Eksponentielle sammenhänge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Eksponentielle sammenhänge"

Transkript

1 Eksponenielle sammenhänge y 800, y , 5 5% % Karsen Juul

2 Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? Signing og fald angive i procen Poenser Reneformlen 6 18 Hvordan ser grafen ud for en eksponeniel sammenhäng? Opgaver hvor vi skal besemme eller y i y = ba 67 0 Hvordan kan vi beregne Ändringer i y og for en eksponeniel sammenhäng? 69 1 Hvad foräller a og b om den eksponenielle sammenhäng y = ba? 73 Hvordan kan vi opskrive en ligning for en eksponeniel sammenhäng? 76 3 Fordoblingskonsan og halveringskonsan 77 Nyere häfer: hp://ma1dk/kor_om_eksponenielle_sammenhaengepdf 1/5-11 hp://ma1dk/oevelser_il_haefe_kor_om_eksponenielle_sammenhaengepdf 9/5-11 hp://ma1dk/reneformlenpdf 1/5-11 Eksponenielle sammenhänge 1 udgave 009 Å 009 Karsen Juul Dee häfe kan downloades fra wwwma1dk HÄfe mç benyes i undervisningen hvis läreren med de samme sender en il som oplyser a dee häfe benyes (skriv filnavn), og oplyser om hold, niveau, lärer og skole

3 Afsni 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? DEFINITION 141 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? Vi kalder en sammenhäng for eksponeniel hvis den kan beskrives ved en ligning der fçs ved a indsäe beseme al for a og b i ligningen (1) y ba hvor bçde a og b skal väre posiive Opgave 14: Ligningen () y 1, 1, 4 viser en sammenhäng mellem o variable y og Hvilke al skal vi indsäe for a og b i ligningen sammenhängen ()? Vi skal säe a 1, og b 1, 4 for nçr vi gér de, fçr vi ligningen y 1,4 1, som kan omskrives il ligningen () y ba for a fç BemÄrkning 143 Bevis for a en sammenhäng er eksponeniel I svare pç 14 vise vi a sammenhängen () kan fçs ved a säe beseme al ind for a og b i ligning (1) i definiion 141 IfÉlge definiion 141 har vi alsç vis a () er en eksponeniel sammenhäng Opgave 144: Ligningen 3 (3) y viser en sammenhäng mellem o variable y og Hvilke al skal vi indsäe for a og b i ligningen y ba sammenhängen (3)? for a fç For a fç sammenhängen (3) skal vi i ligningen y ba säe a 3 og b 1 for nçr vi gér de, fçr vi ligningen y 1 3 som vi kan omskrive il ligningen (3) da Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

4 Åvelse 145 Hver af félgende sammenhänge kan vi fç ved a säe al ind for a og b i ligningen y ba Angiv i hver ilfälde hvad der skal indsäes for a og b (1) y 0,51, 09 () y 0,5 1, 09 (3) y 1,09 0, 5 (4) y 1,09 4 Eksempel 146: Vi kéber en plane PÇ kébsidspunke er héjden (i cm) 10 Hver uge ganges héjden med 1,15 Efer 1 uge mç héjden derfor väre 10 1,15 Dee al skal ganges med 1,15 for a fç héjden efer uger: 10 1,15 1,15 Osv Opgave 147: Hvordan kan héjden (i cm) efer 3 uger beregnes? (Se eksempel 146) 10 1,151,15 1, 15 Opgave 148: Hvordan kan héjden (i cm) efer 4 uger beregnes? (Se eksempel 146) ,15 Opgave 149: SÄ y = héjden (i cm) = anal uger efer kébe Opskriv en formel il beregning af y nçr er kend (Se eksempel 146) y 10 1, 15 SammenhÄngen formen y 10 1, 15 y b a med b 10 og a 1, 15 er eksponeniel ifélge definiion 141 da den er pç Planens héjde vokser med samme procen hver uge Begrundelse: NÇr vi vil udregne alle der er 15 % sérre end e give al, sç kan vi gére de ved a gange de givne al med 1,15 Åvelse 1410 Ved saren af e udsalg er prisen 600 kr Hver dag ganges prisen med 0, 85 Der gälder 600 0,85 510, sç 1 dag efer udsalges sar vil prisen väre 510 kr (1) Hvordan kan vi beregne prisen 3 dage efer udsalges sar? () Hvordan kan vi beregne prisen 0 dage efer udsalges sar? (3) Vi lader y sç for prisen (i kr) og for analle af dage efer udsalges sar Opskriv en formel il beregning af y nçr er kend Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

