Kort om. Andengradspolynomier (2012) Karsten Juul

Transkript

1 Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul

2 Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig? Eksempel Hvoran uregner vi koorinater til grafpunkt? Eksempel SkÄringspunkter me x-akse og y-akse SÄtning Formel for x-koorinat til toppunkt Eksempel Uregn toppunkt Definition Formel for iskriminant Eksempel Uregn iskriminanten SÄtning Betyning af a, b, c og for grafen Definition Nulpunkt Eksempel Nulpunkt SÄtning Antal nulpunkter eller låsninger Eksempel Antal nulpunkter eller låsninger SÄtning LÅs anengrasligning Eksempel LÅs anengrasligning SÄtning Faktoriser anengraspolynomium Eksempel Faktoriser anengraspolynomium Eksempel Fin forskrift for anengraspolynomium OplÄg Nulregel SÄtning Nulregel Eksempel Nulregel OplÄg Ligninger af typen x = r SÄtning Ligninger af typen x = r Eksempel Ligninger af typen ( utryk ) = r Eksempel Anengrasligning me to le Bevis for formlen for låsning af anengrasligninger Definition RÅer... 9 Kort om anengraspolynomier Å 11, 1 Karsten Juul Dette häfte kan ownloaes fra HÄftet mç benyttes i unervisningen hvis läreren me et samme sener en til kj@mat1.k som oplyser at ette häfte benyttes, og oplyser om hol, niveau, lärer og skole.

3 1. Definition Anengraspolynomium Et anengraspolynomium er er en funktion af typen (1) ax bx c hvor a Hvis vi skriver pç a 's plas, sç bliver et ikke et anengraspolynomium a x forsviner.. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig? Vi sätter a 1 b c i ax bx c og fçr 1x ( ) x sç x x er et anengraspolynomium. I ette og anre anengraspolynomier skal vi kunne se hva a, b og c er for at kunne insätte i formler me a, b og c. 3. Eksempel Hvoran uregner vi koorinater til grafpunkt? Grafen for et anengraspolynomium er en parabel. I koorinatsystemet har vi tegnet grafen for f ( x ) x 4 x 5 f 3.1 Uregn y-koorinat til grafpunkt me kent x-koorinat Et punkt pç grafen har x koorinaten, 5. Vi vil uregne punktets y-koorinat y 1. Da 1,5, y ) ligger pç grafen, gäler at vs. ( 1 nçr vi i forskriften insätter 1,5 for x og regner u, sç fçr vi y1 y1,5 4,5 5 Vi uregner héjresien og fçr y 1 3,5 3. Uregn x-koorinat til grafpunkt me kent y-koorinat Et punkt pç grafen har y-koorinaten. Vi vil uregne punktets x-koorinat x1 Da x, ) ligger pç grafen, gäler at ( 1 Fin punktet i koorinatsystemet. vs. nçr vi i forskriften insätter x1 for x og regner u, sç fçr vi 1 x 4x1 Nspire léser enne ligning mht. x1 og fçr x 1 eller x Der er altsç to punkter pç grafen som har y-koorinaten. Fin punkterne i koorinatsystemet. Kort om anengraspolynomier Sie 1 11 (1) Karsten Juul

4 4. Eksempel SkÄringspunkter me x-akse og y-akse I koorinatsystemet har vi tegnet grafen for x 1,6x, Uregn grafens skäringspunkt me y-aksen Punktets x-koorinat er, sç om ets y-koorinat y1 gäler at y1 1,6,48 Vi uregner héjresien og fçr y 1,48 Se 3.1 Grafens skäringspunkt me y-aksen er (,,48) f 4. Uregn grafpunkt er ligger pç x-aksen Punktets x-koorinat kaler vi x 1. Punktets y-koorinat er a et ligger pç x-aksen. Da x, ) ligger pç grafen, gäler ( 1 x1 1,6x1,48 Se 3. Vi léser enne ligning mht. x1 og fçr x 1,4 eller x 1 1, Grafens skäringspunkter me x-aksen er (,4, ) og (1,, ) 5. SÄtning Formel for x-koorinat til toppunkt ax bx c, a Grafens toppunkt har x-koorinaten b x T a f x T 6. Eksempel Uregn toppunkt Vi ser at,4x 1, x 3,4 ax bx c og a, 4 b 1, c 3, 4 Toppunktets x-koorinat er b ( 1,) x T a (,4) 1,5 Toppunktet ligger pç grafen og har x-koorinaten 1, 5 sç om y-koorinaten y T y T,4 ( 1,5) Vi uregner héjresien og fçr y T 4,3 1, ( 1,5) 3,4 Toppunktet er T (1,5, 4,3) Se 5. Se. Se 3.1 f gäler at Kort om anengraspolynomier Sie 11 (1) Karsten Juul

5 7. Definition Formel for iskriminant Diskriminanten for et anengraspolynomium ax bx c, a er tallet b 4ac 8. Eksempel Uregn iskriminanten Vi ser at 3x x 5 ax bx c og a 3 b 1 c 5 Se. Diskriminanten er b 4ac ( 1) SÄtning Betyning af a, b, c og for grafen ax bx c, a er iskriminanten a : a positiv: grene vener op a negativ: grene vener ne parablen er breere nçr a er tättere pç nul a a,5 a 1 b : b er hälningskoefficient for tangent til graf i skäringspunkt me y-akse b l f b positiv: graf gçr op mo héjre i skäring me y-akse b nul: grafs toppunkt er pç y-akse b negativ: graf gçr ne mo héjre i skäring me y-akse l er tangent til f-grafen i ennes skäringspunkt me y-aksen. b er lig l 's hälningskoefficient. c : Graf skärer y-akse i punktet (, c) c positiv: graf skärer y-akse over x-akse c nul: graf gçr gennem punktet (, ) c negativ: graf skärer y-akse uner x-akse c c : positiv: graf har to punkter pç x-akse nul: graf har Ñt punkt pç x-akse negativ: graf har ingen punkter pç x-akse Kort om anengraspolynomier Sie 3 11 (1) Karsten Juul

6 1. Definition Nulpunkt At et tal er nulpunkt for en funktion betyer at nçr vi insätter tallet for x i forskriften og regner u, sç fçr vi nul. Oret nulpunkt er misvisene. Et nulpunkt er IKKE et punkt. Et nulpunkt er et tal. 11. Eksempel Nulpunkt At 1,5 er nulpunkt for x 3x betyer at 1,5 31,5 Dette er et samme som at 1,5 er lésning til ligningen x 3x og et samme som at grafpunktet me x-koorinat 1, 5 ligger pç x-aksen. Se 4. og 1,5 er nulpunkter for f f 1. SÄtning Antal nulpunkter eller låsninger ax bx c, a er iskriminanten Der gäler at Se 7. og 8. antallet af nulpunkter for anengraspolynomiet ax bx c vs. antallet af lésninger til anengrasligningen ax bx c er hvis 1 hvis Se 9. hvis 13. Eksempel Antal nulpunkter eller låsninger Vi vil bestemme tallet k sç anengrasligningen k x x 3 har netop Ñn lésning. Ligningen er pç formen ax bx c me a k, b, c 3, sç iskriminanten er b 4ac ( ) 4k3 4 1k Vi vil fine u af hvornçr er er Ñn lésning, vs. vi vil fine u af hvornçr er : 4 1k er ensbetyene me at Ligningen k x x 3 k 1 3 har netop Ñn lésning nçr k 1 3 Kort om anengraspolynomier Sie 4 11 (1) Karsten Juul

7 14. SÄtning LÅs anengrasligning En anengrasligning ax bx c, a kan vi lése sçan: FÉrst uregner vi iskriminanten: b 4ac SÇ bruger vi félgene regel: Hvis Hvis har ligningen ingen lésninger. b har ligningen lésningen a Hvis BemÄrkning har ligningen lésningerne BÇe nçr og b a er lésningerne b a og b a Formlen for at lése anengrasligninger. 15. Eksempel LÅs anengrasligning Ligningen 3x x 1 er af typen ax bx c me a 3, b og c 1 Diskriminanten er b 4ac ( ) 43 ( 1) 16 Da > har ligningen lésningerne Se 14 b a ( ) b a ( ) Konklusion: Ligningen 3x x 1 1 har lésningerne 3 og 1 Kort om anengraspolynomier Sie 5 11 (1) Karsten Juul

8 16. SÄtning Faktoriser anengraspolynomium Hvis anengraspolynomiet ax bx c, a har nulpunkterne x1 og x, er a( x x1)( x x ) formlen for at faktorisere et anengraspolynomium NÇr vi skriver anengraspolynomiet sçan, sç har vi faktoriseret anengraspolynomiet. Tal er ganges, kales faktorer. Her er er tre faktorer, nemlig a, xx1 og x x. 17. Eksempel Faktoriser anengraspolynomium Vi vil faktorisere anengraspolynomiet x 5x 3 Vi bruger formlen for at lése anengrasligninger og fçr at x 5x 3 har lésningerne 1 og 3 Vi bruger formlen for at faktorisere et anengraspolynomium og fçr at x 1 x ( 3) Vi reucerer ette og fçr (x 1)( x 3) Se 14. og 15. Se Eksempel Fin forskrift for anengraspolynomium Vi har fçet at vie at ax bx c f (x) har nulpunkterne og 5 punktet ( 3, 8) ligger pç grafen for f (x) Vi vil fine a, b og c. Vi insätter i formlen for at faktorisere et anengraspolynomium: a( x )( x 5) NÇr vi insätter et grafpunkts x-koorinat i forskriften og regner u, sç fçr vi grafpunktets y-koorinat. Da ( 3, 8) ligger pç grafen, er a( 3 )(3 5) 8 vs. a 1 ( ) 8, sç a 4. sç 4( x )( x 5) 4x a 4, b 8 og c 4 Se 16. 8x 4 Se 3.1 Kort om anengraspolynomier Sie 6 11 (1) Karsten Juul

9 19. OplÄg Nulregel Kun for A-niveau Vi ganger to tal: Hvis resultatet skal väre, sç mç en af faktorerne väre. Hvis x 3 er ( x) 4 Hvis x 5 4 ( x) 4 er 4 Hvis ( x) 4 mç x eller 4 vs. x sç x. SÄtning Nulregel Kun for A-niveau At et proukt er er et samme som at en af faktorerne er Se 19. Dvs. utryk1 utryk = er et samme som utryk1 = eller utryk = 1. Eksempel Nulregel Kun for A-niveau Vi vil lése ligningen ( x) (x6) Vi bruger nulreglen og fçr x eller x6 vs. x eller x 3 Kort om anengraspolynomier Sie 7 11 (1) Karsten Juul

10 . OplÄg Ligninger af typen x = r NÇr x 3 er x xx 33 9 NÇr x 3 er x xx ( 3) ( 3) 9 x 9 netop nçr x 3 eller x 3 3. SÄtning Ligninger af typen x = r NÇr n er negativ: x n er falsk uanset hvilket tal er insättes for x NÇr p er positv: x netop nçr x x p netop nçr x p eller x p Se. 4. Eksempel Ligninger af typen ( utryk ) = r Vi vil lése ligningen ( x) 9 Af sätning 3 fçr vi x 9 eller x 9 vs. x 5 eller x 1 5. Eksempel Anengrasligning me to le NÇr en anengrasligning har to le, kan vi lése en ve omskrivning. Der er to typer af isse ligninger. Anengrasligning uen férstegrasle: x 6 x 6 x 3 x 3 eller x 3 Se 3. Anengrasligning uen konstantle: Kun for A-niveau. B-niveau bruger sätning 14 me c =. x 5x x ( x 5) x eller x 5 x eller x 5 Se. og 1. Kort om anengraspolynomier Sie 8 11 (1) Karsten Juul

11 6. Bevis for formlen for låsning af anengrasligninger Se 14. Ve uregning fçr vi (1) ( ax b) 4a x 4abx b Vi starter me at omskrive anengrasligningen: I ligningen ax bx c, a ganger vi begge sier me 4 a : 4a ax bx c 4a Vi ganger in i parentesen: 4a x 4abx 4ac Vi lägger iskriminanten b 4ac til begge sier: 4a x 4abx 4ac b 4ac b 4ac Vi reucerer: 4a x Af (1) fçr vi (ax b) 4abx b Vi bruger nu e tre ele af sätning 3: Hvis : (ax b) har ingen lésninger Hvis : (ax b) ax b b x a Hvis : (ax b) ax b ax x b b a Nu har vi bevist alle tre ele af sätning Definition RÅer En ro i et polynomium er et samme som et nulpunkt for et polynomium. En ro i en ligning er et samme som en lésning til en ligning. Kort om anengraspolynomier Sie 9 11 (1) Karsten Juul

12 A anengrasligning...5 anengrasligning me to le...8 anengrasligning, bevis...9 anengrasligning, lésninger...5 anengraspolynomium...1 anengraspolynomium, fin a, b og c...6 anengraspolynomium, fin forskrift...6 D iskriminant...3, 5 F faktorisering...6 G grafen og a, b, c og...3 L lés anengrasligning...5 lésning... 9 lésninger... 5 lésninger, antal... 4 N nulpunkt... 4, 9 nulpunkter, antal... 4 nulregel... 7 R ro i ligning... 9 ro i polynomium... 9 réer... 9 S skäring me x-akse... skäring me y-akse... T toppunkt...