Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Transkript

1 Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25

2 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset Stokastiske Processer, der udbydes i det Herres År 25. Notere er baseret på et gammelt otesæt af Sved-Erik Graverse. Ja Pederse har revideret Sved-Erik s oter og har ikluderet et ekelt kapitel. Desude har Ja udarbejdet opgavesamlige, der til dels er baseret på opgavesamlige til boge Stokastiske Processer af Palle Schmidt. Kurset Stokastiske Processer har været udbudt mage gage før, og har tidligere beyttet Palle Schmidts bog. Me i år skal kurset for første gag omhadle Stokastisk Itegratio, og det har derfor ikke været muligt at avede Palle s bog.

3 Idhold 1 Grudlæggede defiitioer og eksempler 2 2 Kolmogorov s Kosistessætig 12 3 Modifikatio og Uskelelighed 17 4 Filtre og Stoptider 22 5 Hittig Times 28 6 Lévy Processer 3 7 Wieer processe 34 8 Poisso processe 37 9 Wieerprocesse - vigtige egeskaber love for Lévy processer Tælleprocesser Stokastisk itegratio Idledig Itegratio af simple processer E udvidelse Ito s formel A E vigtig fuktioalligig 73 B Regulære betigede fordeliger 75 C Martigaler 78 C.1 Resultater i diskret tid C.2 Resultater i kotiuert tid D Martigalmodifikatiossætige 84 E Optioal samplig i kotiuert tid 86 F Opkrydsiger 89 G Mooto Klasse Lemma 91 H Opgaver 93 1

4 1 Grudlæggede defiitioer og eksempler E stokastisk proces er fællesbetegelse for det sadsylighedsteoretiske værktøj, der beyttes ved beskrivelse af tilfældige systemer, som udvikler sig i tide, og som til ethvert tidspukt t i e parametermægde T ka beskrives ved et pukt i et tilstadsrum S. Ma taler her om tilstade til tid t. Som eksempler på sådae tilfældige systemer ka f.eks. æves : prise på et fiasielt aktiv, lufttemperature ved e målestatio, kocetratioe af et stof i blodet, osv. Tilstade til et fast tidspukt t modelleres som sædvaligt ved hjælp af e ekel stokastisk variabel X t med værdier i S, og e stokastisk proces er derfor e parametriseret familie af stokastiske variable, dvs. målelige afbildiger, defieret på et fælles sadsylighedsfelt med værdier i samme målelige rum. Helt præcist har vi flg. defiitio. Defiitio 1.1. Lad (Ω, F, P) betege et givet sadsylighedsfelt, T e vilkårlig mægde og (S,B) et måleligt rum. E familie af variable (X t ) t T defieret på (Ω,F,P) kaldes da e stokastisk proces med tidsparametermægde T og tilstadsrum S, hvis X t for ethvert t i T er e (F,B)-målelig afbildig fra Ω id i S. Som ordvalget atyder, opfattes T ormalt som e model for tide, idet et pukt i T tækes at repræsetere et tidspukt. Ma skeler i dee forbidelse mellem e diskret kotra e kotiuert tidsmodel, hvor de diskrete tidsmodel svarer til tidsparametermægder af forme Z + = {,1, }, Z eller mere geerelt delmægder heraf, hvorimod ma i forbidelse med e kotiuert tidsmodel bruger R + = [, ), R eller delmægder af disse. T vil i det følgede æste altid være ete Z + eller R +, og puktet beteges i dee forbidelse begydelsestidspuktet. Me det er værd at uderstrege, at oveståede defiitio itet forlager om T, og i visse avedelser vil T være e mere kompliceret mægde. F.eks. er det i forbidelse med billedaalyse aturligt at vælge R 2 eller e delmægde heraf som parametermægde. Ligeledes er det i visse situatioer aturligt at lade T være e mægde af delmægder af et pæt rum som f.eks. R eller e delmægde heraf. Med de tilladte geeralitet ka praktisk talt alt, hvad vi tidligere har set på, opfattes som e stokastisk proces. F.eks. ka e ekel stokastisk variabel opfattes som e proces med e tidsparametermægde beståede af et pukt. Me som ævt er det væsetligste avedelsesområde for stokastiske processer beskrivelse af tidsudvikliger, hvorfor parametermægder udstyret med e lieær ordig som f.eks. Z + /Z og R + /R er af størst iteresse, da det her giver meig at tale om fortid, fremtid og utid. Ifølge defiitioe ka tilstadsrummet være et vilkårligt måleligt rum, dvs. e mægde udstyret med e σ-algebra. Me i alle de tilfælde vi kommer ud for, vil S være udstyret med e metrik d og σ-algebrae være de tilhørede Borel σ-algebra B(S), dvs. de midste σ-algebra der ideholder alle åbe mægder. Vigtige eksempler er R for et 1 eller pæe delmægder heraf, eller e tællelig mægde udstyret med de diskrete 2

5 metrik, i hvilke Borel σ-algebrae er idetisk med mægde af alle delmægder. Ma taler her ofte om et kotiuert udfaldsrum i modsætig til et diskret udfaldsrum. De ævte eksempler er alle såkaldte polske rum, dvs. der fides e ækvivalet fuldstædig og separabel metrik. Eksistese af e metrik på S sikrer, at det har meig at tale om kotiuitet af fuktioer med værdier i S. Det iteressate ved e stokastisk proces er som for ethvert adet sadsylighedsteoretisk objekt des fordelig, og vi vil u præcisere, hvad vi forstår ved fordelige for e stokastisk proces, og hvorda de specificeres. Som bekedt er fordelige af e reel stokastisk variabel X defieret på et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) sadsylighedsmålet P X på R givet ved P X (A) = P X 1 (A) = P(X A) A B(R), dvs. P X er billedmålet P X 1. Tilsvarede er fordelige for e give stokastisk vektor X = (X 1,,X ) sadsylighedsmålet P X 1 på R. Oveståede vil vi u geeralisere til stokastiske processer. Atag at tilstadsrummet S er metrisk og derfor udstyret med Borel σ-algebrae B(S). Idgagsvikle er at opfatte (X t ) t T som e tilfældig fuktio, dvs. fokusere på afbildige Φ X fra Ω id i S T, som seder et ω over i de tilhørede udfaldsfuktio, dvs. Φ X : ω (t X t (ω)) Fuktiosrummet S T udstyres med de såkaldte koordiat σ-algebra B(S) T, defieret som de midste σ-algebra, der gør alle koordiatvariable målelige, dvs. B(S) T := σ(ξ t t T) hvor koordiatvariable hørede til puktet t, ξ t : S T S, er givet ved ξ t ( f) := f(t), f S T. B(S) T er altså pr. defiitio σ-algebrae frembragt af algebrae A (S) T := { {ξ ti B i } t 1,...,t T,B 1,...,B B(S)}. i=1 Da ξ t Φ X = X t for ethvert t T, ses at Φ X : Ω S T er (F,B(S) T )-målelig. Det har derfor god meig at tale om billedmålet P Φ 1 X som et sadsylighedsmål på (S T,B(S) T ). Dette beteges P X. og kaldes processes fordeligsmål eller kort des fordelig. I overesstemmelse med gægs termiologi siges to processer (X t ) t T og (X t ) t T med samme tidsparameter T og samme tilstadsrum S, me muligvis defieret på forskellige sadsylighedsfelter (Ω,F,P) og (Ω,F,P ), derfor at være idetisk fordelte, syoymt ækvivalete, hvis P X. = P X.. Tit udtrykkes dette også ved at sige, at de to processer er versioer af hiade. 3

