Marius tanker. Af Hans Marius Kjærsgaard. - I et vektorfelt

Transkript

1 Marius tanker Af Hans Marius Kjærsgaar - I et vektorfelt

2 Inholfortegnelse Introuktion... Problemformulering... Introuktion til funktionsmænger... 3 Grafisk repræsentation og samlingspunkter... 3 Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler... 4 Eksempel... 5 Anvenelse m.h.t. planlægning af fragtskibes sejlruter... 7 Moel af siestrøm... 9 Funktionsmængers anre anvenelses muligheer... Konklusion og viereuvikling... Kileliste... Introuktion 9% af verens varer transporteres me skib. Skibene bruger i alt ca. millioner tons bræntof om året. Dette tal forventes ena at stige til omkring 35 millioner tons om år, i år. Bræntoffet er båe yrt for skibsreerierne, og uleer mellem 6 millioner og 8 millioner tons CO om året, et svare til omkring 4% af en globale CO ulening. il sammenligning uleer flybranchen kun et halve, ca. % af en globale CO ulening. I ag planlægger fragtskibe hoveageligt eres ruter u fra en korteste istance, og nogle skibe planlægger eres ruter for at ungå storme, høje bølger osv. for at gøre rejsen mere sikker og behagelig for passagerer. Før i tien var et et kent princip, hvis man skulle fra USA til Europa, at følge Golfstrømmen langs USA s kyst for at komme hurtigere frem. I ag tager e store fragtskibe næsten ingen hensyn til e kraftige havstrømme. Forskning i planlægning af fragtskibes ruter så e unytter havstrømmene optimalt, er et områe me aktiv forskning. 3 Et af problemerne ve at unytte havstrømmene er, at fine en optimale rute igennem vanet, såan at strømmene hjælper skibet mest i en rigtige retning. Hvis man ser strømmene i havet som et vektorfelt, går min ie u på, at bruge et princip jeg kaler funktionsmænger, til at fine en mest bræntofbesparene rute gennem vektorfeltet. Problemformulering Fra princippet om funktionsmænger at uvikle en metoe til sti-optimering i ikke-konservative vektorfelter. Herefter vil jeg teste enne metoes anvenelsesmuligheer, til at fine en mest bræntofbesparene rute for fragtskibe igennem et strømfylt farvan, for i site ene at reucere et globale CO ulip Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi

3 Introuktion til funktionsmænger Måen jeg vil uvikle moellen til at finer en optimale rute for fragtskibe på, bygger på en ie, som jeg kaler funktionsmænger. Funktionsmænger går u på at fine en måe, er gør et muligt at samle ueneligt mange funktioner ve brug af kun en funktionsforskrift. Måen jeg vil repræsentere en såan funktion, er ve brug af lineær algebra. I en såan repræsentation består funktionsmængen af en transformationsmatrix, som er en funktion af funktionsmængens inputs parameter, kalet t. Og en grunfunktion er er en parameterfremstilling, som er en funktion af en parameter som funktionsmængens output funktion er en funktion af, som jeg kaler s. = M(tg(s Her er M(t transformationsmatrixen, og g(s er grunfunktionen. Det vil sige at hver t giver en ny transformationsmatrix, og funktionsmængens output for hver t, bliver altså enne transformationsmatrices matrixprouct me grunfunktionen. Grunen til at funktionsmænger er interessante, er at e gør et muligt at sammenligne e uenelig mange funktioner i funktionsmængen på en gang. Hvilket ikke ville være muligt, hvis man så på e ueneligt mange funktioner, me hver eres funktionsforskrift. Dette er også hva er gøre, at funktionsmænger er meget anvenelige i forhol til stioptimering. Grafisk repræsentation og samlingspunkter Funktionsmænger har en meget brugbar grafisk repræsentation. Det går u på at man vælger en samling af skalarer og finer eres tilsvarene transformationsmatrix. Herefter fines isse transformationsmatricers matrixproukt me grunfunktionen, isse parameterfremstillinger integnes i et koorinatsystem. (Dette svarer til at fine hver af e valgte skalarers tilsvarene funktioner i funktionsmængen Her ses en grafiske repræsentation for funktionsmængen = ( t ( s samlingen af skalarer er {t Z 8 < t < 8}. s 4 s = ( t(s, hvor Når man ser på en grafiske repræsentation for enne funktionsmænge, er et tyeligt at er er to punkter er har en særlig egenskab, nemlig e to punkter hvor alle funktionerne i funktionsmængen møes (-, og (,. Denne slags punkter kaler jeg samlingspunkter. 3

4 Grunen til at samlingspunkter er interessante er, at hvis et fragtskib skal fra A til B kan man fine en funktionsmænge er har et samlingspunkt i båe A og i B, og på en måe fine en funktionsmænge er beskriver alle ruter fra A til B. Dette er smart, a et gør et muligt at sammenligne e ueneligt mange mulige ruter fra A til B på en gang. En mere formel efinition på samlingspunkter er, at et er punkter er ikke ænrer sig, når transformationsmatricens inputparameter ænrer sig. Hvis man laer et samlingspunkt være et ornee par (x s, y s og laer s s være en væri af s, såan så M(tg(s s = ( x s y s, vil efinitionen på et samlingspunkt me mængenotation være følgene {(x s, y s R, t R t M(tg(s s = } Sti-optimering i ikke-konservative vektorfæler La V (x, y være et ikke-konservativt vektorfelt, og være en funktionsmænge me samlingspunkter i A og B. Et fragtskib, er placeret i punktet A og skal til B, alt efter hvilken rute skibet vælger vil vektorfeltet påvirke skibet på forskellige måer. Den samlee inflyelse vektorfeltet har på skibet, kan beskrives ve brug af et kurveintegral af funktionsmængen igennem V (x, y. Værien af s i grunfunktionen, som funktionsmængen forbiner me samlingspunkterne A og B, repræsenteres me henholvis S A og S B. A (x, y r C Hvor A er vektorfeltet er repræsentere havstrømmene, * er prikprouktet, og r er stien, man følger Hvis kurveintegralet uregnes langs ens funktionsmænge i steet for stien man følger, vil man få en funktion af funktionsmængens input, t. Som output giver enne funktion, for hver væri af t, en samlee inflyelse vektorfeltet har på en tilsvarene sti til en parameter i funktionsmængen. S B V ( S A U fra enne funktion er et muligt at fine en mest optimale sti, ve at fine funktionens ifferentialkvotient me hensyn til t og lae tangentens hælning være lig. Lige som i normal optimering, et giver S B t V ( = S A Når man har funet værierne af t er giver et stationært punkt, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er maksimum, og at et ikke lokale minimum eller saelpunkter man har funet. (Dette kan gøres ve brug af funktionens. orens ifferentialkvotient Et af problemerne ve enne moel til stioptimering er at en ikke tager hensyn til rutens længe, i nogle tilfæle er et ligegyligt, men i forhol til planlægning af skibsruter er et er problem. En mere brugbar moel vil blive beskrevet i afsnittet kalet, anvenelse m.h.t. planlægning af fragtskibes sejlruter. 4

