Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Transkript

1 Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær Eksponentiel Potens Når vi estemmer regneforskriften for den lineære funktion, hvis grf går gennem punkterne (-6,-1) og (1,8), så er en f metoderne, t indsætte tllene og løse 8 1 y x med hensyn til og Når vi estemmer regneforskriften for den eksponentielle funktion, hvis grf går gennem punkterne (,3) og (10,5), så er en f metoderne, t indsætte tllene og løse y med hensyn til og x 5 3 Når vi estemmer regneforskriften for den potens funktion, hvis grf går gennem punkterne (9,6) og (100,0), så er en f metoderne, t indsætte tllene og løse y x med hensyn til og Sådnne ligningssystemer kn normlt løses på et værktøj med en solve-kommndo Øvelse 1 Løs ovenstående tre ligningssystemer i et CAS-værktøj Ligningssystemerne ovenfor kn også løses i hånden, hvor metoden er t skffe den ene uekendte f vejen først, så mn kun hr én ligning med én uekendt Denne løses så, og resulttet indsættes i en f de oprindelige ligninger hvorved vi kn finde den nden uekendte Denne metode kldes sustitutionsmetoden, eller indsættelsesmetoden Øvelse Repeter, hvordn mn løser de tre ligningssystemer i hånden, og gennemfør udregningerne x I de sidste to ligningssystemer indgår de specielle funktioner og x Vi kn møde ndre ligninger, hvor funktioner som ln og cos indgår I ogens fsnit 83 omtlte vi sådnne ligninger, der hurtigt kn live meget vnskelige t løse I de to tilfælde, vi her ser på, går det dog godt Men vi vil i det følgende koncentrere os om den første type, som kldes for lineære ligningssystemer og specielt undersøge den løsningsmetode, der hedder lige store koefficienters metode

2 1 Formelregning - lige store koefficienters metode Dette er en meget krftfuld metode til ligningsløsning: Den kn generliseres til n ligninger med n uekendte, og det er en metode der kn sættes på en formel, hvilket vi vender tilge til på A-niveu under emnet: Vektorregning Smtidig hr metoden den store fordel frem for indsættelsesmetoden, t mn ikke drukner i røkregningsfejl Koefficienter er de tl, der står forn de uekendte I 8 1 er koefficienten til 1 i den øverste og -6 i den nederste ligning Koefficienterne til er i egge ligninger 1 Dvs her hr vi et ligningssystem, hvor de to koefficienter til den uekendte llerede er lige store Så kn skffes f vejen ved ledvist t trække den nederste ligning fr den øverste: ( 6 ) og vi ser, t går ud Tilge er den simple ligning:, der giver I dette tilfælde findes lettest ved t indsætte, fx i den øverste ligning Så får vi: 8 1 0, ,5 Følgende eksempel viser hvorledes denne metode kn generliseres Vi skl løse: 8x y 10 5x 3y 36 Det er ligegyldigt hvilken f de uekendte vi først skffer f vejen Ld os se på y: 3 8x 3 y x 3y 36 4x 6y 30 10x 6y Gnger første ligning igennem med 3 og nden ligning med, så koefficienterne til y egge steder live 6, men med modst fortegn Reducerer x Lægger ligningerne smmen ledvist x 3 Isolerer 34 Vi kn nu indsætte i den første ligning og finde y Men vr tllet x en røk, kunne det være esværligt I stedet kunne vi så estemmey ved t gentge processen: x 3 5 8x 5 y x 8 3y x 10y 50 40x 4y Skffer x f vejen ved t gnge første ligning med 5 og nden ligning med 8 Reducerer y Trækker ligningerne fr hinndenledvist 38 y 7 Isolerer 34 Konklusion: x 3 og y 7 Mn kn lve kontrol ved t indsætte x og y, og se t ligningerne stemmer: Øvelse 3 Løs følgende ligningssystem med nvendelse f lige store koefficienters metode: y 3 x 55

3 Grfisk repræsenttion og grfisk løsning En ligning f typen 6x y 5 med to ukendte (to vrile) x og y kn opfttes som en ligning for en ret linje, idet vi kn omskrive til y,5 Øvelse 4 Ligningen: y,5 er en lineær smmenhæng Hvis vi tænker på de to vrile som den ufhængige og den fhængige vrile i et koordintsystem, hvilken linje svrer denne ligning så til? Hvordn fgør vi, om et punkt ligger på linjen eller ikke ligger på linjen? Giv selv nogle tleksempler Øvelse 5 Flere strtegier i ligningsløsning - formelregning, grfisk og rug f solve Betrgt følgende ligningssystem: x 9y 41 4x 13 Hvilke linjer svrer de to ligninger til? Hvd er den grfiske etydning f t løse ligningssystemet? Løs ligningssystemet grfisk c) Løs ligningssystemet med nvendelse f lige store koefficienters metode d) Løs ligningssystemet med rug f en solve-kommndo Øvelse 6 Prøv t løse følgende ligningssystemer grfisk, med rug f en solve-kommndo og med lige store koefficienters metode: 6x y 8 1 y 9x 15y 3 Giv en egrundelse for resultterne Prxis: Regel ved løsning f ligningssystemer: Skl vi estemme to ukendte størrelser, skl vi hve to forskellige oplysninger Skl vi estemme tre ukendte størrelser, skl vi hve tre forskellige oplysninger Skl vi estemme n ukendte størrelser, skl vi hve n forskellige oplysninger Men hvd er forskellige oplysninger I øvelsen ovenfor vr de to oplysninger i nr i virkeligheden ikke forskellige Hvis den ene oplysning kn fås ud fr den nden ved t gnge eller dividere eller på nden måde ruge reglerne for løsning f ligninger, så hr vi ikke fået en ny oplysning Selv om vi hr forskellige oplysninger, er det ikke sikkert t ligningssystemet kn løses Oplysningerne kn stride mod hinnden Det så vi i øvelsen ovenfor Det er normlt ikke en fordel t hve flere oplysninger end der er ukendte x = og x = 7 er to ligninger med én ukendt, og der er klrt nok ingen løsning Øvelse 7 Tre ligninger med to uekendte Tre lineære ligninger med to ukendte vil sjældent kunne løses Kn du ved t se på den grfiske repræsenttion forklre hvorfor

4 3 Opgver Opgve 1 Løs følgende ligningssystemer med sustitutionsmetoden 1 x- y= 1 Opgve Løs følgende ligningssystemer med lige store koefficienters metode x- 1y= x- y= x+ 5y= 0 Opgve 3 Løs følgende ligningssystemer med lige store koefficienters metode 10x+ 7y= x+ 3y= 9 Opgve 4 Løs følgende ligningssystemer grfisk 1-8 Opgve 5 Løs følgende ligningssystemer grfisk y= 17x- 11y= - x+ 8 y= 100 4x- 4y= 0 y= y= 5x x= 10- x= y y Opgve 6 Peter holder åent hus med grtis morgenmd til kmmerterne Hn hr sendt lilleror til geren efter 1 rundstykket og 8 sser De kostede 150 kr Der dukker imidlertid flere op end forventet, så lilleror må f sted igen, denne gng efter 1 sser og 6 rundstykker Det kostede 147 kr Hvd kostede i grunden et rundstykke og en sse? Opgve 7 Ved et ridestævne vr der i lt, hvor vi tæller åde mennesker og heste, 190 en og 68 hoveder Hvor mnge heste og hvor mennesker vr der? Opgve 8 I en regneog fr 1608 står følgende opgve: Hvis jeg giver 7 cents til hver f tiggerne uden for døren, ville jeg hve cents tilge til mig selv Jeg mngler 3 cents i t kunne give tiggerne 9 cents hver Hvor mnge tiggere er der, og hvor mnge cents hr jeg?

5 Opgve 9 I Fionccis regneog (Lier Aci) fr 10 findes følgende opgve: Tre mænd fndt en pung indeholdende 3 dinrer Den første mnd sgde til den nden: Hvis jeg tger denne pung hr jeg doelt så mnge penge som du hr Den nden mnd sgde til den tredje: Hvis jeg tger denne pung vil jeg hve tre gnge så mnge penge som du hr Den tredje mnd sgde til den første: hvis jeg tger denne punge vil jeg hve 4 gnge så meget som du hr Hvor mnge penge hvde hver f dem?