Trekantsberegning. Udgave Karsten Juul 25 B

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B"

Transkript

1 Trekansberegning Udgave 7, Karsen Juul

2 ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras' säning nsvinklede rekaner osinus Sinus Tangens eregning af sider og vinkler i revinkle rekan Opgaver...3 Nyere häfer: hp://ma.dk/rekansberegning_for_b_og_a_niveau_i_sx_og_hf.pdf hp://ma.dk/rekansberegning_for_c_niveau_i_hf.pdf hp://ma.dk/oevelser_il_haefe_korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf hp://ma.dk/geomerisk_algebra.pdf Trekansberegning. udgave 00 Ç 00 Karsen Juul ee häfe kan downloades fra HÄfe må benyes i undervisningen hvis läreren med de samme sender en il som dels oplyser a dee häfe benyes, dels oplyser om hold, lärer og skole.

3 fsni. real af rekan. Åvelse. Udregn areale af hver af de re rekaner, F og GHI. F I G 00 H Åvelse. (a) Tegn en linje der går gennem P og er vinkelre på l. (b) Tegn en linje der går gennem P og er vinkelre på m. (c) Tegn en linje der går gennem Q og er vinkelre på m. l m n P Q (d) Tegn en linje der går gennem Q og er vinkelre på n. Åvelse.3 (a) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og. (b) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og. (c) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og. Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

4 Åvelse.4 (a) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og F. (b) Tegn en linje gennem som er vinkelre på linjen gennem og F. (c) Tegn en linje gennem F som er vinkelre på linjen gennem og. F FINITION.5 HÄjde og grundlinje Hvis vi välger som grundlinje: HÉjden er de linjesykke der går fra og vinkelre ind på. Hvis vi välger som grundlinje: HÉjden er de linjesykke der går fra og vinkelre ind på 's forlängelse. Åvelse.6 Figuren viser en rekan. (a) Hvis vi välger siden med längde 8 som grundlinje, så er héjdens längde. (b) Hvis vi välger siden med längde 4 som grundlinje, så er héjdens längde Åvelse.7 (a) Tegn de linjesykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje. (b) Tegn de linjesykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje. (Se definiion.5). Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

5 SÇTNING.8 real af rekan NÅr T = areale af rekanen g = grundlinjen (dvs. en side i rekanen) h = héjden (dvs. den af héjderne der sår vinkelre på den valge grundlinje) gälder T h g. Åvelse.9 Figuren viser e firkane bur se fra oven. Udregn bures areal på den nemmes mulige måde. m Åvelse.0 (a) Udregn areale af rekan. (b) Udregn areale af rekan. (c) Udregn areale af rekan Åvelse. n rekan PQR har areale 96. Siden PQ har längden 6. Udregn längden af héjden fra R på PQ. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

6 fsni. Pyhagoras' säning. FINITION. Kaee og hypoenuse. I en revinkle rekan gälder: Kaeerne er de o sider der danner den ree vinkel. (Hvis du sidder i den ree vinkel og holder i de o sider, så vil kaeerne alså väre de sider du holder i). Hypoenusen er den side der ligger over for den ree vinkel. (Hvis du sidder i den ree vinkel og holder i de o sider, så vil hypoenusen alså väre den side du ikke holder i). Åvelse. Figuren viser en revinkle rekan. Kaeernes längder er og. Hypoenusens längde er Åvelse.3 Figuren viser en revinkle rekan med siderne p, r og. r Siderne og er kaeerne. Siden er hypoenusen. p SÇTNING.4 Pyhagoras' såning. For en revinkle rekan gälder: Hvis så er p og q er kaeerne, og r er hypoenusen p q r. p r q Trekansberegning, udgave Side 4 00 Karsen Juul

7 emärkning.5: n sprogbrug Hvis der sår i rekan F er f 4 gälder de er siden over for vinkelspidsen F der er 4. Sprogbrugen er nemlig sådan a når e sor bogsav er en vinkelspids i en rekan, gälder de ilsvarende lille bogsav er siden over for vinkelspidsen, hvis der ikke fremgår ande. f e d F enne sprogbrug er brug her: I en rekan hvor vinkel er re, er a b c. dvarsel Se figuren il héjre. Her dur de ikke hvis du skriver m, 6. LÄseren kan ikke vide om de er eller der er, 6. Skriv m på den side du mener. u skal alid egne en figur i en geomeriopgave. M Åvelse.6 fgér for hver ligning om den er korrek. () p q r p q () (3) p r r q q p r Åvelse.7 fgér for hver ligning om den er korrek. () 3,6 8, x 3,6 8, () (3) 3,6 x 8, x 8, 3,6 x Trekansberegning, udgave Side 5 00 Karsen Juul

8 Åvelse.8 fgér for hver ligning om den er korrek. () () (3) (4) a 30 a a Åvelse.9 (a) Udregn siden p. (b) Udregn siden q q 5, p 6,5 Åvelse.0 (a) Udregn areale af rekanen nedenfor il vensre. (b) Udregn areale af rekanen nedenfor il héjre Åvelse. Udregn areale af firkanen Trekansberegning, udgave Side 6 00 Karsen Juul