5 Afsni 15 Signing og fald angive i procen BemÄrkning 151 Hvorfor regner vi med procener? Prisen pç en vare er sege kr Er dee mege eller lid? Hvis den oprindelige pris var 4 kr, sç er signingen 50 % (dvs 50 hundrededele) af prisen Hvis den oprindelige pris var 00 kr, sç er signingen 1 % (dvs 1 hundrededel) af prisen I dee ilfälde foräller den absolue signing kr ikke om signingen er sor Den procenvise signing foräller hvor sor signingen er i forhold il prisen, og de er de vi i dee ilfälde skal vide for a afgére om signingen er sor PÇ en si der gçr op ad en skrçning, siger héjden over haves overflade 0 cm for hver skrid Her er de den absolue signing 0 cm der er afgérende for om signingen er sor Hvis vi er 100 cm over haves overflade, er signingen pç 0 % Hvis vi er 000 cm over haves overflade, sç er signingen pç 1 % Den procenvise signing foräller ikke om signingen er sor Eksempel 15 Hvad beyder %? 16 % beyder 16 hundrededele, alsç Tegne % läses procen Opgave 153: Hvor mange procen er värdien sege? En variabels värdi siger fra 64 il 80 Hvor mange procen er värdien sege? Den absolue signing er I procen er dee 16 0,5 5 5% VÄrdien er sege 5% nçr den er sege fra 64 il 80 NÇr vi siger a värdien er sege 5%, sç mener vi a den absolue signing 16 udgér 5 hundrededele af sarvärdien 64 Opgave 154: Hvor mange procen er värdien falde? En variabels värdi falder fra 80 il 64 Hvor mange procen er värdien falde? De absolue fald er I procen er dee 16 0,0 0 0% VÄrdien er falde 0% nçr den er falde fra 80 il 64 NÇr vi siger a värdien er falde 0%, sç mener vi a de absolue fald 16 udgér 0 hundrededele af sarvärdien 80 Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

6 Opgave 155: Besem sluvärdi nçr signingen er angive i procen og sarvärdi er kend PÇ e idspunk er värdien af en variabel 50 Herefer siger värdien 3% Hvad bliver variablens nye värdi? svar: Meode 1: 3 3 % af 50 er er de al der er 3% sérre end 50 Meode : 100% 3% 13% 13 1, , er de al der er 3% sérre end 50 Begrundelse for a meode virker: 50 er 100 % af 50, sç 3% mere er 13 % af 50 I nogle opgaver er de uoverkommelig a bruge meode 1, sç meode er nédvendig Desuden er meode nédvendig for a forsç ligningen for en eksponeniel sammenhäng Opgave 156: Besem sluvärdi nçr falde er angive i procen og sarvärdi er kend PÇ e idspunk er värdien af en variabel 400 Herefer falder värdien 4 % Hvad bliver variablens nye värdi? Meode 1: 4 % af 400 er er de al der er 4 % mindre end 400 Meode : 100% 4% 76% , , er de al der er 1 % mindre end 400 Begrundelse for a meode virker: 400 er 100 % af 400, sç 4 % mindre er 76 % af 400 I nogle opgaver er de uoverkommelig a bruge meode 1, sç meode er nédvendig Desuden er meode nédvendig for a forsç ligningen for en eksponeniel sammenhäng Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

7 Opgave 15 7: Slualle fçs ved a gange saralle med,30 Hvor mange procen er slualle sérre end saralle?, % % 100% 130% Slualle er 130% sérre end saralle Saralle er 100 % af saralle, og slualle er 30 % af saralle, sç forskellen er 130 % af saralle Opgave 15 8 Slualle fçs ved a gange saralle med 0,18 Hvor mange procen er slualle mindre end saralle? 0, % % 18% 8% Slualle er 8% mindre end saralle Saralle er 100 % af saralle, og slualle er 18 % af saralle, sç forskellen er 8 % af saralle Åvelse 159 Besem hvor mange procen värdien af en variabel siger nçr dens värdi siger (1) fra 100 il 1500 () fra 100 il 3000 (3) fra 0, 0 il 0, 35 Åvelse 1510 Besem hvor mange procen värdien af en variabel falder nçr dens värdi falder (1) fra 1500 il 100 () fra 50 il 45 (3) fra 45 il 40 Åvelse 1511 Besem hvor mange procen värdien af en variabel falder eller siger nçr dens värdi Ändres (1) fra 00 il 800 () fra 800 il 00 (3) fra 100 il 1800 Åvelse 151 Vis hvordan den meode fra 155 og 156 kan bruges il a beregne (1) de al der er 60% sérre end 500 () de al der er 60% mindre end 800 (3) de al der er 140% sérre end 500 (4) de al der er 4,% mindre end 0 Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

8 Åvelse 1513 Brug meode fra 155 og 156 i denne opgave (1) Besem de al der er 10% sérre end 300 () Besem de al der er 10% sérre end 330 (3) Besem de al der er 0% sérre end 300 (4) Nu er héjden 300 mm, og hver dag bliver héjden 10% sérre end dagen fér Hvad er héjden om 14 dage? Åvelse 1514 Brug meode fra 155 og 156 i denne Évelse (1) Besem de al der er 40% mindre end 500 () Besem de al der er 40% mindre end 300 (3) Besem de al der er 80% mindre end 500 (4) Nu er der 500 gram af e sof, og hver mçned forsvinder 40% af den mängde der var ved mçnedens sar Hvor mange gram er der ilbage om 1 mçneder? Åvelse 1515 I denne Évelse sçr bogsaverne A og B for o al De er oplys a Hvor mange procen er B sérre end A? A1, 085 B Åvelse 1516 I denne Évelse sçr bogsaverne A og B for o al De er oplys a Hvor mange procen er B mindre end A? A 0, 95 B Åvelse 1517 Angiv i hver af félgende ilfälde hvor mange procen B sérre eller mindre end A (1) A1, 1 B () A0, 11 B (3) A B (4) A1, 34 B (5) A0, 086 B Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

