- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK

Transkript

1 - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Poul Winther Andersen September 2010 nr

2 Roskilde Uniersity, Department of Siene, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260, DK Roskilde Tel: Fax: Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Af: Poul Winther Andersen IMFUFA tekst nr. 475/ sider ISSN: Denne tekst består af et sæt noter omhandlende den speielle relatiitetsteori. Noterne er tænkt anendt sammen med en bred alulusbaseret fysikbog på ollegenieau. Der er altså ikke tale om en lærebog, men om et sæt noter, der supplerer en sådan bog. I noterne gennemføres langt de fleste regnestykker ret detaljeret for dered forhåbentligt at hjælpe læseren til hurtigere at komme frem til de ønskede resultater. Hoedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare kinematiske konsekenser af Lorentztransformationen, indføring i relatiistisk dynamik, herunder relatiistisk impuls og energi, den relatiistiske beægelsesligning samt en relatiistisk behandling af partikelreaktioner. Derudoer gies en kort introduktion til elektrodynamikken og Lorentzinariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort indføring af fireektorer, horunder nogle af de tidligere behandlede eksempler tages op på ny. Poul Winther Andersen, august 2010

3 Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Poul Winther Andersen 31. august 2010

4

5 i Forord Disse noter er tænkt anendt sammen med en standardlærebog af typen Physis for Engineers and Sientists. Ofte har disse bøger en sektion med Modern Physis, hori indgår et kapitel med den speielle relatiitetsteori. Behandlingen af relatiitetsteorien er ofte ret kortfattet og med mange af de lidt tungere og tidskræende regnestykker algt fra. Noterne her er tænkt som et supplement til et sådant kapitel. Hoedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare konsekenser af Lorentztransformationen, indføring i relatiistisk dynamik, herunder relatiistisk impuls og energi samt en kort introduktion til elektrodynamikken og Lorentzinariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort behandling af fireektorer. I noterne er medtaget mange mellemregninger, således at det forhåbentligt il ære lettere og hurtigere for læseren at komme frem til de ønskede resultater. Poul Winther Andersen

6 ii Abstrat eller ej I stedet for et abstrat følger her en del af en sang, der i 2008 er forfattet af Flora Lopis og Max Tegmark fra Dept. of Physis, Massahusetts Institute of Tehnology, Cambridge, USA. Den er offentliggjort den 1. april 2008 og indsendt til Physial Refuse. Sangen kan synges på Yellow Submarine fra Beatlesalbummet af samme nan (1969). Beatlessangen er fra (8.033 heniser til det kursus i relatiitetsteori, som Max Tegmark har underist i på MIT). SPECIAL RELATIVITY Römer measured the speed of light, and something basi just wasn t right. beause Mihaelson and Morley showed that aether fit the data poorley. We jump to In Einstein s brain, ideas thrie: "The laws of nature must be the same in eery inertial frame" We all beliee in relatiity, relatiity, relatiity. Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. Einstein s postulates imply that planes are shorter when they fly. Their loks are slowed by time dilation, and look warped from aberration. Cos theta-prime is os theta minus beta... oer one minus beta os theta Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. With the Lorentz transformation we alulate the relation between Chris s and Zoe s frame, but all inariants, they are the same. Like B dot E and B-squared minus E-squared,... and the rest mass squared whih is E-squared minus p-squared, os we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity.

7 iii Soon physiists had a proliity for using relatiity. But nukes made us all sared beause E = m 2. Eerything is relatie, een simultaneity, soon Einstein s beome a de fato physis deity. os we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. Sangen afsluttes side I.

8 i

9 Indhold 1 Galileitransformationen Galileitransformationen Lysets fart Mihelson-Morley de Sitters dobbeltstjerneanalyse Maksimalhastighed Lorentztransformationen Forudsætninger for Lorentztransformationen Måling af tid og længde Transformation af y og z: Afstande inkelret på beægelsesretningen Transformation af x og t Dobbelt Lorentztransformation Den generelle Lorentztransformation Kinematiske konsekenser Inarians Retning af lysstråle Hastighedstransformation Den generelle Lorentztransformation Aeleration Aeleration i én dimension Beægelsesretning Lorentzforkortningen Volumentransformation Vinkeltransformation Tidsforlængelsen En alternati udledning af tidsforlængelsen Aberration Aberration - klassisk

10 i INDHOLD Aberration - relatiistisk Dopplereffekt Longitudinal Dopplereffekt Vilkårlig retning af lyset Transersal Dopplereffekt Relatiistisk dynamik: Indledning Impuls Relatiistisk impuls Kraft Definition af kraft Kraft og aeleration Newtons tredje lo? Relatiistisk energi Transformation af impuls og energi Impulsen parallel med Impulsen i ilkårlig retning Transformation af kraft Ækialensen mellem masse og energi Lys Longitudinal Dopplereffekt Vilkårlig retning af lys Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer Inarians Partikelproduktion Partikelhenfald Annihilation CM-system og LAB-system Massebearelse i urelatiistisk fysik Massebearelse og impulsbearelse Massebearelse og kinetisk energi Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen Ladet partikel i elektrisk felt Begyndelseshastighed nul Vilkårlig begyndelseshastighed Begyndelseshastighed inkelret på E-felt Aeleration af ustabil partikel Det skrå kast Banekuren

11 INDHOLD ii Nogle resultater for det skrå kast Ladet partikel i magnetfelt Relatiistisk raket Elektriske og magnetiske felter Transformationsformlerne Konsekenser af transformationsformlerne Inariante størrelser Speialtilfældet E = o Speialtilfældet B = o Den kørende stang Ladet partikel med konstant hastighed Inarians af Maxwells ligninger Maxwells ligninger i akuum Ladningstæthed og strømtæthed Maxwells ligninger med kilder Bølgeligningen Fireektorer Definition af fireektor Regning med fireektorer Skalarprodukt Inarians Firehastighed Fireaeleration Fireimpuls Definition af fireimpuls Comptoneffekt Elastisk stød Partikelproduktion Partikelhenfald Firekraft Dobbelt Lorentztransformation Lorentztransformationen tager en drejning Harmonisk bølge Den elektromagnetiske felttensor

12 iii INDHOLD

13 Kapitel 1 Galileitransformationen Dette kapitel indeholder en kort repetition af Galileitransformationen. Desuden er der eksempler på konsekenser af Galileitransformationen i forbindelse med lysets hastighed. Derudoer ses på den klassiske behandling af aeleration af en elektrisk ladet partikel. Disse eksempler il ise, at der er problemer i den klassiske mekanik, og at disse har rod i Galileitransformationen. 1.1 Galileitransformationen I klassisk Newtonsk fysik spiller Galileitransformationen den entrale rolle ed oergang fra et inertialsystem S til et andet inertialsystem S, der beæger sig med den konstante hastighed i forhold til systemet S. Se Fig. (2.1). Ved en begienhed A il i forstå angielsen af tid og sted, ds. talsættet (t, x, y, z), der fortæller, at der til tiden t i punktet med koordinatsættet (x, y, z) sker et eller andet, eller at der måles en fysisk størrelse i dette punkt til tiden t. Den fundamentale antagelse for Galileitransformationen er, at tiden for en begienhed altid er den samme, had enten tiden måles i inertialsystemet S eller i inertialsystemet S. Desuden antages, at alle ure i de to inertialsystemer er synkroniserede. Der er altså ingen "lokal tid". Dermed blier også tidsforløb mellem to begienheder en af inertialsystemet uafhængig størrelse. De to systemer S og S antages at ære sammenfaldende til tiden t = t = 0. Sammenhængen mellem tid og sted i de to inertialsystemer er dermed r = r + t (1.1) t = t (1.2) hor r er stedektoren til et punkt angiet i systemet S og r er stedektoren til samme punkt, men nu angiet i systemet S. Heraf følger umiddelbart for 1

14 2 Galileitransformationen hastighederne u = d r og u dt = d r dt i de to systemer u = u + (1.3) og desuden, at aelerationen er den samme i S og S, da er konstant a = a (1.4) Ifølge mekanikkens relatiitetsprinip skal Newton anden lo gælde i alle inertialsystemer, ellers ille det ed et mekanisk eksperiment ære muligt at skelne mellem inertialsystemer. Altså skal gælde både F = m a og F = m a, hor F og F er den resulterende kraft i henholdsis S og S. Hor i som en yderligere antagelse har, at en partikels masse m er en Galileiinariant størrelse. Da a = a følger, at kraften er den samme, had enten den måles i S eller i S : F = F. Kraften er altså Galileiinariant. 1.2 Lysets fart De følgende tre underafsnit handler om nogle problemer med bestemmelsen af lysets fart, his man il opretholde den klassiske Newtonske fysik under bibeholdelse af Galileitransformationen. Eksemplerne er ikke algt med henblik på, at de skal forestille at hae haft indflydelse på Einsteins tanker ed udiklingen af relatiitetsteorien og opstillingen af relatiitetsprinippet. Det første eksempel omhandler A. Mihelson og E. Morleys bestræbelser på at påise jordens beægelse i forhold til æteren. Det er et omstridt emne i litteraturen om relatiitetsteoriens opståen, om Einstein i sine oerejelser har haft Mihelson og Morleys resultater med i sine tanker eller ej. I Einsteins artikel fra 1905 Zur Elektrodynamik bewegter Körber, Annalen der Physik, 17, 891 (1905) 1 er der ingen henisning til Mihelson og Morley. Også senere i sin karriere har Einstein ladet forstå, at Mihelson og Morleys resultater ikke indgik i de oerejelser, der førte ham frem til den speielle relatiitetsteori. Det andet eksempler omhandler W. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, som er fra 1913 og derfor naturligis ingen indflydelse har haft på Einsteins oerejelser i de Sitter undersøger den påstand at lyset altid har samme fart i forhold til lysgieren. Dermed il lyset som følge af Galileitransformationen hae en anden hastighed målt af en iagttager, der er i beægelse i forhold til lysgieren. Det tredje og sidste eksempel handler om den hastighed, en elektrisk ladet partikel kan opnå ed at gennemløbe et større og større spændingsfald. 1 Engelsk oersættelse af denne artikel og andre for relatiitetsteorien grundlæggende artikler i A. Einstein, H.A. Lorentz, H. Weyl og H. Minkowski: The Priniple of Relatiity (Doer Publiations)

15 1.2 Lysets fart Mihelson-Morley I slutningen af 1800-tallet efter fremkomsten af Maxwell s ligninger 2, horaf kunne udledes, at lys måtte opfattes som elektromagnetiske bølger med en bestemt hastighed, fastlagt af de to konstanter akuumpermittiiteten ɛ o og akuumpermeabiliteten µ o, ar den fremherskende opfattelse, at disse bølger måtte udbrede sig i et medium. Alle andre bølger man kendte til ble udbredte gennem et medium. Først og fremmest hade man stort kendskab til elastiske bølgers udbredelse gennem forskellige stoffer. Analogt måtte der altså eksistere et særligt stof, som de elektromagnetiske bølger kunne udbrede sig igennem i det ellers tomme rum. Dette stof kaldte man æteren. Dette stof gennemtrængte alt (og gjorde ellers ikke stort æsen af sig). Kun i æteren ar hastigheden af de elektromagnetiske bølger den ia Maxwellligningerne fundne hastighed. Denne hastighed, som altså ar lysets hastighed, hade man målt med meget stor nøjagtighed. Med udgangspunkt i æterteorien ble det nu interessant at finde jordens hastighed i forhold til æteren. Denne opgae arbejdede Mihelson og Morley på gennem en lang årrække. Deres forsøgsopstilling er ist i Fig. (1.1) Lys med frekens f sendes mod et halgennemsigtigt spejl, en såkaldt beamsplitter, BS. En del af lyset reflekteres af beamsplitteren og rammer spejlet S1 og reflekteres af dette. En anden del af lyset rammer spejlet S2 og reflekteres. Derefter kommer strålerne tilbage til BS, og en del af lyset fra turen MS1M går gennem BS mod iagttageren. En del af lyset fra turen MS2M reflekteres af beamsplitteren og fortsætter mod iagttageren. Disse to stråler interfererer nu, og interferensmønstret kan registreres.hj.a. en fotografisk plade. Opstillingen er opbygget således, at MS1 = MS2 = L og således at MS1 og MS2 er inkelrette på hinanden. Vi forestiller os nu, at hele opstillingen beæger sig med farten i forhold til æteren, og at beægelsesretningen er efter MS2. For at finde bølgelængden af lyset har i brug for lysets fart i ores laboratoriesystem. Lysets fart i æteren er. Vi får nu brug for transformationsreglen for hastighed ia Galileitransformationen. På turen MS2 er farten af lyset, se Fig. (1.2-I) + = (1.5) På turen S2M er farten af lyset, se Fig. (1.2-II) = + (1.6) 2 Disse ligninger opstillede J.C. Maxwell omkring Maxwells arbejde edrørende elektrodynamikken fandt sted i årene mellem 1861 og 1873.

16 4 Galileitransformationen S1 S Lyskilde M S2 B Iagttager Figur 1.1: Mihelson-Morleys forsøg på måling af jordens fart i forhold til æteren. Da frekensen af lyset er den samme på begge ture, blier bølgelængderne forskellige og er henholdsis λ + = f λ = + f Antallet af bølgelængder på stykket MS2M er derfor (1.7) (1.8) N = L λ + + L λ = 2 L f 2 2 (1.9) På turen MS1 og også på turen S1M er farten af lyset, se Fig. (1.2-III) = 2 2 (1.10) Frekensen er også her f, således at bølgelængden på turen MS1M blier 2 λ = 2 (1.11) f Antallet af bølgelængder på stykket MS1M er så N = 2 L λ = 2 L f 2 2 (1.12)

17 1.2 Lysets fart 5 I III + II Figur 1.2: De tre mulige ærdier for lysets fart i Mihelson-Morleys forsøg ifølge Galileitransformationen. Da antallene af bølgelængder N og N ikke er ens, il de to stråler derfor danne et interferensmønster, der afhænger af forskellen i antallet af bølgelængder, når de mødes ed iagttageren. Forskellen i de to bølgelængdeantal er N = N N = 2 L f ( 1 ) 2 ) 1 ) 2 (1.13) His hele opstillingen drejes 90 o, byttes der om på parallelretningen og inkelretretningen, og N skifter derfor fortegn, således at i får et andet interferensmønster end før. Ændringen i bølgelængdeforskel blier ( N) = 4 L f ( 1 ) 2 1 ) 2 ) (1.14) Fidusen med at dreje opstillingen 90 o er, at man ed at dreje opstillingen il se et ændret interferensmønster, his forudsætningerne er rigtige. Med typiske tal fra målingerne L = 11 m, f = 6, s 1, = 3, ms 1 og = 3, ms 1 blier ( N) = 0, 44. Den eksperimentelt fundne ærdi ar mindre end 0,02. Altså kunne Mihelson og Morley ikke påise, at jorden beægede sig i forhold til æteren. Forsøgene ble gentaget gennem mange år og altid med samme resultat: Ingen påisning af jordens beægelse i forhold til æteren. Lysets hastighed må altså ære uafhængig af lysets udsendelsesretning i et giet inertialsystem.

18 6 Galileitransformationen de Sitters dobbeltstjerneanalyse For en kugle, der forlader et geær anbragt på en bil i fart, il kuglens fart i forhold til jordoerfladen hae forskellig ærdi alt efter i hilken retning, den affyres i forhold til bilens kørselsretning. Kuglens fart u g i forhold til geæret il ære den samme i alle tilfælde. Ved brug af Galileitransformationen er kuglens fart i forhold til jordoerfladen u + J = u g+, his kuglen affyres i bilens kørselsretning, eller u J = u g, his kuglen affyres i modsat retning af bilens kørselsretning. er bilens fart i forhold til jordoerfladen. Samme forhold kunne tænkes at ære gældende for lys: Lysets fart antages altid at ære den samme i forhold til lysgieren, horimod lysets fart i forhold til iagttageren antages at afhænge af lysgierens hastighed i forhold til iagttageren. Denne antagelse ble underkastet en kritisk undersøgelse af de Sitter i Han undersøgte konkret et dobbeltstjernesystem. De to stjerner beæger sig i her deres Keplerbane om stjernernes fælles tyngdepunkt med en omløbstid T. Vi ser nu på den ene af disse stjerner. For simpelheds skyld antager i, at jorden befinder sig i stjernernes baneplan. Til tiden t = 0 befinder stjernen sig i afstanden L fra jorden i yderpunktet A, og lys starter fra stjernen mod jorden. Se Fig. (1.3). B + A L Jorden Figur 1.3: de Sitters dobbeltstjerneanalyse. Dette lys modtages på jorden til tiden t 1 = L (1.15)

19 1.2 Lysets fart 7 hor er lysets fart i forhold til stjernen, er stjernens fart i forhold til jorden og = er lysets fart i forhold til jorden. Til tiden t = T er stjernen 2 i det andet yderpunkt B, også i afstanden L fra jorden, og lyset fra dette punkt ankommer til jorden til tiden t 2 = L + + T 2 (1.16) hor lysets fart i forhold til jorden nu er + = +. Til tiden t = T er stjernen tilbage i A, og det derfra udsendte lys når jorden til tiden t 3 = L + T (1.17) Vi kan nu udlede, at set fra jorden tager det hale omløb fra A til B tiden T 1 = t 2 t 1 = L + + T 2 L = T 2 horimod det hale omløb fra B til A tager tiden T 2 = t 3 t 2 = L L + + T 2 = T L (1.18) L (1.19) Af ligningerne (1.18) og (1.19) ses, at forskellene på de hale omløbstider okser proportionalt med stjernens afstand fra jorden og kan altså blie større end tiden for et helt omløb. Dette er naturligis absurd. Der er da heller aldrig obsereret noget sådant. Forskellen på de to hale omløbstider er δ T = T 2 T 1 = L (1.20) Med nogle typiske ærdier T = 1 d, = 10 5 ms 1 og L = m fås δ T = 4, s = 51, 4 d. Altså langt mere end sele omløbstiden! Konklusionen er, at forudsætningerne ikke holder. Lysets fart er ikke afhængig af lysgierens fart Maksimalhastighed Ifølge den klassiske mekanik il en partikel, der påirkes af en konstant kraft, opnå større og større fart. His kraftpåirkningen arer ed, il partiklen opnå en ilkårlig stor fart. Dette kan undersøges eksperimentelt ed at lade elektroner gennemløbe et spændingsfald (egentlig en spændingsstigning) U, hored elektronerne opnår en kinetisk energi E kin = e U, idet det antages,

20 8 Galileitransformationen at elektonerne starter fra hile. e er elektronens elektriske ladning. Herefter findes elektronernes fart direkte ed at måle tiden for passage af en gien ejstrækning. Man kunne nu forestille sig med de høje hastigheder, der opnås ed at gennemløbe store spændingsstigninger, at den opnåede kinetiske energi ikke ar giet ed e U. For at undersøge dette sendes elektronstrålen efter aelerationen mod en lille metalklods, og elektronerne stoppes af denne. Temperaturstigningen af metalklodsen måles samtidig med, at den opsamlede elektriske ladning måles. Hermed kan man bestemme den kinetiske energi, én elektron har opnået ed at blie aelereret gennem spændingsstigningen. Disse målinger iser, at den opnåede kinetiske energi er giet ed e U. Da i nu har styr på den kinetiske energi, kan farten af elektronen beregnes efter 2 E det klassiske udtryk = kin. m er elektronens masse. De således fundne m ærdier for farten sammenlignes med de eksperimentelt fundne ærdier ed den direkte måling af farten. Se Fig. (1.4). Figur 1.4: Maksimal hastighed. Taget fra W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32, 551 (1964). Det ses tydeligt, at det klassiske udtryk ikke er i oerensstemmelse med irkeligheden. Det ser altså ud til, at elektronens fart ikke kan blie ilkårlig

21 1.2 Lysets fart 9 stor, men altid er mindre end lysets fart. (På Fig. (1.4) er også ist den korrekte relatiistiske tolkning af eksperimentet).

22 10 Galileitransformationen

23 Kapitel 2 Lorentztransformationen I dette kapitel udledes den transformation, Lorentztransformationen, der erstatter Galileitransformationen ed oergang fra et inertialsystem til et andet inertialsystem. Forudsætningerne for transformationen præiseres, således at i på entydig is får bestemt Lorentztransformationen. 2.1 Forudsætninger for Lorentztransformationen Vi betragter i det følgende to inertialsystemer S og S med sammenfaldende akser til tiden t = t = 0. Systemet S beæger sig med hastigheden målt i systemet S langs x-aksen. Se Fig. (2.1). Af symmetrigrunde beæger systemet S sig da med hastigheden målt i systemet S langs med x -aksen. En begienhed A fastlægges i hert inertialsystem ed angielse af tidspunkt og stedkoordinat. Ds. i systemet S ed talsættet (t, x, y, z) og i systemet S ed talsættet (t, x, y, z ). Vores opgae er at bestemme den transformation, der gier sammenhængen mellem talsættet (t, x, y, z) og talsættet (t, x, y, z ) for begienheden. Forudsætninger Da den klassiske fysik jo har giet fantastisk mange erifierede resultater il det ære naturligt at forlange 1. For små hastigheder skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen. 2. Det speielle relatiitetsprinip skal gælde: Ds. det er ikke muligt ed noget fysisk eksperiment at afgøre hilket inertialsystem, der er i beægelse 11

24 12 Lorentztransformationen y S y S x x Figur 2.1: Inertialsystemerne S og S. eller hilket der er i hile. Derudoer indføres nu det helt afgørende kra 3. Lysets fart er den samme i alle retninger og i alle inertialsystemer. Punkt 3, som ble formuleret af Albert Einstein i 1905, er helt entralt i den speielle relatiitetsteori. Ved hjælp af disse tre forudsætninger skal i nu finde den transformation, Lorentztransformationen, der skal afløse Galileitransformationen. Den transformation, i søger, må endidere ære lineær, således at en fri partikel, der i S kan beskries ed en sædanlig parameterfremstilling for en ret linje med talsættet (t, x, y, z), også i S kan fremstilles ed en parameterfremstilling for en ret linje, nu blot ed talsættet (t, x, y, z ). Om den fundne transformation er i oerensstemmelse med naturen kan kun afgøres ed eksperimentets hjælp. Uanset hilken form, den nye transformation har, har i allerede nu en løsning på problemerne med tolkningen af Mihelson-Morley-forsøget og af de Sitters dobbeltstjerneanalyse. Forudsætning nr. 3 gier nemlig en forklaring på den manglende ændring i interferensbilledet i Mihelson-Morley-forsøget, da i i stedet for ligningerne (1.5), (1.6) og (1.10) automatisk har + = = =. Ligeledes er der ingen problemer m.h.t. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, idet i her har + = =, se side Måling af tid og længde For at kunne måle en hastighed, f. eks. lysets hastighed, er det nødendigt at kunne måle en tilbagelagt ejstrækning og den tid, det har taget at tilbagelægge denne ejstrækning. Vejstrækningen er fastlagt ed et slut-

25 2.2 Måling af tid og længde 13 punkt og et begyndelsespunkt, his i holder os til en retlinet beægelse eller til en infinitesimal ejstrækning. Afstanden mellem disse to punkter kan i et inertialsystem bestemmes.hj.a. en målestok i hile i inertialsystemet. Målestokken lægges simpelthen, så den forbinder de to punkter, og afstanden aflæses på målestokken. Tiden, der er gået ed tilbagelæggelsen af ejstrækningen, kan findes ed at aflæse tiden på et ur plaeret ed slutpunktet i det øjeblik, lyset eller partiklen passerede slutpunktet. Uret er i hile i inertialsystemet. Det forudsættes, at der ikke er problemer med at afgøre, om to hændelser er samtidige, his de foregår i samme punkt. På samme måde aflæses tiden på et ur i hile plaeret ed startpunktet i det øjeblik, lyset eller partiklen passerer startpunktet. Tidsforbruget er så forskellen mellem de to aflæste tider. Men det kræer, at urene er synkroniserede for at gie en meningsfuld måling. Det entrale spørgsmål er dermed bleet, horledes synkroniseringen af ure skal foretages, således at det il ære muligt at sammenligne tider målt i et inertialsystem i forskellige punkter i inertialsystemet. Vi forstiller os nu, at i alle punkter (af interesse for os) er anbragt ure i hile, og at disse ure forentes at tikke lige hurtigt. Et af disse ure udælges som hoedur. Lad dette urs isning ære t o. Ved at udsende et signal fra dette hoedur til et andet ur, his afstand l til hoeduret er kendt, kunne i synkronisere urene ed at sætte tiden ed det andet ur ed modtagelsen af signalet til t o + l, hor w er signalets udbredelsesfart, his i kendte denne fart. Men w det fører os tilbage til problemet med at måle hastighed, og det kræede synkroniserede ure for at kunne irke. Vi synes at ære hanet i en Cath 22 -lignende situation. Men her kommer den eksperimentelle kendsgerning, at lysets fart er den samme i alle retninger os til hjælp. For at demonstrere dette, kan man nemlig nøjes med ét ur i et fast punkt. Vi kan forestille os, at lys sendes rundt i en lukket bane ha. spejle, se Fig. (2.2). Vi skal altså aflæse startiden for lysudsendelsen og sluttiden for modtagelsen af lyset på det samme ur i det faste punkt. Den af lyset tilbagelagte ej måles i ro og mag med målestokke i hile langs lysets bane. Ved frit at ælge forskellige opstillinger af disse stykkeis retlinede baner og efter hert forsøg at kunne konstatere at lysets fart er den samme ed alle forsøgene, ledes man til at postulere, at sådan er det altid: Lysets fart er den samme i alle retninger i det gine inertialsystem. Den angine metode med benyttelse af et hoedur og udsendelse af et lyssignal til andre ure i kendt afstand fra hoeduret er dermed en brugbar metode til at synkronisere alle ure i et inertialsystem. Metoden sikrer, at alle urene er indbyrdes synkroniserede. Da hoeduret og ur-a iser samme tid, og endidere hoeduret og ur-b iser samme tid, iser ur-a og ur-b også samme tid. His man ønsker at heke, om to ure plaeret i henholdsis punktet A og

26 14 Lorentztransformationen S2 S3 S1 S4 S5 Figur 2.2: Måling af lysets fart under benyttelse af kun ét ur. i punktet B er synkroniserede i inertialsystemet S, kan man foretage det eksperiment, at til tiden t As målt på A s ur sendes et lysglimt mod B. Dette lysglimt modtages i punktet B til tiden t B målt på B s ur. Lysglimtet reflekteres af et spejl anbragt i B og modtages i punktet A til tiden t Am målt på A s ur. Da lysglimtets fart på de to ture ifølge ores antagelse og eksperimentelle undersøgelser altid har samme ærdi, og da lysglimtene skal tilbagelægge samme ejstrækning på de to ture, er de to ure synkroniserede, netop his følgende er opfyldt t B t As = t Am t B t B = 1 2 (t A s + t Am ) (2.1) 2.3 Transformation af y og z: Afstande inkelret på beægelsesretningen To iagttagere i hert sit inertialsystem S og S har besluttet at lae hert sit rør med samme radius målt i hile. Efter at hae konstrueret rørerne lægger de dem med røraksen parallelt med x(x )-aksen. Rør A ligger stille i S og

27 2.4 Transformation af x og t 15 rør B ligger stille i S. Se Fig. (2.3). y S y S A x B x Figur 2.3: Inertialsystemerne S og S med to ens rør. Set fra S kommer der nu et rør, A, susende med hastighed. His nu længder inkelret på hade en anden ærdi målt i S end målt i S, ille rør A altså passere gennem rør B, his rørradius ble målt mindre i S, eller også ille rør A helt omslutte rør B, his rørradius ble målt større i S. Set fra S er situationen helt den samme. Her kommer rør B susende med hastighed. Da beægelse mod højre og enstre gier samme fysik il iagttageren i S kunne sige: His radius af B ble målt mindre ille B pasere gennem A, og his radius af B ble målt større ille A passere gennem B. Vi får altså en modstrid, his længder inkelret på beægelsesretningen ændres. Der er derfor kun en mulighed tilbage: Man måler samme længde. Dermed er transformationen af y og z-koordinaterne fundet y = y (2.2) z = z (2.3) 2.4 Transformation af x og t Til tidspunktet t = t = 0 hor origo O og O i de to inertialsystemer S og S falder sammen, udsendes fra O(O ) et lysglimt. Denne forstyrrelse udbreder sig i begge systemer på en kugleflade, da lysets fart i de to systemer er ens i alle retninger. Endidere er lysets fart den samme i begge systemer, således at radius i S til tiden t er t, og i S er radius til tiden t bleet t. Kuglefladen kan i S beskries ed ligningen 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 (2.4)

28 16 Lorentztransformationen og i S ed ligningen Altså gælder der 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 (2.5) 2 t 2 x 2 = 2 t 2 x 2 (2.6) hor i også har benyttet ligningerne (2.2) og (2.3). Da transformationen fra (t, x) til (t, x ) er lineær (og uden indblanding af y og z) skal i bestemme fire tal K, L, M og N, der er uafhængige af (t, x), men som formodentligt kommer til at afhænge af, da jo karakteriserer beægelsen af S og S i forhold til hinanden: x = K x + L t (2.7) t = M t + N x (2.8) For origo O gælder i systemet S at x = 0 og i systemet S at x = t. Dette kan sættes ind i ligning(2.7), og dermed har i et bånd mellem tallene L og K Nu kan ligning (2.7) skries = L K (2.9) x = K (x t) (2.10) Ligningerne (2.8) og (2.10) benyttes i ligning (2.6), og efter lidt rumsteren har i x 2 2 t 2 = (K 2 2 N 2 ) x 2 2 (K M N) x t ( 2 M 2 K 2 2 ) t 2 (2.11) For at ligning (2.11) kan ære opfyldt for alle x og alle t, skal koeffiienterne til x 2, x t og t 2 ære ens på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.11). Der skal altså gælde K 2 2 N 2 = 1 (2.12) K M N = 0 (2.13) 2 M 2 K 2 2 = 2 (2.14) Af ligning (2.13) får i N = K 2 2 M Ligning (2.15) indsættes i ligning (2.12) (2.15) K K 4 M 2 = 1 (2.16)

29 2.4 Transformation af x og t 17 Af ligning (2.14) fås M 2 = 2 + K (2.17) Ligning (2.17) indsættes i ligning (2.16), og efter lidt regneri finder i 1 K = ± (2.18) )2 Nu kan ligning (2.18) indsættes i ligning (2.17), og M kan findes 1 M = ± (2.19) )2 Dernæst indsættes ligningerne (2.18) og (2.19) i ligning (2.15), og N kan findes N = ± 1 (2.20) 2 )2 Vi mangler nu kun at bestemme fortegnene for K, M og N. Ligning (2.7) skal gælde for alle ærdier af, også for = 0. For = 0 er x = x, og dermed er K = 1. Da K antages at ære en pæn kontinuert funktion af, må fortegnet for K ære plus, ds. K = L er dermed også bestemt ia ligning (2.9) L = 1 )2 (2.21) )2 (2.22) For skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen, ds. ligning (2.8) skal gå oer i t = t. Fortegnet for M må derfor ære plus, altså 1 M = (2.23) )2 Hermed er fortegnet for N fastlagt ia ligning (2.15), og N blier N = 2 1 )2 (2.24) Konstanterne K, L, M og N er hermed fastlagte, og i har fundet Lorentztransformationen x = x t (2.25) )2

30 18 Lorentztransformationen t = y = y (2.26) z = z (2.27) t 2 x )2 (2.28) Den omendte transformation fra inertialsystemet S til inertialsystemet S fås ed i ligningerne (2.25) til (2.28) at udskifte med og bytte om på de mærkede og de umærkede ariable x = x + t )2 (2.29) y = y (2.30) z = z (2.31) t = t + 2 x )2 (2.32) Nanet på transformationen skyldes, at H.A. Lorentz før Einstein hade ist, at denne transformation medfører, at Maxwells ligninger er inariante. Dette il ikke ære tilfældet under en Galileitransformation. Inariansen af Maxwells ligninger under en Lorentztransformation ar ligeledes bleet ist af H. Poinaré. Eftertanke. Da i opskre Lorentztransformationen fra S til S, gik i ud fra, at S beæger sig med hastighed i forhold til S af symmetrigrunde. Men i kan let se, at det må forholde sig således ed følgende betragtning. Transformationen fra S til S må ære af samme form som transformationen fra S til S blot med hastigheden erstattet med en anden hastighed, som i il kalde w x = x w t ) (2.33) w 2 t = t w x 2 ) (2.34) w 2

31 2.5 Dobbelt Lorentztransformation 19 I ligning (2.33) indsættes nu resultaterne fra ligningerne (2.25) og (2.28). Dette gier ed en lille regning x = x (1 + w ) t (w + ) 2 ) w 2 ) (2.35) 2 Da ligning (2.35) skal ære opfyldt for alle (x, t), skal w + = 0, og dermed er w =, hilket sikrer opfyldelsen af ligning (2.35). En tilsarende regning med udgangspunkt i ligning (2.34) gier samme resultat. Altså er det godtgjort, at S beæger sig med hastighed i forhold til S. 2.5 Dobbelt Lorentztransformation Vi ser her på tre inertialsystemer S, S og S. S beæger sig med hastighed i forhold til S langs x, x -aksen, og S beæger sig med hastighed w i forhold til S langs x, x -aksen. Til tiden t = t = t = 0 er de tre systemer sammenfaldende. His i udfører først en Lorentztransformation fra S til S og dernæst en Lorentztransformation idere fra S til S, har i fået en transformation fra S til S. Det il ære naturligt at forente, at dette må kunne beskries som en Lorentztransformation fra S til S. Dette il i nu ise ekspliit. For de to gine transformationer gælder x = x t ) t = t x 2 2 ) 2 (2.36) x = x w t ) t = t w x 2 w 2 ) w 2 (2.37) Ved et lille regnestykke, hor ligning (2.37) indsættes i ligning (2.36), fås x = x +w 1+ w ) 2 2 t +w 1+ w ) 2 t w 1 x w 2 ) 2 1 (2.38) t = ) (2.39) w w 2 Tællerne i de to ligninger (2.38) og (2.39) ser fornuftige ud med S s hastighed V i forhold til S giet ed V = + w 1 + w 2 (2.40)

32 20 Lorentztransformationen For at hae den rigtige form på transformationen skal nænerne i ligningerne (2.38) og (2.39) kunne skries ) V 2. At dette er tilfældet ises ed direkte udregning af ) V 2 med V giet ed ligning (2.40). Hermed er ist, at sammensætningen af to Lorentztransformationer gier en ny Lorentztransformation, og at den sammensatte Lorentztransformation er giet ed S s hastighed V i forhold til S med V bestemt af ligning (2.40). Se også ligning (3.36). His i hade benyttet Galileitransformationen, ille i hae fået V = + w. I den grænse, hor og w, ses, at ligning (2.40) også gier dette resultat. 2.6 Den generelle Lorentztransformation His inertialsystemet S beæger sig i y-aksens retning med hastighed i forhold til inertialsystemet S, se Fig. (2.4), og de to inertialsystemer er sammenfaldende til tiden t = t = 0 blier transformationen mellem S og S naturligis S y x S y Figur 2.4: Lorentztransformation i y-aksens retning. x

33 2.6 Den generelle Lorentztransformation 21 x = x x = x (2.41) y = y t ) y = y + t 2 ) (2.42) 2 z = z z = z (2.43) t = t y 2 ) t = t + y 2 2 ) (2.44) 2 Lad nu S beæge sig med en ilkårlig hastighed i forhold til S, se Fig. (2.5). Den rumlige del af en begienhed er giet ed ektoren r. Den del af S y S y O x O x Figur 2.5: Lorentztransformation i ilkårlig retning. denne ektor, der er inkelret på er r = r r (2.45) 2 Med brug af samme argumentation som i afsnit 2.3 kan i slutte, at afstande, der er inkelrette på, er uændrede. For transformationen af r må derfor gælde r = r (2.46) Den del af r, der er parallel med, altså r = r (2.47) 2 har en ikketriiel transformation, som i il finde på samme måde som i afsnit 2.4. Ligning (2.6) blier nu under anendelse af ligning (2.46) 2 t 2 r 2 = 2 t 2 r 2 (2.48)

34 22 Lorentztransformationen Vi antager på samme måde som før en lineær sammenhæng af formen r = K r + L t (2.49) t = M t + N r (2.50) Origo O er i S beskreet ed r = o og altså også r = o, medens det i S er beskreet ed r = r = t. Dette indsat i ligning (2.49) medfører L = K, således at ligning (2.49) omskries til r = K ( r t ) (2.51) Ligningerne (2.50) og (2.51) benyttes i ligning (2.48), som med = blier 2 t 2 r 2 = 2 (M t + N r ) 2 K 2 ( r t ) 2 Heraf fås ligningssættet = ( 2 M 2 K 2 2 ) t ( 2 M N + K 2 ) t r ( 2 N 2 K 2 ) r 2 (2.52) K 2 2 N 2 = 1 (2.53) K M N = 0 (2.54) 2 M 2 K 2 2 = 2 (2.55) som har samme løsning, som i tidligere fandt ed ligningerne (2.21) - (2.24). Dermed har i fundet den ønskede transformation for r og t. For r gælder altså r r t = ) (2.56) 2 Transformationen for hele den rumlige del, r = r + r, af en begienhed kan derfor ha. ligningerne (2.46) og (2.56) skries sammen til ( ) 1 r r = r + ) 1 2 t 2 ) (2.57) 2 Transformationen for tidsdelen af begienheden blier med de fundne ærdier for M og N indsat i ligning (2.50) t = t r 2 ) (2.58) 2

35 2.6 Den generelle Lorentztransformation 23 Dermed har i fundet den generelle Lorentztransformation i alle de tilfælde, hor der ikke indgår en rotation af de rumlige koordinatakser i forhold til hinanden. Den omendte transformation fås af oenstående ed at udskifte med ( ) 1 r t r = r + ) ) 2 (2.59) t = t r + 2 ) 2 (2.60)

36 24 Lorentztransformationen

37 Kapitel 3 Kinematiske konsekenser af Lorentztransformationen Dette kapitel il med udgangspunkt i den fundne Lorentztransformation udlede en række kinematiske konsekenser af denne transformation. 3.1 Inarians I relatiitetsteorien spiller begrebet inarians en meget igtig rolle. Einstein kaldte oprindelig sin teori "Inarianztheorie" 1. Inarians her i betydningen uforanderlig. Men relatiitetsnanet andt som bekendt, både blandt fysikere og i offentligheden. I begyndelsen af 1900-tallet ble relatiitetsteorien af affelattesegmentet misbrugt til at hæde, at had som helst indenfor psykologi, soiologi, litteratur, kunst os. ar relatit. Ateister og troende kunne ligeledes her for sig finde argumenter for, at netop deres lisanskuelse kunne begrundes med relatiitetsteorien og dens resultater. Dette på trods af at det, der karakteriserer teorien, netop er, at de fysiske loe har samme form, ds. er inariante, i alle inertialsystemer. Der er altså intet relatit ed relatiitetsteorien. Selfølgelig er der forskel på, om i beskrier feks. en konkret beægelse i et inertialsystem eller i et andet. Koordinatsættene til en partikels sted afhænger naturligis af inertialsystemet. Men det er en triiel forskel på linje med, at i kan angie plaeringen af toppen af Rundetårn ed dens afstand fra Købmagergadenieau, hanieau eller toppen af Rådhustårnnieau. Fra matematik kender i også, at størrelser kan ære inariante. Feks. il længden af en ektor ed rotation, parallelforskydning eller reflektion af koordinatsystemet ære inariant. Fra klassisk fysik ed i også, at under en 1 Ordet "Relatitheorie" dukker op i et bre fra Max Plank til Einstein i Einstein kaldte i 1907 teorien for "Relatiitätstheorie" i et bre til Paul Ehrenfest. 25

38 26 Kinematiske konsekenser Galileitransformation er feks. masse, elektrisk ladning, aeleration og resulterende kraft inariante størrelser. I relatiitetsteorien il i også finde, at isse størrelser er inariante, men ikke nødendigis de samme størrelser, som er inariante i den klassiske fysik. Men hoedbudskabet i relatiitetsteorien er, at de grundlæggende fysiske loe er de samme i alle inertialsystemer, og at forbindelsen mellem fysiske størrelser i de to inertialsystemer er fastlagt ed Lorentztransformationen. Det følger direkte af Lorentztransformationen, ligningerne (2.25) til (2.28), at 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (3.1) Ds. for enher begienhed, had enten den angies i inertialsystemet S som (t, x, y, z) eller i inertialsystemet S som (t, x, y, z ), er størrelsen s 2 giet ed s 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (3.2) eller den tilsarende størrelse s 2 udregnet i S altid ens. Vi siger, at s 2 er Lorentzinariant. (Da i udledte Lorentztransformationen, benyttede i en speialudgae af dette, nemlig tilfældet s 2 = s 2 = 0). Det eneste, i har benyttet for at ise dette, er, at talsættet (t, x, y, z) transformerer ed en Lorentztransformation. For ethert talsæt (A 0, A 1, A 2, A 3 ), der transformerer på samme måde som talsættet (t, x, y, z), il da ligeledes størrelsen 2 A 2 = 2 A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 ære Lorentzinariant. For den generelle Lorentztransformation gælder også, at størrelsen s 2 = 2 t 2 r 2 er inariant. Dette ses på samme måde som tidligere ed direkte udregning af s 2 = 2 t 2 r 2 under anendelse af ligningerne (2.57) og (2.58). Denne udregning gier s 2 = s 2. For to begienheder (t 1, x 1, y 1, z 1 ) og (t 2, x 2, y 2, z 2 ) kan i danne talsættet s = (t 2 t 1, x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) = ( t, x, y, z). Da Lorentztransformationen er lineær, il s transformere fra S til S på samme måde, 2 Bemærk at A 0 -komponenten ganges med. Dette er også nødendigt af dimensionsgrunde.

39 3.1 Inarians 27 som (t, x, y, z) gør. Ds. der gælder t = t x 2 ) 2 (3.3) x = x t ) 2 (3.4) y = y (3.5) z = z (3.6) Derfor er også ( s) 2 = 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2 = 2 ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 Lorentzinariant. I stedet for at skrie ( s) 2, som er det matematisk korrekte, er der i relatiitetsteorien tradition for at skrie dette som s 2, sel om dette jo egentlig betyder ændringen i s 2. Tilsarende gøres for ( x) 2 = x 2 os. Altså skries s 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2. Der er tre muligheder for fortegnet af s 2 som gies hert sit nan < 0 s siges at ære rumagtig s 2 = 0 s siges at ære lysagtig (3.7) > 0 s siges at ære tidsagtig Det il altid ære muligt ed en passende transformation af det sædanlige koordinatsystem i rummet at opnå, at formen på s er s = ( t, x, 0, 0), således at s 2 = 2 t 2 x 2. Lad os som eksempel på anendelsen af inariansen af s 2 se på to begienheder, der er samtidige i inertialsystemet S, og som finder sted på to forskellige steder. Lad os antage at s = ( t, x, 0, 0). Der gælder altså s 2 = 2 t 2 x 2 = x 2 (3.8) (Vi ser bort fra y og z-bidragene, da i har sørget for, at disse er 0 i systemerne S og S ). Man kan nu spørge om, om det er muligt, at de to begienheder også er samtidige i systemet S. Da s 2 = 2 t 2 x 2 og pga. inariansen, il i så fald gælde for t = 0 s 2 = s 2 x 2 = x 2 (3.9) Dette er kun muligt (se Lorentztransformationen ligning (2.25)) his S s hastighed i forhold til S er nul. Altså er de to begienheder ikke samtidige i S, his S har en fra nul forskellig hastighed i forhold til S. Samtidighed i

40 28 Kinematiske konsekenser relatiitetsteorien er altså ikke en absolut egenskab for to begienheder men gier kun mening, his det præisseres for hilket inertialsystem, samtidigheden gælder. Vi il nu se på de tre muligheder for fortegnet af s 2 for at undersøge, om det er muligt at finde en Lorentztransformation, så de to begienheder er samtidige i et særligt inertialsystem, eller om det er muligt, at de to begienheder finder sted i samme punkt i et inertialsystem. For de to begienheder dannes s = ( t, x, y, z). Vi il også her antage, at s er af formen s = ( t, x, 0, 0), således at s 2 = 2 t 2 x 2. s tidsagtig. Vi ønsker at finde, hilken hastighed et inertialsystem S skal beæge sig med i forhold til S, så de to begienheder finder sted i samme punkt i S. Da s er tidsagtig gælder > x (3.10) t eller 1 < t (3.11) x His de to begienheder finder sted i samme punkt i S er x = 0, hilket medfører (benyt ligning (3.4)) = x. Denne hastighed opfylder betingelsen t < på grund af uligheden (3.10). Dermed har i ist, at det er muligt at transformere til et inertialsystem, hor begienhederne finder sted i samme punkt. Vi kunne også spørge, om det er muligt at opnå samtidighed i et nyt inertalsystem. Her skulle altså gælde t = 0. Men så ille s 2 jo blie negati i modstrid med forudsætningen. Rent algebraisk medfører t = 0 under brug af ligning (3.3), at = 2 t. På grund af uligheden (3.11) får i her >. x Ds. det er ikke muligt at opnå samtidighed. s lysagtig. Her gælder = x t. Her il kraet t = 0 medføre =, og kraet x = 0 il ligeledes medføre =. Det er altså ikke muligt at finde en Lorentztransformation, så begienhederne finder sted til samme tidspunkt, og det er ligeledes umuligt at finde en Lorentztransformation, så begienhederne finder sted i samme punkt i rummet. s rumagtig. Da s er rumagtig gælder < x (3.12) t

41 3.1 Inarians 29 eller 1 > t (3.13) x Ved samme oerejelser som oenfor il kraet om samtighed, t = 0, medføre = 2 t. Med brug af uligheden (3.13) slutter i <. Dermed x er det ist, at i kan finde et inertialsystem, så de to begienheder er samtidige i dette system. Dernæst undersøger i, om det er muligt at hae x = 0. Men så ille s 2 blie positi i modstrid med forudsætningen. Igen kan i rent algebraisk se, at ligning (3.4) medfører = x. Med brug af uligheden (3.12) ses her at t gælde >. Det er altså ikke muligt ed en Lorentztransformation at opnå, at begienhederne finder sted i samme punkt. Kausalitet. Som et andet eksempel på anendelse af inariansen il i se på begrebet kausalitet. Da lysets fart er den størst mulige fart, kan intet signal udbrede sig med en fart større end lysets fart. For to begienheder, der i inertialsystemet S bestemmer et rumagtigt s, kan der ikke ære en kausal sammenhæng. Altså den ene begienhed kan ikke som årsag hae den anden begienhed. Dette gælder også i ethert andet inertialsystem, da s 2 er Lorentzinariant. Det er altså ikke muligt at finde en eller anden skør Lorentztransformation, hor den ene begienhed kunne ære en følge af den anden. Begienheders tidsrækkefølge. Vi ser på to begienheder A og B med tid og sted giet ed sættene (t 1, x 1 ) og (t 2, x 2 ), hor begienhed A forekommer før begienhed B, ds. t 1 < t 2. (Igen har i sørget for, at y 1 = y 2 = z 1 = z 2 = 0 ed passende alg af det rumlige koordinatsystem). Vi spørger nu om, had betingelsen er for, at der er samme tidsrækkefølge af begienhederne A og B også i alle andre inertialsystemer. Tiderne t 1 og t 2 transformeres til systemet S ed en Lorentztransformation t 1 = t 1 x 2 1 ) (3.14) 2 t 2 = t 2 x 2 2 ) (3.15) 2 Kraet, i stiller, er t 2 > t 1, som i ed et lille regnestykke under brug af ligningerne (3.14) og (3.15) omformer til uligheden 2 > x 2 x 1 t 2 t 1 (3.16)

42 30 Kinematiske konsekenser Da < il uligheden (3.16) ære opfyldt for alle, his > x 2 x 1 t 2 t 1 (3.17) Ds. his s er tidsagtig, er tidsrækkefølgen af de to begienheder den samme i alle inertialsystemer. Med et tidsagtigt s er det muligt, at der er en kausal sammenhæng mellem begienhederne A og B. His der skal byttes om på tidsrækkefølgen af begienhederne A og B i systemet S, får i ed en lignende regning som oenfor, at der skal gælde (t 2 t 1 ) < (x 2 x 1 ) (3.18) Dette il ære muligt at opnå for s rumagtig. Men så il der ikke ære en kausal sammenhæng mellem begienhederne A og B, da intet signal kan nå fra begienhed A s sted til begienhed B s sted på den tid, der er til rådighed. 3.2 Retning af lysstråle Som en simpel direkte anendelse af Lorentztransformationen il i se på, horledes retningen af en lysstråle kan angies i to forskellige inertialsystemer samt finde sammenhængen mellem disse to retninger. I inertialsystemet S udsendes lys fra origo til tiden t = t = 0. y S y S x α x Figur 3.1: Retning af lysstråle set fra henholdsis inertialsystemet S og fra inertialsystemet S. Lysstrålens retning med x -aksen er α. Se Fig. (3.1). Der gælder da os(α ) = x t (3.19)

43 3.3 Hastighedstransformation 31 hor x er førstekoordinaten til det punkt, hortil lystrålen er kommet til tiden t. Den tilbagelagte ej af lyset er jo t, som netop er længden af hypotenusen i den antydede trekant. Ved brug af Lorentztransformationen kan x og t udtrykkes ed x og t i inertialsystemet S og i får os(α ) = x ( t ) 2 1 t 2 x 1 ( ) 2 = x t x t 1 (3.20) Da lyset jo også beæger sig retlinet set fra inertialsystemet S, kan i på samme måde, som i gjorde i systemet S, angie retningen af lysstrålen ed den inkel α, lysstrålen danner med x-aksen, men nu angiet i systemet S ed os(α) = x (3.21) t Dered kan ligning (3.20) omskries til os(α ) = os(α) 1 os(α) (3.22) som er den ønskede sammenhæng mellem α og α. Ligning (3.22) kan under anendelse af den trigonometriske relation tan( 1 2 x) = 1 os(x) 1+os(x) omskries til tan( 1 2 α ) = tan( 1 2 α) (3.23) 3.3 Hastighedstransformation I inertialsystemet S befinder en partikel sig til tiden t 1 på stedet A(x 1, y 1, z 1 ). Til tiden t 2 befinder den sig på stedet B(x 2, y 2, z 2 ). Partiklens hastighed u i S er bestemt ed (sædanlig grænseoergang t 0 underforstået) u x = x 2 x 1 t 2 t 1 u y = y 2 y 1 t 2 t 1 u z = z 2 z 1 t 2 t 1 = x t = y t = z t (3.24) (3.25) (3.26)

44 32 Kinematiske konsekenser Da Lorentztransformationen, som i tidligere har udnyttet (se side 26), er lineær, gælder, at t, x, y, z transformerer som t, x, y, z og derfor er x = x t )2 (3.27) y = y (3.28) z = z (3.29) t = t x 2 )2 (3.30) For hastigheden af partiklen målt i inertialsystemet S får i da ha. ligningerne (3.27) - (3.30) u y = y t = u x = x t = y t 2 x x t t x = 2 x t 1 x 2 t )2 = u y 1 ux 2 = u x 1 (3.31) ux 2 )2 (3.32) Transformationen for hastigheden i z-retningen findes analogt. Slutresultatet for transformationen fra S til S kan derfor opskries som u x = u x 1 (3.33) ux 2 u y = u y 1 ux )2 (3.34) 2 u z = u z 1 ux )2 (3.35) 2 Transformationen fra S til S fås ed i ligningerne (3.33) til (3.35) at udskifte med u x = u x + (3.36) 1 + u x 2 u y = u z = u y 1 + u x 2 u z 1 + u x 2 )2 (3.37) )2 (3.38) Bemærk at ligningerne for hastighedstransformationen ikke umiddelbart ligner Lorentztransformationen for tid og sted.

45 3.3 Hastighedstransformation 33 For og med den iden at u ses, at ligningerne (3.36) til (3.38) som entet har Galileitransformationens resultat ligning (1.3) som grænsetilfælde. er størst. Lad inertialsystemet S hae hastigheden = α, 0 < α < 1 i forhold til S og lad en partikel hae hastigheden u x = β, 0 < β < 1 samt u y = u z = 0 i forhold til inertialsystemet S. Partiklens hastighed i S findes af ligning (3.36) u x = α + β 1 + α β (3.39) Da 0 < 1 α og 0 < 1 β gælder 0 < (1 α) (1 β) α + β < 1 + α β α + β 1 + α β < 1 (3.40) Ligning (3.40) anendt på ligning (3.39) iser, at u x <, lige meget hor tæt α og β er på 1. Galileitransformationen ille hae medført u x = (α + β), som så kunne ære bleet større end lysets fart i modstrid med erfaringen, som til fulde støtter Lorentztransformationens konsekenser. Samtidighed. I ikke-relatiistisk fysik, hor det er Galileitransformationen, der skal benyttes ed oergang fra et inertialsystem til et andet, il to begienheder, der er samtidige i et inertialsystem, også ære samtidige i alle andre inertialsystemer, da tiden i alle inertialsystemer er den samme. Som i tidligere har set i afsnit (3.1), er samtidighed i relatiitetsteorien et relatit begreb. Dette følger også direkte af ligning (3.30). Lad de to begienheder ære samtidige i inertialsystemet S. Der gælder altså t = 0, men for at også t = 0, skal også x = 0 (eller = 0). Ds. de kan ikke også ære samtidige i inertialsystemt S, medmindre de to begienheder finder sted i samme punkt.

46 34 Kinematiske konsekenser Den generelle Lorentztransformation His S beæger sig med konstant hastighed efter y-aksen fås af ligningerne (2.41) til (2.44) u x = u x ) 2 1 uy u x = u x ) 2 (3.41) u y 2 u y = u y 1 uy u y = u y + (3.42) u y 2 u z = u z ) 2 1 uy u z = u z ) 2 (3.43) u y 2 Hastighedstransformationen i det generelle tilfælde findes ed at se på ændringer i tid og sted i de to inertialsystemer på samme måde som før. Af ligningerne (2.57) og (2.58) fås r = r + ( ) 1 ) 1 2 r 2 t ) (3.44) 2 t = t r 2 ) (3.45) 2 Ved diision af henholdsis enstre og højre side af ligning (3.44) med de tilsarende sider af ligning (3.45) finder i med underforstået grænseoergang for ændringer i tiderne gående mod nul den ønskede sammenhæng mellem hastighederne i de to systemer u u = ) 2 + ([ 1 ) 2 ] ) u u 2 (3.46) Den omendte transformation fås ed i oenstående at skifte ud med u 1 ( ) ([ ) ] ) 2 u + 1 u = 2 (3.47) u Ved at ælge = (, 0, 0) i ligning (3.46) genfindes ligningerne (3.33) - (3.35), og ed at ælge = (0,, 0) får i ligningerne (3.41) - (3.43).

47 3.4 Aeleration Aeleration Vi il i dette afsnit finde transformationsreglen for aeleration. En partikel har i inertialsystemet S hastigheden u og aelerationen a = d u. Ved at d t udtrykke u ed og u (se ligningerne (3.36) til (3.38)) samt ed at benytte (se ligning (3.30)) d t d t = ) 2 (3.48) 1 + u x 2 finder i sammenhængen mellem aeleration a = d u d t i inertialsystemet S og aelerationen a i inertialsystemet S a = d u d t = d u d t d t d t (3.49) som efter nogen regning gier a x = [ ] 3 )2 a 1 + u x x (3.50) 2 a y = )2 u y a (1 + u x ) 3 2 x + )2 (1 + u 2 x ) 2 a y (3.51) 2 a z = )2 u z a (1 + u x ) 3 2 x + )2 (1 + u 2 x ) 2 a z (3.52) 2 Aelerationen er altså langt fra at ære inariant under en Lorentztransformation i modsætning til aelerationens inarians under en Galileitransformation. Desuden ses, at aelerationens transformationsegenskab ser noget "kedelig" ud. Den har på ingen måde samme form som den pæne Lorentztransformation af tid og sted Aeleration i én dimension Lad os nu se på en partikel, der beæger sig langs x-aksen, altså et endimensionalt problem. I inertialsystemet S er dens øjeblikkelige hastighed u, og dens øjeblikkelige aeleration er a. Vi kan ed at benytte ligning (3.50) angie sammenhængen mellem aelerationen a i inertialsystemet S og a-

48 36 Kinematiske konsekenser elerationen a i inertialsystemet S a = [ 1 + u 2 Den omendte transformation fra S til S er a = [ 1 u 2 ) 2 ) 2 ] 3 a (3.53) ] 3 a (3.54) Vi il nu undersøge, om der findes et inertialsystem S, således at for gien hastighed u og gien aeleration a i S har aelerationen a den størst mulige ærdi. Der skal altså foretages en sædanlig maksimumsundersøgelse af den kantede parentes i ligning (3.54). Da d d ) 2 1 u = 2 2 u ) 2 ( 1 u 2 ) 2 (3.55) ses, at den kantede parentes i ligning (3.54) har maksimum for = u. I det således fundne system er partiklens hastighed u = 0. Ds. det inertialsystem, i hilket partiklen har sin maksimale aeleration, er partiklens øjeblikkelige hilesystem. Den maksimale ærdi for partiklens aeleration i dens øjeblikkelige hilesystem er med = u indsat i ligning (3.54) 3.5 Beægelsesretning a = ( ) u 2 ) 3 2 a (3.56) En partikel, der beæger sig retlinet med konstant hastighed i et inertialsystem, il også beæge sig på en ret linje med konstant hastighed i et andet inertialsystem. Lad partiklen beæge sig i x y /xy-planen. Den inkel α, som en iagttager i inertialsystemet S angier som den, den pågældende linje danner med x -aksen, il ære en anden end den inkel α, en iagttager i inertialsystemet S angier som linjens inkel med x-aksen. Da retningen af beægelsen fastlægges af hastigheden, kan i ed hjælp af hastighedstransformationen finde sammenhængen mellem de to inkler. Under anendelse af

49 3.6 Lorentzforkortningen 37 ligningerne (3.33) og (3.34) fås tan(α ) = u y u x = ) 2 uy u x (3.57) hor u x, u y, u x og u y angier hastighedskomponenterne for partiklen i henholdsis S og S. Da u x = u os(α) og u y = sin(α), hor u er partiklens fart i S, kan ligning (3.57) skries ) 2 tan(α u sin(α) ) = (3.58) u os(α) il i gen- Ved at anende den trigonometriske relation os(α 1 ) = 1+tan 2 (α ) finde ligning (3.22) ed at lade u i ligning (3.58). 3.6 Lorentzforkortningen At måle længden af en stang i et inertialsystem il sige, at til samme tidspunkt i det pågældende inertialsystem iagttages rumkoordinaterne for stangens endepunkter A og B. Den geometriske afstand mellem disse to punkter er stangens længde. Stangen lægges langs med x, x -aksen, og stangen er i hile i systemet S. Til tiden t i system S er stedkoordinaterne til A og B i S henholdsis x A og x B. I systemet S er de tilhørende x er x A = x B = x A t )2 (3.59) x B t )2 (3.60) Stangens længde i S er l = x B x A. Stangens længde i S er l o = x B x A da endepunkterne A og B i S jo til alle tider har samme x -koordinater. Ved brug af ligningerne (3.59) og (3.60) fås da sammenhængen mellem l og l o som benænes Lorentzforkortningen ( ) 2 l = l o 1 (3.61) da der gælder l l o. Forkortningen af et legeme i beægelsesretningen ar før Einstein bleet benyttet af H.A. Lorentz og af G.F. FitzGerald til at "forklare" det negatie resultat af Mihelson-Morleys forsøg på at ise jordens beægelse gennem æteren.

50 38 Kinematiske konsekenser 3.7 Volumentransformation Voluminet af et ilkårligt fysisk legeme kan findes ed at dele det op i en masse små terninger og summere oluminerne af alle disse terninger. Vi kan også orientere disse terninger, så de har akseparallelle kanter i legemets hilesystem S. Set fra et andet system S i forhold til hilket S beæger sig på sædanlig is, il terningernes længde i beægelsesretningen ære Lorentzforkortede, medens kantlængderne i de to andre retninger il ære ens i de to systemer. Dermed il oluminet af en lille terning også ære "olumenforkortet", således at sammenhængen mellem legemets olumen V o i hilesystemet S og dets olumen V i systemet S er V = V o ) 2 (3.62) 3.8 Vinkeltransformation Et stykke inkeljern ligger i hile i inertialsystemet S. Vinklens toppunkt ligger i O, højrebenet langs x -aksen og enstrebenet ligger i x y -planen. Vinklen mellem de to ben målt i S er θ. y S y S B x O θ A x Figur 3.2: Vinkeltransformation for et stykke inkeljern med inklens højreben plaeret langs x, x -aksen. Lad der fra O til A på x -aksen ære en længdeenhed langt målt i S. Altså O A S = 1. His i fra A går tan(θ ) målt i S i y -aksens retning, kommer i netop op til punktet B på inklens enstre ben. Se Fig. (3.2). Afstanden AB er altså i S tan(θ ). Da afstande inkelret på er ens i S og S, er afstanden AB også i S tan(θ ). Men afstanden O A er i S Lorentzforkortet til O A S )2 = )2. Heraf finder i, at iagttageren i S måler

51 3.8 Vinkeltransformation 39 inklen til θ bestemt ed tan(θ) = AB S O A S = AB S = tan(θ ) (3.63) )2 )2 His den inkel, i ønsker at transformere, ikke har det ene ben liggende langs (eller parallel med) x, x -aksen, kan i dele den op i to inkler, der her for sig har det ene ben liggende langs x, x -aksen. I S er inklen θ altså delt op i θ = θ 1 + θ 2. Se Fig. (3.3). y S y S θ 1 θ 2 x x Figur 3.3: Vinkeltransformation for et stykke inkeljern med ilkårlig plaering af inklens ben. Disse inkler kan her for sig transformeres til S ed hjælp af ligning (3.63) tan(θ 1 ) = tan(θ 1) )2 (3.64) tan(θ 2 ) = tan(θ 2) )2 (3.65) Ved at benytte den trigonometriske relation 1 os 2 (θ) = 1 + tan2 (θ) omskries ligning (3.64) til Dette gier umiddelbart også os(θ 1 ) = os(θ 1) )2 1 os2 (θ 1) ( )2 (3.66) sin(θ 1 ) = sin(θ 1) 1 os2 (θ 1) ( )2 (3.67) Tilsarende relationer findes for θ 2, θ 2. Vinklen der måles i S er θ = θ 1 + θ 2. Ved at anende den trigonometriske relation os(θ 1 + θ 2 ) = os(θ 1 ) os(θ 2 )

52 40 Kinematiske konsekenser sin(θ 1 ) sin(θ 2 ) fås efter en række omskrininger under benyttelse af ligningerne (3.66) og (3.67) os(θ) = os(θ ) os(θ 1) os(θ 2) ( )2 1 os2 (θ 1) ( )2 1 os 2 (θ 2) ( )2 (3.68) 3.9 Tidsforlængelsen I systemet S sker en begienhed i O til tiden t 1. Senere sker en anden begienhed i O til tiden t 2. De tilsarende tider i S er (benyt Loretztransformationen med x = 0) t 1 = t 2 = t 1 )2 (3.69) t 2 )2 (3.70) Af ligningerne (3.69) og (3.70) får i sammenhængen mellem de to tidsforløb t = t 2 t 1 og t = t 2 t 1 t = t )2 (3.71) Det ses at t t. Sammenhængen udtrykt i ligning (3.71) benænes derfor tidsforlængelsen. Tiden, der måles på et ur i en partikels hilesystem, kaldes egentiden. Ligning (3.71) iser altså, at egentiden er mindre end tiden målt på ethert andet ur En alternati udledning af tidsforlængelsen En hul stang beæger sig med hastighed i forhold til en stationær iagttager. Stangens længderetning er inkelret på. Se Fig. (3.4). Fra toppen A af stangen sendes et lysignal mod bunden af stangen B. I stangens hilesystem tager det tiden t at gennemløbe turen. For den stationære iagttager tager det tiden t. I dette tidsrum har stangen beæget sig x = t i forhold til den stationære iagttager. Da afstande inkelrette på har ens længde for en iagttager, der følger med stangen, og for den stationære iagttager, kan i benytte Pythagoras til at få sammenhængen ( t ) 2 = ( t) 2 ( t) 2 (3.72)

53 3.10 Aberration 41 A t t B t B Figur 3.4: Udledning af formlen for tidsforlængelse ha. udsendelse af lyssignal i beæget stang. horaf fås t = som netop er udtrykket for tidsforlængelsen Aberration Aberration - klassisk t )2 (3.73) En regnejrsdag med silende lodret faldende regndråber, his hastighed er u i forhold til jorden, il en yklist, der ykler med hastighed i forhold til jorden, oplee, at dråberne kommer skråt ind imod ham med hastighed u i forhold til yklisten. u er giet ed Galileitransformationen for hastighed u = u (3.74) Regndråbernes hastighed danner set fra yklisten inklen α med lodret. α er bestemt ed tan(α) = (3.75) u Se Fig. (3.5). Ved at måle α og med kendskab til farten kan regndråbernes fart u altså bestemmes. His yklisten kører i en irkelformet bane med konstant fart, il yklisten oplee at regndråberne hele tiden kommer fra forskellige retninger, men retningen il hele tiden danne samme inkel α med lodret som i ligning (3.75). Samme betragtning som oenfor ble omkring 1725 benyttet af James Bradley til at bestemme lysets fart. I stedet for regndråber og en ykeltur så Bradley

54 42 Kinematiske konsekenser Figur 3.5: "Cyklist" i regnejr. på lyset fra en stjerne på forskellige tidspunkter af året. Retningen til stjernen synes at ændre sig gennem året. Ds. ed at måle aberrationen og med kendskab til jordens fart J i dens bane om solen kan lysets fart bestemmes af tan(α) = J (3.76) Bradleys måling af lysets fart ha. ligning (3.76) ga en bedre bestemmelse af lysets fart end den, O. Rømer opnåede med sin metode i Aberration - relatiistisk Vi il beskrie lysudsendelsen fra stjernen i to inertialsystemer. Systemet S er stjernens hilesystem, og stjernen befinder sig et sted på den positie y- akse meget langt æk fra jordbaneplanen, således at his jorden stod stille, ille retningen til stjernen ære praktisk taget den samme for alle plaeringer af jorden. Lyset fra stjernen antages i dette tilfælde at rame inkelret ned på baneplanen. Jorden bestemmer inertialsystemet S og jorden beæger sig med hastighed J langs x-aksen. Jorden befinder sig i origo i systemet S. Lysets hastighed i S er x = 0 (3.77) y = (3.78)

55 3.11 Dopplereffekt 43 I systemet S er lysets hastighed x = J (3.79) y = J ) 2 (3.80) Retningen til stjernen i systemet S, altså i jordsystemet, er da tan(α) = x y = J ) (3.81) J 2 Da sin(α) = tan(α) 1+tan 2 (α) kan ligning (3.81) omskries til sin(α) = J (3.82) Da J er Bradleys resultat i ligning (3.76) en meget god tilnærmelse til det relatiistisk korrekte udtryk Dopplereffekt Vi skal i dette afsnit se på lysudsendelse beskreet ed lysets frekens målt i et inertialsystem og frekensen af dette lys målt i et andet inertialsystem Longitudinal Dopplereffekt En bølgegier ligger stille i inertialsystemet S. Bølgegieren udsender lys med frekensen f målt i S. Se Fig. (3.6). Udsendelse af et helt bølgetog tager i S tiden t = 1 f. I inertialsystemet S tager dette ifølge tidsforlængelsen tiden t = t )2 (3.83) I løbet af tiden t beæger bølgegieren sig stykket x = t i S. Det il sige, at tiden mellem udsendelse/modtagelse af to bølgetog målt i S er t = t + x = t (3.84)

56 44 Kinematiske konsekenser y S y S x x Figur 3.6: Dopplereffekt. Da frekensen målt i S er f = 1, medfører ligning (3.84), at sammenhængen t mellem frekenserne målt i de to inertialsystemer er f = f (3.85) Ligning (3.85) er den relatiistiske Dopplereffekt 3, hor lyskilden beæger sig efter forbindelseslinjen mellem iagttager og kilde. Effekten benænes i dette tilfælde også den longitudinale Dopplereffekt. Den urelatiistiske Dopplereffekt er i dette tilfælde giet ed f urel = f (3.86) For at udlede ligning (3.86) bemærker i, at der ed en urelatiistisk betragtning, hor i benytter Galileitransformationen for tid, ikke er forskel på t og t. Dermed blier tiden mellem de to bølgetog i S t = t (1 + ), således udtrykket for frekensen netop er som påstået i ligning (3.86). Ligning (3.85) er udledt under den forudsætning, at kilden beæger sig æk fra iagttageren. His kilden beæger sig mod iagttageren, skal plus i ligning (3.84) laes om til minus og omendt, og i stedet for ligning (3.85) fås f = f (3.87) 3 Effekten er opkaldt efter C. Doppler, der i 1842 argumenterede, med forkerte begrundelser, for en frekensændring, når kilde og modtager beæger sig i forhold til hinanden.

57 3.11 Dopplereffekt 45 Den urelatiistiske udgae af Dopplereffekten er i dette tilfælde f urel = f 1 1 (3.88) Se Fig. (3.7). For kan ligningerne (3.85) og (3.86) ed rækkeudikling Relatiistisk Dopplereffekt Urelatiistisk Dopplereffekt f modtaget /f afsendt / Figur 3.7: Relatiistisk og urelatiistisk Dopplereffekt. Graferne iser forholdet mellem den frekens, som modtageren måler, og den frekens, som afsender måler, som funktion af afsenderens hastighed i forhold til modtageren. til anden orden approksimeres ed henholdsis f f ( ( ) 2 ) (3.89) og f urel f ( 1 + ( ) 2 ) (3.90) Det er altså kun en andenordenseffekt, der adskiller den relatiistiske Dopplereffekt fra den urelatiistiske Dopplereffekt for samme hastighed. Dette fremgår også af Fig. (3.7), hor det ses, at for < 0.25 er de to grafer næsten sammenfaldende.

58 46 Kinematiske konsekenser I stedet for at se på sammenhængen mellem frekenserne i de to inertialsystemer kan i se på sammenhængen mellem bølgelængderne. Her gælder i det relatiistiske tilfælde, his kilden beæger sig æk fra iagttageren λ rel = λ (3.91) Den relatie bølgelængdeændring, som astronomerne kalder rødforskydningen, blier z rel = λ rel λ 1 + = λ 1 1 (3.92) Den urelatiistiske sammenhæng mellem bølgelængderne er i dette tilfælde λ urel = λ (1 + ) (3.93) Den urelatiistiske relatie bølgelængdeændring blier her z urel = λ urel λ λ = (3.94) His i kun tager led med op til første orden i, kan det relatiistiske resultat for rødforskydningen (se ligning (3.92)) approksimeres ed z rel (3.95) som er det resultat, en urelatiistisk betragtning gier Vilkårlig retning af lyset His lyskilden ikke beæger sig efter forbindelseslinjen mellem kilde og iagttager, skal ligning (3.85) modifieres. Lad bølgegieren beæge sig med hastighed målt af iagttageren langs linjen l. Se Fig. (3.8). Til et giet tidspunkt udsendes en bølgetop fra kilden i punktet A. Retningen til bølgegieren er giet ed inklen θ set fra iagttageren. Efter at der er forløbet en periode t målt i kildens hilesystem, er kilden kommet til punktet B og udsender en ny bølgetop. Retningen til bølgegieren er stadig θ set fra iagttageren, da i forudsætter, at afstanden mellem kilde og iagtager er meget stor. Tidsforskellen mellem modtagelsen af de to bølgetoppe målt af iagttageren kan nu findes som før.

59 3.11 Dopplereffekt 47 θ A B l C Iagttager Figur 3.8: Dopplereffekt for ilkårlig retning til kilde. t Iagttageren finder, at det tager tiden t = 1 ( at beæge sig fra punktet )2 A til punktet B. Ds. AB = t = t 1 (. Signalet, som sendes fra B til )2 iagttageren, skal endidere beæge sig stykket BC = AB os(θ) længere end før, hilket i S tager tiden BC. Altså er tiden målt af iagttageren mellem modtagelsen af de to bølgetoppe t = t + BC = t )2 (1 + os(θ)) (3.96) Af ligning (3.96) fås umiddelbart sammenhængen mellem frekensen f målt i kildens hilesystem og frekensen f målt af iagttageren f = f )2 1 + os(θ) = f )2 1 + r (3.97) hor r = os(θ) er radialhastigheden mellem kilde og iagttager. His θ = 0 ses, at ligning (3.97) er den samme som ligning (3.85), og his θ = π ses, at ligning (3.97) er den samme som ligning (3.87) Transersal Dopplereffekt His bølgegieren beæger sig inkelret på iagttagerens retning til bølgegieren, ds. his inklen θ i ligning (3.97) er 90 o, gælder f = f ) 2 (3.98)

60 48 Kinematiske konsekenser som er den transersale Dopplereffekt. Ligning (3.98) følger også af, at bølgegieren her ikke beæger sig æk fra iagttageren. Bølgen skal derfor flytte sig samme strækning for at nå frem til modtageren. Vi kan derfor direkte benytte ligning (3.83) til at finde frekenserne ed at tage de reiprokke ærdier af de indgående tider. Urelatiistisk er der i denne situation ingen frekensændring. En iagttager i entrum af en irkel, på his periferi en bølgegier kører rundt, il i det urelatiistiske tilfælde ikke hæde, at der er forskel på hans iagttagne frekens og på den frekens, bølgegieren iagttager. Årsagen til dette er, at urelatiistisk er der ingen forskel på længden af tidsforløb for iagttager og bølgegier, men det er der som bekendt ed en relatiistisk betragtning.

61 Kapitel 4 Relatiistisk dynamik: Indledning Dette kapitel beskæftiger sig med fastlæggelse af relatiistisk impuls, relatiistisk energi, samt horledes disse størrelser transformerer ed oergang fra et inertialsystem til et andet inertialsystem. Dernæst opstilles den relatiistiske beægelsesligning, som erstatter Newtons 2. lo. 4.1 Impuls En af den ikke-relatiistiske fysiks grundlæggende sætninger er loen om impulsens bearelse i et isoleret system. Impulsen af en partikel med masse m er som bekendt her giet ed p = m u, hor u er partiklens hastighed. I den relatiistiske fysik il det ære naturligt også at forente/kræe, at impulsen for et isoleret system også er bearet. Endidere må i kræe, at impulsbearelsessætningen er gyldig i alle inertialsystemer, og at i ed oergang fra et inertialsystem til et andet inertialsystem skal benytte Lorentztransformationen. En længere analyse (se næste afsnit) af disse forudsætninger fører frem til, at impulsen i den relatiistiske fysik ikke kan ære giet ed p = m u, men må erstattes af p = m u u )2 (4.1) hor m er partiklens hilemasse, ds. den masse partiklen har i sit hilesystem. (His partiklen er masseløs som f. eks. fotonen, findes der ikke noget hilesystem. I et sådant tilfælde kan impulsen findes ed hjælp af energien). For meget små hastigheder, u, er u )2 1, og dermed er p m u. Definitionen af den relatiistiske impuls er altså for små hastigheder sammenfaldende med den ikke-relatiistiske definition af impulsen. 49

62 50 Relatiistisk dynamik: Indledning 4.2 Relatiistisk impuls For at finde udtrykket for den relatiistiske impuls il i antage, at impulsen er en bearet størelse i et isoleret system i alle inertialsystemer, og at impulsen er en ektor i hastighedens retning p = m f(u) u (4.2) hor m er partiklens hilemasse, og f(u) er en ukendt funktion af partiklen fart u. For at komme lettere gennem regningerne il i stedet for farten u 1 benytte γ-faktoren γ = som den uafhængige ariable. Funktionen 1 ( u )2 f(u) blier dermed erstattet af g(γ), således at i i stedet for udtrykket i ligning (4.2) il se på p = m g(γ) u (4.3) Vi ønsker at bestemme forskriften for funktionen g. For at den relatiistiske impuls skal falde sammen med den urelatiistiske impuls for små hastigheder, ds. for γ tæt på 1, skal gælde g(1) = 1. Lad os se på et isoleret system bestående af to ens partikler. Partiklerne er altså isolerede fra omerdenen, men de kan ekselirke med hinanden. Der sker nu et elastisk stød mellem disse to partikler. Vi il betragte dette stød fra to inertialsystemer, S og S. I inertialsystemet S har den ene partikel hastigheden u f (f for før) i den positie x-akses retning, og den anden partikel ligger stille. Se Fig. (4.1). Inertialsystemet S er algt således, at de to partikler har samme fart, modsatrettede hastigheder og således, at beægelsen foregår før stødet langs x - aksen. I S er hastighederne altså henholdsis + og langs x -aksen, hor er hastigheden af S i forhold til S. Se Fig. (4.2).

63 4.2 Relatiistisk impuls 51 y S u f Figur 4.1: Stødet i inertialsystem S før sammenstød. x y S x Figur 4.2: Stødet i inertialsystem S før sammenstød.

64 52 Relatiistisk dynamik: Indledning Sammenhængen mellem u f i S og i S findes af formlen for den relatiistiske addition af hastigheder u f = = ( )2 (4.4) Vi il nu se på et stød, der resulterer i, at den ene partikel beæger sig i y S x Figur 4.3: Stødet i inertialsystem S efter sammenstød. den positie y -akses retning i S. Da i har antaget, at impulsen er bearet, og da impulsen i y -aksens retning er nul før stødet, må den anden partikel beæge sig i den negatie y -akses retning efter stødet. Stødet er endidere antaget at ære elastisk, så farten af partiklerne må ære uændrede i S. De har altså også begge farten i S efter stødet. Se Fig. (4.3) Set fra S ser situationen efter stødet ud som på Fig. (4.4) Fra formlen for den relatiistiske addition af hastigheder fås for den øerste partikel hastigheden efter henholdsis x- og y-aksens retning (e for efter) u x,e = = (4.5) u y,e = ) = )2 (4.6) For den nederste partikel er hastigheden i y-aksens retning numerisk den samme som for den øerste partikel, men fortegnet er minus. Hastigheden i

65 4.2 Relatiistisk impuls 53 y S Figur 4.4: Stødet i inertialsystem S efter sammenstød. x x-aksens retning er ens for de to partikler. Farten målt i S for de to partikler er dermed den samme u 2 e = u 2 x,e + u 2 y,e = 2 (2 ( )2 ) (4.7) Den samlede impuls henholdsis før og efter stødet er i inertialsystemet S p f = m g(γ f ) u f = 2 m g(γ f ) 1 + ( )2 (4.8) p e = 2 m g(γ e ) (4.9) Vektorstregerne er droppede, da i kun ser på impulsen i x-aksens retning. Da der gælder impulsbearelse i S, er p e = p f, og af ligningerne (4.8) og (4.9) fås 1 g(γ f ) 1 + ( = g(γ e) (4.10) )2 Ved hjælp af ligning (4.4) findes Af ligning (4.7) findes γ f = γ e = ( u ) 1 2 f 1 + ( )2 = )2 (4.11) )2 ( u e )2 ) 1 2 = 1 )2 (4.12)

66 54 Relatiistisk dynamik: Indledning Af ligningerne (4.11) og (4.12) følger γ f γ e = 1 + ( )2 (4.13) Under anendelse af ligning (4.13) kan ligning (4.10) omskries til Af ligningerne (4.11) og (4.12) udledes Ligning (4.14) kan så skries g(γ f ) γ f = g(γ e) γ e (4.14) 1 2 (γ f + 1) = γ e (4.15) g(γ f ) = g( 1 (γ 2 f + 1)) 1 γ f (γ 2 f + 1) (4.16) Lad os kalde den uafhængige ariable i ligning (4.16) w samt indføre funktionen h ed h(w) = g(w) for w 1 (4.17) w således at ligning (4.16) kan skries h(w) = h( 1 (w + 1)) (4.18) 2 For funktionen h gælder h(1) = 1. Endidere har h den egenskab, at h(w) er det samme tal som funktionsærdien af det tal, der ligger midt mellem 1 og w altså tallet w 1 = 1 (w + 1). Vi kan så igen benytte ligning (4.18) og sige, at 2 1 w 3 w 2 w 1 w Figur 4.5: Talfølgen w n. h(w 1 ) er det samme tal som funktionsærdien af det tal, der er middelærdien af 1 og w 1 : w 2 = 1 (1 + w 2 1). Således fortsættes. Vi får altså en talfølge w, w 1, w 2, w 3, w 4,... med tal, som kommer tættere og tættere på 1, og som alle har samme funktionsærdi for funktionen h. Se Fig. (4.5). Da funktionen antages at ære "pæn", ds. kontinuert fra højre, må h(w) = h(1) = 1. Af ligning (4.17) følger da g(x) = x (4.19)

67 4.3 Kraft 55 Da funktionen g nu er fastlagt, er også den relatiistiske impuls fundet p = m u (4.20) u)2 At den således definerede relatiistiske impuls er en bearet størrelse for et isoleret system i andre tilfælde end det her betragtede, kan kun afgøres ed eksperimentets hjælp. Det er en eksperimentel kendsgerning, at impulsen med definitionen giet i ligning (4.20) er en bearet størrelse i et isoleret system. 4.3 Kraft Definition af kraft Vi betragter nu en enkelt partikel. His dens impuls giet ed ligning (4.20) ændrer sig, il i sige, at partiklen er påirket af en kraft F, som er defineret ed F = d p (4.21) dt Ligning (4.21) er altså en definitionsligning for kraft i det relatiistiske tilfælde. For u er ligning (4.21) den gammelkendte Newtons anden lo, da p jo så er sammenfaldende med den urelatiistiske impuls. På samme måde som i i den ikke-relatiistiske mekanik kan benytte Newtons anden lo til at bestemme en partikels beægelse, his kraften er kendt, kan i også her ha. ligning (4.21) i det relatiistiske tilfælde finde partiklens bane, his kraften F er giet. Ligning (4.21) er dermed også den relatiistiske beægelsesligning Kraft og aeleration. For også her at se på sammenhængen mellem kraft og aeleration omskries højresiden af ligning (4.21) d p dt = d dt = m u u m u ) 2 ) 2 d u dt + m d dt ( 1 u ) 2 ) u (4.22)

68 56 Relatiistisk dynamik: Indledning Lad os se på sidste led i ligning (4.22) m d ( 1 ) dt ) u = m 1 ( 1 u 2 2 hor = 1 m 2 ( 1 = 1 m 2 ( 1 = m ( 1 er den sædanlige aeleration. Ds. ligning (4.21) blier F = m ( 1 u u u u ( u ) 2 ) d u 2 dt u ) 2 3 ) 2 3 ) 2 3 a = d u dt 1 2 d ( ) u 2 dt x + u 2 y + u 2 z u 1 ( du x 2 u 2 x dt + 2 u du y y dt + 2 u z 1 ( a u) u 2 m ) a + 2 ( 1 u ) 2 3 du ) z u dt (4.23) (4.24) 1 ( a u) u (4.25) 2 En del af kraften går i aelerationens retning, og en del af kraften går i hastighedens retning. Det er dermed ikke muligt at definere massen af en partikel som forholdet mellem kraft og aeleration. Kraften og aelerationen går altså ikke nødendigis i samme retning i en relatiistisk regning, som de jo gør i en klassisk regning. Ved at tage skalarproduktet mellem F og u fås af ligning (4.25) ( m F u = ( 1 Heraf fås umiddelbart m ) + 2 ( 1 u a u = = u m u ) u 2 m u ) 2 3 ) 2 3 ) a u (4.26) a u (4.27) F u (4.28)

69 4.3 Kraft 57 Ligning (4.28) benyttes i ligning (4.25), hored fås F = m ( 1 u ) 2 a + F u 2 u (4.29) Ved at omskrie ligning (4.29) til m ( 1 u ) 2 a = F F u 2 u (4.30) ses, at aelerationen består af to led. Det ene led ( ( F u) u) er parallel med hastigheden u, og det andet led er parallel med kraften. Ved at benytte ligning (4.30) ses at kraften og aelerationen er i samme retning i netop to tilfælde. Det ene tilfælde er, his kraft og hastighed er parallelle, da der så gælder m F = ) 3 a (4.31) u 2 Det andet tilfælde er, his kraft og hastighed er ortogonale, da der så gælder m F = ) a (4.32) u 2 I ingen af tilfældene er proportionalitetsfaktoren mellem kraft og aeleration lig partiklens masse m. Endidere ses, at de to proportionalitetsfaktorer er forskellige Newtons tredje lo? I urelatiistisk fysik gælder som bekendt Newtons tredje lo: "aktion lig reaktion". Men Newtons tredje lo kan ikke, som i nu il argumentere for, oerføres til den relatiistiske udgae af mekanikken. Lad to partikler påirke hinanden, og lad det ære giet, at til et bestemt tidspunkt t i inertialsystemet S påirker de to partikler hinanden med kræfter, der netop opfylder kraet om aktion lig reaktion. I ethert andet inertialsystem i beægelse i forhold til S il disse to kræfter ikke påirke partiklerne til samme tidspunkt, medmindre der er tale om kontaktkræfter. For kræfter, der som graitationskraften og Coulombkraften irker oer afstand, og da intet signal kan udbrede sig momentant, kan Newtons tredje lo ikke opretholdes ed relatiistiske betragtninger.

70 58 Relatiistisk dynamik: Indledning 4.4 Relatiistisk energi Kraftens arbejde pr. tidsenhed, effekten, defineres ed P = da dt = F u (4.33) Endidere defineres i oerensstemmelse med arbejdssætningen den kinetiske energi E kin ed de kin = F dt u (4.34) med den naturlige randbetingelse, at E kin = 0 for u = 0. Vha. ligningerne (4.20), (4.21) og (4.34) kan i finde den relatiistiske kinetiske energi. Under forudsætning af at beægelsen er endimensional fås som med E kin (0) = 0 gier E kin = t 0 F u dt = t 0 de kin dt [ m u = u u )2 dp dt u dt = ] u 0 = F u (4.35) u 0 u 0 ( ) m u u d u )2 (4.36) m u du (4.37) u)2 Det sidste integral i ligning (4.37) udregnes let ed substitution, og dermed har i som resultat, at den relatiistiske kinetiske energi er giet ed E kin = m 2 u )2 m 2 (4.38) Vi behandler dernæst det generelle tilfælde, hor kraft og hastighed ikke nødendigis er parallelle. Definitionen på kinetisk energi ligning (4.34) omskries.hj.a. ligning (4.27) til de kin dt = m u ) 2 3 u d u d t = d d t m 2 u )2 (4.39) Horaf i ed integration får det generelle udtryk for den relatiistiske kinetiske energi m 2 E kin = m 1 2 (4.40) ( u )2

71 4.4 Relatiistisk energi 59 1 For lae hastigheder, hor u, er ( E kin = 1 u ) ( u )2, og dermed blier m 2 u )2 m m u2 (4.41) Den relatiistiske kinetiske energi er altså i grænsen for lae hastigheder sammenfaldende med definitionen på den urelatiistiske kinetiske energi. Dernæst defineres en partikels totale energi som 1 E = E kin + m 2 = m 2 u )2 (4.42) Størrelsen m 2 benænes partiklens hileenergi. Se Fig. (4.6) E/m u/ Figur 4.6: Den totale relatiistiske energi i forhold til hileenergien. 1 Ligning (4.42) gier den korrekte relatiistiske tolkning af forsøget ist på Fig. (1.4) side 8.

72 60 Relatiistisk dynamik: Indledning Af ligningerne (4.20) og (4.42) fås ed direkte udregning den meget igtige relation E 2 2 p 2 = (m 2 ) 2 (4.43) Ligningen kaldes undertiden Den relatiistiske Pythagoras. Se Fig. (4.7). Da E m 2 p Figur 4.7: Den relatiistiske Pythagoras. højresiden af ligning (4.43) kun indeholder partiklens hilemasse og lyshastigheden, der begge har samme ærdi i alle inertialsystemer, il enstresiden af ligning (4.43) altså også ære den samme, ligegyldigt i hilket inertialsystem den totale energi og impulsen er målt. Vi siger, at E 2 2 p 2 er Lorentzinariant. Af ligningerne (4.20) og (4.42) for henholdsis den relatiistiske impuls og den totale relatiistiske energi får i sammenhængen p = E u (4.44) 2 Denne ligning kan bruges til at finde partiklens totale relatiistiske energi, his det er muligt at bestemme både partiklens hastighed og dens relatiistiske impuls. 4.5 Transformation af impuls og energi Impulsen parallel med Da i kender transformationsformlerne for hastighed, kan i også finde sammenhængen mellem impulsen og energien målt i to forskellige inertialsystemer. For at simplifiere regningerne antager i, at partiklens hastighed og dermed dens impuls er rettet efter x, x -akserne. Se Fig. (4.8).

73 4.5 Transformation af impuls og energi 61 y S y S p x x Figur 4.8: Transformation af impuls med impulsen rettet efter x, x -aksen. Lad os først se på impulsen p x i systemet S. Under anendelse af hastighedstransformationen for u x kan den skries p x = m u x u x ) 2 = m u x u x ) 2 1 ux (4.45) 2 Der indgår stadig størrelser målt i S. Dem skal i af med. [ ] 2 u x ux )2 = 1 1 ux 1 (4.46) 2 2 = 1 + ( ux ) 2 ( ux 2 )2 ( )2 (1 ux (4.47) ) 2 2 = ( ux )2 ) ( )2 ) (1 ux 2 ) 2 (4.48) Denne omskrining, der ledte os frem til udtrykket i ligning (4.48), benyttes nu i ligning (4.45), og p x blier nu kun udtrykt ed størrelser målt i S p x = m u x m 2 1 ( ux ) ( ux ) 2 )2 (4.49) Det ses, at ligning (4.49) indeholder p x og E, begge målt i systemet S. Vi har nu fundet transformationsformlen for impulsen p x = p x 2 E )2 (4.50)

74 62 Relatiistisk dynamik: Indledning For energien kan i lae helt samme regnestykke ed igen at benytte omskriningen, der førte frem til udtrykket i ligning (4.48) E = m 2 m (1 ux ) 2 = 2 u x ) 2 u x ) (4.51) 2 )2 = m 2 1 ( ux ) 2 m u x 1 ( ux ) 2 )2 (4.52) Her genkendes E og p x, begge målt i S, og transformationen for energien er dermed også bestemt E = E p x )2 (4.53) I det her betragtede simple tilfælde, hor hastighederne er rettede efter x, x - akserne gælder umiddelbart p y = 0 og p y = 0 samt p z = 0 og p z = 0. I det almene tilfælde, hor hastighederne kan hae ilkårlig retning, gælder for impulstransformationerne inkelret på medføringshastigheden af S, at impulserne er ens, ds. p y = p y og p z = p z (4.54) Impulsen i ilkårlig retning Transformationen for p og E, i tilfældet hor p også har en komposant inkelret på inertialsystemet S s hastighed, kan findes på helt samme måde som oenfor. Regnestykket er kun lidt længere. Vi kan altid ælge koordinatakser, således at p kun har komposanter i x- retningen og i y-retningen. His p hade en z-komposant, kunne i blot foretage en drejning af inertialsystemet S, således at p z = 0 og en tilsarende drejning af inertialsystemet S så p z = 0. Det er altså nok at se på transformation af p x og p y (eller p x og p y). Se Fig. (4.9). I både impulsen og energien il størrelserne ( u )2 og ( u )2 optræde. Her er u 2 = u 2 = u 2 x + u 2 y og u 2 = u 2 = u x2 + u y2. Ved igen at benytte transformationen for hastighed får i

75 4.5 Transformation af impuls og energi 63 y S p y S x x Figur 4.9: Transformation af impuls med impulsen i ilkårlig retning. u )2 = 1 1 ( (ux ) 2 2 (1 ux ) + u2 y ( ) )2 ) 2 (1 ux ) (4.55) = )2 ( u )2 + ( )2 ( u )2 (1 ux 2 ) 2 (4.56) = ( )2 ) ( u )2 ) (1 ux 2 ) 2 (4.57) (Jænfør denne udregning med regningerne fra ligning (4.46) til ligning (4.48)). Omskriningerne, der førte frem til ligning (4.57) benyttes nu i omskriningen af impulserne p x og p y og af energien E. For p x fås under anendelse af hastighedstransformationen og ligning (4.57) p x = m u x u )2 = m (u x ) 1 ux 2 1 ux 2 u )2 )2 (4.58) = m u x 1 ( u )2 2 Heraf ses, at den søgte transformation er m 2 1 ( u )2 For impulsen i y -retningen fås på samme måde )2 (4.59) p x = p x 2 E )2 (4.60) p y = m u y (4.61) u )2

76 64 Relatiistisk dynamik: Indledning = m u y )2 1 ux 2 Men dette er jo netop 1 ux 2 u )2 )2 = m u y u )2 (4.62) p y = p y (4.63) Transformationen for energien udledes ligeledes ed at benytte ligning (4.57) E = m 2 = u )2 m 2 u )2 1 ux 2 )2 (4.64) Det il sige = m 2 1 ( u E = m u x 1 ( u )2 )2 (4.65) )2 E p x )2 (4.66) His den rumlige del af ore inertialsystemer ikke på forhånd ar algt, så p z = 0 og p z = 0, men hade fra nul forskellige ærdier, ille i også få, at impulserne i z, z -retningen ar ens i de to inertialsystemer, altså at p z = p z. Det endelige resultat for transformation af den relatiistiske energi og impuls er dermed 4.6 Transformation af kraft Af sammenhængen fås ed differentiation m.h.t. t p x = p x E 2 )2 (4.67) p y = p y (4.68) p z = p z (4.69) E = E p x )2 (4.70) E 2 ( p) 2 = (m 2 ) 2 (4.71) 2 E de dt 2 2 p d p dt = 0 (4.72) de dt = 2 p E d p dt = u F (4.73)

77 4.7 Ækialensen mellem masse og energi 65 Ved hjælp af ligning (4.73) samt Lorentztransformationen for impuls og for tid kan i nu finde sammenhængen mellem kraften F i inertialsystemet S og kraften F i inertialsystemet S. For kraften F i systemet S gælder for x -komponenten F x = dp x dt = dp x dt dt dt (4.74) F x = d dt d dt ( px E 2 1 ( )2 ) ( t x 2 1 ( )2 ) (4.75) F x = dp x de dt 2 dt 1 (4.76) ux 2 For y -komponenten findes tilsarende F x = F x 2 u F 1 ux 2 (4.77) F y = dp y dt = dp y dt dt dt (4.78) Analogt fås F y = F y = F y F z = F z d dt p y 1 ux 2 1 ( )2 (4.79) )2 1 ux 2 (4.80) )2 1 ux 2 (4.81) Vi kan altså konkludere, at i den relatiistiske udgae af mekanikken er kraften ikke en Lorentzinariant størrelse. Dette står imodsætning til den urelatiistiske udgae af mekanikken, hor kraften er Galileiinariant. Vi kan ligeledes se, at ligningerne for kraftens transformation ikke har samme form som Lorentztransformationen for tid og sted.

78 66 Relatiistisk dynamik: Indledning m u u m Før stød m ny Efter stød Figur 4.10: Omdannelse af energi til masse. 4.7 Ækialensen mellem masse og energi Vi betragter et uelastisk stød mellem to ens partikler, som støder frontalt sammen og danner en ny partikel. Se Fig. (4.10). Lad de to partikler her hae en hilemasse på m og den nydannede partikel hilemassen m ny. De to ens partikler har hastighederne u og u efter x-aksen i systemet S. I S gælder da for de to partiklers impuls p 1 og p 2 p 1 + p 2 = 0 (4.82) Da impulsen er bearet, er impulsen for den nye partikel p 3 = 0, og den nye partikel ligger altså stille i systemet S. I et andet inertialsystem, S, har partiklerne andre impulser, men impulsbearelsen er stadig opfyldt p 1 + p 2 = p 3 (4.83) Disse impulser kan udtrykkes ed størrelser obsereret i S ha. ligning (4.50) p 1x + p 2x = p 1x E p 2x E 2 2 (4.84) )2 )2 = p 1x + p 2x )2 (E E 2 ) (4.85) )2 = p 3x = p 3x 2 E 3 )2 (4.86)

79 4.8 Lys 67 hor E 1 og E 2 er energierne af de to ens partikler og E 3 er energien af den nye partikel, alle målt i systemet S. Da p 1x + p 2x = p 3x = 0 får i af de to sidste ligninger E 1 + E 2 = E 3 (4.87) Vi har altså ist, at under antagelse af at impulsen er bearet, er også den totale relatiistiske energi bearet. Endidere fås af ligning (4.87) samt at E 1 = E 2 = m 2 u )2 og E 3 = m ny 2 (4.88) m ny 2 = 2 m 2 u )2 (4.89) Bemærk at m ny er større end summen af de to oprindelige partiklers hilemasser, og at forskellen m = m ny 2 m er bestemt af ( ) m m 2 = m ny 2 2 m 2 2 = 2 m 2 = 2 E u kin (4.90) )2 hor E kin er den kinetiske energi af én partikel. Den kinetiske energi af de to oprindelige partikler er altså omdannet til hilemasse i den nydannede partikel. 4.8 Lys Lys med frekens f er ifølge Einsteins forklaring af den fotoelektriske effekt en strøm af fotoner med energi E = h f (4.91) hor h er Planks konstant. Da fotonen er masseløs er den tilhørende impuls p = h f (4.92) Longitudinal Dopplereffekt Vi kan nu benytte transformationsegenskaberne for energi og impuls til at udlede Dopplereffekten for lys. I inertialsystemet S, hor lysgieren er i hile, udsendes lys i x -aksens retning med frekensen f og dermed energien

80 68 Relatiistisk dynamik: Indledning Mod iagttager Iagttager Væk fra iagttager y S y S y S x x x Figur 4.11: Ny udledning af Dopplereffekt.Der ses på to tilfælde: Kilde på ej mod iagttager og kilde på ej æk fra iagttager. E = h f og impulsen p x = h f. Se Fig. (4.11). I inertialsystemet S er energien da i tilfældet Mod iagttager E = E + p x ) = h f (4.93) som da E = h f umiddelbart gier f = f Tilfældet Væk fra iagttager er helt analogt, blot med fortegnsskift E = E p x ) = h f (4.94) (4.95) som dermed gier f = f (4.96) Ligningerne (4.94) og (4.96) er netop de tidligere udledte ligninger (3.85) og (3.87) for den longitudinale Dopplereffekt.

81 4.8 Lys Vilkårlig retning af lys His lyset udsendes efter en anden retning end x -aksen i systemet S, men stadig i x y -planen, har fotonen en impulskomponent både i x - og i y - retningen. Lad inklen fotonens impuls danner med x -aksen ære α. Da er E = h f (4.97) p x = h f os(α ) (4.98) p y = h f sin(α ) (4.99) Disse transformeres til inertialsystemet S, og resultatet er Af ligning (4.100) følger at frekensen f i S er E = h f 1 + os(α ) ) 2 (4.100) p x = h f os(α ) + ) 2 (4.101) p y = h f sin(α ) (4.102) f = f 1 + os(α ) ) (4.103) 2 Da der i inertialsystemet S gælder p x = h f os(α), hor α er den inkel, impulsen i S danner med x-aksen, kan i ed anendelse af ligningerne (4.101) og (4.103) finde sammenhængen mellem retningerne α og α os(α) = os(α ) os(α ) (4.104) For en lysgier, der udsender lys i alle retninger, og som beæger sig henimod en iagttager, ses at gælde ifølge ligning (4.104) os(α) os(α ). Vinklen α er dermed mindre end eller lig med inklen α og kun lig med for α = 0 α = π. His der udsendes lys med samme intensitet i alle retninger i kildens hilesystem S, il lyset af iagttageren ses at ære mere konentreret i forlæns retning. Denne effekt kaldes Relatiistisk beaming. Se Fig. (4.12). Den omendte ligning til ligning (4.104) er

82 70 Relatiistisk dynamik: Indledning /=-0.8 /=-09 α : inklen målt i S /=0.8 /= α' : inklen målt i S' Figur 4.12: Relatiistisk beaming. os(α ) = os(α) 1 os(α) (4.105) som kan benyttes i ligning (4.103), som dered blier ) 2 f = f 1 os(α) (4.106) Da α = π θ, hor θ er retningen i S til lysgieren (se Fig. (3.8) og Fig. (4.13)), blier ligning (4.106) ) 2 f = f 1 + os(θ) (4.107) Dette er netop det generelle relatiistiske udtryk for Dopplereffekten, i fandt tidligere (se ligning (3.97)).

83 4.8 Lys 71 Kilde θ α Iagttager Figur 4.13: Dopplereffekt forilkårlig retning til kilde.

84 72 Relatiistisk dynamik: Indledning

85 Kapitel 5 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer Dette kapitel gier eksempler på anendelse af relatiistisk dynamik i forbindelse med partikelproduktion og partikelhenfald. Der udledes isse bånd i forbindelse med disse proesser. Disse bånd er uafhængige af, hilke mekanismer der ligger bag proesserne. Til slut behandles massebearelse i urelatiistisk fysik. 5.1 Inarians For en enkelt partikel med hilemasse m er E 2 ( p) 2 = (m 2 ) 2, hor energi og impulse er målt i inertialsystemet S. I inertialsystemet S gælder tilsarende E 2 ( p ) 2 = (m 2 ) 2. Ds. for en enkelt partikel gælder, at E 2 ( p) 2 er inariant. Dette kunne i også ise direkte ed at se på, horledes (E, p) i S transformerer til (E, p ) i S og udregne de to størrelser i henholdsis S og i S. For et partikelsystem bestående af n partikler med her deres energi og impuls (E i, p i ), i = 1,..., n er den samlede energi og impuls (E, p) af partikelsystemet E = p = n E i (5.1) i=1 n p i (5.2) i=1 Da transformationen af energi og impuls fra S til S er lineær for her enkelt partikel, transformerer den samlede energi og impuls på helt samme måde 73

86 74 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer som energi og impuls for en enkelt partikel. Derfor il også 1 s = E 2 ( p) 2 = ( n ) 2 ( E i i=1 n ) 2 p i (5.3) i=1 ære inariant. Det er altså underordnet, om s udregnes i S eller i S. Partiklerne i ores system kan tænkes at reagere med hinanden, således at de partikler, i har i sluttilstanden, er forskellige fra de partikler, i har i begyndelsestilstanden. Men da energien og impulsen af partikelsystemet er bearede størrelser n 1 E beg i = n 2 i=1 j=1 n 1 n 2 p beg i = p slut i=1 j=1 E slut j (5.4) j (5.5) er ærdien af s også den samme før og efter en eentuel reaktion mellem partiklerne. Konklusionen er, at s ikke blot er uafhængig af i hilket inertialsystem, den udregnes i, men den er også uafhængig af, om den udregnes før eller efter, at en reaktion mellem partiklerne har fundet sted. Det har ofte i elementarpartikelfysik interesse at beskrie reaktioner mellem partikler i det speielle inertialsystem, hor den samlede impuls er nul. Dette inertialsystem betegnes CM-systemet (CM for enter of mass). I dette system blier s = ( n ) 2, i=1 ECM i altså kadratet på den samlede energi i CMsystemet. 5.2 Partikelproduktion Et typisk eksperiment i elementarpartikelfysik er at lade to partikler støde sammen for derefter at registrere de partikler, der blier produeret ed stødet A + B C + D + E + (5.6) Energi og impuls antages kendte for partiklerne A og B. For at afgøre om der er tilstrækkelig energi til rådighed til at produere partiklerne i sluttilstanden, er det mest hensigtsmæssigt at se på den samlede energi i CMsystemet. I CM-systemet er den samlede impuls jo nul, og dette kan opnås 1 Vi har ganske ist brugt symbolet s før (se ligning (3.2)), men der er i elementarpartikelfysik tradition for i denne situation at benytte s som her defineret. Det er en af de såkaldte Mandelstamariable.

87 5.2 Partikelproduktion 75 ed den speielle situation, hor alle partikler i dette system ligger stille således, at al deres energi er hileenergi. En nødendig betingelse for, at den ønskede reaktion kan finde sted, er derfor, at den samlede energi i CMsystemet er mindst lig summen af slutpartiklernes hileenergier. Den samlede energi i CM-systemet findes lettest ed at udregne den inariante størrelse s, da E CM = s. Lad os se på en speiel udgae af reaktionen i ligning (5.6), nemlig A + B A + B + C + D + (5.7) Masserne af partiklerne A og B er m A og m B. Summen af masserne for de nye partikler C, D,... er M. I laboratoriesystemet ligger partikkel B stille, og i ønsker at bestemme den mindste kinetiske energi E kin af partikel A, således at reaktionen er kinematisk mulig. Dette gøres ed at udregne den inariante størrelse s. For begyndelsessituationen udregnes s i LAB-systemet, og for slutsituationen udregnes s i CM-systemet. Mindste energi er den, hor alle partikler i slutsituationen har impulsen nul i CM-systemet. Vi får (E A + m B 2 ) 2 p A 2 2 = (m A + m B + M) 2 4 (5.8) hor E A er den totale energi af partikel A i LAB-systemet. Under anendelse af ligning (4.43) for partikel A bestemmes E A af denne ligning E A = 2 m A m B + 2 m A M + 2 m B M + M 2 2 m B 2 (5.9) Heraf findes E kin = E A m A 2 til E kin = M m B (m A + m B M) 2 (5.10) Lad os se på et eksperiment hor partikel A (beampartiklen) med masse m A og energi og impuls (E A, p A ) i laboratoriesystemet støder ind i den stationære partikel B (targetpartiklen) med masse m B og energi og impuls (m B 2, o) også i laboratoriesystemet. Vi finder s s = (E A + m B 2 ) 2 ( p A ) 2 (5.11) s = 2 m B 2 E A + (m A 2 ) 2 + (m B 2 ) 2 (5.12) Heraf følger E CM = 2 m B 2 E A + (m A 2 ) 2 + (m B 2 ) 2 (5.13)

88 76 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer Ligning (5.13) iser, at den portion energi, der er til rådighed til partikelproduktion, kun okser med kadratroden af laboratorieenergien af beampartiklen. Det il altså groft taget sige, at for at få ti gange så meget energi til rådighed, skal beampartiklens energi gøres hundrede gange så stor. Og det er dyrt!! Dette problem kan omgås ed at benytte to kolliderende beams, da man dered kan opnå at ære i CM-systemet fra start. Her er altså al den energi, man har giet de to partikler, til rådighed til partikelproduktion. Men ingen roser uden torne. Det er selfølgelig langt anskeligere at styre to beams igennem hinanden, end det er at ramme et stillestående target. Desuden il antallet af reaktioner pr. tid gå ned, da der il ære mange "forbiere". 5.3 Partikelhenfald En ustabil partikel A med hilemasse m A henfalder til to partikler B og C med hilemasser henholdsis m B og m C A B + C (5.14) I partikel A s hilesystem er impulserne af B og C lige store (men modsatrettede) ifølge impulsbearelsesloen. Lad denne fælles impulslængde ære p. Partiklernes energier betegnes henholdsis E A, E B og E C. For her af partiklerne B og C gælder Ligning (5.16) trækkes fra ligning (5.15), og i får E 2 B 2 p 2 = (m B 2 ) 2 (5.15) E 2 C 2 p 2 = (m C 2 ) 2 (5.16) E 2 B E 2 C = (E B + E C )(E B E C ) = (m B 2 ) 2 (m C 2 ) 2 (5.17) Energibearelsen medfører E B + E C = E A = m A 2 (5.18) Ligning (5.17) diideres med ligning (5.18), og følgende ligning dukker op E B E C = (m B 2 ) 2 (m C 2 ) 2 m A 2 (5.19) Ligningerne (5.18) og (5.19) løses med hensyn til E B og E C E B = m2 A + m2 B m2 C 2 m A 2 (5.20) E C = m2 A m2 B + m2 C 2 m A 2 (5.21)

89 5.4 Annihilation 77 Da i nu har fundet energierne af B og C, kan i også finde impulslængden p ed at benytte enten ligning (5.15) eller ligning (5.16). Resultatet er p = (m 2 A (m B + m C ) 2 )(m 2 A (m B m C ) 2 ) 2 m A (5.22) Bemærk at partiklerne B og C indgår symmetrisk i ligning (5.22). 5.4 Annihilation Ved reaktion mellem en partikel og dens antipartikel kan en mulig sluttilstand ære to fotoner. Et eksempel på dette er elektronpositronannihilation e + + e γ + γ (5.23) Partiklen og dens antipartikel har samme masse m. Vi ser på situationen i LAB-systemet, hor partiklen er i hile, og hor antipartiklen har energi E og impuls p. Fotonernes impulser er henholdsis p 1 og p 2, og deres energier er E 1 og E 2. Se Fig. (5.1). y p 1 x p θ φ Figur 5.1: Partikel-antipartikelannihilation til to fotoner. Sammenhængen mellem impuls og energi for en masseløs partikel som fotonen er som bekendt E = p. Energi- og impulsbearelse gier følgende tre ligninger m 2 + E = E 1 + E 2 (5.24) p = E 1 os(θ) + E 2 os(φ) (5.25) 0 = E 1 sin(θ) E 2 sin(φ) (5.26) p 2

90 78 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer Vi ønsker at finde fotonenergien E 1 som funktion af inklen θ for fast ærdi af den indkommende antipartikels energi E. Af ligning (5.26) findes os(φ) = ± E 1 E 2 ) 2 sin 2 (θ) (5.27) Dette indsættes i ligning (5.25), og der rumsteres ( ) 2 ( p E 1 E os(θ) = 2 2 ) ) E E 2 sin 2 (θ) Med brug af E 2 = m 2 + E E 1 fra ligning (5.24) kan i nu finde E 1 (5.28) E 1 = m 2 (m 2 + E) m 2 + E p os(θ) (5.29) Tilsarende findes den anden fotons energi E 2 = m 2 (m 2 + E) m 2 + E p os(φ) (5.30) Det ses, at E 1 er maksimal for θ = 0 o, altså med fotonens impuls i forlæns retning. E 1 er minimal for θ = 180 o, ds. fotonens impuls er bagudrettet. For θ = 0 o er φ = 180 o, og for θ = 180 o er φ = 0 o, således at maksimal energi for den ene foton sarer til minimal energi for den anden foton og ie ersa. Den maksimale og den minimale energi er, idet i benytter p = E 2 m 2 4 E maks = E min = m 2 (m 2 + E) m 2 + E E 2 m 2 4 (5.31) m 2 (m 2 + E) m 2 + E + E 2 m 2 4 (5.32) For lae hastigheder af antipartiklen er E m 2 og p m, således at E 1 = E 2 m 2 2 m 2 2 m 2 = m 2 (5.33) uafhængig af inklen θ. For meget store hastigheder af antipartiklen er E m 2 og p E. For den mindste energi af fotonen gælder da E min = m 2 (m 2 + E) m 2 + E + E 2 m 2 4 m 2 E 2 E = 1 2 m 2 (5.34)

91 5.5 CM-system og LAB-system 79 og dermed også E max E m 2 (5.35) 5.5 CM-system og LAB-system For et eksperiment, der udføres med et stillestående target og en beampartikel med høj energi, måles de spredte eller de produerede partikler naturligt i laboratoriesystemet, LAB-systemet. Men ed mange teoretiske oerejelser foretrækkes CM-systemet. Det er derfor igtigt at kunne transformere fysiske størrelser fra det ene system til det andet. For at kunne gøre det er det nødendigt at kende de to systemers hastighed i forhold til hinanden udtrykt ed de releante kinematiske ariable. Lad beampartiklens masse ære m b og dens impuls p L og den dertil hørende energi E L i LAB-systemet. Targetpartiklens masse er m t, og dens impuls er nul i LAB-systemet. Ved at transformere til CM-systemet findes impulserne her at ære (i ser her kun på x/x -retningen) p b = p L E 2 L ) (5.36) 2 p t = m t ) 2 (5.37) hor er CM-systemets hastighed i forhold til LAB-systemet. Da CM-systemet er defineret ed, at den samlede impuls i dette system skal ære nul, skal følgende ære opfyldt p L E 2 L ) + m t 2 ) = 0 (5.38) 2 Heraf findes p L = (5.39) m t + E L 2 Ved at anende ligning (4.43) omskries dette til = E 2 L (m b 2 ) 2 E L + m t 2 (5.40) Af denne ligning ses umiddelbart <, og dermed har en fysisk realistisk ærdi. For m b = m t blier ligning (5.40) = E L m t 2 (5.41) E L + m t 2

92 80 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer Blandt de partikler, som reaktionen resulterer i, ser i nu på en bestemt partikel, som i il kalde Ny. Lad denne partikel beæge sig i xy-planen i LAB-systemet og lad dens beægelsesretning ære giet ed den inkel θ LAB, som dens impuls danner med x-aksen. Den tilsarende inkel θ CM i CMsystemet kan da findes af den tidligere udledte formel, ligning (3.58), idet i nu benytter sammenhængen mellem den nye partikels hastighed u Ny, impuls p Ny og energi E Ny (se ligning (4.44)) alle målt i LAB-systemet u Ny x = 2 E Ny pny os(θ LAB ) (5.42) u Ny y = 2 E Ny pny sin(θ LAB ) (5.43) hor p Ny = p Ny. Ved en lille omskrining finder i, at inklen θ LAB er fastlagt ed ) 2 p Ny sin(θ LAB ) tan(θ CM ) = p Ny os(θ LAB ) (5.44) E Ny 2 Den urelatiistiske grænse Ligning (5.39) kan i den urelatiistiske grænse, ds. for lae beamenergier, hor E L m b 2 og p L m b b, approksimeres ed m b b (5.45) m t + m b som netop er det sædanlige urelatiistiske udtryk for massemidtpunktets hastighed i denne situation. Tilsarende fås i denne grænse at ligning (5.44) under anendelse af E Ny m Ny 2 og p Ny m Ny u Ny, hor m Ny, u Ny og E Ny henholdsis er den nye partikels masse, fart og energi i LAB-systemet, kan approksimeres ed tan(θ CM ) uny sin(θ LAB ) u Ny os(θ LAB ) som også er det sædanlige urelatiistiske resultat da u CM = ( ) ulab os(θ u LAB = LAB ) u LAB sin(θ LAB ) (5.46) (5.47) som anendt i ores problem, hor u LAB er farten u Ny for partiklen Ny, netop medfører tan(θ CM ) = uny sin(θ LAB ) (5.48) u Ny os(θ LAB )

93 5.6 Massebearelse i urelatiistisk fysik Massebearelse i urelatiistisk fysik I den relatiistiske beskrielse af fysiske fænomener har i nu set, at der ikke nødendigis er massebearelse ed alle proesser, idet en del af partiklernes hilemasse kan omdannes til energi, eller det kan ære den omendte proes, hor en del af energien omdannes til hilemasse. Vi il i dette afsnit se på sammenhængen mellem massebearelse, Galileitransformation og impulsbearelse samt bearelse af kinetisk energi ed elastiske stød i urelatiistisk fysik Massebearelse og impulsbearelse Der er på sædanlig is to inertialsystemer S og S, hor S beæger sig med hastighed i forhold til S. Lad der ære giet n partikler som ekselirker med hinanden, og hor der efter ekselirkningen er N partikler. Partiklernes masser før ekselirkningen betegnes m i, i = 1,..., n, og partiklernes masser efter ekselirkningen betegnes M i, i = 1,..., N. Det antages, at massen af en partikel er en Galileiinariant størrelse. I systemet S er partiklernes hastighed før ekselirkningen u i, i = 1,..., n og efter ekselirkningen er deres hastighed w i, i = 1,..., N. Impulsbearelsen i systemet S betyder n N m i u i = M i w i (5.49) i=1 Ved at benytte Galileitransformationen for hastighed, u = u +, kan ligning (5.49) omskries til i=1 n N m i ( u i + ) = M i ( w i + ) (5.50) i=1 i=1 n m i u i + ( n ) N m i = M i w i + ( N ) M i (5.51) i=1 i=1 i=1 hor u i og w i betegner partiklernes hastigheder i S. Ved at benytte at der også er impulsbearelse i S, n N m i u i = M i w i (5.52) medfører ligning (5.51), at i=1 i=1 i=1 ( n ) ( N ) m i = M i (5.53) i=1 i=1

94 82 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer horaf fås n m i = i=1 N M i (5.54) Vi har altså ist, at impulsbearelse i alle inertialsystemer i kombination med Galileitransformationen medfører, at den samlede masse er en bearet størrelse. Vi bytter nu lidt rundt på forudsætninger og konklusion. Antag at der gælder massebearelse, Galileitransformation, og at impulsen er bearet i et bestemt inertialsystem S n N m i u i = M i w i (5.55) i=1 Impulsen i inertialsystemet S er da før, p f, henholdsis efter ekselirkningen, p e p f = p e = n m i ( u i + ) = i=1 i=1 i=1 n m i u i + ( n ) m i (5.56) i=1 N N M i ( w i + ) = M i w i + ( N ) M i (5.57) i=1 i=1 Med anendelse af impulsbearelse i S samt af massebearelse følger af ligningerne (5.56) og (5.57), at p f = p e, altså, at der er også er impulsbearelse i alle andre inertialsystemer Massebearelse og kinetisk energi For et elastisk stød gælder pr. definition, at den kinetiske energi før og efter stødet er ens. I inertialsystemet S er denne betingelse i=1 i=1 1 2 n m i u 2 i = 1 2 i=1 N 2 M i w i i=1 (5.58) Ved at anende Galileitransformationen omskries dette til 1 2 n 2 m i u 1 ( n ) n i + m i 2 + m i u 2 i = 1 2 i=1 i=1 i=1 N 2 M i w 1 ( N ) N i + M i 2 + M i w 2 i (5.59) His stødet også kan betragtes som ærende elastisk i inertialsystemet S, kan i af ligning (5.59) slutte, at der gælder massebearelse, og at impulsen er bearet i systemet S. i=1 i=1 i=1

95 5.6 Massebearelse i urelatiistisk fysik 83 Igen bytter i nu lidt rundt på forudsætninger og konklusion. Vi går ud fra gyldigheden af Galileitransformationen, massebearelse samt impulsbearelse i inertialsystemet S. Lad os nu antage, at den kinetiske energi er bearet i systemet S E før kin = 1 2 n i=1 m i u i 2 = 1 2 N i=1 M i w i 2 = E efter kin (5.60) I inertialsystemet S er den kinetiske energi før og efter stødet henholdsis E før kin = 1 2 E efter kin = 1 2 n 2 m i u i i=1 N 2 M i w i i=1 = 1 2 = 1 2 n i=1 N i=1 m i u i M i w i ( n ) m i 2 + i=1 ( N ) M i 2 + i=1 n m i u i i=1 (5.61) N M i w i i=1 (5.62) Da i har antaget massebearelse og impulsbearelse i S, følger af ligningerne (5.61) og (5.62) at E før kin = Eefter kin, ds. den kinetiske energi er også bearet i inertialsystemet S. Stødet er altså også elastisk set fra S.

96 84 Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer

97 Kapitel 6 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen I dette kapitel behandles nogle konkrete anendelser af den relatiistiske beægelsesligning. De løsninger, i finder, il blie sammenlignet med de løsninger, i ille få ed en urelatiistisk behandling af problemet. 6.1 Ladet partikel i elektrisk felt Begyndelseshastighed nul Vi betragter en partikel med masse m og positi elektrisk ladning q, der befinder sig i et homogent tidsuafhængigt elektrisk felt E rettet efter x-aksen. Kraften på partiklen er F = q E i den positie x-akses retning. Partiklen blier dered aelereret i den positie x-akses retning. His partiklens begyndelseshastighed til tiden t = 0 er u = o, il partiklen foretage en retlinet beægelse langs x-aksen. Vi ønsker at bestemme partiklens hastighed og sted som funktion af tiden t. Da beægelsen foregår langs x-aksen, il i kun se på hastigheden i denne retning. Denne il blie betegnet u. Ifølge ligning (4.21) gælder m d dt ( u ) u = q E )2 (6.1) u u )2 m t (6.2) 85

98 86 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen hor E = E 1 og hor i har benyttet u(0) = 0. Hermed kan hastigheden som funktion af tiden bestemmmes ed at isolere u i ligning (6.2). Dette gier u = 1 + q E t m ( q E m ) 2 t 2 (6.3) Bemærk at ligning (6.3) kan omskries til u = t m q E ( 1 + t m q E ) 2 (6.4) Af ligning (6.4) ses, at der altid gælder u < og at u for t. ( ) 2 For meget små ærdier af t er og dermed er t m q E u = q E m t (6.5) som jo også er det resultat, i får ed en urelatiistisk regning. Stedet x som funktion af tiden t findes ed at bestemme stamfunktionen 2 til u i ligning (6.3) = m 2 q E u(t) dt = q E t m ( q E m ) 2 t 2 dt (6.6) ( q E ) 2 t2 + konstant (6.7) m Ligning (6.7) gier med begyndelsesbetingelsen x(0) = 0 x(t) = m 2 q E ( 1 + ( q E ) 2 t2 1) m (6.8) Det ses let, at ligning (6.8) kan omskries til (x + m 2 q E )2 ( m 2 t2 q E )2 ( m q E )2 = 1 (6.9) 1 For ikke at blande energien E sammen med længden af det elektriske felt, benyttes symbolet E her. 2 Benyt substitution.

99 6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 87 Da ligning (6.9) er ligningen for en hyperbel, kaldes denne beægelse for hyperbolsk beægelse. Analogt med beægelse med konstant kraft F i det urelatistiske tilfælde kan i også her finde en sammenhæng mellem hastighed og sted ed at eliminere tiden (eller ed at bruge arbejdssætningen). For en partikel med masse m gælder der urelatiistisk u 2 = 2 a x under forudsætning af begyndelseshastighed nul, og hor a = F er aelerationen, og x er den tilbagelagte ej. m Med brug af ligning (6.3) får i her i det relatiistiske tilfælde ( q E ) 2 t 2 = m ( u ) 2 ) u 2 (6.10) som ed indsættelse i ligning (6.8) gier den ønskede sammenhæng x = m 2 q E ( 1 u ) ) 1 2 (6.11) som omskries til m 2 ) = m 2 + q E x (6.12) u 2 Venstresiden i ligning (6.12) er partiklens energi E, således at denne ligning også kan udtrykkes ed E = m 2 + q E x (6.13) E = m 2 + E pot (6.14) idet tabet i potentiel energi for en ladet partikel i et homogent elektrisk felt netop er q E x, hor x er flytningen i feltretningen. Ved at benytte ligning (6.13) samt ligning (4.43) findes impulsen på stedet x p = m Vilkårlig begyndelseshastighed ( q E m 2 x) q E m 2 x (6.15) Vi ælger koordinatsystem, så det elektriske felt E er rettet efter x-aksen, og således at y- og z-akserne er fastlagt ed, at partiklens begyndelseshastighed u 0 får koordinaterne u 0 = (u 0x, u 0y, 0). Da kraften er rettet efter x-aksen, kan i i det følgende se bort fra beægelse i z-aksens retning og betragte problemet som et todimensionalt problem. Vi il derfor benytte betegnelserne

100 88 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen u = (u x, u y ), u 0 = (u 0x, u 0y ) samt sætte u 2 0 = u 2 0x + u 2 0y. Beægelsesligningen blier her m d u = q E dt (6.16) 1 u2 x +u2 y 2 som skreet ud i koordinater gier d dt u x 1 u2 x +u2 y d dt u y 2 = q E m (6.17) = 0 (6.18) 1 u2 x+u 2 y 2 hor der igen er benyttet E = E. Ligningerne (6.17) og (6.18) har med de gine begyndelsesbetingelser løsningen u x = 1 u2 x+u 2 y 2 u y q E m t + = 1 u2 x +u2 y 2 u 0x (6.19) 1 u2 0x +u2 0y 2 u 0y 1 u2 0x +u2 0y 2 (6.20) Det ses af ligning (6.20), at der er et bånd mellem u x og u y. Ved en lille regning kan dette udtrykkes ed u 2 y = u 2 1 u2 x 2 0y (6.21) 1 u2 0x 2 Ideen er nu at indsætte ligning (6.21) i ligning (6.19), men inden i gør det, il i se på indmaden af kadratroden, der indgår i ligning (6.19). Denne indmad kan ed brug af ligning (6.21) omskries til 1 u2 x + u 2 y 2 = u2 0 (1 ) (1 u2 2 x 2 ) (6.22) 1 u2 0x 2 Ligning (6.22) benyttes til omskrining af ligning (6.19), og følgende udtryk for u x opnås q E 1 u2 0 t + u m u x = 2 0x (6.23) 1 + ( q E m )2 (1 u2 0 ) t q E 1 u2 2 m 2 0 t u 2 0x

101 6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 89 Herefter kan i finde u y ed at benytte ligning (6.23) i ligning (6.21). Resultatet er u 0y u y = (6.24) 1 + ( q E m )2 (1 u2 0 ) t q E 1 u2 2 m 2 0 t u 2 0x Af udtrykket ligning (6.23) for u x ises let, at u x er en oksende funktion af t. Ligning (6.24) iser tilsarende, at u y er en aftagende funktion af t. Dette følger også af ligning (6.21), når i ed, at u x er en oksende funktion af t. Man ser endidere også let af ligning (6.23), at u x for t. Da farten u af partiklen skal ære mindre end, må gælde, at hastigheden u y i y-aksens retning blier mindre og mindre, efterhånden som t blier større og større. Relatiistisk gælder altså, at sel om der ikke irker en kraft i y- aksens retning, er hastigheden i denne retning ikke konstant, men aftagende. Dette il ikke gælde urelatiistisk. Men både i det relatiistiske og i det urelatiistiske tilfælde er impulsen i y-aksens retning konstant. Resultaterne i afsnittene (6.1.1) og (6.1.2) kan umiddelbart oersættes til tilsarende resultater for en partikel påirket af en konstant kraft F i x- aksens retning. I alle udtryk i de to nænte afsnit skal q E blot erstattes af F = F Begyndelseshastighed inkelret på E-felt y + u o E Figur 6.1: Ladet partikel i homogent og konstant elektrisk felt E. Begyndelseshastigheden u 0 er inkelret på E. Vi ser nu på det tilfælde, hor begyndelseshastigheden u o er rettet efter y- aksen og dermed inkelret på det elektriske felt E. Ds. u o = (0, u o ). Se Fig. x

102 90 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen (6.1). Dermed gier ligning (6.23) d x d t = Ved at indføre α = q E 1 u2 0 m 2 Heraf fås ed integration x = q E 1 u2 0 t m ( q E m )2 (1 u2 0 2 ) t 2 (6.25) ses, at ligning (6.25) er af formen d x d t = α t (6.26) 1 + α2 t 2 α t d t 1 + α2 t 2 = α d (1 + α 2 t 2 ) α 2 t 2 (6.27) x = α 1 + α2 t 2 + k (6.28) Med x = 0 for t = 0 er k =, således at i af ligning (6.28) får α α x + 1 = 1 + α 2 t 2 (6.29) α 2 2 x2 + x = 1 2 α t2 (6.30) som med udtrykket for α indsat gier følgende sammenhæng mellem x og t q E 2 m 2 x2 + 1 x = 1 u2 0 2 Dernæst ser i på bestemmelsen af y.hj.a. ligning (6.24) Ds. y = u 0 q E 2 m t2 (6.31) d y d t = u α2 t 2 (6.32) d t 1 + α2 t 2 = u 0 α ln(α t α 2 t 2 ) + k (6.33) Med y = 0 for t = 0 fås k = 0. Altså d t y = u α2 t = u 0 2 α ln(α t α 2 t 2 ) (6.34)

103 6.1 Ladet partikel i elektrisk felt 91 som med α indsat gier følgende sammenhæng mellem t og y [ ] m u 0 q E ( y = ln 1 u2 0 q E ) 2 u t (1 2 q E 1 u2 0 m 2 0 ) t m (6.35) For α t 1 kan indmaden til ln i ligning (6.34) til første orden i t approksimeres ed α t α 2 t 2 α t α2 t α t (6.36) således at 3 ln(α t α 2 t 2 ) α t (6.37) Dermed har i et approksimatit udtryk y i ligning (6.34) y = u 0 t (6.38) For små ærdier af t er x heller ikke særlig stor. Ds. i kan se bort fra x 2 -leddet i ligning (6.31). Dermed kan i finde et approksimatit udtryk for sammenhængen mellem t og x x = 1 u2 0 2 q E 2 m t2 (6.39) I ligning (6.39) erstatter i nu t med t = y u 0, se ligning (6.38), og finder dered sammenhængen mellem x og y for små ærdier af t q E x = 1 u2 0 y 2 (6.40) 2 2 m u 2 0 Banekuren blier altså en parabel. En urelatiistisk regning gier som bekendt i den her undersøgte situation m d2 x dt = q E x = 1 q E 2 2 m t2 (6.41) m d2 y dt = 0 2 y = u 0 t (6.42) horaf i finder banekuren x = q E y 2 2 m u 2 0 (6.43) som jo er et eksempel på den sædanlige kasteparabel. Den relatiistiske og den urelatiistiske kasteparabel afiger fra hinanden ed koeffiienten til y 2. For u 0 er to koeffiienter som forentet identiske. 3 Benyt at for x 1 gælder ln(1 + x) x.

104 92 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen Aeleration af ustabil partikel Vi forestiller os, at i i laboratoriet har produeret et antal ustabile partikler med leetid 4 τ o. Disse partikler ønskes ha. et konstant elektrisk felt E aelereret fra hile op til en bestemt slutenergi E = n m 2, som er n gange en partikels hileenergi. His feltstyrken er lille, il det tage lang tid, og mange af partiklerne il ære henfaldet, inden kraftpåirkningen kan nå at få dem op på den ønskede energi. For at en bestemt brøkdel f af disse partikler oerleer, skal feltstyrken hae en bestemt størrelse. Denne ærdi af E = E il i nu finde. Sammenhængen mellem et tidsforløb dτ i partiklens hilesystem og det tilsarende tidsforløb dt i laboratoriesystemet er dτ = dt u )2 (6.44) hor u er partiklens øjeblikkelige hastighed. Ved hjælp af ligning (6.3) fås u )2 = således at ligning (6.44) kan omskries til ( ) q E 2 m t 2 1 dτ = dt 1 + ( ) q E 2 m t 2 (6.45) (6.46) Dermed kan sammenhængen mellem det samlede tidsforløb τ i partiklens hilesystem og tidsforløbet t i laboratoriesystemet findes ed integration τ = τ Resultatet af integrationen er 0 dτ = t ( ) dt (6.47) q E 2 m t 2 τ = m q E ln ( t + t 2 + ( m m q E q E ) 2 ) (6.48) Kraet om, at slutenergien skal ære n gange partiklens hileenergi, medfører, at n kan udtrykkes ed slutfarten u s E = n m 2 = m 2 u s ) 2 (6.49) 4 Leetiden hænger sammen med haleringstiden T 1 2 ia T 1 2 = ln(2) τ o.

105 6.2 Det skrå kast 93 n = 1 u s ) 2 (6.50) Ved hjælp af ligningerne (6.45) og (6.50) kan i finde den nødendige tid t i laboratoriesystemet for at aelerere partiklen op til den ønskede energi n = 1 + ( q E ) 2 t2 (6.51) m t = m q E n2 1 (6.52) Ligning (6.52) benyttes nu i ligning (6.48), og i får sammenhængen mellem tiden τ målt i partiklens hilesystem og den ønskede slutenergi angiet ed faktoren n. Resultatet er τ = m q E ln(n + n 2 1) (6.53) Da antallet af endnu ikke henfaldne partikler kan findes af henfaldsloen, er det nu muligt ed hjælp af ligning (6.53) at finde den nødendige feltstyrke for, at brøkdelen f af partikler oerleer aelerationen e τ τo > f (6.54) τ < τ o ln(f) (6.55) E > m q τ o ln(f) ln(n + n 2 1) (6.56) Ligning (6.56) er det ønskede resultat. (Husk f < 1 derfor er ln(f) < 0, og E blier positi). 6.2 Det skrå kast Vi il i dette afsnit se på den relatiistiske behandling af det skrå kast. For at kunne sammenligne direkte med den sædanlige urelatiistiske behandling af det skrå kast ælger i at beskrie beægelsen i et koordinatsystem med en y-akse, his retning er modsat den konstante kraft F, der påirker partiklen. Ds. F = (0, F ). Til tiden t = 0 er partiklen i punktet (0, 0) og har hastigheden u 0 = (u 0x, u 0y ) = u 0 (os(θ), sin(θ)), hor θ er den inkel, begyndelseshastigheden danner med x-aksen. Se Fig. (6.2).

106 94 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen y u 0 u θ F Figur 6.2: Det skrå kast. x Banekuren Beægelsesligningerne, der skal løses, er d dt d dt u x = 0 (6.57) 1 u2 x +u2 y 2 u y 1 u2 x +u2 y 2 = F m (6.58) Løsningen til disse ligninger foretages helt på samme måde som i afsnit Resultatet er u x = u y = u 0x 1 + ( F m )2 (1 u2 0 2 ) t 2 2 F m 2 1 u2 0 2 t u 0y (6.59) F m 1 u2 0 2 t + u 0y 1 + ( F m )2 (1 u2 0 2 ) t 2 2 F m 2 1 u2 0 2 t u 0y (6.60) Vi kan nu finde stedet som funktion af tiden ed integration af ligningerne (6.59) og (6.60). For x-koordinaten fås efter en lille omskrining

107 6.2 Det skrå kast 95 = x(t) = F m t 0 u 0x 1 u2 0 2 u 0x dt 1 + ( F m )2 ( 1 u2 0 2 ) t2 2 F m 2 1 u2 0 2 t u 0y t 0 d ( ) F 1 u2 0 t u m 2 0y ( ) 2 F 1 u2 0 t u m 2 0y + 2 u 2 0y (6.61) Ved opslag i en integraltabel findes 1 x2 + a dx = ln x + x 2 + a (6.62) Da integralet i ligning (6.61) netop er af denne form, finder i x(t) = F m u 0x 1 u2 0 2 For y-koordinaten fås tilsarende y(t) = ( ) ( 2 F 1 u2 0 t u m 2 0y + 2 u 2 0y + F 1 u2 0 ) t u m 2 0y ln u 0y t 0 ( F m 1 u2 0 2 t + u 0y ) dt 1 + ( F m )2 (1 u2 0 2 ) t 2 2 F m 2 1 u2 0 2 t u 0y (6.63) = F m 1 u2 0 2 t 0 ( d 2 ( F m F m 1 u2 0 2 t + u 0y ) 2 1 u2 0 2 t + u 0y ) u 2 0y (6.64) Dette integral kan umiddelbart findes, og resultatet for y(t) er ( ) ( ) y(t) = F 1 u2 2 0 m F 1 u2 0 t + u 2 0y + 2 u 2 0y m 2 (6.65) Dermed er banekuren for partiklen bestemt. Se Fig. (6.3).

108 96 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen u 0 /=0.8, θ=60 o u 0 /=0.8, θ=45 o u 0 /=0.8, θ=30 o data1 data2 y y y y x u 0 /=0.5, θ=60 o y x u 0 /=0.5, θ=45 o y x u 0 /=0.5, θ=30 o data1 data x x x Figur 6.3: Banekuren for det skrå kast. Data1 er den relatiistiske banekure. Data2 er den klassiske banekure. Kurerne er tegnet for to forskellige ærdier af begyndelsesfarten og for tre forskellige ærdier af begyndelseshastighedens inkel med x-aksen. Arbitrær akseinddeling. Bemærk at i alle tilfældene er både den relatiistiske kastelængde og den relatiistiske maksimale højde større end den tilsarende klassiske størrelse. Ved at eliminere t fra ligningerne (6.63) og (6.65) kan i finde en ligning for banekuren. Af ligning (6.63) fås efter nogen regning F ( 1 u2 0 m t+u F ) ( 2 0y = u 0y osh 1 u2 0 m u 0x x F ) sinh 1 u2 0 2 m u 0x x 2 (6.66) Dette resultat indsættes i ligning (6.65). Under anendelse af sinh 2 () = 1 fås efter en del regneri den ønskede ligning osh 2 ()

109 6.2 Det skrå kast 97 y = ( m 2 ( F ) 1 osh 1 u2 0 F 1 u2 0 m u 0x x + u 0y 2 2 ( sinh F m u 0x ) ) 1 u2 0 x 2 (6.67) Denne ligning er ikke ligningen for en parabel, som jo ille ære det resultat, en urelatiistisk regning ille hae giet Nogle resultater for det skrå kast I dette underafsnit il i udlede nogle resultater for det skrå kast og sammenligne disse med tilsarende resultater for en urelatiistisk regning. Maksimale højde. Den maksimale højde y max under kastet er karakteriseret ed at u y = 0. Af ligning (6.60) findes tidspunktet t 1, hor dette sker t 1 = m u 0y (6.68) F 1 u2 0 2 Højden y til dette tidspunkt findes af ligning (6.65) y max = y(t 1 ) = m F 1 u2 0 2 ( ) 2 u 2 0y (6.69) Dette resultat for den maksimale højde kan i sammenligne med den maksimale højde ed det sædanlige skrå kast, hor tyngdekraften antages at ære konstant og af formen F = m g for u 0. I denne approksimation fås af ligning (6.69) y max = y(t 1 ) m 2 1 u2 0 2 ( ) 1 1 u g u 2 1 0y 2 2 = u2 0 sin 2 (θ) 2 g m g (6.70) hilket netop er det klassiske resultat for maksimalhøjden for det skrå kast. Vi kan lae et energihek af ores resultat for maksimalhøjden. Til tiden t = t 1 kan i finde hastigheden i x-aksens retning ed at benytte ligning

110 98 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen (6.59) 5 u 0x u x = (6.71) 1 u2 0y 2 Da, der her gælder u y = 0, er den totale relatiistiske energi i toppen af banekuren E top = m 2 1 u2 2 = m 2 1 u2 0y 2 1 u2 0 2 (6.72) Energien i toppen af banekuren kan også findes ed at se på kraftens arbejde på turen op. Dette arbejde er A = F y max. Energien i toppen skal da også ære giet ed m 2 1 u2 0y hor E 0 = E top = E 0 F y max = m 2 1 u2 0 2 benyttet ligning (6.69). m 2 1 u2 2 = 2 1 u2 0 2 (6.73) er begyndelsesenergien af partiklen, og hor i også har De to ligninger (6.72) og (6.73) stemmer heldigis oerens. Kastelængden. Kastelængden x max for det relatiistiske skrå kast opnås til det tidspunkt t 2, hor y = 0. Af ligning (6.65) findes t 2 = 0 t 2 = 2 m u 0y (6.74) F 1 u2 0 2 t 2 = 0 er løsningen, der hører til starten af kastet. Den interessante løsning er derfor t 2 = 2 m u 0y (6.75) F 1 u2 0 2 Bemærk at der også i det relatiistiske tilfælde gælder t 2 = 2 t 1. Altså at turen op tager lige så lang tid som turen ned. Kastelængden findes nu ed at indsætte t 2 i ligning (6.63) x max = x(t 2 ) = m u ( 0x + u0y ) ln (6.76) F 1 u2 0 u 0y 2 5 Bemærk at hastigheden i x-aksens retning ikke er konstant sel om, der ikke irker en kraft i denne retning.

111 6.2 Det skrå kast 99 Også dette resultat sammenlignes med det urelatiistiske resultat for kastelængden. Ved at benytte at for x 1 gælder ln ( 1+x 1 x) 2 x, fås af ligning (6.76) x max = x(t 2 ) m u 0x m g 1 u2 0 2 ( 1 + u 0y ) ln 1 u 0y u 0x g 2 u 0y = 2 u 0x u 0y g = u2 0 sin(2 θ) g som netop er det sædanlige urelatiistiske resultat for det skrå kast. (6.77) Til tiden t = t 2 findes hastigheden af ligningerne (6.59) og (6.60): u x = u 0x og u y = u 0y. Dette er samme resultat som i det urelatiistiske tilfælde. For fast ærdi af begyndelsesfarten u 0 il i nu forsøge at finde den inkel, hastighedsektoren skal danne med x-aksen for at få den største kastelængde. Af ligning (6.76) ses, at inkelafhængigheden er bestemt af funktionen ( 1 + β sin(θ) ) f(θ) = os(θ) ln 1 β sin(θ) (6.78) hor β = u 0. For at finde maksimum af denne funktion differentieres den mht. θ, og differentialkotienten sættes lig nul. Dered fås ligningen ( 1 + β sin(θ) ) 2 os 2 (θ) sin(θ) ln + β 1 β sin(θ) 1 β 2 sin 2 (θ) = 0 (6.79) Denne ligning har ingen analytisk løsning, men må løses numerisk. I modsætning til det urelatiistiske tilfælde hor den største kastelængde fås for θ = 45 o for alle ærdier af u 0, er inklen, der gier den største kastelængde i det relatiistiske tilfælde, afhængig af begyndelsesfarten. Se Fig. (6.4). Hastighedsbegrænsning. Af udtrykket for u x ligning (6.59) ses let, at u x er oksende for 0 t t 1 og aftagende for t t 1. Endidere ses at gælde u x (t) 0 for t (6.80) I det urelatiistiske tilfælde er u x som bekendt konstant.

112 100 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen θ u 0 / Figur 6.4: Vinklen θ (målt i grader) der gier den største kastelængde som funktion af begyndelsesfarten. Af udtrykket for u y ligning (6.60) ses, at u y er aftagende for alle t. Endidere ses at gælde u y (t) for t (6.81) I det urelatiistiske tilfælde er u y u y (t) for t. også aftagende for alle t, men her il Ved direkte udregning af farten u ha. ligningerne (6.59) og (6.60) får i u < for alle ærdier af t. His dette ikke hade æret opfyldt, ille i hae haft et problem! Relatiitetsteorien rækker længst. For fast ærdi af begyndelsesfarten u 0 il i se på forskellen mellem den relatiistiske kastelængde og den urela-

113 6.3 Ladet partikel i magnetfelt 101 tiistiske kastelængde x = x rel max x urel max = F m u 2 0 u 2 ( 0y ln 1 u2 0 2 ( u 1+ 0y 1 u 0y ) 2 u 0y Parentesen i oenstående ligning er en funktion af formen 1 u2 0 2 ) (6.82) f(z) = ln ( ) 1+z 1 z 2 z 1 u2 0 2 for 0 z < 1 (6.83) med differentialkotienten f (z) = 2 1 z u2 0 2 (6.84) Der gælder f (z) > 0, således at f er oksende. Endidere er f(0) = 0. Altså er f(z) > 0 for z > 0, og dermed er x > 0. Heraf følger, at den relatiistiske kastelængde er større end den urelatiistiske kastelængde. Tilsarende ses på forskellen på de to maksimalhøjder ( y = y rel max y urel max = F m 2 1 u u2 0y u 2 0y 2 1 u2 0 2 ) (6.85) Lad os på parentesen i oenstående ligning. Denne indeholder en funktion af formen g(z) = 1 1 z 1 z 1 u2 0 for 0 z < 1 (6.86) 2 2 med differentialkotienten g 1 (z) = 2 1 z 1 1 u2 0 (6.87) 2 2 Der gælder g (z) > 0, således at g er oksende. Endidere er g(0) = 0. Altså er y > 0, og dermed er den relatiistiske maksimalhøjde større end den urelatiistiske maksimalhøjde. 6.3 Ladet partikel i magnetfelt En partikel med masse m og elektrisk ladning q sendes ind i et område med et tidsuafhængigt homogent magnetfelt B. Beægelsesligningen er d dt m u u )2 = q u B (6.88)

114 102 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen Da kraften er inkelret på hastigheden, er farten konstant, og i kan derfor trække kadratroden udenfor differentiationen således, at ligning (6.88) omskries til d dt u = α u B (6.89) hor α q m u )2 (6.90) Ligning (6.89) er helt den samme ligning som i det urelatiistiske tilfælde m blot med den forskel, at m er erstattet af 1 ( u. Løsningen er defor også )2 af samme form. Altså i B-feltets retning fortsætter partiklen med konstant hastighed, og inkelret på B-feltet er beægelsen en jæn irkelbebeægelse. Men lad os nu gennemføre regnestykket i detaljer. Vi ælger koordinatsystem så z-aksen går i B-feltets retning: B = (0, 0, B). Hermed blier u B = (B u y, B u x, 0), og ligning (6.89) er i koordinater d u x = α B u y dt (6.91) d u y = α B u x dt (6.92) d u z = 0 dt (6.93) Ligning (6.93) gier umiddelbart, at hastigheden i z-retningen er konstant u z = u oz (6.94) hor u oz er begyndelseshastigheden i z-aksens retning. Ds.beægelsen i z- aksens retning er en jæn beægelse. Ligningerne (6.91) og (6.92) kobler. Ved differentiation af ligning (6.91) mht. t og anendelse af ligning (6.92) fås hor Ligning (6.95) har løsningen d 2 u x dt 2 = ω 2 u x (6.95) ω α B (6.96) Ligningerne (6.92) og (6.97) gier u x (t) = A os(ω t + δ) (6.97) u y = A sin(ω t + δ) (6.98)

115 6.3 Ladet partikel i magnetfelt 103 Stedkoordinaterne x og y findes ed integration af ligningerne (6.97) og (6.98) x(t) = A ω sin(ω t + δ) + 1 (6.99) y(t) = A ω os(ω t + δ) + 2 (6.100) Ds. i xy-planen har i en jæn irkelbeægelse med radius A ω, inkelhastighed ω og entrum i ( 1, 2 ). Hele banekuren kan altså karakteriseres ed at ære en skruelinje (eller helix). Se Fig. (6.5) z 15 z y x 0 1 Figur 6.5: Ladet partikels beægelse i magnetfelt. Banekuren er en skruelinje. Akseinddelingen er arbitrær. Omløbstiden T er T = 2 π ω = 2 π m (6.101) q B u )2

116 104 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen I løbet af en omgang i irkelbeægelsen il forskydningen z, skruehøjden, i z-aksens retning ære z = u 0z T = 2 π m u 0z (6.102) q B u )2 Konstanterne A, δ, 1 og 2 bestemmes af begyndelsesbetingelserne. Lad disse ære x(0) = y(0) = 0, u x (0) = 0 og u y = u oy. Med disse ærdier blier ligningerne (6.99) og (6.100) Radius i irklen er x(t) = u oy ω y(t) = u oy ω os(ω t) + u oy ω (6.103) sin(ω t) (6.104) r = u oy ω = m u oy q B u )2 = p oy q B (6.105) hor p oy er partiklens startimpuls i y-retningen. Denne er også hele partiklens startimpuls i xy-planen. Længden af impulsektoren er uændret under hele beægelsen. Endidere er impulsen i z-retningen konstant. Derfor er længden af impulsektorens projektion på xy-planen konstant, således at ligning (6.105) kan skries r = p xy (6.106) q B 6.4 Relatiistisk raket Vi il i det følgende se på en raket, der beæger sig efter x-aksen i inertialsystemet S. Fremdriften af raketten foregår ed, at der sendes noget masse i form af en gas ud af raketten i den negatie x-akses retning. Denne gas antages at hae den konstante hastighed o i forhold til raketten målt i rakettens hilesystem. Lad raketten hae den øjeblikkelige hastighed u målt i inertialsystemet S. Se Fig. (6.6). Dermed blier gassens hastighed u g i systemet S u g = u o 1 u (6.107) o 2 Raketten befinder sig langt æk fra alle andre legemer, således at raket plus gas udgør et isolereret system. Rakettens startmasse er m 1, og dens slutmasse er m 2. Rakettens starthastighed er u 1, og dens sluthastighed er u 2. Vi

117 6.4 Relatiistisk raket 105 y S u x Figur 6.6: Raketfremdrift i feltfrit område. ønsker at finde sammenhængen mellem disse fire størrelser. Dette gøres ed at benytte energi- og impulsbearelse for systemet raket+gas: Ændringen i rakettens energi/impuls er lig minus ændringen i gassens energi/impuls. Lad den udsendte gasmængde i et ist tidsrum ære m og lad rakettens øjeblikkelige masse ære m. Følgende to ligninger kan da opstilles for energi- og impulsbalanen d ( m 2 u m 2 ) = )2 ug )2 (6.108) d ( m u ) m u u = g )2 ug )2 (6.109) Ved at diidere ligning (6.109) med ligning (6.108) falder m ud, og i får d ( ) m u 1 ( u )2 d ( ) = u m g (6.110) 1 ( u )2 Differentialerne i ligning (6.110) udregnes ( u u 1 ( u dm + m d ) ) )2 1 ( u )2 1 dm + m d ( ) = u 1 g (6.111) 1 ( u )2 1 ( u )2 Ved at benytte ligning (6.107) samt d ( u ) 1 u = ( du (6.112) )2 u )2) 3 2 d ( 1 ) u u = ( 2 du (6.113) )2 u )2) 3 2

118 106 Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen kan ligning (6.111) omskries til Ligning (6.114) integreres m2 m 1 dm o m = du u (6.114) )2 dm u2 o m = u 1 du u )2 (6.115) og i får [ ] m2 o ln(m) m 1 = [ ( 1 + u )] u2 ln 2 1 u (6.116) u 1 His i antager, at u 1 = 0, altså at raketten starter i hile i inertialsystemet S, får i et lidt simplere regnestykke. Sluthastigheden u 2 findes af ligning (6.116) u 2 = m 2 m 1 ) 2 o (6.117) 1 + ( m 2 m 1 ) 2 o For o fås, at u 2 i ligning (6.117) kan aproksimeres til 6 u ln( m 2 m 1 ) ln( m 2 m 1 ) o ln ( m 1 ) m 2 som jo også det resultat, en urelatiistisk regning gier. (6.118) Lad os nu forestille os, at gassen, der ble sendt ud, ar en fotongas. Fotonernes frekens er f, og der udsendes n fotoner i et giet tidsrum. Ligningerne (6.108) og (6.109) blier da ændret til d ( m 2 ) u = n h f )2 (6.119) d ( m u ) h f u = n )2 (6.120) Ved at benytte helt samme metode som før får i her ligningen dm m = du u )2 (6.121) Denne ligning kan igen løses ed integration, og med samme betingelser som før fås her for u 2 u2 = m 2 m 1 ) ( m (6.122) 2 m 1 ) 2 som er det samme, som i ille få af ligning (6.117) ed at sætte o =. 6 Benyt at for x 1 gælder a x 1 + x ln(a).

119 Kapitel 7 Elektriske og magnetiske felter Elektriske og magnetiske felter spiller allerede fra starten af Einsteins oerejelser om rum og tid en entral rolle for udiklingen af den speielle relatiitetsteori. Einstein funderer oer, at det er lige meget om en magnet beæger sig forbi en stationær leder, eller om, det er lederen, der beæger sig forbi en stationær magnet. Den iagttagne elektriske strøm, der genereres, er den samme. Endidere stod det med formuleringen af Maxwells ligninger klart, at lys er udbredelse af elektriske og magnetiske felter i rummet, og med Einsteins forkastelse af æterteorien, ble det ligeledes klart, at disse felter ikke behøer et medium for at kunne udbrede sig, men også kan udbrede sig i det tomme rum. Da et af grundpostulaterne i den speielle relatiitetsteori er, at alle inertialsystemer er lige gode, il i i dette kapitel undersøge, horledes elektriske og magnetiske felter transformerer fra et inertialsystem til et andet inertialsystem. 7.1 Transformationsformlerne For at finde transformationsformlerne for det elektriske felt E og for det magnetiske felt B går i ud fra, at Lorentzkraften i de to inertialsystemer S og S er giet ed henholdsis F = q ( E + u B) (7.1) F = q ( E + u B ) (7.2) hor u og u er partiklens hastighed i henholdsis S og S. Tilsarende notation for kræfter og felter. Det er endidere antaget, at den elektriske ladning q af partiklen er inariant. Lad os se på x -komponenten af F F x = q (E x + u y B z u z B y) (7.3) 107

120 108 Elektriske og magnetiske felter Hastighederne målt i S ligning (7.3) kan skries kan udtrykkes ed hastighederne i S, således at F x = q ( E x + u y )2 1 B ux z u z )2 ) 1 B ux y 2 2 (7.4) Vi kan også finde F x af ligning (7.1) ed at benytte transformationsformlen ligning (4.77) for kraft F x = F x u F 2 1 (7.5) ux 2 F x = q (E x + u y B z u z B y 2 (u x E x + u y E y + u z E z )) 1 ux 2 (7.6) Ved i ligningerne (7.4) og (7.6) at sammenligne de hastighedsuafhængige led og de led, der afhænger af henholdsis u y og af u z, fås 1 samt For F y fås på samme måde E x = E x (7.7) B y = B y + E 2 z (7.8) )2 B z = B z E 2 y (7.9) )2 F y = q (E y + u z B x u x B z) (7.10) F y = q ( E y + u z )2 1 ux 2 B x u x 1 ux 2 ) B z (7.11) F y kan også findes ed at benytte krafttransformationsformlen ligning (4.80) for F y F y = q (E y + u z B x u x B z ) )2 1 ux 2 (7.12) Ved at sammenholde led med u z i ligningerne(7.11) og (7.12) ses, at der gælder B x = B x (7.13) 1 Det forudsættes, at hastigheden u ikke indgår i transformationsformlerne.

121 7.1 Transformationsformlerne 109 Fra ligning (7.9) kender i B z. Dette indsættes i ligning (7.11) og led uden u z i ligningerne (7.11) og (7.12) sammenlignes. Dette gier E y B z E 2 y u x )2 1 = (E y u x B z ) )2 ux 1 (7.14) ux 2 2 som efter lidt regning medfører Vi ser dernæst på F z E y = E y B z (7.15) )2 F z = q (E z + u x B y u y B x) (7.16) som efter brug af hastighedstransformationen gier F z = q ( E z + u x 1 ux 2 B y u y 1 ux 2 Ved transformation af F z ed brug af ligning (4.81) fås ) 2 ) B x (7.17) F z = q (E z + u x B y u y B x ) )2 1 ux 2 (7.18) Fra ligning (7.8) kendes B y. Dette indsættes i ligning (7.17), og led uden u y sammenlignes i ligningerne (7.17) og (7.18), hored i får E z + B y + E 2 z u x )2 1 = (E z + u x B y ) )2 ux 1 (7.19) ux 2 2 som efter lidt regning gier E z = E z + B y (7.20) )2 Lad os samle de opnåede resultater for transformation af det elektriske og det magnetiske felt fra inertialsystemet S til inertialsystemet S E x = E x B x = B x E y = E y B z )2 B y = B y + E 2 z )2 E z = E z + B y (7.21) )2 B z = B z 2 E y )2 (7.22)

122 110 Elektriske og magnetiske felter og de tilsarende formler for transformationen fra S til S E x = E x B x = B x E y = E y + B z E z = E z B y (7.23) )2 )2 B y = B y E 2 z B z = B z + E 2 y (7.24) )2 )2 7.2 Konsekenser af transformationsformlerne Inariante størrelser Det ses ed direkte udregning, at følgende størrelser er inariante E 2 2 B 2 = E 2 2 B 2 (7.25) samt E B = E B (7.26) Ligning (7.26) iser, at his det elektriske felt og det magnetiske felt er ortogonale i inertialsystemet S, er de også ortogonale i inertialsystemet S Speialtilfældet E = o For E = o og B ilkårlig følger umiddelbart af ligningerne (7.21) og (7.22) E x = 0 E y = B z )2 E z = B x = B x B y = B y )2 B z = B y (7.27) )2 B z (7.28) )2 Af disse to ligninger ses, at det der i inertialsystemet S kun er et magnetisk felt, i inertialsystemet S er både et magnetisk felt og et elektrisk felt. Da = i og B = B x i + B y j + B z k, hor i, j og k er de sædanlige basisektorer i rumdelen af inertialsystemet S, er B = B y k Bz j. Ligningerne (7.27) og (7.28) kan dered i dette tilfælde sammenfattes ed E = 1 ) B = B (7.29) 2

123 7.3 Den kørende stang Speialtilfældet B = o For B = o og E ilkårlig følger umiddelbart af ligningerne (7.21) og (7.22) E x = E x E y = B x = 0 B y = E y E z )2 (7.30) E )2 z = E 2 z B )2 z = E 2 y (7.31) )2 Af disse to ligninger ses, at det, der i inertialsystemet S kun er et elektrisk felt, i inertialsystemet S både er et elektrisk felt og et magnetisk felt. Da = i og E = E x i + E y j + E z k, er E = Ey k Ez j. I dette speialtilfælde kan ligningerne (7.30) og (7.31) dered sammenskries til B = 1 2 E 1 = )2 E (7.32) Den kørende stang Vi il se på en meget lang stang med positi elektrisk ladning homogent påsmurt. I inertialsystemet S, hor stangen er i hile, er ladningstætheden, ladning pr. længde, λ o. I S er der kun et elektrisk felt rettet radialt æk fra x -aksen. For et punkt beliggende i x y -planen med y > 0 er det elektriske felt i y -aksens retning E y = λ o (7.33) 2 π ɛ o r hor r er afstanden fra det pågældende punkt til x -aksen. Inertialsystemet S beæger sig med hastighed i forhold til inertialsystemet S (se Fig. (7.1)), og derfor blier ladningstætheden λ i S på grund af Lorentzforkortningen λ = λ o ) (7.34) 2 Denne ladningsfordeling gier også i S et elektrisk felt i det gine punkt rettet efter y-aksen E y = λ o 2 π ɛ o r ) (7.35) 2

124 112 Elektriske og magnetiske felter y S y S x, x Figur 7.1: Kørende stang med elektrisk ladning. Men i S får i også et magnetfelt fra Biot-Saarts lo, idet i i dette inertialsystem har en elektisk strøm i x-aksens retning med stømstyrke I = λ o ) (7.36) 2 Magnetfeltet i det gine punkt er B z = µ o 2 π λ o r ) (7.37) 2 hor r er afstanden fra punktet til x-aksen. Da afstande inkelrette på x, x - akserne er ens i S og S er r = r. Vi kan også finde E y og B z ed at benytte de fundne transformationsregler for elektriske og magnetiske felter ligningerne (7.23) og (7.24) samt ligning (7.33). Dette gier E y = E y + B z ) = 2 λ o 2 π ɛ o r ) (7.38) 2 samt B z = B z + E 2 y ) = µ o 2 2 π λ o r ) (7.39) 2 hor i også har benyttet B z = 0. Ligningerne (7.38) og (7.39) er præis de samme som ligningerne (7.35) og (7.37).

125 7.4 Ladet partikel med konstant hastighed Ladet partikel med konstant hastighed En partikel med elektrisk ladning q beæger sig med konstant hastighed efter x-aksens retning i inertialsystemet S. Se Fig. (7.2). y P E q θ r B x z Figur 7.2: Det elektriske og det magnetiske felt fra ladning med konstant hastighed langs x-aksen. I partiklens hilesystem S er i punktet P (x, y, z ) til alle tider det elektriske felt giet ed Coulombfeltet, og det magnetiske felt er nul E = q 4 π ɛ 0 r r = q 1 4 π ɛ 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x, y, z ) (7.40) B = o (7.41) hor r er stedektoren til P i S. Vi il finde det elektriske felt og det magnetiske felt i inertialsystemet S til tiden t = 0. Af transformationsformlerne for felterne ligningerne (7.23) og

126 114 Elektriske og magnetiske felter (7.24) får i E x = E y = E z = q x 4 π ɛ 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 q 1 4 π ɛ 0 q 1 4 π ɛ 0 ) 2 y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 ) 2 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (7.42) B x = 0 B y = 2 B z = 2 q 1 4 π ɛ 0 q 1 4 π ɛ 0 ) 2 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 ) 2 y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (7.43) Af disse to ligningssæt ses, at der gælder B = 1 2 E (7.44) Til t = 0 er P i S beskreet ed r = (x, y, z) og i S ed x = x ) y = y z = z (t = x 2 2 ) 2 ) (7.45) Ligning (7.45) benyttes i ligning (7.42), og i får det elektriske felt (og dermed også det magnetiske felt) i punktet P i systemets udelukkende beskreet ed koordinater angiet i S. Først foretages en lille omskrining af x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = = = 1 ) 2 x 2 + y 2 + z ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) + (1 1 ) 2 ) (y 2 + z 2 ) ) 2 r 2 ( ) 2 sin 2 (θ)) (7.46)

127 7.4 Ladet partikel med konstant hastighed 115 hor θ er inklen mellem og r. Denne mellemregning anendes i ligning (7.42), og i får med r = r E x = E y = q ( ) 2) x 4 π ɛ 0 r 3 ( ) 2 sin 2 (θ)) 3 2 q ( ) 2) y 4 π ɛ 0 r 3 ( ) 2 sin 2 (θ)) 3 2 E z = q ( ) 2) z 4 π ɛ 0 r 3 ( ) 2 sin 2 (θ)) 3 2 (7.47) Ds. E er rettet radiært æk fra ladningens øjeblikkelige position. B-feltets retning er pga. krydsproduktet både inkelret på og r og har samme længde for alle r, der fås ed at roterere r rundt om x-aksen med fast åbningsinkel (som på en kegle). Ds. B-feltet er for alle disse r tangent til den dered fremkomne irkel. Se Fig. (7.2). Endidere ses af inkelafhængigheden θ, at det elektriske felt er størst for θ = 90 o, altså i retninger inkelrette på ladningens beægelsesretning, og det elektriske felt er mindst i og modsat beægelsesretningen. 2 Længden af det elektriske felt er nemlig E = q ( 1 ) 2 4 π ɛ 0 r ( 2 ) 2 sin 2 (θ) ) 3 2 (7.48) For B-feltet kommer der yderligere en formindskende θ-afhængighed ia krydsproduktet i ligning (7.44). Dered blier længden af B-feltet B = q 4 π ɛ 0 ( ( 1 ) 2 ) sin(θ) r ( 2 ) 2 sin 2 (θ) ) 3 2 (7.49) Se Fig. (7.3). Bemærk at både E og B er symmetriske omkring θ = 90 o, og at B = o i både forlæns og baglæns retning, ds. for θ = 0 o og θ = 180 o. 2 Disse betragtninger gælder til ethet tidspunkt i inertialsystemet S. Vi har af regnemæssige bekemmelighedsgrunde algt at se på situationen for t = 0, men som det ses, indgår tiden ikke i ores konklusion.

128 116 Elektriske og magnetiske felter 1.5 Elektrisk felt 1 Magnetisk felt a a a b b 3b E/E 0 1 4a θ B/B b θ Figur 7.3: Det elektriske og det magnetiske felt for en ladet partikel, der beæger sig med farten i x-aksens retning som funktion af inklen θ. Felterne er skalerede med henholdsis E 0 = q q 4 π ɛ 0 og B r 2 0 = 4 π ɛ 0. r 2 1.række: = 0, 2.række: = 0.25, 3.række: = 0.50, 4.række: = 0.75.

129 Kapitel 8 Inarians af Maxwells ligninger Vi har i kapitel 4 set, at kraene, der fører frem til Lorentztransformationen, medfører, at den Newtonske mekanik skal ændres. Det iste sig nødendigt at indføre en ny definition af impuls. Dermed ble Newtons 2. lo justeret, og i fik en teori for den relatiistiske mekanik, der gælder i alle inertialsystemer. Vi skal nu undersøge, om Lorentztransformationen også medfører at elektrodynamikken, som den er beskreet ed Maxwells ligninger, også skal ændres. Resultatet af disse undersøgelser er, at Maxwells ligninger er inariante under en Lorentztransformation. 8.1 Maxwells ligninger i akuum Maxwells ligninger i akuum har som bekendt formen E = 0 (8.1) B = 0 (8.2) E = B t (8.3) E B = µ o ɛ o t (8.4) 117

130 118 Inarians af Maxwells ligninger Skreet ud i koordinater lyder de E x x + E y y + E z z = 0 (8.5) B x x + B y y + B z z = 0 (8.6) E z y E y z = B x t (8.7) E x z E z x = B y t (8.8) E y x E x y = B z t (8.9) B z y B y z = µ o ɛ o E x t (8.10) B x z B z x = µ E y o ɛ o t (8.11) B y x B x y = µ E z o ɛ o t (8.12) Vi ønsker at ise, at Maxwells ligninger har samme form i alle inertialsystemer. Lorentztransformationen fra inertialsystemet S til inertialsystemet S il i dette afsnit blie skreet på formen x = γ (x t) y = y z = z t = γ (t 2 x) (8.13) hor γ = 1 ) (8.14) 2

131 8.1 Maxwells ligninger i akuum 119 Lad en fysisk størrelse F ære en funktion af t og x samt y og z. Da t og x er funktioner af t og x som angiet i ligning (8.14), gælder ifølge kædereglen Endidere gælder F t = F t t t + F x x t = F γ F t x γ (8.15) F x = F t t x + F x x x = F t 2 γ + F x γ (8.16) F y = F (8.17) y F z = F (8.18) z Ved at benytte transformationsreglerne for det elektriske felt og for det magnetiske felt (se ligningerne (7.23) til (7.24)) samt oenstående differentiationsregler omskries ligning (8.7) y (γ (E z B y)) z (γ (E y + B z)) = (γ t B x γ x B x) ( E z y E y z Ligeledes omskries ligning (8.6) 2 γ B x t + γ B x x 2 ( E z y E y z + B ) x ( B x + B y t x y + B z z ) = 0 (8.19) + ( ( γ B y y )) ( ( 2 E z + γ B z z + )) 2 E y = 0 + B ) x ( B + x + B y t x y + B z z ) = 0 (8.20) His ligningerne (8.19) og (8.20) skal gælde for alle, må følgende ære opfyldt B x x + B y y + B z z = 0 (8.21) E z y E y z = B x t (8.22)

132 120 Inarians af Maxwells ligninger Men ligningerne (8.21) og (8.22) er jo netop to af Maxwells ligninger (8.6) og (8.7) opskreet i inertialsystemet S. Ds. disse to ligninger er Lorentzinariante. Ligning (8.8) omskries E x z [ ( γ (E t z B y) ( [ t ( γ ( B y 2 E z E x ] x (γ (E z B y)γ ) ] γ ) ) γ + 2 ) ( ( γ γ B x y 2 E z = (8.23) E z = B y (8.24) z x t Ligning (8.24) Maxwells ligning (8.8) i inertialsystemet S. Igen er inariansen af en Maxwellligning hermed ist. Inariansen af ligning (8.9) kan gennemføres helt analogt. Dernæst ser i på ligning (8.5) med udnyttelse af 2 = 1 µ o ɛ o E x t 2 γ + E x x γ + y (γ(e y + B z)) + z (γ(e z B y)) = 0 ( E x x + E y y + E ) z ( B + z z y B y z 1 2 E x t ) = 0 ( E x x + E y y + E ) z ( B + z z y B y z Endelig får ligning (8.10) samme behandling µ o ɛ o E x t ) = 0 (8.25) ( ( γ B y z + )) ( ( 2 E y γ B z y )) ( E 2 E z = x µo ɛ o γ E x γ ) t x ( E x + E y 2 x y + E ) z ( B + z z y B y z µ o ɛ o E x t ) = 0 (8.26) His ligningerne (8.25) og (8.26) skal gælde for alle, må følgende ære opfyldt E x x + E y y + E z z = 0 (8.27) B z y B y z = µ o ɛ o E x t (8.28) Ligningerne (8.27) og (8.28) er netop Maxwellligningerne (8.5) og (8.10). Altså igen er det ist, at to af Maxwllligningerne er Lorentzinariante. De resterende ligningers inarians ises på samme måde.

133 8.2 Ladningstæthed og strømtæthed Ladningstæthed og strømtæthed Lad os betragte et system af ladninger i beægelse i et inertialsystem S. Ladningernes hastighed i S er u. I ladningernes hilesystem er ladningstætheden ρ o. På grund af Lorentzforkortningen i beægelsesretningen (se ligning (3.62)) er ladningstætheden ρ i inertialsystemt S da Strømtætheden j blier derfor i dette inertialsystem 1 ρ = ρ o ) (8.29) u 2 u j = ρ u = ρ o ) (8.30) u 2 Vi il nu finde transformationsreglerne for ladningstæthed og strømtæthed ed oergang mellem to inertialsystemer S og S, hor S beæger sig med hastighed i forhold til S. Til brug for dette benytter i hastighedstransformationen ligningerne (3.36) til (3.38) samt relationen (se ligningerne (4.55) til (4.57)) Først omskries ρ u ) 2 = ) 2 u ) u x 2 (8.31) 1 ρ = ρ o ) = u 2 o ( u 1 ρ ) 2 + ρ o u 2 x ( u ) 2 1 ) 2 ρ = Dernæst på samme måde ρ + j 2 x ) (8.32) 2 j x = ρ o u x ) = u 2 ρ o u x ( u 1 ) 2 + o ( u ) 2 1 ρ ) 2 j x = j x + ρ ) (8.33) 2

134 122 Inarians af Maxwells ligninger For j y og j z ses at gælde j y = j z = ρ o u y ) = u 2 ρ o u z ) = u 2 ρ o u y u ) 2 = j y (8.34) ρ o u z u ) = j z (8.35) 2 Altså har i j y = j y (8.36) j z = j z (8.37) Vi kan hermed konkludere, at (ρ, j x, j y, j z ) transformerer på samme måde som (t, x, y, z) under en Lorentztransformation. Endidere kan i slutte, at ( ρ) 2 j 2 er inariant. Den blier ( ρ) 2 j 2 = 2 ρ 2 o (8.38) 8.3 Maxwells ligninger med kilder Maxwells ligninger med kilder er E = ρ ɛ o (8.39) B = 0 (8.40) E = B t (8.41) E B = µ o j + µ o ɛ o t (8.42)

135 8.3 Maxwells ligninger med kilder 123 På koordinatform er de E x x + E y y + E z z = ρ ɛ o (8.43) B x x + B y y + B z z = 0 (8.44) E z y E y z = B x t (8.45) E x z E z x = B y t (8.46) E y x E x y = B z t (8.47) B z y B y z = µ o j x + µ o ɛ o E x t (8.48) B x z B z x = µ E y o j y + µ o ɛ o t (8.49) B y x B x y = µ E z o j z + µ o ɛ o t (8.50) Vi skal nu ise Lorentzinariansen af ligningerne (8.43) til (8.50). Fremgangsmåden er den samme som i det kildefrie tilfælde. Omskriningen af ligning (8.43) gier i forhold til før blot et ekstra led, der hidrører fra transformationen af ρ ligning (8.32). Resultatet er, idet i igen benytter 2 = 1 µ o ɛ o ( E x x + E y y + E z ρ ) ( B + z B y µ z ɛ o y z o j x E ) x µ o ɛ o = 0 (8.51) t Ved omskriningen af ligning (8.48) benyttes ligning (8.33) til at udtrykke µ o j x ed de målte størrelser i inertialsystemet S. Resultatet er 2 ( E x x + E y y + E z z ρ ɛ o ) + ( B z y B y z µ o j x µ o ɛ o E x t ) = 0 (8.52)

136 124 Inarians af Maxwells ligninger Da ligningerne (8.51) og (8.52) skal gælde for alle, slutter i E x x + E y y + E z z = ρ ɛ o (8.53) B z y B y z = µ o j x + µ o ɛ o E x t (8.54) Hilket netop er Maxwellligningerne (8.43) og (8.48) i inertialsystemet S. Ligning (8.49) omskries analogt med (8.48). Efter nogen rumsteren rundt fås her B x z B E z (1 µ x o ɛ o 2 ) γ 2 y ( ( ) 2 ) = µ o ɛ o 1 γ 2 + µ t o j y (8.55) Ved at udnytte (1 µ o ɛ o 2 ) γ 2 omskries til B x = ( ) 2 ) γ 2 = 1 kan ligning (8.55) B E z = µ z x o j y y + µ o ɛ o (8.56) t som netop er Maxwelligning (8.49) i S. Ligning (8.50) behandles helt analogt med dette. Ligningerne (8.44) til (8.47) ises helt som før i det kildefrie tilfælde. Konklusionen er, at også Maxwells ligninger med kilder er af samme form i alle inertialsystemet. Ds. disse ligninger er Lorentzinariante. 8.4 Bølgeligningen Bølgeligningen for det elektriske og for det magnetiske felt er en følge af Maxwells ligninger (8.1) til (8.4) og ( 2 x y z 2 ) E µo ɛ o 2 t 2 E = 0 (8.57) ( 2 x y z 2 ) B µo ɛ o 2 t 2 B = 0 (8.58) Da disse bølgeligninger udeledes direkte fra Maxwells ligninger, og da Maxwells ligninger er Lorentzinariante, har bølgeligningen samme form i alle inertialsystemer, og dermed er udbredelsesfarten for de elektromagnetiske bølger også den samme i alle inertialsystemer i oerensstemmelse med den grundlæggende antagelse i relatiitetsteorien, nemlig at lysets fart har samme ærdi i alle inertialsystemer.

137 Kapitel 9 Fireektorer Vi il i dette kapitel indføre et nyt begreb, som kan ære meget nyttigt ed både teoretiske og konkrete regninger i relatiitetsteorien. Den nye størrelse i il indføre er fireektoren, som er analog til den sædanlige ektor i planen eller rummet. For sædanlige ektorer er skalarproduktet ofte en bekem størrelse at ty til ed både teoretiske og konkrete beregninger. Ligeledes er længder (eller afstande) i planen eller i rummet jo sædanligis ia skalarproduktet giet ed a = a a a 2 3, ds. ektorens længde kadreret er a 2 = a a a 2 3, som tydeligt er en positi definit størrelse. For fireektorer il i nu indføre tilsarende størrelser. 9.1 Definition af fireektor Lorentztransformationen ligning (2.25) til ligning (2.28) for tid og sted minder på mange måder om koordinatskifte ed en drejning af koordinatsystemet i den sædanlige plan. His koordinatsystemet K fremkommer ed en drejning bestemt ed inklen θ af koordinatsystemet K, kan et punkt P i planen som bekendt beskries ed både et koordinatsæt (x, y) i K og ed et koordinatsæt (x, y ) i K. Se fig. (9.1). Sammenhængen mellem de to koordinatsæt er x = x os(θ) + y sin(θ) (9.1) y = x sin(θ) + y os(θ) (9.2) eller skreet på matrixform ( ) ( ) ( ) x os(θ) sin(θ) x y = sin(θ) os(θ) y (9.3) 125

138 126 Fireektorer y K y K P x θ x Figur 9.1: Rotation af koordinatsystem. Koordinaterne x og y og tilsarende koordinaterne x og y har samme dimension således, at koeffiienterne os(θ) og sin(θ), der bestemmer koordinatskiftet, er dimensionsløse. Koeffiienterne, der bestemmer Lorentztransformationen fra S til S, er ikke dimensionsløse, men i kan skaffe os et nyt sæt ariable i stedet for t, x, y og z i S og tilsarende t, x, y og z i S, som har dimensionsløse koeffiienter for den transformation, der beskrier koordinatskiftet fra S til S. Ligningerne (2.25) og (2.28) omskries til t = x = t x ) 2 (9.4) x t ) 2 (9.5) Ds. sættet ( t, x) transformerer til sættet ( t, x ) med dimensionsløse koeffiienter. y og z har som sædanlig den triielle transformation y = y og z = z. I stedet for sættet ( t, x, y, z) il i benytte sættet (x 0, x 1, x 2, x 3 ) defineret ed (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = ( t, x, y, z) (9.6) Endidere il i benytte standardforkortelserne γ = 1 ) og β = 2 (9.7)

139 9.1 Definition af fireektor 127 Transformationen fra (x 0, x 1, x 2, x 3 ) til (x 0, x 1, x 2, x 3 ) kan nu skries på matrixform x 0 γ β γ 0 0 x 0 x 1 β γ γ 0 0 x 1 x 2 x 3 = x 2 x 3 (9.8) Matrien i ligning (9.8) betegnes Λ. Række- og søjleindeks har ærdierne 0, 1, 2, 3. De enkelte elementer i Λ betegnes Λ ρ σ, således at rækkeindeks ρ skries øerst, og søjleindeks σ skries nederst. Værdierne for Λ ρ σ er Λ 0 0 = Λ 1 1 = γ, Λ 0 1 = Λ 1 0 = β γ, Λ 2 2 = Λ 3 3 = 1, og de resterende elementer af Λ er alle nul. Den omendte transformation fra inertialsystemet S til S har den inerse matrix Λ som transformationsmatrix 1 γ β γ 0 0 γ β γ 0 0 β γ γ 0 0 β γ γ = (9.9) Altså x 0 γ β γ 0 0 x 0 x 1 x 2 = β γ γ 0 0 x x 2 (9.10) x x 3 Matrien Λ, der beskrier den generelle Lorentztransformation fra inertialsystemet S til inertialsystemet S uden drejning af de rumlige koordinatakser, aflæses af ligningerne (2.57) og (2.58) at ære γ γ β 1 γ β 2 γ β 3 γ β Λ µ ν = (γ 1) β2 1 (γ 1) β 1 β 2 (γ 1) β 1 β 3 β 2 β 2 β 2 γ β 2 (γ 1) β 1 β (γ 1) β2 β 2 2 (γ 1) β 2 β 3 β 2 β 2 (9.11) γ β 3 (γ 1) β 1 β 3 (γ 1) β 2 β (γ 1) β2 β 2 β 2 3 β 2 hor β = (β 1, β 2, β 3 ) = ( x, y, z ) og β2 = β 2. Matrien Λ ses at ære symmetrisk, ds. Λ µ ν = Λ ν µ. En fysisk størrelse A med fire komponenter (A 0, A 1, A 2, A 3 ), der ed transformation fra et inertialsystem til et andet inertialsystem transformerer som

140 128 Fireektorer (x 0, x 1, x 2, x 3 ), kaldes en fireektor. Altså transformationen 1 for (A 0, A 1, A 2, A 3 ) er A 0 γ β γ 0 0 A 0 A 1 A 2 = β γ γ 0 0 A A 2 (9.12) A A 3 0 te komponenten af A, A 0, kaldes tidsdelen af A, og de sidste tre komponenter af A kaldes rumdelen af A og skries ofte som A = (A 1, A 2, A 3 ). Eksempler på fireektorer udoer (x 0, x 1, x 2, x 3 ) er sættet bestemt af en partikels energi og impuls ( E, p) = ( E, p x, p y, p z ) kaldet fireimpulsen, se afsnit (9.6), samt sættet bestemt af ladningstæthed og strømtæthed ( ρ, j) = ( ρ, j x, j y, j z ) kaldet firestrømtætheden. Se afsnit (8.2) for horledes ρ og j transformerer. Endidere il i se i afsnit (9.10), at bølgeektoren for en harmonisk bølge indgår i en fireektor. 9.2 Regning med fireektorer Summen af to fireektorer A = (A 0, A 1, A 2, A 3 ) og B = (B 0, B 1, B 2, B 3 ) defineres ed komponentis summation, ds. A+B = (A 0 +B 0, A 1 +B 1, A 2 + B 2, A 3 + B 3 ). Ligeledes defineres et tal λ gange en fireektor ed λ A = (λ A 0, λ A 1, λ A 2, λ A 3 ), ds. komponentis multiplikation med λ. Det ises let, at både A + B og λ A opfylder betingelsen for at ære fireektorer, da transformationen ligning (9.12) er lineær. Det er en umiddelbar følge af en fireektors transformationsegenskab (ligning (9.12)) at A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 = A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 (9.13) Det il altså sige at A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 er en inariant størrelse under transformationen ligning (9.12). Størrelsen A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 er analog til en sædanlig ektors længde kadreret, men i modsætning til denne er den ikke positi definit, men indefinit. Ved at indføre metrikken g µν defineret ed matrixformen af den g µν = Vi ser på standardtransformationen her. (9.14)

141 9.3 Skalarprodukt 129 kan den inariante størrelse A 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 skries 3 3 g µν A µ A ν = A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 µ=0 ν=0 (9.15) og denne kan gøres yderligere kompakt ed at benytte Einsteins summationskonention 3 3 g µν A µ A ν = g µν A µ A ν (9.16) µ=0 ν=0 hor udeladelsen af et summationstegn pr. definition betyder, at his et indeks forekommer både foroen og forneden skal der summeres fra 0 til 3. Ved hjælp af denne summationskonention kan transformationen ligning (9.12) også skries A µ = Λ µ ν A ν (9.17) At størrelsen s 2 er Lorentzinariant stiller et kra til Λ, som ses af følgende regnestykke s 2 = s 2 g ν µ x ν x µ = g ρ σ x ρ x σ g ν µ Λ ν ρ x ρ Λ µ σ x σ = g ρ σ x ρ x σ (9.18) Da ligning (9.18) skal gælde for alle fireektorer x ρ, skal matrien Λ opfylde kraet g ν µ Λ ν ρ Λ µ σ = g ρ σ (9.19) 9.3 Skalarprodukt Ved hjælp af metrikken g µν kan i også indføre et skalarprodukt A B mellem to fireektorer A og B ed definitionen A B = g µν A µ B ν = A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 (9.20) For dette skalarprodukt ises let A B = B A og A (B + C) = A B + A C. Størrelsen g µν A µ A ν er altså skalarproduktet af A med sig sel. Dette betegnes også A 2 = A A (9.21)

142 130 Fireektorer Vi har tidligere ist, at A 2 er inariant. Ved anendelse af dette iser følgende regning, at også skalarproduktet mellem to fireektorer er inariant (A + B) 2 = A 2 + B A B (9.22) da det heraf fremgår, at skalarproduktet kan udtrykkes ed inariante størrelser. Afhængig af fortegnet for A 2 gies A følgende nane > 0 A siges at ære tidsagtig A 2 = 0 A siges at ære lysagtig (9.23) < 0 A siges at ære rumagtig Sætning 1. Lad A ære en tidsagtig fireektor. Da findes et inertialsystem, så det for rumdelen af A gælder A = o. Beis. Vi drejer den rumlige del af inertialsystemet, så i får et inertialsystem S med A = (A 0, A 1, 0, 0), hor A 0 > A 1, da A er tidsagtig. Det i søger, er et inertialsystem S med hastighed i forhold til S så A = o. Dette kra medfører A 1 = γ (A 1 β A 0 ) = 0 (9.24) β = A1 A 0 (9.25) β < 1 (9.26) da A 0 > A 1. Ds. det er altid muligt at finde et inertialsystem, således at rumdelen af fireektoren A er nulektoren. Sætning 2. Lad A og B ære tidsagtige fireektorer med positie tidskomponenter. Da er A B > 0. Endidere er A + B tidsagtig med positi tidskomponent. Beis. At tidskomponenten af summen er positi er oplagt. I følge forudsætningen er A 0 > A og B 0 > B. Heraf følger A 0 > A B 0 > B (9.27) A 0 B 0 > A B (9.28) A 0 B 0 A B > 0 (9.29)

143 9.3 Skalarprodukt 131 Ds. der gælder A B > 0. Vi udregner nu (A + B) 2 (A + B) 2 = A 2 + B A B > 0 (9.30) At udtrykket i (9.30) er positit følger af forudsætningen om, at A og B er tidsagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu ist, at A + B er tidsagtig med positi tidskomponent. Sætning 3. Lad A ære en tidsagtig fireektor og B en lysagtig fireektor, begge med positie tidskomponenter. Da er A B > 0. Endidere er A + B tidsagtig med positi tidskomponent. Beis. At tidskomponenten af summen er positi er oplagt. I følge forudsætningen er A 0 > A og B 0 = B. Heraf følger Ds. der gælder A B > 0. Vi udregner nu (A + B) 2 A 0 > A B 0 = B (9.31) A 0 B 0 > A B (9.32) A 0 B 0 A B > 0 (9.33) (A + B) 2 = A 2 + B A B > 0 (9.34) At udtrykket i (9.34) er positit følger af forudsætningen om, at A er tidsagtig, og at B er lysagtig samt første del af sætningen. Vi har altså nu ist, at A + B er tidsagtig med positi tidskomponent. Sætning 4. Lad A og B ære lysagtige fireektorer med positie tidskomponenter. Da er A B 0. Endidere er A + B lysagtig, his inklen mellem rumdelene af A og B er nul, ellers er summen tidsagtig. I begge tilfælde er tidskomponenten positi. Beis. At tidskomponenten af summen er positi er oplagt. I følge forudsætningen er A 0 = A og B 0 = B. Heraf følger A B = A 0 B 0 (1 os(θ)) hor θ er inklen mellem A og B. Dette iser at A B 0. Igen udregnes (A + B) 2, som her gier (A + B) 2 = A 2 + B A B 0 (9.35) At udtrykket i (9.35) er positit eller nul følger af forudsætningen om, at A og B er lysagtige samt første del af sætningen. Vi har altså nu ist, at A + B er tidsagtig eller lysagtig med positi tidskomponent. A+B er lysagtig, netop når θ = 0.

144 132 Fireektorer Inarians For skalarproduktet gælder følgende Sætning 5. Lad A ære en ilkårlig fireektor og B ære et talsæt (B 0, B 1, B 2, B 3 ) for hilket det gælder, at skalarproduktet A B er en inariant størrelse. Da er B en fireektor. Beis. At A B er inariant betyder A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 = A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 (9.36) hor således at ligning (9.36) blier A 0 = γ(a 0 β A 1 ) (9.37) A 1 = γ(a 1 β A 0 ) (9.38) A 2 = A 2 A 3 = A 3 (9.39) (9.40) A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 = γ(a 0 β A 1 ) B 0 γ(a 1 β A 0 ) B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 (9.41) His ligning (9.41) skal gælde for alle fireektorer A kan i ælge A 0 = A 1 = A 2 = 0. Heraf fås B 3 = B 3. His i ælger A 0 = A 1 = A 3 = 0 fås tilsarende B 2 = B 2. Ligning (9.41) blier dermed A 0 B 0 A 1 B 1 = γ(a 0 β A 1 ) B 0 γ(a 1 β A 0 ) B 1 (9.42) som omskries til A 0 B 0 A 1 B 1 = A 0 γ(b 0 + β B 1 ) A 1 γ(b 1 + β B 0 ) (9.43) heraf aflæses de resterende transformationsegenskaber for B B 0 = γ(b 0 + β B 1 ) (9.44) B 1 = γ(b 1 + β B 0 ) (9.45) Vi har nu ist, at B transformerer som en fireektor, og dermed per definition er en fireektor. (Egentlig har i den omendte transformation til den i ligningerne (9.37) til (9.40)).

145 9.4 Firehastighed Firehastighed Som i tidligere har set i afsnit (3.3) har hastigheden temmelig kedelige transformationsegenskaber sammenlignet med f.eks. tid og sted, der jo transformerer ed den kendte (og derfor pæne!) Lorentztransformation. Men i il nu definere en ny størrelse ha. en partikels hastighed u, som har pæne transformationsegenskaber. Denne størrelse er firehastigheden U defineret for en partikel med hilemasse forskellig fra nul ed U = (U 0, U 1, U 2, U 3 ) = ( γ, γ u) (9.46) Lad os se på rumdelen af U: U = γ u, hor u = d x. γ-faktoren er giet d t ed forholdet mellem tidsforløbet d t i inertialsystemet S og det tilsarende tidsforløb d τ, egentiden, i partiklens hilesystem, inertialsystemet S. Ds. 1 γ = 1 ( = d t. Altså er )2 U d τ = d x d τ Tilsarende gælder for tidskomponenten af U, at U 0 = d t d τ (9.47) (9.48) Ds. U = ( d t d τ, d x ) (9.49) d τ Da d τ er inariant, og da ( d t, d x) transformerer som ( t, x), er U også en fireektor. For U 0 2 U 2 fås ed direkte udregning altså som entet en inariant størrelse. U 0 2 U 2 = 2 (9.50) 9.5 Fireaeleration I lighed med indførelsen af firehastigheden U indfører i nu en fireaeleration, A, ed definitionen A = d U (9.51) d τ Da U er en fireektor og d τ er en inariant størrelse, er fireaelerationen en fireektor, som nanet jo lægger op til.

146 134 Fireektorer A kan angies.hj.a. den sædanlige hastighed u og den sædanlige aeleration a = d u. For at gøre dette ser i på højre side af ligning (9.51) d t d U d τ = d t d τ d U ( d t = γ d γ d t, d γ d t d u ) u + γ d t (9.52) For d γ d t fås d γ d t = γ3 1 2 u a (9.53) således at det søgte udtryk for fireaelerationen blier A = ( 1 γ4 u a, γ 2 4 u a ) a + γ u 2 (9.54) Da U 2 = 2, se ligning (9.50), er 2 U d U = 0. Ds. U A = 0. Firehastigheden d τ og fireaelerationen er altså ortogonale. 9.6 Fireimpuls Definition af fireimpuls Ved at gange firehastigheden U med partiklens masse m fås en ny fireektor P P = m U = ( E, p) (9.55) som kaldes fireimpulsen. Da i nu ed, at fireimpulsen er en fireektor, kan i umiddelbart opskrie dens transformation fra inertialsystemet S til inertialsystemet S og dered mere elegant finde transformationen for energi og impuls (se ligningerne (4.67) til (4.70)), som i møjsommeligt udledte i afsnit (4.5). For fireimpulsen fås endidere P 0 2 P 2 = m 2 2 (9.56) altså som entet igen en inariant størrelse. Ligning (9.56) er blot en anden udgae af den relatiistiske Pythagoras ligning (4.43). Da alle fireimpulser for partikler med hilemasse forskellig fra nul opfylder egenskaben om at ære tidsagtige og med positi tidskomponent, er den samlede fireimpuls for et partikelsystem af sådanne partikler også tidsagtig. Ligeledes il den samlede fireimpuls for et partikelsystem, som blot indeholder en partikel med hilemasse forskellig fra nul, også ære tidsagtig. Vi kan defor altid finde et inertialsystem, så rumdelen af systemets fireimpuls

147 9.6 Fireimpuls 135 er nulektoren. Dette system er netop CM-systemet. His alle de ingående partikler i systemet er lysagtige, findes et sådant system ikke, his alle partiklernes sædanlige impulser er i samme retning. Se sætningerne 1 til 4 afsnit Comptoneffekt Som eksempel på anendelse af fireektorer il i se på Comptoneffekten 2. En foton med frekens f rammer en hilende elektron og spredes på denne. Fotonens frekens efter spredningen er f, og den spredte fotons impuls danner inklen θ med den indkommende fotons impuls. Hele proessen foregår i xy-planen. Se Fig. (9.2). y x f f θ p 2 Figur 9.2: Comptonspredning. Lad fireimpulsen af fotonen før spredningen ære P 1 = ( h f, 0, 0) og efter spredningen er dens fireimpuls P 1 = ( h f, h f os(θ), h f sin(θ), 0). For elektronen er de tilsarende fireimpulser P 2 = (m, 0, 0, 0) og P 2 = ( E, p 2), hor m er elektronens masse, E er dens energi, og p 2 er dens impuls efter spredningen. Energi- og impulsbearelse er indeholdt i fireektorudtrykket Heraf fås som ed kadrering gier, h f P 1 + P 2 = P 1 + P 2 (9.57) P 2 = P 1 + P 2 P 1 (9.58) P 22 = P1 2 + P P P1 P 2 2 P 1 P 1 2 P 2 P 1 (9.59) 2 Effekten er opkaldt efter A.H. Compton, der med sit eksperiment i 1922 iste, at fotonen kan opføre sig som en partikel.

148 136 Fireektorer Under anendelse af P 2 2 = P 22 = m 2 2 og P 1 2 = P 12 = 0 redueres ligning (9.59) til f f = 1 f 1 f = h m f f (1 os(θ)) 2 (9.60) h (1 os(θ)) m 2 (9.61) som med brug af λ f = λ f =, hor λ og λ er bølgelængderne af fotonen henholdsis før og efter spredningen, gier udtrykket for bølgelængdeændringen λ = λ λ λ = h (1 os(θ)) (9.62) m Dette er netop den sædanlige ligning for Comptoneffekten Elastisk stød For to partikler A og B med masser m A og m B og fireimpulser P A og P B er skalarproduktet P A P B uafhængigt af hilket inertialsystem, det udregnes i. His i udregner det i partikel B s hilesystem, får i P A P B = m B E A = m A m B 2 ) (9.63) AB 2 hor E A er A s energi i B s hilesystem, og AB er farten af A i B s hilesystem. 3 Lad nu de to partikler støde elastisk sammen Fireimpulsbearelsen gier P før A A + B A + B (9.64) + Pfør B = Pefter A + P efter B (9.65) Ved at kadrere ligning (9.65) samt anende P før 2 A = PA efter 2 P før 2 B = PB efter 2 = m 2 B 2 får i = m 2 A 2 og P før A Pfør B 3 AB er også farten af B i A s hilesystem. = Pefter A P efter B (9.66)

149 9.6 Fireimpuls 137 Ved at udnytte ligning (9.63) er denne ligning ensbetydende med m A m B 2 før ) = AB 2 m A m B 2 ) (9.67) AB efter 2 Heraf ses, at den relatie fart af partiklerne A og B er den samme før og efter stødet. Ikkerelatiistisk beregning. Vi il nu ise, at en ikkerelatiistisk regning gier samme resultat. Først transformerer i til CM-systemet. Her er før stødet p før før efter A = p B = p og efter stødet p A = p B efter = q. Da stødet er elastisk, gælder p 2 ( 1 2 m A m B ) = q 2 ( 1 2 m A m B ) (9.68) Heraf fås p = q. p og q er ikke ens, men er drejet i forhold til hinanden. De relatie hastigheder af partiklerne før og efter stødet er før før før AB = A B ( 1 = p + 1 ) m A m B (9.69) efter AB = efter A efter B ( 1 = q + 1 ) m A m B (9.70) Da længderne af p og q er ens, er også før efter AB = AB ens. Den relatie fart er altså uændret i CM-systemet. Dette gælder da også i et ilkårligt inertialsystem S, da hastighedstransformationen fra CM-systemet til S ifølge Galileitransformationen er u = CM + u, hor CM er hastigheden af CMsystemet i forhold til S. Differensen mellem to hastigheder i de to systemer er ens, og dermed naturligis deres længder. Vi har altså ist, at også ed en ikkerelatiistisk regning er den relatie fart af partiklerne A og B den samme før og efter stødet Partikelproduktion Vi ser igen på reaktionen A + B C + D + E + (9.71) Fireimpulserne i begyndelsestilstanden er P A og P B. For fireimpulserne i sluttilstanden benyttes symbolerne P i, i = 1, 2,..., n. Fireimpulsbearelsen

150 138 Fireektorer gier P A + P B = Ved kadrering af ligning (9.72) får i n P i (9.72) i=1 m 2 A 2 + m 2 B P A P B = n n m 2 i 2 + P i P j (9.73) i=1 i,j=1, i j Ved at benytte ligning (9.63) blier ligning (9.73) m 2 A 2 + m 2 B m B E A = n m 2 i 2 + i=1 n i,j=1, i j m i m j 2 ij ) (9.74) 2 hor E A er partikel A s energi i B s hilesystem, som i kan opfatte som laboratoriesystemet, og hor ij er den relatie fart af partikel i og partikel j. His i ønsker, at E A skal ære så lille som mulig for denne reaktion, skal alle ij = 0. Ds. alle partikler i sluttilstanden skal ligge stille i forhold til hinanden. Ligning (9.74) blier så m 2 A 2 + m 2 B m B E A = Heraf findes E A = n m 2 i 2 + i=1 ( n i=1 m i n i,j=1, i j ( n ) 2 m i m j 2 = m i 2 i=1 (9.75) ) 2 m 2 A m2 B 2 (9.76) 2 m B som altså er den mindste energi for partikel A i LABsystemet, således at reaktionen kinematisk kan finde sted. Denne ligning sammenlignes med den tidligere fundne ligning (5.9). Ved at indsætte n i=1 m i = m A + m B + M med samme definition af M som den, der indgår i ligning (5.9), ses at de to ligninger er identiske Partikelhenfald For partikelhenfaldet gælder fireimpulsbearelsen A B + C (9.77) P A = P B + P C (9.78)

151 9.7 Firekraft 139 Denne ligning kadreres, og i får m 2 A 2 = m 2 B 2 + m 2 C P B P C (9.79) Skalarproduktet i oenstående ligning udregnes i partikels A s hilesystem under anendelse af E A = m A 2 = E B + E C samt, at den samlede impuls i dette system er nul P B P C = ( E B, p ) ( E C, p ) = m A E B m 2 B 2 (9.80) Ligning (9.80) anendes i ligning (9.79), og i får og ha. energibearelsen E B = m2 A + m2 B m2 C 2 m A 2 (9.81) E C = m2 A m2 B + m2 C 2 m A 2 (9.82) Disse resultater stemmer oerens med de tidligere fundne, se ligningerne (5.20) og (5.21). 9.7 Firekraft Ved at benytte definitionen på kraft F, se ligning (4.21), på fireimpuls P, se ligning (9.55), og på fireaeleration A, se ligning (9.51), finder i d p d t = F d p d τ = d P d τ = m d U d τ = m A d p d τ = d t d τ d p d t = γ F (9.83) m A = γ F (9.84) hor A er rumdelen af fireaelerationen A. Det er nu fristende at identifiere γ F med rumdelen af en fireektor F, som i il kalde firekraften. p er som bekendt rumdelen af fireimpulsen P, his tidskomponent er P 0 = E. Vi har derfor beho for at finde d P0 (benyt ligning (4.25) d τ d P 0 d τ = 1 d t d E d τ d t = 1 γ F u (9.85) ( = 1 γ 3 a u ) m γ a u + m γ u 2 (9.86) 2 = m 1 γ4 a u (9.87) = m A 0 (9.88)

152 140 Fireektorer Som tidskomponenten af firekraften bruger i derfor Ds. firekraften er defineret ed F 0 = 1 γ F u (9.89) ( F u F = γ, F ) (9.90) Med denne definition har i på kompakt form både beægelsesligningen og energibearelsen udtrykt i én ligning.hj.a. fireektorer d P d τ = F (9.91) 9.8 Dobbelt Lorentztransformation Lad os se på den dobbelte Lorentztransformation fra afsnit 2.6. Matrierne, der beskrier de to transformationer, er γ i β i γ i 0 0 Λ [i] = β i γ i γ i (9.92) for i = 1, 2 og hor β 1 = og β 2 = w med tilhørende γ er. Den dobbelte transformation er beskreet ed matrien γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) γ 1 γ 2 (β 1 + β 2 ) 0 0 Λ = Λ [2] Λ [1] = γ 1 γ 2 (β 1 + β 2 ) γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) (9.93) Vi sætter nu Heraf fås umiddelbart Med dette β udregnes γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) = γ (9.94) γ 1 γ 2 (β 1 + β 2 ) = β γ (9.95) β = β 1 + β β 1 β 2 (9.96) 1 1 β 2 = 1 + β 1 β 2 1 β β 2 2 (9.97)

153 9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 141 Ds. ed at sammenligne med ligning (9.94) får i 1 γ = 1 β 2 (9.98) Vi har altså ist, at med de fundne ærdier af β og γ er Λ af formen γ β γ 0 0 Λ = β γ γ (9.99) og dermed er den samlede transformation en Lorentztransformation fra S til S, hor S beæger sig langs x, x -aksen med farten V = β. His i bytter om på rækkefølgen af de to transformationer og udregner Υ = Λ [1] Λ [2], il i opdage, at Λ = Υ. Det il altså sige, at i denne situation er rækkefølgen af transformationerne uden betydning for den samlede transformation. 9.9 Lorentztransformationen tager en drejning Vi ser nu på tre inertialsystemer S, S og S. S beæger sig i x, x -aksens retning med hastighed = (, 0, 0) i forhold til S. S beæger sig i y, y - aksens retning med hastighed w = (0, w, 0) i forhold til S. Transformationen fra S til S er bestemt af matrien Λ [x] γ x γ x β x 0 0 Λ µ [x] ν = γ x β x γ x (9.100) og transformationen fra S til S er bestemt af matrien Λ [y] γ y 0 γ y β y 0 Λ µ [y] ν = γ y β y 0 γ y 0 (9.101) hor β x =, γ x = (1 βx) 2 1 2, β y = w og γ y = (1 βy) Transformationen fra S til S beskries ed matrien Λ giet ed γ x γ y γ x γ y β x γ y β y 0 Λ = Λ [y] Λ [x] = γ x β x γ x 0 0 γ x γ y β y γ x γ y β x β y γ y 0 (9.102)

154 142 Fireektorer Matrien Λ er ikke symmetrisk. Dermed kan transformationen fra S til S ikke ære en Lorentztransformation, hor S beæger sig med de rumlige akser parallelle med de rumlige akser i S. Vi il ise, at denne transformation er giet ed en Lorentztransformation af inertialsystemet S til inertialsystemet S, hor S beæger sig med de rumlige koordinatakser parallelle med akserne i S, efterfulgt af en drejning af den rumlige del af S til den rumlige del af S, og hor tiderne under drejningen er ens. Vi skal altså finde en matrix Λ, der beskrier Lorentztransformationen, og en matrix D, der beskrier drejningen. Disse matrier skal opfylde ligningen Λ = D Λ (9.103) Da z-retningen ingen rolle spiller her for transformationerne af x og y, må drejningen ære om netop z -aksen. Drejningsmatrien er derfor af formen D = 0 os(θ ) sin(θ ) 0 0 sin(θ ) os(θ ) 0 (9.104) hor θ er inklen, den rumlige del af S skal drejes for at falde sammen med den rumlige del af S. Af ligningerne (9.102) og (9.103) fås Λ [y] Λ [x] = D Λ Λ = D 1 Λ [y] Λ [x] (9.105) hor D 1 er den inerse matrix til D D 1 = 0 os(θ ) sin(θ ) 0 0 sin(θ ) os(θ ) 0 (9.106) Af ligningerne (9.102), (9.105) og (9.106) fås γ x γ y γ x γ y β x γ y β y 0 Λ = 0 os(θ ) sin(θ ) 0 γ x β x γ x sin(θ ) os(θ ) 0 γ x γ y β y γ x γ y β x β y γ y γ x γ y γ x γ y β x γ y β y 0 = γ x β x os(θ ) + γ x γ y β y sin(θ ) γ x os(θ ) γ x γ y β x β y sin(θ ) γ y sin(θ ) 0 γ x β x sin(θ ) γ x γ y β y os(θ ) γ x sin(θ ) + γ x γ y β x β y os(θ ) γ y os(θ ) (9.107)

155 9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 143 Denne matrix skal ære symmetrisk. Ds. der skal gælde Λ 1 2 = Λ 2 1, altså γ y sin(θ ) = γ x sin(θ ) + γ x γ y β x β y os(θ ) tan(θ ) = γ x γ y β x β y γ x + γ y (9.108) eller tan(θ β x β y ) = 1 β 2 x + 1 βy 2 (9.109) Af ligning (9.108) findes os(θ ) = γ x + γ y 1 + γ x γ y og sin(θ ) = γ x γ y β x β y 1 + γ x γ y (9.110) Vha. af ligning (9.110) kan i heke, at de ørige matrixelementer af matrien i ligning (9.107) også opfylder kraet om symmetri. Ekspliit finder i, at Λ er γ x γ y γ x γ y β x γ y β y 0 γ x γ y β x 1 + γ2 x γ2 y β2 x βx βy Λ = γ x γy 2 1+γ x γ y 1+γ x γ y 0 γ γ y β x γy 2 βx βy γ y (γ x+γ y) y 1+γ x γ y 1+γ x γ y (9.111) som altså er den matrix, der bestemmer transformationen fra S til S. Hastigheden af S, = β, i forhold til S aflæses ed at se på 0 te søjlerne af matrierne i ligningerne (9.11) og (9.111). Dette gier med γ = (1 β 2 ) 1 2 og β = β heraf fås γ = γ x γ y γ β 1 = γ x γ y β x γ β 2 = γ y β y γ β 3 = 0 (9.112) og dermed β = (β 1, β 2, β 3) = (β x, γ 1 x β y, 0) (9.113) = β = ( β x, γ 1 x β y, 0) (9.114) Vi har altså ist, at sammensætning af to Lorentztransformationer, hor

156 144 Fireektorer beægelsen af systemerne ikke er i samme retning, gier en Lorentstransformation, der ikke kan fås ed en Lorentztransformation af det oprindelige system S til slutsystemet S ed kun at udføre en transformation i en eller anden retning, men kræer en Lorentztransformation af det oprindelige system S i en eldefineret retning til systemet S efterfulgt af en rotation af de rumlige akser af S efter denne Lorentztransformation. Rækkefølge af transformationer. Ved at bytte om på rækkefølgen af de to transformationer, ds. først foretages en transformation efter y, y -aksen med hastighed w = (0, w, 0) og derefter en transformation efter x, x -aksen med hastighed = (, 0, 0), fås en transformation, der er bestemt af matrien Υ Υ = Λ [x] Λ [y] (9.115) som ed direkte udregning af matrixproduktet blier γ x γ y γ x β x γ x γ y β y 0 Υ = γ x γ y β x γ x γ x γ y β x β y 0 γ y β y 0 γ y 0 (9.116) Da Λ Υ er de to sammensatte transformationer i almindelighed ikke ens. Rækkefølgen af transformationerne er altså afgørende igtig. Heller ikke Υ er symmetrisk. Derfor ønsker i som før at finde to matrier, Υ og D, som bestemmer henholdsis en Lorentztransformation efter ektoren fra inertialsystemet S til inertialsystemet S og en drejning med inklen θ af S om z -aksen til S, således at Ved at foretage samme regnestykke som før finder i Υ = D Υ (9.117) tan(θ ) = γ x γ y β x β y γ x + γ y (9.118) eller tan(θ ) = β x β y 1 β 2 x + 1 β 2 y (9.119) Af ligning (9.118) findes os(θ ) = γ x + γ y 1 + γ x γ y og sin(θ ) = γ x γ y β x β y 1 + γ x γ y (9.120)

157 9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 145 samt γ x γ y γ x β x γ x γ y β y 0 γx Υ γ x β 2 +γx γy γx 2 γy βx βy x 1+γ = x γ y 1+γ x γ y 0 γ x γ x γ y β 2 γy βx βy y 1+γ x γ y 1 + γ2 x γ2 y β2 y 1+γ x γ y Hastigheden findes ed at se på 0 te-søjlen af Υ. Dette gier (9.121) γ = γ x γ y γ β 1 = γ x β x γ β 2 = γ x γ y β y γ β 3 = 0 (9.122) horaf findes β = (β1, β2, β3) = (γy 1 β x, β y, 0) (9.123) og dermed = β = ( γy 1 β x, β y, 0) (9.124) For de to drejningsinkler θ og θ ses af ligningerne (9.110) og (9.120), at de er lig hinanden med modsat fortegn. De to ektorer og, som Lorentztransformationen skal foregå efter, er forskellige, se ligningerne (9.114) og (9.124). Retningerne af disse ektorer er forskellige, men deres længder er ens idet β = β = 1 γx 2 γy 2. Vinklen φ mellem disse to hastighedsektorer kan bestemmes af os(φ) = β β β β = γ 1 y 1 γx 2 βx 2 + γx 1 βy 2 γ 2 y = γ 1 y (1 γ 2 x ) + γ 1 (1 γ 2 1 γ 2 x x γy 2 y ) = γ x + γ y 1 + γ x γ y (9.125) Vinklen φ mellem og målt i inertialsystemet S har altså samme størrelse som den numeriske ærdi af drejningsinklen θ målt i inertialsystemet S og af drejningsinklen θ målt i inertialsystemet S. Hastighedstransformation. Hastigheden w = (0, w, 0) i S er i S ed hastighedstransformationen ligningerne (3.36) til (3.38) netop, se ligning (9.114) = (, w ) 2, 0) (9.126)

158 146 Fireektorer Hastigheden = (, 0, 0) i S er i S, her benyttes ligningerne (3.41) - (3.43) netop, se ligning (9.124) = ( ) w 2, w, 0) (9.127) At de fundne ektorer og er forskellige, afspejler altså at rækkefølgen en hastighedssammensætning foregår i med udgangspunkt i Lorentztransformationen er igtig. His hastighedssammensætningen foretages med udgangspunkt i Galileitransformationen spiller rækkefølgen ingen rolle. Her finder i nemlig = = (, w, 0) og dermed φ = 0 o. Ligeledes finder i her θ = θ = 0 o, idet sammensætning af to Galileitransformationer ikke gier anledning til nogen drejning af systemerne i forhold til hinanden Harmonisk bølge En harmonisk bølge er i et inertialsystem beskreet ed et udtryk af formen ψ(t, r) = A os( k r ω t) = A os( k r ω t), hor k er bølgeektoren, his retning bestemmer bølgens udbredelsesretning, og his længde er bestemt af bølgelængden λ ed k = 2 π. ω hænger sammen med frekensen f ia λ ω = 2 π f, og for elektromagnetiske bølger (f.ex. lys) gælder jo endidere = f λ. Da en iagttager i S og en iagttager i S er enige om, hor bølgen har bølgedale og bølgetoppe må fasen φ = k r ω t ære inariant. Da ( t, r) er en fireektor, følger det af sætningen i afsnit (9.3.1), at K = ( ω, k) er en fireektor. Vi kan derfor uden idere opskrie K s transformationsegenskaber K 0 = ω K 1 = k 1 K 2 = k 2 K 3 = k 3 = γ(k 0 β K 1 ) = γ( ω β k1 ) (9.128) = γ(k 1 β K 0 ) = γ(k 1 β ω ) (9.129) = K 2 = k 2 (9.130) = K 3 = k 3 (9.131) His der speielt gælder k 2 = k 3 = 0, ds. bølgen udbreder sig i x-aksens retning, fås af ligningerne (9.128) og (9.129) ω = γ(ω β k1 ) (9.132) k 1 = γ(k 1 β ω ) (9.133)

159 9.10 Harmonisk bølge 147 Ligningerne (9.132) og (9.133) omskries under brug af ω = 2 π f, ω = 2 π f, k = 2 π, λ k = 2 π samt λ f = λ f = λ 2 π f = γ ( 2 π f β 2 π f ) (9.134) f = f γ (1 β) = f 1 ) (9.135) 2 f = f (9.136) Ligning (9.136) er netop den tidligere udledte ligning (3.85) for den longitudinale Dopplereffekt. I det generelle tilfælde kan i ælge koordinatsystemet, så k = (k os(α), k sin(α), 0), hor k = 2 π f. Ligningerne (9.128) til (9.130) blier da 2 π f 2 π f 2 π f = γ ( 2 π f os(α ) = γ ( 2 π f sin(α ) = 2 π f β 2 π f os(α) ) (9.137) os(α) β 2 π f ) (9.138) sin(α) (9.139) Ligning (9.137) gier f = f 1 β 2 1 β os(α) Da α = π θ, se Fig. (3.8), blier ligning (9.140) f = f 1 β β os(θ) (9.140) (9.141) som er det generelle udtryk for Dopplereffekten, i fandt tidligere (se ligning (3.97)). Af ligning (9.138) fås med brug af ligning (9.140) os(α ) = os(α) β 1 β os(α) (9.142) som er den tidligere udledte ligning (3.22) for sammenhængen mellem en lysstråles retning i de to inertialsystemer.

160 148 Fireektorer 9.11 Den elektromagnetiske felttensor I afsnit (7.1) udledte i, horledes det elektriske felt E og det magnetiske felt B transformerer ed oergang fra inertialsystemet S til inertialsystemet S. Disse transformationer kan beskries mere kompakt ed at indføre den elektromagnetiske felttensor F µν F µν = 0 E x Ex Ey Ez E y E z 0 B z B y B z 0 B x (9.143) B y B x 0 hor µ er rækkeindeks og ν er søjleindeks i F µν. Det ses af definitionen af F µν, at F µν = F νµ. Ds. F µν er antisymmetrisk. Påstanden er nu, at i inertialsystemet S er den elektromagnetiske felttensor bestemt af transformationen F µν = Λ µ ρ Λ ν σ F ρσ (9.144) hor Einsteins summationskonention benyttes, ds. at der summeres oer ρ og σ fra 0 til 3. Vi iser påstanden ed direkte kontrol. Først ser i på F 01 F 01 = Λ 0 ρ Λ 1 σ F ρσ = Λ 0 0 Λ 1 σ F 0σ + Λ 0 1 Λ 1 σ F 1σ = Λ 0 0 (Λ 1 0 F 00 + Λ 1 1 F 01 ) + Λ 0 1 (Λ 1 0 F 10 + Λ 1 1 F 11 ) = γ ( β γ 0 + γ E x ) ( E x + ( β γ) β γ + γ 0 ) = γ 2 (1 β 2 ) E x = E x (9.145) Da per definition F 01 = E x følger det af ligning (9.145), at E x = E x, som jo netop er den tidligere iste transformationsregel (se ligning (7.21)) for det elektriske felt.

161 9.11 Den elektromagnetiske felttensor 149 Dernæst ser i på F 02 F 02 = Λ 0 ρ Λ 2 σ F ρσ = Λ 0 0 Λ 2 σ F 0σ + Λ 0 1 Λ 2 σ F 1σ = Λ 0 0 Λ 2 2 F 02 + Λ 0 1 Λ 2 2 F 12 = γ 1 Ey + ( β γ) 1 B z = γ ( E y β B ) z (9.146) Da per definition F 02 = E y følger det af ligning (9.146), at E y = γ (E y B z ), som også er i oerensstemmelse med transformationen ligning (7.21). Som næste element af F ser i på F 12 F 12 = Λ 1 ρ Λ 2 σ F ρσ = Λ 1 0 Λ 2 σ F 0σ + Λ 1 1 Λ 2 σ F 1σ = Λ 1 0 Λ 2 2 F 02 + Λ 1 1 Λ 2 2 F 12 = β γ 1 Ey + γ 1 B z = γ ( B z β E y ) (9.147) Heraf aflæses B z = γ ( B z 2 E y ) som netop er den tidligere iste ligning (7.22). På samme direkte måde for F 13 F 13 = Λ 1 ρ Λ 3 σ F ρσ = Λ 1 0 Λ 3 σ F 0σ + Λ 1 1 Λ 3 σ F 1σ = Λ 1 0 Λ 3 3 F 03 + Λ 1 1 Λ 3 3 F 13 = β γ 1 Ez + γ 1 ( B y) = γ ( B y β E z ) (9.148) Heraf aflæses igen det ønskede B y = γ ( B y 2 E z ). Vi mangler selfølgelig stadig at heke mange elementer i den elektromagnetiske felttensor, men reelt kun to, nemlig f. eks. F 03 og F 23, da i kan udnytte følgende F νµ = Λ ν ρ Λ µ σ F ρσ = Λ ν ρ Λ µ σ F σρ = Λ µ σ Λ ν ρ F σρ = F µν (9.149)

162 150 Fireektorer Altså F µν blier også antisymmetrisk. Derfor er det nok kun at heke haldelen af komponenterne. Vi har nu ist, at F µν transformerer som angiet i ligning (9.144), og at denne transformation netop bestemmer transformationen af de elektriske og magnetiske felter fra inertialsystemet S til inertialsystemet S En størrelse, der transformerer som F µν kaldes en tensor af anden orden. En fireektor kan også kaldes en tensor af første orden.

163 Indeks T 1, 92 2 s, 74 F µν, 148 Λ, 127 Λ ρ σ, 127 β, 126 ɛ o, 3 γ, 126 K, 125 A, 127, 133 A B, 129 F, 139 U, 133 A, 1 µ o, 3 τ o, 92 g µν, 129 s 2, 26 Aberration, 41 klassisk, 41 relatiistisk, 42 Aeleration, 35, 55 ustabil partikel, 92 én dimension, 35 Annihilation, 77 Antisymmetri, 148 Beampartikel, 75 Beatles, The, ii Begienhed, 1, 11 Bearelse energi, 67 impuls, 49 Beægelsesligning, 49, 55, 85 fireektorform, 140 Beægelsesretning, 36 Bradley, J., 41 Bølgeligningen, 124 Bølgeektor, 146 transformation, 146 CMsystem, 74, 79, 135 Compton, A.H, 135 Comptoneffekt, 135 de Sitter, E., 2, 12 Dobbeltstjerneanalyse, de Sitter, 6 Doppler, C., 43, 44 Dopplereffekt, 43 generelt, 46, 70, 147 longitudinal, 43, 67, 147 transeral, 47 urelatiistisk, 44 Drejning, 142 Effekt, 58 Egentid, 40, 133 Einstein, A., 12 Elastisk stød, 82 Elektrisk felt, 85 beægelse i, 85 transformation, 107 Elektromagnetisk felttensor, 148 Energi, 58 bearelse, 67 foton, 67 hileenergi,

164 152 INDEKS kinetisk, 58 masse, 66 totale, 59 transformation, 60 Fireaeleration, 133 Firehastighed, 133 Fireimpuls, 134 Firekraft, 139 Fireektor, 125, 128, 146 regning med, 128 rumdel, 128 skalarprodukt, 129 tidsdel, 128 FitzGerald, G.F., 37 Fotoelektrisk effekt, 67 Foton, 67, 135 Frekenstransformation, 43 Galileiinarians, 2, 65 Galileitransformation, 1 Haleringstid, 92 Harmonisk bølge, 146 Hastighedsmåling, 12 Hastighedstransformation, 31 den generelle, 34 Helix, 103 Henfald, 76, 92 Hilemasse, 49 Hyperbolsk beægelse, 87 Impuls, 49 bearelse, 49 fireimpuls, 134 foton, 67 relatiistisk, 50, 55 transformation, 60 Inarians, 25, 73, 110, 120, 122, 124, 128, 130 Galilei, 65 Lorentz, 65 Kasteparabel, 91 Kausalitet, 29 Kraft, 55 transformation, 64 LABsystem, 79 Ladningstæthed, 121 transformation, 122 Leetid, 92 Lopis, Flora, ii Lorentz, H.A., 11, 18, 37 Lorentzforkortning, 37 Lorentzinarians, 26, 60, 65, 120, 122, 124 Lorentzkraft, 107 Lorentztransformationen, 11, 17 den generelle, 20 dobbelt, 19, 140 rækkefølge, 144 Lysagtig, 27, 130 Lysets fart, 2, 12 Længdemåling, 12, 37 Magnetfelt, 101 beægelse i, 101 transformation, 107 Maksimalhastighed, 7, 33 Mandelstamariabel, 74 Masse, 66, 81 hilemasse, 49 massebearelse, 81 Maxwell, J.C., 3 Maxwells ligninger, 3, 117 i akuum, 117 med kilder, 122 Metrik, 128 Mihelson, A., 2 Mihelson-Morley-forsøget, 3, 12 Morley, E., 2 Newtons anden lo, 55 Newtons tredje lo, 57

165 INDEKS 153 Partikelhenfald, 76, 138 Partikelproduktion, 74, 137 Partikelsystemer, 73 Poinaré, H., 18 Pythagoras, relatiistiske, 60 Radialhastighed, 47 Raket, 104 Relatiistisk beaming, 69 Relatiitetsprinip, 11 Retning af lys, 30, 147 Rumagtig, 27, 130 Rumdel, 128 Rødforskydning, 46 Rømer, O., 42 Samtidighed, 27, 33 Skalarprodukt, 129 Skruehøjde, 104 Skruelinje, 103 Skrå kast, 93 kastelængde, 98 maksimale højde, 97 Stang, kørende, 111 Strømtæthed, 121 transformation, 122 Stød elastisk, 82, 136 uelastisk, 66 Summationskonention, 129 Synkronisering, 1, 13 Targetpartikel, 75 Tegmark, Max, ii Tensor anden orden, 150 elektromagnetisk felttensor, 148 første orden, 150 Tidsagtig, 27, 130 Tidsdel, 128 Tidsforlængelse, 40 Tidsmåling, 12 Tidsrækkefølge, 29 Transformation aeleration, 35 beægelsesretning, 36 bølgeektor, 146 elektrisk felt og magnetfelt, 107, 109 elektromagnetisk felttensor, 148 energi og impuls, 64 frekens, 43 Galilei, 1 hastighed, 31 kraft, 64 ladningstæthed og strømtæthed, 122 Lorentz, 11 lysretning, 30 inkel, 38 olumen, 38 Transformationsmatrix, 127 Uelastisk stød, 66 Vakuumpermeabiliteten, 3 Vakuumpermittiiteten, 3 Vinkeltransformation, 38 Volumentransformation, 38 Yellow Submarine, ii Ækialens masse-energi, 66 Æteren, 3, 37

166 154

167 I Epilog I disse noter er der ingen omtale af den generelle relatiitetsteori. Dette rådes der lidt bod på ed at gengie fortsættelsen af de "to" forfattere Flora Lopis og Max Tegmarks sang fra side ii. GENERAL RELATIVITY But Einstein had another dream, and in nineteen sixteen he made a deep unifiation between graity and aeleration. He said physis ain t hard at all as long as you are in free fall, os our laws all stay the same in a loally inertial frame. And he alled it general relatiity, relatiity, relatiity. And we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. If towards a blak hole you fall tides will make you slim and tall, but your friends won t see you enter a singularity at the enter, beause it will look to them like you got stuk at radius 2 M. But you get squished, despite this balking, and then eaporate, says Stephen Hawking. We all beliee in relatiity, relatiity, relatiity. Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. We re in an expanding spae with galaxies all oer the plae, and we e learned from Edwin Hubble that twie the distane makes the redshift double. We an with onfidene onerse about the age of our unierse. Rial theories are now moot thanks to Penzias, Wilson, Mather & Smoot. We all lie in an expanding unierse, expanding unierse, expanding unierse.

168 II Yes we all lie in an expanding unierse, expanding unierse, expanding unierse. But what s the physis of reation? There s a theory alled inflation by Alan Guth and his friends, but the ath is that it neer ends, making a fratal unierse whih makes some of their olleagues urse. Yes there s plenty left to figure out like what reality is all about. but at least we beliee in relatiity, relatiity, relatiity. Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity.