FUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression

Transkript

1 FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium

2 Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift ud fr to punkter... 6 Grfisk... 8 Krkteristisk egenskb... 9 k Eksponentiel udvikling på formen Eksponentiel udvikling på formen f be... f b X X eller f b... 3 Prllelforskydninger... 4 TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER... 5 Omvendte trigonometriske funktioner... 8 Hrmoniske svingninger... 9 Begrebers nvne... Tidsvrierende svingning... 3 Bølgeudbredelse i rummet... 7 Både tid og rum... 7 Smmensætning f hrmoniske bølger... 8 POTENSFUNKTIONER... 9 Omvendte funktioner til potensfunktioner FUNKTIONSSTYRKER POLYNOMIER Polynomier med grder over... 4 LOGISTISK VÆKST MODELLER Regression Lidt overordnet om korreltionskoefficienter og forklringsgrder Uddybning - smt problemer og fælder i forbindelse med korreltionskoefficienter og forklringsgrder Regression med Mple... 6 Residuler Korreltions vs. kuslitet Opsmling f vigtige pointer OVERSIGT... 66

3 EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER Der indledes med en definition: Definition 5: En eksponentiel udvikling er en funktion f :, 0,, 0 f b b kldes for fremskrivningsfktoren eller grundtllet. b kldes begyndelsesværdien eller strtværdien. med funktionsforskriften Hvis mn smmenligner med Definition 8, ses det, t en eksponentilfunktion simpelthen er en eksponentiel udvikling med begyndelsesværdien. Dvs. enhver eksponentilfunktion er også en eksponentiel udvikling, men en eksponentiel udvikling er ikke nødvendigvis en eksponentilfunktion. Overvejelser omkring Dm, Vm, og b. Lige som med eksponentilfunktioner er betingelserne på konstnterne knyttet nøje smmen med Dm og Vm. Når vi kræver, t 0, får vi mulighed for t nvende lle rgumenter (hvis måtte være negtiv, ville rgumentet give os problemer, d mn ikke kn uddrge kvdrtroden f et negtivt tl). Vi hr ltså Dm, fordi vi kn opløfte lle positive tl i en hvilket som helst (reel) potens. Det er lidt nderledes med betingelsen b 0. Prøv t kigge på funktionsforskriften. Her står, t mn skl multiplicere med b, og vi ved, t mn må multiplicere med lle reelle tl. Så fktisk er der ingen lgebrisk begrundelse for betingelsen b 0. Det er simpelthen noget, mn vælger. Det skyldes, t mn ikke hr brug for negtive værdier til de formål, mn nvender eksponentielle udviklinger til, og vores udelukkelse f negtive b-værdier gør det nemmere t beskrive monotoniforholdene for eksponentielle udviklinger. Det er betingelsen b 0, der giver os Vm, og når mn også vælger kodomænet til, får mn bijektive funktioner. Bemærk ltså, t betingelsen 0 er lgebrisk begrundet, mens b 0er et vlg. b kldes begyndelsesværdien, fordi 0 f 0 b b b, dvs. når rgumentet er 0, er funktionsværdien b. Grfen for en eksponentiel udvikling går ltså gennem punktet 0,b. Hvis vi opstiller kpitlfremskrivningsformlen og funktionsforskriften for en eksponentiel udvikling over hinnden, kn vi se, t de fungerer lgebrisk ens: Vi klder K0 for strtkpitlen og b for strtværdien, men de fungerer jo på smme måde i formlen. Og n er ntl terminer, mens er rgumentet, og her er den eneste forskel, t n er et nturligt tl, mens kn være lle reelle tl. Desuden hr vi, t r. 3

4 Vores b er blot en koefficient, der gnges på vores eksponentilfunktion, og d b er positiv, ændrer det ikke noget ved monotoniegenskberne, der kn overføres direkte fr eksponentilfunktionerne. Sætning : For en eksponentiel udvikling med fremskrivningsfktoren gælder: : Funktionen er voksende. 0 : Funktionen er ftgende. Nedenstående figur viser grfer for 4 eksempler på eksponentielle udviklinger. Tjek, t du kn se smmenhængen mellem grfen og forskriften (skæring med ordintksen og voksende/ftgende funktion). Vi ser nu på konstnternes betydning rent mtemtisk og deres fortolkninger i konkrete situtioner: Eksempel 47: Vi ser på den eksponentielle udvikling med forskriften f4 43,07. Begyndelsesværdien er 43, og fremskrivningsfktoren er,07. Dermed er vækstrten 7%. Grfen for funktionen går ltså gennem punktet 0,43, og hver gng -værdien øges med, øges funktionsværdien med 7%. Eksempel 48: Vi ser på den eksponentielle udvikling med forskriften f3 3 0,97. Begyndelsesværdien er 3, og fremskrivningsfktoren er 0,97. Dermed er vækstrten -3%. Grfen for funktionen går gennem punktet 0,3, og hver gng -værdien øges med, mindskes funktionsværdien med 3%. Opgverne 640* Ovenstående er de mtemtiske beskrivelser. Når du møder eksponentielle udviklinger i forbindelse med virkeligheden, er det fgørende, t du kn fortolke konstnterne i den helt konkrete sitution (ligesom vi så med lineære funktioner). 4

5 Eksempel 49: Værdien p (målt i tusinde kr.) f en bil kn som funktion f tiden t (målt i ntl år efter købet) beskrives ved forskriften pt 45 0,83 t. Hvd fortæller konstnterne om bilens værdi? 45 fortæller, t bilen, d den blev købt, hvde værdien kr. 0,83 fortæller, t for hvert år siden købet er værdien fldet med 7%. Eksempel 50: Antllet N f bkterier i en bkteriekultur kn som funktion f tiden t målt i minutter beskrives ved forskriften Nt 5,034 t. Hvd fortæller konstnterne om ntllet f bkterier? 5 fortæller, t der er 5 bkterier fr strt.,034 fortæller, t ntllet f bkterier vokser med 3,4% i minuttet. W Eksempel 5: Intensiteten I (målt i ) f en lysstråle, der bevæger sig gennem et gennemsigtigt m mterile, kn som funktion f den tilbgelgte strækning (målt i cm) i mterilet beskrives ved forskriften I 760 0,937. Hvd fortæller konstnterne om lysstrålens intensitet? 760 fortæller, t når lysstrålen rmmer mterilets overflde, er dets intensitet 760 W m. 0,937 fortæller, t lysstrålens intensitet flder med 6,3% for hver centimeter, den bevæger sig gennem mterilet. Opgverne 64* 5

6 Forskrift ud fr to punkter Lige som med en lineær funktion kn mn bestemme forskriften for en eksponentiel udvikling, hvis mn kender to punkter, som grfen går igennem (hvilket svrer til t kende funktionsværdierne to steder). Der er en formel til dette, men oftest er det meget bedre t kende en metode, d det giver bedre mtemtisk forståelse og ikke kræver så meget udendslære. Så vi begynder med metoden, som vi egentlig kender i forvejen, bre ikke nvendt på denne funktionstype. Metode Eksempel 5: Det er oplyst, t grfen for en eksponentiel udvikling går gennem punkterne Vi vil bestemme en forskrift.,0 og Vi ved, t den generelle forskrift er f b, og vi indsætter punkternes koordinter: b 30 b 0 0 b b ,30. Vi dividerer venstreside med venstreside og højreside med højreside og opnår dermed, t b-værdien kn forkortes ud. D vi hr betingelsen 0, hr vi ltså. Dette indsættes i den ene f ligningerne. Her vælges den nederste: 0 0 b b 5 4 Dvs. forskriften er f 5 Eksempel 53: Vi nvender metoden på to punkter Punkternes koordinter indsættes i forskriften: y og,, y : y b y b y y y b b y y y I sidste skridt blev det benyttet, t vi ved, t er positiv. Når vi kender -værdien, kn b-værdien bestemmes ved indsættelse i en f ligningerne: y y b b y y b b Når du nvender metoden, er det en god idé t sørge for, t den højeste -værdi hvner i tælleren, for ellers får du rødder med negtive rodeksponenter. Disse kn godt regnes ud (se vores gennemgng f rødder og potenser), men de fleste vil hve nemmere ved t rbejde med positive rodeksponenter. Eksempel 53 er beviset for den følgende sætning: 6

7 Formel: Sætning : Konstnterne for en eksponentiel udvikling f med forskriften f b, hvis grf går gennem punkterne y og, y, eller hvor mn kender funktionsværdierne og, f f, kn bestemmes ved: b y y y b f f f Eksempel 54: Om den eksponentielle udvikling f ved vi, t f og f 3 7. Vi vil bestemme en forskrift for f og indsætter derfor i formlerne fr Sætning 8: f f 3 7 f b Dermed er forskriften: 6 f Hvis mn hr hjælpemidler til rådighed, kn Mple bestemme forskriften på flere måder: Regression: Bemærk, t Mples resultt ikke er helt præcist. I sådnne situtioner skl du kigge på resulttet og vurdere, t tllene er og 6. 3 To ligninger: Her skl du kste den sidste løsning væk, d -værdien er negtiv. Opgverne 64* 7

8 Grfisk Vi hr llerede i introduktionsforløbet set, t grfen for en eksponentiel udvikling er en ret linje i et enkeltlogritmisk koordintsystem. Vi er nu klr til t bevise det. Vi tger udgngspunkt i forskriften f b. Et punkt ypå, grfen for f opfylder ltså ligningen y b. Dette er en ligning, og vi må derfor tge logritmen på begge sider: Pointen er, t der er en lineær smmenhæng mellem log y og, for log og konstnter, der grfisk svrer til henholdsvis hældningen og skæringen med y-ksen. Dvs. hvis mn fsætter punkterne,log y i stedet for, log b er y, så vil punkterne dnne en ret linje i et lmindeligt koordintsystem. Og som vi viste i forbindelse med logritmiske skler, skl punkterne sættes smme sted, unset om mn vælger t fsætte log y på en lmindelig skl eller y på en logritmisk skl., Derfor får vi også en ret linje, hvis vi fsætter yi et koordintsystem, hvor ndenksen er gjort logritmisk (dvs. et enkeltlogritmisk koordintsystem). Sætning 3: Grfen for en eksponentiel udvikling er en ret linje i et enkeltlogritmisk koordintsystem. Vi kn fktisk også få lidt mere ud f vores udledning, for det er egentlig første skridt på vejen til t isolere : log log y log b y log log b log y log b Vi hr hermed isoleret, og hvis vi bytter om på og y, ser vi ltså: Den omvendte funktion logritmiske funktion med forskriften f b er den f til den eksponentielle udvikling f med forskriften f log log b. 8

9 Krkteristisk egenskb Vi er nu nået til det helt centrle punkt i forbindelse med eksponentielle udviklinger, nemlig deres vækstegenskb. Vi hr tidligere vist for lineære funktioner, t når mn lægger en fst størrelse til rgumentet, så ændres funktionsværdien med en fst størrelse. Ld os se, hvd der sker, hvis vi lægger en fst størrelse til rgumentet i en eksponentiel udvikling. Dvs. vi tger udgngspunkt i et vilkårligt rgument med tilhørende funktionsværdi og vil så se, hvd der sker med funktionsværdien, når vi lægger størrelsen til rgumentet: Vi lægger ltså til rgumentet og ser, t vores funktionsværdi dermed bliver multipliceret med, der er et tl. Vi ser ltså, t hvis vi bliver ved med t lægge til rgumentet, så vil vores funktionsværdi hele tiden blive multipliceret med tllet. Og vi husker fr rentesregning, t det t gnge med et tl svrer til t lægge procent til eller trække procent fr. Vi hr ltså set følgende krkteristiske egenskb for eksponentielle udviklinger: Sætning 4: Den krkteristiske vækstegenskb for en eksponentiel udvikling er, t når mn lægger en fst størrelse til rgumentet, ændres funktionsværdien med en fst procentdel. Bemærk, t hele rgumenttionen er bseret på, t vores rgument ikke indgår i den størrelse som vi multiplicerer med. For hr netop ikke noget t gøre med vores udgngspunkt. Denne egenskb ses ikke hos ndre funktionstyper. Vi kn gå videre end dette og finde en formel, så vi får en smmenhæng mellem vores vækstrte og den fste størrelse, der lægges til rgumentet. D vi netop hr opdget, t denne fste størrelse kn knyttes til en vækstrte, ændrer vi dens symbol, så vi nu rbejder med: r : Den vækstrte, som funktionsværdien skl ændres med. y X r y : Den fste størrelse, der skl lægges til -værdien for t funktionsværdien ændres med r y. Vi nvender stort X, når vores rgument er. Hvis vi nvender et ndet bogstv som rgument, nvender vi et ndet bogstv. Oftest nvendes f.eks. t for tiden, og så nvendes T om den fste størrelse. I vores udledning f Sætning ender vi med t multiplicere med X,, som med vores nye nottion ltså hedder r y. Vi ved fr rentesregning, t det er fremskrivningsfktoren, vi hr multipliceret med. Så hvis funktionsværdien er ændret med vækstrten r y, hr vi: X r r y y 9

