De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

Transkript

1 De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă y, z P M : x ă y og y ă z ñ x ă z Symbolere ą, ď og ě bruges som valigt. Defiitio 3.2 (Største/midste elemet). Lad A Ă M, hvor pm, ăq er e ordet mægde. Hvis s P M opfylder at s P A og a P A ñ a ď s, så kaldes s A s største elemet. Midste elemet defieres tilsvarede. Sætig 3.3 (Etydighed af største/midste elemet). E delmægde A Ă M, hvor pm, ăq er e ordet mægde, har højst ét største (midste) elemet. Bevis. Bevis det selv. Defiitio 3.5 (Øvre/edre græse). Lad A Ă M, hvor pm, ăq er e ordet mægde, og lad b P M. P A: a ď b, så kaldes b e øvre græse for A. Nedre græse defieres tilsvarede. Se Sætig 3.6 og 3.7 for forskellige formuleriger af egeskabe og des egatio. Defiitio 3.8 (Begræsethed). Lad A Ă M, hvor pm, ăq er e ordet mægde. A siges at være opadtil begræset, hvis A har e øvre græse, tilsvarede med edadtil begræset. A siges at være begræset, hvis A er opadtil og edadtil begræset. Eksempel. H er begræset. Defiitio 3.9 (midste øvre græse/største edre græse). Lad A Ă M, hvor pm, ăq er e ordet mægde og b P M. Så kaldes b e midste øvre græse hvis b er e øvre græse for A og hvis c er e øvre græse for A, så er b ď c. Største edre græse defieres tilsvarede. Se Sætig 3.10 og 3.11 for forskellige formuleriger af egeskabe. Da e midste øvre græse for e mægde A specielt er midste elemet i mægde af øvre græser for A, giver Sætig 3.3, at der højst er é midste øvre græse. Etydighede giver aledig til følgede: 1

2 Defiitio 3.14 (supremum, ifimum). De største edre græse b (midste øvre græse c) for e mægde A kaldes for A s supremum (ifimum) og vi skriver: b sup A pc if Aq. Se Korollar 3.15 for sammehæge mellem supremum og ifimum. De reelle tal Defiitio 1.1 (Legeme). pk, `, q kaldes et legeme s, t P K : r ` s P K (1) r s P K (2) r ` s s ` r (3) r s s r (4) r ` ps ` tq pr ` sq ` t (5) r ps tq pr sq t (6) r ps ` tq rs ` rt (7) D0, 1 P K@r P K : r ` 0 r (8) 1 r r P KDv P K : r ` v 0 pv rq P Kzt0uDw P K : r w 1 pw r 1 q (11) Defiitio (Ordet legeme). pk, `,, ăq kaldes et ordet legeme såfremt pk, `, q er et legeme pk, ăq er e ordet s, t P K : r ă s ñ r ` t ă s ` t (12) t ą 0 og r ă s ñ tr ă ts (13) Defiitio 3.4 (De reelle tal). Et ordet legeme pk, `,, ăq, som opfylder, at ehver ikke-tom, opadtil begræset delmægde A Ă K har e midste øvre græse (også kaldet supremumsegeskabe), kaldes et eksemplar af de reelle tal og vi skriver R i stedet for K. 2

3 Formulerige et eksemplar af dækker over, at de reelle tal ka kostrueres på flere forskellige måder, me ma ka vise, at resultatere i alle tilfælde er idetiske i e passede matematisk forstad. Vi vil (i hvert fald i første omgag) ikke kostruere de reelle tal, me blot atage, at vi har et eksemplar af de reelle tal til rådighed og se, hvad vi herudfra ka kokludere. Et emt eksempel er følgede sætig. Sætig 3.13 (Ifimum-egeskabe). Ehver ikke-tom, edadtil begræset delmægde af R har e største edre græse. For at vise dette, skal vi bruge følgede resultat 1, som er godt at have i adre sammehæge. Propositio Lad pk, `,, ăq være et ordet legeme, r, s P K. Så er Specielt er r ă 0 hvis og ku hvis r ą 0. r ă s ô s r ą 0 ô r ą s. Bevis. Vha. getage brug af (12) med t hhv. lig med r, s og s ` t fås r ă s ñ 0 r r ă s r ñ s 0 s ă s r s r ñ r s ` r ` s ă r ` r ` s s. Sidste udsag fås blot ved at sætte s 0. Bevis for Sætig Lad A Ă R være e ikke-tom, edadtil begræset delmægde. Defiér mægde A t a a P Au. Da A er ikke-tom, er A det også. Lad c være e edre græse for A, P A: c ď a, som jf. Propositio 3.19 er det samme som P A: c ě P A: c ě b, som er det samme som at c er e øvre græse for A. Vi ser altså, at c er e øvre græse for A hvis og ku hvis c er e edre græse for A. Da A er edadtil begræset, er A altså opadtil begræset, og jf. supremumsegeskabe (se Defiitio 3.4) har A e midste øvre græse supp Aq. Sættes c supp Aq må c altså være e edre græse for A, som jf. Propositio 3.19 må være de største edre græse. 1 E propositio er e lille sætig. Dette ord bruges ikke i boge, hvor alle resultater, store som små, ete kaldes for sætig, lemma eller korollar. 3

4 Arkimedes pricip Sætig 3.16 (Arkimedes pricip). For ethvert r P R eksisterer et P N så ą r. Bevis. Vi vil beytte os af et modstridsbevis (også kaldet et idirekte bevis). Da 1 P R og s, t P R ñ s ` t P R, er det klart, at R ideholder (e kopi af) de aturlige tal N. For at å til e modstrid, begyder vi med at egere udsaget i sætige. Atag altså P RD P N: ą r ô Dr P R@ P N: ď r, eller sagt med ord: N er opadtil begræset (af det r, hvis eksistes påstås), og a sup N eksisterer P N : ď a. Da P N ñ ` 1 P N har vi også at eller (ved brug af P N: ` 1 ď P N: ď a 1, som altså er udsaget, at a 1 er e øvre græse for N, i modstrid med, at a ą a 1 er de midste øvre græse. Korollar For ethvert positivt, reelt tal r ą 0 eksisterer et P N, så 1 ă r. Bevis. Da r ą 0, er 1 r P R. Vælg P N så 1 r er vi færdige. ă vha. Arkimedes pricip. Da 1 r ă ô 1 ă r, Korollar Ethvert åbet iterval I sa, br ideholder uedeligt mage ratioelle tal. I opgave 76 skal I selv vise, at I også ideholder uedeligt mage irratioelle tal. Det viser sig faktisk, at der i e matematisk præcis forstad er lagt flere irratioelle tal ed ratioelle tal, eksempelvis i itervallet I, me dette resultat ligger udefor kursets mål 2. Bevis. Beviset består af tre dele. (i) Vi viser først, at hvis a ą 0, så ideholder sa, br midst ét ratioelt tal. Atag derfor, at a ą 0. Da b a ą 0, giver Korollar 3.17 eksistese af P N så 1 ă b a. Arkimedes pricip giver eksistese af et m P N så a ă m ô a ă m. Til æste sessio skal I selv vise Sætig 1.11, som siger, at ehver ikke-tom delmægde af N ideholder et midste elemet (opgave 18). Sæt u m mitm P N a ă mu, dvs. m ą a og m 1 ď a. Nu er a ă m m 1 og vi har altså, at c m P sa, br X Q. 2 Her er et lille ordspil for de idviede... ` 1 ď a ` 1 ă a ` pb aq b 4

5 (ii) Vi viser u, at ethvert iterval ideholder midst ét ratioelt tal. Hvis a ď 0, så eksisterer jf. Arkimedes pricip et ą a, så a 1 a ` ą 0. Sætter vi b 1 b `, ved vi fra (i) at sa 1, b 1 r ideholder midst ét ratioelt tal c 1 P sa 1, b 1 r X Q. Me så er c c 1 P sa, br X Q. (iii) Vi afslutter u argumetet på følgede måde: Lad c 1 c P sa, br X Q. Vi ka u vha. (ii) vælge c 2 P sa, c 1 r X Q Ă sa, br X Q og iterativt c i`1 P sa, c i r X Q Ă sa, br X Q. Dvs. for ethvert i P N har vi et c i P sa, br X Q, og sa, br ideholder altså uedeligt mage ratioelle tal. Eksistes af? 2 Til æste sessio skal I selv overbevise jer om, at? 2 ikke er et ratioelt tal. Vi vil u vise, at der imidlertid i R eksisterer et tal, som fortjeer avet? 2. Sætig Der eksisterer et positivt, reelt tal x, så x 2 2. Bevis. Beviset går ud på at vise, at x sup A, hvor A ta P R a 2 ď 2u, eksisterer og opfylder x ą 0 og x 2 2. Først etableres eksistese af x: (i) A er ikke-tom og opadtil begræset: Da ď 2 har vi 1 P A og at 2 er e øvre græse følger af opgave 67, som I skal løse seere i dag. (ii) Vi har at 1 ď x ď 2: Da 1 P A og x sup A gælder første ulighed, og da 2 er e øvre græse for A følger ade ulighed. (iii) Vi har ikke, at x 2 ă 2: Atag, at x 2 ă 2. Så er ε 2 x 2 ą 0, og (ii) giver, at ε ď 1. Vælg u et δ P R så 0 ă δ ă ε ď 1. Sæt r x ` δ. Så er 5 5 r 2 px ` δq 2 x 2 ` 2xδ ` δ 2 x 2 ` p2x ` δqδ. Me da x ď 2 og δ ď 1 5 ď 1 er 2x ` δ ď 5 og r 2 ď x 2 ` 5δ ă x 2 ` ε 2, og vi har altså r P A samtidig med at r ą x sup A, e modstrid. (iv) Vi har ikke, at x 2 ą 2: Atag, at x 2 ą 2. Så er ε x 2 2 ą 0 og (ii) giver, at ε ď 2. Sæt u s x ε ą 0. Hvis vi for e emheds skyld skriver δ ε, så er 4 4 s 2 px δq 2 x 2 2xδ ` δ 2 ą x 2 2xδ ě x 2 4δ x 2 ε 2 (14) At s er e øvre græse følger u af (14) samt opgave 67. Me dette er i modstrid med, at x er e midste øvre græse. 5