Matematik for fysikere Formelsamling
|
|
- Erik Damgaard
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematik for fysikere Formelsamling MatF Blok /2013 Helle Gormsen Lisbeth Tavs Gregersen Version 1.0 Københavns Universitet Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet Niels Bohr Instituttet
2
3 Forord Denne formelsamling er lavet i forbindelse med at vi har fulgt kurset Matematik for fysikere (MatF) på Københavns Universitet 2012/2013. Den er lavet primært for vores egen fornøjelses skyld, men er videregivet til visse medstuderende. Der er medtaget eksempler fra bogen samt fra forelæsningerne. Pensum Feltteori og vektoranalyse (Gjevik og Fagerland): 1.5 & 1.6 Eks. på skalarfelt og Skalering 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer 3 Brug af MatLab 4 Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion 5 En praktisk anvendelse af -operatorene i meterologi 6 Kurve-, flade- og volumenintegraler, beregning af trykkraft 7 Integralsatser: Green, Stokes og Gauss 8 Polarkoordinater 9 Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm 10 Feltligninger for fluider Essential mathematical methods for the physical sciences (Riley og Hobson): 4 Fourier series 5 ( 5.1.2) Integral transforms 10 (pp ) Partial differential equations 11 (pp ) Solution methods for PDEs 14 (pp ) Complex variables i
4 Indhold Forord Pensum i i I Feltteori og Vektoranalyse (FV) 1 Kapitel 1. Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer Gradientvektor Retningsafledte Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer Kapitel 2. Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion Vektorfluks og cirkulation Divergensen til et vektorfelt Rotationen til vektorfeltet Rotationsfrie og divergensfrie og felter Strømfunktion for divergensfrit strømfelt Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler Kurveintegraler (linjeintegraler) Kurveintegralet af gradientvektoren. Konservativt kraftfelt. Potentialfunktionen Fladeintegraler Volumenstrøm gennem et strømrør Volumenintegraler Kapitel 4. Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss Greens sætning Stokes sætning Gauss sætning (divergensteoremet) Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren Kapitel 5. Polarkoordinater Koordinatuafhængige definitioner Plane polarkoordinater Cylindriske polarkoordinater Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater) Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm Hastighedspotentialet Laplace-operatoren Potentialfelter i to dimensioner Eksempler på potentialfelter i to dimensioner Kapitel 7. Feltligninger for fluider Partikeldifferentation Massebevarelse Bevægelsesligningen Bernoullis ligning ii
5 II Essential Mathematical Methods for the Physical Sciences (EMM) 33 Kapitel 8. Fourier rækker Dirichlet betingelser Lige og ulige funktioner Fourier række Symmetri overvejelser Diskontinuerte funktioner Kompleks Fourier række Parseval s sætning Kapitel 9. Integral transformationer Fourier transformation Usikkerhedsprincippet Diracs δ-funktion Heaviside funktion Relation mellem Dirac δ-funktion og Fourier transformation Fourier-transformation regneregler Convolution og deconvolution Parseval s teorem Fourier transformation i højere dimensioner Laplace transformation Generelt om integral transformationer Kapitel 10.Partielle differentialligninger (PDE) Generel løsning Generelle og partikulære løsninger til PDE Første ordens PDE Anden ordens PDE Kapitel 11.Løsningsmetoder til partiel differentialligninger Seperation af variable Kapitel 12.Komplekse variable Funktioner af komplekse variable Cauchy-Riemann relationerne Potensrække Elementære funktioner Multivalued funktioner og branch cuts Appendiks 52 Appendiks A. Almindelige konstanter og enheder 53 A.1 Konstanter til relativitetsteori: Appendiks B. Regneregler 54 B.1 Regneregler for -operatoren B.2 -operatoren som en vektor B ordens differentialer B.3 Sinus og cosinus B.4 Krydsprodukter af cylinder og sfæriske polarkoordinater Appendiks C. Strøm- og potentialfunktioner 56 iii
6
7 Del I Feltteori og Vektoranalyse (FV)
8 K a p i t e l 1 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer Kap. 2 i FV (pp ). 1.1 Gradientvektor Definition 1.1 (Ekviskalarflader) Givet et skalarfelt β med funktionssammenhængen: β = β(x,y,z). Ekviskalarflader er flader med konstant værdi: β(x,y,z) = β 0 Definition 1.2 (Gradientvektor β) Gradientvektoren er givet ved: β = β x î + β y ĵ + β z ˆk (1.1) β: gradientvektor til skalarfeltet β, og der gælder at gradientvektoren: står vinkelret på ekviskalarfladerne. peger mod større værdier af skalaren. den angiver tilvæksten i skalarværdien pr. længdeenhed, i den retning hvor tilvæksten er størst. Sætning 1.3 (Tilvækst i skalarfelt) Tilvæksten i skalarfeltet er givet ved: samt givet ved: hvor r = xî + yĵ + zˆk. For r 0 fås: β = β x x + β y β y + z (1.2) z β = β r (1.3) dβ = β dr (1.4) 2 Matematik for fysikere
9 Retningsafledte Formel (1.5) kaldes totalt differential. dβ = β x dx + β y β dy + dz (1.5) z Retningsafledte Gradientvektoren kan benyttes til at finde ændringen i skalaren pr. længdeenhed i en hvilken som [ helst retning. Hertil benyttes formel (1.2) og man lader r = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2]1 /2 betegne længden af r. Sætning 1.4 (Retningsafledte) Formel (1.2) divideres med r, således β r = β x x r + β y y r + β z z r = a β hvor a er en enhedsvektor langs r: a = x r î + y r ĵ + z r ˆk. For x, y, z 0 er den retningsafledte af skalarfunktionen givet ved β r = a β. Sætning 1.5 (Regneregler for gradientvektoren) Hvor α(x,y,z) og β(x,y,z) er to skalarfelter, og c er en konstant skalar (fra opgave 2.7 i FV): 1. (α + β) = α + β 2. (cβ) = c β 3. (αβ) = α β + β α ( 1 ) 4. = 1 β β 2 β Opskrift 1 (Find skalarfunktionen når gradientvektoren kendes) Gradientvektoren: β = v(x,y,z) = v x î + v y ĵ + v zˆk. Herfra fås β(x,y,z). β x = v x β(x,y,z) = β y = v y β(x,y,z) = β z = v z β(x,y,z) = v x dx + f 1 (y,z) v y dy + f 2 (x,z) v z dz + f 3 (x,y) Bestem f 1 (y,z), f 2 (x,z) og f 3 (x,y) så: β(x,y,z) = = = v x dx + f 1 (y,z) + C 1 v y dy + f 2 (x,z) + C 1 v z dz + f 3 (x,y) + C 1 Matematik for fysikere 3
