PRISFASTSÆTTELSE AF OBLIGATIONER I KONTINUERT TID

Transkript

1 PRISFASTSÆTTELSE AF OBLIGATIONER I KONTINUERT TID Claus Madsen version eferåre 1992 revidere 11. januar 1994 revidere 31. augus 1994 revidere 30. okober cam@fineanalyics.com 1

2 Prisfassæelse En beragning af obligaioner i koninuerlig i koninuer id id Prisfassæelse af obligaioner i koninuer id Indledning I dee arbejdspapir vil jeg foreage en analyse og en diskussion af en række af de koninuere modeller il prisfassæelse af obligaioner, der er bleve foreslåe i lierauren - dvs il esimaion af renesrukuren. I den anledning vil der kun blive berage koninuere modeller med idshomogene paramere. Endvidere vil behandlingen af sokasisk volailie være sparsom 2. Arbejdspapire vil endvidere indeholde nogle beragninger omkring opionsprisfassæelse, herunder akie-opioner. Jeg vil indlede med i afsni 2 kor a diskuere en lang række af de modeller, der er bleve inroducere i lierauren. Herefer vil afsni 3 behandle de mes kende en-fakor modeller for renesrukuren. Herunder vil jeg udlede de analyiske udryk for henholdsvis CIR og Vasicek modellerne. I afsni 3 vil der endvidere blive gjor nogle beragninger omkring prisfassæelse af akie-opioner, med speciel henblik på den allesedsnærværende Black og Scholes (1973) model. I afsni 4 vil jeg foreage en kor diskussion af problemerne ved a beskrive dynamikken i renesrukuren ved en-fakor modeller. Dee vil auomaisk lede mig over i afsni 5, som beskæfiger sig med fler-fakor ligevægsbaserede modeller for renesrukuren. De modeller, som vil blive age op, er Brennan og Schwarz (1979),(1980),(1982), Waler (1995), Vasicek og Fong (1991) og Longsaff og Schwarz (1990), (1992). I afsni 6 vil jeg foreage en nærmere gennemgang af den flerdimensionelle Vasicek model. Jeg vil her berage Beaglehole og Tenneys (1991) mulifakor model, herunder deres såkalde "double-decay" model, dog analysere med udgangspunk i Langeieg (1980). 1 Dee noa er en revidering og omskrivning af e noa fra eferåre Den grundlæggende forskel imellem de o noaer er, a der i dee noa er frasorere alle de generelle beragninger omkring sokasiske processer sam selve udledningen af Ios lemma. Dee noa er derimod udbygge med nogle beragninger omkring fler-fakor sokasiske modeller. 2 Sokasiske modeller med idsafhængige paramere er bl.a. behandle i Hull og Whie (1993), Kijima og Nagayama (1995), Jamshidian (1991) og Black, Derman og Toy (1990). Hvad angår modeller med sokasisk volailie kan nævnes Dupire (1993)/(1995). 2

3 I afsni 7 vil jeg foreage en kor inrodukion af en ny ype af renesrukurmodeller, nemlig de ikke-lineære sokasiske modeller, såsom den kvadraiske muli-fakor model af Beaglehole og Tenney (1991) og Jamshidian (1993) sam Longsaff (1989) "double-square-roo" model. Endvidere vil den nye ikke-lineære modelype fra Consaninides (1992) blive behandle. 2. Ligevægsmodeller for dynamikken i renesrukuren Til besemmelse af dynamikken i renesrukuren eksiserer principiel o yper af modeller, nemlig de ligevægsbaserede og de arbiragebaserede. Ligevægsbaserede modeller, såsom Cox, Ingersoll og Ross (1985) (CIR), Vasicek (1977), Couradon (1982) og Dohan (1978), fokuserer hovedsagelig på prisfassæelse af obligaioner ud fra den akuelle værdi af den øjeblikkelige sporene (den risikofri rene). I disse modeller fungerer den akuelle sporene som dynamikkens underliggende ilsandsvariabel. Obligaionsudryk findes herefer ved a løse en pariel differenialligning, som fremkommer ud fra forudsæninger - enen eksplicie eller implicie - omkring præferencesrukuren og dynamikken i den underliggende ilsandsvariabel. En konsekvens af a anvende denne meode er, a de ofe er nødvendig med emmelig resrikive præferenceanagelser for, a de er mulig a finde e analyisk udryk (closed-form-soluion) for den resulerende parielle differenialligning. For eksempel kan de påpeges, a CIR, Dohan og Couradon anager en logarimisk præferencesrukur. Vasiceks meode afviger herfra i og med, a han ikke eksplici foreager nogle anagelser omkring præferencesrukuren, men gør dee implici, når både dynamikken i sporenen og markedsrisikoparameere er specificere. De forhold, a Vasicek ikke eksplici faslægger præferencesrukuren, medfører, a hans model i lierauren går under navne en arbiragemodel. Jeg vil på rods heraf berage Vasiceks model som hørende il familien af ligevægsbaserede modeller. Årsagen heril er, a de arbiragebaserede modeller berager jeg som dem der ager iniialrenesrukuren for give, og herefer opsiller resrikioner på, hvorledes diskoneringsfunkionen/renesrukuren kan bevæge sig over id, uden a disse bevægelser kolliderer med de risikofri arbirage-argumen. Dee beyder alså, a denne meode pga. konsrukionen vil mache iniialrenesrukuren. Modeller som ilhører denne familie, er bl.a. Ho og Lee (1986) og Heah, Jarrow og Moron (1987), (1991) 3. 3 For en nærmere behandling af de arbiragebaserede modeller henvises il Madsen (1995b). 3

4 E resula af a anvende ligevægsmeoden er, a den resulerende obligaionsprisfunkion er præferenceafhængig. Denne faslæggelse af præferencesrukuren har dog sine fordele, i og med a give parameerværdierne, kan priserne på alle obligaioner uanse løbeid besemmes. Dee beyder alså, a hele renesrukuren kan faslægges ved kun a kende e lille anal paramere. De kan alså konkluderes, a ligevægsmodeller førs forudsæer a de valge ilsandsvariable (generel en - nemlig sporenen) indeholder ilsrækkelig saisik il a beskrive hele renesrukuren. Derefer anager disse modeller, a ilsandsvariablene ikke kun er i sand il a beskrive hele iniialrenesrukuren men også dynamikken i renesrukuren. Disse forudsæninger bliver foreage, da hovedformåle med modellerne er a modellere dynamikken i obligaionspriserne ved anvendelse af kun e lille anal fakorer. De ligevægsmodeller der blev nævn foroven, er alle de der kaldes en-fakor modeller, da der kun er en ilsandsvariabel, der beskriver dynamikken i renesrukuren. De a lade renesrukuren være dreve af kun en fakor, har selvfølgelig nogle mere eller mindre uheldige egenskaber. Dee har medfør, a der i lierauren har være foreslåe modeller, som indeholder mere end en fakor. En af de idligse og nok mes kende modeller, som indeholder mere end en fakor, er Brennan og Schwarz (1979), (1980), (1982) o-fakor model. I deres model er de o fakorer repræsenere ved den risikofri rene og konsolrenen. En anden model, som er mege oppe i iden, er Longsaff og Schwarz (1990), (1992) o-fakor model. Her er fakorerne den risikofri rene og volailieen i den risikofri rene. En række empiriske undersøgelser har påvis, a den overvejende variaion i renesrukuren kan forklares med 3 fakorer, se bl.a Lierman og Scheinkmann (1988) og Garbade (1986) på de amerikanske marked. For de danske marked se Dahl (1989) og Madsen (1995a). På rods heraf er der endnu ikke bleve præsenere en decidere 3-fakor ligevægsmodel for dynamikken i renesrukuren der duplikerer disse fakorer. Brennan og Schwarz (1982) nævner da også i forbindelse med en empirisk analyse af deres model, a der er noge der aler for, a der mangler endnu en fakor, og a denne ene fakor formenlig skal være en volailiesfakor. Hovedgrunden il a der endnu ikke er bleve foreslåe en decidere 3-fakor ligevægsmodel, kan formenlig forklares ved, a de for de førse måske ikke er indlysende, hvilke fakorer der skal vælges. For de ande er de heller ikke indlysende, om en eller flere af ilsandsvariablenes processer skal indeholde mean-reversion eller ej. For de redie e de en nødvendighed, a præferencesrukuren er af en logarimisk form, for a en analyisk løsning overhovede kan findes. E sidse forhold er overvejelsen omkring hvilken variansspecifikaion, der skal foreages for hver af ilsandsvariablenes processer, hvor den mes "racable" er en normalfordelingsanagelse, med de deraf aflede uheldige konsekvenser. 4

5 De er nok lid firkane formulere, a der ingen fler-fakormodeller eksiserer, i og med a Langeieg (1980) fakisk har definere en muli-fakor renesrukurmodel, indeholdende en normalfordelingsanagelse. Selvom de er mulig a finde e analyisk udryk for Langeiegs muli-fakor model, er der visse inuiive problemer med hans model i og med, a ilsandsvariablene ikke bliver specificere, og de ikke er hel indlysende, hvad de fakisk skal være. Dee modelframework fra Langeieg er dog så generel, a en lang række af specifikke modeller under normalfordelingsbeingelsen kan berages som grænseilfælde i Langeiegs emmelig generelle modelformulering. E eksempel på dee er en o-fakor model foreslåe af Beaglehole og Tenney (1991), den såkalde "double-decay" model 4. De vigigse bidrag fra Beaglehole og Tenney (1991) er dog ikke denne o-fakor model, men derimod inrodukionen af en såkald mulifakor kvadraisk renesrukurmodel 5. Denne kvadraiske renesrukurmodel, er en såkald ikke-lineær model, og kan i den forbindelse berages som en udvidelse af Longsaff (1989) "double-square" model, der var den førse ikke-lineære renesrukurmodel, der blev inroducere. En uheldig egenskab ved den kvadraiske renesrukurmodel er, a de ikke umiddelbar ser ud il, a de er mulig a finde analyiske udryk for obligaionsprisen for ande end i de en-dimensionelle ilfælde. En alernaiv model i de ikke-lineære framework, hvor de fakisk er mulig a finde analyiske udryk for obligaionspriser i en muli-fakor model, er derimod bleve foreslåe af Consaninides (1992). Sluelig kan nævnes Duffie og Kans (1993) muli-fakor model, som principiel kan forsås som en muli-fakor CIR-model, dvs a bl.a. Chen og Scos (1993) o-fakor CIR-model kan indeholdes som grænseilfælde i dee framework. E fundamenal krav il sokasiske modeller i bred forsand er selvfølgelig a de for en lang række af de mere ordinære fordringer, såsom eksempelvis nulkuponobligaioner og europæiske opioner, skal være mulig a finde analyiske udryk. Dee sæer selvfølgelig en række begrænsninger på, hvorledes en proces for renesrukuren skal specificeres. En sidse ønskværdig egenskab ved specifikaionen af en meningsfuld fler-fakor model er fra en prakisk synsvinkel selvfølgelig den, a ilsandsvariablene skal kunne observeres i markede. En række af de ovenfor nævne modeller har bl.a. ikke den egenskab, a der eksiserer nogen analyisk løsning, hvilke har den implikaion, a disse modelyper er af mindre prakisk iner- 4 Af andre modeller, der er foreslåe, og som kan indeholdes i Langeiegs modelframework kan f.eks. nævnes 3-fakor modellen fra Kraus og Smih (1993). 5 Se også Jamshidian (1993). 5

6 esse. 3: En-fakor sokasiske modeller Usikkerheden i økonomien er, som vanlig, definere ved e sandsynlighedsrum (Ω,F,P), hvor Ω angiver hele udfaldsrumme, P er e sandsynlighedsmål og F er hændelsesrumme. De anages samidig, a der eksiserer en m-dimensionel Wiener proces W = [W();0 < T < τ], hvor komponenerne Wi(), for i = {1,2,...,m} er uafhængige 6 en-dimensionelle Wiener processer med en drif lig nul (0) og en varians lig en (1). I dee afsni er de kun de en-dimensionelle ilfælde der berages. Jeg vil nu opsille en en-fakor koninuer model for renesrukuren, hvor denne ene fakor er den risikofri rene. De anages her, a den risikofri rene følger en sokasisk proces af Io-ypen således; hvor μ() som er kend på idspunk er en idsafhængig drifskoefficien, σ(), som også er kend på idspunk, er en idsafhængig diffusionskoefficien og dw er en Wiener proces med følgende egenskaber: (dw) 2 = d, ddw = 0 og (d) 2 = 0. Hvis de anages, a der eksiserer en fordring P(,T), som kun er afhængig af r og, vil den sokasiske proces for P(,T) ifølge Ios lemma ilfredssille følgende parielle differenialligning (PDE) 7 : Fodegnene repræsenerer parielle aflede. dr() = μ()d + σ()dw dp P = μ P d + σ P dw hvor μ P = P + P r μ() P rr σ2 () og σ P = P r σ() 6 Uafhængighedsanagelsen er dog ikke e fundamenal krav. De er kun fremsa her af prakiske årsager. En slækkelse på denne anagelse vil da også blive foreage senere i noae. 7 I dee noa anvender jeg i flæng P og P(,T) som e udryk for prisen på en nulkuponobligaioner på idspunk der udløber på idspunk T. 6

7 Ved anvendelse af de risikofri arbirageargumen 8 kan den søge parabolske differenialligning, som alle fordringer P(,T) skal ilfredsille for a udelukke arbiragemuligheder, formuleres som: følger: 8 Formel 3 er som nævn fremkomme ved anvendelse af de risikofri arbirageargumen. Argumene er som Berag nu dynamikken i poreføljen X: dx = hdp 1 + (1 - h)dp 2 Hvor dee udryk er af samme form som de fundamenale udgangspunk i udledningen af den parielle differenialligning, når den fordring som driver prisen på P er en "observerbar" fordring; dvs ovensående relaion kan berages som værende udgangspunke i udledningen af Black og Scholes (1973) formel. I Black og Scholes udledning vil de ene P repræsenere akieprisen og de ande P prisen på de aflede insrumen - opionen. Forklaringen på, a der kun behøves o fordringer il a generere en risikofri porefølje, er, a der præcis behøves 1+anal usikkerhedsfakorer (anal Wiener processer). Processen for poreføljen X kan nu skrives som: dx = h[μ P1 d + σ P1 dw] + (1 - h)[μ P2 d + σ P2 dw] Vælg nu h, således a poreføljen X er risikofri. = [hμ P1 + (1 - h)μ P2 ] + [(1 - h)σ P2 - hσ P1 ]dw De har den implikaion, a h skal faslæggelse således a: [(1 - h)σ P2 + hσ P1 ] = 0 da dee beyder a: De kan herudfra udledes, a h er give ved: [hμ P1 + (1 - h)μ P2 ] = r h = σ P2 σ P2 - σ P1 Endvidere ses de ydelig, a: μ P1 - r σ P1 = μ P2 - r σ P2 Hvor dee udryk viser, a merafkase for hver enhed af risiko for den ene fordring er lig merafkase for hver enhed af risiko for den anden fordring. De viser sig alså, a markedsrisikoparameeren er idenisk for alle fordringer, der kun er en funkion af r og, således: μ P - r σ P Ved a indsæe udrykke for henholdsvis drifen og volailieen i obligaionspriserne fra formel 2 heri ses de, a dee vil resulere i e udryk, som er idenisk med relaionen fra formel 3, for Γ() = λσ(). = λ 7