9 Afsni 16 Poenser SÉTNING 161 Nogle regler om poenser NÇr a, c, r og s sçr for al hvor a og c er posiive, gälder a 0 1 a a 3 a osv 1 a a a a a a a r a s ( a c) r a a rs r c r NÇr NÇr a r c er a r c a r c er log( c) r, a 1 log( a) Opgave 16: Omskriv félgende udryk sç de bliver nemmere a indase pç lommeregneren: B 500 1,031,031,031,03 B 500 1,03 4 Åvelse 163 Omskriv félgende udryk sç de bliver nemmere a indase pç lommeregneren: A 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 C 300 0,961 0,961 0, 961 Opgave 164: ReducÑr Åvelse 165 ReducÑr hver af udrykkene 0,5 1 og 0, Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

10 Opgave 166: Hvad skal vi gange 1,3 med for a fç 1 1,3? 1 1,3 1,3 1,3 1,3 1, 3 1 Heraf ser vi a vi skal gange 1,3 med 1, 3 for a fç 1 1,3 Åvelse 167 Hvad skal vi gange 43 med for a fç 43? Opgave 168: ReducÑr 10 (3) 10 (3 ) Åvelse ReducÑr hver af udrykkene ( ) 0, 5 og 4(0,5 ) Opgave 1610: Hvad skal vi gange med for a fç ( 4 )? ( 4) 4 16 Heraf ser vi a vi skal gange med 16 for a fç ( 4 ) Åvelse 1611 Hvad skal vi gange 3 0,7 med for a fç 3 0,7( )? Opgave 161: Besem i ligningen 3 4, 65 Vi vil besemme i ligningen 3,4 4,65,4 Ved a dividere begge sider med 3 fçr vi,4 Heraf fçr vi 1,55,4 1,55 Ved a udregne héjresiden pç lommeregneren fçr vi a 1,003 dvs 1,0 Åvelse Besem i ligningen 5,5 6, 7 Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

11 Opgave 1614: Besem i ligningen 10 1,05 11, 3 Vi vil besemme i ligningen 10 1,05 11,3 Ved a dividere begge sider med 10 fçr vi 1,05 1,13 Heraf fçr vi log(1,13) log(1,05) Ved a udregne héjresiden pç lommeregner fçr vi dvs,5049,5 Åvelse 1615 Besem i ligningen 1,5 4, 5 Åvelse 1616 LÉs hver af ligningerne 3 og 3 Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

12 Afsni 17 Reneformlen Eksempel 171 Forklaring af reneformlen Vi säer kr i banken il en fas Çrlig rene pç 5,8% Vi bruger meode fra opgave 155: 105,8 100% 5,8% 105,8% 1, Heraf ser vi: Vi skal gange belébe pç konoen med 1,058 for a fç de beléb der er 5,8% sérre BelÉbene pç konoen kan beregnes sçdan: BelÉbe , 058 skal ganges med 1, 058 Sar: for a fç de beléb der er 5,8 % sérre Efer 1 Çr: , 058 Efer Çr: ,058 1, 058 Efer 6 Çr: ,058 1,0581,0581,0581,058 1, 058 Dee kan skrives korere ved hjälp af poens: (1) Efer 6 Çr: , , 6 I forbindelse med oplysninger som (1) bruges ofe félgende symboler: hvor K K (1 r) n r K 0 K 6 0 n er analle af erminer 5,8% , 0,058 er den procen der ilskrives i rene hver ermin er sarkapialen er kapialen efer 6 erminer En ermin er den id der gçr mellem o reneilskrivninger I dee eksempel er en ermin lig e Çr SÉTNING 17 Reneformlen Hvis vi indsäer e beléb pç en kono, sç er hvor K K (1 r) 0 n n er analle af erminer r er den procen der ilskrives i rene hver ermin K0 er sarkapialen K er kapialen efer n erminer Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

13 Opgave 173: Vi säer kr i banken il en fas Çrlig rene pç 5,8% Efer hvor mange Çr er belébe vokse il kr? Vi bruger reneformlen hvor K K (1 r) 0 n Anal erminer n de al vi skal besemme Reneprocenen r 5,8% 0, 058 Sarkapialen K Kapial efer n erminer K Ved a säe disse al ind i reneformlen fçr vi (1 0,058) Vi dividerer begge sider med : Heraf fçr vi dvs sç n n efer n 1, log ( ) log(1,058) 1,8 13 Çr er belébe vokse il ca kr n Åvelse 174 I hver af ilfäldene (1)-(4) skal du gére félgende: Skriv for hver af symbolerne n, r, K0 og K i reneformlen alvärdien eller skriv a den er ukend, og besem de ukende al (1) Vi säer kr i banken il en fas Çrlig rene pç 6 % Efer hvor mange Çr er belébe vokse il kr? () Vi säer e beléb i banken il en fas Çrlig rene pç 4,5 % Efer 8 Çr er belébe vokse il 180 kr Hvor sor e beléb sae vi i banken? (3) Vi säer 500 kr i banken il en fas Çrlig rene pç 3 % Hvor sor e beléb sçr pç konoen efer efer 16 Çr? (4) Vi säer 700 kr i banken il en fas Çrlig reneprocen Efer 15 Çr er belébe vokse il 1067 kr Besem den Çrlige reneprocen BemÄrkning 175 BelÑbe pç konoen vokser eksponeniel Hvis vi säer kr i banken il en fas Çrlig rene pç 5,8%, sç félger af reneformlen a kapialen K efer n Çr er K , 058 n IfÉlge definiion 141 er denne sammenhäng eksponeniel Vi har blo brug K og n i sede for y og Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

14 Afsni 18 Hvordan ser grafen ud for en eksponeniel sammenhäng? Eksempel 181 FÉlgende re sammenhänge er alle eksponenielle (ifélge definiion 141): I: y 0,7 1, 6 II: III: y 1,, 1 y 1,4 0, 53 Opgave 18: Tegn graferne for de re sammenhänge Ved hjälp af e elekronisk hjälpemiddel eller ved séepunksmeoden fra afsni 4 kan vi egne graferne: I II III SÉTNING 183 Hvordan ser grafen ud for en eksponeniel sammenhäng? En eksponeniel sammenhäng y ba er afagende hvis a er mellem 0 og 1 og voksende hvis a er sérre end 1 Grafen for en eksponeniel sammenhäng ligger over -aksen, men kommer vilkçrlig Ä pç -aksen Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

15 Enkellogarimisk koordinasysem I koordinasyseme nedenfor il héjre er den lodree akse en speciel ype der kaldes en logarimisk akse E koordinasysem kaldes e enkellogarimisk koordinasysem hvis den vandree akse er sädvanlig, og den lodree er logarimisk Opgave 184: Tegn grafen for sammenhängen ovenfor y,4 1, 43 i begge koordinasysemerne Vi bruger meoden fra afsni 4 og afsäer de fundne séepunker i begge koordinasysemer: y,4 1, 43 y,4 1, 43 Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

16 SÉTNING 185 Grafen for en eksponeniel sammenhäng er en re linje i e enkellogarimisk koordinasysem BemÄrkning NÇr vi ser koordinasysemer i aviser, idsskrifer og lärebéger i forskellige fag, skal vi se efer om akserne er sädvanlige, sç vi ikke ror a en sammenhäng er lineär nçr grafen er en re linje i e enkellogarimisk koordinasysem Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

17 Afsni 19 Opgaver hvor vi skal besemme eller y i y = ba Eksempel 191: For nogle dyr gälder (1) y 0,3 1, hvor y er vägen, mçl i gram, og er alderen, mçl i uger Opgave 19: Hvad er vägen af e dyr hvis alder er 13 uger? (Se eksempel 191) Under ligningen (1) sçr a er alderen, sç da de oplyse al 13 er alderen, skal 13 indsäes pç 's plads: y 0,3 1, 13 Ved a udregne dee fçr vi y 3, Under ligningen (1) sçr a y er vägen, sç e 13 uger gammel dyr vejer 3, g Opgave 193: Hvilken alder har e dyr hvis väg er 6,7 g? (Se eksempel 191) Under ligningen (1) sçr a y er vägen, sç da de oplyse al 6,7 er vägen, skal 6,7 indsäes pç y's plads: 6,7 0,3 1, For a lése denne ligning sarer vi med a dividere begge sider med 0,3: 6,7 0,3 0,3 1, 0,3 Vi forkorer bréken pç héjre side og fçr 6,7 0,3 1, Denne ligning har lésningen,7 ( 6 ) log 0, 3 log(1,) Ved a udregne dee fçr vi 17 Under ligningen (1) sçr a er alderen, sç e dyr hvis väg er 6,7g, har alderen 17 uger Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

18 Åvelse 194 For e firma gälder y 681, 14 hvor y er anal ansae, og er anal Çr efer 00 Hvor mange ansae er der i 005? Hvilke Çr er analle af ansae ca 150? I de fñlgende lader vi sç for e al som endnu ikke er oplys Opgave 195: Hvilken alder har e dyr hvis väg er gram? (Se eksempel 191) Under ligningen (1) sçr a y er vägen, sç da de oplyse al er en väg, skal indsäes pç y's plads: 0,3 1, For a lése denne ligning sarer vi med a dividere begge sider med 0,3: 0,3 1, 0,3 0,3 Vi forkorer bréken pç héjre side og fçr 1, 0,3 Denne ligning har lésningen log( 0, 3) log(1,) Under ligningen (1) sçr a er alderen, sç for e dyr hvis väg er gram, er alderen i uger log( 0, 3) () log(1,) Hvis 6, 7 ( 6,7 fçr vi af () a alderen i uger er ) log 0, 3 17 log(1,) Åvelse 196 Mellem o variable og y er der félgende sammenhäng: y 4 0, 73 Hvad er nçr y er 48k? (k sçr for e al vi ikke har fçe oplys Svare er e udryk der indeholder k) Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

19 Afsni 0 Hvordan kan vi beregne Ändringer i y og for en eksponeniel sammenhäng? Eksempel 01: For en plane gälder (1) y 50 1, hvor y er prisen i kr, og er vägen, mçl i gram Opgave 0: Nu er planens väg gram Hvor mege héjere end nu vil prisen väre nçr planen er bleve 1 gram ungere? (Se eksempel 01) er SpÉrgsmÇle er: hvor mege sérre bliver y nçr bliver 1 enhed sérre? NÇr er bleve 1 enheder sérre, sç har sérrelsen 3 Vi besemmer y nçr er og 3: NÇr er y 50 1, 7 3 NÇr 3 er y 50 1, 86, 4 Da voksede fra il 3, sç voksede y alsç fra 7, il 8,64 Nu kan vi nem regne ud hvor mege sérre y er bleve: 86,4 7 14,4 Der gälder alsç: Prisen seg 14,4 kr da vägen seg fra gram il 3 gram PÇ samme mçde som ovenfor kan vi beregne hvor mege prisen siger nçr vägen siger fra 3 gram il 4 gram Se abellen nedenfor Vi ser: prisen siger siger ikke med samme beléb hver gang vägen siger 1 gram Hvis der havde väre ale om en lineär sammenhäng sige med a kr hver gang vägen siger med 1 gram y a b, sç ville prisen y 7 86,4 103,68 14, 4 17, 8 Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

20 I abellen pä foregäende side kan vi se hvor mange kr prisen siger när vågen siger fra gram il 3 gram, og fra 3 gram il 4 gram Opgave 03: Hvor mange procen siger prisen nçr vägen siger fra gram il 3 gram? (Se eksempel 01) Prisen siger fra 7 kr, og signingen er 14,4 kr I procen er denne signing 14,4 0, 0% 7 Prisen siger 0% nçr vägen siger fra gram il 3 gram PÇ samme mçde som ovenfor kan vi beregne hvor mange procen prisen siger nçr vägen siger fra 3 gram il 4 gram Se abellen nedenfor Vi ser: prisen siger med samme procen ved de o vägsigninger pç 1 gram y 7 86,4 103,68 0% 0% Åvelse 04 En pakke sçr i e kold lokale Der gälder y 83 0, 6 hvor y er emperauren i C af pakkens indhold, og er anal imer siden midna Hvor mange grader og hvor mange procen falder emperauren fra kl 1 il? Hvor mange grader og hvor mange procen falder emperauren fra kl il 3? I fñlgende opgave sçr for e al som endnu ikke er kend Vi ser sadig pç sammenhängen (1) i eksempel 01 Opgave 05: rs r s Af poensreglen a a a NÇr sarer med a have värdien og 1 1 fçr vi 1, 1, 1, derefer bliver gjor 1 enhed sérre, hvor mange procen sérre bliver sç y? 1 Af poensreglen a a VÄrdien af Éges fra il +1 1 fçr vi 1, 1, NÇr er y 50 1, 1 NÇr 1 er y 50 1, 50 1, 1, 50 1, 1, 1 NÇr vi ganger 501, med 1,, fçr vi 501, 1, Dvs y bliver 0 % sérre nçr fra värdien Éges med 1 kan sç for ehver al, sç y bliver 0 % sérre nçr vi gér Ñn enhed sérre uanse hvilken värdi sarer med y 1 0% Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

21 Åvelse 06 En pakke sçr i e kold lokale Der gälder y 97 0, 53 hvor y er emperauren i C af pakkens indhold, og er anal imer siden midna Hvor mange procen falder emperauren fra kl il kl 1? Opgave 07: Nu er planens väg 0,6 gram Hvor mange procen héjere end nu vil prisen väre nçr planen er bleve 0,4 gram ungere? (Se eksempel 01) er 0,6 SpÉrgsmÇle er: hvor mege sérre bliver y nçr bliver 0,4 enheder sérre? NÇr er bleve 0,4 enheder sérre, sç har sérrelsen 1 Vi besemmer y nçr er 0,6 og 1: 0,6 NÇr 0, 6 er y 50 1, 55, 78 1 NÇr 1 er y 50 1, 60, 00 Da voksede fra 0,6 il 1, sç voksede y alsç fra 55,78 il 60,00 Nu kan vi regne ud hvor mege sérre y er bleve: 60,00 55,78 4, I procen er denne signing 4, 55,78 Der gälder alsç: 0,076 7,6% Prisen seg 7,6% da vägen seg fra 0,6 gram il 1 gram I abellen er anskueliggjor hvad de er vi har regne ud ovenfor Åvelse 08 Om en plane er oplys a 0, 4 0,6 1 y 55,78 60,00 7,6% y 15 1, 08 hvor y er héjden i cm, og er anal uger efer udplanningen Hvor mange cm og hvor mange procen bliver planen héjere i de férse 5 uger efer udplanningen? Åvelse 09 E radioakiv sof anbringes i en beholder Der gälder y 130 0, 89 hvor y er anal gram der er ilbage, og er anal Çr efer a soffe blev anbrag i beholderen Hvor mange gram og hvor mange procen afager mängden af de radioakive sof i lébe af de férse 10 Çr? Hvor mange gram og hvor mange procen afager mängden af de radioakive sof i lébe af de näse 10 Çr? Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

22 Opgave 010: Nu er prisen 160 kr Hvor mege ungere end nu vil planen väre nçr den er bleve 31 % dyrere? (Se eksempel 01) y er 160 NÇr y er bleve 31 % sérre, sç har y sérrelsen 160 1,31 09, 6 Vi besemmer nçr y er 160 og 09,6 : Ved a lése ligningen , fçr vi 6, 38 Ved a lése ligningen Vi udregner hvor mege sérre er bleve: 7,86 6,38 1,48 Der gälder alsç 09,6 50 1, fçr vi 7, 86 NÇr planen er beve 31 % dyrere, sç vil den väre 1,48 gram ungere Åvelse 011 E radioakiv sof anbringes i en beholder Der gälder y 130 0, 89 hvor y er anal gram der er ilbage, og er anal Çr efer a soffe blev anbrag i beholderen PÇ e idspunk er der 110 gram ilbage Hvor lang id gçr der efer dee idspunk fér mängden der er ilbage, er 5 % mindre? Åvelse 01 Om en plane er oplys a y 15 1, 08 hvor y er héjden i cm, og er anal uger efer udplanningen PÇ e idspunk er héjden 18 cm Hvor lang id gçr der efer dee idspunk fér héjden er bleve 30 % héjere end den er pç dee idspunk? Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