5 Eksempel La vektorfeltet V (x, y repræsentere en kræft en havstrøm påvirker skibet me, som en funktion af skibets placering, og la forskriften for vektorfeltet være V (x, y = ( y(4 (x + y x(4 (x + y. Et skib befiner sig i punktet (-,-, og skal til punktet (,. Skibet følger en af ruterne i funktionsmængen = ( t ( s s, hvor 3 < t < 4 og s. Funktionen har samlingspunkter i punktere (-,- og (,, og eres værier i parameterfremstillingen er henholvis s = og s =. Målet er nu at fine en rute i funktionsmængen, hvor havstrømmene uføre mest arbeje på skibet i skibets retning. Dette kan som før vist fines ve brug af integralet t V ( = Vi kan nu begyne at fyle informationen fra eksemplet in i formlen. Først kan eles op i parameterfremstillinger = ( t ( s s = ( s s t + s t x = s og y = ts t + s U fra ette kan man, ve at komme parameterfremstillingen in i vektorfeltet, se at V ( = ( (s t + s t(4 (s + (s t + s t s(4 (s + (s t + s t Ve at erstatte x og y me henholvis s og ts t + s. Det næste er at fine ifferentialet af funktionsmængen me hensyn til s. Dette kan gøres ve at fine ifferentialet af grunfunktionen me hensyn til s f s = ( t ( s s = ( t ( s s = ( t ( s Da ( er en konstant me hensyn til s, kan et sættes uenfor ifferentialeoperatoren. t hvis man sætter ette tilbage i integralet får man t t + s t(4 (s + (s t + s t ((s s(4 (s + (s t + s t ( t ( s = Herefter ganges parenteserne og matricerne u, et giver t t 3 + 3s 4 t 3 3s t 3 + t 3 3s 5 t + 6s 3 t 3st 4s 4 t + 8s t 4t s 3 + 4s ( s6 s 3 t st + s 3 + s ( 4s st + = Nu tages prikprouktet mellem e to vektor funktioner, og integralet uvies. Det resultere i 5

6 t s 6 t 3 + 3s 4 t 3 + s 4 t 3s t 3 s t + t 3 3s 5 t + 6s 3 t + 3s 3 t 3st 6s 4 t st 4t s 3 + s = t [ s7 t s5 t 3 5 Det giver + s5 t 5 s3 t 3 s3 t + st 3 s6 t 3 + 3s4 t + 3s4 t 4 3s t 6s5 t 5 s t t3 ( t 7 + 3t3 5 + t 5 t3 t 3 + t3 t + 3t + 3t 4 3t 6t 5 t 4t Dette kan reuceres yerligere til ( t3 7 3t3 5 t 5 + t3 + t 3 t3 t + 3t + 3t 4 3t + 6t t (3t3 35 4t 5 5t = Hvis man nu ifferentierer ette trejegrapolynomium får man 4st s4 4 + s3 3 ] = 5 t + 4t 4 3 = 96t 35 8t = 88t 96t 9 7t 49t 73 = Vi kan nu isolere t, ve brug af løsningsformlen for anengraligningen t = 49 ± t,3 eller t,64 For at fine u af om et er to maksima, minima eller saelpunkter vi har funet, ifferentierer vi 7t 49t 73 = ennu en gang me hensyn til t. Det giver Man kan nu starte me at lae t =,3 44t 49 = 44,3 49 = 85,8 > t =,3 er altså et minimum, a ifferentialkvotienten af. oren i et stationære punkt er positivt. Hvis man i steet laer t =,64 får man 44 (,64 49 = 85.6 < t =,64 er altså et maksimum og en bete sti i funktionsmængen for at komme fra et ene samlingspunkt til et anet, så længe 3 < t < 4. Det vil altså sige at en optimale rute gennem s vektorfeltet er en me parameterfremstillingen f(s = (.64s + s +,64. illustrationen viser en grafiske repræsentation for funktionsmængen i problemet, me vektorfeltet i baggrunen i rø, og en optimale rute repræsenteret i orange. 6

7 Anvenelse m.h.t. planlægning af fragtskibes sejlruter Hvis man ønsker at fine en optimale rute for et fragtskib, er ovenståene integral ikke så anveneligt, a et som før nævnt ikke tager hensyn til rutens længe. La V (x, y være havstrømmens hastighe repræsenteret som et vektorfelt, V motor er en hastighe skibet ville bevæge sig me langs ruten, hvis et kun var motoren er rev et frem, D er længen af ruten, er tien skibet har til at færiggøre sin rejse, og er funktionsmængen for e ruter skibet kan følge (s er tien og t er parameteren for funktionsmængens transformationsmatrixen. Hvis vi antager at skibets hastighe over grunen langs ruten, er en el af vektoren er repræsentere strømmen i retning af ruten plus V motor. Da en el af vektoren er repræsentere strømmen, i retning af ruten, kan skrives som V ( prikket me enhetangentvektoren til ruten, Da istancen et objekt har rejst kan beskrives som V ( + V motor *er prikprouktet D = h(tt f(s,t f(s,t. Hvor h(t er hastigheen som en funktion af tien, og er tien objektet har rejst f(s,t Det betyer at for at skibet kan nå frem til tien, skal integralet af V ( plus V motor, f(s,t integreret fra til være lig rutens længe. Hvor er tien skibet har til et skal være ve estinationen. (V ( + V motor = D Der er her vigtigt at ligge mærke til, at et betyer, at vi antager at. Hvis = betyer er at skibet ikke sejler, antagelsen er erfor ikke noget problem i vores tilfæle. Længen af ruten skibet følger, er selvfølgelig afhængig af hvilken funktion i funktionsmængen man vælger at følge. Derfor kan D også skrives ve brug af formlen for længen af en kurve D = ( f (s, t + ( f (s, t Hvor og er henholvis et samlingspunkt skibet starter og slutter i. f (s, t og f (s, t er henholvis x- og y komponenten, af funktionsmængen ( f (s, t =. f (s, t Dette kan nu sættes sammen til 7

8 (V ( + V motor = ( f (s, t + ( f (s, t Hvis vi antager at V langs er konstant me hensyn til s, uner hele turen, kan venstre sie omskrives til. (V ( + V motor Der er her meget vigtigt at ligge mærke til at V langs, ikke nøvenigt vis er en konstant me hensyn til t, ette er vigtigt a vi senere vil ifferentiere me hensyn til t. Det hele kan nu omskrives til V langs kan nu isoleres V motor = ( f (s, t V motor = ( ( f (s, t + ( f (s, t + ( f (s, t V ( V ( Man har altså nu en funktion, er viser hvor stor en hastighe man skal skubbe skibet frem me V motor, for at skibet når estination til tien. For at fine u af hvilken af funktionerne i funktionsmængen er er en optimale, skal vi fine en rute hvor V langs er mint a et betyer motoren skal skubbe skibet mint, men at skibet staig når estinationen til tien. Vi skal altså fine funktionens minimum. Dette kan gøres ve at ifferentiere utrykket me hensyn til transformationsmatrixens parameter t. Det giver t ( ( f (s, t + ( f (s, t Ve at gange begge sier me, kan ette simplificeres til t ( ( f (s, t + ( f (s, t V ( V ( = = Når man har funet værierne af t er giver et stationært punkt, er et vigtigt at unersøge funktionens monotoniforholene, for at sikre sig at et er minimum, og at et ikke et maksimum eller saelpunkt man har funet. Man kan nu komme enne væri af t tilbage i funktionsmængen, for at fine en optimale sejlrute for fragtskibet. 8

9 Moel af siestrøm Jeg har sien semifinalen arbejet på at uvikle en moel er tog hensyn til siestrømmen. Strømmen skibet påvirkes af fra sien kan beskrives ve brug af noget er miner om et kurveintegral, forskellen er at prikprouktet tages me vektoren er er ortogonal til tangentvektoren i steet for tangentvektoren selv. Grunen til at siestrømen er interessant, er at for at skibet kan hole kursen, er et nø til at opveje siestrømmen. La a være tangentvektoren, la a være ortogonalvektoren til a, og la V motor være en hastighe motoren skal skubbe skibet til sien for at opveje siestrømmen. (et er ligegyligt hvilken af e to ortogonalvektor man vælger så længe man er konsekvent a = [ a a ] = og a = [ a a ] Det betyer at, a vektorfeltet beskriver strømmens hastighe, at gennemsnits hastigheen siestrømmen skubber skibet kan beskrives som. Det betyer at V ( a V motor = V ( a Sammen me moellen jeg ulete i et forrige afsnit, er beskriver V motor, ugøre isse e to komponenter af vektoren er repræsentere skibets motors bevægelse. Det betyer, at man u fra Pythagoras kan fine en samlee hastighe skibet skal skubbes, for at blive på ruten og for samtiigt at nå estinationen til tien, kan repræsenteres som ( V ( a + ( ( f (s, t Ve at faktoriser u af kvaratroen kan utrykket simplificeres til ( V ( a + ( ( f (s, t + ( f (s, t V ( a + ( f (s, t V ( a Ve brug af normal optimering, ve at ifferentiere funktionen me hensyn til t og la et være lig, kan man fine en optimale rute. t ( V ( a + ( ( f (s, t + ( f (s, t V ( a Da t er en konstant kan en flyttes u af integralet og erefter gange me t, et giver = 9

10 t ( V ( a + ( ( f (s, t + ( f (s, t V ( a Herefter ønsker man at fine et stationære punkt er giver et minimum, a et vil betye at en hastighe motoren skal skubbe me er mint. Denne moel tager altså båe hensyn til siestrømmen skibet skal opveje for at blive på ruten og rutens længe. Funktionsmængers anre anvenelses muligheer Unervejs mens jeg har arbejet me funktionsmænger og sti-optimering, har jeg funet u af, at stioptimering og planlægning af fragtskibes ruter, langt fra er e eneste anvenelses muligheer for funktionsmænger. Funktionsmænger er brugbart e fleste steer hvor man ønsker at sammenligne en stor samling af funktioner. Funktionerne behøver ikke at være to imensionale, for eksempel ville et også være muligt at lave en funktionsmænge for et vektorfelt, eller en multivariabel funktion. Et par af e områer hvor jeg har funet u af at funktionsmænger måske kunne anvenes er: Væskeynamik Klassisk ynamik Der u over har funktionsmænger en interessant matematisk generalisering, som jeg arbejer på. Generaliseringen af funktionsmænger gør et muligt at have funktionsmænger for funktioner i flere imensioner samt flere slags funktioner: skalarfelter, vektorfelter og multivariable funktioner. Konklusion og viereuvikling Funktionsmænger har helt klart et potentiale til at løse problemet om sti optimering. Der er og et par problemer. Det første problem er, at opstille funktionsmænger, er ineholer funktioner af forskellige typer på en gang som polynomier, eksponentielle funktioner, sinus bølger, osv. Dette ville gøre moellerne mere præcise, a man ellers ikke ville kunne lave en funktionsmænge er ineholer alle ruter fra et punkt til et anet, men kun for eksempel parabler. Princippet om funktionsmænger til sti optimering ville staig kunne lae sig gøre, et ville bare blive lit mere upræcist. Jeg tror problemet ville kunne løses me aylor approksimation, a et gør et muligt at approksimere funktioner af alle typer, me et polynomium. Dette gør, at man ikke behøver at lave en funktionsmænge er ineholer funktioner af forskellige typer, man bare eres approksimationer som et polynomium. Det site problem er, at for at sti optimere fragtskibes ruter, er man nø til at fine et vektorfelt er tilnærmer vektorfeltet e repræsentere havstrømmene er påvirker et områe. Havstrømmene er kortlagt, men problemet er, at fine en tilnærmet funktionsforskrift for em. Kileliste besøgt en 9. januar besøgt en 9. januar Sonaljit Mukherjee, Ph.. Oceangeografi, university of virgin islan Nynne Afzelius, can.scient. i fysik og matematik, talent-chef Sciencealenter Mogens Nørgaar Olsen, Can.scient. i matematik, økonomisk institut, Københavns universitet =