Projekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer

Transkript

1 Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne) Indhold 1. Linerisering f eksponentielle smmenhænge Linerisering f potenssmmenhænge Richter-sklen et mål for hvor krftige jordskælv er ph-sklen et mål for hvor stærke syrer og bser er Decibel-sklen et mål for lydstyrke... 6 Logritmefunktioner kn komprimere enorme og uoverskuelige intervller f tl, f tllene fr 1 til 100 millirder, og ekspndere meget små tlområder f tllene fr 0,00001 til 1, så det smlet bliver små og overskuelige områder. I dette tilfælde henholdsvis intervllet fr 0 til 11, og intervllet fr -5 til 0. Disse intervller skrives symbolsk således:. 0;11 og 5;0 Øvelse 1. Log-funktionen kn ekspndere og komprimere intervller Argumenter for påstnden, t logritmefunktionen trnsformerer intervllet fr 1 til 100 millirder til intervllet fr 0 til 11. (Hint: tænk på eksponentiel nottion). Argumenter for påstnden, t logritmefunktionen trnsformerer intervllet fr 0,00001 til 1 til intervllet f tl fr -5 til 0. (vink: tænk på eksponentiel nottion). Denne egenskb udnyttes f en række fg, der håndterer fænomener, hvor de vrible hr tlværdier fr meget små til enorme tl. Logritmeregnereglerne giver også mulighed for t trnsformere eksponentielle modeller og potensmodeller til lineære udtryk. Det er eksempler på en mere generel metode, der kldes linerisering, og som går ud på t omforme komplicerede udtryk og grfiske smmenhænge, vi ikke umiddelbrt kn overskue, til udtryk, der er mere overskuelige og lettere t genkende. Lineære smmenhænge udmærker sig frem for lle ndre vribelsmmenhænge ved, t vi med øjet kn identificere disse. I kpitel 5 om Potensmodeller så vi eksempler på en trnsformtion f dt over plneters omløbstid om Solen og deres fstnd fr Solen, der resulterede i, t der fremkom en lineær smmenhæng. Denne linerisering skete ved t opløfte de to sæt f dt i hver sin potens. Vi kunne også hve vlgt t lve en logritmisk trnsformtion f de to dtsæt, og så se, hvordn det grfiske billede er f de trnsformerede dt. Denne teknik vil vi nu demonstrere generelt i de to tilfælde: Eksponentielle smmenhænge og potenssmmenhænge. 1

2 1. Linerisering f eksponentielle smmenhænge. Vi hr givet en eksponentiel udvikling: y b, som vi omskriver ved hjælp f log: log( y) log( b ), Anvend log på begge sider log( y) log( b) log( ) Udnyt logritmeregel 1 log( y) log( b) log( ) Udnyt logritmeregel 3 (I) log( y) log( ) log( b) Roker rundt Nu omdøbes de vrible således: betegnes Y, log( ) betegnes B, log( ) betegnes A, og med de nye betegnelser bliver (I) til:. Dette genkender vi som en lineær smmenhæng mellem Y og. Konklusionen smmenfttes i følgende log( y) Y A B b Sætning 1 Logritmisk trnsformtion f eksponentielle smmenhænge En eksponentiel smmenhæng mellem de vrible og svrer til en lineær smmenhæng mellem den vrible og den trnsformerede vribel. Dette betyder, t grfen for en eksponentiel smmenhæng bliver til en ret linje, hvis vi tegner den i et enkelt-logritmisk koordintsystem, hvor 2. ksen er en logritmisk skl Bemærkning: Når et tl y fsættes på en logritmisk skl, betyder det, t fstnden fr y ned til 1. ksen er lig med log( ), målt i en pssende enhed. y Øvelse 2. Eksponentiel model for insektpopultions udvikling Tbellen viser udviklingen i ntllet f insekter i popultionen i en periode på 60 døgn. Antl døgn ( ) Antl insekter ( ) I en model ntger vi, t ntllet f insekter i popultionen som funktion f tiden kn beskrives ved en eksponentiel udvikling y b, hvor er ntllet f insekter til tiden målt i døgn. y ) Bestem og b ved eksponentiel regression. b) Tilføj en række til tbellen, hvori log( y ) udregnes. y c) Udfør nu en lineær regression på de smmenhørende værdier f og log( y ), og undersøg om lineriseringen f denne eksponentielle udvikling stemmer overens med teorien ovenfor. 2

3 2. Linerisering f potenssmmenhænge. Vi hr givet en potensudvikling: y b, som vi omskriver ved hjælp f log: log( y) log( b ) Anvend log på begge sider log( y) log( b) log( ) Udnyt logritmeregel 1 log( y) log( b) log( ) Udnytter logritmeregel 3 (II) log( y) log( ) log( b) Roker rundt Nu omdøbes de vrible således: betegnes Y, log( ) betegnes B, log( ) betegnes X, og med de nye betegnelser bliver (II) til:. Dette genkender vi som en lineær smmenhæng mellem Y og X. Konklusionen smmenfttes i følgende log( y) Y X B b Sætning 2 Logritmisk trnsformtion f potenssmmenhænge En potens smmenhæng mellem de vrible og svrer til en lineær smmenhæng mellem den trnsformerede vribel og den trnsformerede vribel. Dette betyder, t grfen for en potens smmenhæng bliver til en ret linje, hvis vi tegner den i et dobbelt-logritmisk koordintsystem, hvor både 1. og 2. ksen er logritmiske skler. Bemærkning: Når et tl fsættes på en logritmisk skl, betyder det, t fstnden fr ind til 2. ksen er lig med log( ), målt i en pssende enhed. Øvelse 3. Potenssmmenhængen mellem plneternes fstnd til solen og deres hstighed Tbellen viser nogle plneters fstnd til og gennemsnitshstighed i deres bne omkring solen. Afstnden til solen er ngivet i AE (stronomisk enhed). Plnet Merkur Venus Jorden Mrs Jupiter Sturn Afstnd (AE) 0,387 0,723 1,000 1,524 5,203 9,555 Gennemsnitshstighed (km/s) 47,89 35,03 29,73 24,13 13,06 9,64 I en model ntger vi, t gennemsnitshstigheden (målt i km/s) som funktion f fstnden (målt i AE) kn beskrives ved en potensudvikling y = b, hvor y er gennemsnitshstigheden (målt i km/s), og er fstnden (målt i AE). ) Bestem og b ved potensregression. b) Tilføj to rækker til tbellen, hvori logritmen til -værdierne hhv. log( y ) udregnes. c) Udfør nu en lineær regression på de smmenhørende værdier f logritmen til -værdierne og log( y ), og undersøg om lineriseringen f denne potensudvikling stemmer overens med teorien ovenfor. Vi vil nu præsentere tre spektkulære nvendelser f linerisering og logritmiske koordintsystemer: Richtersklen for jordskælv, ph sklen for syre og bsers styrke, og decibelsklen der måler lydstyrke 3

4 3.1 Richter-sklen et mål for hvor krftige jordskælv er Et jordskælvs styrke bliver ltid ngivet med et tl fr Richtersklen. Denne skl blev udviklet i 1935 f Chrles F. Richter og ndre meriknske geologer til t smmenligne styrken f forskellige jordskælv. Den grundlæggende ide vr t omregne udsvinget på en seismogrf til, hvd dette udsving ville være, hvis seismogrfen befndt sig 100 km fr jordskælvets epicenter. Herefter blev det mksimle udsving i denne bestemte fstnd ved hjælp f en logritmisk formel omregnet til et tl, der netop er det tl, vi siden hr kldt Richtertllet. Sklen f Richtertl vr konstrueret således, t jordskælv f styrke 7 på Richtersklen giver 10 gnge så store udsving, som jordskælv f styrke 6. Og den energi der udløses f jordskælv, når vi går et trin op på Richtersklen vokser endnu mere drmtisk. Ved et jordskælv f styrke 7,0 udløses en energi ved overflden, der er c. 30 gnge større end ved jordskælv f styrke 6,0. Den dnske geolog Inge Lehmn ( ) vr en f pionererne i rbejdet med t forstå, hvordn bølgerne fr jordskælv udbredes gennem Jorden. I sine studier i 1930 erne, hvor hun smmenlignede og berbejdede dt fr mnge hundrede jordskælv det vr i tiden før computere indså hun, t en række f måleresultterne ikke kunne forklres inden for den hidtidige opfttelse f Jordens opbygning. De mnge dt kunne ikke bortforklres, så teorien om Jordens opbygning måtte lves om. I en rtikel fr 1936 med den korte titel: P` fremlgde hun som den første en ny og siden nerkendt teori om, t Jordens kerne består f to dele, en indre fst og en ydre flydende del. Inge Lehmn blev 104 år og skrev sin sidste videnskbelige rtikel som 99-årig. Energien er ngivet med enheden Hiroshimbomber(!) og vi ser en stejlt stigende kurve. Prøv, t lve en tbel, hvor logritmen til tllene udregnes. Hvd ser vi? 4

5 3.2 ph-sklen et mål for hvor stærke syrer og bser er I kemi nvendes en logritmisk skl, der kldes ph-sklen, til t ngive om en bestemt opløsning er sur (som vi kender fr citrusfrugter eller fr mvesyre, hvis mn hr prøvet t kste op), eller om den er bsisk (som mn kender fr sæbe og stærke rengøringsmidler som mmonik). Rent teknisk finder mn ph værdien som: phlogh3o For lmindeligt rent vnd er koncentrtionen H3O , hvor HO, så derfor er: 3 er koncentrtionen f 3 HO -ioner. ph vnd log H O log 10 ( 7) 7 7 er således det neutrle sted på ph-sklen. Ionkoncentrtionerne for forskellige opløsninger svinger fr forsvindende små tl som f ved mmonikopløsninger, hvor den er mindre end er mellem 0,1 og 1. Logritmefunktionen komprimerer intervllet så det bliver overskueligt til sltsyre, hvor den er den ph-tl over 7 svrer til bsiske opløsninger. ph-tl under 7 svrer til syregtige opløsninger. ph for lmindelig kffe er 5,0, for øl er det 4,5 og for col 2,5. Vi bogens website er der dgng til et projektmterile om ph, gerne i et smrbejde mellem mtemtik og kemi i studieretningen. ph-sklen blev udviklet f de dnske kemikere S.P.L. Sørensen og Johnnes Brøndsted, mens de rbejdede som forskere på Crlsberg. Den omtles første gng i en rtikel f S.P.L. Sørensen fr

6 3.3 Decibel-sklen et mål for lydstyrke Lyd forplnter sig gennem luften fr en lydkilde til vores ører vi svingninger. En højtlers membrn sætter luften i svingninger, og når disse rmmer vores trommehinder, sættes disse i tilsvrende svingninger, så vi kn opftte musikken, som den blev spillet. Står mn tæt ved højtlerne under en rockkoncert, kn mn rent fysisk mærke disse svingninger i luftens molekyler som et pulserende lydtryk på kroppen. Lydtrykket kn måles, og det intervl vores ører kn opftte er enormt fr de svgeste lyde til et lydtryk, der er mere end gnge så stort. 10 Lydtrykket måles normlt i en enhed, der kldes decibel, hvor det fktiske lydtryk, vi kn opftte, er logritmisk trnsformeret til en skl fr 0 til c. 150 (men i virkeligheden uden en øvre grænse). 10 De lveste værdier, unge mennesker kn opftte, hr et lydtryk på 20 mikro-pscl. Det er lyden f et bld, der glider hen over nogle fliser. På decibelsklen sættes dette til db svrer til en hvisken, 80 db svrer til en trfikeret gde, 110 til en rockkoncert. Hver gng vi går 20 DB frem på db-sklen, så stiger lydtrykket med en fktor 10. Vi bogens website kn mn finde yderligere mterile om støj, lyd og decibel 6