23 Afsni 1 Hvad foräller a og b om den eksponenielle sammenhäng y = ba? I dee afsni sçr bçde a, b og for al som endnu ikke er oplys Eksempel 11: Ligningen (1) y ba viser sammenhängen mellem o variable y og Opgave 1: Hvilken Ändring sker i värdien af y, nçr Ändrer värdi fra il 1? Vi regner ud hvad y er nçr er og 1 : NÇr er y b a 1 1 NÇr 1 er y b a b a a ba a Vi ser a nçr värdien af Ändres fra il +1, sç Ändres värdien af y fra a b il b a a Dvs värdien af y bliver gange med a nçr Ändrer värdi fra il 1 Da ikke indgçr i svare, gälder alsç a ligegyldig hvilken värdi sarer med a have, sç vil y blive gange med a nçr bliver 1 enhed sérre: y 1 a Hvis a er 0,3, er a 1 0,7 70% y blive 70 % mindre sç hver gang bliver 1 enhed sérre, vil OvensÇende udregning viser a félgende regel gälder: SÉTNING 13 Hvad foräller a i y = b a? Hvis y ba, foräller a a hver gang bliver 1 enhed sérre, bliver y gange med a Dee formuleres normal ved hjälp af procen I opgaverne 157 og 158 er vis hvordan vi kan finde procenen nçr vi kender a Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

24 Eksempel 14: Ligningen () y 80 0, 95 viser sammenhängen mellem félgende o variable (3) dybden (mçl i cm) under väskens overflade y lysinensieen Opgave 15: I ligningen () sçr alle 0,95 Hvad foräller alle 0,95 om lysinensieen? (Se eksempel 14) Reglen om hvad a foräller (säning 13) siger a hver gang bliver 1 enhed sérre, bliver y gange med a Heri ersaer vi a, og y med oplysningerne fra () og (3): (4) Hver gang dybden bliver 1 enhed sérre, bliver lysinensieen gange med 0,95 Hvis vi mçler lysinensieen e sed i väsken, og derefer mçler dem 1 cm längere nede, sç vil den sidse mçling alsç väre 95 % af den férse, dvs den sidse mçling er 5 % mindre end den férse For hver cm dybden Éges, bliver lysinensieen 5% mindre Dee er hvad alle 0,95 foräller om lysinensieen Åvelse 16 PÇ en skärm kan vi Ändre e rekangel ved a räkke med musen Der gälder y 30 0, 44 hvor y er héjden (i mm) og er bredden (i mm) Hvad foräller alle 0, 44 om héjden og bredden? Åvelse 17 Om nogle bakerier i en näringsoplésning gälder y 000 1, 43 hvor y er analle af bakerier og er anal imer efer a bakerierne blev anbrag i skçlen Hvad foräller alle 1, 43 om analle af bakerier? Opgave 18: Hvad er y nçr er 0? (Se eksempel 11) NÇr 0 er y b a b 1 b Dvs y er b nçr er 0 0 Denne udregning viser a félgende regel gälder: SÉTNING 19 Hvad foräller b i y = ba? Hvis y ba, foräller b a nçr er 0, er y lig b Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

25 Opgave 110: I ligningen () sçr alle 80 Hvad foräller alle 80 om lyssyrken? (Se eksempel 14) Reglen om hvad b foräller (säning 19) siger a nçr er 0, er y lig b Heri ersaer vi b, og y med oplysningerne fra () og (3): NÇr dybden under overfladen er 0, er lyssyrken lig 80 Vi omformulerer dee il Ved väskens overflade er lyssyrken 80 Dee er hvad alle 80 i ligningen () foräller os om lyssyrken Åvelse 111 I e compuerspil afhänger gevinsen af den emperaur der opnçs Der gälder y 110 0, 98 hvor er emperauren (i C ) og y er anal méner man vinder Hvad foräller alle 110 om spille? Åvelse 11 Om nogle bakerier i en näringsoplésning gälder y 000 1, 43 hvor y er analle af bakerier og er anal imer efer a bakerierne blev anbrag i skçlen Hvad foräller alle 000 om analle af bakerier? BemÄrkning (Se eksempel 14) Nedenfor er anskueliggjor hvad allene 0,95 og 80 i ligning () foräller om lyssyrken: Dybde (cm) Lysinensieen , 68,6 5 5% 5% % Åvelse 113 Man har indspréje e anal enheder af e sof i e dyr Der gälder y 4 0, 79 hvor y er anal enheder i kroppen, og er anal imer efer indspréjningen Hvad foräller allene 4 og 0, 79 om mängden af soffe i kroppen? Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

26 Afsni Hvordan kan vi opskrive en ligning for en eksponeniel sammenhäng? Opgave 1: Om en plane oplyses: (1) héjden vokser med 5,6 % pr uge () héjden var 7,0 cm da planen blev kéb Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem planens héjde og idspunke Vi välger félgende beegnelser: = anal uger efer a planen blev kéb y = héjden (i cm) Oplysningen (1) kan nu formuleres sçdan: Dvs Hver gang bliver 1 enhed sérre, sç bliver y 5,6 % sérre Hver gang bliver 1 enhed sérre, sç bliver y gange med 1,056 Af reglen om hvad a foräller (säning 13), félger a a 1, 056 Oplysningen () kan formuleres sçdan: NÇr er 0, sç er y lig 7,0 Af reglen om hvad b foräller (säning 17), félger a b 7, 0 SammenhÄngen mellem planens héjde og idspunke beskrives alsç med ligningen y 7,0 1,056 hvor y er héjde i cm og er anal uger efer kéb De er vigig a vi skriver hvad vi har valg a lade og y sç for ("anal uger efer kéb" og "héjde i cm") da ligningen er ubrugelig hvis läseren ikke ved hvad der skal indsäes for, og ikke ved hvad de er man beregner ved udregne ligningens héjre side Åvelse Om en vare oplyses: I Çr 000 er forbruge 38 on, og forbruge vokser 13,8 % hver Çr Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem forbrug og idspunk Åvelse 3 NÇr man pç en skärm Ändrer afsanden mellem o punker A og B, sç Ändres auomaisk afsanden mellem o andre punker C og D FÉlgende er oplys: Afsanden mellem C og D bliver 14, % mindre hver gang afsanden mellem A og B bliver 1 enhed sérre, og nçr A og B er sammenfaldende, er afsanden mellem C og D lig 3,7 enheder Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem afsand fra A il B og afsand fra C il D Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

27 Afsni 3 Fordoblingskonsan og halveringskonsan Åvelse 31 Tabellen viser hvordan mängden af e sof i en oplésning er afage Timer efer a oplésningen blev lave: MÄngde i gram: (1) Hvis vi nçr oplésningen lige er lave, siller spérgsmçle "Om hvor mange imer er mängden halvdelen af hvad den nu er", hvad er sç svare? () Hvis vi ime afer a oplésningen er lave, siller spérgsmçle " Om hvor mange imer er mängden halvdelen af hvad den nu er ", hvad er sç svare? (3) Hvis vi 4 ime afer a oplésningen er lave, siller spérgsmçle " Om hvor mange imer er mängden halvdelen af hvad den nu er ", hvad er sç svare? Opgave 3: OplÄg il emne fordoblingskonsan Tabellen viser hvordan héjden af en plane er vokse eksponeniel Anal uger efer kéb: HÉjde i cm: PÇ idspunke uger efer kébe spérger kéberen: (1) Om hvor mange uger er planen dobbel sç héj som nu? Hvad er svare? Af abellen ses a pç idspunke er héjden 19 Den dobbele héjde er Af abellen ses a héjden er 38 pç idspunke 5 Da 5 3 mç svare pç spérgsmçle (1) väre: 3 uger Af abellen ses a hvis spérgsmçle (1) var sille 1 uge efer kébe, sç ville vi ogsç väre komme frem il svare "3 uger" Uanse hvornçr vi sarer, sç vil der gç 3 uger fér héjden er fordoble Man siger a héjdens fordoblingskonsan er 3 uger DEFINITION 33 Vi ser pç en eksponeniel sammenhäng Hvad er fordoblingskonsan og halveringskonsan? y b a Hvis sammenhängen er voksende (dvs a 1) definerer vi a fordoblingskonsanen er de anal enheder vi skal gére sérre for a fordoble y Hvis sammenhängen er afagende (dvs 1 0 a ) definerer vi a halveringskonsanen er de anal enheder vi skal gére sérre for a halvere y Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

28 Åvelse 34 For en eksponeniel voksende sammenhäng med fordoblingskonsan 5 oplyses: NÇr 3 er y 7 Brug oplysningen om fordoblingskonsan il a besemme flere eksempler pç sammenhérende värdier af og y: NÇr er y NÇr er y Opgave 35: Hvordan kan vi afläse fordoblingskonsan og halveringskonsan pç graf? Figuren viser grafen for en eksponeniel afagende sammenhäng Hvad er fordoblingskonsanen for denne sammenhäng? Resulae bliver de samme uanse hvilken -värdi vi sarer med Vi kan f sare med 1: Som vis pç figuren nedenfor afläser vi a nçr 1 er y 3, 1 De halve af 3,1 er 3,1 1, 55 Som vis pç figuren nedenfor afläser vi a nçr y 1, 55 er 3, 7 For a halvere y skal vi alsç Ége med 3,7 1, 7 sç halveringskonsanen er,7 Vi kan afläse fordoblingskonsan pç ilsvarende mçde Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

29 Åvelse 36 Figuren nedenfor il vensre viser grafen for en eksponeniel voksende sammenhäng AflÄs fordoblingskonsanen Åvelse 37 Figuren ovenfor il héjre viser grafen for en eksponeniel afagende sammenhäng AflÄs halveringskonsanen Åvelse 38 Figuren nedenfor il vensre viser grafen for en eksponeniel afagende sammenhäng AflÄs halveringskonsanen Åvelse 39 Figuren ovenfor il héjre viser grafen for en eksponeniel voksende sammenhäng AflÄs fordoblingskonsanen Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

