114 Matematiske Horisonter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "114 Matematiske Horisonter"

Transkript

1 114 Mtemtiske Horisonter

2 Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen bnker i hovedet, og det er umuligt t tænke på ndet. Du åbner medicinskbet, griber glsset med hovedpinepiller, sluger to piller og et gls vnd. I strten sker der ingenting, men lidt efter begynder hovedpinen lngsomt t forsvinde, og til sidst er den helt væk. Du sender måske en nerkendende tnke til pilleproducenten, men de fleste betrgter i dg dgngen til effektiv medicin som en selvfølge. Udviklingen f ny medicin bliver drevet f fremskridt og ny indsigt på mnge fronter, bl.. øget forståelse f menneskets opbygning, ny bioteknologi og bedre produktionsudstyr. Når medicin skl udvikles fr et molekyle i forsøgslbortoriet til rigtig medicin på poteket, skl mnge forskellige fktorer fstlægges. Hvor meget skl mn give f stoffet? Hvordn skl det gives? Er stoffet frligt for børn, grvide eller gmle? Hr stoffet bivirkninger? For t besvre disse spørgsmål udføres normlt omfttende forsøg på både dyr og mennesker. Disse forsøg sikrer, t medicinen ikke hr uventede og utilsigtede virkninger, når den engng er t finde på potekets hylder. Sådnne forsøg er både meget bekostelige og tidskrævende, og derfor leder både myndigheder og medicinlfirmer konstnt efter metoder, der kn fkorte godkendelsesprocessen smtidig med, t nlysen forbliver så sikker som mulig. Det primære mål er t sikre, t ingen skdelige stoffer slipper igennem nåleøjet eller forsøgspersoner udsættes for unødig risici. Mtemtisk modellering er i denne smmenhæng et vigtigt værktøj, der kn bidrge til t få det optimle udbytte fr hvert enkelt forsøg. Mtemtisk modellering gør det muligt t omsætte viden fr forskellige videnskbelige grene til formler og tl, som kn nlyseres og håndteres objektivt. Mtemtiske Horisonter 115

3 Forsøgsforløb effektiviseres med mtemtik Ny medicin testes først på dyr oftest mus, rotter, grise og ber. Disse forsøg bruges til t kortlægge, hvordn og hvor effektivt stoffet virker. Derefter udfører mn forsøg på mennesker i første omgng på rske frivillige mænd. De bliver doseret med meget små doser f stoffet for t undersøge, om stoffet er sikkert for mennesker. Hvis forsøgene på disse forsøgspersoner ikke fslører nogen uventede bivirkninger, kn dosis øges for t bestemme effekten f stoffet. Først når mn efter flere forsøg hr konstteret, t stoffet ikke er frligt, og t det virker på rske frivillige, begynder mn t teste på rigtige ptienter. I strten testes det på en lille ptientgruppe, og til sidst udføres forsøg med mnge ptienter for t fstlægge, om den nye medicin rent fktisk virker bedre end produkter eller metoder, der llerede bruges. Rækken f forsøg betyder, t tiden fr lbortorium til potek i gennemsnit tger 8 år, men med mtemtisk modellering kn mn effektivisere forsøgene og fkorte det smlede forløb. De videnskbelige discipliner, der hndler om t bruge mtemtisk modellering f medicin, kldes frmkokinetik og frmkodynmik. Begreberne bliver oftest nvendt på engelsk (phrmcokinetics/phrmcodynmics og omtles ved forkortelsen PK/PD modellering. At der eksisterer to nært beslægtede discipliner skyldes, t smspillet mellem medicin og krop ønskes opdelt i hvd kroppen gør ved medicinen og hvd medicinen gør ved kroppen. Frmkokinetik beskriver, hvd kroppen gør ved medicinen, ltså hvordn det bliver optget, fordelt og til sidst igen udskilt fr kroppen. Frmkodynmik fokuserer på, hvd medicinen gør ved kroppen ved t beskrive, hvordn virkningen indtræder, hvornår og hvordn den relterer sig til mængden f medicin i kroppen. I resten f dette kpitel vil fokus blive lgt på frmkokinetik modeller. Medicinens vej gennem kroppen Medicinens vej gennem kroppen opdeles normlt i 4 fser, der smlet beskriver, hvd kroppen gør ved medicinen. Absorption Distribution Metbolisme Elimintion Medicinens optgelse i kroppen Fordelingen i kroppen Omdnnelse til ndre stoffer Udskillelse fr kroppen Den første fse, bsorption, kn vriere meget fhængig f, hvilken måde medicinen bliver indført i kroppen. Den mest direkte metode er intrvenøs (IV dosering, hvor medicinen sprøjtes direkte ind i blodbnen. En nemmere indsprøjtning, hvor mn ikke skl rmme så præcist, er i muskel (intrmuskulær eller fedtvæv (subcutn dosering. Her dnner den doserede medicin en lille boble, som lngsomt vil fordele sig ud i resten f vævet og derfr videre til blodet. Der findes også en lng række doseringsmetoder, som ikke involverer knyler. Det kn f.eks. være som pille, næsespry, smeltetblet, stikpille eller blot en drikkelig væske. Fælles for disse er, t de på forskellig vis skl gennemtrænge kroppens nturlige brrierer, inden de når frem til blodbnen. Den mest nvendte metode er t spise en pille, hvilket kldes orl dosering. Pillen opløses først i 116 Mtemtiske Horisonter

4 væsken i mvesækken, og derefter trænger stoffet igennem mvesækkens eller trmenes vægge ud i blodet. Antbus mod indvoldsorm Antbus, der giver kvlme ved indtgelse smmen med lkohol, blev fundet ved en tilfældighed i 194 erne f Dr. Jcobsen og Dr. Hld. De rbejdede på t finde et middel mod indvoldsorm, og dengng vr det gnske normlt t teste ny medicin på sig selv. Historien siger, t de to opdgere fik en cocktil til en fest efter selv t hve fprøvet stoffet, og på den måde opdgede de effekten f t blnde ntbus og lkohol. I dg bruges ntbus til fvænning f lkoholmisbrug. Vlget f doseringsmetode fhænger f medicintypen og den pågældende sitution. Fordelen ved IV-dosering er, t hele dosen kommer ud i blodet med det smme. På den måde kn mn opnå hurtig effekt, som kn være ønskeligt ved f.eks. smertelindring ved et færdselsuheld. Når medicin gives orlt, opnår mn en lngsommere optgelse i kroppen. Medicinen skl først trænge ind i blodet, men til gengæld kn de fleste sluge en pille uden hjælp. Den næste fse, distribution, er stoffets fordeling i kroppens væsker og væv. Eftersom blodet konstnt pumper rundt og hurtigt fordeles i hele kroppen, er det normlt tilstrækkeligt t foretge målinger på blodet fr et enkelt sted for t bestemme koncentrtionen f medicin. Målinger f koncentrtioner foretges ltså typisk i blodet, men også koncentrtionen inde i en muskel eller i fedtvævet kn være interessnt t måle. Det er distributionsfsen, der gennem blodet bringer medicinen ud til det sted i kroppen, hvor den skl udøve sin effekt. Der er stor forskel på tidsforløbet fhængig f, om stoffet skl virke et sted med stor blodgennemstrømning, eksempelvis hjertet, eller et sted uden direkte blodgennemstrømning, eksempelvis knoglemrven. Metbolisme er en proces, hvor medicinen kemisk omdnnes til et ndet stof i kroppen. Leveren spiller her en stor rolle, d mnge f de kemiske stoffer, som kroppen bruger i metbolismen, netop produceres i leveren. Det ktive stof i medicinen kn omdnnes til et inktivt stof, hvilket svrer til t fjerne medicinen, eller det kn ændres til et ndet ktivt stof. Nogle medicintyper udnytter netop metbolismen til t dnne en række ndre stoffer, som så hr en virkning. Eksempelvis skyldes morfins virkning hovedsgeligt et f de stoffer, som dnnes gennem metbolismen, og ikke morfin selv. Det betyder, t når mn skl undersøge virkningen f et stof, er det ikke nok t holde styr på stoffet, men også nødvendigt t kende produkterne f de kemiske processer, som medicinen gennemgår. Elimintionen beskriver, hvordn medicinen udskilles fr kroppen. Her er ikke tle om en kemisk omdnnelse, men om en direkte fjernelse fr kroppen. Mnge stoffer ender i urinen efter t være blevet filtreret ud f blodet i nyrerne. Kort sgt fungerer nyrerne som en si, hvor store molekyler bliver siet fr og små molekyler slipper igennem. Elimintion Mtemtiske Horisonter 117

5 og metbolisme f medicinen kn foregå smtidig og flere steder i kroppen. Hvordn og hvor meget, som den enkelte proces fjerner, kn ikke ltid bestemmes. Derfor bliver den mtemtiske model ofte en simplificeret udgve f virkeligheden. ABSORPTION DISTRI- BUTION METABOLISME ELIMINATION Figur 1. Skemtisk tegning f de 4 fser. Grundlæggende begreber I modelleringen f medicin er det første spørgsmål ofte Hvd bliver koncentrtionen f stoffet, hvis vi giver denne dosis? For t besvre dette spørgsmål skl mn først forstå, hvd koncentrtion er. Koncentrtion er defineret som mængde per volumen og er interessnt, d virkning og bivirkning f medicin ofte er forbundet til koncentrtionen. Det er også kun koncentrtionen, det er muligt t måle, når der tges en blodprøve. Koncentrtionen (engelsk: Concentrtion udregnes som A C (1 V hvor A er stofmængden (engelsk: Amount og V er distributionsvolumenen. Mængden f stoffet er enten målt i vægt (mg eller direkte i ntl molekyler (mol. Distributionsvolumenen repræsenterer den volumen, som stoffet skl fordele sig jævnt i for t give den observerede koncentrtion i blodet. Hvis stoffet udelukkende holder sig i blodet, er distributionsvolumenen det smme som blodvolumenen, men ofte ses det, t distributionsvolumenen er større end blodvolumenen. Det kn skyldes, t medicinen hr psseret igennem blodårernes vægge og ud i ndre dele f kroppen, hvilket bevirker, t den målte medicinkoncentrtionen i blodet bliver lvere. Den smlede mængde medicin er stdig uændret, men der er blot en mindre mængde tilgængeligt i blodet. For t kunne opbygge en mtemtisk model, der skl kunne forudsige koncentrtionen f et stof, er det nødvendigt t vide, hvor stort distributionsvolumenen er. 118 Mtemtiske Horisonter

6 Eksempel 1: 1 mg f et stof gives ved en IV-indsprøjtning, så mængden f medicin i blodet kendes præcist. Derefter bliver koncentrtionen målt til 2 mg/liter. Distributionsvolumenen kn nu udregnes til A 1 mg V 5 liter C 2 mg/liter Dette indikerer, t stoffet fordeler sig i blodet, eftersom blodets volumen er c. 5 liter. Et ndet stof, stdigvæk 1 mg, gives igen ved IV-indsprøjtning. Denne gng bliver koncentrtionen kun på 7 mg/liter. A 1 mg V 14 liter C 7 mg/liter Så er det ikke længere kun blodet, som stoffet fordeles i. Stoffet er ltså i stnd til t pssere igennem blodbnernes vægge og ud i resten f kroppen. En norml voksen persons krop på 7 kg indeholder c. 42 liter vnd. Denne mængde vnd opdeles i fhængig f om den findes inden i eller uden for cellerne. Inden i cellerne (Intrcellulær: 28 liter 11 liter mellem cellerne i orgnerne Uden for cellerne (Ekstrcellulær: 14 liter 3 liter plsm i blodet Blod består f plsm og forskellige typer celler, hvorf de røde blodceller udgør lngt den største del f volumenen. Mtemtisk vinkel Det er kort blevet gennemgået, hvordn medicin kommer ind i kroppen, fordeler sig og bliver fjernet igen. Forløbet blev beskrevet gennem generelle frmceutiske begreber, som nu skl omsættes til mtemtiske modeller. Målet med de mtemtiske modeller er bl.. t kunne beskrive, hvordn koncentrtionen f medicin vil udvikle sig over tid ved t tge udgngspunkt i den teori, der lige er blevet gennemgået. For t kunne opbygge mtemtiske modeller for medicinens rejse gennem kroppen opdeles kroppen i enkeltdele. Disse enkeltdele skl være dele f kroppen, hvor medicinen opfører sig ens. Et eksempel på en sådn enkeltdel kunne være blodet. Et ndet eksempel kunne være medicinboblen, som opstår efter en indsprøjtning. Disse enkeltdele betegnes med det engelske ord comprtment, som betyder kmmer. Når en model Mtemtiske Horisonter 119

7 benytter denne opdeling f kroppen, betegnes den som en comprtment model. Lige såvel som enkeltdele i kroppen kn være forbundne, så kn modellens comprtments også forbindes med hinnden. Modellen består således både f comprtments og deres forbindelser. Det comprtment i den mtemtiske model, som repræsenterer den enkeltdel, hvor målingerne tges, er f særlig interesse og benævnes det centrle comprtment. Mængden f medicin i det centrle comprtment bliver modellens bud på koncentrtionen, når der tges højde for distributionsvolumenen. De mest grundlæggende modeller kldes et-comprtment systemer og indeholder kun det centrle comprtment. Når mn grfisk vil vise en comprtment model, vises comprtments som cirkler og forbindelserne som pile. I figur 2 kn mn se en et-comprtments model. En et-comprtments model bruges ofte til t beskrive IV-indsprøjtning. Det ene comprtment er tilstrækkeligt til t beskrive stoffet, hvis doseringen og målingen f koncentrtion foregår i smme comprtment. Desuden skl det gælde, t medicinen ikke fordeler sig i ndre dele f kroppen. Når medicinen tges orlt, er det nødvendigt t udvide modellen. Her skl modellen desuden indeholde et mve-comprtment, som repræsenterer den medicin, som stdig befinder sig i mvesækken. En model f denne type kn ses i figur 3. Endnu mere komplicerede modeller kn indeholde mnge comprtments, som repræsenterer orgner eller væv, som hr ndre egenskber. For mnge typer f medicin kn systemerne vist i figur 2 og 3 fint beskrive koncentrtionsforløbet. Derfor vil disse modeller dnne udgngspunkt for den mtemtiske beskrivelse f teorien. I figurerne er størrelserne f forbindelser benævnt med konstnterne K og K. Disse konstnter vil blive gennemgået senere. A A mve K A K K Figur 2. Et-comprtment model. Figur 3. To-comprtment model. En simpel måde mn kn ntge, t medicin fjernes fr blodet, er ved en konstnt hstighed. Hvis en dosis på 1 mg bliver givet ved IV-indsprøjtning, og kroppen kn fjerne 1 mg pr. time, vil det være reltivt nemt t forudsige mængden f medicin i kroppen, og efter 1 timer vil hele dosen være væk. Desværre er det sjældent tilfældet, t medicin fjernes som en konstnt mængde pr. tid. Den fjernede mængde er hyppigt fhængig f den totle mængde medicin. Det kn smmenlignes med vnd, som løber ud f et hul i en spnd. Hvis der er meget vnd i spnden, vil det presse mere vnd ud f hullet og gøre strålen krftigere. Efterhånden som vndstnden flder, vil strålen blive mindre krftig. 12 Mtemtiske Horisonter

8 Når elimintionen er direkte fhængig f mængden f medicin, kldes elimintionen 1. ordens. Den konstnte elimintion kldes. ordens. Mtemtisk beskrivelse f comprtment systemer Tidligere blev det omtlt, hvordn elimintionen f medicin er fhængig f den tilbgeværende mængde f medicin. Den type modeller beskrives ofte med differentilligninger, som kn beskrive smmenhængen mellem stofmængden A i blodet og ændringen pr. tid da/dt. Herunder er vist ligningerne for både. og 1. ordens elimintion, men det er kun den sidstnævnte, som vi vil rbejde videre med. da. ordens K A K (2 dt 1. ordens da 1 K A K A (3 dt I ligningerne repræsenterer K elimintionsprocessen. Prmeteren K er ltid positiv, og dens størrelse bestemmer hstigheden for elimintionen. Hvis mn skl genbruge eksemplet med en spnd fr før, så kn K betrgtes som relet f hullet. Når K er positiv og mængden f medicin er positiv, kn mn se, t ændringen f medicin ltid vil være negtiv (-K A. Løsningen til ligning (3 er en funktion, som beskriver stofmængden i blodet til ethvert tidspunkt t. A( t A exp( K t (4 I ligningen er A stofmængden til tiden t, hvilket for IV-dosering er lig dosismængden. Ved orl dosering skl modellen også indeholde et mve-comprtment som vist i figur 3. Overførslen f medicin fr mvesækken til blodbnen kn beskrives på smme måde som elimintionen i et-comprtments modellen. Det kn skrives som i ligning (3, men nu gældende for mængden f medicin i mven: MAVE da MAVE K (5 A dt hvor A mve er mængden f medicin i mven og K bestemmer hstigheden for bsorptionen fr mven. Det ntges, t K er større end K, dvs. t medicinen kommer hurtigere ud i blodet, end elimintionen kn nå t fjerne den. Den omvendte sitution kn ske, men vil ikke blive behndlet her i kpitlet. Når medicin bliver doseret uden for selve blodbnen, er der en risiko for, t en brøkdel vil gå tbt. Mulige forklringer er, t medicinen nedbrydes i mvesyren eller omdnnes vi kemiske processer. Den brøkdel, der reelt bliver optget, kldes et stofs biotilgængelighed og betegnes med bogstvet F. Biotilgængeligheden er et tl mellem og 1, hvor 1 betyder, t 1 % f dosen blev optget. Ved orl dosering er mængden f medicin i blodet fhængig f både tilførslen og fjernelsen. Dvs. mn kn opskrive den smlede æn- Mtemtiske Horisonter 121

9 dring f medicin i blodet som den mængde, der tilføres fr mven minus den mængde, der elimineres. Det giver ligningen nedenfor Fr mven Elimintion da MAVE F K A K A dt (6 Denne ligning (6 smmen med ligning (5 udgør det system, som skl løses for t finde en funktion for medicinmængden A(t. Løsningen er givet herunder og er ikke gennemgået nærmere her. K FA A( t ( exp( K t exp( K t (7 ( K K Med ligning (4 og (7 kn mn nu bestemme mængden f stof i blodet til ethvert tidspunkt for henholdsvis IV og orl dosering. Normlt er mn mest interesseret i t bestemme koncentrtionen, og ifølge ligning (1 fås denne direkte ved t dividere mængden med distributionsvolumenen. Det giver for IV-dosering A( t A C( t exp( K t V V (8 og for orl dosering A( t K FA C( t V V ( K K ( exp( K t exp( K t (9 Indtgelse f en hovedpinepille I strten f kpitlet blev situtionen med en hovedpinepille beskrevet. Et meget lmindeligt stof mod hovedpine er stoffet prcetmol, der i Dnmrk f.eks. sælges under nvnet Pnodil. Prcetmol hæmmer de stoffer, som nerverne bruger til t sende beskeder om smerte. Prcetmol er ikke helt ufrligt, d det kn give vrige skder på leveren ved for høje doser. Anbeflingen er t tge doser f 1 mg højst 3-4 gnge dgligt og ldrig mere end 4 grm pr. døgn. Prcetmol er blevet undersøgt i en række forsøg, og det kn vises, t prcetmol tilnærmelsesvist følger en model med 1. ordens elimintionen fr blodet, og ligeledes t det optges fr mven med en 1. ordens bsorption. Prcetmol kn derfor modelleres med systemerne vist i figur 2 og 3 for IV og orl dosering, d det fordeler sig hurtigt og jævnt i hele kroppens væske. Forsøgene hr vist, t prcetmols elimintionskonstnt er K,3 timer -1, og distributionsvolumenen for en gennemsnitsperson er 42 liter. Absorptionen styres f en bsorptionskonstnt på K 1,8 timer -1. Biotilgængeligheden, ltså den ndel som reelt kommer ud i blodet, f prcetmol er F,89. Bemærk, t ntgelsen om, t K >K, er opfyldt. Det betyder, t prcetmol optges hurtigere i blodet, end det fjernes. Ud fr de tl, der lige er oplyst for prcetmol, er det muligt t beregne koncentrtionen som funktion f tiden på bggrund f ligning (8 og (9. Grfen f koncentrtion over tid kldes en koncentrtionsprofil, og i figur 4 er de vist for både IV og orl dosering. 122 Mtemtiske Horisonter

10 Konc. (mg/l 2 1 Konc. (mg/l 2 1 t mx C mx Timer Timer Figur 4. Koncentrtionsprofiler ved først IV og dernæst orl dosering f 1 mg prcetmol. Koncentrtionsprofilerne kn også med fordel vises med nturlig logritmisk skl på y-ksen. Det gør det muligt t flæse -K direkte som hældningen på linjen ved IV-dosering. Ved orl dosering findes -K som hældningen på den sidste del f kurven, der minder mest om en ret linje. Grunden til t mn kn flæse K på den sidste del f linjen skyldes, t bsorptionen er helt færdig på det tidspunkt, så der kun er medicin tilbge i blodet. 5 5 Konc. (mg/l 2 5 Δ(ln C Konc. (mg/l 2 5 Δ(ln C 2 Δt 2 Δt Timer Timer Figur 5. Koncentrtionsprofiler på log-skl ved IV og orl dosering. Hældning på linjen, der er lig med elimintionskonstnten med modst fortegn, er givet ved Δ(ln C K Δt (1 I figur 5 ses, hvordn -K flæses fr de to grfer. Det er også muligt t flæse K, men dette kræver en mere besværlig procedure, som ikke vil blive gennemgået her. Eksempel 2: Elimintionskonstnten kn beregnes fr koncentrtionsprofilen for orl dosering vist i figur 5 ved flæsning f følgende værdier Δ(ln C ln 3 ln 7,5 K,35 timer Δt 7 timer 4 timer hvilket er meget tæt på den rigtige værdi for K. 1 Mtemtiske Horisonter 123

11 Bestemmelse f mksimumkoncentrtion I mnge tilfælde er det vigtigt t kende den mksimle koncentrtion, et stof kn opnå ved en given dosis, smt hvornår denne koncentrtion nås. For IV-dosering vil den mksimle koncentrtion opnås, lige efter medicinen er givet, og den beregnes som A C IV mx V (11 Eksempel 3: Den mksimle koncentrtion ved IV-dosering f 1 mg prcetmol bliver 1 mg 42 liter C IV mx V A 23,8 mg liter For orl dosering vil koncentrtionen først toppe efter et stykke tid på grund f bsorptionen. Tidspunktet for den mksimle koncentrtion (t mx kn findes ved t differentiere ligning (9 med hensyn til t og sætte udtrykket lig. Ved t differentiere (9 får mn 2 dc K FA KK FA exp( K t exp( K t dt V ( K K V ( K K (12 For t finde t mx sættes ligning (12 lig og løses for tt mx 2 K FA exp( K V ( K K t mx KK V ( K FA exp( K t K mx (13 Brøken KFA V ( K K går ud på begge sider, og tilbge hves K exp( K t mx K exp( K t K exp( K t K exp( K t mx mx exp( K t mx mx K t mx (14 Ved t tge den nturlige logritme på begge sider fås som giver K ln K t K t mx K mx K 1 K ln K K t mx (15 (16 Når tidspunktet for den mksimle koncentrtion kendes, kn selve den mksimle koncentrtion findes ved t indsætte t mx i udtrykket for C(t, hvilket kn reduceres til 124 Mtemtiske Horisonter

12 C orl mx FA V exp( K t mx (17 Eksempel 4: Tiden til den mksimle koncentrtion ved orl indtgelse f 1 mg prcetmol kn bestemmes som t mx K 1,8 timer 1,19 timer 1 K ln K K 1 1,3 timer 1 1,8 timer ln,3 timer og dermed fås den mksimle koncentrtion til 1 1 FA C orl mx exp( Ktmx V,89 1mg exp(,3 1,19 14,83mg 42L L OPGAVER 1 Vis ved t differentiere, t ligning (4 er løsning til differentilligningen i ligning (3. 2 Prøv selv t opstille udtrykket i ligning (17. Tip: Indsæt ligning (16 i ligningen for C(t mx, og brug ligning(14 til t forkorte. Flere hovedpinepræprter medfører vrige leverskder ved indtgelse f for store koncentrtioner. Med mtemtiske modeller kn mn bl.. beskrive, hvordn koncentrtionen f medicin i kroppen udvikler sig over tid. Mtemtiske Horisonter 125

13 Hlveringstid En vigtig egenskb, når der tles om medicin, er dets hlveringstid. Hlveringstiden (t ½ er defineret som den tid, der går, inden kroppen hr elimineret hlvdelen f stoffet i blodet. Det er lettest t bestemme hlveringstiden, når der ikke bliver tilført ny medicin til blodet, så det gøres lettest ud fr et IV-forsøg. Eksempel 5: Hvis mn strter med 1 % og venter 4 hlveringstider, vil der være 1 % (1/2 4 6,25 % tilbge i blodet. Vi kn bruge ligning (4 til t finde hlveringstiden for en IV-dosering. For tt ½ fås A( t1/ 2 A exp( K t1/ 2 (18 Og d hlvdelen f medicindosen er tilbge efter en hlveringstid, gælder det, t 1 A (19 A exp( K t1/ 2 2 Udtrykket forkortes, og den nturlige logritme tges på begge sider, hvilket giver t 1 / 2 ln 2 K I prksis bruger mn også ligning (2 om hlveringstiden ved orl dosering, d elimintionen fr blodet styres f det smme system. Reelt skl mn dog være opmærksom på, t det først gælder, efter t bsorptionen er ophørt. (2 Eksempel 6: Hlveringstiden for prcetmol kn beregnes som ln 2 ln 2 t1 / 2 2,31timer 2 timer og19 min 1 K,3 timer Behndlingsvindue Når mn åbner en pkke hovedpinepiller med prcetmol og læser vejledningen som omtlt tidligere, vil der typisk stå, t en voksen må spise 1g prcetmol 3-4 gnge dgligt, dog mx 4g dgligt. Ved t sluge pillerne på tidspunkter fordelt over hele dgen opnår mn, t der hele tiden er et vist niveu f prcetmol til stede i kroppen. En potentiel frlig sitution kn opstå, hvis mn tger lle pillerne på smme tid. Mn ved, t prcetmol kn medføre lvorlige og vrige skder på leveren, hvis koncentrtionen bliver for høj. Allerede omkring en koncentrtion på 1 mg/liter er der øget risiko for 126 Mtemtiske Horisonter

14 leverskde. På den nden side er det også klrt, t hvis koncentrtionen bliver for lv, er der ingen smertestillende virkning. For prcetmol kn mn gå ud fr, t feberreduktion opnås ved koncentrtioner over 5 mg/l, mens smertestillende virkning kn først opnås ved en koncentrtion på omkring 1 mg/l. Mn betegner disse grænser som medicinens behndlingsvindue, dvs. de grænser mn skl holde sig inden for for t sikre en effekt, men smtidig undgå bivirkninger. Ved hjælp f formlen for mksimumkoncentrtionen ved orl dosering i ligning (17 er det muligt t bestemme den mksimle koncentrtion, der opnås efter indtgelse f flere piller med prcetmol smtidigt. I figur 6 er koncentrtionsprofilen vist på nturlig logritmisk skl for doserne f 1g og 8g, der svrer til henholdsvis den nbeflede dosis og dobbelt mksimle dglig dosis indtget på en gng. Fr figuren ses, t ptienter først ved indtgelse f dobbelt dglig dosis på en gng kommer i frezonen for leverskder. Det kn også ses ud fr figuren, t grænserne for feberreduktion (5 ml/l og smertestillende virkning (1 ml/l er nået ved indtgelse f en enkelt pille på 1 grm, og t koncentrtionen flder under grænserne igen efter henholdsvis 5½ og 3 timer. Konc. (mg/l g 1g Timer Figur 6. Koncentrtionsprofiler for prcetmol i forhold til behndlingsvinduet. Ved norml brug f hovedpinepiller kommer mn ikke i nærheden f grænsen for øget risiko for leverskde, men for ptienter, som hr leverskde, er situtionen nderledes. Deres nedstte leverfunktion gør, t prcetmol elimineres lngsommere fr kroppen. D ptienterne llerede hr leverskde, skl de nødig udsættes for yderligere skder på leveren, så ved dosering f prcetmol til leverptienter skl mn være meget vrsom. OPGAVE Hvd bliver mksimumkoncentrtion f prcetmol for en leverptient? Antg, t leverfunktionen er stærkt nedst, så hlveringstiden er dobbelt så lng som hos et rskt menneske. Udregn først den nye elimintionskonstnt, og brug så den til t bestemme den mksimle koncentrtion. Mtemtiske Horisonter 127

15 Multipel dosering I mnge situtioner er det ikke nok for en ptient t hve virkning f medicin i det tidsrum, en enkelt pille eller en enkelt IV-dosis er ktiv i kroppen. I nogle tilfælde kn mn forlænge virkningen ved t give en højere dosis første gng, men d meget høje koncentrtioner kn give bivirkninger, er det sjældent den bedste metode. En nden mulighed for t forlænge virkningen er ved t give en såkldt konstnt infusion, hvor der tilføres medicin med en konstnt hstighed vi et drop direkte ind i blodbnen. Dette er den bedste måde til t kontrollere tilførslen f medicin, men ptienten behøver hjælp for t kunne bruge denne metode, så den nvendes udelukkende på hospitler. Det mest lmindeligt brugte lterntiv er t tge flere piller med et fst intervl. Denne form for medicinering kldes multipel dosering. Her er det igen vigtigt t være sikker på, t mn ikke tger dem så ofte, t mn får bivirkninger på grund f en overdosis, men smtidigt dog er omkring den ønskede koncentrtion i blodet. Når mn foretger multipel dosering, vil mn normlt give den næste pille, før det tidligere medicin er helt ude f kroppen. Derved får mn en ophobningseffekt, hvor koncentrtionen efter et stykke tid vil begynde t svinge omkring et middelniveu. Dette middelniveu kldes også stedy stte koncentrtionen eller C SS, og den opstår, når den tilførte mængde medicin er lig med den mængde, der elimineres fr kroppen. For t bestemme stedy stte niveuet må mn først se på, hvor meget der i gennemsnit tilføres til blodet. Hvis der gives et ntl piller med dosis A med et intervl τ, og vi ved, t kun brøkdelen F når blodet, vil den gennemsnitlige tilførselsrte R ind blive F A R ind (21 τ Vi ved ifølge ligning (3, t der bliver fjernet mængden K A pr. tid. I stedy stte skl det være lig R ind, d den tilførte mængde medicin skl være lig den eliminerede mængde. Ved t bruge den viden og ligning (1 fås R K A K V ind C ss (22 Ved t isolere C SS og bruge R ind fr ligning (21 fås C SS Rind K V F A τ K V Ved indtgelse f flere piller med prcetmol i løbet f en dg vil der også her ske en ophobning f stoffet i kroppen som følge f hlveringstiden på over to timer. Ptienten vil derfor opnå højere C mx værdier smmenlignet med indtgelse f en enkelt dosis. Hvis der eksempelvis tges en dosis på 1 mg hver 4. time, vil koncentrtionen svinge omkring c. 17 mg/l, hvilket skl ses i forhold til eksempel 4, hvor C mx for en enkelt dosis på 1 mg blev bestemt til c. 15 mg/l. 128 Mtemtiske Horisonter

16 Eksempel 7: Stedy stte niveuet for prcetmol ved t tge en pille på 1 mg hver 4. time beregnes som C SS R K V F A τ K V,89 1 mg 17,66 mg 1 4 timer,3 timer 42 L ind L Hvis mn i stedet for tger pillen hver 6. time beregnes stedy stte niveuet som C SS R K V F A τ K V,89 1 mg 1 6 timer,3 timer 42 L ind 11,77 mg L Det er reltivt ligetil t bestemme koncentrtionsprofilen ved multipel dosering, når mn på forhånd hr fundet profilen for en enkelt orl dosis. Efter dosis nummer to beregnes den smlede koncentrtion som summen f bidrget fr den første og den nden dosis og fr lle følgende doser. På den måde bliver den smlede koncentrtionsprofil en sum f de enkelte koncentrtionsprofiler, hvor hver er forskudt med tiden mellem indtgelse f medicinen. Mtemtisk kn den smlede koncentrtionsprofil C MD skrives som N orl orl orl orl CMD ( t C ( t t1 + C ( t t2 + K+ C ( t t N C ( t ti i 1 (23 hvor t 1, t 2, t 3,, t N er de N doseringstidspunkter, og C orl (t er som defineret i ligning (9, hvor der gælder den nturlige begrænsning, t C orl (t når t <. I figur 7 er koncentrtionsprofilerne fr de to doseringsintervller i eksempel 7 for 1g tget 4 gnge med enten 4 eller 6 timers mellemrum vist, hvor de begge er beregnet ved summen f forskudte profiler. Den vndrette stiplede linje i figuren viser det beregnede stedy stte niveu, mens den stigende stiplede linje viser, hvordn koncentrtionen ville stige i ptienten, hvis den tilførte mængde blev givet ved konstnt infusion i stedet for som her med piller. Konc. (mg/l 2 1 Konc. (mg/l Timer Timer Figur 7. Koncentrtionsprofil ved multipel dosering f 1g prcetmol 4 gnge. Mtemtiske Horisonter 129

17 Det kn vises, t mn ved fortst multipel dosering vil nå i nærheden f stedy stte niveuet efter 3-4 hlveringstider ufhængigt f doseringsintervllet. I eksempel 6 blev hlveringstiden for prcetmol bestemt til 2 timer og 19 minutter, så her vil det forventes t nå i nærheden f stedy stte niveuet i løbet f 7-9 timer. Ud fr de to koncentrtionsprofiler i figur 7 virker dette gnske rimeligt. Et nturligt mål ved multipel dosering med prcetmol vil være t holde ptienten smertefri i en kortere eller længere periode. Hvis mn går ud fr grænsen om 1 mg/l for smertestillende virkning, kn mn ved t studere de to profiler se, t der er nødvendigt t tge medicinen hver fjerde time for t holde sig over denne grænse. Mn skl dog huske, t der kun bør tges i lt 4g i løbet f et døgn. Hvis mn vil fordele virkningen jævnt over 24 timer, er det derfor nødvendigt t dosere med 6 timers mellemrum og så leve med en mindre virkning i nogle perioder eller evt. t benytte en nden medicin som supplement. Fr en sikkerhedsmæssig synsvinkel kn koncentrtionsprofilerne også bruges til t undersøge, hvor meget koncentrtionen svinger omkring de beregnede stedy stte niveuer. I de to viste tilfælde ses, t de mksimle koncentrtioner ikke når i nærheden f den øvre grænse f behndlingsvinduet, som det blev beskrevet tidligere. Det er dog vigtigt t pointere, t der er ndre bivirkninger, som mn ikke kn kortlægge ved hjælp f koncentrtionsprofilen, og derfor er det ltid vigtigt t følge vejledningen i pkken. Dette kpitel hr beskrevet nogle f de grundlæggende koncepter inden for mtemtisk modellering f medicin i kroppen. Ved nlyse f dt fr rigtige medicinske forsøg er det også nødvendigt t opstille modeller for måleusikkerheden og for den nturlige vrition mellem personer. Dette kræver et vist kendskb til sttistik, men det er smtidigt lige så vigtigt t hve et godt fundment inden for fysiologi og frmkologi. Denne tværfglige kombintion er med til t fremme udviklingen f mere præcise modeller, der i sidste ende vil komme ptienten til gode. OPGAVER 1 Middelprofilen ved multipel dosering er givet ved C(t R ind /(K V(1-exp(-K t. Vis, t den vil tilnærme sig C SS efter et stykke tid. Hint: Se hvd der sker, når t bliver meget stor. 2 I teksten bliver det nævnt, t mn når 9 % f C SS efter 3-4 hlveringstider. Bestem ved hjælp f formlen fr øvelsen ovenover præcist, hvornår det ifølge teorien sker. 13 Mtemtiske Horisonter

18 Artiklens forfttere Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir Ph.d-studerende Søren Klim Ph.d-studerende Stig Mortensen Professor Henrik Mdsen Mtemtiske Horisonter 131

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE MEDDELELSE NR. 057 Med % benzoesyre i foder til smågrise er det muligt t nedbringe niveuet f kobber i foderet mrknt og smtidig bevre smme produktivitet

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery ANALYSEOPGAVE Feelgood Bkery Kommuniktion: Helene, Loiuse, Pernille og Ndi Gruppe 14 Hvem er fsenderen? - Glutenfri bgerbrød - Christine og Louise Krogh Hvem er målgruppen? - Gluten llergikere og helsefreks

Læs mere

PROGRAMKATALOG. RULL-PROJEKT I OMRÅDE Skanderborgvej. Ny institution på Vestermarken. Sommer 2013 13.06.2013

PROGRAMKATALOG. RULL-PROJEKT I OMRÅDE Skanderborgvej. Ny institution på Vestermarken. Sommer 2013 13.06.2013 PROGRAMKATALOG RULL-PROJEKT I OMRÅDE Sknderborgvej Ny institution på Vestermrken Sommer 2013 136.2013 PROGRAMKATALOG Indhold Byrådsbeslutning...3 Arhus Kommunes Pædgogiske Rmmesætning...4 De 6 tænketnksprincipper...

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

K9-K10 projekter i strukturel mekanik

K9-K10 projekter i strukturel mekanik April 2006 K8 Studerende K9-K10 projekter i strukturel meknik K8-studerende med interesse i t lve K9 eller K10 projekter inden for områderne Strukturel dynmik og erodynmik f store konstruktioner Aeroelsticitet,

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Et liv uden styrende rusmidler. Fylder alkohol for meget?

Et liv uden styrende rusmidler. Fylder alkohol for meget? Et liv uden styrende rusmidler Fylder lkohol for meget? 2 Novvis tilbud Novvi vretger blndt ndet lkoholbehndlingen for mnge f kommunerne på Sjællnd. Foregår mbulnt uden indlæggelse, så du kn psse dine

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund Forskønnelsesplnen Det Nye Furesølund Furesølund er trods sine mere end 40 år stdig et ttrktivt område. Men dmen er lidt slidt. Legepldserne flder smmen. Rækværket flmer, og grønne områder står gemt og

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

ØVELSE 4. Ex_4 DATA MYSAS.SAMDATA; SET MYSAS.DATA85 MYSAS.SUPDATA;

ØVELSE 4. Ex_4 DATA MYSAS.SAMDATA; SET MYSAS.DATA85 MYSAS.SUPDATA; ØVELSE 4 I denne øvelse får du lige først et fsnit om, hvordn mn sætter dtsæt smmen. Du kn få brug for dette ved den sidste øvelse i denne uge og ellers er det generelt en nyttig ting t kunne i SAS. Desuden

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Organurog søvn, psyke

Organurog søvn, psyke Orgnurog søvn, psyke Flow / orgn ur Lunge (03-05) Tyktrm (05-07) Milt (09-11) Mve (07-09) Hjerte (11-13) Tyndtrm (13-15 Nyre (17-19) Urinblære (15-17) Perikrdium(19-21) Snjio(21-23) Lever (01-03) Gldeblære

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 23. novemer 20 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere