Kontinuitet og Konvergens. Matematik: Videnskaben om det uendelige 5

Transkript

1 Kotiuitet og Koverges Matemati: Videsabe om det uedelige 5

2 2 Newtos Fluet og Fluio E variabel størrelse, z, aldes e fluet, og des ædrigstilstad (rate of chage) aldes des fluio, og beteges ż. De fluet, som z er fluio af, beteges ź, dvs. ź er itegralet af z. Alle variable størrelser varierer med tide. ż er således dz/dt, og ź er stamfutioe til z, dvs. Med o beteges et uedeligt lille tidsiterval. żo bliver således e uedelig lille tilvæst i z, dvs. imodere otatio żo = dz = z dt. Newto fider f.es. Differetialvotiete til y= på følgede måde: z = z(t)dt y o y o o yo o yo y o yo y 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( = = = = = + = = = = + + = +

3 Matematie i 700 tallet The coquest of ew domais of mathematics proceeds somewhat as do military coquests. Bold dashes ito eemy territory capture strogholds. These icursios must tha be followed up ad supported by broader, more thorough ad more cautious operatios to secure what has bee oly tetatively ad isecurely grasped. (Morris Klie: Mathematical Thought. From Aciet to Moder Times. Oford Uiversity Press 972, p. 400) Videreudvilig og avedelse af ifiitesimalregige ide for fysie Algebraiserig af matematie, heruder opfattelse af aalyse som e udvidelse af algebrae Differetialligigsteorie Uedelige ræer 3

4 Leohard Euler ( ) Itroductio i Aalysi Ifiitorum (748) Istitutioes Calculi Differetialis (755) Istitutioes Calculi Itegralis (768-70) Portrait by Emauel Hadma 756(?) O September 7, 783, after havig discussed the topics of the day, the Motgolfiers, ad the discovery of Uraus, accordig to the oft-cited words of J.A.N.C. de Codorcet, He ceased to calculate ad to live. Klie: Mathematical Thought from Aciet to Moder Times. Oford Uiversity Press 97, p

5 Eulers opfattelse af differetialvotieter Differetialvotiete dy/d er fatis idetis med 0/0. Me 0/0 a atage e bestemt edelig størrelse. Begrudelse: For vilårligt gælder 0 = 0, derfor a vi hævde = 0/0 Eulers bestemmelse af differetialvotiete af y= 2 : Giv tilvæste ω. Det giver for tilvæste af y: altså μ = (+ ω) 2 2 = 2 +2 ω + ω 2 2 = 2 ω + ω 2 μ/ω = 2 + ω me ω og μ er i virelighede 0, derfor dy/d = μ/ω = 0/0 = 2 5

6 Logaritmer til Negative Tal Leibiz argumeterede mod esistese af logaritmer til egative tal, hvorimod Joh Beroulli argumeterede for, at log( )=0: d(log ) = d/ d( )/( ) = d/ d(log ) = d( )/( ) d(log ) = d(log ) log( ) = log, da log() = 0 bliver log( ) = 0 Euler: d(log ) = d(log ) medfører ie, at og har samme logaritme, me at deres logaritmer afviger med e ostat, emlig log( ). Eulers formel: e i e e iπ iπ = cos + isi = cosπ + i siπ = 6

7 Euler og Logaritmefutioe = e y = + y i i Modere e = lim + /i =+ y i y = log = i ( /i ) Modere log = lim / ( ) /i i Da = er de i te rod, hvor i er uedelig stor, må der være uedelig mage rødder. Altsåmåy = log have uedelig mage værdier. Euler sriver omplese tal på forme = a + ib = r(cosθ + isiθ) = e a e i(θ ±2 pπ ) a +i(θ ±2 pπ ) = e det giver for logaritme y = log = a + i( θ ± 2 pπ ) 7

8 Uedelige ræer Oresme 360: De harmoise ræe divergerer +/2+/3+/4+/5+ /2+/2+(/4+/4)+(/8+/8+/8+/8)+(/6+... Vieta,593, agav formle for summe af e uedelig geometris ræe: a +a 2 + +a +, hvor a i =a q i s = a +a 2 + +a I Eulids Elemeter vises forholdet s s a a = a a2 Vieta siger, hvis a /a 2 >, så bliver a =0, år bliver uedelig, og derfor får vi s = a 2 a a 2 8

9 Ræer for log og ep log(2) log appro 0, , , , log( + ) = , , , ep(2) ep appro 7, ep( ) = ! + 3 3! + 4 4! + 7, , ,

10 Drilse ræer Hvad er summe af ræe S = + + +? S = ( )+( )+ = 0 S = ( ) ( ) = S, altså S = ½ S = ( ) ( ) = ( ) = for =2 = (a) (+) 2 = for = = (b) Højreside i (a) er større ed højreside i (b), altså < Euler: Det uedelige er e slags græse mellem det positive og det egative og liger dermed 0. 0

11 Taylor ræer Taylors formel f (a + h) = f (a) + f '(a)h + 2! f ''(a)h 2 + 3! f '''(a)h 3 +L +! f () (a)h + R R = + f ( +) (a + θh)h + Taylor ræe 2 3 f ( a + h) = f ( a) + f '( a) h + f ''( a) h + f '''( a) h + 2! 3! ( ) f ( a + h) = f ( a)! = 0 MacLauri ræe 2 f ( ) = f (0) + f '(0) + f ''(0) + f '''(0) 2! 3! Kovergesiterval: < r 3 +

12 Svigede streg Leohard Paul Euler ( ) Jea le Rod d'alembert (77 783) Joseph Louis Lagrage

13 Jea d Alemberts Udledig Ige samlet raft i ases retig: Newtos 2. lov på udsittet : 3

14 Jea d Alemberts Udledig 2 Divider med T på begge sider: Det giver for ligige og ved divisio med idet Vetorere T og T 2 er tageter til Kurve y = y(,t). Derfor Dette giver for ifiitesimal 4

15 Jea d Alemberts Udledig 3 Bølgeligige Variabelsifte hvor fører til ligige Udregig 5

16 Løsig af bølgeligige De geerelle løsig bliver D Alembert ræver, at f og g sal være to gage differetiable I begge variable og t, hvilet ie er tilfredsstillede fra et fysis sysput. 6

17 Løsig af bølgeligige 2 Bølgeligige sal opfylde følgede radbetigelse, da strege ligger fast i begge eder: y(0,t) = y(l,t) = 0 for alle t. Edvidere sal der gælde begydelsesbetigelsere: y(0,) = F() y (0,) = G() Radbetigelsere giver, at y(,t) = f(+at)+f( at), hvor f er e ulige, periodis futio med periode 2L. Samlet fås løsige y(,t) = 2 F( + at) + F( at) + a +at at G(u)du 7

18 Svigede streg efter Lagrage 8

19 Svigede streg efter Lagrage 2 9

20 Euler i Stil med Lagrage Vi sriver ligige på forme y = A 2 (y + 2y + y ) y 0 = y + = 0 Euler søgte e løsig af forme y = a cosωt Idsættes dette I ligige fås (2A 2 ω 2 )a = A 2 (a + + a ) Som Euler fider har løsige, givet a 0 = 0 a = si ϕ og ω = 2Asi ϕ 2 Betigelse a + = 0 giver De samlede løsig: = c r r = ϕ = rπ + ω r = 2Asi r =, 2,L, rπ 2( + ) si rπ + cosω t r c r = 2 + s= X s si srπ + samt ortogoalitetsbetigelse si rπ si sπ + + = + 2 δ rs 20

21 Lagrages Geerelle løsig Lagrage fider e løsig i stil med Eulers y = 2 + r = s= Y s si rsπ rπ si + + cosω t r Med begydelsesværdier Y y for y og og begydelseshastighed 0 Lagrage lader u gå mod uedelig. I græse går L/(+) mod abscisse og L/(+) mod tilvæste d. Ha atager yderlig, at ω r = 2Asi rπ 2( + ) ω r = rπ L c c= T / μ og får løsige y(,t) = 2 L L r = 0 Y (u) si rπu L si rπ L cos rπct L du 2

22 Fourierræer Lad f være e futio med periode 2π. f s Fourierræe er f () : c 0 + c 0 = 2π a = π b = π π π π π π π = (a cos + b si ) f ()d f ()cos d f ()si d Klasse af futioer, som a fremstilles på dee form er ret omfattede. 22

23 Esempel f () = for π 2 < < π 2 0 for π < < π 2 π < < π 2 f () : 2 + 2si( π π = 2 ) cos 23

24 Esempel 2 f () = 2 for [ π,π ] f () : π ( ) 2 = cos 24

25 Reelle tal futioer og otiuitet 25

26 Cauchys defiitio af uedelig små størrelser I speaig about the cotiuity of fuctios, I have ot bee able to avoid presetig the pricipal properties of ifiitely small quatities, properties which serve as a basis for the ifiitesimal calculus Whe the successive umerical values of the same variable decrease idefiitely, i such a way as to fall below ay give umber, this variable becomes what oe calls a ifiitely small (u ifiimet petit) or a ifiitely small quatity. A variable of this id has zero for limit. Oe says that a variable quatity becomes ifiitely small, whe its umerical value decreases idefiitely i such a way as to coverge toward the limit zero" (Citeret fra Gordo M. Fisher: Cauchy ad the Ifiitely Small, Historia Mathematica 5 (978)) 26

27 Cauchys Defiitio af Kotiuitet Let f() be a fuctio of the variable, ad suppose that for each value of betwee two give limits, this fuctio always has a uique ad fiite value. If, startig with a value of betwee these limits, oe assigs to the variable a ifiitely small icrease α, the fuctio itself will icrease by the differece f( + α) - f(), which will deped at the same time o the ew variable α ad o the value of. This assumed, the fuctio f() will be a cotiuous fuctio of this variable betwee the two limits assiged to the variable if, for each value of betwee these limits, the umerical value of the differece f( + α) - f() decreases idefiitely with that of α. I other words, the fuctio f() will remai cotiuous with respect to betwee the give limits if betwee these limits a ifiitely small icrease of the variable always produces a ifiitely small icrease of the fuctio itself. [Cauchy 82, 34-5] 27

28 28 Abels ræe + f 3 si si 2 si ) ( 3 2 π π π π ) (2 0 ) ( [ ),(2 ) ](2 ) 2 ( ) ( 2 + = == + = for f f

29 Kotiuitet f : er otiuert i, hvis og u hvis, der for vilårligt ε > 0 fides et δ > 0 så f( ) f( ) < ε 0 for alle, hvor < δ f : er ligelig otiuert i itervallet I, hvis, og u hvis, der for vilårligt ε>0 fides et δ>o, så der for vilårligt I gælder f( ) f( ) < ε for alle I, hvor < δ. o

30 Koverges af tal og futiosfølger E talfølge (a ) overgerer mod a, hvis og u hvis, der for vilårligt ε >0 fides et aturligt tal N>0, så a a <ε for alle >N. Futiosfølge (f ( )) overgerer mod f(), hvis, og u hvis, der for fides et aturligt tal N, så f ( ) f( ) < ε for alle >N. alle og alle ε >0 Futiosfølge (f ( )) overgerer ligeligt mod f(), hvis, og u hvis, der for alle ε >0 fides et aturligt tal N, så f ( ) f( ) < ε for alle og for all >N.

31 Koverges af uedelige ræer De udelige futiosræe i= f ( ) i overgerer (ligeligt), såfremt futiosfølge (s ( )), defieret ved s( ) = f ( ) i= overgerer (ligeligt). i Futiosræe i= f ( ) i overgerer absolut, såfremt ræe i= i= f ( ) i overgerer. De overgerer betiget, hvis de overgerer, me de absolutte ræe f ( ) i ie overgerer.

32 Koverges af Potesræer Potesræe a ( ) er absolut overget, hvis < r, og diverget, hvis 0 i= 0 i 0 0 > r. r aldes ræes overgesradius og defieres som r = lim sup a i