10 Kapitel 1. Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer Opskrift 2 ((Omvendt) Find gradient til skalarfunktion) Normal partiel differentiation: β v. β x = v x β y = v y β z = v z 1.2 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer Sætning 1.6 (Vektorfelt) Et vektorfelt består af mange vektorer, hvor hver vektor er knyttet til et bestemt punkt i rummet. Dvs. vektoren i vektorfeltet A kan opfattes som en funktion af rumkoordinaterne og tiden: A = A(x,y,z,t) (1.6) Såfremt vektoren er defineret i samtlige punkter i rummet og varierer gradvist fra punkt til punkt, kaldes vektorfeltet kontinuerlig. Sætning 1.7 (Strømlinjer = feltlinjer) Givet et stationært strømningsfelt (som ikke forandrer sig i tiden), hvor strømhastigheden er givet som: v = v x (x,y)î + v y (x,y)ĵ (1.7) Strømlinjerne (feltlinjerne) for feltet har strømhastighedsvektoren som tangent: Lad et vektorelement dr = dxî + dyĵ pege i tangentretningen af strømlinjen, således dr v og v dr = 0, så fås: hvormed î ĵ ˆk v dr = v x v y 0 dx dy 0 = (v xdy v y dx)ˆk = 0 (1.8) v x dy = v y dx (1.9) Opskrift 3 (Beregning af strømlinjer ud fra strømhastighedsvektor) Givet strømfeltet med hastighedsvektor v = ωyî + ωxĵ, hvor ω er en konstant. Ved brug af formel (1.9) fås: 4 Matematik for fysikere
11 1.2. Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer ωydy = ωxdx ( y) dy = x dx 1 2 y2 = 1 2 x2 + C x 2 + y 2 = 2C som beskriver strømlinjerne (feltlinjerne), som cirkler med centrum i origo og radius 2C. Matematik for fysikere 5
12 K a p i t e l 2 Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion Kap. 4 i FV (pp ). 2.1 Vektorfluks og cirkulation Sætning 2.1 (Volumenstrømmen/Vektorfluksen Q) Volumenstrømmen (vektorfluksen) af vektoren v gennem fladen σ pr. tidsenhed er givet ved fladeintegralet: Q = σ v n dσ (2.1) hvor n er fladenormalen, v strømningshastigheden og skalarproduktet v n er normalkomposanten af v på fladen σ. Enhed: [Q] = m 3 /s. Sætning 2.2 (Cirkulation C) Cirkulationen af en vektor v om en lukket kurve λ er givet ved kurveintegralet: C = λ v dr (2.2) hvor dr er retningsvektoren for kurven. Dvs. skalarproduktet v dr er komposanten af v i kurvens retning dr. 2.2 Divergensen til et vektorfelt 6 Matematik for fysikere
13 2.3. Rotationen til vektorfeltet Definition 2.3 (Divergensen til vektoren v: div v) Divergensen til vektoren v (2D): div v = v = v x x + v y y (2.3) Divergensen til vektoren A (3D): div A = A = A x x + A y y + A z z (2.4) Bemærk at div v er en skalar. Sætning 2.4 (Sammenhæng ml. divergensen og volumenstrømmen /vektorfluksen Q) Volumenstrømmen af skiven pr. arealenhed er: hvor τ = x y σ [ Q x y = vx x + v ] y (2.5) y v n dσ = ( v) τ (2.6) v = 1 v n dσ (2.7) τ σ Fysisk tolkning: ( v) > 0 : netto udstrømning (ekspansion) ( v) < 0 : netto indstrømning (kontraktion) ( v) = 0 : lige stor ind- og udstrømning (divergensfri) 2.3 Rotationen til vektorfeltet Definition 2.5 (Rotationen til vektorfeltet) Rotationen til vektorfeltet (2D): Rotationen til vektorfeltet (3D): î ĵ ˆk rot v = curl v = v = x y 0 v x v y 0 = î ĵ ˆk rot A = curl A = A = x y z A x A y A z ( Az = y A ) ( y Ax î + z z ( vy x v ) x ˆk (2.8) y A ) ( z Ay ĵ + x x A ) x ˆk (2.9) y Matematik for fysikere 7
14 Kapitel 2. Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion Sætning 2.6 (Sammenhæng ml. rotationen og cirkulationen C) Cirkulation pr. arealenhed er: hvor σ i = x y og λ i er omkredsen af kurven. [ C x y = vy x v ] x (2.10) y λ i v dr = v ˆk σ i (2.11) 2.4 Rotationsfrie og divergensfrie og felter Sætning 2.7 (Rotationsfrie felter) Et felt v der kan skrives som gradienten til en skalarfunktion: v = β (hvor β er et skalarpotential for vektor v) er automatisk rotationsfrit [rot v = 0], fordi: idet og er parallelle. Dvs. v = β 0 v = β rot v = 0 (2.12) Betydning: Ved v = rot v = 0 er summen af rotationen i kurven lig nul. Fx. Lige meget med- og modvind på cykelturen - ingen hvirvel. ("Konservativ kraft") Generelt: Hvis A = 0 så eksisterer et skalarpotentiale ψ, hvis gradient er A: A = ψ Rotationsfrie felter kaldes irrotationelle felter. Sætning 2.8 (Divergensfrie felter) Et felt v der kan udtrykkes som rotationen til et andet vektorfelt A: v = A er automatisk divergensfrit [div v = 0], fordi v = ( A) 0 idet og er vinkelrette. A er et vektorpotentiale for v. Dvs. Vektoren A er knyttet sammen med strømfunktionen ψ, ved: v = A div v = 0 (2.13) v = A = ψˆk (2.14) Betydning: Ved v = div v = 0 er indstrømningen og udstrømningen lige stor. Divergensfrie felter kaldes solenoidfelter. 8 Matematik for fysikere
15 2.5. Strømfunktion for divergensfrit strømfelt 2.5 Strømfunktion for divergensfrit strømfelt Definition 2.9 (Strømfunktion for et divergensfrit strømfelt) For et to-dimensionalt strømfelt givet ved v = v x (x,y)î + v y (x,y)ĵ kan man indføre strømfunktionen ψ = ψ(x,y) sådan at Hvormed strømfeltet er divergensfrit: v x = ψ y v y = ψ x (2.15) Fra formel (1.9) fås: v x dy v y dx = 0, hvormed: v = v x x + v y y = 2 ψ x y + 2 ψ y x = 0 (2.16) ψ ψ dy dx = 0 (2.17) y x ψ y ψ dy + dx = 0 x (2.18) dψ = 0 (2.19) hvilket betyder at tilvæksten i strømfunktionen er nul, hvilket giver anledning til en konstant strømfunktion langs en strømlinje: ψ(x,y) = ψ 0. Et vektorfelt der ikke er divergensfrit har stadig strømlinjer givet ved formel (1.9), som løber parallelt med vektoren dr. Men der eksisterer ikke en strømfunktion for et vektorfelt der ikke er divergensfrit. Opskrift 4 (Bestemmelse af strømfunktion) Givet strømfeltet med hastighedsvektor v = ωyî+ ωxĵ, hvor ω er en konstant. Strømfunktionen kan findes ud fra formel (2.15): ψ y = v x = ωy ψ y = ωy ψ x = v y = ωx Disse differentialligninger løses, hvormed strømfunktionen er bestemt. Matematik for fysikere 9
16 K a p i t e l 3 Kurve-, flade- og volumenintegraler Kap. 6 i FV (pp ). 3.1 Kurveintegraler (linjeintegraler) En kurve beskrives ved retningsvektoren r = r(t), hvor t kan være tiden. Retningsvektoren er knyttet til et punkt: r = {x,y,z} og kan tolkes som positionsvektoren for en partikel, som bevæger sig langs kurven. Bueelementet langs banen betegnes: dr = dxî + dyĵ + dzˆk (3.1) som er tangent til kurven i ethvert punkt langs banen. x, y og z kan udtrykkes som funktioner af t, hvormed Bueelementet kan så opskrives: dr = dx = x (t)dt = dx dt (3.2) dt dy = y (t)dt = dy dt (3.3) dt dz = z (t)dt = dz dt (3.4) dt ( ) x (t)î + y (t)ĵ + z (t)ˆk dt (3.5) Definition 3.1 (Kurveintegraler (linjeintegraler)) Kurveintegralet af skalaren β(x,y,z): β dr = î β dx + ĵ β dy + ˆk β dz (3.6) hvilket giver en vektor. Kurveintegralet af vektoren A = {A 1,A 2,A 3 }: A dr = A 1 dx + K K 10 Matematik for fysikere K K K K K A 2 dy + A 3 dz (3.7) K
17 3.1. Kurveintegraler (linjeintegraler) hvilket giver en skalar. Bemærk: Linjeintegralerne langs kurven K og L fra punkt P 1 til punkt P 2 er ikke ens: A dr A dr K(P 1,P 2) L(P 1,P 2) Lukket kurve: Integreres langs en lukket kurve λ betegnes dette: A dr λ Husk at integrere i positiv omløbsretning, således mængden man integrerer omkring, altid ligger til venstre for kurven. Opskrift 5 (Beregning af kurveintegral) Givet en konstant skalar: β = β 0 og parameterform for x og y. Eksempelvis Så fås: b(x,y) = 1 og x(t) = t og y(t) = t 2 dx = x (t)dt = 1 dt dy = y (t)dt = 2t dt Dette indsættes i integralet (husk grænser) (her beregnes buelængden af kurven - derfor benyttes længden af dr): 1 β dr = 1 (dx) 2 + (dy) 2 (3.8) K = = hertil kan der imidlertid ikke findes en analytisk løsning. 0 (1 dt)2 + (2t dt) 2 (3.9) 1 + 4t2 dt (3.10) Eksempel 1 (Kurveintegral af vektorer) Givet F = x 2 î + y 2 ĵ og y = x. Parameterform mht. t: og x(t) = t så y(t) = t dx = x (t)dt = 1 dt og dy = y (t)dt = 1 2 dt Indsættes dette i kurveintegralet med grænserne [1; 2]: 2 2 F dr = F x dx + F y dy = = = t 2 dx + t 2 1 dt + t 2 dt ( t) 2 dy ( t) dt t t2 dt = [ 1 3 t3] [ 1 8 t t t3] 2 1 = ( ) + ( ( )) = 25 8 Matematik for fysikere 11
18 Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler Repræsenterer F kraften, så vil det samlede arbejde netop være F dr. 3.2 Kurveintegralet af gradientvektoren. Konservativt kraftfelt. Potentialfunktionen. Sætning 3.2 (Kurveintegralet af gradientvektoren) Hvis vektoren A kan udtrykkes som gradienten til et skalarfelt β: A = β (rotationsfrit felt), så fås kurveintegralet: K A dr = K β2 β dr (3.11) = dβ (3.12) β 1 = β 2 β 1 (3.13) idet dβ = β dr og hvor β 1 og β 2 er værdien af skalaren i hhv. start- og slutpunkterne. Et kurveintegral af en gradientvektor er uafhængig af kurven og kun afhængig af skalarværdien i start- og slutpunkterne for integrationen. Bemærk, at hvis kurven hænger sammen (kurveintegrale), da er A dr = 0. Sætning 3.3 (Konservativt kraftfelt) Et kraftfelt F, hvor arbejdet, som kraften udfører ml. to punkter, er uafhængig af vejen kaldes et konservativt kraftfelt. Kraften udtrykt som gradient til skalarfunktion V : F = V (3.14) Dvs. V er en potentialfunktion for kraftfeltet. Arbejdet er lig forskellen i potentialet ( V ): W = F dr (3.15) K = V dr (3.16) K V2 Fortegn: negativt idet kraften ofte virker modsat vejen. = dv (3.17) V 1 = V 1 V 2 (3.18) Opskrift 6 (Find potentialfunktion for et konservativt kraftfelt) En betingelse for at der eksisterer en potentialfunktion V er at kraftfeltet F er rotationsfrit: For F = V så F = ( V ) = 0 12 Matematik for fysikere
19 3.3. Fladeintegraler Hermed kan potentialfunktionen findes fra differentialligningerne: 3.3 Fladeintegraler V x = F x V y = F y V z = F z Sætning 3.4 (Fladeintegraler) En lukket flade i rummet σ som omslutter et volumen τ kan deles i infinitesimale fladeelementer dσ, hvis fladenormal betegnes n. Fortegn: Fladenormalen regnes positiv, når den peger ud af volumenet, som fladen omslutter. De følgende tre fladeintegraler benyttes ofte: Integralet af en skalar β over en flade: σ βn dσ Integralet af normalkomposanten af en vektor A langs en flade: A n dσ Integralet af tangentkomposanten af en vektor A langs en flade: A n dσ σ σ Sætning 3.5 (Opdeling af fladeintegraler) Fladeintegraler kan opdeles i delintegraler, således fladen σ opdeles i delflader σ 1, σ 2, σ 3,... : σ A n dσ = A n dσ + σ 1 A n dσ + σ 2 A n dσ +... σ 3 (3.19) Eksempel 2 (Beregning af fladeintegral) Integralet af en skalar β(x,y) over et rektangel i xyplanet med sidekanter a,b og normalvektor n = ˆk. Fladeintegralet bliver: Matematik for fysikere 13
20 Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler βn dσ = σ 0 b a = β 0ˆk βˆk dx dy 0 b a 0 0 = β 0 abˆk 3.4 Volumenstrøm gennem et strømrør dx dy Sætning 3.6 (Volumenstrøm) Volumenstrømmen gennem et strømrør er givet ved: Q = ψ2 ψ 1 dψ = ψ 2 ψ 1 (3.20) hvor ψ 1 og ψ 2 er værdierne på de strømlinjer, som afgrænser strømrøret. 3.5 Volumenintegraler Sætning 3.7 (Volumenintegrale af en skalar) Volumenintegrale af en skalar β = β(x,y,z) over et volumen τ er: hvor dτ = dx dy dz. β dτ = β(x,y,z) dx dy dz (3.21) τ τ 14 Matematik for fysikere
21 K a p i t e l 4 Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss Kap. 7 i FV (pp ). 4.1 Greens sætning Sætning 4.1 (Greens sætning) En flade σ omkranses af en linje λ: Greens sætning er da givet ved: σ ( v) n dσ = λ v dr (4.1) Hvor venstre side er et fladeintegral over arealet, σ, og højre side er et linjeintegral langs den ydre begrænsningskurve, λ, for fladeintegralet. Bemærk at Greens sætning giver en sammenhæng mellem cirkulationen: C = v dr og rotationen af vektorer i et plan. Integration foregår i positiv omløbsretning, så mængden der integreres om befinder sig på venstre side. λ Eksempel 3 (Greens sætning for en to-dimensional vektor) For vektoren v = u(x,y)î + v(x,y)ĵ er Greens sætning skrevet på skalar form: ( v σ x u ) dx dy = u dx + v dy (4.2) y λ Venstre side : Fladeintegralet bliver til et dobbeltintegral af virvlingskomponenten over x og y. Højre side : Linjeintegralet kan udtrykkes som integration af hastighedskomponenterne over x og y. 4.2 Stokes sætning Matematik for fysikere 15
