Relativitetsprincippet i Newtons fysik

Transkript

1 side /37 Relatiitetsprinippet i Newtons fsik. Indledning - beskrielsessstemer Enher fsisk teori arbejder med begreber som rm og tid. F.eks. fordsætter dsagnet "partiklen befinder sig i pnktet P(,,z) til tiden t " at i beskrier den fsiske sitation i forhold til et af os sel algt koordinatsstem, og at tiden kan defineres ed henisning til nogle res isning. His i ikke gør os klart, hilke sstemer i arbejder i, har de fsiske teorier ingen mening. Angielsen af rm og tid knne ære "Jeg befandt mig på Stenløse Gmnasim og HF torsdag d. 4. janar kl..." Positionen er her fastlagt i forhold til en bgning, der igen er plaeret et bestemt sted i Stenløse, der igen er plaeret et kendt sted på Sjælland - plaeret i Danmark, his plaering på erdenskortet er kendt. Jorden er plaeret et sted i Solsstemet, der igen er plaeret et sted i den galakse, der kaldes Mælkeejen - indeholdende mere end milliarder stjerner. Mælkeejen er igen plaeret i et større sstem af Galakser, der kaldes den lokale hob. Denne er igen én af mange kendte hobe af galakser... Tiden er mellemeropæisk tid. Vi il ikke her gå ind på problemerne med at fastlægge denne tids-størrelse. Det er således ikke helt enkelt at fastlægge sin egen position i det store rm, i eksisterer i. Også ores beægelse er ganske komplieret: i beæger os i forhold til jordoerfladen, der igen roterer én gang om jordaksen på a. 4 timer, og jorden beæger sig én gang rndt om Solen på et år, Solen med hele solsstemet beæger sig rndt i Mælkeejen på a. 5 mio. år, Mælkeejen... Bedømt af en iagttager den for Mælkeejen il i alle ære med i en meget komplieret beægelse. z Solen Fig.: det helio-entriske sstem med faste akseretninger til meget fjerne objekter er med meget god tilnærmelse et inertialsstem! I den Newtonske fsik er det ikke alle beskrielses-sstemer, der kan anendes, når Newtons loe skal brges på den mest enkle form. De sstemer, hori Newtons loe middelbart kan brges, kaldes inertialsstemer. Har man først fndet et inertialsstem, il der ære endelig mange flere - nemlig alle de beskrielses-sstemer, der beæger sig med konstant hastighed i forhold til det først fndne.

2 side /37 Findes der da eksempler på inertialsstemer? Tjah. Et rigtig godt eksempel på et inertialsstem er det beskrielses-sstem, der har entrm i Solens entrm og som har faste akse-retninger i forhold til fjerne objekter i nierset, f.eks. de såkaldte kasarer, der er nogle af de fjerneste objekter, man kender idag. Dette sstem kaldes "Det Kopernikanske sstem" - opkaldt after Koperniks, der hade mod til at påstå, at Solen ar niersets entrm - og ikke jorden! Dette sstem kaldes også "det helio-entriske sstem". I dette sstem er det f.eks. mligt ed hjælp af Newtons loe - og Newtons graitationslo - at fordberegne planeternes positioner nder indfldelse af tngdekraften fra Solen og de indbrdes tngdekræfter mellem planeterne. Disse beregninger kan fordsige planeternes beægelser med meget stor nøjagtighed. Et inertialsstem kan altså beskries som et sstem, der ikke er aelereret (og som altså heller ikke roterer) i forhold til fjerne objekter i nierset. Skal Newtons loe anendes i andre (f.eks. roterende) sstemer, skal der til den reslterende kraft medregnes de såkaldte fiktie kræfter: nemlig entrifgalkræfter, Corioliskræfter m.. Medregnes disse, kan Newtons loe anendes i alle beskrielses-sstemer. Vi il nedenfor begrænse os til inertialsstemer, hor Newtons kraft- og beægelsesloe er på den enkleste form.. Newtons loe Newtons loe kan formleres på følgende måde: N. Inertiens lo: et legeme, der ikke er påirket af kræfter, il beæge sig retliniet med konstant hastighed - eller ære i hile. N. Newtons beægelsesligning: Den reslterende kraft på et legeme er årsag til legemets aeleration, og sammenhængen mellem reslterende kraft og aeleration er F a (.) F m a hor m er legemets masse. Altså: reslterende kraft lig med masse gange aeleration. Den reslterende kraft er lig med ektorsmmen af alle de enkeltkræfter (tngdekræfter, elektriske kræfter, magnetiske kræfter,...), der irker på legemet. N3. Loen om aktion og reaktion: His et legeme påirker et andet legeme med en kraft, så il dette andet legeme påirke det første legeme med en lige så stor, men modsat rettet kraft. Som det ses, er Newtons. lo en følge af den anden: his den reslterende kraft F er, så er også aelerationen, og dermed er hastigheden konstant, således at partiklen il beæge sig langs en ret linie med konstant fart. Den første lo tjener delkkende til at fastslå, at beægelse med konstant hastighed ingen kraft kræer.

3 side 3/37 Ved anendelsen af Newtons loe på denne form fordsættes det, at det anendte beskrielsessstem er et inertialsstem. Da jorden roterer om sin akse én gang på a. 4 timer i forhold til stjernehimlen, opflder et laboratorim, der er plaeret på jorden, ikke kraene til anendelse af Newtons loe på oenstående form. Men for beægelser af forholdsis kort dstrækning i rm og tid, kan i med ret god tilnærmelse brge Newtons loe på oenstående form. For beægelser af længere arighed (sammenlignet med 4 timer) er det nødendigt at medregne de før nænte fiktie kræfter til den reslterende kraft (Centrifgalkræfter, Corioliskræfter m..). Det gælder f.eks. ed beskrielsen af hastrømmes beægelse og lftstrømmes beægelse. 3. Galilei-transformationen Vi il n speielt sammenligne inertialsstemer, for at se, hordan positioner og beægelser ser d, når de bedømmes fra to forskellige inertialsstemer. Desden il i sammenligne formleringen af Newtons loe i de to forskellige sstemer. I ethert inertialsstem gælder (også) Newtons. lo - altså il et legeme den påirkning af kræfter beæge sig retliniet med konstant fart - det, der kaldes jæn beægelse. Bedømt fra et andet inertialsstem (som beæger sig med konstant hastighed i forhold til det første) il legemets beægelse ligeledes bedømmes som jæn - men n blot med en anden (konstant) hastighed. Tænk f.eks. på en bils beægelse, når den kører med konstant fart på en lige landeej. Farten kan f.eks. ære 8 km/h - når d - stående i ejkanten - måler bilens fart. Kommer d imidlertid sel kørende i samme retning på samme landeej med farten 5 km/h, il den anden bil natrligis ikke beæge sig med 8 km/h i forhold til din egen bil. Bedømmensen af hastigheden af et legeme il derfor (natrligis) ære afhængig af, hilket beskrielses-sstem, der anendes. Vi il n se nøjere på, hordan tider, positioner, hastigheder, kræfter m.. sammenlignes, når de måles fra to forskellige inertialsstemer. Betragt figr nedenfor. I I t P(,,z ) P(,,z ) O O, z z Figr : De to inertialsstemer I og I er akseparallelle, og I beæger sig med den konstante hastighed langs -aksen i I.