6 Øvelse 1.2. Læsere opfordres til at vise, at for ehver stokastisk proces (X t ) t T med tilstadsrum S og tidsparametermægde T defieret på et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) er (ξ t ) t T opfattet som e stokastisk proces på (S T,B(S) T,P X. ) e versio af (X t ) t T. Dee specielle versio kaldes de kaoiske versio. Keder vi fordeligsmålet P X., keder vi specielt dets værdier på A (S) T, og da P X. ( {ξ ti B i }) = P( {ξ ti φ X B i }) = P( {X ti B i }) i=1 i=1 keder vi derfor ehver sadsylighed af forme P(X t1 B 1,...,X t B ) t 1,...,t T, B 1,...,B B(S), og dermed fordeligsmålet P X. (t 1,...,t ) for (X t1,...,x t ) for alle sæt af tidspukter t 1,...,t T. Dette sadsylighedsmål på (S,B(S) ) er som bekedt givet ved P X. (t 1,...,t )(B) := P((X t1,...,x t ) B) t 1,...,t T, B B(S). P X. bestemmer altså sættet {P X. (t 1,...,t ) t 1,...,t T } også kaldet processes edeligt dimesioale margiale fordeliger. Me da A (S) T er stabil uder edelig geemsit og frembriger σ-algebrae B(S) T, bestemmer sættet af edeligt dimesioale fordeliger omvedt også P X. ; dvs. præciserig af e procesfordelig er e tig og det samme som at agive det tilhørede sæt af edelig dimesioale margiale fordeliger. Specielt har vi, at to processer (X t ) t T og (Y t ) t T er versioer hvis og ku hvis de har samme edeligt dimesioale margiale fordeliger; det vil sige hvis og ku hvis P((X t1,...,x t ) B) = P((Y t1,...,y t ) B) (1.1) for ethvert 1, alle t 1,...,t T og alle B B(S). Da B(S) frembriges af mægder på forme A 1... A, hvor A 1,...,A B(S), har vi ligeledes, at (X t ) t T og (Y t ) t T er versioer hvis og ku hvis P(X t1 A 1,,...,X t A ) = P(Y t1 A 1,...,Y t A ) (1.2) for alle 1, alle t 1,...,t T og alle A 1,...,A B(S). Før vi fortsætter de geerelle itroduktio, idføres ogle vigtige procesegeskaber samt procestyper. Det er værd at bemærke, at betigelsere ku afhæger af fordeligsmålet, dvs. det drejer sig om versiosegeskaber, såda at forstå at hvis e proces opfylder e af betigelsere, så gælder det også ehver versio. Som det er gægs, udertrykkes det uderliggede sadsylighedsfelt i otatioe. Når T er ete R, R +, Z eller Z + idfører vi for t T fortide og fremtide, der er følgede σ-algebraer: Ft X := σ(x s s t,s T) (1.3) F X,t := σ(x s s t,s T). (1.4) i=1 4

7 Eksempel 1.3. S = R, T vilkårlig. E proces (X t ) t T siges at være itegrabel hhv. kvadratisk itegrabel, hvis X t ere alle har edelig middelværdi hhv. edeligt ade momet, dvs. X t L 1 (P) hhv. X t L 2 (P) for alle t T. I givet fald beteger m X ( ) : t E[X t ] og Γ X (, ) : (t,s) Cov(X t,x s ), og kaldes hhv. processes middelværdi - og covariasfuktio. Fuktioe t Γ X (t,t) kaldes variasfuktioe og beteges ofte σ 2 X ( ). Eksempel 1.4. S = R, T vilkårlig. E proces (X t ) t T siges at være Gaussisk, hvis (X t1,...,x t ) for ethvert sæt af tidspukter t 1,...,t i T følger e -dimesioal ormal fordelig. Som bekedt er fordelige for e Gaussisk proces etydigt bestemt ved de tilhørede middelværdi - og covariasfuktio. Eksempel 1.5. S = R 1, T = R + eller R. E proces (X t ) t T siges at være kotiuert (højrekotiuert) i sadsylighed hhv. i L p, hvis t X t er kotiuert (højrekotiuert) i sadsylighed hhv L p. Dvs. X t kovergerer imod X t i sadsylighed hhv. i L p for ethvert t og ehver følge (t ) 1 i T, som kovergerer (fra højre) mod t. For p lig 1 eller 2 omtales L p -kotiuitet ofte som kotiuitet i middel hhv. kvadratisk middel. Til seere brug bemærkes, at hvis {X q q [,] Q} er uiformt itegrabel for alle 1, så gælder (tæk over dette) implikatioe t X t er højrekotiuert i sadsylighed t X t er højrekotiuert i L 1. Eksempel 1.6. S = R 1, T = Z + /Z eller R + /R. E proces (X t ) t T siges at være (stregt) statioær, hvis (X t1,...,x tk ) (X t1 +t,...,x tk +t) for alle t 1,...,t k og t i T. Bemærk at hvis = 1 og (X t ) t T er (stregt) statioær samt kvadratisk itegrabel, så er m X (t) m R og Γ X (t,s) = φ(t s), dvs. m X er kostat, og Γ X afhæger ku af afstade mellem tidspuktere. Reelle kvadratisk itegrable processer (X t ) t T, hvis middelværdi- og covariasfuktio er på dee form, kaldes svagt statioære. Eksempel 1.7. S = R 1, T = Z + eller R +. E proces (X t ) t T siges at have uafhægige tilvækster, hvis X t1,x t2 X t1,...x tk X tk 1 er uafhægige for ethvert sæt af voksede tidspukter t 1,...,t k i T. Hvis yderligere fordelige for X s X t ku afhæger af s t for s t siges (X t ) t T at have uafhægige statioære tilvækster. 5

8 Lad (X t ) t T have uafhægige tilvækster. Dee proces har da uafhægige statioære tilvækster hvis og ku hvis X t X s X t s X for alle s < t med s,t T. Hvis yderligere der gælder X = æste sikkert har (X t ) t T uafhægige statioære tilvækster hvis og ku hvis X t X s X t s for alle s t med s,t T. E simpel overvejelse viser, at betigelse for uafhægige tilvækster ækvivalet ka formuleres på hver af følgede to måder. a) X s X t er uafhægig af fortide set ud fra tid t, dvs. σ-algebrae Ft X, for alle t < s i T. b) Ft X og σ(x u X t u t) er uafhægige for alle t i T. Hvis (X t ) t T har uafhægige / uafhægige statioære tilvækster, så har for alle s T (X s t ) t T := (X t+s X s ) t T samme egeskab, og (Xt s) t T er uafhægig af Fs X. (X t s) t T og (X t X ) t T er edvidere versioer, hvis (X t ) t T har uafhægige statioære tilvækster. Eksempel 1.8. S = R og T = Z + eller R +. E itegrabel proces (X t ) t T siges at være e martigal, hvis E[X s F X t ] = X t P.o. for alle t < s T, og (X t ) t T siges at være e baglæs martigal, hvis E[X s F X,t ] = X t P.o. for alle s < t T, Hvis = erstattes af hhv. taler ma om e super - hhv. submartigal. Eksempel 1.9. S vilkårlig og T = Z + eller R +. E proces (X t ) t T siges at være Markov, hvis fremtide er betiget uafhægig af fortide givet utide Dvs. hvis der for ethvert t og alle begræsede reelle variable Y 1 og Y 2 målelige hhv. med hesy til fremtide F X,t og fortide Ft X gælder E[Y 1 Y 2 σ(x t )] = E[Y 1 σ(x t )] E[Y 2 σ(x t )] P.o. Markov egeskabe ka formuleres på flere måder, som følgede resultat viser. Propositio 1.1. Lad (S,B) være et vilkårligt måleligt rum og T = Z + eller R +. Lad (X t ) t T have tilstadsrum S. Følgede udsag 1)-5) er da ækvivalete. 1) (X t ) t T er Markov. 2) For ethvert t og ehver begræset reel F X,t -målelig variabel Y gælder E[Y F X t ] = E[Y σ(x t )] P.o. (1.5) 6

9 3) For ethvert t og A F X,t gælder E[1 A F X t ] = E[1 A σ(x t )] P.o. 4) for alle t,s med s,t T og alle f bb er E[ f(x t+s ) F X t ] = E[ f(x t+s ) σ(x t )] P.o. 5) For alle t T og t 1,...,t T med t i t samt ehver begræset reel F X,t -målelig variabel Y er E[Y σ(x t1,...,x t,x t )] = E[Y σ(x t )] P.o. Atag yderligere, at T = Z +. Da er 1)-5) ækvivalete med 6)-8), hvor 6) For alle t T og f bb er E[ f(x t+1 ) F X t ] = E[ f(x t+1 ) σ(x t )] P.o. 7) For alle t T, t 1 <...t t og f bb er E[ f(x t+1 ) σ(x,x t1...,x t,x t )] = E[ f(x t+1 ) σ(x t )] P.o. 8) For alle t T, t 1 <...t t og A B er E[1 {Xt+1 A} σ(x,x t1...,x t,x t )] = E[1 {Xt+1 A} σ(x t )] P.o. Bevis. Lad os først vise at 1) og 2) er ækvivalete. Atag at (X t ) er e Markov proces som defieret ovefor, og lad t T og Y være e begræset F X,t -målelig variabel. For at vise 2) skal vi, pr. defiitio af betiget middelværdi, gøre rede for at Me for ethvert sådat A er E[E[Y σ(x t )],A] = E[Y,A] for alle A F X t. E[E[Y σ(x t )],A] = E[E[Y σ(x t )] 1 A ] = E [E [E [Y σ(x t )] 1 A σ(x t )]] = E[E[Y σ(x t )] E[1 A σ(x t )]] = E[E[Y 1 A σ(x t )]] = E[Y 1 A ] = E[Y,A]. Atag omvedt at 2) er opfyldt og lad Y 1 og Y 2 være reelle begræsede variable målelige med hesy til hhv. F X,t og Ft X. Da gælder P-.o. E [Y 1 Y 2 σ(x t )] = E [ E [ Y 1 Y 2 F X t ] σ(xt ) ] E[Y 2 E[Y 1 F X t ] σ(x t )] = E[Y 2 E[Y 1 σ(x t )] σ(x t )] = E[Y 1 σ(x t )] E[Y 2 σ(x t )], hvilket viser 1). Det er klart, at 2) medfører 3), 4) og 5). Omvedt følger 2) fra 3) eller 5) ved at avede det Mootoe Klasse Lemma, og 2) følger fra 4) ved brug af successiv betigig og det Mootoe Klasse Lemma. 7

10 Lad os øjes med at vise at 4) medfører 2). Atag altså at 4) er opfyldt. Vi viser først, ved iduktio i, at (1.5) gælder, år Y er på forme Y = f i (X t+si ) (1.6) i=1 hvor 1, s 1... s med s i T og f i : S R er begræset og målelig. For = 1 er dette ok pr. atagelse, så lad os atage at (1.5) gælder, år Y er forme (1.6) for et fast. For f +1 begræset og målelig samt s +1 > s har vi da [ ] E f +1 (X t+s+1 ) f i (X t+si ) F X i=1 [ =E E [ ] f +1 (X t+s+1 ) Ft+s X ] f i (X t+si ) Ft X i=1 [ =E E [ f +1 (X t+s+1 ) σ(x t+s ) ] ] f i (X t+si ) Ft X i=1 [ ] =E g(x t+s ) f i (X t+si ) F X i=1 hvor vi ved sidste lighedsteg udyttede at E[ f +1 (X t+s+1 ) σ(x t+s )] ka skrives som e fuktio, g, af X t+s. Desude udyttede vi regeregler for betigede middelværdier samt at 4) er opfyldt. Iduktiosatagelse viser u, at [ ] E f +1 (X t+s+1 ) f i (X t+si ) F X =E [ g(x t+s ) i=1 i=1 ] f i (X t+si ) σ(x t ) [ =E E [ f +1 (X t+s+1 ) σ(x t+s ) ] ] f i (X t+si ) σ(x t ) i=1 [ =E E [ ] f +1 (X t+s+1 ) Ft+s X ] f i (X t+si ) σ(x t ) i=1 [ ] =E f +1 (X t+s+1 ) f i (X t+si ) σ(x t ) i=1 som øsket. Lad u t med t T være fast. Lad R være klasse af stokastiske variable Y på forme (1.6) hvor 1, s 1... s med s i T og f i : S R er begræset og målelig. Bemærk at R er e multiplikativ klasse med σ(r) = F X,t. t t t 8

11 Lad H være mægde af F X,t -målelige begræsede stokastiske variable Y der opfylder (1.5). Idet vi har Mooto Koverges og liearitet af betigede middelværdier, opfylder H puktere (1) (3) i Appedix G. Dermed viser det Mootoe Klasse Lemma, at ehver F X,t -målelig begæset stokastisk variabel opfylder (1.5). Dette er det øskede resultat. Det overlades til læsere at overbevise sig om, at (6) (8) er ækvivalete med Markovegeskabe, år T = Z +. Vi skal i dette kursus bruge mege tid på at studere processer med uafhægige tilvækster, dels fordi de er vigtige i sig selv, og dels fordi de udgør et rigt eksempelmateriale for adre vigtige procestyper. Som et første eksempel herpå vises flg. sætig. Tidsparametermægde er ataget kotiuert, me resultatet gælder uædret i det diskrete tilfælde. Sætig Lad tilstadsrummet være S = R. Ehver proces (X t ) t med uafhægige tilvækster er e Markov proces. Hvis processe yderligere er reel (dvs. S = R) gælder følgede. 1) (X t m X (t)) t er e martigal, hvis (X t ) er itegrabel. 2) ((X t m X (t)) 2 σ 2 X (t)) t er e martigal, hvis (X t ) er kvadratisk itegrabel. 3) For alle a R er (exp(ax t )/E[exp(aX t )]) e martigal, hvis (exp(ax t )) er itegrabel. 4) For alle a R er (exp(aix t )/E[exp(aiX t )]) e martigal, hvis E[exp(aiX t )] for alle t R. 5) (X t /t) t> er e baglæs martigal, hvis X = og (X t ) er itegrabel og kotiuert i middel. Bevis. Vi viser først Markovegeskabe ved at eftervise 3) i Propositio 1.1. Me da F X,t = σ(x s X t,x t s > t) = σ(σ(x s X t s > t) σ(x t )) ka vi øjes med at se på A = A 1 A 2, hvor A 1 σ(x s X t s > t) og A 2 σ(x t ), da disse mægder tilsamme udgør et sitstabilt mægdesystem, som frembriger F X,t. Me for et sådat A er 1 A = 1 A1 1 A2, og uafhægighede af A 1 og Ft X viser at Dermed er E [1 A1 F X t ] = P(A 1 ) = E [1 A1 σ(x t )]. E [1 A1 1 A2 F X t ] = E [1 A1 F X t ] 1 A2 = E [1 A1 σ(x t )] 1 A2 = E [1 A1 1 A2 σ(x t )] som øsket. Lad os deræst vise martigalegeskab r. 1. Lad t < s være givet. Ved foryet brug af egeskaber ved betigede middelværdier fås E[X s F X t ] = E[X s X t + X t F X t ] = E[X s X t ]+X t = X t m X (t)+m X (s) 9

12 dvs. E[X s m X (s) F X t ] = X t m X (t), hvilket er det øskede. Martigalegeskab r. 2 vises tilsvarede, thi for t < s er E[(X s m X (s)) 2 F X t ] = E[(X s X t (m X (s) m X (t))+x t m X (t)) 2 F X t ] = E[((X s X t ) (m X (s) m X (t))) 2 ]+(X t m X (t)) 2 = Var(X s X t )+(X t m X (t)) 2. Samme med lighede Var(X s ) = Var(X t )+Var(X s X t ) viser dette egeskab r. 2. Lad deræst a betege et reelt tal, som opfylder betigelse i pukt 3. Ifølge Fubii s sætig er E[exp(aX s )] = E[exp(a(X s X t ))] E[exp(aX t )], for alle t < s, specielt er E[exp(a(X s X t ))] edelig. Me da der yderligere gælder E[exp(aX s ) F X t ] = E[exp(a(X s X t )) exp(ax t ) F X t ] = exp(ax t ) E[exp(a(X s X t )) F X t ] = exp(ax t ) E[exp(a(X s X t ))], er martigalegeskab r. 3 også vist. Beviset for pukt 4) går på æste samme måde blot er der her ige problemer med itegrabilitete, da alt er begræset. Detaljere overlades til læsere. Læg mærke til at der i dette tilfælde er tale om e kompleks martigal. Beviset for pukt 5) er derimod lidt aderledes. Lad < t < s være givet. Vi skal altså vise, at E[X t /t X s,x s1,...,x s ] = X s /s for alle s < s 1 < < s. Me da E[X t X s,x s1,...,x s ] = E[X t X s,x s1 X s,...,x s X s ] = E[X t X s ] ifølge de uafhægige tilvækster, magler vi ku at vise, at E[X t /t X s ] = X s /s eller ækvivalet E[X t X s ] = t/s X s. Kotiuitete i L 1 bevirker, at det er ok at vise dette for t = k s for 1 k. Me da Y i, = X is/ X (i 1)s/ er iid-variable for 1 i og X t = følger dette ved et velkedt symmetriargumet. k i=1 Y i, og X s = Y i, i=1 1

13 Korollar Lad (X t ) t betege e reel proces med uafhægige tilvækter, så at t X t er højrekotiuert i sadsylighed. Da gælder 1) t m X (t) er højrekotiuert, hvis (X t ) er itegrabel og sup{ E[X t ] t [,] Q} < for alle 1. 2) t m X (t) og t σ 2 X (t) er begge højrekotiuerte, hvis (X t) er kvadratisk itegrabel og sup{e[x 2 t ] t [,] Q} < for alle 1. 3) For givet a R er t E[exp(aX t )] højrekotiuert, hvis (exp(ax t )) er itegrabel og sup{e[exp(ax t )] t [,] Q} < for alle 1, Bevis. Følger umiddelbart af Sætig 1.11 og bemærkige sidst i Eksempel 1.5 på side 5. 11

14 2 Kolmogorov s Kosistessætig Lad S være et metrisk rum og T være e ikke-tom mægde. Betragt e stokastisk proces (X t ) t T med tilstadsrum S. For t 1,...,t T lad µ(t 1,...,t ) := P X. (t 1,...,t ) betege fordelige af vektore (X t1,...,x t ). Dermed er µ(t 1,...,t ) bestemt ved µ(t 1,...,t )(A 1 A ) = P(X 1 A 1,...,X t A ) for A 1,...,A B(S) (2.1) og {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T } er familie af edeligt dimesioale margiale fordeliger for (X t ) t T. Ligig (2.1) viser, at dee familie opfylder følgede kosistesbetigelser. Kolmogorov s kosistesbetigelser. For ethvert sæt t 1,...,t T og A 1,...,A B(S) samt ehver permutatio σ af mægde {1,...,} gælder I. µ(t 1,...,t )(A 1 A ) = µ(t σ(1),...,t σ() )(A σ(1) A σ() ) II. µ(t 1,...,t i,...,t )(A 1 A i 1 S A i+1 A ) = µ(t 1,...,t i 1,t i+1,...,t )(A 1 A i 1 A i+1 A ). Betigelse II ka også udtrykkes som egeskabe P X. (t 1,...,t i 1,t i+1,...,t ) = P X. (t 1,...,t ) p, 1 (i) 1, hvor p, 1 (i) er afbildige fra S S 1 bestemt ved (s 1,...,s ) (s 1,...,s i 1,s i+1...,s ), dvs. projektioe der sletter de i te koordiat. Hvis T er lieært ordet, som f.eks. Z + /Z eller R + /R, øjes ma som regel med at specificere µ(t 1,...,t ) for ethvert sæt t 1 < < t af voksede tidspukter, og i dee sammehæg er det derfor ku II i Kolmogorov s kosistesbetigelser, som er iteressat. Lad os u vede bøtte og betragte e familie {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T }, hvor µ(t 1,...,t ) er et sadsylighedsmål på (S,B(S) ). På uværede tidspukt atages ikke, at dee familie er frembragt af e proces som i (2.1). Vi siger, at familie er kosistet, hvis betigelsere I og II ovefor er opfyldt. Hvis T er e delmægde af R, specificerer vi som ævt ku {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T,t 1 < < t }, og siger, at familie er kosistet, hvis betigelse II er opfyldt. Det er u relevat at betragte følgede spørgsmål: Fides der et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) og e derpå defieret stokastisk proces (X t ) t T med tidsparametermægde T og tilstadsrum S som opfylder (2.1) for alle t 1,...,t T? Vi har allerede set, at hvis spørgsmålet skal besvares postivt, må vi som miimum kræve, at familie er kosistet. Kolmogorov viste i 1933, at hvis blot S er polsk, er dee betigelse også tilstrækkelig. 12

15 Sætig 2.1. Kolmogorov s Kosistessætig Lad T betege e vilkårlig mægde, S være et polsk rum og lad {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T } være kosistet. Da fides der et sadsylighedsfelt (Ω,F,P) og e derpå defieret stokastisk proces (X t ) t T med tidsparametermægde T og tilstadsrum S, så at P(X t1 A 1,...,X t A ) = µ(t 1,...,t )(A 1 A ) (2.2) for alle t 1,...t T og A 1,...,A B(S). E proces (X t ) t T der opfylder (2.2) for alle t 1,...t T og A 1,...,A B(S) kaldes for e realisatio af {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T }. Hvis T er e delmægde at R, gælder et helt tilsvarede result for e kosistet familie {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T,t 1 < < t }. Sætige udtrykker altså, at så sart vi har defieret et sæt af edeligt dimesioale margiale fordeliger, som ikke ideholder åbebare selvmodsigelser, dvs. er kosistet, så fides der e tilhørede realisatio. Eksistes af processer med e give fordelig er altså ækvivalet med eksistes af et relevat kosistet sæt af edeligt dimesioale fordeliger. Vi vil ikke her gå id i beviset for Kolmogorov s Kosistessætig, me blot æve at det er ok at vise følgede tilsyeladede simplerere udsag (se otere til Målteori for et bevis) For ethvert polsk rum S og ethvert sæt {µ 1}, hvor µ er et sadsylighedsmål på (S,B(S )), så at µ +1 (A S) = µ (A) A B(S ) 1, fides der et sadsylighedsmål P på (S,B(S) ), så at µ = P p 1 for 1, hvor p : S S er givet ved p ((x i ) i 1 ) = (x 1,...,x ) (x i ) i 1 S. Som e vigtig avedelse vil vi se på eksistese af processer med statioære og uafhægige tilvækster. Defiitio 2.2. Lad µ og ν være sadsylighedsmål på (R,B(R)). Foldige af µ og ν er da sadsylighedsmålet ν µ på (R, B(R)) defieret ved (ν µ)(b) := µ(b x)ν(dx), B B(R). Fra et sadsylighedsteoretisk syspukt svarer e foldig til e sum af uafhægige stokastiske variable: Lad X have fordelig ν og µ have fordelig µ; det vil sige P(X A) = ν(a) for A B(R), med e tilsvarede defiitio for Y. Atag at X og Y er uafhægige. Da har X +Y fordelig ν µ; det vil sige P(X +Y B) = (ν µ)(b) for ethvert B B(R). 13

16 Eksempel 2.3. Lad (X t ) t være e reel proces med uafhægige statioære tilvækster og lad os atage X =. Lad ν t være fordelige af X t for ethvert t; det vil sige ν t (A) = P(X t A) for A B(R). Lad os se på familie (ν t ) t. For det første har jo ataget X =, så derfor er ν = δ, hvor δ er puktmålet i. For det adet har vi, at der for alle t,s gælder ν t+s = ν t ν s. (2.3) Det vil sige folder ma ν t og ν s, så fås ν t+s. Lad os vise dette. Bemærk at X t+s = X t + (X t+s X t ) hvor de to stokastiske variable X t og X t+s X t er uafhægige og heholdsvis har fordelig ν t og ν s. Dermed har vi altså, at X t+s har fordelig ν t ν s. Me pr. defiitio har X t+s også fordelig ν t+s, hvilket giver (2.3). Lad os herefter bestemme de edeligt dimesioale margiale fordeliger af (X t ) t. Lad t 1 < < t. Da X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 er uafhægige med X t1 ν t1 og X ti X ti 1 X ti t i 1 ν ti t i 1 for i = 2,...,, ses at (X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 ) har fordelig Defier afbildige T : R R ved og bemærk at ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1. T (x 1,...,x ) = (x 1,x 1 + x 2,...,x 1 + +x ) (X t1,...,x t ) = T ((X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 )). Det følger derfor, at (X t1,...,x t ) har fordelig ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 T 1. Eksempel 2.3 motiverer følgede. Defiitio 2.4. Et sæt af sadsylighedsmål (ν t ) t på (R,B(R)) kaldes e foldigssemigruppe, hvis der gælder a) ν = δ (puktmålet i ). b) ν t+s = ν t ν s for alle t,s, E foldigssemigruppe (ν t ) t siges edvidere at være regulær, hvis ν t kovergerer svagt (i fordelig) mod ν for t gåede mod. Eksempel 2.5. Hvis ν t = po(λt) eller ν t = N(µt,σ 2 t) for t, så er (ν t ) e regulær foldigssemigruppe. Der er e tæt sammehæg mellem foldigssemigrupper og processer med statioære uafhægige tilvækster, som følgede resultat viser. 14