9 ksempel.: Udregne hypoenusen nçr kaeerne er kend. I rekan er vinkel re, längden af siden er 3,4, og längden af siden er,. SpÉrgsmÅl: Udregn längden af siden. Svar: Uden Solve FÉrs egner vi en skise af rekanen. f Pyhagoras' säning får vi a d 3,4,. SÅ må d 3,4,. Vi udregner dee på lommeregner: d 3,9965. Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0. d 3,4, Svar: Med Solve FÉrs egner vi en skise af rekanen. f Pyhagoras' säning får vi a d 3,4,. Vi aser denne ligning og får den lés mh. d for d 0. Vi får: d 3,9965. Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0. d 3,4, emärkning: I ligningen d 3,4, er der mere en Ñ al der passer på d 's plads. Vi skal kun bruge den lésning der er sérre en nul, fordi längden af en side alid er sérre end nul PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: fer ligningen skriver vi e komma, og efer kommae skriver vi d fordi de er d vi skal finde. fer solve-kommandoens sluparenes skriver vi en lodre sreg, og efer denne skriver vi a vi kun vil have lésninger der er sérre end nul. Trekansberegning, udgave Side 7 00 Karsen Juul

10 ksempel.3: Udregne en kaee nçr hypoenusen og den anden kaee er kend. I rekan er vinkel re, längden af siden er 84, og längden af siden er 85. SpÉrgsmÅl: Udregn längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. 85 a 84 f Pyhagoras' säning får vi a Vi räkker 84 a fra begge sider: a Heraf får vi a a Vi udregner dee på lommeregner: a 3. Konklusion: LÄngden af siden er 3. ksempel.4: Udregne areal nçr kaeerne er kend. I rekan er vinkel re, längden af siden er 5, og längden af siden er 9. SpÉrgsmÅl: Udregn areale af rekan. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. Vi välger som grundlinje. SÅ er héjden. 5 9 reale er Konklusion: 5 9,5. reale af rekan er, 5. Trekansberegning, udgave Side 8 00 Karsen Juul

11 ksempel.5: Udregne areal nçr hypoenusen og en af kaeerne er kend. I rekan F er vinkel re, längden af siden F er, og längden af siden F er 5. SpÉrgsmÅl: Udregn areale af rekan F. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. F Vi välger som grundlinje. SÅ er F héjden. Vi udregner grundlinjen: 5 Vi bruger Pyhagoras' säning: f 5 Heraf får vi f 5. f Vi udregner areale: reale er f dvs Vi udregner dee på lommeregner og får 4,4949. Konklusion: reale af rekan F er 4, 5. Trekansberegning, udgave Side 9 00 Karsen Juul

12 fsni 3. nsvinklede rekaner. Åvelse 3. (a) Hvilke al skal vi gange siderne i rekan () med for a få siderne i rekan ()? a alle sider skal ganges med samme al, er () en forsérrelse eller en formindskelse af (). e al vi ganger med, er sérrelsesforholde og kaldes skalafakoren. (b) For hver af rekanerne (3), (4), (5) og (6) skal du afgére om der findes en skalafakor som gange med sidederne i () giver siderne i den pågäldende rekan. ngiv skalafakoren hvis den eksiserer. ( ) () 4 5,6 5, (3) 7,6 6,5,8 9,5 (5),4 (4) 6,8 3,5,8 3,4 8,5 (6),8,8 3,5 FINITION 3. n sides modsçende vinkel NÅr du på en egning af en rekan vil finde ud af hvilken af vinklerne der er modsående il en besem af siderne, så gér félgende: M Foresil dig a du sidder på denne side, og foresil dig a du holder i de o vinkler ved denne sides ender. en vinkel du ikke holder i, er sidens modsående vinkel. Vi siger også a siden ligger over for vinklen. ksempel: PÅ figuren ligger siden M over for vinklen H. H Trekansberegning, udgave Side 0 00 Karsen Juul

13 ksempel 3.3 PÅ figuren nedenfor bruger vi buer, dobbele buer og redobbele buer il a vise hvilke vinkler der er lige sore. Trekanerne har samme vinkler, så de har samme form. en sore er alså en forsérrelse af den lille. I den lille rekan er der en side med längde 4, og i den sore rekan er der en side med längde 8. isse o sider ligger over for vinkler der er lige sore. a vi skal gange den lille side med for a få den sore, er skalafakoren. Siden over for vinklen med dobbel bue i den sore rekan er alså gange 5, dvs Åvelse 3.4 u får nu en ny oplysning om den sore rekan fra eksempel 3.3: Siden over for vinklen med redobbel bue har längden. Hvor lang er den side i den lille rekan som ligger over for vinklen med redobbel bue? NÅr o vinkler i vensre rekan er lig o vinkler i héjre rekan, så må den redje vinkel i vensre rekan også väre lig den redje vinkel i den héjre. ee skyldes a summen af vinklerne i en rekan er den samme for alle rekaner (nemlig 80). SÇTNING 3.5 nsvinklede rekaner e o rekaner har samme vinkler. erfor er der en skalafakor k. a m og ligger over for vinkler der er lige sore, er mk a p og q ligger over for vinkler der er lige sore, er m p n k q r pk q a n og r ligger over for vinkler der er lige sore, er nk r Pilen på figuren viser hvilken vej vi ganger. Hvis vi i sede valge a gange siderne i héjre rekan, så ville k så for e ande al. e er illad a bruge andre bogsaver i sede for k. (LÄseren ved alså ikke på forhånd a k sår for skalafakoren, så de er nédvendig a vi skriver de). Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