4 side 4/37 De to inertialsstemers akseretninger er algt sådan at hastigheds-retningen for sstemet I i forhold til sstemet I er parallel med -akserne i begge sstemer. Desden er - og z-akserne algt parallelle med henholdsis og z-akserne. Begndelsespnkterne i de to sstemer kaldes O og O. Begge disse har i her deres sstem koordinaterne (,,). I sstemet I har begndelsespnktet O -koordinaten, hor t er den tid, der er passeret siden begndelsespnktet O passerede begndelsespnktet O - målt fra inertialsstemet I. t,, z En partikels position P til et bestemt tidspnkt har koordinater, der kan måles fra begge inertialsstemer. I sstemet I er partiklens koordinater til tidspnktet t, og i sstemet I er koordinaterne til tidspnktet t. Sammenhængen mellem koordinaterne for pnktet P i de to sstemer er giet ed den såkaldte Galilei-transformation: Galilei-transformationen: (3.) a) t b) ) (3.) (3.3) (3.4) t t m m F F,, z z z Det antages altså, at tiderne t og t i de to sstemer er ens - ds. tiden (og dermed arigheden af alle proesser) er påirket af den relatie bæægelse af de to sstemer. Desden iser (3.), at længdemåling i sstemet I il gie samme resltat som sstemet I. (Dette indses ed på et giet tidspnkt t at måle, og z koordinaterne for to positioner og, his afstand i ønsker at kende. Kaldes -koordinater og, il ifølge (3.) t t P P - og hermed er også afstandene mellem de to positi- Desden er ifølge (3.) og z z oner ens i begge sstemer, idet jo P P z z P P ) Udoer de rmlige koordinater antages også, at massen m (m) af en partikel er ændret, og endelig antages, at en kraft F (F) ikke ændres ed sstem-skiftet. En partikels position P il med tiden ændres, og hered får de rmlige koordinater tilækster. Ser i på et kort tidsrm t, il partiklens hastighedskoordinater i sstemet I ære (3.5) z t t t z

5 side 5/37 Tilsarende er den samme partikels hastighedskoordinater bedømt fra sstemet I (3.6) t t z z t Af (3.) følger, at t t. Desden finder i af (3.), at (3.7) t z z Af (3.5) og (3.6) sammenholdt med (3.7) får i så Galileitransformation for hastighed: (3.8) z z På ektorform kan denne ligning skries (3.8a) eller Den sidste ligning kan formleres: partiklens hastighed i sstemet I er lig med medføringshastigheden (hastigheden af I - sstemet) pls den relatie hastighed i sstemet I. Dette er hastighedstransformationen hørende til Galilei-transformationen. Eksempel En passager i et tog beæger sig med farten km/h ned gennem toget i togets beægelsesretning. Toget beæger sig med farten km/h på skinnelegemet. Ved hjælp af (3.8a) finder i n passagerens fart i forhold til skinnelegemet: km/ h + km/ h =3 km/ h Øelse En passagerbåd beæger sig med farten 7 km/h på andoerfladen. På båden beæger en passager sig på tærs af bådens beægelsesretning med farten km/h. Hilken fart har denne passager i forhold til andoerfladen? Tilsarende kan i n se på tilækster i hastighedskoordinater for partiklen i de to sstemer. Af (3.8) følger (idet er konstant): (3.9) z z Partiklens aeleration er tilækst i hastighed pr. tidsenhed, ds. (3.) a a az t t t z Tilsarende ligninger gælder i sstemet I.

6 side 6/37 Og da t t, il ifølge (3.9) aelerationer ære ens i de to sstemer: Galilei-transformation for aeleration: (3.) a a a a a a z z På ektorform kan disse ligninger natrligis skries: (3.a) a a Newtons. lo formleret i sstemet I kan i koordinater skries (3.) F ma F ma Fz maz Eller på ektorform: (3.a) F ma Dette er altså beægelsesligningen for partiklen i sstemet I. His (3.) er korrekt i sstemet I, kan i få en ligning, der også er korrekt i sstemet I dfra (3.) ed at dtrkke de fsiske størrelser i (3.) ed hjælp af størrelser målt i sstemet I. Aelerationen i sstemet I er den samme som i sstemet I ifølge (3.), derfor kan i blot erstatte a, a og az i (3.) med de tilsarende mærkede størrelser - og i har stadig en korrekt ligning. Desden kan i den idere erstatte massen m med massen m - massen i sstemet I. Disse størrelser er ifølge (3.3) ens. Desden er ifølge (3.4) en kraft den samme - anset sstemet. Derfor erstatter i F, F og F med de tilsarende kraftkoordinater i sstemet I. Hered får i altså fra (3.) z endelig følgende beægelsesligning i sstemet I: (3.3) F m a F m a F m a z z Skreet på ektorform: (3.3a) F m a Men dette er jo blot Newtons. lo formleret i sstemet I. Newtons. lo har således samme matematiske form i de to inertialsstemer. Vi siger, at Newtons. lo er gldig i begge sstemer. Desden il en partikel, der beæger sig med konstant hastighed i sstemet I, ligeledes beæge sig med en (anden) konstant hastighed i sstemet I - ifølge (3.8). His Newtons. lo er rigtig i et sstem I, il den ligeledes ære rigtig i sstemet I. Altså er også Newtons. lo form-inariant ed en Galilei-transformation. Endelig er ændres kræfter ikke ed en Galilei-transformation. Heraf følger, at his to kræfter er lige store og modsat rettede i et inertialsstem I (på et bestemt tidspnkt), il de også ære det set