30 Opgave 310: OplÄg il opgave 311 En sammenhäng mellem o variable y og er give ved ligningen y,7 1, 14 Hvad er fordoblingskonsanen for denne sammenhäng? Resulae bliver de samme uanse hvilken -värdi vi sarer med Vi kan f sare med 3 : 3 NÇr 3 er y,7 1,14 4 Vi besemmer hvad er nçr y er de dobbele af 4, alsç 8: 8,7 1,14 8,7,7 1,14,7 8 1,14,7 8,7 log( ) log(1,14) 8,9 For a fordoble y skal vi alsç Ége med 8,9 3 5, 9 sç fordoblingskonsanen er 5, 9 I de fñlgende lader vi a og b sç for al der endnu ikke er oplys Opgave 311: Bevis for säning 31 En sammenhäng mellem o variable y og er give ved ligningen () y b a Hvad er fordoblingskonsanen for denne sammenhäng? Resulae bliver de samme uanse hvilken -värdi vi sarer med Vi kan f sare med 0 Af () fçr vi a nçr 0 er y b De dobbele af b er b b b b a b a b a log() log( a) b Vi indsäer dee i () og finder hvad er nçr y er b : Besvarelsen forsåer pä nåse side! Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

31 For a fordoble y skal vi alsç Ége fra 0 il log() fordoblingskonsanen er log( a ) log() log( a ), dvs med log() log( a ), sç I ovensçende svar har vi bevis férse del af säningen pç näse side SÄningens anden del kan bevises pç ilsvarende mçde SÉTNING 31 Formler il beregning af fordoblingskonsan og halveringskonsan Vi ser pç en eksponeniel sammenhäng y b a Hvis sammenhängen er voksende (dvs a 1) gälder a log() fordoblingskonsanen er log( a ) Hvis sammenhängen er afagende (dvs 0 a 1) gälder a log(0,5) halveringskonsanen er log( a) Opgave 313: Hvad er halveringskonsanen for sammenhängen y 40 0, 94 Vi indsäer a 0, 94 i formlen log(0,5) halveringskonsan log( a) og fçr log(0,5) log(0,94) 11, dvs halveringskonsanen er 11, Åvelse 314 Besem halveringskonsanen for den eksponeniel afagende sammenhäng y 0,95 0, 3 Åvelse 315 Besem fordoblingskonsanen for den eksponeniel voksende sammenhäng y 0,131, 016 Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

32 Opgave 316: Hvad foräller fordoblingskonsanen? Der er en eksponeniel sammenhäng = längden (i cm) (1) y = omkredsen (i cm) De er oplys a () fordoblingskonsanen er 7 cm y ba Hvad foräller alle 7 om omkredsen og längden? Definiionen pç fordoblingskonsan siger: (3) fordoblingskonsanen er de anal enheder vi skal gére sérre for a fordoble y Ved a säe oplysningerne (1) og () ind i (3) fçr vi: (4) mellem de variable 7 er de anal enheder vi skal gére längden sérre for a fordoble omkredsen Ved a omformulere (4) fçr vi: Omkredsen fordobles nçr längden bliver 7 cm längere Dee er hvad alle 7 foräller Åvelse 317 Der er en eksponeniel sammenhäng y ba = anal Çr efer 000 y = anal indbyggere De oplyses a fordoblingskonsanen er 4, Hvad foräller alle 4, om analle af indbyggere? mellem de variable Åvelse 318 Der er en eksponeniel sammenhäng y ba mellem de variable = forséges varighed (i minuer) y = mängde der er ilbage (mçl i gram nçr forsége er slu) De oplyses a halveringskonsanen er 18 Hvad foräller alle 18 om mängden der er ilbage? Åvelse 319 PÇ en skärm kan vi Ändre en rekan ved a räkke med musen Der gälder y 4 1, 06 hvor y er héjden (i cm) og er grundlinjen (i cm) Besem fordoblingskonsanen, og skriv hvad dee al foräller om héjden og grundlinjen Eksponenielle sammenhänge Side Karsen Juul

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Matematil projekt Bærbar

Matematil projekt Bærbar Maemaik Kursusopgave Bærbar -6-26 Maemail projek Bærbar Opgave A. For a finde ligningen for planen så skal jeg bruge e punk på planen, og normalvekoren for planen. Punke på planen, kan jeg finde fordi

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Format FACITLISTE. Træningshæfte. Side 3. klasse. Facit, side 1-3. Alinea. B Fordel ligeligt og find rest. Fordel ligeligt. Mål og del.

Format FACITLISTE. Træningshæfte. Side 3. klasse. Facit, side 1-3. Alinea. B Fordel ligeligt og find rest. Fordel ligeligt. Mål og del. orma klasse ræninshæfe LS Side ordel lieli. majs på hver. bacon på hver. ananas på hver. ordel lieli o find. ordel fylde lieli på pizzaerne. æl pizzafylde, o skriv analle. Skriv derefer analle på hver

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Rumgeomeri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de førse 0 opgaver over Opgave I rumme er give punkerne A og B Besem en parameerfremsilling for linjen l som indeholder punkerne A og B, når

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab Danmarks Sask Naonalregnskab 9. november 00 ædnng og sæsonkorrekon af de kvaralsvse naonalregnskab Med den revderede opgørelse af de kvaralsvse naonalregnskab 3. kvaral 007 6. januar 008 blev meoden l

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere