der to muligheder i B eller ikke i B. I lt 4 muligheder. For hver f disse 4 muligheder, kn elementet ligge i C eller ikke i C. I lt 8 muligheder. Dette kn også ses ved optælling. Nedenfor er f mængderne på hver side f lighedstegnet illustreret. Mn ser t det er den smme mængde. A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Hvis mn ikke kn ngive en mængde på listeform, så nvender mn vendingen: Mængden f de elementer i grundmængden U, for hvilket der gælder logisk etingelse. I mtemtik er det prktisk t hve nogle symoler for en præis formulering f en sådn vending. Nedenfor er vist nogle eksempler. 8

22 Mængder og udsgn P {p N p er et primtl} {,, 5, 7,,, } { læses som: mængden f. læses som: for hvilket det gælder. Det hele kn derfor læses som: Mængden f de nturlige tl p, for hvilket det gælder, t p er et primtl. Hvis Grundmængden er de reelle tl, hvilket det ofte er, undlder mn t skrive R, d det er underforstået. { } {, }. Intervller Intervller er speielle delmængder f de reelle tl. D sådnne delmængder nvendes ofte, hr mn indført speielle symoler for dem. Et intervl hr to endepunkter, og indeholder en smmenhængende mængde f reelle tl mellem endepunkterne. Et intervl skrives ved hjælp f firkntede prenteser. Først et eksempel: ]-, ] { R < } Alle reelle tl, der er større end - og mindre eller lig med. Hvis egge endepunkter tilhører intervllet, kldes intervllet for lukket. Hvis ingen f endepunkterne tilhører intervllet kldes det åent. Hvis kun et f endepunkterne tilhører intervllet, kldes det hlvåent. Mn kn opskrive 4 intervller med og som endepunkter. ], [, ], ], [, [ og [, ] Vi nøjes med t skrive den formelle definition for et f dem. [, ] { } Mn tillder i lmindelighed, t lde det venstre endepunkt være - og det højre, men intervllet i disse endepunkter skl d være åent. ],4] { 4} ] 7, [ { < 7} Mn skl huske på et intervl er en mængde, således t to intervller kn komineres med opertionerne fællesmængde, foreningsmængde, overskudsmængde og komplementærmængde. Ofte er det en fordel t illustrere mængdeopertionerne på en tllinie, som illustreret nedenfor. En udfyldt irkel i endepunktet etyder t dette endepunkt tilhører intervllet og en ikke udfyldt etyder, t endepunktet ikke tilhører intervllet. Eksempler: ] 5,7] ],[ ],7] ] 5,7] ],[ ] 5,[ ] 5,7] \ ],[ ] 5,] ],5] ], ] ]5, [ 9