17 Sætig ) Lad (X t ) t være e reel stokastisk proces med uafhægige statioære tilvækster og defier ν t = P Xt X. Det vil sige ν t er fordelige af X t X for t. Da er (ν t ) t e foldigssemigruppe. Edvidere er (ν t ) t regulær hvis og ku hvis (X t ) t er kotiuert i sadsylighed. 2) Lad (ν t ) t betege e give foldigssemigruppe. Da fides e reel proces (X t ) t med uafhægige statioære tilvækster, som opfylder at X t har fordelig ν t for ethvert t. Bevis. 1) er stort set vist i eksemplet ovefor; de resterede dele vises i e opgave. 2) Atag at (ν t ) t er e give foldigssemigruppe. Defier for ethvert sæt af tidspukter t 1 < < t i R + µ(t 1,...,t ) := ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 T 1, hvor T er de lieære afbildig i R bestemt ved med ivers U givet ved T (x 1,...,x ) = (x 1,x 1 + x 2,,x 1 + +x ) U (x 1,...,x ) = (x 1,x 2 x 1,...,x x 1 ). Sammelig med Eksempel 2.3. Vi vil vise, at {µ(t 1,...,t ) t 1 < < t } (2.4) udgør et kosistet sæt af edeligt dimesioale margiale mål. Kolmogorov s kosistessætig viser da, at der fides e tilhørede realisatio (X t ) t. Deræst viser vi, at (X t ) t har uafhægige tilvækster og opfylder X =.s. og X t+s X s ν t for alle s,t, (2.5) hvilket betyder, at (X t ) t har de øskede egeskaber. Bevis for at (2.4) er kosistet: Vi skal vise, at for ethvert givet sæt af tidspukter t 1 < < t og ethvert 1 i er µ(t 1,...,t ) p, 1 (i) 1 = µ(t 1,...,t i 1,t i+1,...,t ), hvor p, 1 (i) er afbildige fra R ed på R 1, som dropper de i te koordiat ud. Eller ækvivalet at ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 (p, 1 (i) T ) 1 = ν t1 ν t2 t 1 ν ti 1 t i 2 ν ti+1 t i 1 ν t t 1 T 1 1. Me da U 1 er e bijektio på R 1, er dette ækvivalet med at vise, at ν t1 ν t2 t 1 ν ti 1 t i 2 ν ti+1 t i 1 ν t t 1 (2.6) =ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 (U 1 p, 1 (i) T ) 1. 15

18 Udytter vi u at (U 1 p, 1 (i) T )(x 1,...,x ) = (x 1,...,x i 1,x i + x i+1,x i+2,...,x ) for (x 1,...,x ) R ses, at (2.6) er e kosekves af lighede ν ti+1 t i 1 = ν ti t i 1 ν ti+1 t i. Ifølge Kolmogorov s Kosistessætig fides der derfor e realisatio (X t ) t af familie {µ(t 1,...,t ) t 1 < < t }. Bevis for at (X t ) t har uafhægige tilvækster og opfylder (2.5): Bemærk at for ethvert sæt af tidspukter t 1 < < t er (X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 ) = U (X t1,...,x t ) og dermed har vi P (Xt1,X t2 X t1,...,x t X t 1 ) = µ(t 1,...,t ) U 1 som øsket. = ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 (U T ) 1,= ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 Ehver foldigssemigruppe bestemmer altså e reel stokastisk proces med uafhægige statioære tilvækster, som er i. Vi skal seere ærmere studere de to tilfælde, hvor (ν t ) t er givet ved ete 1) ν t = po(λt) for et λ > eller 2) ν t = N(,σ 2 t) for et σ 2 >, idet 1) leder frem til de såkaldte Poisso proces med itesitet λ og 2) til e stadard Wieer proces med parameter σ 2. Bemærk at de to foldigssemigrupper begge er regulære. 16

19 3 Modifikatio og Uskelelighed I overesstemmelse med det traditioelle sy på sadsylighedsteoretiske objekter er det aturligt at tro, at processer med samme fordelig er lige gode modeller for et givet system. Dette er også rigtigt, hvis tidsparametermægde er edelig eller højst tællelig, thi da vil ethvert udtryk formuleret ved hjælp af é give proces opføre sig som det tilsvarede udtryk formuleret ved hjælp af e versio, dvs. de vil være hædelser på samme tid, og de vil i givet fald have samme sadsylighed. Lad os f.eks. atage at (X t ) t T og (X t ) t T er reelle versioer med tællelig tidsparametermægde. Da er for ethvert c R begge hædelser og {sup t T X t > c} og {sup t T X t > c} P(sup t T X t > c) = P (supx t > c). t T Me hvis T er overtællelig, er tigee mere komplicerede. Atag f.eks. at T = R +, og lad (X t ) t R+ og (X t ) t R + være to ækvivalete modeller for prisudviklige på e aktie. Et oplagt iteressat spørgsmål er her: Hvad er sadsylighede for, at prise ogeside kommer over c-kroer? I modellere er det et spørgsmål om sadsylighede af mægdere {supx t > c} og {supx t > c}. t T t T Her ka der u opstå flere forskellige problemer. Da R + ikke er tællelig, er de to mægder ikke ødvedigvis målelige og ka som såda måske slet ikke tillægges oge sadsylighed, og selv om de ka, behøver sadsylighedere ikke være es. Lad os illustrere dette ved et simpelt eksempel. Eksempel 3.1. Lad (Ω,F,P) være sadsylighedsfeltet ((, ),B((, )),e t dt). Defier herpå tre reelle processer (X t ), (Y t ) og (Z t ) alle med tidsparametermægde R + ved fastsættelse X t (ω) =, Y t (ω) = 1 {t} (ω) og Z t (ω) = 1Ñ(t,ω) for alle t og ω. Her er Ñ := {(x,y) x = y N} for e ikke-borel mægde N (, ). Det ses let, at processere er versioer, for der gælder edog P(X t = Y t = Z t ) = 1 for alle t. Me ikke desto midre er de ret så forskellige. F.eks. har (X t ) lutter kotiuerte udfaldsfuktioer, medes ehver udfaldsfuktio hørede til de to øvrige er diskotiuert i midst et pukt. Betragt edvidere mægdere A X = {sup t X t > 1/2}, A Y = {sup t Y t > 1/2} og A Z = {supz t > 1/2} t Simple overvejelser viser, at A X = /, A Y = Ω og A Z = N, dvs. de to første er målelige, me har forskellig sadsylighed, hvorimod de sidste ed ikke er målelig. 17

20 Versioer og edog modifikatioer (se edefor) ka derfor ikke ødvedigvs opfattes som lige gode modeller, så hvilke er da at foretrække, hvis ma ka vælge mellem forskellige versioer? Set ud fra et modelbygigssyspukt er svaret klart. Ma tager selvfølgelig de model, hvori flest hædelser defieret ved hjælp af processe ka tillægges e sadsylighed, som er etydigt bestemt ved fordelige. Dette betyder, at ma vælger de model, der har de pæeste udfaldsfuktioer, ud fra de kedsgerig, at hvis f.eks. alle udfaldsfuktioer er højrekotiuerte / vestrekotiuerte, så er processe fuldkomme bestemt ved tælleligt mage tidsvariable, og sadsyligheder for hædelser udtrykt ved e såda tællelig familie af variable er klart etydigt bestemt ved processes fordelig. Lad os f.eks. betragte e reel proces (X t ) t med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Da er V X := {ω t X t (ω) voksede} og C X := {ω t X t (ω) kotiuert} givet ved formlere V X = {X s X t } og C X = { X s X t 1/k}. s>t,s,t Q + m 1 k 1 1 s t 1,s,t [,m] Q Heraf ses, at V X og C X er hædelser, og deres sadsyligheder afhæger ku af fordelige. Tilsvarede er for ethvert c R {sup t X t > c} = { sup r, r Q X r > c} dvs. ige e hædelse med e sadsylighed, der ku afhæger af fordelige. Dette giver derfor aledig til flg. teoretiske spørgsmål. Givet et kosistet sæt af edelig dimesioale mål, hvor pæ, mht. regularitet af udfaldsfuktioere, e realisatio fides der da? Spørgsmålet er klart ku relevat i forbidelse med tidsparametermægder, som er udstyret med et ikke trivielt afstadsbegreb som f.eks. R + /R. Me ide vi ser ærmere på dette problemkompleks, idføres to forfiiger af versiosbegrebet. I modsætig til versiosbegrebet har de to ye begreber ku meig for processer, som er defieret på samme sadsylighedsfelt. Defiitio 3.2. Lad (S,B) være et måleligt rum. Lad (X t ) t T og (Y t ) t T betege processer defieret på et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) med tidsparametermægde T og tilstadsrum S. (X t ) t T og (Y t ) t T siges da at være modifikatioer, hvis P(X t = Y t ) = 1 for alle t T, og de siges at være uskelelige, hvis der fides et N F med P(N) =, så at X t (ω) = Y t (ω) for alle t T og alle ω N c. 18

21 Da stokastiske variable og vektorer, som er es.o., har samme fordelig, er modifikatioer specielt versioer, hvorimod det modsatte ikke er sadt. Ligeledes er uskelelighed geerelt fiere ed modifikatio, dvs. alt i alt sammehæge uskelelighed modifikatio versio. Som eksemplet ovefor viser, ka selv modifikatioer have helt forskellige udfaldsfuktioer, hvorimod uskelelige processer på ær e ulmægde har idetiske udfaldsfuktioer. Forskelle mellem begrebere modifikatio og uskelelighed som ku kommer frem, hvis T er overtællelig, skyldes, at skøt N t = {X t Y t } er e ulmægde for ethvert t, så behøver t N t ikke at være e ulmægde. Det gælder som bekedt, hvis T er tællelig, og i diskret tid er modifikatio og uskelelighed derfor det samme begreb. Eksemplet ovefor viser imidlertid, at i kotiuert tid er dette ikke altid tilfældet. Lad os u argumetere for, at hvis vi er i kotiuert tid (T = R eller T = R + ), så er processer, der har lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer, modifikatioer hvis og ku hvis de er uskelelige. Lad derfor S være et metrisk rum og (X t ) t T og (Y t ) t T være processer med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Da er { t : X t Y t } = { t Q + : X t Y t }; Hvis (X t ) og (Y t ) er modifikatioer, er hædelse på højre side e ulmægde; det vil sige at vestre side ligeledes har sadsylighed, og derfor er (X t ) og (Y t ) også uskelelige. Mere geerelt har vi, at hvis æste alle udfaldsfuktioer for (X t ) t T og (Y t ) t T er højrekotiuerte, så fides e ulmægde N således at { t : X t Y t } N { t Q + : X t Y t }; og derfor ser vi, at også i dette tilfælde er (X t ) t T og (Y t ) t T uskelelige hvis og ku hvis de er modifikatioer. Alt i alt har vi vist første del af følgede resultat. Propositio 3.3. Lad T = R eller T = R +. Lad S være et metrisk rum. 1) Hvis (X t ) t T og (Y t ) t T har udfaldsfuktioer, der æste alle er højrekotiuerte, så er disse processer uskelelige hvis og ku hvis de er modifikatioer. 2) Hvis (X t ) t T og (Y t ) t T har udfaldsfuktioer, der æste alle er vestrekotiuerte, så er disse processer uskelelige hvis og ku hvis de er modifikatioer. Dette resultat er yderligere med til at uderstrege øsket om at arbejde med pæe realisatioer. Spørgsmålet om eksistes af pæe realisatioer af et givet kosistet sæt af edeligt dimesioale mål er et både stort og vaskeligt eme, og vi vil her øjes med at æve tre vigtige resultater. Som formulerige viser, er der tale om eksistes af modifikatioer og ikke blot versioer, dvs. e give proces med de relevate edeligt dimesioale fordeliger ka modificeres på det samme sadsylighedsfelt, så at de modificerede proces udelukkede har udfaldsfuktioer af de øskede art. De to første resultater vil ikke 19

22 blive bevist her, hvorimod vi seere skal give et udførligt bevis for de sidste sætig. Udsagee omhadler processer med tidsparametermægde R + og tilstadsrum R. Me det er værd at bemærke, at der, hvad agår de to første, gælder tilsvarede resultater i et geerelt polsk rum S, blot skal udskiftes med d(, ), hvor d er e fuldstædig og separabel metrik på S, som frembriger topologie. Lad (X t ) t være e proces med tidsparametermægde T = R +. Vi siger at e udfaldsfuktio t X t (ω) er cadlag (e forkortelse af det fraske Cotiue A Droite, Limite A Gauche ), hvis de er højrekotiuert med græseværdier fra vestre; det vil sige at hvis t og t t, så gælder X t (ω) X t (ω), og hvis t > og t er midre ed t med t t, så gælder at limx t (ω) eksisterer i R. I givet fald lader vi X t (ω) := lim t t,t <t X t (ω) og X t (ω) := X t (ω) X t (ω) for t >. Kolmogorov s Modifikatiossætig. E stokastisk proces (X t ) har e modifikatio med lutter kotiuerte udfaldsfuktioer, hvis der eksisterer positive kostater α,β,γ og C, så at E[ X t X s α ] C t s 1+β for alle t,s R + med t s γ. Chetsov s Modifikatiossætig. E stokastisk proces (X t ), som er højrekotiuert i sadsylighed, har e cadlag modifikatio, dvs. e modifikatio hvor alle udfaldsfuktioer er cadlag, hvis der eksisterer positive kostater α,β,γ og C, så at for alle t 1 < t 2 < t 3 t 1 + γ. E[ X t1 X t2 α X t2 X t3 α ] C t 3 t 1 1+β Martigalmodifikatiossætige. Ehver martigal (X t ), som er højrekotiuert i sadsylighed, har e cadlag modifikatio. Et bevis fides i Appediks D. De basale defiitio på e stokastisk proces sikrer, at tilstade til et vilkårligt fast tidspukt er e målelig variabel. Derimod giver de ige garati for målelighed af tilstade til tid τ, dvs. afbildige X τ : ω X τ(ω) (ω) hvor τ : Ω T. Problemet er ige størst, år T er overtællelig. For er T e højst tællelig tidsparametermægde, så er X τ (F,B(S))-målelig for ehver fuktio τ : Ω T, som opfylder {τ = t} F for alle t i T. Bemærk emlig at X τ = X t 1 {τ=t} t T og år T er højst tællelig, er dee sum målelig. Me dette løser ikke problemet i kotiuert tid, så vi vil derfor idføre et yt begreb. Atag derfor at tidsparametermægde T er udstyret med e σ-algebra B(T). I de vigtige tilfælde R + /R vil B(T) være Borel σ-algebrae. 2

23 Defiitio 3.4. Lad S være et metrisk rum. E proces (X t ) t T med tidsparametermægde T og tilstadsrum S siges at være målelig, hvis (t,ω) X t (ω) er e (B(T) F,B(S))-målelig afbildig fra T Ω id i S. Da simulta målelighed som bekedt medfører separat målelighed, ses, at hvis (X t ) t T er e målelig proces, er t X t (ω) er (B(T),B(S))-målelig for alle ω, dvs. målelige processer har målelige udfaldsfuktioer. Yderligere viser sammesætige ω (τ(ω),ω) X τ(ω) (ω), at for e målelig proces (X t ) t T er X τ målelig for ehver afbildig τ : Ω T, som er (F, B(T))-målelig. Dvs. målelige processer ka meigsfyldt studeres til målelige tidspukter. Alle processer med diskret tid er målelige, hvorimod dette ikke er automatisk i kotiuert tid. Me vi u skal se, at processer med pæe udfaldsfuktioer er målelige. Propositio 3.5. Lad (X t ) t være e reel proces der ete har lutter højrekotiuerte eller vestrekotiuerte udfaldsfuktioer. Så er (X t ) t målelig. Bevis. Lad (X t ) t betege e reel proces med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Defier for ethvert, i 1 og ethvert ω Ω Da X t (ω) := X i/2 (ω) hvis (i 1)/2 t < i/2. {(t,ω) Xt (ω) B} = [(i 1)/2,i/2 [ {X i/2 B} for B B(R) i=1 ses, at (X t ) ere alle er målelige processer, og da højrekotiuitete edvidere sikrer, at lim X t (ω) = X t (ω) for alle (t,ω) R + Ω, følger påstade umiddelbart, da målelighed bevares uder puktvis koverges. Det vestrekotiuerte tilfælde klares aalogt. 21

24 4 Filtre og Stoptider I dette afsit er tidsparametermægde T altid Z + eller R +, og (Ω,F,P) beteger et givet sadsylighedsfelt. Som tidligere ævt, har det i dee situatio meig at tale om fortid, utid og fremtid, idet vi forestiller os T repræseterede de fremadskridede tid. I forlægelse heraf idføres e model for iformatiosmægde, der er til stede til tid t, dvs. opsamlet i tide op til og med t. Som det er sædvae i sadsylighedsteori modelleres e såda iformatiosmægde ved e σ-algebra F t. Til ethvert tidspukt t har vi derfor e del σ-algebra F t i F, og da iformatiosmægde vokser med tide, er det aturligt at forlage, at F t F s for vilkårlige tidspukter t < s i T. Dette formaliseres i begrebet et filter, idet e parametriseret familie (F t ) t T af del σ- algebraer i F kaldes et filter, hvis F t F s for alle t < s i T og i dee forbidelse kaldes (Ω,F,(F t ) t T,P) et filtreret sadsylighedsfelt. Tolkede F t som iformatiosmægde til tid t bliver ( ) F := σ F t aturligt ok e model for de totale iformatio. Iformatiosmægder ka være større og midre, og yderpuktere svarede til ige cotra fuld iformatio til ethvert tidspukt t modelleres ved filtree 1) F t = {/,Ω} for alle t, 2) F t = F for alle t. Vi har allerede mødt filtre i form af det såkaldte aturlige filter (F X t ) t T hørede til e proces (X t ) t T defieret på (Ω,F,P), hvor F X t = σ(x s s t) for alle t T. Kombiatioe af udtrykket tilstade til tid t og iformatiosmægde til stede til tid t leder aturligt til, at vi siger, at e proces (X t ) t T med tilstadsrum S (hvor (S,B) er et måleligt rum) er adapteret (tilpasset) til et filter (F t ) t T, hvis X t er (F t,b)-målelig for alle t T. Bemærk at dette ækvivalet ka beskrives ved iklusioe F X t F t for alle t. Det aturlige filter er derfor det midste filter, hvortil e proces ka være adapteret. I tilfældet med kotiuert tid viser det sig at være iteressat, om et givet filter (F t ) opfylder lighede F t = F t+ for alle t, hvor F t+ := s>t F s for t. t 22

25 Filtret siges i givet fald at være højrekotiuert. Det ses let, at (F t+ ) er det midste højrekotiuerte filter, som ideholder (F t ), idet (F t+ ) er et højrekotiuert filter, og det er midre ed ethvert adet højrekotiuert filter, der ideholder (F t ). Advarsel: Det aturlige filter hørede til e proces med lutter højrekotiuerte eller edog kotiuerte udfaldsfuktioer er ikke ødvedigvis højrekotiuert. Læsere bør overveje, hvad højrekotiuitet af filtret siger om iformatiosmægde. Som bekedt giver et filter aledig til et tilhørede stoptidsbegreb. Me ide vi omtaler dette, idføres e otatio, som trækker e forbidelse mellem filtre og det give sadsylighedsmål. Lad hertil N betege de målelige P-ulmægder, dvs. N = {A F P(A) = }. Et filter (F t ) t T siges da at være P-komplet, hvis N F t for alle t eller ækvivalet N F. Et givet filter (F t ) t T er ofte ikke komplet, me daes et yt filter (F t ) t T ved fastsættelse F t = σ(f t N ) for t, ses umiddelbart, at dette er komplet og edog det midste komplette filter ideholdede (F t ). (F t ) t T kaldes det kompletterede filter hørede til (F t ) t T. E simpel øvelse viser, at kompletterig bevarer højrekotiuitet. Det ka edvidere vises, at i mage iteressate sammehæge er det kompletterede filter højrekotiuert, selvom det opridelige ikke er. Da stoptidsbegrebet i diskret tid er velkedt, vil vi i det følgede udelukkede se på kotiuert tid, dvs. T = R +. Læsere opfordres dog til selv at oversætte og gebevise de relevate resultater i diskret tid. Lad derfor (F t ) t betege et givet filter i (Ω,F,P). Defiitio 4.1. E stokastisk variabel τ : Ω R + { } kaldes e stoptid mht.(f t ) t, hvis {τ t} F t for alle t, og til e stoptid τ tilordes stoptids σ-algebrae F τ := {B F B {τ t} F t for alle t }. τ : Ω R + { } kaldes e udvidet stoptid mht.(f t ) t, hvis {τ < t} F t for alle t, og til e udvidet stoptid τ tilordes σ-algebrae F τ+ := {B F B {τ < t} F t for alle t }. 23

26 Bemærk at τ er e udvidet stoptid mht.(f t ) t, hvis og ku hvis τ er e stoptid mht. (F t+ ) t, samt at F τ+ etop er stoptids σ-algebrae hørede til τ opfattet som stoptid mht. (F t+ ) t. Heraf følger, at hvis τ er e stoptid mht. (F t+ ) t, så er τ e udvidet stoptid mht. (F t ) t. Øvelse 4.2. Eftervis at F τ og F τ+ vitterlig er del σ-algebraer i F og at F τ F τ+ for ehver stoptid τ. Ide vi giver eksempler på stoptider, opsummeres e række vigtige egeskaber ved disse samt de tilhørede σ-algebraer. Resultatere er alle forholdsvis umiddelbare kosekveser af defiitioe. Da det overalt drejer sig om stoptider mht. det samme filter, udertrykkes dette i otatioe. Propositio 4.3. Vi har følgede resultater. 1) Mægde af stoptider (hhv. udvidede stoptider) er stabil uder additio, edelig max og mi samt tællelig sup-daelse. Mægde af udvidede stoptider er edvidere stabil uder tællelig if-daelse, hvorimod et tælleligt ifimum af stoptider geerelt ku er e udvidet stoptid. 2) Ehver kostat variabel, dvs. τ t for et t R +, er e stoptid og F τ = F t og F τ+ = F t+. 3) For ethvert par af stoptider τ 1 og τ 2 er {τ 1 τ 2 }, {τ 1 < τ 2 }, {τ 1 = τ 2 } F τ1 F τ2 = F τ1 τ 2. Dvs.F τ1 F τ2, hvis τ 1 τ 2 puktvis, og τ er målelig mht.f τ for ehver stoptid τ. Påstade 3) gælder ligeledes for udvidede stoptider. 4) For ehver udvidet stoptid τ er F τ+ = σ( F (τ )+ ), og F τ+ = F τ +, hvis τ og τ ere er udvidede stoptider, så at τ τ puktvis. Bevis. De første tre påstade vises i e opgave. Da første halvdel af påstad 4 ikke er helt oplagt gives et bevis her. Lad for e give udvidet stoptid τ A betege σ-algebrae σ( F (τ )+ ). Da τ τ for alle er iklusioe A F τ+ oplagt. Lad derfor B F τ+ være givet og betragt opsplitige Lighedere B = [B {τ = }] [B {τ < }]. 1) B {τ < } {τ < t} = B {τ < t} for t < ; 2) B {τ < } {τ < t} = B {τ < } for t ; 24

27 viser, at B {τ < } F (τ )+ A for alle og dermed B {τ < } A. Specielt er {τ = } = {τ < } c A, og H := {B F B {τ = } A } udgør derfor e del σ-algebra i F. Vi ka u afslutte beviset ved at argumetere for at H F. Pr. defiitio af F er det ok at vise, at H ideholder F for ethvert 1. Me for B F viser lighedere 3) B {τ k} {τ k < t} = / for t k; 4) B {τ k} {τ k < t} = B\(B {τ < k}) for t > k; at Da følger det øskede. B {τ k} F (τ k)+ A for k. B {τ = } = B {τ k} k= Til e give udvidet stoptid τ defieres for ethvert e afbildig τ ved fastsættelse τ := k/2 på {(k 1)/2 τ < k/2 } og τ := på {τ = }. τ ere er da stoptider og for alle 1 er τ < τ +1 τ τ + 1/2 på {τ < }, dvs. specielt kovergerer τ τ puktvis. Det er edvidere værd at bemærke, at samt at A {τ = k/2 } F k/2 for k, 1, A F τ+ ; F τ+ = F τ og F τ = {B F B {τ = k/2 } F k/2 k 1} for alle. Vi kalder (τ ) for de diskrete approximatio af τ. Stoptids σ-algebraere F τ og F τ+ omtales ofte som iformatiosmægde, der er til stede til tid τ, og de ævte egeskaber viser, at de har meget til fælles med de give F t og F t+. Me hvad med tilstade til tid τ for e (F t )-adapteret proces (X t ) er de F τ /F τ+ målelig? Ige er situatioe simpel, hvis tide er diskret eller mere geerelt, hvis τ ku atager tællelig mage værdier, thi her gælder ude videre, at hvis (X t ) er (F t )-adapteret, så er målelig mht.f τ, dvs. specielt er ω X τ(ω) (ω) defieret på {τ < } 25

28 X τ målelig mht.f τ for ehver edelig stoptid τ. I kotiuert tid er situatioe som forvetet mere kompliceret, me edeståede giver e yttig ødvedig og tilstrækkelig betigelse for, at X τ er F τ -målelig på hædelse {τ < }. Lemma 4.4. Lad (S,B) være et måleligt rum og være (Ω,F,(F t ) t,p) et filtret sadsylighedsfelt. Lad (X t ) t betege e (F t ) t -adapteret proces med tilstadsrum S og τ være e vilkårlig (F t )-stoptid. Da er X τ F τ -målelig på {τ < } hvis og ku hvis der for ethvert t gælder, at X τ t er F t -målelig. Bevis. Pr. defiitio af F τ har vi, at X τ er F τ -målelig på {τ < } hvis og ku hvis der for ethvert B B og t gælder {X τ B} {τ t} F t. (4.1) Me bemærk at Edvidere er {X τ B} {τ t} = {X τ t B} {τ t}. (4.2) {X τ t B} {τ > t} = {X t B} {τ > t} F t. Idet der gælder {X τ t B} = [ {X τ t B} {τ > t} ] [ {X τ t B} {τ t} ], ser vi, at højre side af (4.2) tilhører F t hvis og ku hvis {X τ t B} F t. Det vil sige (4.1) er opfyldt for ethvert B B hvis og ku hvis X τ t er F t -målelig. Defiitio 4.5. Lad S være et metrisk rum. E stokastisk proces (X t ) t med tilstadsrum S defieret på et filtreret sadsylighedsfelt (Ω,F,(F t ) t,p) siges at være progressiv målelig mht.(f t ) t, hvis for alle t i R + (s,ω) X s (ω) er målelig mht.(b([,t]) F t,b(s)) som afbildig fra [,t] Ω id i S. Som det æste resultat viser, løser progressiv målelighed geerelt problemet vedrørede målelighed af tilstade til e stoptid. Sætig 4.6. Lad S være metrisk. Lad T være R + og lad (X t ) t betege e stokastisk proces med tilstadsrum S defieret på (Ω,F,(F t ) t,p). Da gælder 1) Hvis (X t ) t er progressiv målelig mht.(f t ) t, er X τ F τ -målelig på {τ < } for ehver stoptid τ; specielt er (X t ) (F t ) t -adapteret. 2) Processe (X t ) t er progressiv målelig mht.(f t ), hvis (X t ) t er (F t ) t -adapteret og har lutter højrekotiuerte / vestrekotiuerte udfaldsfuktioer. 26

29 Bevis. 1) Lad τ og (X t ) være givet. I følge oveståede lemma gælder det om at vise, at X τ t er F t -målelig for alle t. Me da τ t er F t -målelig, følger dette umiddelbart af de progressive målelighed ved at betragte sammesætige ω (τ(ω) t,ω) X τ(ω) t (ω). 2) Lad os af otatiosmæssige grude atage at processe er reel, dvs. S = R. Højrekotiuitete sikrer, at for givet t kovergerer X s (ω) := 1 {} (s) X (ω)+ for ethvert pukt (s, ω) [,t] Ω; og da 1 ]( j 1)t/, jt/] (s) X jt/ (ω) X s (ω) j=1 (s,ω) X s (ω) tydeligvis er målelig mht.(b([,t]) F t,b(s)) for ethvert 1, følger påstade af de puktvise koverges. Det vestrekotiuerte tilfælde klares aalogt. Vi får specielt i teorie om martigaler brug for at have variable X τ defieret for alle ω selv for ikke edelige stoptider τ. Dette ka selvfølgelig gøres på mage måder, me da vi ku får brug for dette i forbidelse med med reelle processer vælges flg. kovetio. For ehver reel proces (X t ) t og ehver ikke-egativ variabel τ med værdier i de udvidede reelle tal defieres X τ (ω) := lim X τ (ω) hvis dee eksisterer i R og X τ (ω) := ellers. Specielt har X τ værdie X τ(ω) (ω) på mægde {τ < }, dvs. der er tale om e udvidelse af de tidligere idførte defiitio. Edvidere ses umiddelbart at X τ er F τ -målelig for ehver stoptid τ og ehver reel (F t )-progressiv målelig proces (X t ) t. 27

30 5 Hittig Times De såkaldte Hittig Times udgør lagt de vigtigste eksempler på stoptider. Lad stadig T være ete Z + eller R + og lad (X t ) betege e stokastisk proces med tid T og tilstadsrum S (der er et metrisk rum), defieret på et filtreret sadsylighedsfelt (Ω,F,(F t ),P). For ethvert B S idføres otatioe T B := if{t > X t B} hvor if(/) =, T B kaldes første Hittig Time til mægde B for processe (X t ) t T. Flg. resultater er vigtige. Propositio 5.1. Der gælder følgede. 1) T B T A hvis A B. 2) T A B = T A T B og T A = if T A. 3) X TA A på {T A < }, hvis alle udfaldsfuktioer er højrekotiuerte. 4) T A = s+t s A på {T A > s}, hvor for ethvert s T s A := if{t > X s+t A}. 5) Lad (X t ) og (Y t ) betege to versioer med tilstadsrum R, som begge har lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. For ehver åbe mægde U R gælder da T U (X) T U (Y) og X TU (X) 1 {TU (X)< } Y TU (Y) 1 {TU (Y)< }, hvor T U (X) og T U (Y) beteger første Hittig Time til U for hhv.(x t ) og (Y t ). Bevis. Vi viser ku 5). Defier for ethvert 1 T U(X) := if{k/2 > X k/2 U} og tilsvarede TU (Y). Bemærk at de idførte variable er aftagede i. Umiddelbar avedelse af defiitioe viser, at P(T U (X) = k/2 ) = P(X 1/2 / U,,X (k 1)/2 / U,X k/2 U) = P(Y 1/2 / U,,Y (k 1)/2 / U,Y k/2 U) = P(T U (Y) = k/2 ) for alle k, dvs. TU (X) og T U (Y) har samme fordelig for ethvert. Heraf følger påstade vedrørede T U (X) og T U (Y), thi højrekotiuitete og det faktum, at U er åbe, bevirker, at TU (X) T U(X) og TU (Y) T U(Y) puktvis, og dee kovergesform implicerer som bekedt koverges i fordelig. Argumetet vedrørede det adet par går på samme måde. 28