14 Åvelse 3.6 e o rekaner il héjre er ensvinklede, så der findes e al k som gange med siderne i férse rekan giver siderne i anden rekan. fgér for hver af félgende ligninger om den er gyldig: () 5 k 7 () p k n (3) p k 7 (4) m k q (5) q k m. p 5 q 7 n m Åvelse 3.7 4, (a) PÅ figuren ser vi a de o rekaner er, så der er en skalafakor. (b) NÅr vi ganger siderne i den vensre rekan med skalafakoren, så får vi siderne i den héjre rekan. (c) NÅr vi ganger siderne i den héjre rekan med skalafakoren, så får vi siderne i den vensre rekan. (d) NÅr vi dividerer siderne i den héjre rekan med, så får vi siderne i den vensre rekan. Åvelse 3.8 0,4,5, F (a) NÅr vi ganger siderne i med, så får vi siderne i F. (b) NÅr vi ganger 0, 4 med, så får vi längden af F. LÄngden er. (c) NÅr vi dividerer, med, så får vi längden af. LÄngden er. Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

15 Åvelse 3.9 m n u 300 v u 435 v (a) 300 = 435 (b) n = = (c) m = : = réksreg (d) enne division skriver vi normal som en brék sådan: m = Åvelse z 6 x 95 fgér for hver ligning om den er sand eller falsk: 95 (a) z 95, 3 (b) x (c) z 95,, Åvelse 3. p m n q r fgér for hver ligning om den er sand eller falsk: (a) m q p (b) n r (c) r n q (d) q m p p (e) n r p Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

16 ksempel 3.: Udregne sider i ensvinklede rekaner. 5 0 F 8 Figuren viser o ensvinklede rekaner og F. SpÉrgsmÅl: Udregn längderne af siderne F og. Svar: a rekanerne er ensvinklede, er der en skalafakor k : 5 0 k F d c 8 Skalafakoren: Siden med längde 5 fra den férse rekan og siden med längde fra den anden ligger over for vinkler som er lige sore. erfor gälder 5 k. Heraf får vi k 5 dvs. k,4. Siden F: Siden med längde 0 i den férse rekan og siden med längde d i den anden ligger over for vinkler der er lige sore. erfor gälder dvs. 0, 4 d d 4. Siden : Siden med längde c i den férse rekan og siden med längde 8 i den anden ligger over for vinkler der er lige sore. erfor gälder c,4 8. Heraf får vi c 8,4 dvs. c 0. Konklusioner: LÄngden af siden F er 4 og längden af siden er 0. Trekansberegning, udgave Side 4 00 Karsen Juul

17 fsni 4. osinus. FINITION 4. Hosliggende kaee Foresil dig a du sidder i den spidse vinkel u og holder i de o sider. isse o sider kaldes vinklens hosliggende sider. n af de sider du holder i, er en kaee. enne side kaldes vinklens hosliggende kaee. en vinkel er spids, beyder a vinklen er mindre end I den vise rekan gälder alså: Vinkel u 's hosliggende kaee har längden 5. u 5 Åvelse 4. 3,6 F 0,09 0, 3,9,5 0,5 (a) Vinkel 's hosliggende sider har längderne og. (b) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. (c) Vinkel 's hosliggende sider har längderne og. (d) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. (e) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. (f) Vinkel 's hosliggende kaee har längden. Åvelse 4.3 u f v g e (a) Vinkel u 's hosliggende sider er og. (b) Vinkel u 's hosliggende kaee er. (c) Vinkel v 's hosliggende kaee er. Trekansberegning, udgave Side 5 00 Karsen Juul

18 FINITION 4.4 osinus NÅr vi rykker på -asen, får vi udfér en besem udregning. Vi har brug denne udregning i opgaver om rekaner (Pyhagoras). NÅr vi rykker på cos-asen, får vi udfér en anden udregning som vi også skal bruge i opgaver om rekaner. Figuren viser en revinkle rekan hvor hypoenusen er. Hvis vi udregner: cosinus il gradalle for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels hosliggende kaee. Vi skriver: cos( v). v Lommeregneren (eller maemaikprogramme) skal väre indsille il a regne med enheden grader. ksempel 4.5 PÅ lommeregner udregner vi a cos( 49,5 ) 0, ee beyder a längden af siden er 0, ,5 Åvelse 4.6 rug cosinus il a udregne längden af hver af siderne og QR. Q 38 53, P R Åvelse 4.7 I rekan er vinkel re, vinkel er er q, hvor q er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen, og besem alle q. 33,9, längden af siden er, og längden af siden Åvelse 4.8 I rekan F er vinkel F re, vinkel er siden F er p 4, hvor p er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen og besem alle p. 36,9, längden af siden er, og längden af Trekansberegning, udgave Side 6 00 Karsen Juul

19 ksempel 4.9 PÅ figuren ser vi a cos( u ) 0,750. Vi aser denne ligning og får den lés mh. u for u mellem 0 og 90. Vi får: u 4, ee beyder a u 0,750 F vinklen er 4,4. emärkning I ligningen cos( u) 0,750 er der mange al der passer på u 's plads. Vi skal kun bruge den lésning der ligger mellem 0 og 90. PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: emärkning Vi kan finde vinklen uden a bruge solve. I sede kan vi bruge omvend cosinus som skrives cos ee symbol kan vi få frem ved hjälp af cos -asen eller ved a skrive symbole. Hvis vi skriver symbole, skal vi välge i symbolmenuen. Symbole cos er ikke en sädvanlig poens. e hävede beyder "omvend". PÅ lommeregner udregner vi a cos (0,750) 4,4096. Åvelse 4.0 Udregn vinklerne og ,809 F Trekansberegning, udgave Side 7 00 Karsen Juul

20 Åvelse 4. OplÅg il 4.. Nedenfor er vis o rekaner. () rug cosinus på lommeregneren il a udregne längden af siden () rug svare på () il a udregne längden af siden F. (3) Hvilken säning fra dee häfe skal bruges i ()? 36,8 3 36,8 F SÇTNING 4. cosinus Om en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: vinklens hosliggende kaee cos( vinklen). hypoenusen Åvelse 4.3 v p r d n u g w Hvilke af ligningerne nedenfor er ok ifélge säning 4.? (a) cos( u) p (b) cos( v) r p (c) u p (d) cos( v) p (e) cos( w) d n (f) cos( w) g n (g) n cos( w). g Trekansberegning, udgave Side 8 00 Karsen Juul

21 egrundelse 4.4 egundelse for gyldigheden af såning 4. er er give félgende rekan:,6 v,3 Vi egner en ny rekan som har samme vinkler, men hvor hypoenusen er : hypoenuse,6 v cos(v) v,3 v ' s hosliggende kaee Trekanerne er ensvinklede. Skalafakoren er, 6 da hypoenusen i vensre rekan skal ganges med,6 for a få hypoenusen i héjre rekan. Vi får alså siden cos(v) når vi dividerer, 3 med skalafakoren, 6, dvs. Her sår a cos( v),3,6 cos( vinklen) vinklens hosliggende kaee hypoenusen ee er ligningen fra säning 4.. e er klar a vi kan komme frem il denne ligning selv om siderne har andre längder end, 3 og, 6. Åvelse 4.5 rug säning 4. il a skrive o ligninger der er gyldige for den vise rekan. u skal ikke regne noge ud. 7 h 8 63 k Trekansberegning, udgave Side 9 00 Karsen Juul

22 ksempel 4.6 n vinkel og hypoenusen er kend. Udregn vinklens hosliggende kaee. I rekan er vinkel re, vinkel er 5, og längden af siden er 6,. SpÉrgsmÅl: esem längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel er spids, er cos( ) ' s hosliggende kaee hypoenusen dvs. cos(5 ) b. 6, Vi aser denne ligning og får den lés mh. b. Vi får 6, 5 b b dvs. 3,9076 längden af er 3, 9. emärkning: PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: ksempel 4.7 n vinkel og dens hosliggende kaee er kend. Udregn hypoenusen. I rekan F er vinkel F re, vinkel er 50, og längden af siden F er 3, 6. SpÉrgsmÅl: esem längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel er spids, er dvs. cos( ) cos( 50 ) 3,6. f ' s hosliggende kaee hypoenusen Vi aser denne ligning og får den lés mh. f. Vi får f 50 3,6 F dvs. f 5,6006 längden af siden er 5, 6. Trekansberegning, udgave Side 0 00 Karsen Juul

23 ksempel 4.8 n kaee og hypoenusen er kend. Udregn kaeens hosliggende spidse vinkel. I rekan PQR er vinkel R re, längden af siden PQ er 6, 5, og längden af siden PR er 4, 0. SpÉrgsmÅl: esem vinkel P. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. Q a rekanen er revinkle og vinkel P er spids, er 4,0 cos( P) 6,5 Vi aser denne ligning og får den lés mh. P for P mellem 0 og 90. Vi får 6,5 P dvs. vinkel P er 5, P 4,0 R emärkning : PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: PÅ lommeregneren kan vi skrive sp i sede for sor P. emärkning : Ovenfor bruger vi P i o forskellige beydninger. NÅr vi siger "rekan PQR ", så er P e punk, og når vi skriver cos(p ), så er P e gradal. er er radiion for a de bogsav der beegner punke, også bruges il a beegne gradalle. Åvelse 4.9 I rekan FG er vinkel F re, längden af siden F er 3, og längden af siden G er 64. Udregn gradalle for vinkel. Åvelse 4.0 Om rekan KLM er oplys a gradalle for vinkel K er og a hypoenusens längde er 49. Udregn längden af kaeen KL. 90, a gradalle for vinkel L er 6, Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

24 fsni 5. Sinus. FINITION 5. ModsÇende kaee Foresil dig a du sidder i den spidse vinkel u og holder i de o sider. er er Ñn side ilbage som du ikke holder i enne side kaldes vinklens modsående kaee. I den vise rekan gälder alså: u 5 Vinkel u 's modsående kaee har längden 39. Åvelse 5. F 0,48,0, 5 0,0 0,5,5 rug meoden fra definiion 5. il a finde svarene på félgende spérgsmål: (a) Vinkel 's modsående kaee har längden. (b) Vinkel 's modsående kaee har längden. (c) Vinkel 's modsående kaee har längden. (d) Vinkel 's modsående kaee har längden. FINITION 5.3 Sinus NÅr vi rykker på lommeregnerens sin-as, får vi udfér en udregning som vi skal bruge i opgaver om rekaner. Figuren viser en revinkle rekan hvor hypoenusen er. Hvis vi udregner: sinus il gradalle for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels modsående kaee. Vi skriver: sin( v). v Lommeregneren (eller maemaikprogramme) skal väre indsille il a regne med enheden grader. Trekansberegning, udgave Side 00 Karsen Juul

25 ksempel 5.4 PÅ lommeregner udregner vi a sin( 49,5 ) 0, ee beyder a längden af siden er 0, ,5 ksempel 5.5 PÅ figuren ser vi a sin( u ) 0,66. Vi aser denne ligning og får den lés mh. u for u mellem 0 og 90. Vi får: 0,66 u 4, 376. ee beyder a u F vinklen er 4,4. emärkning I ligningen sin( u) 0,66 er der mange al der passer på u 's plads. Vi skal kun bruge den lésning der ligger mellem 0 og 90. PÅ skärmen kan indasningen se sådan ud: emärkning Vi kan finde vinklen uden a bruge solve. I sede kan vi bruge omvend sinus som skrives sin ee symbol kan vi få frem ved hjälp af sin -asen eller ved a skrive symbole. Hvis vi skriver symbole, skal vi välge i symbolmenuen. Symbole sin er ikke en sädvanlig poens. e hävede beyder "omvend". PÅ lommeregner udregner vi a sin (0,66) 4,376. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

26 Åvelse 5.6 Nedenfor er vis o rekaner rug sinus il a udregne längden af hver af siderne og PR. Q 37 54, P R Åvelse 5.7 Nedenfor er vis o rekaner. Udregn vinklerne og. 0, F Åvelse 5.8 I rekan er vinkel re, vinkel er er 3 q, hvor q er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen. Udregn alle q. 33,6, längden af er, og längden af siden Åvelse 5.9 I rekan F er vinkel F re, vinkel er er p 5, hvor p er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen Udregn alle p. 34,4, längden af er, og längden af siden F Trekansberegning, udgave Side 4 00 Karsen Juul

27 SÇTNING 5.0 sinus Om en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: vinklens modsçende kaee sin( vinklen). hypoenusen Åvelse 5. evis for 5.0 () Tegn en revinkle rekan T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v. Ved denne vinkels modsående kaee skal du skrive q, og ved hypoenusen skal du skrive p. () Tegn en ny rekan S med samme vinkler som T og med hypoenuse (skriv dee al ved hypoenusen). (3) I rekan S er hypoenusen, så v 's modsående kaee har längden sin(v ). Skriv sin(v) ved denne kaee. (4) e o rekaner er ensvinklede, så der er en skalafakor. rug de o hypoenuser il a finde den skalafakor som vi skal gange siderne i S med for a få siderne i T. (5) Hvordan kan vi udregne siden sin(v) ved hjälp af skalafakoren? (6) Hvorfor beviser dee a säning 5.0 er rigig? ksempel 5. I rekan er vinkel re, vinkel er 5, og längden af siden er 3, 3. SpÉrgsmÅl: Udregn längden af siden. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel er spids, er sin( ) dvs. a sin(5 ). 3,3 ' s modsçende kaee hypoenusen Vi aser denne ligning og får den lés mh. a. Vi får 3,3 5 a dvs. a,60044 längden af er, 6. Åvelse 5.3 I rekan RST er vinkel S re, vinkel R er Udregn längden af siden RT. 5, og längden af siden ST er,. Åvelse 5.4 I rekan F er vinkel re, längden af siden er 3, 5, og längden af siden F er 6,. Udregn gradalle for vinkel F. Trekansberegning, udgave Side 5 00 Karsen Juul

28 fsni 6. Tangens. FINITION 6. Tangens NÅr vi rykker på lommeregnerens an-as, får vi udfér en udregning som vi skal bruge i opgaver om rekaner. Figuren viser en revinkle rekan hvor v's hosliggende kaee er. Hvis vi udregner: angens il gradalle v, så får vi: längden af v 's modsående kaee. Vi skriver: an( v). Lommeregneren (eller maemaikprogramme) skal väre indsille il a regne med enheden grader. v ksempel 6. PÅ lommeregner udregner vi a an( 34,8 ) 0, ee beyder a längden af siden er 0, ,8 ksempel 6.3 PÅ figuren ser vi a an( u ) 0,65. Vi aser denne ligning og får den lés mh. u for u mellem 0 og 90. Vi får: u 3, ee beyder a vinklen er 3,0. u 0,65 F emärkning Vi kan finde vinklen uden a bruge solve. I sede kan vi bruge "omvend angens" som skrives an. PÅ lommeregner udregner vi an (0,65) 3, Åvelse 6.4 I rekan er vinkel re, vinkel er er p 6, hvor p er e al der ikke er oplys. SkisÑr rekanen, og besem alle p. 8,6, längden af er, og längden af siden Trekansberegning, udgave Side 6 00 Karsen Juul

29 SÇTNING 6.5 angens Om en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: vinklens modsçende kaee an( vinklen). vinklens hosliggende kaee Åvelse 6.6 evis for 6.5 () Tegn en revinkle rekan T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v. Ved v 's modsående kaee skal du skrive q, og ved v 's hosliggende kaee skal du skrive p. () Tegn en ny rekan S hvor vinklerne er de samme som i T, og hvor v 's hosliggende kaee er (skriv dee al ved kaeen). (3) I rekan S er v 's hosliggende kaee, så v 's modsående kaee har längden an(v ). Skriv an(v) ved denne kaee. (4) e o rekaner er ensvinklede, så der er en skalafakor. rug de o hosliggende kaeer il a finde den skalafakor som vi skal gange siderne i S med for a få siderne i T. (5) Hvordan kan vi udregne siden an(v) ved hjälp af skalafakoren? (6) Hvorfor beviser dee a säning 6.5 er rigig? ksempel 6.7 I rekan PQR er vinkel R re, längden af siden PR er 3, 7, og längden af siden QR er 5,. SpÉrgsmÅl: Udregn gradalle for vinkel P. Svar: FÉrs egner vi en skise af rekanen. a rekanen er revinkle og vinkel P er spids, er Q an( P ) P' s modsçende kaee P' s hosliggende kaee dvs. 5, an( P ). 3,7 Vi aser denne ligning og får den lés mh. P for P mellem 0 og 90. Vi får: P 3,7 5, R P 54, 0395 dvs. vinkel P er 54. Åvelse 6.8 I rekan HIJ er vinkel I re, vinkel H er 8, og längden af siden HI er 7, 7. Udregn längden af siden IJ. Åvelse 6.9 I rekan er vinkel re, vinkel er Udregn längden af siden. 36, og längden af siden er 8, 0. Trekansberegning, udgave Side 7 00 Karsen Juul

30 fsni 7. eregning af sider og vinkler i revinkle rekan. OVRSIGT 7. Formler il beregning af sider og vinkler i revinkle rekan I en revinkle rekan gälder p q r, p og q er kaeerne, r er hypoenusen. For en spids vinkel i en revinkle rekan gälder: cos( vinklen) sin( vinklen) an( vinklen) vinklens hosliggende kaee hypoenusen vinklens modsçende kaee hypoenusen vinklens modsçende kaee vinklens hosliggende kaee Åvelse 7. (a) Formler il beregning af sider og vinkler i revinkle rekan. Foresil dig a du sidder i vinkel v og holder i de o vinkelben. Hvilke af siderne d, k og p holder du i? (b) Hvilke af siderne d, k og p er hosliggende il vinkel v? (c) Hvilke o af siderne d, k og p danner en re vinkel? (d) Hvilke af siderne d, k og p er kaeer? (e) Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende kaee il v? (f) Hvilken af siderne d, k og p er modsående kaee il v? (g) Hvilken af siderne d, k og p er hypoenuse? (h) Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende kaee il? (i) Hvilken af siderne d, k og p er modsående kaee il? (j) NÅr vi siger a re sérrelser indgår i en opgave om revinkle rekan, så mener vi a vi skal finde Ñn af dem og kender de o andre. ngiv i hver af félgende ilfälde om der skal bruges cos, sin, an eller pyh (Pyhagoras' säning): () er indgår en spids vinkel og denne vinkels modsående kaee sam hypoenusen. () er indgår hypoenusen og de o kaeer. (3) er indgår en spids vinkel og de o kaeer. (4) er indgår en spids vinkel og denne vinkels hosliggende kaee sam hypoenusen. (k) ngiv i hver af félgende ilfälde om der skal bruges cos, sin, an eller pyh.: (5) Vi skal finde d og kender k og. (0) Vi skal finde p og kender d og v. (6) Vi skal finde d og kender k og v. () Vi skal finde v og kender p og d. (7) Vi skal finde d og kender k og p. () Vi skal finde v og kender k og p. (8) Vi skal finde d og kender p og. (3) Vi skal finde og kender k og p. (9) Vi skal finde d og kender p og v. (4) Vi skal finde v og kender k og d. k v d p Trekansberegning, udgave Side 8 00 Karsen Juul

31 OVRSIGT 7.3 e opgaveyper med sider og vinkler i revinkle rekan I rekanen il héjre er siderne med längde 3 og 4 kaeer, fordi vinklen mellem dem er re. Siden med längde 5 er hypoenuse, fordi den ikke er en af kaeerne. Foresil dig a du sidder i den spidse vinkel u og holder i de o vinkelben. en kaee du holder i, er vinklens hosliggende kaee. en anden kaee er vinklens modséende kaee. u Type Give: Hypoenusen og en spids vinkel. Find: Vinklens hosliggende kaee. LÉs cos(37) mh.. 5 vinklens hosliggende kaee hypoenusen spids vinkel Type Give: n spids vinkel og dens hosliggende kaee. Find: Hypoenusen. 4 LÉs cos( 37) mh.. vinklens hosliggende kaee hypoenusen spids vinkel Type 3 Give: Hypoenusen og en kaee. Find: Vinklen mellem disse. 4 LÉs cos( u) mh. u for 0 u vinklens hosliggende kaee hypoenusen spids vinkel u 4 Type 4 Give: Hypoenusen og en spids vinkel. Find: Vinklens modsående kaee. LÉs sin(37) 5 mh.. vinklens modsående kaee hypoenusen spids vinkel Type 5 Give: n spids vinkel og dens modsående kaee. Find: Hypoenusen. 3 LÉs sin( 37) mh.. vinklens modsående kaee hypoenusen spids vinkel Type 6 Give: Hypoenusen og en kaee. Find: Kaeens modsående vinkel. 3 LÉs sin( u) mh. u for 0 u vinklens modsående kaee hypoenusen spids vinkel u 3 3 VN! Trekansberegning, udgave Side 9 00 Karsen Juul

32 Type 7 Give: n spids vinkel og dens hosliggende kaee. Find: Vinklens modsående kaee. LÉs an(37) mh.. 4 vinklens modsående kaee vinklens hosliggende kaee spids vinkel Type 8 Give: n spids vinkel og dens modsående kaee. Find: Vinklens hosliggende kaee. 3 LÉs an( 37) mh.. vinklens modsående kaee vinklens hosliggende kaee spids vinkel Type 9 Give: e o kaeer. Find: n spids vinkel. LÉs an( u) 3 mh. u for 0 u vinklens modsående kaee vinklens hosliggende kaee spids vinkel u Type 0 Give: e o kaeer. Find: Hypoenusen. LÉs 3 4 mh. for 0. hypoenuse kaeer Type Give: Hypoenusen og en kaee. Find: en anden kaee. LÉs 4 5 mh. for 0. hypoenuse kaeer Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

33 Åvelse 7.4 I denne opgave skal du bruge oplysningerne i Oversig 7.3. I hver af opgaverne -0 skal du: skrive ypen, dvs. e af allene,,..., skrive en ligning med opgavens re albeegnelser. u skal ikke lése opgaven. e v g u f. Udregn e når u og f er oplys.. Udregn f når u og e er oplys. 3. Udregn g når u og e er oplys. 4. Udregn g når v og e er oplys. 5. Udregn f når e og g er oplys. 6. Udregn e når f og g er oplys. 7. Udregn g når v og f er oplys. 8. Udregn g når u og f er oplys. 9. Udregn u når e og g er oplys. 0. Udregn v når e og g er oplys. h m s k. Udregn s når h og m er oplys.. Udregn s når h og k er oplys. 3. Udregn når h og k er oplys. 4. Udregn h når og m er oplys. 5. Udregn m når og h er oplys. 6. Udregn m når s og h er oplys. 7. Udregn m når h og k er oplys. 8. Udregn k når s og m er oplys. 9. Udregn k når og h er oplys. 0. Udregn k når s og h er oplys. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

34 fsni 8. Opgaver. Opgave 8. I rekan er 90, 6 og 6, 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem. Opgave 8. I rekan F er F 90, F 4, 8 og F. a) Tegn en skise af rekanen, og besem. Opgave 8.3 6,0 4, 5 4,5 Trekanerne og er revinklede.,7 a) esem areale af rekan. b) esem areale af rekan. Opgave 8.4 I rekan GHI er I 90, GI og HI, 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem areale. Opgave 8.5 I rekan JKL er L 90, JK 3 og KL, 8. a) Tegn en skise af rekanen, og besem areale. Opgave 8.6 3,6 h c,5 Figuren viser rekan hvor vinkel er re, sam héjden hc fra på siden. a) esem. b) esem areale af rekan, og besem derefer längden af h c. Trekansberegning, udgave Side 3 00 Karsen Juul

35 Opgave F 0 Figuren viser o ensvinklede rekaner og F. a) esem längden af hver af siderne og. Opgave 8.8 3,6, 5 4,5 Trekanerne og er ensvinklede. Nogle af rekanernes mål fremgår af figuren. a) esem längden af siden og längden af siden. 7, Opgave Trekanerne og er ensvinklede. Nogle af rekanernes mål fremgår af figuren. a) esem längden af siden og längden af siden. Opgave 8.0,8,5 a,0 b 4, PÅ billede ses o ensvinklede rekaner. a) eregn a og b. Opgave 8. I de ensvinklede rekaner og ' ' ' er ', ' og '. esuden er 36, 4, ' ' 45 og ' ' 65. a) Tegn en skise af rekanerne, og besem '' og. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

36 Opgave 8. Trekanerne og F er ensvinklede. a) esem längden af siden. 4 0 F Opgave 8.3 F, 0,5 0,8 Trekanerne og F er revinklede. a) esem längden af siden. b) esem längden af siden F.,0 Opgave Trekanerne og er revinklede og ensvinklede. a) esem. b) esem. 6 6 Opgave 8.5,8 3,4 5, F e o revinklede rekaner og F er ensvinklede. a) esem og F. Opgave 8.6 Trekanerne er ensvinklede og revinklede. a) esem siden m m Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

37 Opgave 8.7 I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden a er 6, og längden af siden c er 7. a) Tegn en skise af rekan, og besem vinkel. Opgave 8.8 I rekan er vinkel re, längden af siden er 5,, og vinkel er 47,5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem längden af siden. Opgave 8.9 I rekan er vinkel re. Vinkel er 39,5, og längden af er 4,. a) Tegn en skise af rekanen, og besem längden af. Opgave 8.0 I rekan QRS er S 90, QR 6 og QS 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem Q. Opgave 8. I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden c er 8, 5, og vinkel er,3. a) Tegn en skise af rekan, og besem längden af siden b. Opgave 8. 69,0,0 Figuren viser en rekan hvor vinklen er re. a) esem. Opgave 8.3 I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden er 348 og vinkel er a) Tegn en skise af rekan, og besem längden af hypoenusen. Opgave 8.4 I rekan JKL er L 90, J 49 og KL 4. a) Tegn en skise af rekanen, og besem JK. Opgave 8.5 I rekan MNP er P 90, M 55 og MN. a) Tegn en skise af rekanen, og besem NP. 63,6. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

38 Opgave 8.6 sige mur Figuren viser en sige der når op il oppen af en 3 m héj mur. Sigen danner en vinkel på jordoverfladen. a) esem längden af sigen. Opgave a) eregn siderne p og q i de vise rekaner. 55 med p 49 6, q 54 8,0 Opgave Figuren viser en revinkle rekan. a) esem längden af siden, og besem vinkel. Opgave 8.9 I en revinkle rekan PQR er vinkel Q re, längden af siden p er 5, og längden af siden r er 0. a) Tegn en skise af rekan PQR, og besem vinkel P. Opgave 8.30 I en revinkle rekan PQR er vinkel Q re, längden af siden p er, og vinkel P er a) Tegn en skise af rekan PQR, og besem längden af siden r. Opgave 8.3 I rekan er 90, 3 og 5. a) Tegn en skise af rekanen, og besem. 55. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

39 Opgave 8.3 I rekan F er F 90, 8 og F. a) Tegn en skise af rekanen, og besem F. Opgave 8.33 I rekan GHI er I 90, GI 4 og HI 0. a) Tegn en skise af rekanen, og besem G. Opgave 8.34 a) eregn vinklerne u og v i de vise rekaner. 4,4 4,3 u 4,6 4, v Opgave 8.35 a) eregn x på den vise figur. 6,0 7,5 x 4 Opgave 8.36 Figuren viser o lodree solper og en skrå lise. Lisen er fasgjor il solperne i punkerne og. Punke er,5 meer over gulve, og punke er, meer over gulve. fsanden mellem solperne er,8 meer. a) esem vinklen v mellem den vensre solpe og den skrå lise. Opgave 8.37 a) eregn areale af den vise figur. 4 35, Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

40 Opgave m 8 m 3 Figuren viser värsnie af e kunsmuseum. TvÄrsnie er en firkan hvor vinkel er re, og diagonalen sår vinkelre på siden. a) esem längden af, og besem vinkel. b) esem längden af. Opgave 8.39 Figuren viser en ribune i värsni. Sangen F holder age. n person har mål de al der sår på figuren. a) esem. b) esem. c) esem F. Opgave 8.40 I en revinkle rekan er vinkel re, längden af siden b er 4, og rekanens areal er 0. a) esem vinkel. Opgave 8.4 Vinklen v er faslag ved figuren. a) esem uden hjälpemidler cosv og an v. Opgave 8.4 I rekanerne og ' ' ' er ' og '. ndvidere er 3 og ' '. I rekan er längden af héjden fra vinkel lig. a) esem areale af rekan ' ' '. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

41 Opgave 8.43 Figuren viser o ensvinklede rekaner og F. Nogle af sidelängderne er give på figuren. a) esem F. Opgave ,5,5,5 Trekanerne og er revinklede og ensvinklede. a) esem. b) esem areale af rekan. c) esem vinkel. Opgave 8.45 a) esem. 65, 3,5 Opgave 8.46 a) esem längden af. b) esem areale af rekan. 5,8 37,3 30,8 Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

42 Opgave 8.47 I rekan er re. PÅ siden ligger e punk. e er oplys a, 0, 3, 8 og 4, 0. a) esem. esem i rekan. 4,0 3,8,0 Opgave 8.48 a) esem vinkel u på den vise figur. b) esem vinkel v på den vise figur. v u Opgave 8.49 PÅ figuren er angive nogle af målene. a) esem längden af. 7,0 3 5 Opgave 8.50 I rekan PQR er R 90, P 33 og PQ, 4. Midpunke af PR hedder T. a) Tegn en skise, og besem T i rekan QRT. Opgave 8.5 I firkan sår diagonalen vinkelre på både og. iagonalen har längden 48, siden har längden 36, og siden har längden 5. a) Tegn en skise af firkanen, og besem vinklerne og. b) esem firkanens omkreds. Trekansberegning, udgave Side Karsen Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

for C-niveau i stx udgave 2

for C-niveau i stx udgave 2 fo C-niea i sx dgae B D h a A C 01 Kasen Jl 1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning... 5. Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Trekantsberegning. for C-niveau i hf Karsten Juul A D

Trekantsberegning. for C-niveau i hf Karsten Juul A D Tekansbeegning fo -niea i hf 0 01 Kasen Jl aeal...1, 7, 1 aeal og sins...7 beis fo sinsfomlen fo aeal af ekan...7 beis fo sinselaionen...8 cosins... cosins og Nsie... cosins i einkle ekan..., 11, 1 cosinselaionen...9,

Læs mere

for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul fo C-niea i sx 01 Kasen Jl 1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning.... Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee nä i kende kaee

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

for B- og A- niveau i stx og hf

for B- og A- niveau i stx og hf fo - og - niea i sx og hf D s 01 Kasen Jl Indhold 1: HÄjde og aeal... 1 1.1 Definiion HÄjde... 1 1. Eksemel En side kan Åe en häjde... 1 1.3 SÅning eal af ekan.... 1 1.4 Eksemel eal e kend... : Pyhagoas'

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Hvor mange er der?

Hvor mange er der? A Familien Tal 9 0 Hvor mange er der? Tæl ing Læs hisorien om Familien Tal høj. Se lærervejledningen..-. Tæl analle af de vise ing og skriv, hvor mange der er. Tæl ing fra asken 0 Tæl ing fra klassen 9

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 13/14 Institution VUC Albertslund Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag Mat C Kofi Danquah Mensah

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I PLNGEOMETRI OM KPITLET I dette kapitel om plangeometri skal eleverne arbejde med trekanter og deres egenskaber. Eleverne skal kunne anvende deres viden om trekanter til at beregne afstande, som de ikke

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for 1ama

Undervisningsbeskrivelse for 1ama Undervisningsbeskrivelse for 2016-2017 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Horsens HF og VUC HF2 Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Michael

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere