Taylors Formel og Rækkeudviklinger

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Taylors Formel og Rækkeudviklinger"

Laurits Steffensen
7 år siden
Visninger:

1 Tylors Formel og Ræeuviliger Køge Gymsium Ole Wi-Hse

2 Iol. Tylors ormel... Ræeuviliger or e.. Ræeuviliger or si og cos.. Ræeuviliger or l... Ræeuviliger or + α 6. Ræeuviliger or si - og -..6

3 Tylors Formel. Tylors ormel For ulee Tylors ormel sl vi vee ogle resuler r lyse. Førs eiiio iereile e uio y y Formle or elvis iegrio g g g eller opsreve me iereiler. g g g For ever vilårlig oe iereiel uio eiere i e iervl [,] er Tylors ormel u: Formle evises ve successiv vee elvis iegrio på uioe, supplere me e pr ele ric. Iølge eiiioe på esem iegrl og smuio, gæler er. Vi omsriver u iegrle e lille smule, så vi iegrere me esy il vrile -. Dee gøres or å irge r e øvre græse il orsvie, år vi lver elvis iegrio Bemær, irge r øvre græse orsvier. De sise iegrl omsriver vi på ølgee måe Vi veer eræs elvis iegrio på ee iegrl. Regigere orløer el på smme måe som oveor. Vi øjes eror me srive resule.

4 Tylors Formel Geerel m på el smme måe vise: Ve orsæe me iegrere elvis gge opår m Tylors ormel. Oe ser m Tylors ormel ve me = og =. For ugå misorsåelser, erser m e uægige vriel me i e sise iegrl. Dee giver ormle. Tylors ormel eeges også som e Tylor uvilig uioe u r =. De sise iegrl eeges reslee. Formle vees især, vis m ler og reslee går imo. I ee ilæle år m e ræeuvilig or uioe, som eeges McLuri-ræe. Hvis reslee går imo ølger e emlig ormle e ueelige ræe er overge, vile eyer summe e le r e græseværi or. Ve vurerige reslee, vil vi gøre ogle rimelige gelser. Vi ger er egræse i iervlle [, ] or lle, så er ies e l M, så < M i iervlle [, ] or lle. Reslee vureres på ølgee måe: M M M I e sise ury vil or e vis =. Sæer vi e orer, er sår il vesre or ee lig me K, år vi vurerige: K M I ee prou er ever orere p, vor p=, +, +. Proue em vil eror gå imo or, ie proue er mire e e sise or, som går imo or.

5 Tylors Formel Resule isse overvejelser er sålees, år lo er egræse i iervlle [, ] or lle, så vil McLuri-ræe or overgere. Før vi ser på Mcluri-ræe or orsellige ee uioer, vil vi vise eu e vri Tylors ormel, vor vi ræeuviler + u r. vi sæer sålees = og = +, og erme =. For reslee r vi vurerige: M M Oe veer m e ørse le, som e pprosimio il +, år er lille. Speciel, vis m u meger e o ørse le i ræe år m ormle., år er lille i orol il Dee ormel eeges e pprosimeree. grs polyomium og er e r gymsieuervisige. Hvis - < < er e lille l,.es. =,, så erges =, som orsviee lille i orol il, og m orser le "sørrelsesore". Dee ølger leee vil orsvie ve ivisio me og græseovergg. Tilsvree me og. Aveer m eror ormle som e ores pprosimiosormel or e uio, så er e vigig vie, reslee er sørrelsesore +, og eror orsviee år er lille.. Ræeuviliger or e Neeor er vis ræeuviligere or uioere e, cos, si, l+ og +. =e = e, så er egræse i ever egræse iervl. Eviere er =. Reslee vil gå imo or or lle. Mcluri-ræe liver. e Eller sreve me summioseg

6 Tylors Formel e. Ræeuviliger or si og cos For sius og cosius gæler e, < or lle, så ræere vil overgere. Eviere er or cos : = cos=, = -si =, = -cos = -, = si =, = cos =, og så remeles. For si gæler ilsvree: = si =, = cos =, = -si =, = -cos = -, = si =, og så remeles. Dee ører il e o ræeuviliger: 6 cos cos 6 7 si si 7. Ræeuviliger or l Vi vil ereer ræeuvile = l+ u r =. Vi ier: l Vi vil vise, Mcluri ræe or l+ er overge or <. Vurerige reslee er u li mere omplicere e i e oregåee ilæle:

7 Tylors Formel R Besemmer vi u = mi+, vor ], [, år vi vurerige: R Som e ses, vil e sise ury gå imo or, år - <, vile sulle vises. Vi ier eror. l l Ræe Kles or e rmoise ræe. De er ie overge, vs. e r ie e græseværi or. De går mo ueelig. Dee ises, ie e rmoise ræe er e over sum or i iervlle [,] og ølgelig er sørre e l. De lereree rmoise ræe, ier m ve sæe = i ræeuvilige or l, er ses: l. Ræeuviliger or + α Vi ser eræs på ræeuvilige or, vor > - og er e reel l orsellig r. Der gæler, Vi iører u symole

8 Tylors Formel 6 or > og vor På æse smme måe, som e vr ilæle me ræeuvilige or l+, m vise, reslee går imo ul, år < 6. Ræeuviliger or si - og - Dee ræe er i sig selv ie så ieress, me erser m me eolsvis eller - og sæer eller, ier m iereilvoieere - og si -. Der gæler mere præcis: si or < Aveer m urye or Me = - og α = -½, år m: 8, og sålees: 6 si 8 Som giver 6 si or < Me = og α = -, år m:, og sålees: Som giver or < Disse o ræer l e vees il erege,

9 Tylors Formel 7 ie er gæler si og 6 si og De sise ræe overgerer og l or lgsom il pris eregig

Relaterede dokumenter

Opgave 1: Regressionsanalyse

Opgave 1: Regressionsanalyse Opgave : Regressiosaalyse La u, x,..., u, x være par af reelle al. Vi skal u besemme e ree liie, er passer bes me isse alpar i e forsa a summe x s α βu s miimeres. Ma fier alså e liie, x ˆα + ˆβu, for