10 Kig grundigt på dette udtryk og tænk over det. Husk, t er fremskrivningsfktoren for den eksponentielle udvikling, mens r y er vækstrten, der beskriver ændringen i funktionsværdien. Så egentlig er det et velkendt udtryk, vi er kommet frem til. Hvis f.eks. 0 X 4, så svrer det til t r y gå 4 enheder hen på -ksen eller tilsvrende t hve 4 terminer (rentetilskrivninger). Og når mn tilskriver renter 4 gnge, så gnger mn med fremskrivningsfktoren i fjerde potens. Hvis vi gerne vil vide, hvor lngt vi skl gå hen d -ksen for t ændre funktionsværdien med vækstrten r y, skl vi hve isoleret X r y i ligningen: X X r y ry r y r log r log X log r y y y Eller hvis vi hellere vil benytte den nturlige logritmefunktion: X X ry ry y y ln r ry ln ry ln ln ry X ln X r r ln Vi kunne også hve nvendt titlslogritmen i stedet for den nturlige logritme. Regnereglerne dækker jo lle logritmefunktioner. Så vi hr hermed vist sætningen: Sætning 5: For en eksponentiel udvikling med fremskrivningsfktoren gælder, t hvis funktionsværdien skl ændres med vækstrten r y, skl mn lægge X r y til rgumentet, X hvor X r y er bestemt ved enhver f disse formler: log r r y y Bemærk, t Når der står X ry ry r y ln r ln y X r y y log ry log optræder to gnge i hver formel, men den ene gng er det bre som indeks. X, så er ry ikke en del f en udregning. Eksempel 55: To eksponentielle udviklinger f og g er givet ved forskrifterne f 34,08 og g 7 0,84. Vi bemærker, t f er en voksende funktion, d, og d g hr, er det en ftgende funktion. Det giver derfor kun mening t snkke om positive vækstrter for f og negtive vækstrter for g. Der ses på tre forskellige situtioner for hver funktion, så der bliver mulighed for t nvende lle de tre formler fr Sætning 5. Men bemærk, t der er ingen grund til t foretrække den ene formel frem for den nden i de enkelte tilfælde. Mn kunne i hvert tilfælde hve nvendt enhver f formlerne. ) Hvor meget skl lægges til rgumentet (-værdien) for t øge f s funktionsværdi med 0%? Mn hr 0,0 y X log 0, 0 log,,3690 r, så,,08,08 Så funktionsværdien øges med 0%, hver gng der lægges,37 til -værdien. b) Hvornår er f 4 gnge så stor som begyndelsesværdien? ln 3 ln 4 Dette svrer til ry 300% 3, så X 4 8, 0937 ln ln.08 D udgngspunktet er 0, og vi skl lægge 8,0 til dette, er svret 8,0 f g

11 Eksempel 55 (fortst): f 34,08 og g 7 0,84 c) Hvor meget skl lægges til rgumentet for t fordoble f s funktionsværdi? log log En fordobling svrer til ry 00%, så X 9, 0063 log log.08 Dvs. hver gng mn lægger 9 til -værdien, fordobles funktionsværdien. Og hvis mn gør det to gnge, hr mn ltså lgt 8 til -værdien og gjort funktionsværdien 4 gnge så stor (som vi også så i spørgsmål b)). d) Hvornår er g nede på 0% f sin begyndelsesværdi? Bemærk ordlyden: Nede på 0%. Mn hr ltså ikke trukket 0% fr, men derimod 90%. Så ry 90% 0,90, og mn hr X 0,0 log 0,90 log 0,0 3, 064 log log 0,84 Dvs. t når 3,, er mn nede på 0% f begyndelsesværdien (der i dette tilfælde er 7, men det er fuldstændig uden betydning). e) Hvor meget skl lægges til rgumentet for t mindske g s funktionsværdi med 30%? Her er 30% 0,30 y r, dvs. X log 0,3 log 0, 7, ,70 0,84 0,84 f) Hvor meget skl lægges til rgumentet for t hlvere g s funktionsværdi? En hlvering svrer til ry 50% 0,50, så X ln ln 0,50 3,9755 ln ln 0,84 Dvs. hver gng der lægges 3,9755 til rgumentet, hlveres funktionsværdien. I vores introduktionsforløb så vi nedenstående to figurer: Opgverne 643*

12 Vi hr nu set, t hlveringskonstnter og fordoblingskonstnter blot er speciltilfælde f noget mere generelt. For det gælder for en hvilken som helst procentvis ændring f funktionsværdien, t den bliver ved med t forekomme, når mn lægger et bestemt tl til rgumentet. Mn kunne derfor lige så godt hve snkket om tredoblingskonstnten eller enfjerdedelskonstnten. Mn vælger selvfølgelig hlvering og fordobling, fordi det er let t forholde sig til, og vi ngiver derfor formlerne for disse her. Sætning 6: For en eksponentiel udvikling f : b gælder: Hvis : Fordoblingskonstnten er Hvis 0 : Hlveringskonstnten er X X log eller X log ln ln. X eller ln ln. Mn kn også som nævnt en del gnge nvende titlslogritmen i stedet for den nturlige logritme, så den er bre undldt i Sætning 6 for overskuelighedens skyld. Opgverne 644* Og egentlig kunne mn så tro, t vi vr færdige med gennemgngen f eksponentielle udviklinger, for vi hr nu styr på følgende ting: Forskrift, Dm, Vm og konstnternes betydning. Bestemmelse f forskrift ud fr to punkter. Monotoniegenskber. Grfers udseende (herunder en ret linje i et enkeltlogritmisk koordintsystem). Omvendt funktion. Krkteristiske vækstegenskb (herunder hlverings- og fordoblingskonstnter). Men mn hr flere forskellige måder t ngive eksponentielle udviklinger på, og dem skl vi se på nu. Eksponentiel udvikling på formen f be k Vi ser, t b-værdien optræder på smme måde i forskrifterne f b og f b k e. Så b hr smme betydning i begge tilfælde. Vi hr set, t det kun er -værdien (fremskrivningsfktoren), der hr betydning, når vi ser på monotoniegenskber og vækstegenskber. Vi vil nu finde smmenhængen mellem k og, så vi kn k bruge vores viden om f b til t sige noget om f b Forskrifterne fortæller os, t Vi ved, t e k e : skl være en identitet. Det er det kun, hvis: k e k ln logb 0. Og for lle logritmefunktioner med grundtl over (heriblndt den nturlige logritmefunktion) gælder det, t værdien er positiv, når rgumentet er over, og negtiv, når rgumentet er under. Når vi smmenholder dette med k ln, får vi følgende sætning:

13 f be gælder: k Sætning 7: For en eksponentiel udvikling f med forskriften Hvis k 0 (svrende til ), er funktionen voksende, og Hvis k 0 (svrende til 0 ), er funktionen ftgende, og X X ln. k ln. k Du vil oftest i fysik og kemi møde eksponentielle udviklinger på denne form. Dog skl du være N t N e, dvs. der er tilføjet et kt opmærksom på henfldsloven i fysik, hvor forskriften er 0 ln negtivt fortegn i eksponenten. Dette gør, t mn får T, fordi k Årsgen til nvendelsen f de mest lmindelige differentilligninger er k Og når denne løses, får mn netop k ln ln. f be vil vi se, når vi kommer til differentilligninger. For en f y ' k y, hvor k i en konkret sitution kn fortolkes. f be, hvor k ltså optræder i løsningen. Det ville være uhensigtsmæssigt t omskrive til f b, d mn så skulle indføre et, der ikke indgik i den oprindelige differentilligning. Eksponentiel udvikling på formen f b X Mn kn også ngive eksponentielle udviklinger på en f formene X Opgverne 645* X eller f b f b X f b fhængig f, om funktionen er ftgende eller voksende og dermed hr en hlveringskonstnt eller en fordoblingskonstnt. Vi ser igen, t b-værdien optræder på smme måde som i de ndre forskrifter. Vi kender llerede smmenhængen mellem og Xog X, så vi mngler bre t vise, t de nye skrivemåder rent fktisk er funktionsforskrifter for eksponentielle udviklinger. Vi benytter X log 0,5 og X log og udregner så: og Og tilsvrende hr mn: log X log log log log 3

14 Vi hr ltså vist: Sætning 8: En ftgende eksponentiel udvikling kn skrives på formen X voksende eksponentiel udvikling kn skrives på formen henholdsvis hlverings- og fordoblingskonstnten. f b X f b, hvor X og X er og en Det smrte ved denne form er, t hvis mn kender hlverings- eller fordoblingskonstnten, kn mn med det smme opskrive forskriften for funktionen, dvs. mn behøver ikke først t beregne fremskrivningsfktoren. Desuden er det på sin vis den mest intuitive opskrivning i hvert fld hvis mn tænker på vækstegenskben. For prøv t kigge på eksponenterne. Hver gng mn til rgumentet lægger X eller X, bliver brøken større. Dvs. mn skl multiplicere en ekstr gng med enten eller, hvorved mn netop får hlveret eller fordoblet funktionsværdien. Prllelforskydninger Fr vores behndling f ligninger ved vi, t vi kn prllelforskyde grferne med k lngs y-ksen ved lle steder t ersttte y med y k og med k lngs -ksen ved lle steder t ersttte med k. Vi kn overføre dette til funktioner, hvor vi behndler f som y: Vi ser, t vores lodrette forskydning giver os en funktion, der ikke er en eksponentiel udvikling, mens vores vndrette forskydning bre fører til en nden eksponentiel udvikling. Prøv selv t vise dette, dvs. prøv t lve en generel vndret forskydning og rbejd med funktionsforskriften, indtil du er kommet frem til en ny eksponentiel udvikling. 4

15 TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER Vi skl nu hve kombineret vores funktionsbegreb med begreberne sinus, cosinus og tngens, som vi indførte i forbindelse med treknter, og som vi rbejdede videre med i trigonometriske ligninger. Vi indførte enheden rdiner for vinkler ved hjælp f nedenstående figur: I trigonometriske ligninger rbejder vi med vinkler målt i rdiner, og vi skl gøre det smme med trigonometriske funktioner. Vores trigonometriske ligninger kunne f.eks. hve formen tn 5, og sin 0, 43 og cos 0,93. Vores trigonometriske funktioner er f tn, g cos og h sin justeringer f disse. Så forskellen er den sædvnlige mellem funktioner og ligninger med én vribel: Vi løser ligninger, dvs. vi finder den eller de -værdier, der gør udsgnet sndt, mens funktioner er fbildninger, hvor vi knytter et rgument (en -værdi) smmen med en funktionsværdi. De to begreber bliver dog kombineret ret ofte i prksis. Hvis mn f.eks. tger udgngspunkt i en funktion med forskriften f sin 4 5 mn pludselig en ligning,76 sin 4 5. eller og spørger, hvornår den ntger værdien,76, så hr Og modst: D vi skulle løse trigonometriske ligninger, gjorde vi bl.. brug f nedenstående grfiske fremstilling: Her hr vi benyttet grfen for den trigonometriske funktion til ligningen sin 0, 7. f : sin til t illustrere løsningen 5

16 Du skl ltså ikke undre dig, hvis enkelte ting i det følgende virker bekendt. Ld os først se på grferne for de tre trigonometriske funktioner: f : bestemt ved forskriften f sin. g : bestemt ved forskriften g cos. h : \ p bestemt ved forskriften h tn. Bemærk, t lle tre grfer hele tiden gentger sig selv. Sinus og cosinus gentger sig selv efter stykket og tngens efter. Denne egenskb kldes periodicitet. Sinus og cosinus er periodiske med perioden. Tngens er periodisk med perioden. Msser f fænomener i nturen er periodiske (Jordens omløb om Solen, Jordens rottion, lydbølger, lysbølger, forskellige døgnrytmer, et pendul, vekselstrøm, ), og mn kn oftest nvende én eller flere trigonometriske funktioner til t beskrive et sådnt fænomen. Kig på grferne for sinus- og cosinusfunktionerne. Bemærk, t den ene blot er en prllelforskydning f den nden lngs -ksen. Og husk, t vi kn lve en sådn forskydning ved blot t ersttte med k. Vi hr ltså ikke brug for både sinus- og cosinusfunktionen. Mn hr vlgt t benytte sinusfunktionen, og det er derfor den, vi snrt skl rbejde videre med. 6

17 Men ld os inden d se på, hvordn grferne fremkommer ud fr enhedscirklen: Kig på ovenstående figur og smmenlign den med grferne forsin,cos og tn nedenfor. Du skl kunne se, hvordn mn kommer fr enhedscirklen til grferne i koordintsystemet. Bemærk f.eks., t cosinusfunktionen skærer y-ksen i og næsten ikke ændrer sin værdi på det første stykke, når bliver større end 0 (grfen kn tilnærmes med en vndret linje på dette stykke): Linjen med ligningen y er lgt ind, d den er god t smmenligne sinus- og tngensfunktionerne med. Prøv på enhedscirklen t smmenligne længden f cirkelbuen, der ngiver -værdien, med længden f de to lodrette stykker, der ngiver sinus- og tngensværdierne. De tre længder er næsten ens, og de lægger sig med sin tn. Dette ses også på grferne, hvor grferne for sinus og tngens i begyndelsen følger linjen med ligningen y, dog med tngens over og sinus under. Ofte kn mn derfor med god tilnærmelse ersttte Dvs. mn kn udnytte følgende sætning: Sætning 9: For små værdier f gælder sin med, hvis ikke kommer lngt fr 0. sin 7

18 Dette er nturligvis en løs formulering. Hvis mn vil hve nogle tl på, kn mn tegne en grf, der viser den procentvise fvigelse f fr sin : Omvendte trigonometriske funktioner Opgverne 647* I trekntopgver hr vi nvendt sin, cos og tn som vores omvendte funktioner til sin, cos og tn, når vi rbejdede med ukendte vinkler. Vi hr også set på, t dette er en uheldig nottion, d vores ikke fungerer som en eksponent, dvs. tllene hr forskellige betydninger i sin. Og vi husker også, t nottionen sin IKKE fungerer i Mple. Vi nvender invsin, invcos og invtn, når vi rbejder med vinkler i grder og bruger Gym-pkken. Men den rigtige nottion, som også er den, Mple nvender, er rcsin, rccos og rctn. rc betyder bue, og når mn nvender en f disse funktioner, er det netop længden f cirkelbuen, mn finder. rc er derfor ikke en generel nottion for omvendte funktioner. Det er kun en nottion, der nvendes i forbindelse med trigonometriske funktioner. I Eksempel (i del ) så vi på rcsin. Vi så dér, t vi er nødt til t begrænse vores Dm og kodomæne for sinusfunktionen for t få en bijektion, så vi kn finde den omvendte funktion. Vi rbejdede med f : sin og Dm f, og, frem til: Dmrcsin, og Vm rcsin,. sin og Vm f, hvorfor vi kom Ld os nu se på cosinus, dvs. g : cos. Ud fr grfen kn vi se, t hvis vi sætter Dm g 0,, får vi en bijektion med, D en funktion og dens omvendte funktion bytter Dm og Vm, hr vi ltså: Dmrccos, og Vmrccos 0,. Vm g. Vi ser ltså, t rccos kn give os vinkler svrende til vinkler mellem 0 og 80, hvilket er grunden til, t vi ltid kn finde den rigtige vinkel, når vi løser trekntopgver med cosinus også selvom vinklen skulle være stump. 8

19 Grfisk hr vi: Med tngens hr vi: Dmtn, og tn Vm. Dmrctn og Vm rctn, Bemærk endnu engng, t grferne er hinndens spejlinger i linjen med ligningen y. Egentlig er de blå grfer ovenfor grferne for funktionerne Arcsin, Arccos og Arctn (ltså med stort begyndelsesbogstv). Men Mple skriver dem med småt, og vi kommer ikke nærmere ind på forskellen her. Hrmoniske svingninger Hrmoniske svingninger er svingninger, der kn beskrives ved en sinusfunktion: f : Asin k c, A 0, k 0 Vi hr indført 4 konstnter: A, k, og c ( er den lille udgve f det græske bogstv phi ) Sinusfunktioner bruges til t beskrive mnge forskellige fænomener, og k erstttes sommetider f et ndet bogstv, der dækker over et ndet begreb. Vi skl i første omgng koncentrere os om de fire konstnters betydning for grfens udseende. Bgefter indføres nvnene på de begreber, som bogstverne repræsenterer. Betydning f k: k 0 9

20 På figuren smmenlignes grferne for sin,sin og sin. Bemærk, t er førstekoordinten til punkterne i lle tre tilfælde. Det er kun funktionsværdierne, der er forskellige. Når rgumentet for sinusfunktionen er, kommer mn dobbelt så hurtigt rundt på enhedscirklen, som når rgumentet er. Dermed bliver bølgen smllere, jo større k er. Men der sker ikke noget med værdimængden, for funktionsværdierne flæses stdig som retningspunktets ndenkoordint, og den ligger mellem - og. Betydning f : På figuren smmenlignes grferne for sinog sin. Bemærk igen pointen, t er førstekoordinten for punkterne på begge grfer, men ndenkoordinten er nderledes, fordi mn med sin hele tiden er stykket forn på enhedscirklen. Men dermed er bølgerne også lige bredde, for det er hele tiden det smme ekstr stykke, mn skl bevæge sig rundt på enhedscirklen. Mn får ltså to grfer, der er prllelforskudt lngs -ksen i forhold til hinnden. Vi kn nu udnytte vores viden om prllelforskydninger til t få st nogle værdier på prllelforskydningen. Vi foretger derfor følgende omskrivning: sin k sin k k. Vi ved, t mn prllelforskyder med lngs -ksen ved t ersttte med lle steder i en ligning (og dermed også i en funktionsforskrift). Vi kn derfor se, t grfen for sin k er forskudt med lngs -ksen i forhold til grfen k for sin k. 0

21 Betydning f A: A 0 Bemærk, hvordn A virker i funktionsforskriften f A sin k. A multipliceres med sinusværdien, dvs. hvis mn smmenligner funktionsværdierne for sin k og A sin k de smme steder, vil funktionsværdien være A gnge større (eller mindre, hvis A er mellem 0 og ). Dermed vil bølgerne være lige bredde (se nedenfor). sin, Vi ser, t Vm A k A A Betydning f c: D vi ved, hvordn mn prllelforskyder lodret, kn vi ret hurtigt indse, t c netop ngiver en sådn forskydning. Hvis vi nvender y som vores funktionsværdi, kn vi lve følgende omskrivning: sin y Asin k c y c A k Vi ved, t mn prllelforskyder lngs y-ksen ved t ersttte y med y ci ligningen. Så vi ser, t grfen for Asin k c er en prllelforskydning f grfen for A sin k med c op d y- ksen. Dette kn mn også indse ved t kigge på, hvordn c optræder i funktionsforskriften. Den lægges som det sidste til værdien f A sin k positiv)., og derfor bliver funktionsværdien c større (hvis c er Bemærk, t den blå grf er en prllelforskydning f den røde grf med 4 op d y-ksen.

22 Begrebers nvne Definition 6 og Sætning 30: For den hrmoniske svingning, der kn beskrives ved funktionen k f A k c, gælder: : sin kldes fsen. Dvs. det er fsen, der optræder som rgument i sinusfunktionen. Én svingning er en smmenhængende del f grfen, der svrer til ét omløb på enhedscirklen, dvs. en forøgelse f fsen med. k kldes den cykliske frekvens (ngiver ntl svingninger inden for et intervl f længden på førsteksen). og k ngiver tilsmmen fseforskydningen, der er C ngiver den lodrette forskydning f ligevægten.. k -ksen ngiver ligevægten for den hrmoniske svingning A sin k Den vndrette linje med ligningen y cer ligevægten for sin. A k c. fm fmin Hvis mn grfisk skl flæse c-værdien, kn mn benytte: c. A kldes mplituden og ngiver det mksimle udsving fr ligevægten. A f Dvs. m min f og Vm f A c, A c Opgverne 648*

23 Tidsvrierende svingning Når vi beskriver tidsvrierende svingninger med sinusfunktioner, indføres nogle nye begreber: Definition 7 og Sætning 3: For en tidsvrierende svingning ngivet ved funktionen f : t Asint c gælder: Perioden T er tiden for én svingning. Den kldes også svingningstiden. Frekvensen f er ntllet f svingninger inden for et givet tidsrum. Smmenhængen mellem T og f er: f. T (lille græsk omeg) kldes vinkelhstigheden eller vinkelfrekvensen. Der gælder: og f T Bevis 3: Smmenhængen mellem frekvens og periode følger direkte f definitionerne på de to begreber (tjek selv). Det er væsentligt t bemærke, t det er en formel med kun én frihedsgrd. Hvis perioden er ngivet, så kender mn også frekvensen og omvendt. De to formler med fortæller det smme. I den ene hr mn bre erstttet perioden med frekvensen. Så vi behøver kun t rgumentere for den første: Perioden er tiden for én svingning, dvs. fsen øges med, når mn øger tiden med én periode, fordi svrer til én tur rundt på enhedscirklen. Mn hr derfor: t T t (tjek, t du kn se smmenhængen mellem ligningen og teksten). isoleres i udtrykket, og vi opdger undervejs, t forsvinder: t T t t T t T T 3

24 Nvnet vinkelhstighed følger f formlen. For en hstighed er en tilbgelgt strækning pr. T tid, og i formlen er netop den strækning, som vinklen gennemløber i tidsrummet T. Efter en lng teoretisk behndling er det tid til eksempler. Eksempel 56: I et vekselstrømskredsløb kn spændingen målt i volt beskrives ved funktionen U : t 40sin 00 t 0,003, hvor t er tiden målt i sekunder. Inden vi begynder t foretge beregninger, ser vi på grfen og smmenligner med de flæste størrelser: Bemærk, t vi nu kn sætte enhed på ordintksen. I dette tilfælde er det spændingen, der beskrives, og det er derfor den, der fsættes på ndenksen. Vi kn se på funktionsforskriften, t der ikke er nogen forskydning c f ligevægten, og det psser med grfen, hvor toppene når lige lngt væk fr -ksen på begge sider f denne. Vores mplitude flæses ud fr forskriften til 40, og vi ser på grfen, t det psser. Vi kn i forskriften flæse 00. Dermed hr vi: T. Dvs. perioden er 0,0 sekunder Hermed er frekvensen: f ,0 s T s Hz Vi hr her indført enheden hertz, der svrer til pr. sekund eller s. På grfen kn mn også se, t frekvensen er 50 Hz, d mn kn tælle ntl toppe pr. sekund. Hvis vi f urnsgelige årsger ønsker t vide, hvd spændingen er efter 0,35 s, indsætter vi i funktionsforskriften. Vi husker, t vi skl bruge små bogstver, når vi rbejder med trigonometriske funktioner i Mple: 4

25 Eksempel 57: Dgslængden L (målt i timer) i en sibirisk by kn som funktion f tiden t (målt i døgn efter årsskiftet) beskrives ved funktionsforskriften: L t 6,6sin 0,07 t,303, ; 0 t 365 Først nlyseres forskriften med definitionsmængde: Tiden skl ligge mellem 0 og 365 døgn, fordi det er længden f ét år. Amplituden flæses til 6,6. Det fortæller os, t forskellen mellem den længste og den korteste dg er 6, 6timer 3, timer. Den lodrette forskydning er,. Dvs. ligevægten f dgslængden er, timer. Den korteste dg hr længden, 6,6 timer 5,59 timer, og den længste dg hr længden, 6,6 timer 8,8timer. Mn kn komme frem til dette på flere måder: ) Mn kn udnytte, t VmL A c, A c, hvilket giver udregningerne ovenfor. ) Den bedste metode (der også forklrer ovenstående metode) er t kigge på funktionsforskriften og udnytte, t mn ved, t en sinusværdi mindst kn give - og højst. Dermed kn leddet med sinus højst give 6,6 og mindst -6,6. Mn skl så selvfølgelig også lige være sikker på, t definitionsmængden svrer til mindst én hel svingning, så mn ved, t lle de mulige funktionsværdier ntges. 3) Mn kn benytte Mples mimize og minimize : Ved t benytte loction hr vi også fundet ud f, t den længste dg er 67 døgn efter årsskiftet, mens den korteste dg ligger 5 dge før årsskiftet. Vinkelhstigheden er 0,07 (målt i enheden "pr. døgn"). Dette betyder, t retningspunktet pr. døgn bevæger sig stykket 0,07 på enhedscirklen. Vi kn bestemme perioden ud fr dette: T 365døgn 0, 07døgn Vi kn også se, t fseforskydningen er,303 75,8, dvs. sinuskurven er forskudt 0, 07 knp 76 døgn. Det skulle ltså betyde, t dgens længde vr, timer (ligevægten) efter 75,8 døgn, hvilket vi tjekker i Mple: 5

26 Eksempel 58: En tonegenertor udsender en lyd (trykbølge), hvor trykket p (målt i pscl) et bestemt sted i rummet kn beskrives ved p t t hvor t er tiden målt i sekunder. : 0,0356 sin 764,6 035, Vi flæser vinkelhstigheden til 764,6 (med enheden pr. sekund ). Hermed kn vi 764, 6s bestemme frekvensen til: f 440Hz Det er ltså kmmertonen, der udsendes. Bemærk den lodrette forskydning c og mplituden. Den lodrette forskydning er lngt større end mplituden. Den lodrette forskydning er tmosfæretrykket, dvs. det tryk, der er tilstede, når der ikke er nogen lyd. Amplituden er et udtryk for, for krftig lyden er. I dette tilfælde svrer lydstyrken til 65 db, der nogenlunde er som en høj smtle. Her udgør mplituden 0,000035% f den lodrette forskydning. Smertegrænsen for lyd, der ligger omkring 30 db, svrer til en mplitude, der er c. 0,06% f tmosfæretrykket. Dvs. vores bidrg til lufttrykket kn virke totlt ubetydeligt, men lligevel kn vi snkke smmen. Grfisk ser det ud på følgende måde: På den øverste grf kn mn slet ikke se bølgen. Det er helt umuligt t vise udsvinget, hvis mn også skl kunne se origo. I sådnne situtioner gør mn derfor normlt det, t mn ser bort fr lufttrykket og kun ser på den ændring f trykket, der skyldes lyden. Desuden er der problemer med tidsksen i det øverste tilfælde. Vinkelhstigheden er så stor, t mn skl rbejde med små enheder på tidsksen, hvis mn skl kunne se svingningerne. Bemærk ltså, t mn, når mn rbejder med grfer, kn være nødt til t tænke grundigt over den konkrete sitution og rette kserne til, så mn kn se det væsentlige. Den øverste grf viser ingenting, selvom det er det rigtige funktionsudtryk, der er indtstet. 6

27 Bølgeudbredelse i rummet Når vi vil beskrive den rumlige udbredelse f en bølge (det kunne være en lydbølge, et sjippetov eller en vndbølge), indfører vi et nyt begreb: Det nye begreb er bølgelængden, der ngives med (et lille græsk lmbd). Smmenlign med den tilsvrende figur for tidsvritionerne. Perioden og bølgelængden fungerer på smme måde mtemtisk. Det er kun et spørgsmål om, hvorvidt den ufhængige vribel er tiden eller stedet. Vi hr ltså: Definition 8 og Sætning 3: For en bølgeudbredelse i rummet beskrevet ved f A k c gælder: : sin Bølgelængden er længden f én svingning. Smmenhængen mellem den cykliske frekvens k og er: k Både tid og rum Som nævnt kn mn både betrgte lyd som en bølgeudbredelse i tid og rum. Vi hr set på situtionerne hver for sig, fordi vi hr rbejdet med funktioner med én vribel. Hvis mn rbejder med funktioner med flere vrible, kn mn udtrykke en lydbølge ved: f, t Asin k t c 7

28 Smmensætning f hrmoniske bølger Hvis flere hrmoniske lydbølger fspilles smtidig, får mn en ikke-hrmonisk bølge, dvs. vi kn ikke snkke om begreberne bølgelængde og frekvens, selvom der stdig er et tydeligt næsten - mønster. Her ses grfen for summen f to lydbølger: Og her er tilføjet yderligere to lydbølger. Bemærk, t mn stdig får fornemmelsen f en slgs mønster, men nu er det mindre klrt. Det helt store spørgsmål er så, om mn kn gå den nden vej. Dvs. kn mn, hvis mn får udleveret ovenstående billede, få identificeret de enkelte hrmoniske bølger, som billedet er opbygget f? Svret er, t det kn mn gøre med fouriernlyse (et muligt emne t inddrge i et studieretningsprojekt). 8

29 Vi indleder med en definition: POTENSFUNKTIONER Definition 9: En potensfunktion er en funktion f : med forskriften: Som det ses f definitionen, sætter mn Dm f f, \ 0. Men det er udelukkende for t gøre beskrivelsen mere simpel. For der er msser f situtioner, hvor mn kn udvide definitionsmængden til lle reelle tl. Se f.eks. nedenstående grfer: Der er tegnet grfer for ti funktioner. For t gøre det lidt mere overskueligt er der nvendt stiplede linjer for de funktioner, hvor Dm kn udvides til lle reelle tl, og deres funktionsudtryk er ngivet til venstre for y-ksen. Vi skl tilbge til vores potensregneregler for t forstå, hvorfor funktionerne til højre for y-ksen q p kun hr positive tl i deres definitionsmængde. Vi husker, t, og vi kn ikke uddrge den q te rod f et negtivt tl, hvis q er et lige tl. Desuden kn vi se, t vi hr problemer med irrtionelle eksponenter. Mn står ltså over for et vlg: Enten skl mn udelukke en msse eksponenter, som mn egentlig gerne vil kunne rbejde med, eller mn skl begrænse definitionsmængden. Mn vælger t gøre det sidste, MEN mn hr lov til t udvide definitionsmængden, når det er muligt. Og det vil vi gøre i næste emne, d polynomier er opbygget f potensfunktioner med heltllige eksponenter, hvor der ikke er problemer med Dm. Grferne giver os en idé om, t grfen for enhver potensfunktion går gennem punktet,, og ved indsættelse i funktionsforskriften ser vi, t det psser: p q f. 9

30 Vi hr endnu ikke set grfer for negtive -værdier, så ld os inden den egentlige nlyse se på en række grfer, der kn give os en idé om potensfunktioners monotoniegenskber. Opgverne 649* Ud over grferne for nogle udvlgte potensfunktioner er indtegnet den vndrette linje med ligningen y, d den fungerer som en slgs grænse mellem to typer f grfer. Det smme gør den skrå linje med ligningen y, men den er også i sig selv grfen for en potensfunktion. Vores grfer giver os en idé om følgende sætning: Sætning 33: For en potensfunktion med forskriften f, 0, 0 gælder: Hvis 0, er funktionen ftgende. Hvis 0, er funktionen voksende med ftgende hstighed (konkv). Hvis, er funktionen voksende med konstnt hstighed. Hvis, er funktionen voksende med voksende hstighed (konveks). Bevis 33: Mn kn godt overbevise sig selv om sætningens rigtighed ved t udnytte vores viden om potenser og tænke over, hvd der sker, når -værdierne bliver større i de enkelte tilfælde. Men den slgs formuleringer er sjældent gode i beviser. Så vi vil igen benytte Sætning, der fortæller, t vi bestemmer en funktions monotoniegenskber ved t se på den fledede funktions fortegn. Dvs. dette bevis vil først give fuld mening, når du læser det under en repetition, hvor du hr lært t differentiere: Vi lærer, t den fledede funktion f en potensfunktion er: ' f. Dette svrer til hstighedsfunktionen. Den nden fledede f en potensfunktion er: f ''. Dette svrer til ccelertionen, hvis fortegn fortæller, om hstigheden er voksende eller ftgende. D 0, er smtlige størrelser, hvor indgår, positive. Vi hr derfor: Hvis 0, er Hvis 0 f ' 0, og dermed er f en ftgende funktion., er f ' 0, men f ' 0og '' 0 f ' 0og '' 0 Hvis, er Hvis, er f '' 0, så f er voksende med ftgende hstighed. f, så f er voksende med konstnt hstighed. f, så f er voksende med voksende hstighed. 30

31 Vi hr nu fået styr på potensfunktioner, der er den centrle størrelse i følgende type funktioner: Definition 0: Ved potensvækst forstås funktioner f : med forskriften:, 0, 0 f b b. Mn klder det også en potensfunktion gnget med en konstnt. Præcis som for eksponentielle udviklinger er betingelsen b 0et vlg, der træffes, så monotoniegenskberne kn overføres direkte fr potensfunktionerne, og så lle grfer kommer til t ligge i første kvdrnt. Der ville ikke hve været noget lgebrisk problem i t multiplicere med et negtivt tl. Ved indsættelse i funktionsforskriften fås, dvs. grferne går gennem f b b b Vi oplevede, t b-værdien for både lineære funktioner og eksponentielle udviklinger ngv begyndelsesværdien, men bemærk, t dette ikke er tilfældet for potensvækst. Her er der ingen begyndelsesværdi, d Dm f, dvs. 0 ligger ikke i definitionsmængden., b. Ligesom i det lineære og det eksponentielle tilfælde skl mn kende funktionsværdien to steder for t kunne bestemme forskriften. Dvs. mn skl kende to punkter på grfen. Der er igen formler til t finde konstnterne, men endnu engng er det bedre t nvende vores generelle metode, der også nvendes til t udlede formlerne: Eksempel 59: Grfen for potensfunktionen f : b Bestem forskriften. går gennem punkterne 9,7. 6, og Vi indsætter vores kendte værdier i forskriften og dividerer ligningerne (venstreside med venstreside og højreside med højreside): 7 b9 7 b b6 b Her ser vi, t gør udsgnet sndt, og det er et meget vigtigt sted i udregningen, for hvis mn ikke ser det, tvinges mn til t bruge logritmer, og det kn ofte gøre udregningen sværere. -værdien indsættes i den nederste ligning for t bestemme b-værdien: b6 b36 b Dvs. t forskriften er: f 3 Vi ser nu på et eksempel, hvor vi nvender den nturlige logritme undervejs. Men du kn godt selv prøve, om du kn gennemskue, hvd -værdien skl være, uden t nvende logritmer. 3

32 Eksempel 60: Om potensvæksten bestemt ved f b vides, t f 4 6og Bestem forskriften. f 5 5. Vi indsætter vores kendte værdier i forskriften og dividerer ligningerne (venstreside med venstreside og højreside med højreside): 5 b5 5 b ln ln 6b 4 6 b Her bemærkes det, t både 4 og 5 er kvdrttl, så mn hr: ln ln ln ln Dette indsættes i den nederste f ligningerne for t finde b: Dvs. t forskriften er: 6 b4 6 b b 3. f 3 I næste eksempel lder vi de to kendte punkter være vilkårlige, så vi får udledt de formler, der gælder for potensvækst. Eksempel 6: Vi ser på f b og punkterne, y og, y. Punkternes koordinter indsættes i funktionsforskriften, og vi rbejder videre som i de forrige eksempler: ln ln b y b y y y y b y b y y y y y ln y ln y ln y ln ln ln Som det ses, kn mn ngive formlen for -værdien på flere måder (mn kunne også hve nvendt en hvilken som helst nden logritmefunktion). Oftest nvender mn den sidste skrivemåde, der svrer til udtrykket for en lineær funktion bre med logritmer forn lle koordinterne. b-værdien bliver så: y b b y Øvelse 7: Vis, t der også gælder y log y 3

33 Sætning 34: For en potensvækst givet ved forskriften f b, hvor grfen går gennem punkterne y og,, y, er: ln ln b y y ln y ln Opgverne 650* Ld os nu se på vækstegenskberne for en potensvækst. Vi hr llerede set på tre forskellige vækstegenskber, og vi mngler bre t vise vækstegenskben for potensfunktioner for t få nedenstående skem: Bevis 35: Vi skl ltså vise, t når vi i en potensfunktion multiplicerer rgumentet med en konstnt, så vil funktionsværdien også blive multipliceret med en (nden) konstnt, der ltså ikke fhænger f udgngspunktet for vores rgument. Vores udgngspunkt er ltså værdien med en konstnt: f b, og vi ser nu på, hvd der sker, når vi gnger - f k b k b k k b k f Vi ser ltså, t når -værdien gnges med en konstnt k, så gnges funktionsværdien med en konstnt k, hvor pointen er, t k ikke fhænger f -værdien. Vi hr hermed vist den sidste firknt i ovenstående skem (bortset fr pointen med det dobbeltlogritmiske koordintsystem som vi snrt ser på). Vi kn gå endnu videre og få st størrelser på vækstrterne for de reltive ændringer f rgument og funktionsværdi. For vi ved fr rentesregning, t hvis vækstrten er r, skl mn multiplicere rgumentet med fremskrivningsfktoren r. Vores udregning fr beviset bliver så: f r b r b r r b r f 33

34 Når funktionsværdien ændres med r y, svrer det til en multipliktion med ry. Altså hr vi: Sætning 35: For en potensfunktion med forskriften f b gælder: Når rgumentet ændres med vækstrten r, ændres funktionsværdien med vækstrten r y, hvor: r r y Ovenstående sætning beskriver ltså potensvækstens vækstegenskb, dvs. du kn smmenligne den med X ry ln r ln y fr de eksponentielle udviklinger. f 83. Eksempel 6: En potensfunktion er givet ved forskriften 0,74 Vi vil besvre følgende spørgsmål: ) Hvor mnge procent ændrer funktionsværdien sig, når -værdien bliver 0% større? b) Hvor mnge procent skl -værdien øges for t øge y-værdien med 45%? c) Hvor mnge procent skl -værdien øges for t fordoble y-værdien? d) Hvor mnge procent ændrer y-værdien sig, når -værdien hlveres? Som gennemgået i introduktionsforløbet, kn mn indsætte direkte i formlen og lde Mple finde den ønskede størrelse. Vores opskrivning bliver derfor: ) b) c) d) Bemærk igen, t en fordobling svrer til vækstrten 00% og en hlvering til vækstrten 50% 0,50. Og endnu vigtigere: Husk, t dette intet hr med fordoblings- eller hlveringskonstnter t gøre, fordi det ikke er en fst størrelse, men en fst procentdel, mn ændrer med. Opgverne 65* 34

35 Vi mngler endnu t vise, t grfen for en potensvækst er en ret linje i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Dette indses ved følgende udregninger: y b log y log b log y log b log log y log b log Vi ser her, t hvis vi i et lmindeligt koordintsystem indsætter får vi en ret linje med hældningen og skæringen log y som funktion f log, log b med ordintksen. Hermed ved vi, t vi også får en ret linje, hvis vi fsætter yi, et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Som tidligere nævnt, er det kun rette linjer, mn kn genkende. Buede grfer kn stmme fr lverdens forskellige funktioner. Følgende figur viser grfer for tre slgs potensvækst, to eksponentielle udviklinger, to logritmefunktioner og to funktioner, der ikke er nogen f delene: Omvendte funktioner til potensfunktioner Vi hr tidligere set, t den omvendte funktion til en lineær funktion er en nden lineær funktion, smt t eksponentil- og logritmefunktioner er hinndens omvendte. Vores skem med vækstegenskber kunne så give os den formodning, t den omvendte funktion til en potensvækst er en nden potensvækst. Vi kn hurtigt vise, t det er rigtigt: Vi snød lidt under definitionen på potensvækst og stte med det smme kodomænet til, hvilket også er værdimængden. På den måde opnåede vi, t potensvækst er bijektioner, og t de dermed også er injektive. Vi ved ltså, t vi kn finde omvendte funktioner, og vi benytter den sædvnlige metode med t bytte rundt på og y: y b b y og y hr byttet roller y y y y b b b b b f Vi ser ltså, t den omvendte funktion er en potensvækst, og eksponenten er det reciprokke element til den oprindelige potensvæksts eksponent. 35

36 FUNKTIONSSTYRKER Som opsmling ses på de forskellige funktionstypers styrke. Vi ser på de voksende funktioner, men noget tilsvrende gælder for de ftgende funktioner. Dvs. når eksponentilfunktioner er stærkest til t vokse, er de også stærkest til t ftge. Der gælder: Funktioners styrke er et udtryk for, hvd der vil ske i sidste ende, dvs. hvd der sker ved grænseovergngen. Dette kn illustreres med brøker. Når eksponentilfunktioner er stærkere end potensfunktioner, vil det sige, t en funktion med forskriften f egenskben f 0for, fordi nævneren vinder over tælleren i sidste ende. vil hve Ld os forsøge t illustrere det med et konkret eksempel (vi beviser ikke noget). Vi ser på det 000 ekstreme tilfælde med f. Vi hr en potensfunktion i tælleren og en.00 eksponentilfunktion i nævneren, og tælleren er tydeligvis en hurtig strter, der lægger sig klrt i spidsen. Vi lder Mple beregne forskellige størrelser: 36

37 log,0 Vi kn se på endnu et eksempel illustreret grfisk. Vi ser på f. Vores 0,0 potensfunktion skulle ltså ifølge skemet være stærkere end logritmefunktionen, så der skulle gælde f 0for. Vi lder Mple plotte nogle grfer: Bemærk, t der hele tiden tilføjes 0 ekstr 0 er til intervllet på førsteksen. Det er derfor nærliggende t tro, t nu sker der ltså ikke mere med den grf. Men prøv t se, hvd der sker mellem 43 og 44 0'er: Potensfunktionen får overtget, og Mple finder korrekt grænseværdien til 0. Men som de udvlgte funktionsværdier illustrerer, foregår tingene ikke så voldsomt som i det første eksempel. 37

38 POLYNOMIER Et polynomium er et lgebrisk udtryk, men det behndles her blndt funktionerne, fordi polynomier i gymnsiet oftest indgår som funktionsudtryk. Definition : Et polynomium i én vribel er et lgebrisk udtryk på formen n i0 dvs.... i n n n i n n n 0, hvor n er et ikke-negtivt heltl, er en vribel og erne er konstnter. Eksponenterne i de enkelte leds potenser ngiver leddets grd, og den højeste grd blndt de led, der ikke er 0, ngiver polynomiets grd. 0 kldes nulpolynomiet og hr ingen grd (ikke t forveksle med grden 0). er koefficienten til i te grdsleddet. i Eksempel 63: Her følger en række eksempler på polynomier : Et tredjegrdspolynomium med koefficienterne, 4, - og : Et femtegrdspolynomium. Koefficienten til 4. grdsleddet er : Et ndengrdspolynomium. Førstegrdsleddet er 8. 0 : Nulpolynomiet. Det hr ingen veldefineret grd : Et sjettegrdspolynomium. Normlt skriver mn ikke leddet 8 : Et nultegrdspolynomium. -3 : Også et nultegrdspolynomium. 4 5 : Et førstegrdspolynomium. Kommentrer til Definition : Et eksempel på et polynomium i flere vrible er y 3 y y y. Dette er endd et homogent polynomium (f grd 4), d summen f eksponenterne i hvert led hr smme værdi. Nulpolynomiet udgør en fuldstændig ligegyldig detlje i gymnsiets mtemtik. Vi skl ikke bruge det til noget. Men det er vigtigt, når mn skl konstruere den mtemtiske struktur en polynomiumsring. Vi hr hidtil mødt de mtemtiske strukturer Tllegeme og Vektorrum. En ring er en nden slgs struktur, men tnkegngen bg den er den smme. Mn definerer nogle begreber og opstiller en række regler (ksiomer), som begreberne skl opfylde, og ud fr dette kn mn udlede en række egenskber. I vores definition hr nulpolynomiet ingen veldefineret grd. Men mn kn også vælge t tildele det grden -, eller som jeg lærte det, grden -. Bemærk, t 0 kn betrgtes som et tl, der gnges på 0 (hvilket også fremgår f sumtegnet). Det er derfor, det ligesom de ndre er kldes en koefficient. Det kldes også konstntleddet. Hvis vi hr en funktion med forskriften f 4e, er det f, der er funktionen (og ikke Men eftersom polynomiet er det lgebriske udtryk på højresiden i g, der er polynomiet (og ikke g). Vi hr ltså: f ). g 3 7, så er det 38

39 En lineær funktion er en funktion, hvor funktionsudtrykket er et polynomium, hvor grden ikke er over. Vores behndling f polynomier kommer i høj grd til t hndle om rødder, så vi skl lige hve defineret, hvd en rod er for en størrelse: Definition : Givet en funktion f : A B er en rod et rgument i f i 0. En rod kldes også for et nulpunkt. A, der fbildes over i 0, dvs. Grfisk svrer en rod ltså til de steder, hvor grfen skærer -ksen. Bemærk, roden eller nulpunktet er IKKE et punkt i koordintsystemet. Det er -værdien (eller førstekoordinten) for skæringspunktet med førsteksen. Definition 3: Givet et polynomium gælder f i 0. f er en rod en værdi i for vriblen, for hvilken der Vi hr set, hvordn mn grfisk kunne ngive løsningerne til ligningerne med eller 3 vrible, og vi hr set på grfer for funktioner. Vi kn også se på polynomiers grfer, hvorved vi forstår grfen for den funktion, der hr det pågældende polynomium som funktionsudtryk. Hermed får rødder præcis smme grfiske betydning for polynomier, som de hr for funktioner generelt. Vores rbejde med ndengrdsligninger og prbler kn som følge f ovenstående definitioner direkte overføres til ndengrdspolynomier, så følgende sætning indeholder en del gentgelser: Sætning 36: For ndengrdspolynomiet f b c ; 0 gælder: b d Grfen er en prbel med toppunkt i T, 4, hvor d b 4c. Hvis d 0, hr polynomiet ingen rødder, og vi kn ikke fktorisere polynomiet til en form som i de to nedenstående tilfælde. b Hvis d 0, hr polynomiet én rod r, der kldes en dobbeltrod. Vi kn i så fld fktorisere polynomiet til f r r r b d b d Hvis d 0, hr polynomiet to rødder r og r fktorisere polynomiet til f r r. Vi kn i så fld Bemærk, t det nye i Sætning 36 er fktoriseringerne. Begrebet dobbeltrod svrer til, når vi om ndengrdsligninger siger, t en løsning hr multipliciteten. Fktoriseringen forklrer tllet og ordet dobbelt. 39

40 Bevis 36: Vi tger de tre tilfælde i omvendt rækkefølge f sætningen. d 0: Vi kender udtrykkene for rødderne og regner løs på den ngivne fktorisering for t vise, t vi får det oprindelige polynomium: r r b d b d b d b d b d b d b d b d b d b d 4 b b d 4 b b b 4c 4 b 4c 4 b c d 0: Vi kender udtrykket for roden og regner løs på den ngivne fktorisering: r b b b b b 4 Her går mn umiddelbrt i stå, for udtrykket ligner jo ikke vores oprindelige udtryk. Fktisk mngler vi helt bogstvet c. Men her husker vi på, t d 0, så vi hr: b 4c 0 b 4c. Når dette indsættes, får vi: b b 4 4c b 4 b c d 0: Hvis vi hvde kunnet fktorisere polynomiet til en form indeholdende bl.. fktoren k, så fortæller vores nulregel os, t polynomiet ville hve værdien 0, når k, og det er i modstrid med, t der ikke er nogen rødder. Derfor findes en sådn fktorisering ikke. 40

41 Vi hr llerede set en del f indholdet f Sætning 36, når vi løste ndengrdsligninger ved t gætte løsninger. F.eks. kunne vi sige , hvorefter nulreglen gv os 8 3. Der hvde vi bre en del betingelser på ligningen. Sætning 36 gælder generelt. f 3 9. Eksempel 64: Vi vil gerne om muligt fktorisere polynomiet Først bestemmes diskriminnten: d b c D diskriminnten er positiv, er der to rødder, og polynomiet kn dermed fktoriseres. Rødderne bestemmes: b d r 3 6 b d r D -værdien er 3, hr vi ltså fktoriseringen: Vi tjekker med Mple: f p Eksempel 65: Vi vil gerne om muligt fktorisere polynomiet Først bestemmes diskriminnten: d b 4c D diskriminnten er negtiv, er der ingen rødder, og polynomiet kn ikke fktoriseres. Vi tjekker med Mple: Som forventet kn Mple heller ikke fktorisere polynomiet. Opgverne 65* Vi hr tidligere set, hvordn vi ud fr to punkter på grfen kunne bestemme forskriften for en lineær funktion, en eksponentiel udvikling eller en potensvækst. D vi hr tre koefficienter i et ndengrdspolynomium, hr vi brug for tre punkter, så vi kn ende ud med et ligningssystem bestående f 3 ligninger med 3 ubekendte. Eksempel 66: Bestem ndengrdspolynomiet, hvis grf går gennem punkterne,,,0 og 4,5. Vi får følgende ligningssystem: b c 4 b c 0 b c 0 b c 5 4 b4 c 5 6 4b c Mn kn godt løse dette ligningssystem i hånden, men her lder vi Mple gøre det: Dvs. t polynomiet er 5 3 4

42 En nden fremgngsmåde i Eksempel 66 er t lde Mple foretge lle udregninger: 4 Opgverne 653* Polynomier med grder over I denne fsluttende del må vi springe beviser over. Vi begynder med Algebrens Fundmentlsætning (ikke t forveksle med Aritmetikkens Fundmentlsætning, som vi kender fr vores behndling f primtl). Det er en sætning, der vr længe undervejs og efterfølgende længe om t blive bevist. Mnge store mtemtikere hr beskæftiget sig med den (bl.. Leibniz, Euler, d Alembert, Lgrnge, Lplce og Guss, der er nvne, mn ikke kn undgå t støde på som mtemtiker eller fysiker). Det lykkedes ikke Euler t bevise den, og det lykkedes ikke Guss i første forsøg. En pudsig pointe er, t sætningen ikke kn vises ved udelukkende t nvende lgebr (beviserne indeholder også enten geometri eller nlyse). Sætning 37: Algebrens Fundmentlsætning. Ethvert polynomium i én vribel f grd n (med komplekse koefficienter) hr netop n rødder (regnet med multiplicitet) og kn dermed fktoriseres til n z z z3... zn, hvor zi er en kompleks rod, og hvor nogle f rødderne gerne må være ens. Det er ikke så vigtigt med de komplekse koefficienter, for de reelle tl er jo en delmængde f de komplekse tl, så den gælder også med reelle koefficienter. Men det væsentlige er ltså, t det KUN er, hvis mn regner med komplekse tl, t mn kn være sikker på, t der er n rødder. Blndt de komplekse rødder kn vi normlt kun bruge dem, der også er reelle. Vores sætning bliver ltså: Sætning 38: Et polynomium i én vribel f grd n hr højst n reelle rødder. Mn kn sige, t Algebrens Fundmentlsætning er et meget stærkt rgument for t rbejde med komplekse tl, d det er en smuk sætning. Prøv også t smmenligne den med Aritmetikkens Fundmentlsætning: p... p p3 pn, hvor p erne er primtl (der gerne må være ens). Mn kn sige, t fktorerne z i fungerer som de primtl, et polynomium er opbygget f. Øvelse 8: ) Konstruér et n te grdspolynomium ved t opbygge det f fktorerne f.eks. f r i. Ld Geogebr tegne grfen og tjek, t rødderne flæst ud fr fktorerne psser med rødderne flæst ud fr grfen. ) Brug epnd i Mple og bestem på den måde polynomiet. 3) Gør som i ) og ), men tilføj denne gng også fktorer f formen c positivt tl. 4) Gør som i ), men ld denne gng to f fktorerne være, og 0,9 disse to fktorer med og ordene dobbeltrod og multiplicitet?, dvs., hvor c er et. Erstt. Smmenlign de to grfer. Kn det forklre

43 Vi kender nu det højest mulige ntl rødder. Men hvd med det lvest mulige? Her er polynomiets grd fgørende. Det er den højeste potens, der i sidste ende vinder, dvs. unset koefficienterne vil polynomiets værdi, når kommer tilstrækkelig lngt væk fr origo, få smme fortegn som n te grdsleddet. Der gælder: n n n ulige: for og for n n nlige: for og for Dvs. hvis n er ulige, skl grfen på et eller ndet tidspunkt krydse -ksen. Vi hr derfor: Sætning 39: Om et polynomium i én vribel f grd n gælder: n ulige: Polynomiet hr mindst én rod, dvs. det mulige ntl rødder er,, 3,, n. n lige: Polynomiet hr mindst 0 rødder, dvs. det mulige ntl rødder er 0,,,, n. Nedenstående figur kn måske hjælpe med t forstå Sætning 39. Polynomiets grd er ngivet ved de enkelte grfer. Prøv t lve lodrette forskydninger f de enkelte grfer og tjek, t du på den måde kn opnå lle de forskellige, mulige ntl rødder nævnt i Sætning 39. Bemærk, t for hver grd får polynomiet mulighed for t vende en gng mere. Andengrdspolynomiet vender gng. Tredjegrdspolynomiet kn vende op til gnge. Fjerdegrdspolynomiet kn vende op til 3 gnge, osv. Men bemærk også, t det kun er en mulighed. Nedenstående figur viser grfer for fem forskellige femtegrdspolynomier, og som det ses, vender de ikke lle smmen 4 gnge. 43

44 Når mn kigger på grfen for et polynomium, kn skæringspunktet med y-ksen og området omkring dette fortælle os, hvd fortegnene på ndengrdsleddet, førstegrdsleddet og konstntleddet er. Vi får igen brug for noget differentilregning, dvs. igen kommer nogle postulter, som du først under repetitionslæsning kender bggrunden for. Vi opskriver polynomiet smt den første og nden fledede f den funktion, der hr polynomiet som funktionsudtryk: n n n 3 n n n n n n n n n f f ' n n n f '' n n n n n n n n3 n4 n n n 3 Det er de gule områder, vi skl være opmærksomme på, for det er fortegnene på 0, og, vi skl finde. Og vi vil benytte de tre funktioners værdier i 0, så dem regner vi ud (bemærk, t lle led med forsvinder, når vi indsætter 0 ): f 0 0 f '0 f '' 0 f 0 ngiver skæringen med y-ksen, så hvis grfen skærer y-ksen på den positive del, er 0 positiv, og hvis skæringen er på den negtive del, er 0 negtiv. f '0 ngiver hstigheden i 0, hvilket svrer til hældningen f den tngent, der rører grfen i grfens skæringspunkt med y-ksen. Hvis tngentens hældning er positiv, er positiv, og hvis hældningen er negtiv, er negtiv. f '' 0 ngiver ccelertionen i 0, dvs. den fortæller os, om hstigheden er ved t vokse eller ftge. Det kn ses på krumningen (se nedenstående eksempler). Hvis ccelertionen er positiv, er positiv, og hvis ccelertionen er negtiv, er negtiv. 44

45 Opgverne 654* Øvelse 9: ) Indtst forskellige polynomier i Geogebr eller Mple og tjek, t du ud fr grfen kn bestemme fortegnene på de tre led med grderne 0, og (som du selvfølgelig llerede kender, d du selv hr skrevet udtrykkene). ) Prøv også t lde koefficienten i ndengrdsleddet være 0. Hvordn ses det på grfen? Øvelse 0: Hvordn bestemmer mn fortegnet på n tegrdsleddet, når mn hr et n tegrdspolynomium? 45

46 LOGISTISK VÆKST Som en sidste funktionstype ser vi nu på såkldt logistisk vækst, som vi også skl beskæftige os en hel del med i forbindelse med infinitesimlregning, hvor logistisk vækst bliver udtrykt ved en differentilligning, der kort fortlt sætter en grænse for væksten. Funktionerne, der er løsninger til denne differentilligning, er: Definition 4: Ved logistisk vækst forstås funktioner f : M f c k M c e k givet ved forskriften ; 0 ; 0 ; 0 Et pr eksempler på grferne for to f denne type funktioner er: Ved t kigge på grferne kn mn få en idé om nogle f punkterne i nedenstående sætning: Sætning 40: For logistisk vækst givet ved Definition 4 gælder:. Vm 0, M, dvs. 0 er den nedre grænse og M er den øvre grænse. Bemærk, t ingen f værdierne ntges, men mn kn ltså komme vilkårlig tæt på dem.. Væksthstigheden er størst, når funktionen ntger værdien M. M 3. Grfen skærer y-ksen i punktet 0, c. Eksempel 67: Vi ser på den logistiske vækst givet ved funktionen f med forskriften: 750 f 0,34 9 e Vi kn sige følgende: Den øvre grænse for funktionsværdierne er 750. Grfen skærer ndenksen i Væksthstigheden er størst, når funktionsværdien er 375. Stedet bestemmes med Mple: 46

47 Bevis 40: Punkt : Vi ser først på grænseovergngen. Her gælder: k e 0 for, d k for (k er positiv ifølge Definition 4) k M Dvs. t ce for, og dermed M for. c e k Så ses på grænseovergngen. Her gælder: k e for, d k for k M Dvs. t ce for, og dermed 0 for. c e k Desuden bemærkes, t e k er en monoton funktion (den er ftgende). Dermed bliver f også en monoton funktion (den er voksende). Dermed er værdimængden begrænset f de to grænseværdier for grænseovergngene ovenfor. Punkt : Vises i forbindelse med infinitesimlregning. Punkt 3: Vises som ltid ved t indsætte 0 i funktionsforskriften. Det er vigtigt t bemærke -tllet i første led i nævneren i Definition 4. For værdierne for M og c (og dermed øvre grænse, mksiml væksthstighed og skæring med ndenksen) er bseret på dette -tl. Mn kn sommetider i forbindelse med løsning f differentilligningen for logistisk vækst opleve, t et computerprogrm giver en forskrift, hvor der ikke står et -tl. Mn skl i så fld forkorte brøken med det tl, der står i stedet for -tllet: Eksempel 68: Vi hr fået følgende funktionsforskrift for logistisk vækst: f , e Vi ønsker t kunne nvende Sætning 40 og er derfor nødt til t forkorte brøken med 8: ,5 f 8 0,06 0, e ,06 e 3,7 e 8 8 Bemærk, t vi (selvfølgelig) forkorter ved t dividere med 8 i hvert led i tæller og nævner. Vi er nu i stnd til t konkludere, t: Den øvre grænse er 435,5. Der er mksimlhstighed, når funktionen ntger værdien 7,75. Grfen skærer ndenksen i (0,04.5) Opgverne 655* 47

48 MODELLER En (mtemtisk) model er en beskrivelse f et (virkeligt) system ved hjælp f mtemtiske begreber (vribler, konstnter, ligninger, funktioner, ). Eksemplerne 3, 4, 49, 50 og 5 er eksempler på modeller. I Eksempel 3 er funktionsforskriften en model, der beskriver træets højde, og i Eksempel 4 er funktionsforskriften en model, der beskriver prisen ved køb f grus. Formler inden for kemi og fysik (Eksempel 5) er ndre eksempler på modeller. Typisk bruges modeller til et eller flere f nedenstående punkter: At kunne sætte ord og tl på noget krkteristisk ved det konkrete system (F.eks. vokser træets højde i Eksempel 3 med 0,85 m om året). Ekstrpoltion: At kunne forudsige noget om systemet (F.eks. vil træet i Eksempel 3 i år 033 hve højden 7,4 m, d h30 7, 4 ). Interpoltion: At udfylde huller i systemet (Måske kender mn kun de fktiske værdier for en størrelse i lige år, og modellen kn så bruges til t estimere værdier i ulige år). At forstå systemet (Dette ser vi først på i forbindelse med infinitesimlregning. Kort fortlt er det sådn, t mn ved nlyse f et system (f.eks. en fysisk nlyse f et frit fld i tyngdefeltet) kn komme frem til en såkldt differentilligning, hvis løsninger er funktioner. Og hvis eksperimenters værdier psser med en løsning, vil mn sige, t mn forstår systemet). Der er dog meget stor forskel på modeller, og hvd de kn nvendes til. F.eks. kn mn ikke gå ud fr, t modellen for træets højde i Eksempel 3 er helt præcis. De værdier, der kn beregnes ud fr den vil kun tilnærmelsesvis stemme overens med virkeligheden. Modst er modellen i Eksempel 4 ekskt. Den giver den nøjgtige pris for et læs grus, hvis mn ntger, t mn kender mssen f grus ekskt. Vi ser nu på nogle eksempler, der illustrerer forskellige punkter, der er fgørende for, hvd de enkelte modeller kn bruges til. 48

49 Hvide næsehorn:. Det er tydeligt, t ntllet f hvide næsehorn er voksende. Men det bemærkes, t der er stor forskel på, hvor meget popultionen vokser fr år til år. Der er derfor tydeligvis ikke nogen simpel funktion, der kn beskrive popultionen. I digrmmet hr mn forsøgt sig med en lineær model, dvs. popultionen forsøges beskrevet med en lineær funktion N : t t b, hvor t er tiden ngivet i år, mens N er ntllet f hvide næsehorn. Den rette linje er den såkldt bedste rette linje bestemt ved mindste kvdrters metode, der går ud på, t summen f kvdrterne på de lodrette fstnde fr punkterne til linjen hr den mindst mulige værdi. Vi skl som en del f infinitesimlregning se på, hvordn mn i prksis finder denne bedste rette linje. Det er den bedste rette linje, men det er ikke nødvendigvis den bedste model. Den lineære model er vlgt, fordi den er simpel, og fordi der ikke er noget oplgt bedre lterntiv. Og nu kommer så første pointe: Når modellen er lvet, er det modellens tl, der gælder. Denne pointe vr specielt vigtig, dengng mn på øjemål tegnede den bedste rette linje, d mn efterfølgende skulle finde hældningen ud fr to punkter. Her SKAL punkterne vælges på den rette linje (modellen), og må ltså ldrig udvælges fr tbellen (de virkelige tl). For t forstå vigtigheden f dette, kn du se på, hvd der sker, hvis du finder hældningen ud fr de virkelige tl fr årene 004 og 006 (kig på grfen).. Beregninger ud fr den lineære model (bedste rette linje) fortæller, t der i 003 vr 3000 hvide næsehorn (interpoltion), og t der i 06 forventes t være 64 (ekstrpoltion). Hvis mn kigger på de målte værdier i de tilstødende år 004 (0796) og 05 (0375), kn mn se, t modellens værdier sndsynligvis fviger ret meget fr virkeligheden. For hvis der i 003 vr 3000 hvide næsehorn, skulle der på ét år være forsvundet 04 hvide næsehorn. Og fr 05 til 06 skl der komme 67 hvide næsehorn, hvilket er væsentlig mere end de 74 næsehorn, der i gennemsnit kommer (hældningen). Pointen er: Denne model er ikke god til t udfylde huller og komme med kortsigtede forudsigelser. 3. Men det er ikke umuligt, t modellen kn bruges til reltivt gode lngsigtede forudsigelser (f.eks. til t forudsige ntllet f hvide næsehorn i år 05, hvor modellen siger 938). For t kunne fgøre dette, skl mn ind og se på de fktorer, der hr betydning for popultionens vækst og prøve t vurdere disse. For de hvide næsehorn kunne det være ting som krybskytteri, levesteder og sygdomme. Vurderingen f disse punkter hr vist ikke så meget med mtemtik t gøre, men kræver nvendelse f ndre fg. Men en pointe er ltså: Det er ikke umuligt, t en model kn være (reltivt) bedre til lngsigtede end til kortsigtede forudsigelser. 49

50 Twitter-brugere: Denne gng forsøger vi os ikke med en ret linje, for det er tydeligvis en dårlig model. Vi hr vlgt en logistisk model (den røde kurve).. I dette tilfælde er modellen god til t udfylde huller, for punkterne (de virkelige værdier) fviger på intet tidspunkt meget fr modellen. Der ser ltså ikke ud til t være nogle fktorer, der på kort sigt kn ændre væksten i ntllet f twitterbrugere mrknt (de hr i hvert fld ikke vist sig i den periode på 8 år, som tllene dækker).. Det er ikke overrskende, t den logistisk model psser fint. Den er bseret på, t der er en vis mængde mennesker, der er potentielle twitterbrugere, og i begyndelsen vil det være sådn, t jo flere brugere, jo større sndsynlighed er der for, t potentielle brugere kender en bruger og derfor selv bliver bruger. Men efterhånden vil der ikke være så mnge potentielle brugere tilbge, og derfor vil væksten blive mindre og mindre. Denne rgumenttion kn opskrives i den tidligere omtlte differentilligning, hvis løsning er den logistiske model. D modellen psser godt, kn mn hævde, t mn hr i hvert fld en vis forståelse for systemet. 3. Den logistiske model forudsiger, t ntllet f twitterbrugere hr en øvre grænse på 39 millioner. Og d punkterne følger den røde kurve så godt, vil mn være tilbøjelig til t mene, t det er en meget pålidelig forudsigelse. Men der er dog en grænse. Det er næppe sndsynligt, t Twitter eksisterer om 00 år. Mn tler om modellens rækkevidde eller gyldighedsområde. Nogle gnge kn gyldighedsområdet fstsættes helt præcist, men i dette tilfælde er det ikke muligt. Det er dog et helt generelt problem, og pointen er: Du skl ltid overveje modellens gyldighedsområde, og når du lver en grf, skl du tge højde for gyldighedsområdet. For t illustrere pointen med modellers gyldighedsområde ses nu på et eksempel med menneskers mksimlpuls: Der er foretget et utl f studier omkring menneskers mksimlpuls MP (der måles i ntl slg pr. minut), og en f de simple tommelfingerregler siger, t mkspulsen ftger lineært med lderen t (målt i år): 50

51 MP t 0 Der er ndre ting end lderen, der hr betydning for mkspulsen i særdeles genetikken. Derfor ville mn i et studium ikke få måledt, der ligger tæt, men snrere noget i retning f nedenstående: t Men d vi skl fokusere lene på gyldighedsområdet i dette tilfælde, ser vi bort fr de individuelle forskelle og benytter den ngivne funktion MP. Spørgsmålet er nu, hvordn grfen skl tegnes: : Dette er helt glt. Der er blot skrevet plot uden t overveje definitionsmængden (gyldighedsområdet). Og i dette tilfælde giver det ingen mening t hve negtive tl på nogen f kserne, d hverken lder eller mkspuls kn være negtiv. Desuden går grfen kun til 0 år, hvilket heller ikke giver mening (der mngler noget). Og endelig burde ndenksen begynde med 0. : Dette er forkert. Mn hr igen vlgt nogle negtive ldre, og denne gng er mn gået for lngt op i lder. Mennesker bliver ikke 00 år, og det er meningsløst t sige, t en person på 30 år hr en mkspuls på (se nedenfor): Dette er rigtigt. Definitionsmængden er st fr 0 til 0 år. Det er ikke det eneste rigtige. F.eks. kunne mn også rgumentere for 0 år til 80 år (d mn ikke måler på børn og meget gmle mennesker) eller noget derimellem. Pointen er bre, t denne definitionsmængde giver mening i forhold til den konkrete sitution. 5

52 Næste eksempel omhndler også modellers gyldighedsområde. Denne gng belyst ved vlg f selve modeltypen. Der ses på ntllet f mennesker i Indien. Ovenfor til venstre ses dt fr perioden Mn hr forsøgt sig med en eksponentiel vækstmodel, og som det ses, er det en rigtig god model (punkterne ligger tæt på linjen). Så hvis mn i år 000 skulle lve en model, ville den eksponentielle vækstmodel være en glimrende model. Men på figuren ovenfor til højre ses, t når mn tger perioden med, så sker der noget, og den eksponentielle model er tydeligvis ikke længere særlig god. Bemærk, t punkterne først ligger under linjen ( ), så over linjen (980-00), og så igen under linjen (05-08). Denne systemtiske fvigelse viser, t modellen er dårlig. Det hvde været noget ndet, hvis fvigelserne (ligesom med de hvide næsehorn) hvde ligget usystemtisk over og under linjen. Hvis mn nu (jf. Twitter-brugerne) forsøger sig med en logistisk model, får mn nedenstående: Denne model psser glimrende på dt i perioden Den mest oplgte model-nvendelse er i dette tilfælde t forudsige befolkningstllet i Indien i fremtiden. Og her ses en mrknt forskel på de to modeller: Eksponentiel model ( ): Forudsiger 367 millioner indbyggere i Indien i 050. Logistisk model (960-08): Forudsiger 80 millioner indbyggere i Indien i 050. Den logistiske model vil højst sndsynligt ende med t give en bedre forudsigelse end den eksponentielle, d den tger højde for de seneste 0-30 års tydelige ændringer i Indiens befolkningsvækst. Rækkevidden (eller gyldighedsområdet) for den eksponentielle model går ltså slet ikke til år 050, og egentlig heller ikke til f.eks. 00. Men hvd med den logistiske model? Den psser jo fint på de kendte dt, men i modsætning til situtionen med Twitter-brugere, er der ikke noget teoretisk belæg for, t den logistiske model skulle være god. Så det er også yderst tvivlsomt, om den logistiske model giver pålidelige forudsigelser helt frem til 050. For t kunne vurdere dette, skl mn inddrge viden om det indiske smfund og hve noget generel smfundsviden, som jeg ikke tør kste mig ud i. 5

53 Rigtig mnge økonomiske og smfundsvidenskbelige modeller er meget dårlige til forudsigelser, fordi der er for mnge både kontrolble og ukontrolble - fktorer, der påvirker systemet, mn forsøger t beskrive. Ld os nu se på nogle modeller, der er helt nderledes, nemlig modeller inden for fysik. Fysiske modeller er ofte meget gode til både forudsigelser, udfyldning f huller, t sætte ord og tl på systemets krkteristik smt forståelsen f systemet (hvilket egentlig blot skyldes, t forståelsen er bseret på de eksperimenter, der er bggrunden for modellerne). Vi ser på en sitution, hvor mn tber et objekt fr stor højde, således t det på et tidspunkt opnår så høj frt, t luftmodstnden får betydning. Vi ser på frten som funktion f tiden. I digrmmet til venstre nedenfor ses det første sekund. I digrmmet til højre ses de første godt 4 sekunder. Første sekund:. En proportionlitet er tydeligvis en god model, d punkterne ligger på en ret linje, der går gennem origo.. Modellen er meget god til t udfylde huller, dvs. mn kn f.eks. meget præcist bestemme, hvd frten vr efter 0,5 sekunder. 3. Gyldighedsområdet: Her skl vi kigge noget skrpere, end vi gjorde i punkt, hvor det hurtigt blev konkluderet, t en proportionlitet vr en god model. For hvis mn kigger nøjere efter, ses der en tendens til krumning. Vores tydelige proportionlitet er derfor nok ikke så god til forudsigelser ud over sekund. Første 4 sekunder. Krumningen ses tydeligt her. Vi kn ltså se, t proportionlitetens gyldighedsområde kun er området 0 s (knp og np).. Mn kn godt finde en model, der psser med punkterne, og denne model er meget god til t forudsige frten, indtil objektet rmmer jordoverflden. 53

54 Vi ser nu bort fr luftmodstnd og ser på et lodret kst f en bold. Vi tegner to grfer. Den første viser højden over jordoverflden som funktion f tiden. Den nden viser hstigheden som funktion f tiden. I den første er grfen en prbel, mens grfen er en ret linje i den nden. Pointen er her, t det er smme system, der beskrives, men det er forskellige prmetre, der benyttes til beskrivelserne. Mn skl ltid overveje, hvilke prmetre mn vil beskrive systemet med. I dette tilfælde er begge digrmmer meningsfulde. De kn hver især bruges til forskellige ting. Ld os som sidste eksempler se på fysiske systemer, hvor måledt ikke ligger så pænt som eksemplerne med frit fld: HUBBLES DATA FRA 99 Rdioktivt henfld: Rdioktivt henfld er en stokstisk proces, dvs. den er styret f sndsynligheder/tilfældigheder. Dette skber en grundlæggende usikkerhed på måledt, dvs. forbedring f måleudstyr vil ikke få disse vilkårlige spring op og ned fr kurven til t forsvinde. Dette sætter en nturlig begrænsning for både interpoltion og ekstrpoltion, men det er også vigtigt t bemærke, t modellen stdig hr stor sndsynlighed for t rmme tæt på virkeligheden både ved interpoltion og ekstrpoltion. Hubbles dt fr 99: Edwin Hubble målte fstnd og hstighed f glkser. Måledt ligger tydeligvis meget spredt. I dette tilfælde skyldes fvigelserne fr den rette linje både nogle rigtige/virkelige fvigelser og nogle usikkerheder på målingerne. Forbedring f måleudstyret reducerede punkternes spredning mrknt. 54

55 Opsmling på og tilføjelse f pointer: Modeller bruges til interpoltion og ekstrpoltion, men mn skl ltid overveje ved t kigge på punkterne og tænke på systemet (brug øjnene, og brug fornuften), hvor god overensstemmelse, mn kn forvente, t der er mellem model og virkelighed. Modellen hr et gyldighedsområde (en rækkevidde), der sommetider kn fstsættes ekskt, sommetider kn være næsten umuligt t vurdere, men oftest ligger et sted imellem disse. Unset hvd, skl du dog tænke over dette. Når modellen er vlgt, er det modellens dt, der benyttes. Hvis du f.eks. skl svre på, hvor mnge hvide næsehorn, bestnden øges med om året, er det hældningen for den rette linje, der giver svret, og ikke et ntl beregnet ud fr to målepunkter. Modellen er en smmenhæng mellem forskellige prmetre, som mn udvælger, så de belyser systemet. Nogle gnge ser mn bevidst eller ubevidst bort fr nogle prmetre. Hvis mn gør det bevidst, skl det være, fordi mn hr vurderet, t de ikke hr væsentlig betydning. Vi skl nu nærmere på den bedste rette linje og mindste kvdrters metode, der blev omtlt i forbindelse med de hvide næsehorn. Disse begreber hænger smmen med begrebet regression. Dette ord kommer f det ltinske regressio, der betyder t gå tilbge eller tilbgeskridt, og med denne betydning nvendes det inden for psykologi, medicin og geologi. I den mtemtiske (sttistiske) betydning f ordet er en del f ordets oprindelige mening forsvundet. Forklringen på dette er vist noget i retning f følgende: I 886 publicerede Frncis Glton (8-9) en rtikel, hvor hn beskrev og nvngv et fænomen kldet regression mod gennemsnittet (vi skl høre mere om dette under elevforedrg under sttistikemnet). Hn hvde empirisk opdget, t frø f store frø hvde tendens til t blive mindre end de oprindelige frø, og t børn f høje forældre hvde tendens til t ende med en lvere højde end deres forældre. Det modstte kn siges om små frø og lve forældre. Der er ltså en tendens til, t mn bevæger sig tilbge mod gennemsnittet (gennemsnitsstørrelse f frø og gennemsnitshøjde f mennesker). Glton stte begreber og tl på dette. Senere blev metoden udvidet, så den også dækkede helt ndre situtioner, men mn beholdt ordet regression, der så ikke længere kun dækkede over t bevæge sig tilbge, men også t kunne føres tilbge til. 55

56 Regression Definition 7,5: En regressionsnlyse er en estimering f smmenhængen mellem en eller flere ufhængige vrible,,..., n og en fhængig vribel y. Funktionen, der ngiver smmenhængen, kldes regressionsfunktionen. Andre nvne for vriblerne er: y : Responsvribel, endogen vribel.,,..., n : Forklrende vribler, kovriter, bggrundsvribler, eksogene vrible. Ordet estimering er nvendt i stedet for bestemme for t fremhæve, t der er tle om en vurdering med en vis større eller mindre usikkerhed. Heri ligger ltså også, t regressionsfunktionens værdier kun kn forventes med en vis sndsynlighed t stemme med de virkelige værdier inden for en vis større eller mindre usikkerhed. Denne usikkerhed udtrykkes ved en såkldt korreltionskoefficient (betegnet r) eller en forklringsgrd ( r ) også meget sigende kldet r-kvdrdet. Mn kn sige, t mn søger t finde ud f, i hvor høj grd en værdi f den fhængige vribel kn føres tilbge til værdierne f de ufhængige vrible (herf ordet regressionsnlyse ) eller med ndre ord: Hvor stor en del f den fhængige vribels værdi kn forklres f de ufhængige vrible? Endogen betyder indeni eller indefr, mens eksogen betyder udenfor eller udefr. Dvs. kort sgt: Hvor meget f det indre kn forklres f det ydre? Vi skl kun se på situtioner med én ufhængig vribel (jf. lle vores tidligere eksempler på modeller). Vi indleder med et eksempel: ) Vi hr været ude t måle smmenhørende værdier f en ufhængig vribel og en fhængig vribel y. ) Vi hr vurderet, t punkterne med god tilnærmelse dnner en ret linje, og hr derfor vlg en lineær model. 3) Vi hr så med mindste kvdrters metode fundet den bedste rette linje (egentlig hr Mple fundet den, men vi skl senere se, hvordn det kn gøres i hånden). Funktionen bg den røde rette linje er vores regressionsfunktion, og Mple hr ngivet dens forskrift (dog ngivet som en ligning og ikke som en funktion). 4) Mple hr beregnet en korreltionskoefficient (vises ikke) og derudfr forklringsgrden på 0,97, dvs. t 97% f y-værdien kn forklres eller føres tilbge til -værdien. 56

57 Lidt overordnet om korreltionskoefficienter og forklringsgrder Det kn i begyndelsen være svært t forholde sig til korreltionskoefficienter og forklringsgrder. Der findes formler til t udregne disse, men selve værdierne er ikke så nemme t gennemskue, som f.eks. hældningstllet for en ret linje. Det er dog i høj grd en vnesg, dvs. du vil få en fornemmelse for forklringsgrder, når du hr rbejdet med en msse dtsæt. Indtil videre skl du vide følgende: Korreltionskoefficienten r fhænger f vlget f model. Dvs. det smme dtsæt giver forskellige korreltionskoefficienter for forskellige modeller (lineær, eksponentiel, potens, polynomiel, logistisk, ). Egentlig tger beregningen f r udgngspunkt i, t der er en lineær smmenhæng, men hvis mn nvender en nden model, løser mn dette problem ved som vi hr set med eksponentielle udviklinger og potensvækst - indledningsvis t omregne dt, så de skulle dnne en ret linje. Korreltionskoefficienten r er et tl i intervllet,. Hvis der ikke er nogen smmenhæng mellem og y, dvs. hvis og y er ufhængige, giver korreltionskoefficienten 0. Hvis der er en smmenhæng, hvor større -værdier fører til mindre y-værdier, ligger r i intervllet,0, og mn siger, t og y er negtivt korrelerede. Hvis der en smmenhæng, hvor større -værdier fører til større y-værdier, ligger r i intervllet 0,, og mn siger, t og y er positivt korrelerede. Jo bedre smmenhængen er mellem og y, desto tættere kommer den numeriske værdi f r på. En perfekt ret linje (dvs. lle punkter ligger uden fvigelser på én ret linje) svrer til korreltionskoefficienten - (negtiv hældning) eller (positiv hældning). Forklringsgrden (r-kvdrtet) er simpelthen r-værdien kvdreret. Så hvis korreltionskoefficenten er -0,8, så er forklringsgrden 0,64, og hvis korreltionskoefficienten er 0,7, er forklringsgrden 0,49. Dvs. forklringsgrden ligger i intervllet 0,, hvor ingen smmenhæng svrer til værdien 0, mens både perfekt negtiv og positiv korreltion giver forklringsgrden. Forklringsgrden skelner ltså ikke mellem negtiv og positiv korreltion. Forklringsgrden ngiver nogle gnge, hvor stor en del f y-værdien, der kn forklres f - værdien (hvorfor det kun er nogle gnge, uddybes om lidt). Mn kn nogle steder læse, t hvis forklringsgrden er over 0,99, er der en god smmenhæng. Andre steder ngives tllet 0,95. Men en vigtig pointe er, t der findes ikke noget pssende tl. Forskellige fg nvender forskellige tl. Inden for sttskundskb og psykologi vil det f.eks. nærmest ldrig give mening t nvende grænser som 0,95 og 0,99, d der næsten ltid også vil være ndre eksogene vrible end de målte, der påvirker den endogene vribel. Og inden for fysik hr vi set et eksempel med rdioktive henfld, der helt nturligt pg. tilfældigheder giver fvigelser, der gør det meningsløst t rbejde med en grænse på 0,99. På næste side er en række grfer med ngivne forklringsgrder. Se på punkternes spredning for t få en fornemmelse for værdierne f forklringsgrden. (På kn du øve dig i t gætte r-værdier, men bemærk ltså, t værdierne på næste side er r -værdier). 57

58 58

59 Uddybning - smt problemer og fælder i forbindelse med korreltionskoefficienter og forklringsgrder Du skulle nu hve fået en fornemmelse for størrelsen f forklringsgrden. Vi skl nu se på, hvorfor mn ikke bre kn nvende disse tl uden t forholde sig til grferne. Nedenstående figur er en berbejdning f et billede hentet fr wikipedi. Tllene er korreltionskoefficienter bseret på lineære modeller (dvs. nu ses på r og ikke r ). Øverste linje: Her illustreres, hvordn en spredning f punkter giver en numerisk lvere r-værdi, smt hvordn hældningen er knyttet til positiv og negtiv korreltion. Midterste linje: Her ses forskellige eksempler på fuldstændig korreltion både positiv og negtiv men bemærk også den midterste figur. Her er ikke ngivet nogen korreltionskoefficient (hvilket IKKE er det smme som en værdi på 0), og det skyldes, t spredningen på y-værdierne er 0, hvilket gør, t mn ikke kn udregne en korreltionskoefficient. Det smme gør sig gældende for en perfekt lodret linje, hvor det er spredningen på -værdierne, der er 0. Nederste linje: Her ses en msse dtsæt, hvor korreltionskoefficienten er 0. Men og dette er meget væsentligt bemærk også, hvordn disse dtsæt er fundmentlt forskellige fr dtsættet i midten f den øverste linje, hvor korreltionskoefficienten også er 0. For i sidstnævnte skyldes værdien 0, t der tydeligvis ikke er en smmenhæng mellem og y, men dette gør sig jo ikke gældende for eksemplerne på nederste linje. Der er tydeligvis noget systemtik, men der er bre på ingen måde nogen lineær smmenhæng mellem og y. Og dette fører os frem til følgende vigtige pointe: Hvis der er ikke er nogen smmenhæng mellem og y, er korreltionskoefficienten 0. Men mn kn IKKE slutte modst, t hvis korreltionskoefficienten er 0, så er der ikke nogen smmenhæng mellem og y. HVIS mn skl slutte, t der ikke er nogen smmenhæng mellem og y, skl mn inddrge grfer og KIGGE på disse (underforstået: Med fornuften knyttet til blikket). Netop vigtigheden f t nvende grfer vr hovedtemet i Frncis Anscombes rtikel Grphs in Sttisticl Anlysis fr 973, hvorfr de fire grfer på næste side stmmer: 59