- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
|
|
- Michael Jensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Poul Winther Andersen September 2010 nr
2 Roskilde Uniersity, Department of Siene, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260, DK Roskilde Tel: Fax: Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Af: Poul Winther Andersen IMFUFA tekst nr. 475/ sider ISSN: Denne tekst består af et sæt noter omhandlende den speielle relatiitetsteori. Noterne er tænkt anendt sammen med en bred alulusbaseret fysikbog på ollegenieau. Der er altså ikke tale om en lærebog, men om et sæt noter, der supplerer en sådan bog. I noterne gennemføres langt de fleste regnestykker ret detaljeret for dered forhåbentligt at hjælpe læseren til hurtigere at komme frem til de ønskede resultater. Hoedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare kinematiske konsekenser af Lorentztransformationen, indføring i relatiistisk dynamik, herunder relatiistisk impuls og energi, den relatiistiske beægelsesligning samt en relatiistisk behandling af partikelreaktioner. Derudoer gies en kort introduktion til elektrodynamikken og Lorentzinariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort indføring af fireektorer, horunder nogle af de tidligere behandlede eksempler tages op på ny. Poul Winther Andersen, august 2010
3 Supplerende regnestykker til Den speielle relatiitetsteori Poul Winther Andersen 31. august 2010
4
5 i Forord Disse noter er tænkt anendt sammen med en standardlærebog af typen Physis for Engineers and Sientists. Ofte har disse bøger en sektion med Modern Physis, hori indgår et kapitel med den speielle relatiitetsteori. Behandlingen af relatiitetsteorien er ofte ret kortfattet og med mange af de lidt tungere og tidskræende regnestykker algt fra. Noterne her er tænkt som et supplement til et sådant kapitel. Hoedindholdet i noterne er en udledning af Lorentztransformationen, nogle umiddelbare konsekenser af Lorentztransformationen, indføring i relatiistisk dynamik, herunder relatiistisk impuls og energi samt en kort introduktion til elektrodynamikken og Lorentzinariansen af Maxwells ligninger. Til slut findes en kort behandling af fireektorer. I noterne er medtaget mange mellemregninger, således at det forhåbentligt il ære lettere og hurtigere for læseren at komme frem til de ønskede resultater. Poul Winther Andersen
6 ii Abstrat eller ej I stedet for et abstrat følger her en del af en sang, der i 2008 er forfattet af Flora Lopis og Max Tegmark fra Dept. of Physis, Massahusetts Institute of Tehnology, Cambridge, USA. Den er offentliggjort den 1. april 2008 og indsendt til Physial Refuse. Sangen kan synges på Yellow Submarine fra Beatlesalbummet af samme nan (1969). Beatlessangen er fra (8.033 heniser til det kursus i relatiitetsteori, som Max Tegmark har underist i på MIT). SPECIAL RELATIVITY Römer measured the speed of light, and something basi just wasn t right. beause Mihaelson and Morley showed that aether fit the data poorley. We jump to In Einstein s brain, ideas thrie: "The laws of nature must be the same in eery inertial frame" We all beliee in relatiity, relatiity, relatiity. Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. Einstein s postulates imply that planes are shorter when they fly. Their loks are slowed by time dilation, and look warped from aberration. Cos theta-prime is os theta minus beta... oer one minus beta os theta Yes we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. With the Lorentz transformation we alulate the relation between Chris s and Zoe s frame, but all inariants, they are the same. Like B dot E and B-squared minus E-squared,... and the rest mass squared whih is E-squared minus p-squared, os we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity.
7 iii Soon physiists had a proliity for using relatiity. But nukes made us all sared beause E = m 2. Eerything is relatie, een simultaneity, soon Einstein s beome a de fato physis deity. os we all beliee in relatiity, 8.033, relatiity. Sangen afsluttes side I.
8 i
9 Indhold 1 Galileitransformationen Galileitransformationen Lysets fart Mihelson-Morley de Sitters dobbeltstjerneanalyse Maksimalhastighed Lorentztransformationen Forudsætninger for Lorentztransformationen Måling af tid og længde Transformation af y og z: Afstande inkelret på beægelsesretningen Transformation af x og t Dobbelt Lorentztransformation Den generelle Lorentztransformation Kinematiske konsekenser Inarians Retning af lysstråle Hastighedstransformation Den generelle Lorentztransformation Aeleration Aeleration i én dimension Beægelsesretning Lorentzforkortningen Volumentransformation Vinkeltransformation Tidsforlængelsen En alternati udledning af tidsforlængelsen Aberration Aberration - klassisk
10 i INDHOLD Aberration - relatiistisk Dopplereffekt Longitudinal Dopplereffekt Vilkårlig retning af lyset Transersal Dopplereffekt Relatiistisk dynamik: Indledning Impuls Relatiistisk impuls Kraft Definition af kraft Kraft og aeleration Newtons tredje lo? Relatiistisk energi Transformation af impuls og energi Impulsen parallel med Impulsen i ilkårlig retning Transformation af kraft Ækialensen mellem masse og energi Lys Longitudinal Dopplereffekt Vilkårlig retning af lys Relatiistisk dynamik: Partikelsystemer Inarians Partikelproduktion Partikelhenfald Annihilation CM-system og LAB-system Massebearelse i urelatiistisk fysik Massebearelse og impulsbearelse Massebearelse og kinetisk energi Relatiistisk dynamik: Beægelsesligningen Ladet partikel i elektrisk felt Begyndelseshastighed nul Vilkårlig begyndelseshastighed Begyndelseshastighed inkelret på E-felt Aeleration af ustabil partikel Det skrå kast Banekuren
11 INDHOLD ii Nogle resultater for det skrå kast Ladet partikel i magnetfelt Relatiistisk raket Elektriske og magnetiske felter Transformationsformlerne Konsekenser af transformationsformlerne Inariante størrelser Speialtilfældet E = o Speialtilfældet B = o Den kørende stang Ladet partikel med konstant hastighed Inarians af Maxwells ligninger Maxwells ligninger i akuum Ladningstæthed og strømtæthed Maxwells ligninger med kilder Bølgeligningen Fireektorer Definition af fireektor Regning med fireektorer Skalarprodukt Inarians Firehastighed Fireaeleration Fireimpuls Definition af fireimpuls Comptoneffekt Elastisk stød Partikelproduktion Partikelhenfald Firekraft Dobbelt Lorentztransformation Lorentztransformationen tager en drejning Harmonisk bølge Den elektromagnetiske felttensor
12 iii INDHOLD
13 Kapitel 1 Galileitransformationen Dette kapitel indeholder en kort repetition af Galileitransformationen. Desuden er der eksempler på konsekenser af Galileitransformationen i forbindelse med lysets hastighed. Derudoer ses på den klassiske behandling af aeleration af en elektrisk ladet partikel. Disse eksempler il ise, at der er problemer i den klassiske mekanik, og at disse har rod i Galileitransformationen. 1.1 Galileitransformationen I klassisk Newtonsk fysik spiller Galileitransformationen den entrale rolle ed oergang fra et inertialsystem S til et andet inertialsystem S, der beæger sig med den konstante hastighed i forhold til systemet S. Se Fig. (2.1). Ved en begienhed A il i forstå angielsen af tid og sted, ds. talsættet (t, x, y, z), der fortæller, at der til tiden t i punktet med koordinatsættet (x, y, z) sker et eller andet, eller at der måles en fysisk størrelse i dette punkt til tiden t. Den fundamentale antagelse for Galileitransformationen er, at tiden for en begienhed altid er den samme, had enten tiden måles i inertialsystemet S eller i inertialsystemet S. Desuden antages, at alle ure i de to inertialsystemer er synkroniserede. Der er altså ingen "lokal tid". Dermed blier også tidsforløb mellem to begienheder en af inertialsystemet uafhængig størrelse. De to systemer S og S antages at ære sammenfaldende til tiden t = t = 0. Sammenhængen mellem tid og sted i de to inertialsystemer er dermed r = r + t (1.1) t = t (1.2) hor r er stedektoren til et punkt angiet i systemet S og r er stedektoren til samme punkt, men nu angiet i systemet S. Heraf følger umiddelbart for 1
14 2 Galileitransformationen hastighederne u = d r og u dt = d r dt i de to systemer u = u + (1.3) og desuden, at aelerationen er den samme i S og S, da er konstant a = a (1.4) Ifølge mekanikkens relatiitetsprinip skal Newton anden lo gælde i alle inertialsystemer, ellers ille det ed et mekanisk eksperiment ære muligt at skelne mellem inertialsystemer. Altså skal gælde både F = m a og F = m a, hor F og F er den resulterende kraft i henholdsis S og S. Hor i som en yderligere antagelse har, at en partikels masse m er en Galileiinariant størrelse. Da a = a følger, at kraften er den samme, had enten den måles i S eller i S : F = F. Kraften er altså Galileiinariant. 1.2 Lysets fart De følgende tre underafsnit handler om nogle problemer med bestemmelsen af lysets fart, his man il opretholde den klassiske Newtonske fysik under bibeholdelse af Galileitransformationen. Eksemplerne er ikke algt med henblik på, at de skal forestille at hae haft indflydelse på Einsteins tanker ed udiklingen af relatiitetsteorien og opstillingen af relatiitetsprinippet. Det første eksempel omhandler A. Mihelson og E. Morleys bestræbelser på at påise jordens beægelse i forhold til æteren. Det er et omstridt emne i litteraturen om relatiitetsteoriens opståen, om Einstein i sine oerejelser har haft Mihelson og Morleys resultater med i sine tanker eller ej. I Einsteins artikel fra 1905 Zur Elektrodynamik bewegter Körber, Annalen der Physik, 17, 891 (1905) 1 er der ingen henisning til Mihelson og Morley. Også senere i sin karriere har Einstein ladet forstå, at Mihelson og Morleys resultater ikke indgik i de oerejelser, der førte ham frem til den speielle relatiitetsteori. Det andet eksempler omhandler W. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, som er fra 1913 og derfor naturligis ingen indflydelse har haft på Einsteins oerejelser i de Sitter undersøger den påstand at lyset altid har samme fart i forhold til lysgieren. Dermed il lyset som følge af Galileitransformationen hae en anden hastighed målt af en iagttager, der er i beægelse i forhold til lysgieren. Det tredje og sidste eksempel handler om den hastighed, en elektrisk ladet partikel kan opnå ed at gennemløbe et større og større spændingsfald. 1 Engelsk oersættelse af denne artikel og andre for relatiitetsteorien grundlæggende artikler i A. Einstein, H.A. Lorentz, H. Weyl og H. Minkowski: The Priniple of Relatiity (Doer Publiations)
15 1.2 Lysets fart Mihelson-Morley I slutningen af 1800-tallet efter fremkomsten af Maxwell s ligninger 2, horaf kunne udledes, at lys måtte opfattes som elektromagnetiske bølger med en bestemt hastighed, fastlagt af de to konstanter akuumpermittiiteten ɛ o og akuumpermeabiliteten µ o, ar den fremherskende opfattelse, at disse bølger måtte udbrede sig i et medium. Alle andre bølger man kendte til ble udbredte gennem et medium. Først og fremmest hade man stort kendskab til elastiske bølgers udbredelse gennem forskellige stoffer. Analogt måtte der altså eksistere et særligt stof, som de elektromagnetiske bølger kunne udbrede sig igennem i det ellers tomme rum. Dette stof kaldte man æteren. Dette stof gennemtrængte alt (og gjorde ellers ikke stort æsen af sig). Kun i æteren ar hastigheden af de elektromagnetiske bølger den ia Maxwellligningerne fundne hastighed. Denne hastighed, som altså ar lysets hastighed, hade man målt med meget stor nøjagtighed. Med udgangspunkt i æterteorien ble det nu interessant at finde jordens hastighed i forhold til æteren. Denne opgae arbejdede Mihelson og Morley på gennem en lang årrække. Deres forsøgsopstilling er ist i Fig. (1.1) Lys med frekens f sendes mod et halgennemsigtigt spejl, en såkaldt beamsplitter, BS. En del af lyset reflekteres af beamsplitteren og rammer spejlet S1 og reflekteres af dette. En anden del af lyset rammer spejlet S2 og reflekteres. Derefter kommer strålerne tilbage til BS, og en del af lyset fra turen MS1M går gennem BS mod iagttageren. En del af lyset fra turen MS2M reflekteres af beamsplitteren og fortsætter mod iagttageren. Disse to stråler interfererer nu, og interferensmønstret kan registreres.hj.a. en fotografisk plade. Opstillingen er opbygget således, at MS1 = MS2 = L og således at MS1 og MS2 er inkelrette på hinanden. Vi forestiller os nu, at hele opstillingen beæger sig med farten i forhold til æteren, og at beægelsesretningen er efter MS2. For at finde bølgelængden af lyset har i brug for lysets fart i ores laboratoriesystem. Lysets fart i æteren er. Vi får nu brug for transformationsreglen for hastighed ia Galileitransformationen. På turen MS2 er farten af lyset, se Fig. (1.2-I) + = (1.5) På turen S2M er farten af lyset, se Fig. (1.2-II) = + (1.6) 2 Disse ligninger opstillede J.C. Maxwell omkring Maxwells arbejde edrørende elektrodynamikken fandt sted i årene mellem 1861 og 1873.
16 4 Galileitransformationen S1 S Lyskilde M S2 B Iagttager Figur 1.1: Mihelson-Morleys forsøg på måling af jordens fart i forhold til æteren. Da frekensen af lyset er den samme på begge ture, blier bølgelængderne forskellige og er henholdsis λ + = f λ = + f Antallet af bølgelængder på stykket MS2M er derfor (1.7) (1.8) N = L λ + + L λ = 2 L f 2 2 (1.9) På turen MS1 og også på turen S1M er farten af lyset, se Fig. (1.2-III) = 2 2 (1.10) Frekensen er også her f, således at bølgelængden på turen MS1M blier 2 λ = 2 (1.11) f Antallet af bølgelængder på stykket MS1M er så N = 2 L λ = 2 L f 2 2 (1.12)
17 1.2 Lysets fart 5 I III + II Figur 1.2: De tre mulige ærdier for lysets fart i Mihelson-Morleys forsøg ifølge Galileitransformationen. Da antallene af bølgelængder N og N ikke er ens, il de to stråler derfor danne et interferensmønster, der afhænger af forskellen i antallet af bølgelængder, når de mødes ed iagttageren. Forskellen i de to bølgelængdeantal er N = N N = 2 L f ( 1 ) 2 ) 1 ) 2 (1.13) His hele opstillingen drejes 90 o, byttes der om på parallelretningen og inkelretretningen, og N skifter derfor fortegn, således at i får et andet interferensmønster end før. Ændringen i bølgelængdeforskel blier ( N) = 4 L f ( 1 ) 2 1 ) 2 ) (1.14) Fidusen med at dreje opstillingen 90 o er, at man ed at dreje opstillingen il se et ændret interferensmønster, his forudsætningerne er rigtige. Med typiske tal fra målingerne L = 11 m, f = 6, s 1, = 3, ms 1 og = 3, ms 1 blier ( N) = 0, 44. Den eksperimentelt fundne ærdi ar mindre end 0,02. Altså kunne Mihelson og Morley ikke påise, at jorden beægede sig i forhold til æteren. Forsøgene ble gentaget gennem mange år og altid med samme resultat: Ingen påisning af jordens beægelse i forhold til æteren. Lysets hastighed må altså ære uafhængig af lysets udsendelsesretning i et giet inertialsystem.
18 6 Galileitransformationen de Sitters dobbeltstjerneanalyse For en kugle, der forlader et geær anbragt på en bil i fart, il kuglens fart i forhold til jordoerfladen hae forskellig ærdi alt efter i hilken retning, den affyres i forhold til bilens kørselsretning. Kuglens fart u g i forhold til geæret il ære den samme i alle tilfælde. Ved brug af Galileitransformationen er kuglens fart i forhold til jordoerfladen u + J = u g+, his kuglen affyres i bilens kørselsretning, eller u J = u g, his kuglen affyres i modsat retning af bilens kørselsretning. er bilens fart i forhold til jordoerfladen. Samme forhold kunne tænkes at ære gældende for lys: Lysets fart antages altid at ære den samme i forhold til lysgieren, horimod lysets fart i forhold til iagttageren antages at afhænge af lysgierens hastighed i forhold til iagttageren. Denne antagelse ble underkastet en kritisk undersøgelse af de Sitter i Han undersøgte konkret et dobbeltstjernesystem. De to stjerner beæger sig i her deres Keplerbane om stjernernes fælles tyngdepunkt med en omløbstid T. Vi ser nu på den ene af disse stjerner. For simpelheds skyld antager i, at jorden befinder sig i stjernernes baneplan. Til tiden t = 0 befinder stjernen sig i afstanden L fra jorden i yderpunktet A, og lys starter fra stjernen mod jorden. Se Fig. (1.3). B + A L Jorden Figur 1.3: de Sitters dobbeltstjerneanalyse. Dette lys modtages på jorden til tiden t 1 = L (1.15)
19 1.2 Lysets fart 7 hor er lysets fart i forhold til stjernen, er stjernens fart i forhold til jorden og = er lysets fart i forhold til jorden. Til tiden t = T er stjernen 2 i det andet yderpunkt B, også i afstanden L fra jorden, og lyset fra dette punkt ankommer til jorden til tiden t 2 = L + + T 2 (1.16) hor lysets fart i forhold til jorden nu er + = +. Til tiden t = T er stjernen tilbage i A, og det derfra udsendte lys når jorden til tiden t 3 = L + T (1.17) Vi kan nu udlede, at set fra jorden tager det hale omløb fra A til B tiden T 1 = t 2 t 1 = L + + T 2 L = T 2 horimod det hale omløb fra B til A tager tiden T 2 = t 3 t 2 = L L + + T 2 = T L (1.18) L (1.19) Af ligningerne (1.18) og (1.19) ses, at forskellene på de hale omløbstider okser proportionalt med stjernens afstand fra jorden og kan altså blie større end tiden for et helt omløb. Dette er naturligis absurd. Der er da heller aldrig obsereret noget sådant. Forskellen på de to hale omløbstider er δ T = T 2 T 1 = L (1.20) Med nogle typiske ærdier T = 1 d, = 10 5 ms 1 og L = m fås δ T = 4, s = 51, 4 d. Altså langt mere end sele omløbstiden! Konklusionen er, at forudsætningerne ikke holder. Lysets fart er ikke afhængig af lysgierens fart Maksimalhastighed Ifølge den klassiske mekanik il en partikel, der påirkes af en konstant kraft, opnå større og større fart. His kraftpåirkningen arer ed, il partiklen opnå en ilkårlig stor fart. Dette kan undersøges eksperimentelt ed at lade elektroner gennemløbe et spændingsfald (egentlig en spændingsstigning) U, hored elektronerne opnår en kinetisk energi E kin = e U, idet det antages,
20 8 Galileitransformationen at elektonerne starter fra hile. e er elektronens elektriske ladning. Herefter findes elektronernes fart direkte ed at måle tiden for passage af en gien ejstrækning. Man kunne nu forestille sig med de høje hastigheder, der opnås ed at gennemløbe store spændingsstigninger, at den opnåede kinetiske energi ikke ar giet ed e U. For at undersøge dette sendes elektronstrålen efter aelerationen mod en lille metalklods, og elektronerne stoppes af denne. Temperaturstigningen af metalklodsen måles samtidig med, at den opsamlede elektriske ladning måles. Hermed kan man bestemme den kinetiske energi, én elektron har opnået ed at blie aelereret gennem spændingsstigningen. Disse målinger iser, at den opnåede kinetiske energi er giet ed e U. Da i nu har styr på den kinetiske energi, kan farten af elektronen beregnes efter 2 E det klassiske udtryk = kin. m er elektronens masse. De således fundne m ærdier for farten sammenlignes med de eksperimentelt fundne ærdier ed den direkte måling af farten. Se Fig. (1.4). Figur 1.4: Maksimal hastighed. Taget fra W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32, 551 (1964). Det ses tydeligt, at det klassiske udtryk ikke er i oerensstemmelse med irkeligheden. Det ser altså ud til, at elektronens fart ikke kan blie ilkårlig
21 1.2 Lysets fart 9 stor, men altid er mindre end lysets fart. (På Fig. (1.4) er også ist den korrekte relatiistiske tolkning af eksperimentet).
22 10 Galileitransformationen
23 Kapitel 2 Lorentztransformationen I dette kapitel udledes den transformation, Lorentztransformationen, der erstatter Galileitransformationen ed oergang fra et inertialsystem til et andet inertialsystem. Forudsætningerne for transformationen præiseres, således at i på entydig is får bestemt Lorentztransformationen. 2.1 Forudsætninger for Lorentztransformationen Vi betragter i det følgende to inertialsystemer S og S med sammenfaldende akser til tiden t = t = 0. Systemet S beæger sig med hastigheden målt i systemet S langs x-aksen. Se Fig. (2.1). Af symmetrigrunde beæger systemet S sig da med hastigheden målt i systemet S langs med x -aksen. En begienhed A fastlægges i hert inertialsystem ed angielse af tidspunkt og stedkoordinat. Ds. i systemet S ed talsættet (t, x, y, z) og i systemet S ed talsættet (t, x, y, z ). Vores opgae er at bestemme den transformation, der gier sammenhængen mellem talsættet (t, x, y, z) og talsættet (t, x, y, z ) for begienheden. Forudsætninger Da den klassiske fysik jo har giet fantastisk mange erifierede resultater il det ære naturligt at forlange 1. For små hastigheder skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen. 2. Det speielle relatiitetsprinip skal gælde: Ds. det er ikke muligt ed noget fysisk eksperiment at afgøre hilket inertialsystem, der er i beægelse 11
24 12 Lorentztransformationen y S y S x x Figur 2.1: Inertialsystemerne S og S. eller hilket der er i hile. Derudoer indføres nu det helt afgørende kra 3. Lysets fart er den samme i alle retninger og i alle inertialsystemer. Punkt 3, som ble formuleret af Albert Einstein i 1905, er helt entralt i den speielle relatiitetsteori. Ved hjælp af disse tre forudsætninger skal i nu finde den transformation, Lorentztransformationen, der skal afløse Galileitransformationen. Den transformation, i søger, må endidere ære lineær, således at en fri partikel, der i S kan beskries ed en sædanlig parameterfremstilling for en ret linje med talsættet (t, x, y, z), også i S kan fremstilles ed en parameterfremstilling for en ret linje, nu blot ed talsættet (t, x, y, z ). Om den fundne transformation er i oerensstemmelse med naturen kan kun afgøres ed eksperimentets hjælp. Uanset hilken form, den nye transformation har, har i allerede nu en løsning på problemerne med tolkningen af Mihelson-Morley-forsøget og af de Sitters dobbeltstjerneanalyse. Forudsætning nr. 3 gier nemlig en forklaring på den manglende ændring i interferensbilledet i Mihelson-Morley-forsøget, da i i stedet for ligningerne (1.5), (1.6) og (1.10) automatisk har + = = =. Ligeledes er der ingen problemer m.h.t. de Sitters dobbeltstjerneanalyse, idet i her har + = =, se side Måling af tid og længde For at kunne måle en hastighed, f. eks. lysets hastighed, er det nødendigt at kunne måle en tilbagelagt ejstrækning og den tid, det har taget at tilbagelægge denne ejstrækning. Vejstrækningen er fastlagt ed et slut-
25 2.2 Måling af tid og længde 13 punkt og et begyndelsespunkt, his i holder os til en retlinet beægelse eller til en infinitesimal ejstrækning. Afstanden mellem disse to punkter kan i et inertialsystem bestemmes.hj.a. en målestok i hile i inertialsystemet. Målestokken lægges simpelthen, så den forbinder de to punkter, og afstanden aflæses på målestokken. Tiden, der er gået ed tilbagelæggelsen af ejstrækningen, kan findes ed at aflæse tiden på et ur plaeret ed slutpunktet i det øjeblik, lyset eller partiklen passerede slutpunktet. Uret er i hile i inertialsystemet. Det forudsættes, at der ikke er problemer med at afgøre, om to hændelser er samtidige, his de foregår i samme punkt. På samme måde aflæses tiden på et ur i hile plaeret ed startpunktet i det øjeblik, lyset eller partiklen passerer startpunktet. Tidsforbruget er så forskellen mellem de to aflæste tider. Men det kræer, at urene er synkroniserede for at gie en meningsfuld måling. Det entrale spørgsmål er dermed bleet, horledes synkroniseringen af ure skal foretages, således at det il ære muligt at sammenligne tider målt i et inertialsystem i forskellige punkter i inertialsystemet. Vi forstiller os nu, at i alle punkter (af interesse for os) er anbragt ure i hile, og at disse ure forentes at tikke lige hurtigt. Et af disse ure udælges som hoedur. Lad dette urs isning ære t o. Ved at udsende et signal fra dette hoedur til et andet ur, his afstand l til hoeduret er kendt, kunne i synkronisere urene ed at sætte tiden ed det andet ur ed modtagelsen af signalet til t o + l, hor w er signalets udbredelsesfart, his i kendte denne fart. Men w det fører os tilbage til problemet med at måle hastighed, og det kræede synkroniserede ure for at kunne irke. Vi synes at ære hanet i en Cath 22 -lignende situation. Men her kommer den eksperimentelle kendsgerning, at lysets fart er den samme i alle retninger os til hjælp. For at demonstrere dette, kan man nemlig nøjes med ét ur i et fast punkt. Vi kan forestille os, at lys sendes rundt i en lukket bane ha. spejle, se Fig. (2.2). Vi skal altså aflæse startiden for lysudsendelsen og sluttiden for modtagelsen af lyset på det samme ur i det faste punkt. Den af lyset tilbagelagte ej måles i ro og mag med målestokke i hile langs lysets bane. Ved frit at ælge forskellige opstillinger af disse stykkeis retlinede baner og efter hert forsøg at kunne konstatere at lysets fart er den samme ed alle forsøgene, ledes man til at postulere, at sådan er det altid: Lysets fart er den samme i alle retninger i det gine inertialsystem. Den angine metode med benyttelse af et hoedur og udsendelse af et lyssignal til andre ure i kendt afstand fra hoeduret er dermed en brugbar metode til at synkronisere alle ure i et inertialsystem. Metoden sikrer, at alle urene er indbyrdes synkroniserede. Da hoeduret og ur-a iser samme tid, og endidere hoeduret og ur-b iser samme tid, iser ur-a og ur-b også samme tid. His man ønsker at heke, om to ure plaeret i henholdsis punktet A og
26 14 Lorentztransformationen S2 S3 S1 S4 S5 Figur 2.2: Måling af lysets fart under benyttelse af kun ét ur. i punktet B er synkroniserede i inertialsystemet S, kan man foretage det eksperiment, at til tiden t As målt på A s ur sendes et lysglimt mod B. Dette lysglimt modtages i punktet B til tiden t B målt på B s ur. Lysglimtet reflekteres af et spejl anbragt i B og modtages i punktet A til tiden t Am målt på A s ur. Da lysglimtets fart på de to ture ifølge ores antagelse og eksperimentelle undersøgelser altid har samme ærdi, og da lysglimtene skal tilbagelægge samme ejstrækning på de to ture, er de to ure synkroniserede, netop his følgende er opfyldt t B t As = t Am t B t B = 1 2 (t A s + t Am ) (2.1) 2.3 Transformation af y og z: Afstande inkelret på beægelsesretningen To iagttagere i hert sit inertialsystem S og S har besluttet at lae hert sit rør med samme radius målt i hile. Efter at hae konstrueret rørerne lægger de dem med røraksen parallelt med x(x )-aksen. Rør A ligger stille i S og
27 2.4 Transformation af x og t 15 rør B ligger stille i S. Se Fig. (2.3). y S y S A x B x Figur 2.3: Inertialsystemerne S og S med to ens rør. Set fra S kommer der nu et rør, A, susende med hastighed. His nu længder inkelret på hade en anden ærdi målt i S end målt i S, ille rør A altså passere gennem rør B, his rørradius ble målt mindre i S, eller også ille rør A helt omslutte rør B, his rørradius ble målt større i S. Set fra S er situationen helt den samme. Her kommer rør B susende med hastighed. Da beægelse mod højre og enstre gier samme fysik il iagttageren i S kunne sige: His radius af B ble målt mindre ille B pasere gennem A, og his radius af B ble målt større ille A passere gennem B. Vi får altså en modstrid, his længder inkelret på beægelsesretningen ændres. Der er derfor kun en mulighed tilbage: Man måler samme længde. Dermed er transformationen af y og z-koordinaterne fundet y = y (2.2) z = z (2.3) 2.4 Transformation af x og t Til tidspunktet t = t = 0 hor origo O og O i de to inertialsystemer S og S falder sammen, udsendes fra O(O ) et lysglimt. Denne forstyrrelse udbreder sig i begge systemer på en kugleflade, da lysets fart i de to systemer er ens i alle retninger. Endidere er lysets fart den samme i begge systemer, således at radius i S til tiden t er t, og i S er radius til tiden t bleet t. Kuglefladen kan i S beskries ed ligningen 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 (2.4)
28 16 Lorentztransformationen og i S ed ligningen Altså gælder der 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 (2.5) 2 t 2 x 2 = 2 t 2 x 2 (2.6) hor i også har benyttet ligningerne (2.2) og (2.3). Da transformationen fra (t, x) til (t, x ) er lineær (og uden indblanding af y og z) skal i bestemme fire tal K, L, M og N, der er uafhængige af (t, x), men som formodentligt kommer til at afhænge af, da jo karakteriserer beægelsen af S og S i forhold til hinanden: x = K x + L t (2.7) t = M t + N x (2.8) For origo O gælder i systemet S at x = 0 og i systemet S at x = t. Dette kan sættes ind i ligning(2.7), og dermed har i et bånd mellem tallene L og K Nu kan ligning (2.7) skries = L K (2.9) x = K (x t) (2.10) Ligningerne (2.8) og (2.10) benyttes i ligning (2.6), og efter lidt rumsteren har i x 2 2 t 2 = (K 2 2 N 2 ) x 2 2 (K M N) x t ( 2 M 2 K 2 2 ) t 2 (2.11) For at ligning (2.11) kan ære opfyldt for alle x og alle t, skal koeffiienterne til x 2, x t og t 2 ære ens på begge sider af lighedstegnet i ligning (2.11). Der skal altså gælde K 2 2 N 2 = 1 (2.12) K M N = 0 (2.13) 2 M 2 K 2 2 = 2 (2.14) Af ligning (2.13) får i N = K 2 2 M Ligning (2.15) indsættes i ligning (2.12) (2.15) K K 4 M 2 = 1 (2.16)
29 2.4 Transformation af x og t 17 Af ligning (2.14) fås M 2 = 2 + K (2.17) Ligning (2.17) indsættes i ligning (2.16), og efter lidt regneri finder i 1 K = ± (2.18) )2 Nu kan ligning (2.18) indsættes i ligning (2.17), og M kan findes 1 M = ± (2.19) )2 Dernæst indsættes ligningerne (2.18) og (2.19) i ligning (2.15), og N kan findes N = ± 1 (2.20) 2 )2 Vi mangler nu kun at bestemme fortegnene for K, M og N. Ligning (2.7) skal gælde for alle ærdier af, også for = 0. For = 0 er x = x, og dermed er K = 1. Da K antages at ære en pæn kontinuert funktion af, må fortegnet for K ære plus, ds. K = L er dermed også bestemt ia ligning (2.9) L = 1 )2 (2.21) )2 (2.22) For skal den søgte transformation falde sammen med Galileitransformationen, ds. ligning (2.8) skal gå oer i t = t. Fortegnet for M må derfor ære plus, altså 1 M = (2.23) )2 Hermed er fortegnet for N fastlagt ia ligning (2.15), og N blier N = 2 1 )2 (2.24) Konstanterne K, L, M og N er hermed fastlagte, og i har fundet Lorentztransformationen x = x t (2.25) )2
30 18 Lorentztransformationen t = y = y (2.26) z = z (2.27) t 2 x )2 (2.28) Den omendte transformation fra inertialsystemet S til inertialsystemet S fås ed i ligningerne (2.25) til (2.28) at udskifte med og bytte om på de mærkede og de umærkede ariable x = x + t )2 (2.29) y = y (2.30) z = z (2.31) t = t + 2 x )2 (2.32) Nanet på transformationen skyldes, at H.A. Lorentz før Einstein hade ist, at denne transformation medfører, at Maxwells ligninger er inariante. Dette il ikke ære tilfældet under en Galileitransformation. Inariansen af Maxwells ligninger under en Lorentztransformation ar ligeledes bleet ist af H. Poinaré. Eftertanke. Da i opskre Lorentztransformationen fra S til S, gik i ud fra, at S beæger sig med hastighed i forhold til S af symmetrigrunde. Men i kan let se, at det må forholde sig således ed følgende betragtning. Transformationen fra S til S må ære af samme form som transformationen fra S til S blot med hastigheden erstattet med en anden hastighed, som i il kalde w x = x w t ) (2.33) w 2 t = t w x 2 ) (2.34) w 2
31 2.5 Dobbelt Lorentztransformation 19 I ligning (2.33) indsættes nu resultaterne fra ligningerne (2.25) og (2.28). Dette gier ed en lille regning x = x (1 + w ) t (w + ) 2 ) w 2 ) (2.35) 2 Da ligning (2.35) skal ære opfyldt for alle (x, t), skal w + = 0, og dermed er w =, hilket sikrer opfyldelsen af ligning (2.35). En tilsarende regning med udgangspunkt i ligning (2.34) gier samme resultat. Altså er det godtgjort, at S beæger sig med hastighed i forhold til S. 2.5 Dobbelt Lorentztransformation Vi ser her på tre inertialsystemer S, S og S. S beæger sig med hastighed i forhold til S langs x, x -aksen, og S beæger sig med hastighed w i forhold til S langs x, x -aksen. Til tiden t = t = t = 0 er de tre systemer sammenfaldende. His i udfører først en Lorentztransformation fra S til S og dernæst en Lorentztransformation idere fra S til S, har i fået en transformation fra S til S. Det il ære naturligt at forente, at dette må kunne beskries som en Lorentztransformation fra S til S. Dette il i nu ise ekspliit. For de to gine transformationer gælder x = x t ) t = t x 2 2 ) 2 (2.36) x = x w t ) t = t w x 2 w 2 ) w 2 (2.37) Ved et lille regnestykke, hor ligning (2.37) indsættes i ligning (2.36), fås x = x +w 1+ w ) 2 2 t +w 1+ w ) 2 t w 1 x w 2 ) 2 1 (2.38) t = ) (2.39) w w 2 Tællerne i de to ligninger (2.38) og (2.39) ser fornuftige ud med S s hastighed V i forhold til S giet ed V = + w 1 + w 2 (2.40)
32 20 Lorentztransformationen For at hae den rigtige form på transformationen skal nænerne i ligningerne (2.38) og (2.39) kunne skries ) V 2. At dette er tilfældet ises ed direkte udregning af ) V 2 med V giet ed ligning (2.40). Hermed er ist, at sammensætningen af to Lorentztransformationer gier en ny Lorentztransformation, og at den sammensatte Lorentztransformation er giet ed S s hastighed V i forhold til S med V bestemt af ligning (2.40). Se også ligning (3.36). His i hade benyttet Galileitransformationen, ille i hae fået V = + w. I den grænse, hor og w, ses, at ligning (2.40) også gier dette resultat. 2.6 Den generelle Lorentztransformation His inertialsystemet S beæger sig i y-aksens retning med hastighed i forhold til inertialsystemet S, se Fig. (2.4), og de to inertialsystemer er sammenfaldende til tiden t = t = 0 blier transformationen mellem S og S naturligis S y x S y Figur 2.4: Lorentztransformation i y-aksens retning. x
33 2.6 Den generelle Lorentztransformation 21 x = x x = x (2.41) y = y t ) y = y + t 2 ) (2.42) 2 z = z z = z (2.43) t = t y 2 ) t = t + y 2 2 ) (2.44) 2 Lad nu S beæge sig med en ilkårlig hastighed i forhold til S, se Fig. (2.5). Den rumlige del af en begienhed er giet ed ektoren r. Den del af S y S y O x O x Figur 2.5: Lorentztransformation i ilkårlig retning. denne ektor, der er inkelret på er r = r r (2.45) 2 Med brug af samme argumentation som i afsnit 2.3 kan i slutte, at afstande, der er inkelrette på, er uændrede. For transformationen af r må derfor gælde r = r (2.46) Den del af r, der er parallel med, altså r = r (2.47) 2 har en ikketriiel transformation, som i il finde på samme måde som i afsnit 2.4. Ligning (2.6) blier nu under anendelse af ligning (2.46) 2 t 2 r 2 = 2 t 2 r 2 (2.48)
34 22 Lorentztransformationen Vi antager på samme måde som før en lineær sammenhæng af formen r = K r + L t (2.49) t = M t + N r (2.50) Origo O er i S beskreet ed r = o og altså også r = o, medens det i S er beskreet ed r = r = t. Dette indsat i ligning (2.49) medfører L = K, således at ligning (2.49) omskries til r = K ( r t ) (2.51) Ligningerne (2.50) og (2.51) benyttes i ligning (2.48), som med = blier 2 t 2 r 2 = 2 (M t + N r ) 2 K 2 ( r t ) 2 Heraf fås ligningssættet = ( 2 M 2 K 2 2 ) t ( 2 M N + K 2 ) t r ( 2 N 2 K 2 ) r 2 (2.52) K 2 2 N 2 = 1 (2.53) K M N = 0 (2.54) 2 M 2 K 2 2 = 2 (2.55) som har samme løsning, som i tidligere fandt ed ligningerne (2.21) - (2.24). Dermed har i fundet den ønskede transformation for r og t. For r gælder altså r r t = ) (2.56) 2 Transformationen for hele den rumlige del, r = r + r, af en begienhed kan derfor ha. ligningerne (2.46) og (2.56) skries sammen til ( ) 1 r r = r + ) 1 2 t 2 ) (2.57) 2 Transformationen for tidsdelen af begienheden blier med de fundne ærdier for M og N indsat i ligning (2.50) t = t r 2 ) (2.58) 2
35 2.6 Den generelle Lorentztransformation 23 Dermed har i fundet den generelle Lorentztransformation i alle de tilfælde, hor der ikke indgår en rotation af de rumlige koordinatakser i forhold til hinanden. Den omendte transformation fås af oenstående ed at udskifte med ( ) 1 r t r = r + ) ) 2 (2.59) t = t r + 2 ) 2 (2.60)
36 24 Lorentztransformationen
37 Kapitel 3 Kinematiske konsekenser af Lorentztransformationen Dette kapitel il med udgangspunkt i den fundne Lorentztransformation udlede en række kinematiske konsekenser af denne transformation. 3.1 Inarians I relatiitetsteorien spiller begrebet inarians en meget igtig rolle. Einstein kaldte oprindelig sin teori "Inarianztheorie" 1. Inarians her i betydningen uforanderlig. Men relatiitetsnanet andt som bekendt, både blandt fysikere og i offentligheden. I begyndelsen af 1900-tallet ble relatiitetsteorien af affelattesegmentet misbrugt til at hæde, at had som helst indenfor psykologi, soiologi, litteratur, kunst os. ar relatit. Ateister og troende kunne ligeledes her for sig finde argumenter for, at netop deres lisanskuelse kunne begrundes med relatiitetsteorien og dens resultater. Dette på trods af at det, der karakteriserer teorien, netop er, at de fysiske loe har samme form, ds. er inariante, i alle inertialsystemer. Der er altså intet relatit ed relatiitetsteorien. Selfølgelig er der forskel på, om i beskrier feks. en konkret beægelse i et inertialsystem eller i et andet. Koordinatsættene til en partikels sted afhænger naturligis af inertialsystemet. Men det er en triiel forskel på linje med, at i kan angie plaeringen af toppen af Rundetårn ed dens afstand fra Købmagergadenieau, hanieau eller toppen af Rådhustårnnieau. Fra matematik kender i også, at størrelser kan ære inariante. Feks. il længden af en ektor ed rotation, parallelforskydning eller reflektion af koordinatsystemet ære inariant. Fra klassisk fysik ed i også, at under en 1 Ordet "Relatitheorie" dukker op i et bre fra Max Plank til Einstein i Einstein kaldte i 1907 teorien for "Relatiitätstheorie" i et bre til Paul Ehrenfest. 25
38 26 Kinematiske konsekenser Galileitransformation er feks. masse, elektrisk ladning, aeleration og resulterende kraft inariante størrelser. I relatiitetsteorien il i også finde, at isse størrelser er inariante, men ikke nødendigis de samme størrelser, som er inariante i den klassiske fysik. Men hoedbudskabet i relatiitetsteorien er, at de grundlæggende fysiske loe er de samme i alle inertialsystemer, og at forbindelsen mellem fysiske størrelser i de to inertialsystemer er fastlagt ed Lorentztransformationen. Det følger direkte af Lorentztransformationen, ligningerne (2.25) til (2.28), at 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (3.1) Ds. for enher begienhed, had enten den angies i inertialsystemet S som (t, x, y, z) eller i inertialsystemet S som (t, x, y, z ), er størrelsen s 2 giet ed s 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (3.2) eller den tilsarende størrelse s 2 udregnet i S altid ens. Vi siger, at s 2 er Lorentzinariant. (Da i udledte Lorentztransformationen, benyttede i en speialudgae af dette, nemlig tilfældet s 2 = s 2 = 0). Det eneste, i har benyttet for at ise dette, er, at talsættet (t, x, y, z) transformerer ed en Lorentztransformation. For ethert talsæt (A 0, A 1, A 2, A 3 ), der transformerer på samme måde som talsættet (t, x, y, z), il da ligeledes størrelsen 2 A 2 = 2 A 0 2 A 1 2 A 2 2 A 3 2 ære Lorentzinariant. For den generelle Lorentztransformation gælder også, at størrelsen s 2 = 2 t 2 r 2 er inariant. Dette ses på samme måde som tidligere ed direkte udregning af s 2 = 2 t 2 r 2 under anendelse af ligningerne (2.57) og (2.58). Denne udregning gier s 2 = s 2. For to begienheder (t 1, x 1, y 1, z 1 ) og (t 2, x 2, y 2, z 2 ) kan i danne talsættet s = (t 2 t 1, x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) = ( t, x, y, z). Da Lorentztransformationen er lineær, il s transformere fra S til S på samme måde, 2 Bemærk at A 0 -komponenten ganges med. Dette er også nødendigt af dimensionsgrunde.
39 3.1 Inarians 27 som (t, x, y, z) gør. Ds. der gælder t = t x 2 ) 2 (3.3) x = x t ) 2 (3.4) y = y (3.5) z = z (3.6) Derfor er også ( s) 2 = 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (z 2 z 1 ) 2 = 2 ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 Lorentzinariant. I stedet for at skrie ( s) 2, som er det matematisk korrekte, er der i relatiitetsteorien tradition for at skrie dette som s 2, sel om dette jo egentlig betyder ændringen i s 2. Tilsarende gøres for ( x) 2 = x 2 os. Altså skries s 2 = 2 t 2 x 2 y 2 z 2. Der er tre muligheder for fortegnet af s 2 som gies hert sit nan < 0 s siges at ære rumagtig s 2 = 0 s siges at ære lysagtig (3.7) > 0 s siges at ære tidsagtig Det il altid ære muligt ed en passende transformation af det sædanlige koordinatsystem i rummet at opnå, at formen på s er s = ( t, x, 0, 0), således at s 2 = 2 t 2 x 2. Lad os som eksempel på anendelsen af inariansen af s 2 se på to begienheder, der er samtidige i inertialsystemet S, og som finder sted på to forskellige steder. Lad os antage at s = ( t, x, 0, 0). Der gælder altså s 2 = 2 t 2 x 2 = x 2 (3.8) (Vi ser bort fra y og z-bidragene, da i har sørget for, at disse er 0 i systemerne S og S ). Man kan nu spørge om, om det er muligt, at de to begienheder også er samtidige i systemet S. Da s 2 = 2 t 2 x 2 og pga. inariansen, il i så fald gælde for t = 0 s 2 = s 2 x 2 = x 2 (3.9) Dette er kun muligt (se Lorentztransformationen ligning (2.25)) his S s hastighed i forhold til S er nul. Altså er de to begienheder ikke samtidige i S, his S har en fra nul forskellig hastighed i forhold til S. Samtidighed i
40 28 Kinematiske konsekenser relatiitetsteorien er altså ikke en absolut egenskab for to begienheder men gier kun mening, his det præisseres for hilket inertialsystem, samtidigheden gælder. Vi il nu se på de tre muligheder for fortegnet af s 2 for at undersøge, om det er muligt at finde en Lorentztransformation, så de to begienheder er samtidige i et særligt inertialsystem, eller om det er muligt, at de to begienheder finder sted i samme punkt i et inertialsystem. For de to begienheder dannes s = ( t, x, y, z). Vi il også her antage, at s er af formen s = ( t, x, 0, 0), således at s 2 = 2 t 2 x 2. s tidsagtig. Vi ønsker at finde, hilken hastighed et inertialsystem S skal beæge sig med i forhold til S, så de to begienheder finder sted i samme punkt i S. Da s er tidsagtig gælder > x (3.10) t eller 1 < t (3.11) x His de to begienheder finder sted i samme punkt i S er x = 0, hilket medfører (benyt ligning (3.4)) = x. Denne hastighed opfylder betingelsen t < på grund af uligheden (3.10). Dermed har i ist, at det er muligt at transformere til et inertialsystem, hor begienhederne finder sted i samme punkt. Vi kunne også spørge, om det er muligt at opnå samtidighed i et nyt inertalsystem. Her skulle altså gælde t = 0. Men så ille s 2 jo blie negati i modstrid med forudsætningen. Rent algebraisk medfører t = 0 under brug af ligning (3.3), at = 2 t. På grund af uligheden (3.11) får i her >. x Ds. det er ikke muligt at opnå samtidighed. s lysagtig. Her gælder = x t. Her il kraet t = 0 medføre =, og kraet x = 0 il ligeledes medføre =. Det er altså ikke muligt at finde en Lorentztransformation, så begienhederne finder sted til samme tidspunkt, og det er ligeledes umuligt at finde en Lorentztransformation, så begienhederne finder sted i samme punkt i rummet. s rumagtig. Da s er rumagtig gælder < x (3.12) t
41 3.1 Inarians 29 eller 1 > t (3.13) x Ved samme oerejelser som oenfor il kraet om samtighed, t = 0, medføre = 2 t. Med brug af uligheden (3.13) slutter i <. Dermed x er det ist, at i kan finde et inertialsystem, så de to begienheder er samtidige i dette system. Dernæst undersøger i, om det er muligt at hae x = 0. Men så ille s 2 blie positi i modstrid med forudsætningen. Igen kan i rent algebraisk se, at ligning (3.4) medfører = x. Med brug af uligheden (3.12) ses her at t gælde >. Det er altså ikke muligt ed en Lorentztransformation at opnå, at begienhederne finder sted i samme punkt. Kausalitet. Som et andet eksempel på anendelse af inariansen il i se på begrebet kausalitet. Da lysets fart er den størst mulige fart, kan intet signal udbrede sig med en fart større end lysets fart. For to begienheder, der i inertialsystemet S bestemmer et rumagtigt s, kan der ikke ære en kausal sammenhæng. Altså den ene begienhed kan ikke som årsag hae den anden begienhed. Dette gælder også i ethert andet inertialsystem, da s 2 er Lorentzinariant. Det er altså ikke muligt at finde en eller anden skør Lorentztransformation, hor den ene begienhed kunne ære en følge af den anden. Begienheders tidsrækkefølge. Vi ser på to begienheder A og B med tid og sted giet ed sættene (t 1, x 1 ) og (t 2, x 2 ), hor begienhed A forekommer før begienhed B, ds. t 1 < t 2. (Igen har i sørget for, at y 1 = y 2 = z 1 = z 2 = 0 ed passende alg af det rumlige koordinatsystem). Vi spørger nu om, had betingelsen er for, at der er samme tidsrækkefølge af begienhederne A og B også i alle andre inertialsystemer. Tiderne t 1 og t 2 transformeres til systemet S ed en Lorentztransformation t 1 = t 1 x 2 1 ) (3.14) 2 t 2 = t 2 x 2 2 ) (3.15) 2 Kraet, i stiller, er t 2 > t 1, som i ed et lille regnestykke under brug af ligningerne (3.14) og (3.15) omformer til uligheden 2 > x 2 x 1 t 2 t 1 (3.16)
42 30 Kinematiske konsekenser Da < il uligheden (3.16) ære opfyldt for alle, his > x 2 x 1 t 2 t 1 (3.17) Ds. his s er tidsagtig, er tidsrækkefølgen af de to begienheder den samme i alle inertialsystemer. Med et tidsagtigt s er det muligt, at der er en kausal sammenhæng mellem begienhederne A og B. His der skal byttes om på tidsrækkefølgen af begienhederne A og B i systemet S, får i ed en lignende regning som oenfor, at der skal gælde (t 2 t 1 ) < (x 2 x 1 ) (3.18) Dette il ære muligt at opnå for s rumagtig. Men så il der ikke ære en kausal sammenhæng mellem begienhederne A og B, da intet signal kan nå fra begienhed A s sted til begienhed B s sted på den tid, der er til rådighed. 3.2 Retning af lysstråle Som en simpel direkte anendelse af Lorentztransformationen il i se på, horledes retningen af en lysstråle kan angies i to forskellige inertialsystemer samt finde sammenhængen mellem disse to retninger. I inertialsystemet S udsendes lys fra origo til tiden t = t = 0. y S y S x α x Figur 3.1: Retning af lysstråle set fra henholdsis inertialsystemet S og fra inertialsystemet S. Lysstrålens retning med x -aksen er α. Se Fig. (3.1). Der gælder da os(α ) = x t (3.19)
43 3.3 Hastighedstransformation 31 hor x er førstekoordinaten til det punkt, hortil lystrålen er kommet til tiden t. Den tilbagelagte ej af lyset er jo t, som netop er længden af hypotenusen i den antydede trekant. Ved brug af Lorentztransformationen kan x og t udtrykkes ed x og t i inertialsystemet S og i får os(α ) = x ( t ) 2 1 t 2 x 1 ( ) 2 = x t x t 1 (3.20) Da lyset jo også beæger sig retlinet set fra inertialsystemet S, kan i på samme måde, som i gjorde i systemet S, angie retningen af lysstrålen ed den inkel α, lysstrålen danner med x-aksen, men nu angiet i systemet S ed os(α) = x (3.21) t Dered kan ligning (3.20) omskries til os(α ) = os(α) 1 os(α) (3.22) som er den ønskede sammenhæng mellem α og α. Ligning (3.22) kan under anendelse af den trigonometriske relation tan( 1 2 x) = 1 os(x) 1+os(x) omskries til tan( 1 2 α ) = tan( 1 2 α) (3.23) 3.3 Hastighedstransformation I inertialsystemet S befinder en partikel sig til tiden t 1 på stedet A(x 1, y 1, z 1 ). Til tiden t 2 befinder den sig på stedet B(x 2, y 2, z 2 ). Partiklens hastighed u i S er bestemt ed (sædanlig grænseoergang t 0 underforstået) u x = x 2 x 1 t 2 t 1 u y = y 2 y 1 t 2 t 1 u z = z 2 z 1 t 2 t 1 = x t = y t = z t (3.24) (3.25) (3.26)
44 32 Kinematiske konsekenser Da Lorentztransformationen, som i tidligere har udnyttet (se side 26), er lineær, gælder, at t, x, y, z transformerer som t, x, y, z og derfor er x = x t )2 (3.27) y = y (3.28) z = z (3.29) t = t x 2 )2 (3.30) For hastigheden af partiklen målt i inertialsystemet S får i da ha. ligningerne (3.27) - (3.30) u y = y t = u x = x t = y t 2 x x t t x = 2 x t 1 x 2 t )2 = u y 1 ux 2 = u x 1 (3.31) ux 2 )2 (3.32) Transformationen for hastigheden i z-retningen findes analogt. Slutresultatet for transformationen fra S til S kan derfor opskries som u x = u x 1 (3.33) ux 2 u y = u y 1 ux )2 (3.34) 2 u z = u z 1 ux )2 (3.35) 2 Transformationen fra S til S fås ed i ligningerne (3.33) til (3.35) at udskifte med u x = u x + (3.36) 1 + u x 2 u y = u z = u y 1 + u x 2 u z 1 + u x 2 )2 (3.37) )2 (3.38) Bemærk at ligningerne for hastighedstransformationen ikke umiddelbart ligner Lorentztransformationen for tid og sted.
Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1
Kinematik Kinematik Indhold. Retlinet beægelse.... Jæn retlinet beægelse...3 3. Ujæn beægelse...4 4. Konstant accelereret beægelse...5 5. Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse...8 6. Frit
Læs mereDet skrå kast uden luftmodstand
Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale
Læs mereLorentz kraften og dens betydning
Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet
Læs mereProjekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal
Projekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal Et af de helt store idenskabelige projekter i 1700tallets Danmark ar kortlægningen af Danmark. Projektet ble aretaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes
Læs mereBølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1
Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Bølgeligningen Indhold 1. Bølgeligningen.... Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng...3 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger
Læs mereCurling fysik. Elastisk ikke centralt stød mellem to curling sten. Dette er en artikel fra min hjemmeside:
Crling fysik Dette er en artikel fra in hjeeside: www.olewitthansen.dk Ole Witt-Hansen 08 Indhold. Elastisk stød.... Centralt elastisk stød..... Masseidtpnkts systeet. : Centre of ass...3 3. Crling fysik...4
Læs mereFORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen
Fysik i idræt - Idræt i fysik 006 FORSØGSVEJLEDNING Kasteparablen Formål: At bestemme kastelængden (x-positionen) for kast ed forskellige afleeringsinkler: o Ca. 30 o. o Ca. 45 o. o Ca. 60 o. og ed brug
Læs mereDen Specielle Relativitetsteori
Den Speielle Relatiitetsteori Kristian Jersle, 3y, Ringkjøbing Gymnasium 30-01-07-1- Indholdsfortegnelse Indledning... 3 En begienhed... 4 Relatiitetsteori og Kinematik... 4 Tidsforlængelse... 4 Længdeforkortelse...
Læs mereMatematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1
f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereKeplers ellipse. Perihel F' Aphel
Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel.
Læs mereStatistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas
Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære
Læs mereStatistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 5 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
Læs mereStatistisk mekanik 6 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 6 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
Læs mereStatistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas
Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære
Læs mereIntroduktion til Grafteori
Introdktion til Grafteori Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.a.dk) IMF, 2007 1 Indledning En graf inden for matematikken er nogle pnkter, kaldet knder, der er forbndet af nogle streger, kaldet kanter. Hor
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereRelativitetsprincippet i Newtons fysik
side /37 Relatiitetsprinippet i Newtons fsik. Indledning - beskrielsessstemer Enher fsisk teori arbejder med begreber som rm og tid. F.eks. fordsætter dsagnet "partiklen befinder sig i pnktet P(,,z) til
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgaesættet (incl. forsiden): 7 (sy) Eksamensdag: Mandag den 20. juni 2005, kl. 9.00-13.00
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereProjekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereGeometri med Geometer II
hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne
Læs mereRela2vitetsteori (i) Einstein roder rundt med rum og.d. Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet
Rela2vitetsteori (i) Einstein roder rundt med rum og.d Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet Hvor hur2gt bevæger du dig netop nu?? 0 m/s i forhold 2l din stol 400 m/s i forhold 2l Jordens centrum (rota2on) 30.000
Læs mereEn mekanisk analog til klassisk elektrodynamik
En mekanisk analog til klassisk elektrodynamik Af (f. 1970) er cand.scient i fysik fra Niels Bohr Institutet i 2000. Artiklen bygger på hans speciale. I dag arbejder han som softwareudikler på Danmarks
Læs mereVIRKSOMHEDERS SOCIALE ENGAGEMENT ÅRBOG 2005 SAMMENFATNING 05:14. Maja Rosenstock
05:14 Maja Rosenstock VIRKSOMHEDERS SOCIALE ENGAGEMENT ÅRBOG 2005 SAMMENFATNING 05:14 VIRKSOMHEDERS SOCIALE ENGAGEMENT ÅRBOG 2005 SAMMENFATNING Maja Rosenstock KØBENHAVN 2005 SOCIALFORSKNINGSINSTITUTTET
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereFra Absolut Rum til Minkowski Rum
Fra Absolut Rum til Minkowski Rum R e l a t i v i t e t s t e o r i e n 1 6 3 0-1 9 0 5 Folkeuniversitetet 27. november 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet 1 Johannes
Læs mereModerne Fysik 1 Side 1 af 7 Speciel Relativitetsteori
Moderne Fysik 1 Side 1 af 7 Hvad sker der, hvis man kører i en Mazda med nærlysfart og tænder forlygterne?! Kan man se lyset snegle sig afsted foran sig...? Klassisk Relativitet Betragt to observatører
Læs mereEn harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.
Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,
Læs mereFormler til den specielle relativitetsteori
Formler til den specielle relativitetsteori Jeppe Willads Petersen 25. oktober 2009 Jeg har i dette dokument forsøgt at samle de fleste af de formler, vi har brugt i forbindelse med den specielle relativitetsteori,
Læs mereTillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Læs mereRejsen over Limfjorden
Rejsen oer Limfjorden Indledning Der har gennem de senere år æret stor diskussion om at forandre infrastrukturen omkring Limfjorden i Aalborg ed at oprette en 3. Limfjordsforbindelse. Et spørgsmål som
Læs mereDefinition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2
Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar
Læs mereJuly 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook
Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereTrigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereRela2vitetsteori (ii)
Rela2vitetsteori (ii) Einstein roder rundt med rum og.d Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet Einsteins rela2vitetsprincip (1905) Einsteins postulater: 1. Alle iner*alsystemer er ligeværdige for udførelse af
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt.
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereLotusLive. LotusLive Engage og LotusLive Connections Brugervejledning
LotusLie LotusLie Engage og LotusLie Connections Brugerejledning LotusLie LotusLie Engage og LotusLie Connections Brugerejledning Note Læs oplysningerne i Bemærkninger på side 181, før du bruger denne
Læs mereDen Specielle Relativitets teori
2012 Den Speielle Relativitets teori Simon Bruno Andersen 21-12-2012 Abstrat This study explains the priniples behind Einstein s speial theory of relativity, furthermore the Lorentz-transformation in omparison
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereRækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen
Rækkeudvikling - Inertialsystem John V Petersen Rækkeudvikling inertialsystem 2017 John V Petersen art-science-soul Vi vil undersøge om inertiens lov, med tilnærmelse, gælder i et koordinatsytem med centrum
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereKlassisk relativitet
Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 1 af 12 Hvad sker der, hvis man kører i sin gamle Mazda med nærlysfart og tænder forlygterne; vil man så se lyset snegle sig af sted foran sig...?! Klassisk relativitet
Læs mereStørre Skriftlig Opgave
Større Skriftlig Opgave Den specielle relativitetsteori Martin Sparre, 03u24 December 2005 Elev: Martin Sparre Klasse: 3.u Elev Nr.: 03u24 Institution: Frederiksborg Gymnasium Vejleder: Lasse Storr-Hansen
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereVelkommen i koldbøtten
Velkommen i koldbøtten Vi sætter en stor ære i at ære med til at uddanne nye pædagoger og i håber at du il få meget med dig herfra, ligesom i også håber, at du kan gie os meget. Vi opfordrer dig til at
Læs mereEn samtaleguide for frafaldstruede elever. Frederikshavn Handelsskole HG Kirkegade 9 9900 Frederikshavn
En samtaleguide for frafaldstruede eleer På ej - Introduktion Had Eleen forklarer had han/hun opleer som problemet, og hilke forentninger eleen har til samtaleforløbet Det afklares hordan mentor og ele
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereEnkelt og dobbeltspalte
Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde
Læs mereRela2vitetsteori (iii)
Rela2vitetsteori (iii) Einstein roder rundt med rum og.d Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet Udgangspunktet: Einsteins rela2vitetsprincip Einsteins postulater: 1. Alle iner*alsystemer er ligeværdige for udførelse
Læs mereU = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.
Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre
Læs mereSBI-SÆRTRYK 292. VVS nr. 12, 1979. Svend Kjelstrup: Brusekabiner. Nye installationer i gamle boliger
SB-SÆRTRYK 292 VVS nr. 12, 1979 Send Kjelstrup: Brusekabiner. Nye installationer i gamle boliger STATENS BYG G EFO RS K N N G S N STTUT Hørsholm 1980 Brusekabiner Nye installationer i gamle boliger af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mere!! Spørgsmål b) Hvad er 1/hældningen af hhv de grønne og røde verdenslinjer? De grønne linjer: Her er!
Logbog uge 41 Laboratorievejledning: http://www.nbi.dk/%7ebearden/beardweb/teaching/fys1l2008/uge41/uge41- vejledning.html I denne uge så vi igen på den specielle relativitetsteori. Vi lagde ud med pole-barn-paradokset,
Læs mereAARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen
AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 6 Eksamensdag: fredag dato: 11.
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,
Læs mereCresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori
Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori
Læs mereDETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE
DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En massiv metalkugle
Læs mereDen Specielle Relativitetsteori. NOVA Kosmologigruppen 20. September 2012 Poul Henrik Jørgensen
Den Specielle Relativitetsteori NOVA Kosmologigruppen 0. September 01 Poul Henrik Jørgensen Gallileisk Inerti Referenceramme Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo / Gallileo 163 Ptolemaiske og
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereStern og Gerlachs Eksperiment
Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her
Læs mere1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter
1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDET KØNSOPDELTE ARBEJDSMARKED
06:02 EN KVANTITATIV OG KVALITATIV BELYSNING Gennem kalitatie interiew på fire irksomheder afdækkes nogle af de mekanismer, der gradist og til tider umærkeligt fører til, at udiklingsopgaer og lederstillinger
Læs mereEther og relativitetsteorien
Side: 1 Albert Einstein gav en adresse den 5. maj 1920 Leiden Universitet. Han valgte som sit emne Ether og relativitetsteorien. Han underviste i tysk, men vi præsenterer en engelsk oversættelse nedenfor.
Læs mereForsøg til Lys. Fysik 10.a. Glamsdalens Idrætsefterskole
Fysik 10.a Glamsdalens Idrætsefterskole Henrik Gabs 22-11-2013 1 1. Sammensætning af farver... 3 2. Beregning af Rødt laserlys's bølgelængde... 4 3. Beregning af Grønt laserlys's bølgelængde... 5 4. Måling
Læs mereFra Newtonsk til speciel relativitet
Kapitel 1 Fra Newtonsk til speciel relativitet 1.1 Relativitet Kernen i Einstein s specielle relativitetsteori fra 1905 er, at den, sammen med hans generelle relativitetsteori fra 1915, grundlægger den
Læs mereLøsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet
V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merePythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:
Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Togopgave
Togopgae side 1 Institut for Mateatik, DTU: Gynasieopgae Togopgae Teori: Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende Fysik 1 For dgangskursus og HTX, Gyldendal 1993,. udgae, siderne 73-75, 94-95 og 116-117. Grundlæggende
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mere