22 Kapitel 4. Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss Sætning 4.2 (Stoke s sætning) Stoke s sætning er en generalisering af Greens sætning til tredimensionale vektorer og krumme flader. σ ( v) n dσ = λ v dr (4.3) Eksempel 4 (FV s. 106) 4.3 Gauss sætning (divergensteoremet) Sætning 4.3 (Gauss sætning) Givet et afgrænset volumen τ indenfor en begrænsningsflade σ i et vektorfelt, hvor A er en vilkårlig vektor, og der ikke er huller i volumenet. Her fås Gauss sætning: τ A dτ = σ A n dσ (4.4) Hvor venstre side er et divergensintegral over et volume, τ, og højre side er et fladeintegral over volumets begrænsningsflade, σ. Bemærk sammenhængen mellem volumenfluksen Q = v n dσ og divergensen af vektoren over det volumen, som fladen afgrænser. Såfremt vektoren A er en strømvektor v, så vil fladeintegralet i (4.4) være det totale volumenstrøm gennem fladen og Gauss sætning siger, at den er lig integralet af divergensen i strømfeltet over volumenet, som fladen afgrænser. σ Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren Sætning 4.4 (Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren) Der findes to nyttige varianter af Gauss sætning som omhandler hhv. gradient- og rotationsvektoren: β dτ = βn dσ (4.5) τ σ A dτ = A n dσ (4.6) τ σ 16 Matematik for fysikere
23 Gauss sætning for gradient- og rotationsvektoren Bemærk at fladeintegralet af en konstant (skalar), β(x,y,z) = k, over en vilkårlig lukket sammenhængende flade σ er lig nul, fordi: vha. formel (4.5). σ β(x,y,z) = k β = 0 βn dσ = β dτ = 0 dτ = 0 τ Opskrift 7 (Brug af integralsætningerne på cirkler eller kugler) Integralsætningerne bruges ofte på cirkler og rektangler i planen og på kugler og kasser i rummet. Til disse udregninger skal arealet af overfladen, σ, omkredsen af begrænsningskurven, λ, og volumet, τ, ofte bruges. Nyttige småformler for en cirkel og kugle: τ Cirkel Kugle Omkreds : 2πr Areal : πr 2 Overfladeareal : 4πr 2 Volume : 4 3 πr3 Matematik for fysikere 17
24 K a p i t e l 5 Polarkoordinater Kap. 8 i FV (pp ). 5.1 Koordinatuafhængige definitioner Definition 5.1 (Koordinatuafhængige definitioner) Koordinatuafhængige definitionsligninger for gradient, divergens og rotation: β = 1 β n dσ (5.1) τ σ når σ 0 og τ 0. v = 1 v n dσ (5.2) τ σ v = 1 v n dσ (5.3) τ σ 5.2 Plane polarkoordinater Sætning 5.2 (Transformation for plane polarkoordinater) Transformation mellem kartesiske og plane polarkoordinater: Sammenhæng mellem (r, θ) og (x,y): [r 2 = x 2 + y 2 og θ = arctan ( y x) ] Enhedsvektorer: x = r cos θ y = r sin θ (5.4) î = cos θ î r sin θ î θ (5.5) ĵ = sin θ î r + cos θ î θ (5.6) [ ] î r = r r î r = cos θ î + sin θ ĵ (5.7) î θ = sin θ î + cos θ ĵ (5.8) 18 Matematik for fysikere
25 5.3. Cylindriske polarkoordinater Partielt afledede: r x = cos θ r y = sin θ θ x = sin θ r θ y = cos θ r Partielt afledede mht. (x,y) af β(r,θ): β β = cos θ x r sin θ β r θ β y β = sin θ r + cos θ β r θ (5.9) Sætning 5.3 ( -operatorer for plane polarkoordinater) -operatorer i plane polarkoordinater: A = {A r A θ } er en vektor opgivet i plane polarkoordinater og ˆk er enhedsnormalen til planet. Gradient: Divergens: Rotation: β = β r îr + 1 β r θ îθ (5.10) A = 1 r A = 1 r r (r A r) + 1 A θ r θ (5.11) [ r (r A θ) A ] r ˆk (5.12) θ 5.3 Cylindriske polarkoordinater Sætning 5.4 (Transformation for cylindriske polarkoordinater) Transformation mellem kartesiske og cylindriske polarkoordinater: Sammenhæng mellem (r, θ, z) og (x,y,z): - (r, θ) og (x,y) er som plane polarkoordinater. - z har samme størrelse for kartesiske og cylindriske polarkoordinater. z-koordinaten: β(x,y,z) z = β(r,θ,z) z, î z = ˆk Matematik for fysikere 19
26 Kapitel 5. Polarkoordinater Sætning 5.5 ( -operatorer for cylindriske polarkoordinater) -operatorer i cylindriske polarkoordinater: A = {A r A θ A z } er en vektor opgivet i cylindriske polarkoordinater. Gradient: Divergens: β = β r îr + 1 β r θ îθ + β z îz (5.13) A = 1 r r (r A r) + 1 A θ r θ + A z z (5.14) 5.4 Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater) Vedtagelse: θ: vinkel fra lodret (z-aksen). θ [0,π]. φ: vinkel fra x-aksen. φ [0,2π[. Sætning 5.6 (Transformation for sfæriske polarkoordinater) Transformation mellem kartesiske og sfæriske polarkoordinater: Sammenhæng mellem (r, θ, ϕ) og (x,y,z): [r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ] Enhedsvektorer: Partielt afledede af r mht (r,θ,ϕ): x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ (5.15) î = sin θ cos ϕ î r + cos θ cos ϕ î θ sin ϕ î ϕ (5.16) ĵ = sin θ sin ϕ î r + cos θ sin ϕ î θ + cos ϕ î ϕ (5.17) ˆk = cos θ î r sin θ î θ (5.18) r r = sin θ cos ϕ, x θ cos θ cos ϕ = x r ϕ x = 1 sin ϕ r sin θ, r = sin θ sin ϕ y θ cos θ sin ϕ = y r ϕ y = 1 cos ϕ r sin θ, = cos θ z (5.19) θ z = sin θ r (5.20) ϕ z = 0 20 Matematik for fysikere
27 5.4. Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater) Sætning 5.7 ( -operatorer for sfæriske polarkoordinater) -operatorer i sfæriske polarkoordinater: A = {A r A θ A ϕ } er en vektor opgivet i sfæriske polarkoordinater. Gradient: Divergens: β = β r îr + 1 β r θ îθ + 1 β (5.21) r sin θ ϕîϕ A = 1 r 2 r (r2 A r ) + 1 r sin θ θ (sin θ A θ) + 1 A ϕ r sin θ ϕ (5.22) Rotation: A = [ îr r sin θ θ (A ϕ sin θ) A ] [ θ + îθ 1 A r ϕ r sin θ ϕ ] [ r (r A ϕ) + îϕ r r (r A θ) A ] r θ (5.23) Eksempel 5 (FV s. 119) Matematik for fysikere 21
28 K a p i t e l 6 Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. Kap. 9 i FV (pp ). 6.1 Hastighedspotentialet For et rotationsfrit felt kan strømvektoren skrives som gradienten til en skalarfunktion: v = φ rot v = 0 Hvor skalarfunktionen φ kaldes hastighedspotentialet eller potentialfunktionen. Er feltet også divergensfrit kan hastighedspotentialet, φ, skrives: v = φ = 2 φ = 2 φ x φ y φ z 2 = 0 Sætning 6.1 (Laplace-ligningen) Hastighedspotentialet, φ, i et divergens- og rotationsfrit felt opfylder Laplace-ligningen: 2 φ = 0 (6.1) Vi siger, at hastighedsfeltet er et Laplaceisk felt og selve strømningsformen bliver ofte betegnet potentialstrømning. 6.2 Laplace-operatoren Sætning 6.2 (Laplace-operatoren) Laplace-operatoren 2 har i kartesiske koordinater (x,y,z) i tre dimensioner formen: 2 = 2 x y z 2 (6.2) Laplace-operatoren, 2, har i plane polarkoordinater (r,θ) formen: 2 = 1 r r (r r ) r 2 θ 2 (6.3) 22 Matematik for fysikere
29 6.3. Potentialfelter i to dimensioner 6.3 Potentialfelter i to dimensioner Et strømfelt eller vektorfelt i to dimensioner: v = v x î + v y ĵ. For både divergens- og rotationsfrie felter er der både et tilhørende hastighedspotentiale og strømfunktion. φ : Hastighedspotentiale eller potentialfunktion for rotationsfrie felter v = φ v x = φ x og v y = φ y ψ : Strømfunktion eller feltfunktion for divergensfrie felter v = A = ψˆk v x = ψ y og v y = ψ x Relation mellem hastighedspotentialet og strømfunktionen: φ x = ψ y og φ y = ψ x (6.4) Sætning 6.3 (Cauchy-Riemann relationen) Relationen mellem hastighedspotentialet og strømfunktionenen kan skrives som en vektorligning: φ = ˆk ψ (6.5) Hvor ligningen har navnet Cauchy-Riemann relationen. Den viser, at gradientvektorerne til hastighedspotentialet og strømfunktionen står vinkelret på hinanden. φ ψ = φ ψ x x + φ y ψ y = ψ ψ y x + ψ ψ x y = 0 (6.6) Ekviskalarlinjerne for φ og ψ er altså normale, eller ortogonale, til hinanden, φ ψ. Sætning 6.4 (Cauchy-Riemann relationen i plane polarkoordinater) Gradient til hastighedspotentialet og strømfunktionen: Hvor: Indsættes i Cauchy-Riemann relationen: φ = φ r îr + 1 φ r θ îθ og ψ = ψ r îr + 1 ψ r θ îθ ˆk ψ = ψ r îθ 1 ψ r θ îr φ = ˆk ψ φ r îr + 1 φ r θ îθ = ψ r îθ 1 ψ r θ îr Hvor komponenterne af strømvektoren v = {v r, v θ } er: v r = φ r = 1 ψ r θ og v θ = 1 r φ θ = ψ r (6.7) Matematik for fysikere 23
30 Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. 6.4 Eksempler på potentialfelter i to dimensioner Eksempel 6 (Retlinjet strøm) Strømvektoren v har konstante komponenter v x, v y (konstant som funktion af stedet). Feltet er automatisk divergens- og rotationsfrit, da der ingen hastighedsgradienter er. Hastighedspotentiale og strømfunktion: For ekviskalarlinjerne er φ og ψ konstante: φ = v x x + v y y og ψ = v x y + v y x y = v x v y x + φ v y og y = v y v x x ψ v x Ekviskalarlinjerne er rette linjer, der står ortogonalt på hinanden, se figur 6.1. Feltet repræsenterer en uniform, retlinjet strøm, hvor strømretningen danner vinklen α med x- aksen: tan α = v y v x Figur 6.1: Retlinjet strøm: Ekviskalarlinjerne for φ og ψ er ortogonale. Eksempel 7 (Stagnationsstrøm) Et eksempel på et strømfelt i nærheden af et stagnationspunkt. Stagnationspunkter er punkter hvor strømhastigheden er nul (v = 0). Hastighedspotentiale og strømfunktion: Divergens- og rotationsfrit: φ = A 2 (x2 y 2 ) og ψ = Axy v x = φ = Ax = ψ x y og v y = φ y = Ay = ψ x For ekviskalarlinjerne er φ og ψ konstante: y = x 2 φ 2 A og y = ψ 1 A x Ekviskalarlinjerne er hyperbler, der står ortogonalt på hinanden. Hvor fortegnet på A bestemmer strømmens retning, se figur 6.2. I origo (0,0) er strømhastigheden 0, så det er et stagnationspunkt. 24 Matematik for fysikere
31 6.4. Eksempler på potentialfelter i to dimensioner Figur 6.2: Stagnationsfelt med A = 1: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Hvor (0,0) er et stagnationspunkt i feltet. Eksempel 8 (Kilde og dræn) Strøm rettet radielt væk fra eller ind mod et center. Her bruges polarkoordinater (r,θ). Hastighedskomponenter til feltet: v r = A r og v θ = 0 hvor A er en konstant. Hastighedspotentiale og strømfunktion: Divergens- og rotationsfrit: φ = A ln r og ψ = Aθ v = 1 r r (rv r) + 1 v θ r θ = 1 r r v = 1 ( r r (rv θ) v r 1 )ˆk = θ r ( r A ) = 0 r ( θ A )ˆk = 0 r Feltet er altså divergens- og rotationsfrit overalt udenom origo. I origo hvor r = 0 er hastigheden uendelig og punktet må udelades. Det vil sige, at r = 0 er et singulært punkt i feltet. Hastigheden: Aftager omvendt proportionelt med afstanden fra origo (vokser afstanden r bliver v mindre). For A > 0 vil det strømme væk fra origo (kilde), mens for A < 0 vil det strømme ind mod origo (dræn), se figur 6.3. Volumstrømmen Q udregnes ved at integrere om en cirkel med centrum i origo, der betegnes som styrken af kilden eller drænet: Q = = = σ σ 2π 0 = 2πA v n dσ (n = î r ) A r îr î r dσ A dθ (dσ = rdθ) Eksempel 9 (Punkthvirvel) Strøm hvor hastighedsvektoren er vinkelret på radiusvektor fra origo, og aftager omvendt proportionelt med afstanden fra origo. Hastighedskomponenter til feltet: v r = 0 og v θ = A r Matematik for fysikere 25
32 Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. Figur 6.3: Kilde og sluk: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Hvor (0,0) er et singulært punkt i feltet. hvor A er en konstant. Ekviskalarlinjerne: Strømlinjerne (ψ = A ln r) er cirkler med centrium i origo. Feltlinjerne for hastighedspotentialet (φ = Aθ) er rette linjer ud fra origo, se figur 6.4. Punktvirvel: Et væskeelement vil i origo rotere med uendelig stor vinkelhastighed. r = 0 er et singulært punkt, der udelades, da hastigheden er uendelig stor. Overalt udenfor origo er feltet divergensfrit og rotationsfrit. Figur 6.4: Punktvivelfelt for A = 1: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Eksempel 10 (Superposition af felt) Felter, der repræsenterer potentialstrøm, kan adderes og resultatet er et nyt potentialfelt. For to potentialfelter: v 1 = 0, v 1 = 0 v 2 = 0, v 2 = 0 Hvor superpositionen af de to felter giver en ny strømvektor: v = v 1 + v 2. v = v 1 + v 2 = 0 v = v 1 + v 2 = 0 Det nye felt er altså også divergens- og rotationsfrit. 26 Matematik for fysikere
33 6.4. Eksempler på potentialfelter i to dimensioner Hastighedspotentiale og strømfunktion for det nye felt: φ = φ 1 + φ 2 ψ = ψ 1 + ψ 2 Eksempel 11 (Spiralhvirvel) Bruges superposition af felter kan vi addere feltet for et dræn med et punktvirvelfelt. Strømfunktion for det nye felt: ψ = A 1 θ + A 2 ln r hvor A 1 og A 2 er konstanter. [φ = A 3 ln r + A 4 θ] Ligning for en strømlinje, hvor værdien for strømfunktionen er konstant: ψ 0 = A 1 θ + A 2 ln r hvor a = A 1 A 2 og θ 0 = ψ 0 A 1, se figur 6.5. ln r = ψ 0 A 2 A 1 A 2 θ r = exp ( ψ 0 A 1 θ ) A 2 A 2 r = exp ( a(θ θ 0 ) ) Figur 6.5: Spiralfelt med a = 1 og θ = 0, π 6, π 3,.... Eksempel 12 (Dipolfelt) Bruges superposition af felter kan vi addere feltet for en kilde og et dræn. Dipolfeltet fremkommer ved en grænseovergang, hvor en kilde og et dræn lægges uendelig nært hinanden. Hastighedspotentialet og strømfunktionen for det nye felt: hvor A er en konstant. φ = Ax x 2 + y 2 og ψ = Ay x 2 + y 2 Ligning for en strømlinje, hvor værdien for strømfunktionen er konstant: ( x 2 + y A ) 2 ( A ) 2 = 2ψ 0 2ψ 0 Strømlinjerne er altså cirkler med centrum på y-aksen og med x-aksen som tangent. Man siger, at dipolen har x-aksen som dipolakse, se figur 6.6. Matematik for fysikere 27
34 Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. Figur 6.6: Dipolfelt med A = 1. Strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. For y > 0 vil strømmen gå med uret, for y < 0 vil strømmen gå imod uret. 28 Matematik for fysikere
35 K a p i t e l 7 Feltligninger for fluider Kap. 10 i FV (pp ). Fluider er et fællesnavn for væsker og gasser. De har tilfælles, at de er flydende og tager form efter den beholder, de er i. 7.1 Partikeldifferentation Før : Betragtede den retningsafledte. Nu : Betragter en partikel i tiden. Definition 7.1 (Ændringer i en parameter, når vi følger en partikel) Strømfelt som funktion af positionsvektoren r og tiden t: Forskydningen af en partikel i feltet i tidsintervallet t: På komponentform, hvor v = {v x, v y, v z }; v(r,t) (7.1) r = v(r,t) t (7.2) x = v x t, y = v y t, z = v z t Ændringen af en skalarstørrelse θ(r,t) langs partiklens forskydningsretning i tidsrummet t: θ = θ(r + r,t + t) θ(r,t) (7.3) Sætning 7.2 (Partikelafledede) Ved at benytte taylorudvikling kan ændringen af en skalarstørrelse θ pr. tidsenhed skrives: Lader vi t 0 vil θ t θ t = v θ + θ t gå mod den tidsafledede af θ: θ t Dθ dt = θ t + v θ (7.4) Hvor differentialet Dθ dt Differentialoperator: bliver kaldt den partikelafledede af funktionen θ. D dt = t + v (7.5) Matematik for fysikere 29
36 Kapitel 7. Feltligninger for fluider Sætning 7.3 (Partikelacceleration) Partiklens acceleration er hastighedsændring pr. tidsenhed. Hastighedsændringen: v = v(r + r, t + t) v(r,t) (7.6) Igen benyttes taylorudvikling i udledningen, og accelerationen for partiklen kan udtrykkes ved den partikelafledede af strømhastigheden: hvor: a = Dv dt = v + v v (7.7) t v v v = v x x + v v y y + v v z z (7.8) Accelerationen sætter sig altså sammen af to dele: v t : Den lokale ændring af hastighedsfeltet på stedet Lokalaccelerationen v v : Ændringen i accelerationen på grund af de rumlige ændringer i hastighedsfeltet Den konvektive acceleration i feltet Bemærk at man skal tage gradienten af en vektor! 7.2 Massebevarelse I et strømfelt er der flere fundamentale fysiske betingelser, som må være opfyldt. Da masse ikke kan skabes eller ødelægges må massen være bevaret. Massetætheden i feltet: hvor enheden for ρ er [kg/m 3 ]. ρ = ρ(r,t) Sætning 7.4 (Massestrøm) Massestrømmen pr. tidsenhed ud gennem en lukket flade σ er givet ved integralet: ρv n dσ (7.9) hvor n er normalvektoren til fladeelementet dσ. Massestrømmen har enheden [kg/s]. ( Beregning af volumenstrøm er tidligere defineret som: Q = v n dσ ) Udstrømning : massestrøm > 0 Indstrømning : massestrøm < 0 σ σ Sætning 7.5 (Ændring i masse pr. tidsenhed) Ændringen i masse pr. tidsenhed indenfor volumet τ begrænset af fladen σ: ρ dτ (7.10) t τ 30 Matematik for fysikere
37 7.3. Bevægelsesligningen Ændringen i masse indenfor volumet må tilsvare den masse, der strømmer ud og ind gennem overfladen: ρ τ t dτ + ρv n dσ = 0 σ Fladeintegralet omskrives til et volumeintegral vha. Gauss sætning: ( ) A dτ = A n dσ τ σ τ [ ρ t + (ρv) ] dτ = 0 Skal integralet være opfyldt må integranden være 0 i alle punkter i feltet: ρ + (ρv) = 0 (7.11) t hvor ρ og v er kontinuerlige funktioner af r og t. Denne differentialligning er en fundamental ligning, der knytter hastighedsfeltet og tæthedsfeltet sammen. Den kaldes kontinuitetsligningen. Sætning 7.6 (Kontinuitetsligningen) Kontinuitetsligningen er i formel (7.11) givet som en differentialligning. Den kan også udtrykkes som den partikelafledede af tætheden: 1 Dρ = v (7.12) ρ dt Kontinuitetsligningen for en konstant massetæthed, ρ = ρ 0 =konstant: v = 0 alle strømfelter hvor tætheden er konstant er altså divergensfrie. Kontinuitetsligningen for et felt, hvor alle partikler bevarer sin tæthed: Dρ dt = 0 strømfeltet må dermed også være divergensfrit i dette tilfælde. Dette er ensbetydende med massebevarelse. 7.3 Bevægelsesligningen Newtons 2. lov: produktet af masse og acceleration for en partikel er lig summen af alle kræfter som virker på partiklen. Antager at bevægelsen er friktionsfri, så fluidet kun er påvirket af trykkraften, der virker langs overfladen σ, og tyngdekraften, der virker på al masse indenfor begrænsningsfladen τ. Den totale kraft: pn dσ + ρg dτ σ τ hvor p er trykket, n er fladenormalen for fladeelementet dσ, ρ er massetætheden, g er tyngdeaccelerationen og dτ er et volumeelement indenfor volumet τ. Matematik for fysikere 31
38 Kapitel 7. Feltligninger for fluider Newtons 2. lov: τ ρa dτ = pn dσ + ρg dτ (7.13) σ τ hvor a er accelerationen for fluidpartiklerne indenfor volumet, defineret ved ligning (7.7). Sætning 7.7 (Bevægelsesligningen) Ligesom for udledningen af massebevarelse bruges Gauss sætning for ligning (7.13). Herved opnås bevægelsesligningen for en friktionsfri strøm af fluider i tyngdefeltet: a = v t + v v = 1 p + g (7.14) ρ Dette er en vektorligning med tre komponenter, hvor hver af komponentligningerne er partielle differentialligninger. Ligningen er kendt som Euler-ligningen for fluider. 7.4 Bernoullis ligning For en væske hvor tætheden er konstant ved vi, at strømfeltet er divergensfrit. Derudover antages det, at strømfeltet er strationært, så v t = 0. Bevægelsesligningen (7.14) kan nu skrives: hvor z-aksen er lagt i vertikal retning. Det kan skrives, at: v v = p ρ gˆk gˆk = (gz) og v v = ( 1 2 v2) + c v hvor c = v er rotationen til strømfeltet (fordi strømfeltet er divergensfrit). Bevægelsesligningen kan nu skrives: [ ] p ρ v2 + gz + c v = 0 H dr + (c v) dr = 0 hvor skalaren H indføres: H = p ρ v2 + gz, og der multipliceres med bueelementet dr. Da c v står normalt på v og dermed også på dr er sidste led 0. Det vil sige, at langs strømlingen er: dh = 0. Sætning 7.8 (Bernoullis ligning) Bernoullis ligning for en inkompressibel væske: H = p ρ v2 + gz = H 0 (7.15) Skalaren H er konstant langs en strømlinje. Konstanten H 0 kaldes Bernoullikonstanten. 32 Matematik for fysikere
39 Del II Essential Mathematical Methods for the Physical Sciences (EMM)
40 K a p i t e l 8 Fourier rækker Kap. 4 i EMM (pp ). Fourier rækker udtrykker en funktion som en lineær sum af sinus og cosinus led. 8.1 Dirichlet betingelser Betingelser en funktion f(x) må opfylde for at kunne blive skrevet som en Fourier række. Hvis disse krav er opfyldt, så konvergerer Fourier rækken til f(x) ved alle punkter, hvor f(x) er kontinuert. Definition 8.1 (Dirichlets betingelser) 1. Funktionen skal være periodisk. 2. a Funktionen skal være entydig (kun én funktionsværdi for hvert x). b Funktionen skal være kontinuert (undtagen i et endeligt antal af diskontinuerte punkter hvor diskontinuiteterne er endelig). 3. Et endeligt antal maksimum- og minimumspunkter pr. periode. 4. Integralet af f(x) over én periode skal konvergere. 8.2 Lige og ulige funktioner Både sinus- og cosinusled er nødvendige: Sinus, ulige funktion : f( x) = f(x) Cosinus, lige funktion : f( x) = f(x) Alle funktioner kan udtrykkes som en sum af en ulige og en lige del: ] [ ] f(x) = 2[ 1 f(x) + f( x) f(x) f( x) = f lige (x) + f ulige (x) Det bestemte integrale over én periode for en cosinus eller sinus funktion vil altid give 0. For perioden L: x0+l x 0 cos ( 2πrx ) dx = 0 L x0+l x 0 sin ( 2πrx ) dx = 0 L 8.3 Fourier række 34 Matematik for fysikere
41 8.4. Symmetri overvejelser Sætning 8.2 (Fourier række) Fourier række for funktionen f(x), hvor a 0, a r, b r koefficienterne. f(x) = a r=1 [ a r cos ( 2πrx ) + b r sin L ( 2πrx )] L er Fourier (8.1) Sætning 8.3 (Fourier koefficienter) For en periodisk funktion f(x) med perioden L er Fourier koefficienterne (x 0 er arbitrær men sættes oftest til 0 eller L 2 ): a r = 2 L b r = 2 L x0+l x 0 x0+l x 0 ( 2πrx f(x) cos L ( 2πrx f(x) sin L ) dx, (8.2) ) dx (8.3) 8.4 Symmetri overvejelser Sætning 8.4 (Symmetri overvejelser) Konsekvenser ved symmetri eller antisymmetri omkring origo og omkring en kvart periode. - Hvis f(x) er lige omkring x = 0 er b r = 0 ( kun cosinus led). - Hvis f(x) er ulige omkring x = 0 er a r = 0 ( kun sinus led). - Hvis f(x) er lige omkring x = L/4 er a 2r+1 = 0 og b 2r = 0. - Hvis f(x) er ulige omkring x = L/4 er a 2r = 0 og b 2r+1 = Diskontinuerte funktioner Sætning 8.5 (Diskontinuitet) I et punkt med endelig diskontinuitet, x d, vil Fourier rækken konvergere mod: 1 2 lim ɛ 0 [f(x d + ɛ) + f(x d ɛ)] Gibbs fænomen: Meget tæt på en diskontinuitet vil Fourier række repræsentationen af funktionen skyde over den egentlige værdi. Jo flere led der er med i Fourier rækken, jo mindre forskel vil der være i værdien, men det forsvinder aldrig helt. Hvor størrelsen på forskellen er proportional med størrelsen af diskontinuiteten. 8.6 Kompleks Fourier række Sætning 8.6 (Kompleks Fourier række) Kompleks Fourier række for funktionen f(x), hvor c r er den komplekse Fourier koefficient. ( 2πirx ) f(x) = c r exp L r= (8.4) Matematik for fysikere 35
42 Kapitel 8. Fourier rækker For en periodisk funktion f(x) med perioden L er den komplekse Fourier koefficient (x 0 er arbitrær men sættes oftest til 0 eller L 2 ): c r = 1 L x0+l x 0 ( f(x) exp 2πirx ) dx (8.5) L Relation mellem den komplekse Fourier koefficient og de reelle Fourier koefficienter: c r = 1 2 (a r ib r ), (8.6) c r = 1 2 (a r + ib r ) (8.7) 8.7 Parseval s sætning Sætning 8.7 (Parseval s sætning) Relation mellem Fourier koefficienterne og funktionen de beskriver. Summen af den komplekse Fourier koefficient er lig den gennemsnitlige værdi for f(x) 2 over en periode: 1 x0+l f(x) 2 dx = L x 0 r= = ( 1 2 a ) c r 2 (8.8) ( a 2 r + b 2 r) Hvor den generelle form af teoremet er givet ved (Parseval s sætning er det specielle tilfælde hvor f(x) = g(x)): r=1 (8.9) 1 x0+l f(x)g (x)dx = L x 0 Hvor funktionerne f(x) og g(x) er givet ved: f(x) = r= c r e 2πirx/L and g(x) = r= c r γ r (8.10) r= γ r e 2πirx/L 36 Matematik for fysikere
43 K a p i t e l 9 Integral transformationer Kap. 5 i EMM (pp ) ( 5.1.2). Fourier række: Fourier transformation: Repræsenterer en periodisk funktion i et bestemt interval, som en superposition af cos- og sinus funktioner. Repræsenterer funktioner, der er defineret over et ubestemt interval og uden en speciel periode, som en superposition af cosinusog sinus funktioner. 9.1 Fourier transformation Fourier transformation kan ses som en generalisering af Fourier rækken for periodiske funktioner. Da Fourier transformationer ofte repræsenterer tidsafhængige funktioner bruges f(t) ofte i stedet for f(x). Krav til funktionen: Integralet f(t) dt skal være endeligt/bestemt. Med udgangspunkt i den komplekse Fourier række udvikles Fourier transformationen. For perioden T vil vinkelhastigheden ω r = 2πr/T blive forsvindende lille. Dermed vil den uendelige sum af led i Fourier rækken blive et integrale, og den komplekse Fourier koefficient, c r, blive en funktion af den kontinuerlige variable ω. Sætning 9.1 (Fourier transformation) Fourier transformationen er funktionens frekvensdomæne, der er en uendelig sum af tidsdomænet i periodiske cykler: f(ω) = 1 2π med dets inverse (fra frekvensdomænet tilbage til tidsdomænet): f(t) = 1 2π f(t)e iωt dt (9.1) f(ω)e iωt dω (9.2) Sætning 9.2 (Fourier-integralet) Indsættes Fourier transformationen, (9.1) i den inverse transformation (9.3) fås Fourier-integralet: (Denne formel optræder ikke i lærebogen EMM) f(t) = 1 [ ] f(u)e iωu du e iωt dω (9.3) 2π Matematik for fysikere 37
44 Kapitel 9. Integral transformationer Sætning 9.3 (Fourier s inversion teorem) f(t) = 1 dω e iωt du f(u)e iωu (9.4) 2π 9.2 Usikkerhedsprincippet Gauss- eller normalfordelingen er en vigtig funktion, der her benyttes til at illustrere usikkerhedsprincippet. Normalfordeling (µ = 0, σ = τ = t): f(t) = 1 τ 2π exp ( t2 2τ 2 ), < t < Sætning 9.4 (Fourier transformation af normalfordelingen) Ny normalfordeling over frekvensdomænet (µ = 0, σ = ω = 1/τ): f(ω) = 1 ( exp τ 2 ω 2 ) 2π 2 (9.5) Sætning 9.5 (Usikkerhedsprincippet) Afvigelsen eller spredningen i t og ω er relateret, uafhængigt af τ: ω t = 1 (9.6) Dvs. lille spredning i tidsdomænet stor spredning i frekvensdomænet. Og omvendt. Denne usikkerhedsrelation kan relateres til kvantemekanikken, som giver sammenhængene: E t = /2 and p x = /2 9.3 Diracs δ-funktion δ-funktionen kan visualiseres som en meget skarp, smal puls. Definition 9.6 (Diracs δ-funktion) Dirac δ-funktionen har størrelsen: δ(t) = 0 for t 0 og er defineret ved (hvor for t = a er integralet ikke lig 0): f(t)δ(t a)dt = f(a) (9.7) Sætning 9.7 (Areal af δ-funktionen) Arealet under funktionen ved integration over et interval, der indeholder t = 0: b a δ(t) dt = 1 for alle a,b > 0 (9.8) 38 Matematik for fysikere
45 9.4. Heaviside funktion Arealet under funktionen defineret ved variablen a, hvor intervallet indeholder t = a: δ(t a) dt = 1 for interval med t = a (9.9) Sætning 9.8 (Øvrige egenskaber for δ-funktionen) For t 0 er δ(t) = 0, og for t = 0 er også t = 0: Enten er t eller δ(t)=0: En konstant ganget med variablen: Deltafunktionen differentieret: δ(t) = δ( t) (9.10) t δ(t) = 0 (9.11) δ(at) = 1 δ(t) (9.12) a δ (t) = f(t)δ (t) (9.13) [ ] = f(t)δ(t) + f (t)δ(t)dt (9.14) = f (0) (9.15) 9.4 Heaviside funktion Heaviside funktionen er tæt forbundet med δ-funktionen og benyttes for eksempel til at beskrive en funktion med konstant værdi i et interval. Definition 9.9 (Heaviside funktionen) Heaviside funktionen er diskontinuert i t = 0. Normalt sættes H(0) = δ(t). H(t) = { 1 for t > 0 0 for t < 0 (9.16) Sammenhængen mellem Heaviside funktionen og Diracs δ-funktion: H (t) = δ(t) (9.17) 9.5 Relation mellem Dirac δ-funktion og Fourier transformation Sætning 9.10 (Fourier transform defintion af Dirac δ-funktionen) Ved at relatere Fourier s inversion teorem med δ-funktionen fås: δ(t u) = 1 2π e iω(t u) dω (9.18) På denne form kan δ-funktionen anses som at være en superposition af et komplet spektrum af harmoniske bølger, hvor alle bølgerne danner resonans i t = u. Matematik for fysikere 39
46 Kapitel 9. Integral transformationer Sætning 9.11 (Egenskaber for δ-funktionen som Fourier transformation) Fourier transform af en δ-funktion: Hvor også: δ(ω) = 1 2π δ(t)e iωt dt = 1 2π (9.19) δ (t) = 1 e iωt dω = δ( t) = δ(t) (9.20) 2π 9.6 Fourier-transformation regneregler Hvor Fourier transformationen af f(t) bliver skrevet f(ω) eller F[f(t)]. Sætning 9.12 (Fourier-transformation regneregler) 1. Differentation : F [ f (t) ] = iω f(ω) : F [ f (t) ] = iωf [ f (t) ] = ω 2 f(ω) [ t ] 2. Integration : F f(s) ds = 1 iω f(ω) + 2πcδ(ω) 3. Skalering : F [ f(at) ] = 1 a f ( ω ) a 4. Translation : F [ f(t + a) ] = e iaω f(ω) 5. Eksponential multiplikation : F [ e αt f(t) ] = f(ω + iα), hvor α F 6. Produkt : F [ f(t)g(t) ] = 1 2π f(ω) g(ω) Sætning 9.13 (Fourier sinus transformation) Fourier transformation af en ulige funktion, hvor f(t) = f( t): 2 f s (ω) = f(t) sin ωt dt (9.21) π 0 2 f(t) = f s (ω) sin ωt dω (9.22) π 0 Sætning 9.14 (Fourier cosinus transformation) Fourier transformation af en lige funktion, hvor f(t) = f( t): 2 f s (ω) = f(t) cos ωt dt (9.23) π 0 2 f(t) = f s (ω) cos ωt dω (9.24) π Convolution og deconvolution Et forsøg på at måle værdien af en fysisk egenskab er begrænset af opløsningen for det apparat, der benyttes. 40 Matematik for fysikere
47 9.8. Parseval s teorem Hvor f(x) er den sande funktion af variablen x, og funktionen g(y) er opløsningen af apparatet, der er benyttet til målingen. For at opnå gode resultater ønskes det, at g(y) er så tæt på en δ-funktion som muligt. Sætning 9.15 (Convolution) Convolution (foldning) for funktionen f og g, hvor f(x) er den sande funktion og g(z) er opløsningens funktion for måleapparatet: h(z) = f(x)g(z x)dx (9.25) Integralet skrives ofte: f g Hvor foldningen både er kommutativ (f g = g f), associativ og distributiv. Sætning 9.16 (Convolution teorem) Fourier transformationen af en convolution f g. h(ω) = 2π f(ω) g(ω) (9.26) Eksempel 13 (EMM s. 207: Deconvolution) ] [ h(ω) f(x) = 1 F 1 2π g(ω) (9.27) 9.8 Parseval s teorem Sætning 9.17 (Parsevals teorem) Ligesom der var en sammenhæng mellem integralet af størrelsen af funktionen i anden og Fourier række koefficienterne er der en sammenhæng med Fourier transformationen. f(x) 2 dx = f(ω) 2 dω (9.28) Hvis funktionen f fysisk angiver en amplitude vil integralet angive den totale intensitet i den fysiske proces. 9.9 Fourier transformation i højere dimensioner Fourier transformationer kan udvides til mere end én dimension. Definition 9.18 (Fourier transformation i tre dimensioner) Fourier transformationen af f(x, y, z): 1 f(k x,k y,k z ) = (2π) 3/2 f(x,y,z)e ikxx e ikyy e ikzz dx dy dz (9.29) Den inverse Fourier transformation: 1 f(x,y,z) = (2π) 3/2 f(k x,k y,k z )e ikxx e ikyy e ikzz dk x dk y dk z (9.30) Matematik for fysikere 41
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereNoter til MatF på KU (Matematik for Fysikere 1)
Noter til MatF på U (Matematik for Fysikere 1) af Nikolai Plambech Nielsen, LP331 Version 1.0 16. april 2016 Indhold I Feltteori og vektoranalyse 3 1 Introduktion og notation 3 1.1 Felter generelt...........................................
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereFourier transformationen
MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereMatematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses
Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereFormelsamling Noter til MatF 1
Formelsamling Noter til MatF 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird...o let s look at the
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereMATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1
ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereVektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereKapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereLineære systemer med hukommelse.
Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMM01 (Mat A) Ugeseddel 1
Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010
Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel
Læs mereMaj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mere