7 side 7/37 fra ethert andet inertialsstem I (til det samme tidspnkt!). Newtons 3. lo er hermed også forminariant ed en Galileitransformation. Alle Newtons 3 loe er altså gldige i ethert inertialsstem. Denne sætning kaldes mekanikkens relatiitetsprinip. Mekanikkens relatiitetsprinip: (3.4) Newtons 3 loe er forminariante, når de nderkastes en Galileitransformation. Alle inertialsstemer er derfor lige anendelige, når det gælder om at analsere et mekanisk problem. Ds. et problem, hor Newtons loe anendes til analsen. En konsekens af dette prinip er, at alle beægelser stret af Newtons loe hered blier relatie: i kan kn tale om, at en partikel beæger sig i forhold til et inertialsstem - det har ingen mening blot at tale om, at en partikel blot beæger sig. Eller dtrkt anderledes: der er ingen faste holdepnkter i rmmet! His d for eksempel spiller bordtennis ombord på en damper i stille ejr, il bolden opføre sig på fldstændig samme måde som den ille gøre, his d spillede bordtennis med fast grnd nder fødderne. His spillet foregår i et lkket rm, il d ikke knne afgøre, om skibet ligger ed kajen eller allerede er på ej til næste han. Newtons loe har ikke ændret form på grnd af beægelsen - his den er jæn. Derfor opfører bolden sig "som den plejer". Ligeledes er eksperimenter dført på jorden ikke påirket af, at jorden beæger sig ganske hrtigt i sin bane rndt om jorden - set fra et inertialsstem med entrm i Solen og aksefaste retninger i forhold til fjerne objekter ("fi-stjerner"). Faktisk er jordens fart i dette sstem a. 3 kilometer i sekndet! (i ser her bort fra de i korte tidsrm små irkninger af jordens rotation om jordaksen og jordbanens krmning - og deraf følgende aeleration af jorden - i banen omkring Solen). Vi delader foreløbig fænomener, der edrører elektriske og magnetiske felter, af disse betragtninger. Det skal bemærkes, at Newton ikke sel formlerede mekanikkens relatiitetsprinip. Tærtimod mente Newton, at rmmet ar absolt, således at der kan tales om faste pnkter i rmmet, og at beægelse ikke blot ar relati, men absolt: beægelsen foregår i forhold til det absoltte rm. Newton ille dog ikke lægge sig fast på, hordan dette "absoltte" sstem sklle dpeges. Ligeledes opfattede Newton tiden som absolt: tidens gang påirkes ikke af nogetsomhelst, heller ikke beægelse. Denne sidste påstand om den absoltte tid er i oerensstemmelse med ligning (3.) - tidens gang påirkes ikke af beægelse.

8 side 8/37 Lsets beægelse. Æterteorien Vi il n ndersøge, hordan lsets beægelse gier problemer med Galilei-transformationen. Lset er elektromagnetiske bølger, der også kan beæge sig i det tomme rm. Dette er selfølgeligt anskeligt at forstå: hordan kan nogen bølge beæge sig i "ingenting"? F.eks. kan ld ikke dbrede sig, his der ikke er lft (eller andet stof) tilstede - ldbølger er jo singninger af lftmolekler - derfor: ingen molekler - ingen ld. Tilsarende med bølger i/på and: intet and - ingen andbølger. En bølge skal altså tilsneladende hae et medim at dbrede sig i. Bølgens fart skal så måles i forhold til dette medim. Tilsarende forestillede fsikerne i sltningen af 8-tallet, at lset - og alle andre elektromagnetiske bølger - måtte beæge sig i et medim, som man algte at kalde æteren (det har intet med det kemiske stof æter at gøre!). Denne æter optræder stadig i ort sprog, når f.eks. man f.eks. siger, at en radiodsendelse er gået i æteren. Denne æter må også dflde det såkaldte tomme rm - ellers knne i jo ikke få ls igennem fra f.eks. Solen eller andre stjerner. Eller sende radiosignaler fra rmsonder tilbage til jorden. His man beæger sig i denne æter, må man oplee æterinden - ligesom man ed beægelse i lften opleer lft-inden. Men kan i n måle, hordan denne æterind "blæser"? Dette ble forsøgt af de to fsikere Mihelson og Morle i året 887. De ille med deres apparat måle æterindens hastighed i deres laboratorim - man forestillede sig, at jorden beægede sig gennem æteren i sin bane om Solen. Jordens hastighed i forhold til æteren - eller æterens hastighed i forhold til jorden - måtte derfor knne måles i ethert laboratorim på jorden. På figren nedenfor ses en forenklet dgae af eksperimentet. Lskilde A C B E interferens-striber Fig. Prinippet i Mihelson-Morles interferometer D På figren angier jordens hastighed i forhold til æteren. Fra lskilden sendes en lsstråle mod et halgennemsigtigt spejl, her splittes strålen op i to, idet en del af strålen spejles i pnkt B og beæger sig mod pnkt C, hor den spejles og beæger sig gennem spejlet i B til pnkt E. Den anden del af strålen går gennem det hal-gennemsigtige spejl og når pnkt D, hor strålen reflekteres, beæger sig tilbage mod det halgennemsigtige spejl, hor en del af strålen spejles for endelig at beæge sig mod pnkt E. Det er på strækningerne B-C-B og B-D-B der kan opstå forskellige "rejsetider" for de to dele af lsstrålen. I pnkt E, hor de to dele af strålen mødes igen, il der

9 side 9/37 opstå interferens-striber. Pointen er n, at når apparatet drejes 9, il lsejene B-C-B og B-D-B btte rolle, og forsinkelsen af de to stråler il skifte fortegn, således at interferens-stregerne ed pnkt E nder drejningen må fltte sig. His i bentter Galileitransformationen for hastigheder (3.8) fra ætersstemet I til jordsstemet I, finder i lsfarten i jordsstemet på strækningen BD: (.) BD: BD Tilsarende blier lsfarten i jordsstemet for strækningen DB: (.) DB: DB Fig. Lsets beægelse i ætersstemet på strækningen BC. På strækningen BC finder i koordinaterne for lsets beægelse i ætersstemet: og horaf Her er lsets fart i ætersstemet, er koordinaterne for lshastigheden i dette sstem - se fig.. Når -koordinaten er lig med, skldes det, at lset jo skal følge med jorden i denne retning - set fra ætersstemet. Oersættes disse koordinater til jordsstemet, får i jordkoordinaterne Hermed blier lsets fart på strækningen BC (og CB!) giet ed og og (.3) BC, CB: BC His i regner med, at de to strækninger BC og BD er lige lange, altså (.4) s BC BD kan i n let beregne tidsforskellen på de to lseje BCB og BDB: (.5) s t BD s DB s s s s BC

10 side /37 Det kan let ises, at denne tid kan skries på følgende måde: (.6) s t s s Det fremgår af (.6), at - såfremt jordens fart i æteren ikke er. Drejes n apparatet 9, il de to lseje BCB og BDB btte rolle, og tidsforskellen il skifte fortegn. Og interferens-striberne mellem de to stråler, der mødes i pnkt D, må fltte sig nder drejningen. N iste deres eksperiment imidlertid, at interferens-striberne oerhoedet ikke flttede sig ed drejningen! Der er flere mlige forklaringer på dette mærkelige resltat: I: Jorden beæger sig ikke i forhold til æteren II: Længder forkortes med faktoren i beægelsesretningen i forhold til æteren III: t Æterteorien er forkert - der er ikke noget "ætersstem" Øelse Vis, at forklaring nmmer II fører til, at t anset hordan apparatet ender! Forklaring I ble efterprøet ed at gentage eksperimentet et halt år efter - hor jorden er nået en hal gang rndt om Solen og således må formodes at beæge sig anderledes i forhold til æteren - men forsøget ga samme resltat. Og det ble anset for sandsnligt, at æteren lige netop sklle følge jordens bane omkring Solen! Forklaring II ble foreslået af fsikeren H. A. Lorentz i 89 og -afhængig heraf - af L. FitzGerald i 893. Denne kaldes kontraktionshpotesen (kontraktion = sammentrækning). Forklaringen afskaffer ikke æteren, idet jo alle målestokke er længst i ætersstemet og blier kortere, når de beæges i længderetningen i ætersstemet. Der er derfor forskel på ætersstemet og alle andre sstemer. Der ble meget senere dført eksperimenter, der iste, at æterhpotesen ikke knne ære rigtig - selom kontraktionshpotesen så d til at redde den - for en tid. (Et af disse eksperimenter edrører Doppler-forskdning af spektral-linier. Denne forskdning måtte forentes at afhænge af både af lskildens og iagttagerens hastighed i forhold til æteren - men denne afhængighed ar ikke tilstede - Ies, 938) Forklaring III ble foreslået i 95 af Albert Einstein.