8 Dee udryk er som bekend bleve udled under den anagelse, a den sokasiske ilsandsvariabel ikke var en "observerbar" 9 fordring, efersom markedsrisikoparameeren Γ() indgår i den fundamenale parielle differenialligning. 3.1 Prisfassæelse af akie-opioner P + P r [μ() - Γ()] P rr σ2 () - rp = 0 Hvis nu jeg alernaiv berager de mere simple ilfælde, nemlig a den sokasiske variabel er en "observerbar" fordring, eksempelvis en akie, vil dee medføre, a en af P`erne bliver en prisfunkion af formen P = r. Dvs prisen er nu selv en ilsandsvariabel. De ande P kommer nu il a repræsenere en afled fordring, eksempel en opion, dvs P o = P. Dee resulerer i en P + P P [μ() - Γ()] P PP σ2 () = rp μ() = rp + Γ() mere simpel pariel differenialligning for denne fordring, som kan vises således: P o + Po P [rp + Γ() - Γ()] Po PP σ2 () = rp o P o + P o rp + 1 P 2 Po PP σ2 () = rp o Indsæes dee i formel 3, får man: For σ 2 () = σ 2 P 2 degenererer denne formel il den oprindelige Black og Scholes (1973) formel. 9 De skal her nævnes, a udrykke "observerbar" fordring er anvend il a definere, om en fordring er handlebar. I den forbindelse skal de poineres, a rener, inflaionssaser ol. ikke er a berage som "observerbare" fordringer. 8

9 Black og Scholes modellen er de man i diffusionseorien kalder for en Geomerisk Brownsk bevægelse 10, da μ og σ er anage a være konsane. I den slags ilfælde vil priserne være saionære og lognormalfordele, dvs priserne kan ikke blive negaive 11. Hvis man nu alernaiv vælger en mere generel beskrivelse for σ 2 (), er følgende definiion hel generel for en lang række af de i lierauren foreslåede opionsprisfassæelsesmodeller σ() = σp α 2; 0 α 2 på akier: Her er α en elasiciesfakor, og hvor α = 2 resulerer i den radiionelle Black og Scholes model. Baggrunden for, a modeller af denne ype er bleve foreslåe i lierauren, er, a de i USA er observere, a der er en endens il, a volailieen er invers relaere il akieprisen. Modeller, hvor diffusionskoefficienen er definere som i formel 6, går under navne "consan-elasiciy-of-variance" modeller - eller bare CEV-diffusionsmodeller. De 2 mes kende CEV-modeller er den såkalde square-roo model (α = 1) og den absolue model (α = 0) En-fakor modeller for prisdannelsen på obligaioner Lad mig nu genkalde udrykke for den proces alle fordringer, der kun er en funkion af r og, skal opfylde nemlig formel 3, således: De, der adskiller de enkele fordringer, er randbeingelsen. For en nulkuponobligaion er randbeingelsen give ved, a P(T,T)=1. Løsning af formel 7 under hensynagen il denne randbeingelse giver diskoneringsfunkionen for alle. Herefer kan renesrukuren findes således: P + P r μ() P rr σ2 () - P r Γ() - rp = 0 10 Se Karlin og Taylor kap. 15 (1981) 11 I Appendix A er der i den forbindelse foreage en udledning af de analyiske udryk i henholdsvis Black og Scholes (1973) modellen og Black (1976) modellen. 12 For en nærmere beskrivelse af CEV-modellerne henvises il Cox og Ross (1976) og Beckers (1980). 9

10 R(,T) = - lnp(,t) T r F (,T) = - δlnp(,t) δt Forwardrenesrukuren kan beskrives således: De 3 førse led i formel 7 sammer fra Ios lemma og er e udryk for den forvenede prisændring på obligaionen over e uendelig kor idsinerval. Dee beyder alså, a de 2 E(r) = r + Γ() P r P sidse led må repræsenere de forvenede afkas på obligaionen, som kan omskrives il: De kan udledes, a hvis risikopræmien er lig nul, er de forvenede afkas over e uendelig kor idsinerval ens for alle obligaioner og endog lig med den risikofri-rene 13. E ande ineressan forhold er, a den øjeblikkelige risikopræmie er proporional med obligaionens priselasicie/modificere varighed. De kan endvidere udledes, a hvis risikoparameeren er negaiv, vil posiive risikopræmier opræde, efersom obligaioners priselasicie pr. definiion er negaiv 14. Den procenuelle prisændring på en nulkuponobligaion vil udvikle sig i henhold il følgende dp P = μ P d + σ P dw hvor μ P = P + P r μ() P rr σ2 () og σ P = P r σ() formel: Efersom de er en-fakor modeller, der her berages, er afkase på alle obligaioner fuldsændig korrelere. Principiel skulle risikoparameeren besemmes ud fra markedsdelagernes nyefunkioner; en alernaiv mulighed er a esimere Γ() ud fra de ilgængelige daamaeriale - dvs anage a risikoparameeren er konsan. I forbindelse med risikopræmieparameeren skal de også nævnes, a en naurlig indfaldsvinkel ville være a anage en eller anden funkionel form for risikopræmien. Men her er de nødvendig, a den anagede funkionelle form ikke er inkonsi- 13 De kan alså udledes, a den lokale forvenningseori kun er fremherskende, hvis risikopræmien er lig Denne udalelse er dog kun korrek, sålænge den beragede renesrukurmodel ilhører den lineære klasse, se afsni 7. 10

11 sen med en ligevægsberagning 15. Alle koninuere en-fakor modeller for renesrukurens udvikling over id har formel 7 som den grundlæggende prisfunkion. De, der adskiller de enkele modeller fra hinanden, er specifikaionen af drifs- og diffusionskoefficienen. 15 Se Madsen (1994a). 11

12 μ() = κ()[θ() - r] og σ() = σ()r o for o [0, 1 2,1] En forholdsvis generel beskrivelse af en-fakor modellerne er følgende 2 specifikaioner 16 : Dee medfører, a en generel pariel differenialligning, der indeholder en række af de modeller, der har være analysere i lierauren som grænseilfælde, kan skrives således: Modeller af ypen demonsrere/vis ved formel 13, under hensynagen il a paramerene er idshomogene, er bl.a. udled af Vasicek (1977), Dohan (1978), Couradon (1982), Cox, Ingersoll og Ross (1985). De mere generelle ilfælde med idsafhængige paramere i diffusionsprocessen er bl.a. analysere i Hull og Whie (1990) og Kijima og Nagayama (1995) 17. Jeg vil gennemgå følgende modeller i nævne rækkefølge: Vasicek, Dohan, Couradon og Cox, Ingersoll og Ross Vasicek P + P r κ()[θ() - r] P rr σ()2 r 2o - P r Γ()r o - rp = 0 Ved a sæe o = 0, κ > 0, og ved endvidere a anage a κ og θ er idsuafhængige, fremkommer den model, som oprindelig blev opsille af Vasicek. Processer med egenskaben, a κ 0 går under navne Ornsein-Uhlenbeck processer, og når de endvidere anages, a κ > 0 kaldes de for en elasisk-random-walk proces 18. Dee medfører, a den endelige prisfunkion får føl- P + P r κ[θ - r] P rr σ2 - P r λσ - rp = 0 gende udseende 19 : I denne formel er κ, θ og σ posiive konsaner. Den øjeblikkelige drif κ(θ - r) repræsenerer 16 En alernaiv formulering af diffusionskoefficienen er foreage af Duffie og Kan (1993), nemlig σ() = σ 0 + σ 1 r, hvor dee udryk degenererer il relaionen fra formel 12 for σ 0 = 0 og o = Der henvises il Madsen (1995b) for en nærmere analyse af sporeneprocesser med idsafhængige paramere. 18 I forbindelse med den elasiske-random-walk model er renerne normalfordele. De medfører, a sporenen vil blive dreve imod posiive og negaive værdier med sandsynligheden Denne formel er ækvivalen med Vasiceks formel 15, under den forudsæning a hans f er definere som i hans formel

13 en kraf, som vinger processen imod dens langsigede middelværdireneniveau θ med en kraf proporional i forhold il afsanden fra dee langsigede middelreneniveau. κ er en konvergerings-hasighedsparameer, hvor for κ går renen mod middelreneniveaue κ. Endvidere anager Vasicek, a præferencesrukuren Γ() er en konsan, dvs Γ() = λσ Dohan Ved a sæe o = 1 og κ = 0 fås den parielle differenialligning, som blev udled af Dohan P P rr σ2 r 2 - P r λrσ - rp = 0 (1978) 20 : Risikopræmien er her bleve definere ud fra en simpel ligevægsmodel for økonomien, hvor de er anage, a inveseringsmulighederne er deerminisiske, og hvor invesorerne anages a have en logarimisk nyefunkion. Risikopræmien kan ud fra ovensående udryk indses a have følgende udseende: Couradon Γ() = λrσ Ved a sæe o = 1 og κ 0 fås følgende parielle differenialligning, som blev udled af Couradon (1982): Denne er af samme form som hans formel 7a. Couradon anvender resulae for risikopræmien, som udled af Dohan (1978) i opsillingen af formel Cox, Ingersoll og Ross P + P r κ[θ - r] P rr σ2 r 2 - P r λrσ - rp = 0 Ved a sæe o = 0.5 og κ 0 kan Cox, Ingersoll og Ross` oprindelige model findes. De skal dog heril siges, a de i besemmelsen af risikopræmieparameeren, som Dohan gør anvendelse af en ligevægsmodel for økonomien, dog med sokasisk varierende inveseringsmuligheder og hvor invesorerne anages a have en logarimisk nyefunkion. Deres resula bliver også af formen give ved formel 16 dog normere i forhold il spredningen σ. Dee medfører, a Cox, Ingersoll og Ross` model kan formuleres således: 20 Dee udryk er ækvivalen med Dohans formel 3. 13

14 P + P r κ[θ - r] P rr σ2 r - P r λr - rp = 0 De fire modeller, som her er bleve kor gennemgåe, resulerer alle i en fundamenal differenialligning, som alle fordringer, der kun er en funkion af de valge ilsandsvariable og iden skal opfylde for a udelukke arbiragemuligheder. Man kunne i den forbindelse blive foranledige il a kalde modeller af ovensående ype for global arbiragefri. På samme måde vil de være naurlig a berage modeller af Black og Scholes ypen som "kun" værende lokal arbiragefri. I obligaionseori vil pendanen il lokal arbiragefri modeller være en direke modellering af den sokasiske proces for obligaionspriserne, dvs obligaionsprisen er selv en ilsandsvariabel. En sådan specificering er bl.a. foreslåe af Schaefer og Schwarz (1987), Ball og Torous (1983), Rady og Sandmann (1994) og Nawalkha (1995) i forbindelse med prisfassæelse af opioner på obligaioner. Da modeller af denne ype ikke beskæfiger sig med faslæggelse af renesrukuren, efersom obligaionspriserne pr. definiion er anage a være give, skal jeg ikke yderligere beskæfige mig med modeller af denne ype. En sådan indfaldsvinkel kan da også nærmere berages som en mulighed for a anvende Black og Scholes opionsvalueringsprincip for akier direke på obligaions-opioner Løsning af den parielle differenialligning Af de modeller, som ovenfor er bleve gennemgåe, er de kun Cox, Ingersoll og Ross modellen og Vasicek modellen de er mulig a løse analyisk 22. De er bl.a. mulig a finde analyiske udryk for prisen på en nulkuponobligaion, prisen på en opion på en nulkuponobligaion og prisen på en opion på en kuponobligaion. I dee arbejdspapir vil jeg dog indskrænke mig il a berage udryk for prisen på en nulkuponobligaion 23. I forbindelse med løsningen af parielle differenialligninger findes der en række forskellige meoder. Bl.a. kan nævnes, a Cox, Ingersoll og Ross (CIR) (1985) selv udlede deres model med udgangspunk i e resula fra Feller (1951). En alernaiv løsningsmeode blev anvend af Jamshidian (1987) som fand CIRs (1985) analyiske udryk ved a anvende Greens-funkion. En redie meode blev brug af Vasicek (1977), som løse sin parielle differenialligning ved a age udgangspunk i de ækvivalene maringale mål. 21 Der henvises il Appendix B for en nærmere diskussion af modeller, der direke fokuserer på den sokasiske proces for obligaionspriserne, og de problemer dee kan medføre. 22 Dohan udleder dog også e analyisk udryk af emmelig kompleks karaker. I og med a hans udryk indeholder en dobbel inegrering over e semi-uendelig inerval sam Bessel funkioner af 2. orden. 23 I Madsen (1995c) er prisfassæelse af opioner og i de hele age aflede insrumener i bred forsand - en m-dimensionel model - uddybende behandle under hensynagen il normalfordelingsanagelsen. 14

15 Jeg vil her hvad angår Vasiceks model vise, hvorledes de analyiske udryk kan findes ved a anvende Feynman-Kac løsningen 24. I forbindelse med Feynman-Kac løsningen vil der blive anvis o meoder il a få den parielle differenialligning på den risikoneurale form. Nemlig ved anvendelse af de risikofri arbirageargumen som præcis var indfaldsvinklen anvend i afsni 3 og alernaiv ved a anvende de ækvivalene maringale mål. Forklaringen på, a Feynman-Kac løsningen kræver, a sporeneprocessen skal være på sin risikoneurale form, er nemlig den, a drifen i sporeneprocessen skal være idenisk med koefficienen il ledde Pr i den endelige parielle differenialligning 25. Dee er præcis ilfælde, hvis den risikoneurale sporeneproces berages. I afsni 6 vil en generel m-fakor normalfordel model som Langeiegs (1980) model blive analysere nøjere. Der vil her vil blive udled e analyisk udryk for denne model, hvor der er inkorporere korrelaion mellem de enkele Wiener processer. Endvidere vil de blive vis, a denne model indeholder Vasiceks model som special ilfælde. Lad mig dog indledningsvis genkalde den parielle differenialligning for Vasicek modellen, således: med randbeingelse P(T,T) = Maringale approache De anages, a der eksiserer e unik sandsynlighedsmål Q på Ω, som er ækvivalen il P, således a den diskonerede pris på enhver fordring er en Q-maringale. Derfor vil den normerede prisproces P(,T)/M() blive berage, hvor processen for P(,T) er definere ved formel 11, og M() er give ved: P + P r κ[θ - r] P rr σ2 - P r λσ - rp = 0 dm() = rd efersom sporenen er kend på forhånd, vil de nemlig være således, a processen for M() er deerminisisk. 24 I Appendix C er der vis en meode hvorpå de analyiske udryk i CIR-modellen kan findes. 25 Se Karazas og Shreve (1988) afsni 5. 15

16 dp M (,T) = dp(,t) dm() = [μ P - r]p M (,T)d + σ p P M (,T)dW Dee resulerer i, a den normerede prisproces PM(,T) kan skrives på følgende form: Argumene for a inddrage den normerede prisproces PM(,T) med M() som deflaor er ofoldig. For de førse gælder de, a der ingen arbiragemuligheder er give processen P(,T), hvis og kun hvis, der ikke er nogen arbiragemuligheder give den normerede prisproces PM(,T). Dee argumen sammer fra "he numeraire invariance heroem" og posiivieen af deflaoren M(). Dee fordi "he numeraire invariance heroem" siger, a hvis M() er en regulær deflaor, så er en handelssraegi selvfinansierende 26 med hensyn il P(,T), hvis og kun hvis den er selvfinansierende med hensyn il den normerede prisproces PM(,T) 27. Endvidere gælder de, a hvis den normerede prisproces PM(,T) illader ilsedeværelsen af e ækvivalen maringale mål, er der ingen arbiragemuligheder. Hvor der også kan argumeneres for, a hvis PM(,T) er en maringale, gælder de, a M() er en deflaor ("sae-price-deflaor"). Dee beyder alså, a hvis de kan vises, a den normerede prisproces PM(,T) illader eksisensen af e ækvivalen maringale mål, er dee både en ilsrækkelig og nødvendig beingelse for, a der er arbirage-frihed 28. På grund af diffusion invariance princippe 29 er de således, a hvis PM(,T) er en Io-proces med dp (,T) M P M (,T) = μm d + σ M dw P P og PM(,T) endvidere er en maringale med hensyn il e ækvivalen sandsynlighedsmål Q, så eksiserer der en Wiener proces W under Q, for hvilken de gælder a dp M (,T) P M (,T) = σm P dw. Hvor de hermed kan indses, efersom P(,T) = M()PM(,T), a processen for P(,T) kan dp(,t) = r()p(,t)d + σ p P(,T)dW() skrives således under de ækvivalene maringale mål: 26 For en nærmere gennemgang af den selvfinansierende handelssraegi henvises il Dohan (1990) side 297, sekion 12.4 og Duffie (1992) kapiel Se Duffie (1992) side Se Harrison og Kreps (1979) og Duffie (1992) kapiel Se Duffie (1992) Appendix D. 16

17 Formel 22 ses a være e vigig afled resula i forbindelse med arbiragefri prisfassæelse, give e eksplici udryk for obligaionspriser under e sandsynlighedsmål Q, med den egenskab, a den normerede prisproces P(,T)/M() er en Q-maringale. Definiion nr. 1: E ækvivalen maringale mål er e sandsynlighedsmål Q på (Ω,F), som ilfredssiller: a) Hvis sandsynlighedsmåle Q på (Ω,F) skal være ækvivalen il de oprindelige sandsynlighedsmål P, skal de gælde a Q(A) = 0 og P(A) = 0 for enhver hændelse AεF,. b) E(ρ 2 ) <, hvor ρ = exp λdw Radon-Nikodym aflede. c) E[e λ 2 ds, og ρ = dq/dp, som er den λ 2 ds ] <, dvs a λ skal være begrænse på en eller anden måde, hvor denne beingelse kaldes for Novikovs beingelse, se Duffie (1992) Appendix D. d) P(,T)/M() er en maringale, hvor krave her er, a 0 σp(s,t)ds <, dvs begrænse, se Harrison og Kreps (1979) side 396. W i () = W() - λds 0 for 0 T De redskab, der her skal anvendes, er Girsanovs eori. Lad nu: Girsanovs eori siger, a W er en Wiener proces på (Ω,F,Q), hvor dq = ρdp, og a PM(,T) dp M (,T) = [μ P - r]p M (,T)d + σ p P M (,T)[dW - λd] ilfredssiller følgende sokasiske proces: Da λ = μ P - r σ P kan formel 24 omskrives il: 17

18 dp M (,T) = [μ P - r]p M (,T)d + σ p P M (,T)[dW - [μ - r] P σ d] P = σ P P M (,T)dW Hvor de ses, a PM(,T) er en maringale. Dee indikerer også, a processen for P(,T) fra formel 22 er definere under de ækvivalene sandsynlighedsmål Q. P(T 1,T) = P(,T)exp T 1 r(s)ds T 1 σ 2 P ds + o T 1 σ P dw(s) < T 1 < T En direke konsekvens af formel 22 er, a de enkele obligaionspriser er give ved: De kan alså konkluderes, a formel 26 er løsningen il formel 22. Yderligere ses de, a den P(T 1,T) P(,T 1 ) = P(,T)exp T 1 σ 2 P ds + normerede prisproces PM(,T) er definere som: ot 1 σ P dw(s) < T 1 < T P(,T) P(,) = EQ P(T 1,T) P(,T 1 ) < T 1 < T I henhold il maringale egenskaben haves: Under forudsæningen a T1 =, og ved a anvende horisonbeingelsen beyder de, a formel 28 kan omskrives il: Hvor dee udryk repræsenerer obligaionsprisen under de ækvivalene sandsynlighedsmål. Anagelse nr. 1 P(,T) = E Q Feynman-Kac løsningen il e Cauchy problem a la formel 19 under hensynagen il en generel randbeingelse g(r,t) kan skrives på følgende form 30 : T e - r(s)ds 30 Se Karazas og Shreve (1988) sekion 4.4 og Duffie (1992) Appendix E. I forbindelse med Feynman-Kac løsningen er de dog således, a Feynman-Kac løsningen original refererer il en mindre klasse af parabolske differenialligninger end Cauchy probleme, således a formel 30 principiel refererer il den sandsynlighedsbeingede 18

19 P(,T) = E Q e - T r(s)ds g(r,t) Hvor E Q er forvenningsoperaoren på idspunk under sandsynlighedsmåle Q, dvs forvenningsoperaoren er age under den risikoneuale sporeneproces, eller sag på en anden måde: Feynman-Kac løsningen er sammenfaldende med en karakerisering af obligaionspriserne under de ækvivalene sandsynlighedsmål. Bevis: Sporeneprocessen under de originale sandsynlighedsmål P i Vasiceks model er definere dr = κ[θ - r]d + σdw som: Ved a anvende Girsanovs ransformaionssæning kan de vises, a sporeneprocessen under de ækvivalene sandsynlighedsmål Q kan skrives på følgende form: Ved a anvende Ios lemma på dee udryk kan de nem vises, a den resulerende parielle differenialligning bliver af formen give i formel 19. For randbeingelsen g(r,t) = 1 medfører de, a formel 30 degenererer il formel 29, således a Feynman-Kac løsningen er idenisk il løsningen ved anvendelse af maringale approache, hvilke fuldfører argumenaionen. Qed. dr = [κ[θ - r] - λσ]d + σdw De analyiske udryk for Vasicek modellen kan nu findes med udgangspunk i formel 29 og ved a anvende definiionen af den Radon-Nikodym aflede il a swiche ilbage il de oprindelige sandsynlighedsmål under hensynagen il arbirær faslæggelse af markedsrisiko P(,T) = E Q e - T r(s)ds = E T T T e - r(s)ds + λdw - 1 2λ 2 ds parameeren: Da de vides, a sporenen er normalfordel, vides de også, a eksponenen i den sidse kanede paranes er normalfordel, således a løsningen il formel 33 alernaiv kan skrives på løsning il den parielle differenialligning. 19

20 X(,T) = - P(,T) = e -E[X(,T)] V[X(,T)] for T r(s)ds + T λdw T λ 2 ds følgende form: De vides, a den forvenede værdi og varians 31 for Y(,T) = T r(s)ds kan 32 skrives E [Y(,T)] = V [Y(,T)] = T T e -κ(v - ) r + e κ(s - ) [κθ - λσ]ds dv som: Ved a udføre inegraionerne i formel 35 og derefer indsæe i formel 33 medfører de, a obligaionsprisen i Vasicek modellen under sandsynlighedsmåle P bliver: og e -2κ(v - ) v v e κ(s - ) σds 2 dv P(,T) = exp 1 κ [1 - e-κτ ][R() - r] - τr() - 1 sigmasup2 4 κ 3 [1 - e -κτ ] 2 for R() = θ - λσ κ σ 2 κ 2 31 Se Karazas og Shreve (1988) afsni Hvor T r(s)ds repræsenerer en inegraion under de originale sandsynlighedsmål P, således a Y(,T) = X(,T). A indse a dee er korrek overlades il læseren, da argumene er ligeil. 20

21 Hvilke kan ses a være idenisk med Vasiceks formel En slubemærkning er, a både CIR-modellen og Vasicek modellen er de, der almindeligvis går under navne affine renesrukurmodeller i og med, a løsningen il de respekive parielle differenialligninger opfylder følgende posulerede funkionelle form for obligaionspriserne: Hvor τ = T -, dvs repræsenerer resløbeiden 34. De, a den funkionelle form kan skrives på følgende form, er ikke unik for disse o modeller. De gælder også for en lang række af de modeller, der vil blive berage i de eferfølgende afsni 35. Med formel 37 in mene er de endvidere mulig a specificere definiionen af en lineær renesrukurmodel. Definiion nr. 2. A(τ)r + B(τ) P(,T) = e En renesrukurmodel siges a være lineær, hvis den effekive nulkuponrene er lineær i ændringer i den/de underliggende ilsandsvariabel/le. Hvor de alså kan slues, a både Vasicek og CIR-modellen er lineære renesrukurmodeller. 33 En alernaiv udledning af de analyiske udryk for Vasicek modellen er foreage i Appendix D. 34 Hvor dee præcis er indfaldsvinklen i Appendix C og D i forbindelse med udledningen af analyiske udryk for henholdsvis CIR-modellen og Vasicek modellen. 35 Fakisk gælder de så vid vides for alle renesrukurmodeller, hvor de er mulig a finde analyiske udryk for obligaionspriserne, pånær Consaninides modellen, se afsni 7. 21

22 4. En-fakor conra fler-fakor modeller 36 E fundamenal problem ved en-fakor renesrukurmodeller er selvfølgelig, a alle obligaionspriser er perfek korrelere. Dee beyder ikke, a en given ændring i ilsandsvariablen nødvendigvis vil ændre alle obligaionspriser lige mege, men derimod a de alle vil bevæge sig i den samme rening 37. Implikaionen hvad angår renesrukurskif er, a enen vil hele renesrukuren bevæge sig op eller bevæge sig ned. I en-fakor modeller eksiserer der nemlig ingen mulighed for såkalde vis i renesrukuren. De beyder også, a poreføljer, der er hedge i dee framework, "kun" er hedge mod ændringer i ilsandsvariablen, og derved hele den herudfra aflede renesrukur. Denne form for renerisikosyring afviger alså ikke fundamenal fra de a anvende den såkalde en-fakor varighedsmodel. Forskellen besår simpelhen i, a man i en-fakor varighedsmodeller ager renesrukuren som give og hedger derefer mod eksempelvis addiive skif heri, hvorimod hedging i en-fakor sokasiske modeller er en hedge imod ændringer i ilsandsvariablen, hvor denne ilsandsvariabel fuld ud faslægger selve renesrukuren. Begge meoder lider af samme fundamenale problem, da de kun berager ilfælde, hvor renebevægelserne har ens foregn. Dee er da også i modsrid med alle de empiriske analyser, der er foreage på hvorledes renesrukuren fakisk bevæger sig. De har vis sig på både de amerikanske og de danske marked, a der i hver fald skal 3 fakorer il for a få beskreve den fulde dynamik i renesrukuren. En anden konsekvens af a anvende en-fakor modeller er, a de indeholder den implikaion, a konsol-renen er deerminisisk, hvilke beyder a konsolrenen er uafhængig af ilsandsvariablen - den risikofri rene. For a få ree op på den uhensigsmæssighed, a renesrukurbevægelser i en-fakor modeller er begrænse il a være af samme foregn, er der i lierauren bleve foreslåe en række modeller i de ligevægsbaserede framework, der skal prøve a ree op på denne simplifikaion af problemsillingen. De i den forbindelse formenlig mes bemærkelsesværdige modeller er nok Brennan og Schwarz (1979), (1980), (1982), Vasicek og Fong (1991), Longsaff og Schwarz (1990), 36 Når der fremover i dee arbejdspapir anvendes vendingen en-fakor lineære renesrukurmodeller, ænkes der på en-fakor lineære renesrukurmodeller, der ilhører den affine klasse. afsni Dee gælder dog kun for de lineære renesrukurmodeller, ikke for de ikke-lineære renesrukurmodeller, se 22

23 (1992) og Waler (1995). Alle disse fire modeller er o-fakor modeller. I Brennan og Schwarz modellen er konsolrenen den anden ilsandsvariabel, hvorimod a i Vasicek og Fong og Longsaff og Schwarz modellerne er den anden ilsandsvariabel volailieen i den risikofri rene. Hvad angår Walers model er ilsandsvariablene her den lange rene og renespreade mellem den kore og lange rene. En anden ype af modeller er mulifakormodeller i de gaussiske framework. En generel formulering af en sådan modelype er bleve foreage i en mindre kend arikel, nemlig Langeieg (1980). Dee framework er bleve ineressan med inrodukionen af Beaglehole og Tenneys (1991) mulivariae renesrukurmodel, som principiel er idenisk med Langeiegs originale modelformulering. Hvor dee modelframework f.eks. indeholder Vasicek modellen og Kraus og Smih (1993) modellen som grænseilfælde. En anden mulifakormodel er Duffie og Kans (1993) model som er en generalisering af Brown og Schaefers (1991) affine renesrukur model. Duffie og Kans model indeholder bl.a. Longsaff og Schwarz modellen, CIR-modellen, Vasicek modellen og Chen og Sco (1993) modellen 38 som grænseilfælde. Den indeholder også Langeiegs model som grænseilfælde, dog under den bibeingelse, a der er uafhængighed mellem de enkele Wiener processer. Endvidere indeholder Duffie og Kans model en form for hybrid sokasisk volailie. Denne model vil dog ikke blive yderligere behandle her, derimod henvises il Duffie og Kan (1993) for yderligere informaion. En sidse klasse af modeller er de ikke lineære renesrukurmodeller, som bl.a. er bleve behandle i Beaglehole og Tenney (1991), Longsaff (1989), Jamshidian (1993) og Consaninides (1992). Longsaff modellen er indehold som e special ilfælde af de mere generelle formuleringer hos Beaglehole og Tenney og Jamshidian. 5. To-fakor modeller for renesrukuren Jeg vil her fokusere på følgende re modeller: Brennan og Schwarz, Waler og Longsaff og Schwarz modellerne. De vil blive behandle i nævne rækkefølge. 5.1 Brennan og Schwarz Brennan og Schwarz (1979), (1980) og (1982) opsiller e udryk for prisen på en nulkuponobligaion, som er en funkion af o ilsandsvariable, nemlig den risikofri rene r og renen på en konsolobligaion l. Disse 2 rener anages a være give ved følgende sokasiske 38 Hvor de gælder, a Chen og Sco modellen principiel se er idenisk med Longsaff og Schwarz modellen, i og med a begge modeller anager, a de o ilsandsvariable hver især er beskreve ved en "square-roo" proces. 23

24 dr = μ r d + σ r dw r og dl = μ l d + σ l dw l processer: Hvor er iden, dwr og dwl er Wiener processer, hvor de gælder, a E[dWr] = E[Wl]= 0, (dwr) 2 = (dwl) 2 = d, dwrdwl = ρd. μr og μl er henholdsvis den infiniesimale drif i den kore og lange rene, σr 2 og σl 2 er henholdsvis den infiniesimale varians i den kore og lange rene; og ρ er den infiniesimale korrelaionskoefficien imellem de sokasiske ændringer i de o rener r,l 39. Den sokasiske proces for prisen på en nulkuponobligaion, som kun er en funkion af disse 2 dp P = μ P d + σ 1 dw r + σ 2 dw l ilsandsvariable, kan skrives således: μ P = P + P r μ r + P l μ l P rr σ2 + 1 r 2 P ll σ2 l σ 1 = P r σ r P + P rl σ l σ r ρ 1 P σ 2 = P l σ l P Ud fra Ios lemma vides, a μp, σ1 og σ2 kan udrykkes således: Den endelige parielle differenialligning for alle fordringer, der kun er en funkion af disse o ilsandsvariable og iden, kan nu findes ved a anvende de risikofri arbirageargumen, hvilke giver følgende resula: P + P r [μ r - λ r σ r ] + P l [μ l - λ l σ l ] P rr σ2 r P ll σ2 l + P rl σ r σ l ρ = rp E(r) = r + λ r σ r P r P + λ l σ l P l P Dee har den implikaion, a de forvenede afkas på en nulkuponobligaion kan skrives som: De kan ses, a den her opsillede endelige parielle differenialligning indeholder o 39 Når jeg her anvender beegnelsen den kore rene og den lange rene, menes der henholdsvis den risikofri rene og renen på en konsolnulkuponobligaion. 24

25 risikoparamere, som hver især kan forsås som markedsprisen på risiko for a bære præcis den form for sokasisk risiko, der kan henføres il henholdsvis den kore og den lange rene. Denne parielle differenialligning kan dog simpliceres, som også vis af Brennan og Schwarz (1979) Appendix A ved a anage, a den ene af de o risikoparamere ikke er a berage som en "ikke-observerbar" fordring, men derimod som en "observerbar" fordring. De er mes naurlig a vælge den lange rene, da den kore rene under alle omsændigheder skal bruges i anvendelsen af de risikofri arbirageargumen. Elimineringen af λl for formel 41 foregår efer følgende princip. P() = c l Prisen på en konsolnulkuponobligaion kan skrives således: Dvs P() er definere som prisen på en konsolobligaion med en koninuer ilskreve kuponrene på c. dp() = dp l ()dl dp ll ()dl2 dp() P() = σ2 l l 2 - μ l l + l d - σ l l dw l Ved anvendelse af Ios lemma herpå fås følgende 40 : σ 1 () = 0 og σ 2 () = - σ l l og σ 2 l μ P () = l 2 - μ l l + l Ved a sammenligne formel 44 og 39 kan følgende udledes: Hvis disse udryk indsæes i formel 42, fås følgende udryk for λl: 40 Hvor ledde l i formlen fremkommer ved a inroducere e koninuer cashflow i den sokasiske proces. 25

26 λ l = - σ l l + μ l + rl - l2 σ l μ l - λ l σ l = Ved derefer a indsæe i formel 41 resulerer dee i følgende endelige parielle σ 2 l l - rl + l2 P + P r [μ r - λ r σ r ] + P l l - rl + l P rr σ2 + 1 r 2 P ll σ2 l + P rl σ r σ l ρ = rp differenialligning: Hvor dee udryk er idenisk med Brennan og Schwarz (1979) formel 8. σ2 l Relaionen i formel 47 kan også udledes på en alernaiv måde, nemlig ved direke a anvende prisudrykke fra formel 43 på den parielle differenialligning. P l () = - c l 2, Ved a anvende denne relaion direke på de parielle aflede i formel 43 fås: Som ved indsæelse i formel 43 giver 41 : P ll = 2c l 3, P r = P rr = P lr = P = 0 c c -μ l l 2 + Γ l l 2 + σ 2 c l l 3 - r c l + c = 0 for Γ l = λ l σ l μ l - λ l σ l = Dee kan vises a ville give følgende udryk: Hvorefer formel 47 følger direke. σ 2 l l + l 2 - rl 41 Dee udryk er ækvivalen med Asrup Jensen og Aase Nielsens formel

27 I deres endelige model reformulerer Brennan og Schwarz formel 39 for a undgå, a der er en posiiv sandsynlighed for negaive rener. Måden de løser dee på, er ved a udrykke deres spredningsparamere i overenssemmelse med Couradon 42. De udrykker endvidere drifen i den kore rene il a være give ved en førse ordens μ r = κ[l - r] auoregressiv proces således: Denne specifikaion indeholder den egenskab, a den lange rene er basere på forvenningerne om de fremidige kore rener, hvor denne konvergering vil foregå med en hasighed proporional i forhold il κ, for κ > 0. μ l = al 2 + bl + crl Drifen i den lange rene er i deres model definere således: Hvor dee udryk er funde ved a anage, a risikoparameeren for den lange rene (λl) er en lineær funkion i r og l. Ved derefer a løse formel 50 med hensyn il μl, fremkommer formel 52. a = σ l X og b = σ l X 3 + σ 2 l og c = σ l X 2-1 for λ l = X 1 l + X 2 r + X 3 I den forbindelse kan de konsaeres, a koefficienerne a,b og c har følgende udseende: Hvad angår denne reformulering af henholdsvis drifen i den kore og den lange rene, er der e spørgsmål der rænger sig på. Give den subjekive funkionelle form, som er anage for risikoparameeren for den lange rene, er den resulerende proces a berage som risikofri? E(μ P ) = r + λ r σ r r P r P + X P l 1 l2 σ l P + X rlσ 2 lp + X lσ 3 lp De forvenede afkas kan for ovensående proces skrives således: P l P l 42 Dvs. ved a muliplicere spredningsparamerene med henholdsvis r og l. 27

28 som give konsanerne X1, X2 og X3 kan berages a være forenelig med de risikofri arbirageargumen 43. E fundamenal problem med denne model er, a der ikke eksiserer en analyisk løsning, således a de i sede er nødvendig a anvende en numerisk løsningsmeode. I en beslæge arikel af Schaefer og Schwarz (1984) lykkes de dog for dem a finde en approksimaiv analyisk løsning il en ilsvarende 2-fakor model. Hovedforskellen i deres model er for de førse, a ilsandvariablene er definere som henholdsvis konsolrenen og spreade imellem sporenen og konsolrenen. For de ande anager de, a konsolrenen følger en proces, som er idenisk med Vasiceks model. For de redie forudsæes de, a den proces der driver renespreade, er idenisk med sporeneprocessen fra Cox, Ingersoll og Ross` model 44. En model, der er emmelig beslæge med denne formulering, er Walers (1995) o-fakor model, som vil blive gennemgåe nedenfor. En formulering a la Schaefer og Schwarz og Waler af en o-fakor model har også den konsekvens, a kriikken i Hogan (1993) undgås 45, som påpege af Rebonao og Cooper (1995). 5.2 Waler 46 Waler anager, a processen for konsol renen er definere ved en "square-roo" maringale proces, og a renespreade kan beskrives ved en Ornsein-Uhlenbeck proces a la Vasicek, ds = κ[θ - s]d + σ s dw s og dl = σ l ldw l således: Hvor de er anage, a de o Wiener processer er ukorrelerede. Forklaringen på a anage, a de o sokasiske processer er ukorrelerede, sammer fra en 43 Se Madsen (1994a), hvor kravene il risikopræmien er nærmere specificere. 44 For en nærmere uddybning af hvorledes selve approksimaionen bliver foreage henvises il Schaefer og Schwarz (1984). 45 Hogan viser nemlig, a drifen for konsolrenen under de ækvivalene maringale mål (den risikoneurale drif) ikke er specificere som i formel 50, da processen under den risikoneurale proces eksploderer, hvilke ikke er ilfælde under de originale sandsynlighedsmål, således a modellen er fejlspecificere. 46 Denne model er opsille i Walers afhandling fra 1995, men da den er på ysk har den principiel ikke være mig uilgængelig, således a de kun er selve de sokasiske processer for de o ilsandsvariable jeg kender fra Buhler, Uhrig, Waler og Weber (1995). 28

29 observaion i Schaefer og Schwarz. Yderligere er de valg a modellere konsol renen som en maringale, da analyser på de yske marked viser, a drifen er æ på nul (0). Negaive rener undgås ved a lade diffusionskoefficienen være definere som i CIR-modellen. Sluelig er de naurlig a lade spreade være normalfordel, da dee implikerer, a de både kan påage posiive og negaive værdier. Da de er anage, a der ingen korrelaion er mellem de o processer, er de fakisk mulig a opsille e analyisk udryk for prisen på en nulkuponobligaion. Dee vil blive vis nedenfor. dp P = μ P d + σ 1 dw s + σ 2 dw l Den sokasiske proces for obligaionspriserne kan skrives på følgende form: μ P = P + P s [κ[θ - s] - Γ s ] - P l lγ l P ss σ2 + 1 s 2 P 1 ll lσ2 l P σ 1 = P s σ s P σ 2 = P l σ l P Ved a anvende Ios lemma kan de vises, a μp, σ1 og σ2 bliver af følgende form: Den parielle differenilligning, som alle fordringer der kun er en funkion af s,l og iden skal P + P s κ s θ s - P s κ s s - P s Γ s - P l lγ l P ss σ2 s P ll lσ2 l = sp + lp ilfredsille, kan ved anvendelse af de risikofri arbirageargumen vises a få følgende form: Fodegnene il P repræsenerer de parielle aflede. Endvidere ses de, a de anages, a markedsrisikoen for den lange rene er definere som i CIR-modellen, dvs som produke af ilsandsvariablen og markedsrisikoparameeren. Da de vides, a s = r - l, således a s + l = r, kan de indses - under hensynagen il, a de o processer er ukorrelerede - a prisen på en nulkuponobligaion i denne model kan udrykkes som: P(,T) = E exp - T s(s)ds + E exp - l(s)ds T 29

30 De vides, a løsningen il den førse forvenningsoperaor er give ved formel 36, således a de kun er den sidse forvenningsoperaor der skal løses. Vel vidende, a processen for konsolrenen er en simpel version af CIR-modellen, kan de med udgangspunk i princippe P(,T) = ea(τ)s + B(τ)l + C(τ) for A(τ) = e-κ s τ - 1 κ s 2[e γτ - 1] B(τ) = - 2γ + [γ + Γ l ][e γτ - 1] C = D κ s e -κ s τ + τd - D κ s D = 1 2 σ 2 s κ 2 s og σ 2 s κ 2 s - θ s κ s - Γ s κ s [1 - e -κ s τ ] 2 γ = Γ 2 l + 2σ 2 l fra Appendix C vises, a prisudrykke kan skrives på følgende form 47 : Dee princip i forbindelse med udledning af analyiske udryk for prisen på en nulkuponobligaion i mere end en dimension gælder generel. Forsåe på den måde, a hvis hver af de sokasiske processer, der beskriver dynamikken i renesrukuren er "racable", er de (give der er uafhængighed mellem de sokasiske processer) alid mulig a finde e analyisk udryk. Dee beyder dog ikke, a de ikke er mulig a finde analyiske udryk for obligaionspriser i en m-fakor model under hensynagen il, a der er afhængighed mellem de enkele sokasiske processer. E par eksempler herpå i en o-fakor model er give i afsni 5.3, og hvad angår en m-fakor model - hvor dee er mulig - henvises il afsni Longsaff og Schwarz Longsaff og Schwarz modellen er en "rigig" ligevægsmodel, som bygger på de samme framework som Cox, Ingersoll og Ross (1985). De vil sige, a de indledningsvis sarer med a definere dynamikken af økonomien, her dog give ved o ilsandsvariable. Den ene ilsandsvariabel X har indflydelse på den del af afkase, som er uafhængig af produkionsusikkerhed, og den anden ilsandsvariabel Y relaerer sig il både de forvenede og usikre afkas ved en given produkion. Disse o økonomiske ilsandsvariable anages a følge følgende sokasiske processer: 47 Se Appendix E. 30