11 side /37 Relatiitetsprinippet i Einsteins fsik. Einsteins postlater Einstein fremkom med følgende radikale postlater: Ls-fartens inarians: Lsets fart i det tomme rm er den samme i alle inertialsstemer - anset lsets retning og lskildes beægelse. Relatiitetsprinippet: Alle inertialsstemer er ligeberettigede ed beskrielse af alle fsiske loe. Alle natrloe il derfor hae samme matematiske form i ethert inertialsstem. Det første postlat løser straks problemet i Mihelson og Morles forsøg: lsets fart i jordsstemet er den samme på alle lsejene i forsøget, og tidsforskellen er derfor - anset hordan apparatet ender. Andet postlat afskaffer det særlige ætersstem og er en kraftig didelse af mekanikkens relatiitets-sætning - denne edrører jo kn mekaniske forsøg - og f.eks. ikke elektromagnetiske fænomener. Einsteins andet postlat hæder, at ingen forsøg kan påise en absolt beægelse - alle beægelser er relatie. Men det første postlat er klart i modstrid med Galilei-transformationen! Ifølge denne er der ingen fart, der er den samme i alle inertialsstemer. His derfor første postlat er rigtig, må hele den Newtonske fsik reideres! Det skal iørigt bemærkes, at Einsteins dgangspnkt for de to postlater ikke ar Mihelson og Morles forsøg - men derimod de ligninger, der "strer" elektriske og magnetiske felter, nemlig de såkaldte Mawell-ligninger. Her lkkedes det Einstein at finde en erstatning for Galileitransformationen, således at Mawell-ligningerne antog samme form i alle inertialsstemer, når de "oersattes" fra et inertialsstem til et andet ed hjælp af denne ne transformation. Denne transformation mellem inertialsstemer kaldes idag for Lorentz-transformationen - og i il senere beskæftige os med denne. Teorien har som konsekens - ligesom H. A. Lorentz teori - at ting, der beæger sig, blier kortere i beægelsesretningen. Men den er absolt ikke identisk med Lorentz teori, der jo postlerer, at der findes et særligt ætersstem. Ikke desto mindre iser nanet på Einsteins teori (Lorentz-transformationen), at Einstein ar inspireret af Lorentz ideer. Det skal pointeres, at postlatet om, at lsets fart er den samme bedømt fra ethert inertialsstem, kan irke mærkelig. Som eksempel ser i på figr:

12 side /37 Rmskib nr. 3 Rmskib nr. Fig. Hordan bedømmes lsets fart i rmskib? Vi forestiller os, at i sel befinder os i rmskib nr.. Ved hjælp af en lommelampe sender i et lssignal afsted. Dette signal beæger sig natrligis med farten - lsets fart - i forhold til ort eget rmskib. Et andet rmskib passerer ort eget med farten - igen målt fra ort eget rmskib. Vi stiller n spørgsmålet: hilken fart ser iagttagererne i rmskib lset passere dem? Man ille el middelbart mene, at denne fart måtte ære. Denne formodning er i oerensstemmelse med Galilei-transformationen for hastigheder - se (3.9) i kapitel. Men her tager i fejl! Ifølge Einsteins postlat om samme ls-fart i alle inertialsstemer er lsets fart - også set fra rmskib! 3 3

13 side 3/37. Einsteins tog-eksperiment Einstein illstrerede flere af sine ideer med tanke-eksperimenter. En del af disse edrørte sporogne og tog - Einstein boede jo i den Shweiziske b Bern, da han diklede sine teorier om rm og tid. Vi il nedenfor bentte et sådant tanke-eksperiment til at illstrere to oerraskende konsekenser af Einsteins postlater. På figren nedenfor ses et tog, der beæger sig på et skinnelegeme - med en fart, der nærmer sig lsets! Vi har plaeret to iagttagere - en (i hile) i toget og en (i hile) på jorden i nærheden af skinnelegemet. Iagttager T mærke mærke Iagttager S Fig. De to iagttagere S og T i togsksperimentet. På et bestemt tidspnkt - bedømt af iagttager S på skinnelegemet - slår to ln ned i her sin ende af toget og efterlader sig et mærke på skinnerne. Iagttageren S er plaeret i samme afstand fra begge disse mærker, og il derfor modtage ls-signalerne fra de to nedslag nøjagtig samtidigt. Lsglimtene brger samme tid til at nå denne iagttager. Men i skal n se, at iagttageren T - selom denne er plaeret midt i toget - ikke il modtage de to lsglimt samtidigt! Derfor il iagttageren T påstå, at de to ln ikke slog ned i toget på samme tid - his de jo gjorde det, ille T jo modtage de to lsglimt samtidig, da der er lige langt til begge togets ender, og lset dbreder sig med samme fart i begge retninger - også set fra toget. Men hordan kan i n indse, at iagttageren T ikke modtager de to lsglimt samtidig? Vi følger først sitationen som iagttageren S ser den: Straks efter de to samtidige ln-nedslag begnder lsglimtet fra nedslagene at beæge sig mod begge iagttagere. Iagttageren på toget T er - også set fra S - plaeret midt i toget - og dermed også præis midt mellem de to mærker på skinnerne på tidspnktet for nedslagene. Men mens de to lssignaler beæger sig mod T, fltter T sig mod højre. Derfor - set fra S - il T modtage lssignalet fra højre ende først - og lidt senere lssignalet fra enstre. Dette il også gælde set fra iagttageren T! F.eks. kan man forestille sig - set fra S - at T begnder at drikke en sodaand, når lssignalet fra højre modtages - og at T lige når at drikke denne inden lssignalet fra enstre nedslag modtages af T. Dette begienhedsforløb er natrligis også foregået i toget bedømt af T! Følg Ts modtagelse af de to ls-signaler (som det ses fra iagttageren S) på tegneserien nedenfor!

14 side 4/37 Iagttager T A mærke mærke Iagttager S B C D Fig.3 De to lssignaler beæger sig mod de to iagttagere. Iagttager T modtager lssignalet fra højre ende af toget først. På øjebliksbillede A ser i de to samtidige ln-nedslag - bedømt af S. På øjebliksbillede C modtager iagttager T signalet fra forenden af toget - men iagttageren S her endn ikke set noget lsglimt. På øjebliksbillede D er i tæt på, at iagttageren S modtager begge lssignaler. Lidt senere il iagttageren T modtage lssignalet fra togets bagende. Vi må altså konstatere, at to begienheder, der er samtidige i et sstem (de to lnnedslag, der - bedømt af en iagttager S - er samtidige) - ikke il ske på samme tid, når de ses fra en anden iagttager, der beæger sig i den retning, hori den rmlige adskillelse af de to begienheder forekommer. (Læs lige den sætning igen!). Begrebet samtidighed afhænger altså af, hilket beskrielsessstem, der anendes! Udtrkt på en anden måde: samtidighed er relati. Vi il n ende os mod bedømmelsen af togets længde: Iagttageren S kan måle togets længde som afstanden mellem de to mærker, de to lnnedslag har afsat på skinnelegemet. Men er T enig i dette? Saret er nej. Iagttageren T modtager lsglimtet fra

15 side 5/37 togets for-ende først. Mærket til højre på skinnelegemet er altså afsat først - set fra toget!. Dernæst kører toget et stkke d oer det højre mærke, inden lsglimtet fra enstre lnnedslag modtages af T. Og da tidsforsinkelsen fra nedslag til modtagelse af lsglimt er den samme for begge nedslag (T er plaeret midt i taget!), il T mene, at afstanden mellem de to mærker på skinnerne er kortere end togets længde målt med målestokke i sele toget. Iagttageren T, der er i hile i forhold til toget, måler en toglængde, der er længere end toglængden målt af den anden iagttager S, der er i beægelse i forhold til toget. Læg mærke til, at enigheden om længdemålingen skldes, at de to iagttagere er enige om samtidigheden af de to lnnedslag. Og det skldes igen, at de to lnnedsleg er rmligt adskildt i togets beægelsesretning. Længder på tærs af togets beægelsesretning il de to iagttagere derimod ære enige om! 3. Staret Vi il i dette afsnit introdere en særlig rtpe, hor rets gang er stret af lsets beægelse. Det sætter os nemlig i stand til at beregne, hordan beægelse il påirke rets gang - når i anender Einsteins påstand om lsfartens inarians. His man tager to (gode) re af forskellig fabrikat og irkemåde, og anbringer dem samme sted, kan de jsteres til at "gå ens". En iagttager, der beæger sig i forhold til disse to re, il da natrligis også finde, at de to re på ethert tidspnkt iser det samme. Urets særlige irkemåde (altså den måde, ret fngerer på) kan altså ikke ære afgørende tidsmålingen. Vi kan sel ælge det prinip, der strer rets gang. I det følgende il i anende en rtpe, der er baseret på lsets beægelse - er såkaldt star. Uret består af en lskilde og et spejl, og disse er anbragt i her sin ende af en sta (se figr 4 nedenfor) Spejl Lskilde l Fig.4 Staret bestående af stang, lsgier og spejl Prinippet i ret er følgende: et lsglimt dsendes af lsgieren, rammer spejlet i den fjerne ende og ender tilbage tillskilden. Her kan den så f.eks. registreres af en fotoelle, som beirker, at ret beæger sig en tand frem. Samtidig dsendes et nt lsglimt os. Da lset dbreder med konstant fart i det tomme rm, il tidsinterallet mellem to på hinanden følgende lsglimt ære konstant. His afstanden mellem lskilde og spejl kaldes, il længden af dette tidsinteral - bedømt af en iagttager i hile i forhold til ret - ære giet ed l (3.) t l Her er lsets fart i det tomme rm.

16 side 6/37 Størrelsen kaldes stangens hilelængde, og kaldes egentiden for r-proessen - altså den tid, lsets beægelse fra lskilde til spejl og tilbage arer, når ret er i hile i forhold til iagttageren. l t 4. Tidsbegrebets relatiitet Spejl Lskilde Fig.5 Staret beæger sig på tærs af sin længderetning Vi lader n staret beæge sig inkelret på rets længderetning med den konstante fart. Se fig.5. Som i indså nder analsen af Einsteins togeksperiment, il stangens længde ære påirket af stangens beægelse, når stangen beæger sig på tærs af sin længderetning. Stangens længde er altså l afhængig af stangens beægelse. Lsets bane er imidlertid ikke den samme som da staret ar i hile, idet jo spejl og lskilde beæger samtidig med, at lset beæger sig. Lsets bane er ist på figr 6 nedenfor. Den tid, som lset er om at beæge sig fra lsgieren til spejlet og tilbage, kaldes. Længden af dette tidsrm bestemmer, hor hrtigt staret "går". Det er allerede på forhånd klart, at lset skal beæge sig længere end da ret ar i hile. Og da lsets fart er den samme, il ret altså gå langsommere (bedømt af os, der ser ret beæge sig). For at finde en formel for, hor meget langsommere, ret går, når det er i beægelse, ser i igen på figren. Af denne fremgår det (sammen med anendelsen af Ptagoras sætning), at t

17 side 7/37 t t l Vi finder heraf: l t t l t Sammenholder i dette med (3.), får i tidsforlængelsesformlen: t t Fig.6 Lsets bane i staret, når der er i beægelse (4.) t t tids-forlængelsesformlen Uret il altså gå langsommere, når det er i beægelse - sammenlignet med et r, der er i hile - og ligning (4.) gier sammenhængen mellem de to res isning. Vi kan f.eks. forestille os, at i slnger et r rndt i en jæn irkelbeægelse. Dette r il altså gå langsommere en et tilsarende r i hile (his i fordsætter, at rets aeleration ikke påirker rets gang). Formel (4.) er efterist ed hjælp af stabile elementarpartikler, der irklerer i en lfttom ring. På grnd af partiklernes store fart (tæt på lsets fart), il partiklernes leetid blie forøget mange gange i forhold til leetiden, når partiklerne er i hile i laboratoriet. 5. Længdebegrebets relatiitet Vi skal n se, at også længder ændres ed beægelse - og denne længdeforkortelse finder kn sted i beægelsesretningen (som i argmenterede for ed Einsteins togeksperiment). For at finde en formel for længdeforkortelsen, ender i n staret, så ret n beæger sig med farten - men n i starets længderetning. Se figren nedenfor.

18 side 8/37 Lskilde l Spejl a) l t b) t l ) Fig.7 Staret beæger sig i sin længderetning Forklaring til figren til enstre: Til tidspnktet markeret a) dsendes et lsglimt fra lskilden. Efter tidsrmmet når dette lsglimt spejlet - der i mellemtiden har beæget sig stkket. Efter spejlingen beæger lsglimtet sig tilbage mod lskilden, og tidsrmmet fra lset forlader spejlet til lskilden nås, kaldes. I dette tidsrm har ret beæget sig stkket t frem. Stangens længde kaldes l. t t Vi kan n opstille følgende ligninger til bestemmelse af og : t t t (5.) l t l t t horaf Lset har jo beæget sig stangens længde pls det stkke, som spejlet har flttet sig i samme tid. (5.) l t l t t horaf Lset skal jo ikke beæge sig hele stangens længde l for at nå tilbage til lskilden, da lskilden kommer lset i møde. Vi beregner n den samlede tid, som lsglimtet er om at beæge sig fra lskilde til spejl og tilbage igen: (5.3) t t t l l l l Er stangen i hile, er arigheden af oenstående proes giet ed

19 side 9/37 (5.4) t l t t Sammenhængen mellem og har i fndet tidligere: (5.5) t t Heraf får i - når i indsætter (5.3) og (5.4) i (5.5): l l Heraf fås let: (5.6) l l længde-kontraktionsformlen Når altså en stang beæger sig i sin længderetning, blier den kortere end den ar, da den ar i hile - bedømt af en, der ser stangen beæge sig. Eksempel - monens henfald His en mon (en stabil elementarpartikel) er i hile i laboratoriet, har den en gennemsnitlig leetid på, 6 seknder. Moner dannes i atmosfærens øerste lagsom følge af, at en meget hrtig partikel fra rmmet rammer en atomkerne i et lftmolekle. His monens leetid ikke ændredes som følge af dennes beægelse, ille monerne i gennemsnit højst nå ejstrækningen 8 6 s t 3, m / s, s = 66m. Derfor ille i ikke knne "se" disse partikler i laboratorier ed jordens oerflade, da de dannes i en højde af mindst km. Ikke desto mindre måles tilstedeærelsen af disse partikler ed jordens oerflade! Men hordan ser det d fra en iagttager, der følger monen i sin beægelse ned gennem atmosfæren? Denne iagttager er i hile i forhold til monen, og monens leetid er derfor, 6 seknder. Hordan kan den så nå gennem atmosfæren på denne korte tid? Saret er, at atmosfæren beæger sig meget hrtigt forbi monen, derfor il atmosfærens tkkelse ære stærkt forkortet ifølge formlen (5.6). Derfor kan monen nå det! Øelse En mon dannes i kms højde og beæger sig med 99,9% af lsets fart direkte mod jordoerfladen. a) Had er monens leetid - set fra en iagttager i hile på jorden? Kan den nå at ramme jorden? b) Beregn atmosfærens tkkelse - som den ser d fra monens hilesstem. Kan atmosfæren nå at passere monen i dennes leetid?

20 side /37 6. Tidsmåling og snkronisering af re Da i n ed, hordan beægelse påirker res gang, kan i også mere præist fastlægge, hordan i kan måle tidsforskellen mellem to fsiske begienheder, der finder sted i to forskellige pnkter i rmmet. Vi er natrligis nødt til at sikre os, at de to re - anbragt i hile i de to forskellige pnkter - er snkroniserede, ds. iser samme tid på samme tidspnkt. Vi kan imidlertid ikke bare anbringe de to re ed siden af hinanden, snkronisere deres gang, og derefter fltte dem til de to omtalte pnkter, idet i jo allerede har set, at et rs beægelse påirker rets gang - og i kan derfor ikke ære sikre på, at rene også er snkroniserede efter at de er anbragt i de to pnkter. Derimod kan i f.eks. anbringe et r i koordinatsstemets begndelsespnkt og derefter snkronisere re i andre pnkter med dette på følgende måde: Når ret i begndelsespnktet iser, dsendes en lsbølge (kglebølge) fra dette pnkt. Et r, der er anbragt i afstanden l fra begndelsespnktet, indstilles på forhånd til at ise tiden - ds den tid, lset er om at beæge sig fra begndelsespnktet til det omtalte pnkt. Ved lssignalets ankomst startes ret. Herefter il (efterhånden) alle re ære snkroniserede. Tidsforskellen mellem to begienheder i to forskellige pnkter er så natrligis forskellen på isningen af de to re (der er anbragt i de to pnkter) aflæst, når de to begienheder finder sted. Speielt siges to begienheder at ære samtidige, når de to re iser det samme, når de to begienheder finder sted. 7. Lorentztransformationen Vi kan n opstille de "oersættelses-ligninger", der skal erstatte Galilei-transformationen. Vi begnder med at se på en begienhed, der finder sted i pnktet P med de rmlige koordinater (,, z) til tidspnktet t - som ser fra et inertialsstem I. Vi siger, at begienheden har rm-tidsl t l Fig.8 Snkronisering af re med lssignal

21 side /37 koordinaterne,, z, t,, z, t. Den samme begienhed il natrligis hae andre koordinater bedømt fra et andet inertialsstem I. Hordan er n sammenhængen mellem de to sæt koordinater? Ligesom ed Galilei-transformationen ælger i koordinatsstemerne sådan, at -akserne begge peger i retning af den relatie hastighed af sstemet I i forhold til I. Se figren nedenfor. I I P P P(,,z ) P(,,z ) O O P P, P z z P z z Fig.9 De to inertialsstemer I og I er akse-parallelle, og I beæger sig med hastigheden parallelt med -aksen i I. Vi il i det følgende antage, at rene i I og I er jsterede således,at ret i O og ret i O iser på det tidspnkt, hor de to re passerer hinanden. De ørige re er snkroniserede med ret i origo på den måde, ser ble omtalt i det forrige afsnit. Dette gælder i begge sstemer. Som tidligere nænt il en stang, der beæger sig ilkelret på sin længderetning, hae samme længde som his den ar i hile. Derfor får i Heraf sltter i, at O P OP og O P OP z z Lorentz-transformation af og z: (7.) og z z Tænker i os for enkelthedens skld, at begienheden finder sted på -aksen, il følgende ligning hae gldighed i begge koordinatsstemer: (7.) OP OO O P

22 side /37 I t I Ligning (7.) gier, set fra sstemet I (se figr til enstre): (7.3) t idet jo stkket il ære Lorentz-forkortet - set fra I. O O P - I t I O O P Set fra sstemet I får i følgende ligning (se figr til enstre): (7.4) t idet jo stkket il ære Lorentz-forkortet (set fra I) De to ligninger (7.3) og (7.4) kan betragtes som to ligninger med to bekendte - de bekendte kan enten ære og t eller og t. Løses de to ligninger m.h.t. disse ariable, fås Lorentz-transformation af og t: (7.5) (7.6) t t t t t t Det ses, at ligningerne for og t kan fås dfra ligningerne for og t ed at btte om på mærkede og mærkede ariable - og erstatte med. Dette er ikke oerraskende, da de to sstemer er ligeberettigede ed beskrielses af begienheden, og da sstemet I beæger sig med hastigheden i forhold til sstemet I. Øelse 3 Vis, hordan formlerne (7.5) og (7.6) fremkommer dfra (7.3) og (7.4)!

23 side 3/37 Formlerne (7.) og (7.5), (7.6), der gier sammenhængen mellem rm-tidskoordinaterne for en og samme begienhed set fra to forskellige koordinatsstemer, kaldes Lorentz-transformationen. 8. Hastighedstransformationen I det følgende il i bentte forkortelsen gamma for følgende fnktion (8.) His det ikke klart af sammenhængen fremgår, hilken fart, der indgår i denne gamma-faktor, skries f.eks.. Vi il først analsere beægelsen af en partikel, his beægelse - set fra sstemet I - inden for et kort tidsrm er beskreet ed følgende koordinat-tilækster: t (8.) t t z t z hor,, er partiklens hastighedskoordinater i sstemet I. Ved hjælp af Lorentz-transformationen il i n finde partiklens hastighedskoordinater som de måles fra et andet inertialsstem I, der beæger sig med hastigheden i forhold til sstemet I. Af ligningerne (7.5) og (7.6) ser i, at Til tiden t: z t og t t,, z Til t t: t t og t t t t Ved at trække disse ligninger fra hinanden, fås: t og t t Indsættes dtrkket t i disse to dtrk, gier de t og t t Set fra sstemet I er partiklens -koordinat for hastigheden: t

24 side 4/37 Ved hjælp af ligning (7.) får i sammenhængen mellem tilæksterne i de andre koordinater: og z z Brger i så det allerede fndne dtrk for t, får i t t og tilsarende z z z z t t Ligningerne, der dtrkker transformationen fra I til I (altså den modsatte ej af oenstående), kan fås af ligningerne for, og ed at ombtte mærkede og mærkede ariable og erstatte z med. Altså blier ligningerne for hastigheds-transformationen (8.3) (8.4) (8.5) z z z z Eks. Antag, at i med en lommelampe, der er i hile i I, sender et lssignal afsted i retning af -aksen. Så er natrligis. Vi brger n ligning (8.3) til at finde lssignalets hastighed i sstemet I: Lssignalets hastighed i sstemet I er altså også! - i oerensstemmelse med Einsteins postlat om lsfartens inarians. Eks. Antag, at et tog kører med farten 3, og at en kondiløber oenpå toget løber med farten Kondiløberens fart i forhold til banelegemet er da

25 side 5/ Kondiløberen løber altså ikke hrtigere end lset - heller ikke set fra banelegemet! 9. Egenaeleration - hperbolsk beægelse (Læseren adares om, at der i dette afsnit benttes differential- og integralregning!) 5 Ved hjælp af hastighedstransformationsligningerne fra sidste afsnit knne i n dlede en generel transformationsligning for aeleration. Vi il dog her nøjes med at ndersøge en beægelse, der er aelereret i retning af den relatie beægelse af de to sstemer - ds. i -aksens retning. (Og i sætter, ) Vi il arbejde med begrebet øjeblikkeligt hilesstem I- det inertialsstem, der på et bestemt tidspnkt har samme hastighed som partiklen, der er plaeret i dette sstems begndelsespnkt. Dette sstem skiftes hele tiden d med et nt, der på dette senere tidspnkt har samme hastighed som partiklen. I sstemet I har partiklen til tidspnktet t hastigheden og aelerationen a. I et kort tidsrm efter dette tidspnkt kan tilæksten i -koordinaten skries t (9.) t a t Her er aelerationsbidraget giet ed (9.) a a t horaf a, t a I det øjeblikkelige hilesstem I til tidspnktet t (sarende til tidspnktet t i I) er partiklen i hile. Men lidt senere, til tidspnktet t t, er partiklen på grnd af aelerationen ikke længere i hile i dette ( tidligere) hilesstem. Tilæksten i -koordinaten er giet ed aelerationsbidraget (9.3) a t a horaf t Her er den såkaldte egenaeleration - den aeleration, partiklen sel "føler" sig dsat for. Men a er Lorentz-forkortet i forhold til, og t er Lorentz-forlænget i forhold til t : a (9.3) og a Disse dtrk indsættes i (9.): t t (9.4) a a 3 t t t

26 side 6/37 Sammenlignes med (9.3), finder i (9.5) a a 3 Aelerationen i sstemet I er derfor mindre end aelerationen i partiklens øjeblikkelige hilesstem. Af definitionen på aeleration får i af (9.5) (9.6) d dt a 3 Heraf fremkommer: (9.7) 3 d a dt His i n fordsætter, at egenaelerationen er konstant, findes ed integration af (9.7): (9.8) a t eller a t Her har i fordsat, at begndelseshastigheden er. Isoleres af denne ligning, er resltatet: (9.9) at a t at at Det fremgår af det sidste dtrk, at denne hastighed nærmer sig lsets hastighed for t gående mod endelig. Men il aldrig nå op på lshastigheden! Se (t,)-grafen nedenfor. His i derligere integrerer ligning (9.9), idet i jo har, at d dt, kan il finde : (9.) t t dt a t dt a t a t a Her er det fordsat, at begndelses-stedet er. Ligningen for som fnktion af t er ligningen for en hperbel, idet en lille omskrining af (9.) gier (9.) t Hperbolsk beægelse a a - og dette er jo netop ligningen for en hperbel.

27 side 7/37 For store ærdier af t gælder ifølge (9.) (9.) t a som er ligningen for hperblens asmptote - se (t,) - grafen nedenfor. Vi ser heraf, at his en lsstråle sendes afsted efter den aelerede partikel senere end tidspnktet, il lset aldrig nå partiklen! His der er tale om et rmskib, der aelereres, il et radiosignal, der sendes afsted efter dette tidsrm, aldrig nå frem til rmskibet! t a For små ærdier af t får i de elkendte formler: (9.3) Øelse 4 Øelse 5 a t og a t Vis dette! Vis, at de to integraler i dette afsnit er korrekte! Fig. Stedfnktion og hastighedsfnktion for den hperbolske beægelse

28 side 8/37 Egentiden for den hperbolske beægelse kan findes fra ligning (4.): (9.4) dt dt Udtrkket for (9.9) indsættes heri: (9.5) dt som integreret gier dt a t (9.6) t t dt a t a t ln a a t t Øelse 6 Vis, at dtrkket for er korrekt - eentelt ed at differentiere! Øelse 7 Nogle astronater il besøge et fjerntliggende solsstem lsår borte fra jorden. Den første haldel af tren sker med den konstante egenaeleration, den sidste haldel med egenaelerationen m s (nedbremsningen). Hor lang tid arer tren set fra jorden? Hor lang tid arer tren - målt på en astronats r? m s Relatiistisk dnamik. Indledning - Newtons loe Vi il i dette kapitel ndersøge, hordan Newtons fsik må ændres for at passe ind i relatiitetsteorien. Vi begnder derfor med at formlere Newtons loe igen: N: F res konstant Inertiens lo N: F m a Newtons beægelseslo res N3: F F Loen om aktion og reaktion Hilke af disse loe kan ændret indgå i relatiitetsteorien? Newtons. lo kan middelbart brges også i relatiitetsteorien. Selom i endn ikke har defineret, had kraft er i denne teori, ønsker i oerensstemmelse med Newtons fndamentale påstand: den kraft ingen aeleration. Denne lo tjener desden til at fastlægge inertialsstemerne: kn i disse sstemer er den opfldt.

29 side 9/37 Newtons 3. lo (loen om aktion og reaktion), der påstår, at to legemer på ethert giet tidspnkt il påirke hinanden med lige store, men modsat rettede kræfter, kan ikke længere brges, his der er tale om to legemer, der påirker hinanden oer afstand. His i nemlig forestillede os, at to adskildte legemer på et giet tidspnkt - set fra et inertialsstem - påirkede hinanden med lige store, men modsat rettede kræfter - så il denne samtidige lighed mellem kræfternes størrelse ikke knne opretholdes i alle andre inertialsstemer, da jo samtidighed er relati - altså afhænger af det algte inertialsstem. His der derimod er tale om kræfter, der irker i samme pnkt (som ed kollosion af elementarpartikler, f.eks), er Newtons 3. lo også gldig i relatiitetsteorien. Men had med Newtons beægelseslo - den. lo? Vi har allerede tidligere set, at aeleration ændres ed skift af inertialsstem - se afsnittet om hberbolsk beægelse. Skal så også massen og/eller kraften ændres, for at opretholde den samme form på beægelsesligningen i alle inertial-sstemer? Der er allerede på denne baggrnd klart, at Newtons. lo må modifieres for at knne passe ind i relatiitetsteorien. For at bringe os et skridt nærmere denne omformning, indfører i i Newtons fsik begrebet impls af en partikel: (4.) p m His i fordsætter, ar massen m er konstant, kan i herefter formlere Newtons. lo på følgende måde: (4.) F m p res a m d d m dt dt d dt Altså (4.3) F p res dt Newtons. lo Anender i denne dgae af Newtons. lo det tilfælde, hor to partikler kolliderer med hinanden den påirkning af dre kræfter, gier Newtons 3. lo: (4.4) F res, d p d p d p d p Fres, dt dt dt dt d p p p p konstant dt Som det fremgår, er Newtons 3. lo altså ensbetdense med implsbearelse for et isoleret sstem. Denne bearelseslo il i forsøge at bibeholde i relatiitetsteorien - men i er, som i straks skal se det, nødt til at ændre på implsbegrebet (og massebegrebet). Når i har fndet det ændrede dtrk for implsen, il i definere en kraft ed hjælp af ligning (4.3). Dette il i først begrnde senere. Men n til arbejdet med at finde et dtrk for den relatiistiske impls:

30 side 3/37. Impls og masse i relatiitetsteorien Begrebet impls for en partikel il i prøe at oertage fra Newtons fsik. Vi il altså forsøge at skrie implsen på følgende måde: (.) p m Implsen er altså parallel med hastigheden. Størrelsen m il i kalde partiklens masse. Vi skal n se, at kraet om implsbearelse i stød atomatisk fører til, at partikelmassen må afhænge af farten - og i il finde denne afhængighed. Vi il analsere et sammenstød mellem to identiske partikler A og B - f.eks. to protoner eller to elektroner. Ved at ariere stødparameteren d (se figr nedenfor) kan sammenstødet gøres mere eller mindre "hårdt". Store ærdier af d il stødkræfterne blie temmelig små, og partiklernes hastighedsændringer il som følge heraf blie relatit små - dette il i dntte i ores stødforsøg. Følgende analse følges bedst ed at sammenholde analsen med figr nedenfor. Før stødet er partikel B i hile i sstemet I, og A beæger sig i dette sstem med hastigheden parallelt med -aksen. Tilsarende er partiklen A i hile i sstemet I før stødet, og B beæger sig i dette sstem med hastigheden parallelt med -aksen. Sstemet I er altså As hilesstem før stødet, I er Bs hilesstem før stødet. I I d B B d - A A Fig.a Sitationen før stødet - som den ses fra de to sstemer I og I

31 side 3/37 I I B B A A Fig.b Sitationen efter stødet - som den ses fra de to sstemer I og I Af smmetrigrnde må de to partikler efter stødet hae lige store, men modsat rettede hastighedskomposanter i her deres (tidligere hile-)sstem. Speielt må hastighedskoordinaterne langs ()-akserne ære lige store - med modsat fortegn ( og ). Se figr.b. Partikel Bs hastigskoordinat langs -aksen er. Transformeres denne til I-sstemet ed hjælp af transformationsligningerne for hastighedskoordinater kapitel 4 ligning (8.3), finder i partikel Bs hastighedskoordinat langs -aksen i sstemet I: (.) Bearelse af impls-koordinater langs -aksen i sstemet I gier n (.) m B m A Her er og masserne af partiklerne - bedømt fra sstemet I. Af ligning (.) følger (.3) m B m A m m B A Vi betegner partiklernes hilemasser (som jo er ens) m. Har partiklen farten, betegner i massen med m. Lader i n afstanden d okse i en forsøgsrække, il i gradis opnå nogle "let strejfende" stød, hor hastighedskomposanterne af de to partikler kn ændres ganske lidt - ds. Let strejfende stød: og

32 side 3/37 Hered må m m og m m A B idet jo partikel A næsten er i hile i sstemet I (As hilesstem før stød), og partikel B har næsten ændret fart i sstem I. Altså gier ligning (.3) (.4) m m m Vi ser heraf, at massen okser ed stigende fart - og at massen "går mod endelig" når farten nærmer sig lsets fart. Partiklen blier derfor "endelig tng", og kan derfor med en endelig kraft trækkes op på en fart, der er lig med lsets fart - eller oer. Udtrkket for partiklens impls blier som følge af (.4) (.5) p m m m Dette dtrk er for små hastigheder identisk med det fra den Newtonske fsik elkendte. p m 3. Newtons. lo - i relatiistisk formlering Den reslterende kraft defineres n på følgende måde: (3.) F d p d res m dt dt Her er massen m giet ed dtrkket (.4) oenfor. Ved differentiation får i (3.) F dm res m d dt dt dm ma dt Den reslterende kraft er altså ikke (altid) ensrettet med aelerationen, som det er tilfældet i Newtons fsik, men kan hae en komposant i hastighedens retning. Se figr nedenfor.

33 side 33/37 F res dm dt a ma Udtrkket for kan findes ed at differentiere den sammensatte fnktion i ligning dm dt (.4). Resltatet er Fig. - den reslterende krafts komposanter m t (3.3) Øelse dm dt Vis det! m d d dt 3 m dt 3 Af denne ligning ser i straks, at dm dt, his er inkelret på a, his altså hastigheden er inkelret på aelerationen - som det f.eks. er tilfældet ed den jæne irkelbeægelse. Hered blier (3.4) a: Fres m a hor m er den relatiistiske masse (.4). De ligninger, i har dledt for den jæne irkelbeægelse er altså gldige også i den speielle relatiitetsteori - his i blot erstatter massen med den relatiistiske masse. His derimod hastigheden er ensrettet med aelerationen, gælder følgende: (3.5) Øelse Vis det! (ikke helt let!) ensrettet med a: Fres m a 3 Man kan med rette spørge, horfor den reslterende kraft defineres ed (3.). Én årsag er, at denne sammenhæng for små hastigheder gier den elkendte Newtons. lo i den klassiske fsik. En anden igtig begrndelse ligger i, at denne definition il gie implsbearelse ed kollision mellem partikler i et isoleret sstem - dette følger af Newtons 3. lo - som i argmenterede for det i begndelsen af dette kapitel. En tredie grnd er kraftdtrkket i elektrodnamikken: