Genetisk optimering af todimensionelle vingeprofiler

Transkript

1 Genetisk optimering af todimensionelle vingeprofiler 9. april B Odense Tekniske Gymnasium Dato: 9. april

2 Indhold 1 Introduktion 3 2 Problemformulering 3 3 Baggrund Aerodynamiske kræfter Vingeprofiler og fysiske vinger Reynolds tal Numeriske simulationsmetoder L/D-forhold og glidetallet Genetiske algoritmer og evolution Parametrisering af vinger Bezierkurver Hypotese 12 5 Metoder XFoil Design af algoritmen Bestemmelse af Reynolds tal Implementering af algoritmen Resultater Udviklingshastighed Samme forhold som en Implementering af forbedringer til algoritmen Normalisering af vingeprofilen Begrænsning af tykkelse Trykfordeling og overfladens jævnhed Bedre mutationsmetode Udviklingshastighed og stopkriterie Resultater efter forbedringer 23 9 Diskussion og perspektivering Vingeprofiler i forhold til tredimensionelle vinger

3 9.2 Fejlkilder Mulige forbedringer til algoritmen Anvendelse Sammenligning med andre optimeringsmetoder Konklusion 26 A Generede flyvinger 29 A.1 Før forbedringer A.2 Efter forbedringer

4 1 Introduktion Evolution og naturlig selektion er en proces, hvor de mest egnede organismer overlever og passerer deres gener videre til den næste generation. Millioner af års evolution har skabt en verden, der i dag er fyldt med tilsyneladende geniale løsninger til naturens problemer. Det er alt fra fuglenes evne til at svæve til planters ydnyttelse af lys til menneskets evne til at kommunikere. Evolution vil i mange tilfælde opnå en løsning, ikke altid en optimal løsning, men stadig en fungerende løsning. En gruppe af optimeringsalgoritmer er inspireret af den naturlige evolution, hvor selektion, krydsning af gener og mutation simuleres digitalt. Denne metode kan bruges til at finde potentielle løsninger til problemer eller optimere allerede eksistende løsninger. En evalueringsfunktion bruges til at finde de bedst egnede i en generation, hvorefter gener krydses og muteres for at skabe individerne i den næsten generation. Denne stokastiske proces vil over tid skabe individer, der er mere egnede til de opsatte kriterier. Et eksempel på et ingeniørvidenskabelig problem er optimeringen af vingeprofiler til flyvemaskiner, men også turbiner og vindmøller. I alle disse eksempler er det fordelagtigt at maksimere forholdet mellem opdriften og luftmodstanden (L/D-forhold eller glidetallet). Tallet har en direkte indflydelse på et flys brændstofforbrug, svæveevne og general effektivitet. Fra naturens side er albatrossen et perfekt eksempel på et dyr, der er optimeret af evolution til svævning. En kombination af deres aerodynamiske egenskaber og luftstrømme gør det muligt dem at svæve flere hundrede kilometer uden at slå med vingerne[9]. I denne rapport præsenteres en metode baseret på en genetisk algoritme, der kan bruges til at optimere todimensionelle vingeprofiler for at opnå en højere L/D-forhold. Vingen beskrives matematisk med en sammensat Bezierkurve, og strømningerne omkring vingen simuleres med programmet xfoil. Udover analysen af de resulterende vinger bliver enkelte evolutionsparametre undersøgt, for at optimere evolutionens hastighed og resultater. Til sidst bliver udvalgte genererede vinger sammenlignet med eksisterende naturlige og kunstige vinger. 2 Problemformulering Projektet fokuserer primært på hvordan det er muligt at efterligne den naturlige evolution til at løse ingeniørvidenskabelige problemer. Den valgte problemformuleringen er: Hvordan kan man optimere en vinge eller en vingeprofil gennem brugen af genetiske algoritmer, således at effektiviteten og svævedistancen øges under bestemte aerodynamiske forhold, og hvordan er eventuelle resultater i forhold til eksisterende vinger? 3 Baggrund I dette afsnit omtales relevant viden, der gør det muligt at realisere projektet og analysere resultaterne. 3

5 Figur 1: De aerodynamiske kræfter, der påvirker en flyvemaskine. (David L. Darmofal. CC BY-NC-SA 4.0) 3.1 Aerodynamiske kræfter Følgende overfladeintegral beskriver den aerodynamiske kraft, der påvirker et objekt, A = ( pˆn + τ )ds (1) S body Hvor A er hele den aerodynamiske kraft, p er trykket, ˆn er enhedsvektoren vinkelret til overfladen, τ er stress fra viskositet [3]. For flyvemaskiner opløses denne aerodynamiske kraft typisk til to kræfter, der er yderst brugbare til beregninger: Luftmodstand, D og opdriften L. Disse kræfter er vist i figur 1. Opdriftskraften er vinkelret til strømningshastighedsvektoren (V ). Ved en konstant indfaldsvinkel α og konstant densitet, er den ideelle opdrift proportional med den kvadreret hastighed. Kraften kan beskrives med følgende formel: L = 1 2 ρ v 2 AC L = q AC L (2) Hvor ρ er densiteten, v er luftstrøms-hastigheden, A er referencearealet (typisk vingernes areal), q er det dynamiske tryk og C L er den enhedsløse opdriftskoefficient. Konstanten C L indeholder alle de komplekse faktorer, der har effekt på opdriften, og værdien bliver derfor oftest bestemt eksperimentelt i en vindtunnel eller med computer-simulationer. Opdriftskraften er forårsaget af sammenspillet mellem forskellige komplekse fysiske fænomener, men der er to simplificerede forklaringer, der hver især er ufuldstændige. Ifølge Newton s tredje lov har hver aktion en lige stor og modsatrettet reaktion. Fordi en vinge deflekterer luftstrømmen nedad, bliver den selv påvirket i den modsatte retning 1. En anden forklaring bruger Bernoullis princip, der siger, at produktet af det dynamiske tryk, q og det statiske tryk p er konstant for gnidningsfrie væsker. Eller skrevet formelt: 1 p + q = p ρv2 = k (3) 4

6 Figur 2: Drag polar af NACA vingen. Tykkelse t Krumningslinje Kordelinje Maksimale krumning/camber Korde c Figur 3: Eksempel på vingeprofilen NACA-3412 Den komplette forklaring indeholder elementer af begge to. Luftmodstanden kan bestemmes på en lignende måde, her udskiftes opdriftskoefficienten blot med luftmodstandskoefficienten (også kaldet formfaktoren) C D D = 1 2 ρ v 2 AC D = q AC L (4) Denne kraft virker er parallel i forhold til strømningshastigheden. Luftmodstanden kan yderligere opdeles i to slags: den inducerede luftmodstand forårsaget af luftstrømme omkring tredimensionelle vinger (uddybet i næste underafsnit) og parasitluftmodstand (eng: parasitic drag), som er forårsaget af objektets form. Mængden af de forskellige slags luftmodstand kommer an på strømningshastigheden. Ved lave hastigheder dominerer inducerede luftmodstand, mens parasitluftmodstand dominerer ved højere hastigheder. Som sagt har indfaldsvinklen en virkning på de to vigtigste aerodynamiske kræfter, og der findes derfor et standard-diagram kaldet et drag polar til visningen af afhængigheden. Et eksempel på sådan et diagram er vist i figur Vingeprofiler og fysiske vinger Vingeprofiler er todimensionelle tværsnit af fysiske vinger. Disse tværsnit kan beskrives af en række parametre, hvoraf de vigtigste er tykkelsen t, længden på korden c og mængden af krumning. Hos de symetriske vingeprofiler er der ikke en krumning, og vingen er derfor symetrisk omkring korden. Omvendt har de asymetriske vingeprofiler en krumning[1]. Krumningslinjen, også kendt som mean camber line er linjen der bliver dannet, når middelpositionen af øverste og nederste flade bestemmes. Det er hovedsageligt krumningen, krumningslinjens form og fordelingen af tykkelsen der bestemmer vingeprofilets opdrift og andre aerodynamiske egenskaber[2, ss ]. Et eksempel på en vingeprofil er tegnet på figur 3, hvor de vigtigste begreber er angivet. 5

7 Figur 4: Forskellige slags vingefaconer. (David L. Darmofal. CCBY-NC-SA 4.0) Under analysen af en vingeprofil kan den anses som værende en vinge med en uendelig længde, hvor luften kun kan passere over og under vingen. Ved at omskrive udtryk (2) og (4) kan vingeprofilernes aerodynamiske koefficienter beskrives med følgende udtryk: c l = L q S c d = D q S (5) Bemærk, at det lille c bruges til koefficienterne for at vise, at værdierne er for vingeprofiler og uendelige vinger. Koefficienterne bestemmes normalt ved at placere et vingesegment med konstant korde i en vindtunnel, hvor vingen strækker sig fra den ene væg til den anden for at modellere uendelige vinger[2, s. 186]. Fysiske vinger kan opstå i forskellig former, og de har derfor også selv nogle vigtige parametre. Noget af det, der bestemmer effektiviteten af vingen i forhold til vingeprofilen, er sideforholdet, AR (fra engelsk, aspect ratio), der er defineret som: AR = b2 A (6) Hvor b er vingefanget og A er vingens areal. Hos nogle vinger varierer korden som en funktion af afstanden til flyets skrog. F.eks. løber den ikoniske delta-vinge ud i en spids, og danner en trekant. Vingerne på passagerfly er også i mindre grad pileformet og vinklet for aerodynamiske årsager. Nogle eksempler på vingefaconer er vist i figur 4. Under en vinge er der højtryk, mens der over vingen er lavtryk. Dette medfører, at luften under en vinge har en tendens til at bevæge sig uden om siden af vingen og over. Denne bevægelse af luft skaber en roterende hvivel efter vingens spidser, kaldet wingtip vortices på engelsk. Den kinetiske energi i disse hvirvelstømme stammer fra flyets, hvilket betyder, at der opstår en inducerede luftmodstand, defineret som følgende: C D,i = C2 L πear Hvor e er Oswald-effektiviteten (typisk mellem 0.85 og 0.95). Ligningen viser, at opdriftskoefficienten og sideforholdet har en afgørende effekt på den inducerede luftmodstand. Ved høje indfaldsvinkler, hvor opdriftskoefficienten er høj, spiller den inducerede luftmodstand en større rolle. Luftmodstandskoefficienten for en tredimensional er summen af luftmodstanden fra formen og den inducerede luftmodstand: (7) C D = c d + C2 L πear (8) 6

8 Hvirvelerne trækker den omgivende luft med sig, skaber lille nedadgående nedstrømning. Det betyder, at vingens effektive indfaldsvinkel er mindre end den geometriske. Opdriften og opdriftskoefficienten af tredimensionelle flyvinger vil derfor altid være mindre end opdriftskoefficienten af dens vingeprofil[2, ss ]. 3.3 Reynolds tal Reynolds tal er vigtige dimensionsløse tal, der blandt andet beskriver mængden af turbulens i et fysisk system. Tallet er defineret som forholdet mellem de inertielle kræfter og de viskose kræfter: Re = ρvl µ Hvor ρ er densiteten af væsken, v er den relative hastighed mellem objektet og væsken, L er systemets karakteristiske længde, der beskriver størrelsesforholdet og µ er væskens dynamiske viskositet. Fordi den kinematiske viskositet er defineret som ν = µ ρ og L typisk sættes til vingens korde c under analysen af vingeprofiler, kan Re alternativt defineres som, Re = vc ν For passagerfly i normal flyvehøjde, er Re typisk mellem 10 6 og Hvis målet er at modellere flyets aerodynamik i eksempelvis en vindtunnel eller computer, er det vigtigt, at Re er ens. Derudover skal de selvfølgelig have samme form og betingelser for grænselaget (no-slip condition). På den måde skabes der dynamisk similiaritet mellem de to modeller, hvor væskestrømningerne er identiske. Hvis objektet er transonisk eller supersonisk, skal Mach-tallet også være ens, da shock-bølgerne påvirker aerodynamikken.[6] (9) (10) 3.4 Numeriske simulationsmetoder I aerodynamik bruges numeriske simulationsmetoder ofte til at forudsige hvordan et aerodynamisk objekt vil opføre sig i en vindtunnel. Nogle softwarepakker løser Navier-Stokes ligning for at simulere væskestrømningerne. En anden metode gør brug af en række paneler, der modellerer vingeprofilen. Denne metode bliver brugt af programmet xfoil, som først blev udviklet af MIT-professoren Mark Drela i 1980 erne[4]. Selvom programmet er forholdsvis gammelt, indeholder det mange avancerede og nyttige funktioner til analyse af vinger. Programmet understøtter simulationer med og uden viskositet. 3.5 L/D-forhold og glidetallet Ved at tage forholdet mellem opdriften og luftmodstanden, får man den såkaldte L/D-forhold eller L/D ratio på engelsk. Denne værdi er tæt knyttet med et flys brændsstofeffektivitet og svæveevne. 2. Under udviklingen af specielt svævefly er det derfor fordelagtigt at optimere vingeprofilens L/D forholdet. Endvidere omtaler man det såkaldte glidetal, som er forholdet mellem den afstand et fly kan flyve uden motorkraft og højdeændringen[5]. En flyvemaskine med et glidetal på 30 vil altså dale med 1 m, hver gang den svæver 30 m. Hos tredimensionelle 2 7

9 flyvemaskiner er disse værdier i teorien lig med hinanden, og betegnelsen glidetal bruges derfor også til L D. Fordi den matematiske formulering af L og D indeholder de samme variabler (dynamisk tryk og areal), gælder det at L D = C L C D. 3.6 Genetiske algoritmer og evolution Genetiske algoritmer er som sagt inspireret af naturlige selektion og evolution. Dannelsen af en ny generation kan opdeles i en række processer: Selektion af de mest egnede. Krydsning af gener Mutation af gener Under selektionen udvælges et antal individer i den nuværende generation. Udvælgelsen kan foregå på forskellige måder, hvor de mest kendte er roulette-metoden, hvor individernes score er direkte proportional med chancen for overlevelse. En anden metode rankerer individerne efter evalueringsresultatet, og udvælger dem baseret på deres rank alene[10]. Her fokuseres på metode to, da der i tilfælde at flyvinger ikke er en stor relativ forskel mellem individerne. Følgende udtryk kan bruges til at beskrive chancen for udvælgelsen af det n-te individ. p n = (1 p c ) n p c (11) Hvor p c er chancen for udvælgesen af det første individ. Fordi det er en eksponentiel funktion, er der igen p c chance for at det andet individ vælges, hvis det første ikke gør. Krydsning af gener kan enten være baseret på genvis tilfældig udvælgelse, eller en krydsning ved et eller flere bestemte punkter. I nogle tilfælde, hvor værdierne er kontinuerte, er det også muligt at interpolere værdierne fra de to. Tilfældig udvælgelse kan opskrives på følgende måde, { G G 1 (n), if R < 0.5 (n) = (12) G 2 (n), otherwise Hvor R er et tilfældigt tal mellem 0 og 1, G(n) er det n-te gen i det nye genom. Fordi denne metode kombinerer elementer fra forskellige individer, er der sandsynlighed for udforskning af nye løsningsmetoder. Denne metode kan dog også medføre individer, er ikke er i stand til at overleve. Hvis krydsning ved at punkt bruges, vil alle gener før et punkt, c, i afkommets genom stamme fra den ene forældre, mens de resterende fra den anden forældre. Konceptet er illustreret i figur 5. Det kan også beskrives med følgende udtryk, { G G 1 (n), if n < p (n) = (13) G 2 (n), otherwise Værdien for p kan være et tilfældigt tal mellem 0 og antallet af punkter. Disse processer bliver gentaget igen og igen, indtil det ønskede resultat opnås. Under implementationen af genetiske algoritmer er det muligt at fastsætte nogle parametre eller konstanter, der har en virkning på konvergenshastigheden, diversiteten, og effektiviteten. Et 8

10 Figur 5: Tegning, der viser genetisk krydsning/crossover (Thomas Hunt Morgan, 1916, public domain) af de vigtigste faktorer er mængden og omfanget af mutationerne. I biologiske organismer er chancen for mutationen af et enkel basepar i stabile genomer omkring for hver celledivision. Der findes dog gener, hvor værdien ligger i størrelsesordenen Biologiske mutationer kan have forskellige konsekvenser. Basepar i et genom kan blive ændret (f.eks. fra A til C), selvom antallet forbliver det samme. Der kan også opstå tilføjelser eller fjernelser af basepar. Under designet af en genetisk algoritmer er det vigtigt at overveje både mutationsmetoderne i brug, samt chancen for mutationen af et gen. Valget af den genetiske kode har også en afgørende effekt på algoritmens effektivitet. I nogle problemer er det muligt at bruge en lang række diskrete værdier som 1 og 0 i genomet. Her kan mutationen være en tilfældig ændring af værdien. Til andre problemer er kontinuerte værdier foretrukne, hvor værdien af generne er afgrænset i et interval. Det er stadig muligt at bruge diskrete værdier som et genom til en række kontinuerte værdier (så generne bliver oversat til en slags fænotype), men dette er ofte ikke nødvendigt eller praktisk i simple genetiske algoritmer. En anden metode er at lægge et tilfældigt tal til genets oprindelige værdi, hvilket er opskrevet her. r R, 1 r 1 (14) g = g + r s (15) Hvor r er et tilfældigt tal, s er den maksimale mutationsstørrelse og g er værdien af genet. En alt for lille værdi for s medfører en alt for langsom evolution, mens en for høj værdi er ustabil. Mutationsstørrelsen kan sammenlignes med læringshastigheden i maskinlæring (typisk α), hvor størrelsen har et lignende effekt på udviklingen/læringen. Et genetisk algoritme, der gør brug af en statisk mutationsstørrelse kan forbedres ved at gøre brug af en dynamisk mutationsstørrelse og mutationshastighed. I starten er det vigtigt at udforske et bredt spektrum af mulige løsninger, som senere kan finjusteres. En anden vigtig faktor er antallet gener, samt antallet af de basale enheder i hvert gen. Hvis antallet af gener er for høj, evolutionshastigheden være meget lav

11 P 0 P 2 Figur 6: Konstruktionen af en kvadratisk Bezier-spline P Parametrisering af vinger For at optimere en flyvinge er det først nødvendigt at være i stand til at beskrive vingen med parametre. Det gør et muligt for et menneske eller et computerprogram at ændre på værdierne og ændre den resulterende form. Til dette formål er der mange eksisterende metoder. Den mest kendte er nok NACA-serien af flyvinger, som opskrives med fire cifre, f.eks. NACA De første to cifre beskriver mængden af camber som en procent af vingens korde, det næste tal beskriver positionen med maksimum camber i tiendedele. De sidste to tal beskriver vingens maksimale tykkelse som en procent af vingens korde. Ved at indsætte værdierne i en række ligninger, er det muligt at konstruere vingeprofilen[8]. Der er siden udviklingen af de fire-cifrede NACA-vinger i starten af 1900-tallet blevet udviklet 5- og 6-cifrede definitioner, hvor der flere parametre indgår. 4. Definitionerne og beskrivelsen af vingeprofiler kan gå fra de helt simple (f.eks. fire-cifrede NACAvinger), der kan modificeres i begrænset opfang, til eksempelvis splines, der kan beskrive enhver tænkelig form. En form for parametriske kurver kaldes Bezierkurver, der ligesom splines kan beskrive stort set enhver form. Ulempen ved brugen af splines og Bezierkurver er, at der findes langt flere mulige kombinationer, hvilket kan føre til en langsom udviklingshastighed med den genetiske algoritme. Dette er dog også en fordel, da enhver tænkelig vingeprofil i teorien kan beskrives. Bezierkurver og deres egenskaber uddybes i følgende underafsnit. 3.8 Bezierkurver En Bezierkurve er en kontinuer kurve, der er beskrevet med mindst to endepunkter og nul eller flere kontrolpunkter. Den resulterende Bezierkurve starter og slutter ved endepunkterne og kurven bliver tiltrukket af kontrolpunkterne. Den simpleste Bezierkurve beskrives med to punkter, P 0 og P 1, og er matematisk identisk med et linjestykke, der går mellem de to punkter. Den kan opskrives på følgende måde (Bemærk: I dette projekt anvendes todimensionelle koordinater/stedvektorer): B(t) = ( P 1 P 0 )t + P 0 = (1 t) P 0 + t P 1, 0 t 1 (16) B(t) bevæger sig altså fra P 0 til P 1, når værdien af t går fra 0 til 1. I en andengradsbezierkurve (vist i figur 6) er der tre punkter. Ved brug af De Casteljau s algorithm bliver der mellem P 0 og P 1 konstrueret en førstegradsbezierkurve, og det samme foretages mellem punkt P 1 og P 2. Der interpoleres igen mellem de to førstegradsbezierkurver 5. Udtrykket for en andengradsbezierkurve 4 pmarzocc/ae429/the%20naca%20airfoil%20series.pdf

12 har derfor følgende form. B 0,1 (t) = ( P 1 P 0 )t + P 0, 0 t 1 (17) B 1,2 (t) = ( P 2 P 1 )t + P 1, 0 t 1 (18) B 0,1,2 (t) = ( P 1,2 P 0,1 )t + P 0,1 (19) Substitution og omskrivning B 0,1,2 (t) = ((( P 2 P 1 )t + P 1 ) (( P 1 P 0 )t + P 0 ))t + ( P 1 P 0 )t + P 0, t 1 (20) B 0,1,2 (t) = (1 t) 2 P0 + 2(1 t)t P 1 + t 2 P2 t 1 (21) En generel rekursiv formel baseret på De Casteljau s algorithm kan opskrives for en Bezierkurve af enhver grad. Lad n være antallet af kontrolpunkter og P 0, P 1... P n 1 være kontrolpunkternes koordinater. Funktionen skaber to sæt af punkter, et sæt med alle undtagen det sidste kontrolpunkt, og et sæt med alle undtagen det første: P 0... P n 2 og P 1... P n 1. Bezierkurven udregnes for disse sæt rekursivt, indtil det kun er enkelte punkter. B P0 (t) = P 0 (22) B P0... P n 1 (t) = (1 t) B P0... P n 2 (t) + t B P1... P n 1 (t) (23) På den måde er det muligt at skabe Bezierkurver med arbitrære antal kontrolpunkter. Selvom metoden er simpel, betyder antallet af iterationer, at algoritmen er langsom, speciel hvis der er mange kontrolpunkter. Tidskompleksiteten ligger på O(n 2 ). En alternativ metode baseret på Bezierkurver til skabelsen af komplekse former er at opdele formen i en række sammensatte førstegrads- eller andengradsbezierkurver. Ved at sammensætte let udregnelige kurver er metoden skalerbar. Det medfører også, at den resulterende sammensatte kurve ligger tættere på kontrolpunkternes positioner end hvis n-te grads Bezierkurve anvendes. Til den endelige algoritme til parametriseringen af vingen fokuseres der derfor på sammensatte kurver. Vingens form skal helst ikke have skarpe kanter. Den sammensatte Bezierkurve kræver altså G 1 -kontinuitet, hvor den differentierede kurve skal være kontinuer. Dette gælder, hvis linjen mellem to kontrolpunkter, der omgiver et knudepunkt, skærer selve knudepunktet. Med andre ord, kurvens tangent ved sammenslutningspunktet mellem to delkurver skal skære de kontrolpunkter, der ligger umiddelbart før og efter sammenslutningspunktet. Dette gælder fordi en Bezierkurves tangent ved et endepunkt altid skærer det tætteste kontrolpunkt. En simpel måde, hvorpå en jævn sammensat Bezierkurve, der opfylder de opstillede kriterier kan skabes, er ved at konstruere en række midtpunkter mellem kontrolpunkterne på følgende måde Lad n være antallet af kontrolpunkter, og P 0, P 1, P 2,... P n 1 kontrolpunkternes koordinatet. Den i-te kontrolpunkt er altså P i 1. Midtpunktet mellem P i og P i+1 defineres som Q i : Q i P i + P i+1 2 For alle de midterste kontrolpunkter, altså P 1, P 2,... P n 2, gælder det, de at de omgivet af to midtpunkter, Q i 1 og Q i. Her bruges midtpunkterne som endepunkterne i en mindre 2.gradsbezierkurve, og P i bruges som kontrolpunktet for segmentet. (24) seg B i (t) = B Qi 1, P i, Q i (t), i [1, 2,... n 2] (25) Den resulterende sammesatte Bezierkurve skærer alle de konstruerede midtpunkter. Det første og det sidste kontrolpunkt er ikke omgivet af to midtpunkter midtpunkt, og her er det derfor kun muligt at skabe en 1.gradskurve, et linjestykke, der forbinder endepunktet og midtpunktet. Den føromtalte metode er vist grafisk i figur 7. 11

13 P 0 P 2 Q 0 Q 1 Q 2 P 1 P 3 Figur 7: Konstruktionen af en sammensat Bezierkurve 4 Hypotese Jeg vil forsøge at gøre brug af en selvudviklet genetisk algoritme til at optimere vingeprofiler med udgangspunkt i en geometrisk NACA-vinge til at kick-starte processen. Hvis algoritmen virker som planlagt, forventer jeg, at programmet iterativt forbedrer vingeprofilens design over tid. Fordi formen af vingen og de aerodynamiske faktorer, der indgår i Reynolds tal, har en effekt på opdrift og luftmodstand, forventes det, at variationen af disse ændrer algoritmens slutresultat. Konkret kan der kigges på eksisterende vinger, både menneskeskabte og naturlige, for at få en mulig ide af hvad algoritmen kommer frem med. Mange fugle, specielt trækfugle, er udviklet til svæve over lange afstande med det laveste energiforbrug. Eksempelvis er albatrosser kendte for deres lange vinger. Det forventes, at en vinge genereret under samme aerodynamiske vilkår, vil have nogle similariteter. Det er muligt, at algoritmen kommer til at overoptimere, hvis fysiske begrænsninger ikke implementeres. Det er eksempelvis ikke muligt at have en virkelig vinge med en tykkelse på 0. Jeg forventer, at algoritmen vil generere nogle vingeprofiler, der minder lidt om de asymetriske vingeprofiler, man kan finde i levende organismer eller i eksisterende flyvinger. Der vil dog være afvigelser på grund af de todimensionelle flyvinger, der ikke bliver påvirket af andre effekter og effektivitetstab. Fordi krumningslinjen har den største effekt på de aerodynamiske egenskaber, kan det være, at algoritmen vælger 6 at påbegynde optimeringen med denne, og efterfølgende finjustere fordelingen af tykkelsen. 5 Metoder 5.1 XFoil Xfoil bruges under simulationsprocessen til bestemmelsen af de genererede vingeprofilers aerodynamiske koefficienter. Xfoil kontrolleres gennem en række kommandoer, som kan bruges til at generere en lift-drag polar for en given vingeprofil ved at beregne opdrift og luftmodstand ved flere vinkler. Følgenge kommandoer bruges 7 : 6 Algoritmen kan betegnes som en hill-climbing-algoritme, der bruger tilfældighed til at finde det næste trin. Generelt vil algoritmen derfor vælge at ændre den parameter, der har en størst effekt. 7 v1.0/xfoil doc.txt 12

14 LOAD (Åbn en fil med et sæt koordinater) NORM (Normaliser vingen til intervallet 0 x i 1) PANE (Interpoler til et passende antal punkter.) OPER (Gå til simulationsfunktionen) Visc (Simuler med viskositet) Re <num> (sæt Reynolds tal) M <num> (sæt mach-tallet) PPAR (Gem simulationsresultaterne) ASEQ <num> <num> <num> (Simuler for en sekvens af vinkler.) Disse kommandoer bruges til at læse og analyse en.dat-fil med et sæt af koordinater. 5.2 Design af algoritmen Selve den genetiske algoritme blev struktureret omkring en løkke, der iterativt gentager simulationen for hver generation. Flowdiagrammet på figur 8 viser de forskellige trin i algoritmen. Algoritmen blev indelt i en række logiske dele. Et Python-modul blev skrevet med navnet xfoil.py, som fungerer som en bro mellem Python og xfoil. Helt over ordnet er programmet opdelt i følgende dele: 1. Bro til xfoil, der kan bruges til at lave aerodynamiske simulationer. 2. Klasse, hvor vingeprofilernes egenskaber og funktioner defineres. 3. Funktioner, der udfører de forskellige dele af den genetiske algoritme: selektion, krydsning og mutation. Til den genetiske algoritme blev krydsningen og skabelsen af et afkom udført ved at tage den øvre flade fra den ene forældre og den nedre flade fra den anden. Det sikrer, at der ikke er et punkt på vingen, hvor tykkelsen pludselig ændrer sig. 5.3 Bestemmelse af Reynolds tal For at bestemme Re for et fly, der bevæger sig med en bestemt hastighed og befinder sig i en bestemt højde, er det nødvendigt at finde viskositeten af væsken. Værdien af denne kan estimeres ved hjælp af den internationale standardatmosfære (ISA), som er en model, der blandt andet beskriver den atmosfæriske temperatur, tryk og densitet helt op til en højde på ca. 60 km[6]. Når temperaturen er kendt, kan Sutherlands ligning anvendes til bestemmelsen af viskositeten 8 : 8 dvd only/aero/fprops/propsoffluids/ node5.html 13

15 Skab population med NACA-vinge Xfoil Evaluer alle individer Vælg mest egnede individer Færdig ja Optimal nok? nej Kryds de mest egnede individer Muter generne Figur 8: Overordnet struktur af hele algoritmen 14

16 Hvor b = 1, kg m s K 1 2 og S = 110,4K. µ = b T 3 2 T + S Til analysen af vingeprofiler er det, som tidligere omtalt, praktisk at finde vingens korde samt flyets flyvehastighed. Disse værdier er ofte tilgængelige eller kan regnes baseret på data fra internettet. Alle de nødvendige værdier indsættes til sidst i formlen, Re = vc ν 5.4 Implementering af algoritmen Implementeringen i python blev struktureret efter den planlagte algoritme, og den blev derfor opdelt i forskellige filer. Følgende liste beskriver kort, hvilke funktioner de vigtigste filer har. xfoil.py: Fordi xfoil ikke har et API, er det ikke muligt at bruge det direkte fra python. Denne fil indeholder kode, der sender kommandoer til xfoil s kommandointerface samt aflæser data. CompBezier.py: Kode til generering af sammensatte Bezierkurver. Airfoil.py: Indeholder en class til de genetiske flyvinger og funktioner til at gemme/aflæse disse. Alle funktioner, der omhandler individuelle vingeprofiler er implementeret her. Det er blandt andet logikken bag mutationerne og valideringsfunktioner. genetics.py: Indeholder implementeringen af den genetiske algoritme. Koden i denne fil retter sig primært mod hele populationer, hvilket inkluderer selektionsprocessen. aerotools.py: Funktioner til udreging af Reynolds tal samt kode til udregning af atmosfæriske data med den internationale standardatmosfære. visualize.py: En hjælpefil, der er i stand til at visualisere udviklingen af vingeprofilerne gennem en animation. Under evolutionsprocessen blev hver individ i hver generation eksporteret og gemt som en fil. På den måde er det muligt at analysere alle individerne enkeltvis, hvis det skulle være nødvendigt. (26) (27) 6 Resultater Den udviklede genetiske algoritme blev brugt til at optimere vingeprofiler med udgangspunkt i NACA Vingeprofilerne blev simuleret med følgende Re: , , , , 10 8, hvilket påvirker resultatet fra den genetiske algoritme. Nogle udvalgte resultater fremvises her, mens resten kan findes i bilaget. I nogle tilfælde gav xfoil forkerte værdier for luftmodstanden, hvilket gav en beregnet L/D på flere tusinde. Disse værdier er fjernet i ekstreme tilfælde før de indtegnes i graferne, og de fjernede værdier er markeret med et brud i graden. Under evolutionsprocessen blev L/D-forholdene samt vingernes koordinatsæt gemt for hvert individ i hver generation. Resultaterne tager udgangspunkt i disse datasæt. 15

17 6.1 Udviklingshastighed Under optimeringen af algoritmen blev mutationsstørelsen ændret for at finde effekten på udviklingshastigheden. Re blev her sat til , hvilket omtrent svarer til en fugl. Figur 9 viser effekten af mutationsstørrelsen (her blev mutationschancen sat til 0.15). De resulterende flyvinger efter 500 generationer er vist i figur 10. Analysen af udviklingshastigheden viser, at der er en klar fordel i at vælge den korrekte mutationsstørrelse og mutationschance. Hvis værdien af mutationsstørrelsen S er for lav, vil det medføre en meget langsom udviklingshastighed, hvilket kan ses på den blå kurve på figur 9. Hvis værdien er for høj, skaber det instabilitet og misdannenede individer, hvilket er tilfældet med S = 0,008. Det er tydeligt på figur 10, at den sorte vingeprofil har fået en dårlig mutation. En passende værdi for S medfører derimod til en forholdsvis hurtig udvikling, uden at der dannes alt for mange negative mutationer. I dette tilfælde er det omkring S = 0,004, som næsten har samme udviklingshastighed som S = 0,008, men med langt færre problemer L/D vs gen S = 0,002 S = 0,004 S = 0,006 S = 0,008 L/D Generation Figur 9: Sammenligning af forskellige værdier for mutationsstørelse, S (Note: brud i linjen er fra ugyldige resultater) 16

18 Figur 11: Albatrossens vinge og vingeprofil 0,002 0,004 0,006 0,008 Start Figur 10: Generation 500 med forskellige værdier for mutationstørrelse Fordi Re brugt her svarer til dem hos fugle, kan de sammenlignes med fuglevinger. Det er oplagt at kigge på albatrossen, da det er en fugl, der er optimeret til svævning. Albatrossens modellerede vingeprofil er vist i figur Her findes der mange ligheder mellem den røde vingeprofil i figur 10 og albatrossens vingeprofil. De har begge en tydelig krumning, og de er begge forholdsvis tynde i forhold til vinger optimeret for højere Reynolds tal. 6.2 Samme forhold som en 747 I en af forsøgene blev Reynolds tal for en Boeing brugt til simulationerne. Flyet har en AR på 7,7 og et vingefang på 70,67 m. Det giver en gennemsnitlig korde på 9,1 m. Ved hjælp af den internationale standardatmosfære til estimeringen af den dynamiske viskositet og luftdensiteten på en højde på 12 km, samt en hastighed på 259,167 m s blev Re bestemt til Det afrundes til Re = Mach-tallet er omkring 0,86, men fordi xfoil ikke er egnet til beregningen med transoniske hastigheder, bruges 0,7 i stedet. 10 I denne simulation blev værdien af S sat til 0,004, mens værdien af mutationschancen blev sat til 0,05. Den bedste værdi og medianen af L/D-forholdet er vist som en funktion af tid i figur 12. Grafen 9 fig

19 viser, at størstedelen af udviklingen foregår i de første 100 generationer. Efterfølgende opstår der nogle problemer med den bedste flyvinge, der muligvis bliver overoptimeret L/D vs gen Bedste Median L/D Generation Figur 12: L/D-forhold som en funktion af generation. 0.1 Gen 0 Gen 100 Gen 350 y x Figur 13: Optimeret til Re = og Mach=0.7 Bemærk: selvom grafen viser en L/D-forhold på over 200, er det praktisk set umuligt at opnå disse værdier. Med fysiske tredimensionelle flyvemaskiner ligger de højeste nuværende værdier på ca Eksempelvis har Boeing 747 et svæve-forhold (hvilket svarer omtrent til L/D-forholdet) på omkring Det stammer fra blandt andet fra luftmodstanden forårsaget af resten af flyet

20 BOEING BACXXX 0.1 y x Figur 14: Vingeprofilen af boeing Den genererede vingeprofil kan sammenlignes med vingeprofilen i den rigtige En version af vingen er vist i figur 14. Som der kan ses, er der både tydelige forskelle og ligheder mellem de to vinger. Den genererede vinge har en skarp krumning nær vingens bagkant. Den genererede vinger er derudover en smule tykkere i forkanten. Til fælles er begge vingeprofiler asymetriske. Den genererede vingeprofil har faktisk mere tilfælles med de såkaldte superkritiske vingeprofiler, der bruger en krumning til at mindske luftmodstand forårsaget af chockbølger, når flyet er transonisk. Et eksempel på en superkritisk flyvinge er vist i figur Denne similiaritet kan dog ikke være opstået på grund af de transoniske chockbølger, da xfoil ikke kan simulere disse og fordi mach-tallet blev sat til 0.7. I stedet kan det være, at krumningen fungerer som en slags high lift device, der skaber mere opdrift. 0.1 whitcomb-il y x Figur 15: Whitcomb Integral Supercritical Airfoil Figur 16 viser en graf over trykkoefficienten over og under vingeprofilen som en funktion af positionen langs korden. Billedet viser, at krumningen i bagkanten er med til at skabe mere opdrift, da forskellen i trykkoefficient er større det sted. 12 Moderne flyvinger bruger ikke den samme konstante vingeprofil gennem hele vingen. Firmaerne offentliggører derudover sjældent deres vingeprofiler

21 Figur 16: xfoil-analyse af den genererede vingeprofil. 7 Implementering af forbedringer til algoritmen På grund af problemet med ujævne overflader har jeg valgt at implementere en række ændringer i algoritmen, for at finde ud af hvordan de vil påvirke de resulterende vingeprofiler. 7.1 Normalisering af vingeprofilen Tidligere var det xfoil, der tog sig af normaliseringen af vingeprofilen før simulationerne, hvor forkanten blev placeret i origo og kordens længde blev sat til 1. Fordi nogle af de planlagte forbedringer kræver en normaliseret vinge før simulationerne, blev en simpel algoritme implementeret i kode til formålet. Først bestemmes forkanten og bagkantens koordinater ved at iterere gennem alle koordinaterne og holde styr på henholdsvis det koordinat med den laveste og den højeste x-værdi. Lad P f være forkantens stedvektor og P b være bagkantens stedvektor. Kordens længde bestemmes ved at finde forskellen mellem forkanten og bagkantens x-koordinat: c = x Pb x Pf (28) Vingeprofilens kontrolpunkter transformeres ved at flytte punkterne, så P f er i origo, hvorefter alle punkters stedvektor skaleres, så korden bliver 1. P i,normaliseret = 1 c ( P i P f ) (29) 20

22 7.2 Begrænsning af tykkelse En af de tidligere problemer der opstod, var vingeprofiler med en tykkelse på 0 eller tæt på 0. Den eksisterende tykkelsesbegrænsningsalgoritme er primitiv, da den kun forhindrer, at kontrolpunkterne skærer hinanden i y-retningen. For at udvide denne funktion er det nødvendigt at finde tykkelsesfordelingen, altså t som en funktion af x. Af praktiske årsager anvendes de interpolerede koordinater. Der konstrueres først en række linjestykker mellem hvert koordinat. For at finde tykkelsen ved x i bruges følgende metode: Alle koordinatpar itereres igennem for at finde ud af hvor den vertikale linje x = x i skærer linjestykket. Fordi vingen har en øvre og en nedre flade, er der i alt to skæringer (set bort fra enkelte undtagelser). y-koordinaten for de to skæringer bestemmes, hvorefter udregningen af tykkelsen er triviel: t = y øvre y nedre. 15 Ved at bestemme t ved forskellige punkter er det muligt at skabe en tykkelsesfordeling. For at skabe en minimumstykkelse kræves en funktion, der er i stand til at beskrive minimumstykkelse som en funktion af korden. Minimumstykkelsen kan ikke være en konstant, da vingeprofiler typisk tynder ud i bagkanten. Helvigvis findes der allerede sådan en funktion i form af de firecifrede NACA-vingers definition[8]. Følgende udtryk afledt af NACA-vingens definition beskriver tykkelsen som en funktion af positionen langs korden: t NACA (x) = 10t max (0,2969x 0,5 0,1260x 0,3516x 2 + 0,2843x 3 0,1015x 4 ) (30) Hvor t max er vingens maksimale tykkelse. En arbitrær valg af tykkelsen kan være 0,05 gange kordens længde (bemærk: Det valgte udgangspunkt til den genetiske algoritme NACA 0012, med en maksimal tykkelse på 0,12 gange kordens længde). For at bestemme hvorvidt et individ har en gyldig tykkelse, kan programmet finde ud af om der er punkter, hvor t < t NACA gælder. Figur 17 viser tykkelsesfordelingen af en tidligere genereret vingeprofil samt den valgte grænse x vs t 5 t NACA t t x Figur 17: Tykkelsesfordelingen af flyvinge fra det opdaterede program. Figuren viser, at vingeprofilen ikke er gyldig ifølge de nye kriterier. 15 Teknisk set burde tykkelsen bestemmes som den mindste afstand fra øvre flade til nedre flade, hvilket ikke altid er ortogonal med x-aksen. Den præsenterede metode giver dog en approximation, der fungerer til formålet. 21

23 7.3 Trykfordeling og overfladens jævnhed Et af problemerne der opstod i programmet var dannelsen af ujævne overflader, der fører til en ujævn trykfordeling. Disse to problemer kan delvist løses ved at inkorporere et andet optimeringskriterie, der beskriver hvor jævn overfladen er. For at opstille dette kriterie kræves en metode, der er i stand til at evaluere vingeprofilens overflade, og generere en numerisk jævnhedsværdi. Det er også vigtigt, at en smule ujævnhed ikke påvirker evalueringsresultatet alt for meget. Følgende metode blev implementeret for at gøre netop det: Først opdeles vingeprofilens kontrolpunkter i øvre og nedre, hvorefter punkterne interpoleres med parametriseringsmetoden. Numerisk differentiation anvendes til at estimere tangentens hældning som en funktion af afstanden til forkanten. d dx f(x) f(x i+1) f(x i ) x (31) En regressionsanalyse foretages derefter med en tredjegradspolynomium, og bestemmelseskoefficient, R 2 beregnes. R 2 giver en indikation om hvor jævn overfladen af vingeprofilen er. Brugen af tredjegradspolynomiet betyder, at vingeprofilen stadig kan have lidt ujævnhed i form af krumninger, uden at det påvirker R 2 særlig meget. x vs dy dy x Figur 18: Den differentierede underside af en tidligere genereret flyvinge. For at teste den opstillede metode blev en tidligere genereret flyvinge analyseret (Den røde vist i figur 10), hvilket producerede datapunkterne vist i figur 18. Den stiplede røde linje er tredjegradsligningen fra regressionsanalysen. Metoden bruges på både oversiden og undersiden, hvorefter R 2 -værdierne kombineres gennem et geometrisk gennemsnit: J = (R 2 ) 1 (R 2 ) 2 (32) Værdien af J ligger mellem 0 og 1. For den føromtalte vingeprofil ligger værdien på 0,95. For at gøre værdien til en del af evalueringskriterierne, kan den blot ganges sammen med de allerede eksisterende kriterier. 22

24 Figur 19: Vingeprofil optimeret til Re = 1e5 af den tidligere version af programmet 7.4 Bedre mutationsmetode Første version af computerprogrammet gjorde brug af en simpel mutationsmetode, hvor kontrolpunkternes x-koordinat og y-koordinat blev ændret separat med en ensartet tilfældig værdi. Men fordi problemet omhandler todimensionelle koordinater, er det mere passende at ændre koordinaten som en samlet enhed. Af den grund blev følgende mutationsmetode implementeret i den nyeste version af programmet. Lad P være en stedvektor, der repræsenterer et kontrolpunkts position og 0 θ 2π en tilfældig vinkel. ( ) sin θ ˆr = (33) cos θ P efter = P + ˆr S X (34) Hvor S er mutationsstørrelsen og X er en tilfældig værdi genereret efter normalfordelingen. Brugen af normalfordelingen medfører, at antallet af små ændringer øges, samtidig med at der stadig kan opstå enkelte større mutationer. (35) 7.5 Udviklingshastighed og stopkriterie For at overvåge udviklingshastigheden (målt i evalueringspoint per generation), er det ikke nok at tage ændringen per generation, da mængden af støj bliver for høj. I stedet kan en slags gennemsnit over de sidste n generationer udregnes ved at foretage en linear regression, hvor hældningskoefficienten bestemmes. n blev arbitrært sat til 20 generationer, da værdien giver en god balance mellem mængden af støj og hvor opdateret værdien er. Observationer efter igangsættelse af optimeringsprogrammet viste, at udviklingshastigheden starter højt, i nogle tilfælde på over 1 evalueringspoint/gen. Set bort fra enkelte stigninger af udviklingshastigheden, har den en tendens til at falde over tid. I de fleste test lå værdien på under 0.05 points/gen efter omkring 500 generationer. Det er derfor muligt at standse optimeringen automatisk, hvis evalueringsresultatet forbliver under en valgt grænse over et stykke tid. 8 Resultater efter forbedringer Et par vingeprofiler blev genereret med samme Reynoldstal som tidligere for at undersøge hvordan ændringerne i programmet har påvirket de resultarende vingeprofiler. Den første vingeprofil er optimeret til Re = 1e5, og resultatet efter 500 generationer er vist i figur

25 0.2 Gen y x Figur 20: Vinge optimeret til Re = 1e5 med forbedringer Subjektivt er det tydeligt, at denne vingeprofil har en mere jævn overflade i forhold til den tidligere version. Det samme viser den tidligere omtalte jævnhedsværdi, som ligger på 0,986 i forhold til 0,95. På grund af tykkelsesbegrænsningerne er der ikke steder på vingeprofilen, hvor tykkelsen er nul eller tæt på nul. Figur 21 viser, at tykkelsesbegrænsningen fungerer, da tykkelsesfordelingen er over den valgte grænse. t x vs t t NACA t x Figur 21: Tykkelsesfordelingen af flyvinge fra det opdaterede program. Igen blev en vingeprofil optimeret til høje Reynoldstal, som svarer til dem man finder hos kommercielle flyvemaskiner. Resultatet efter 500 generationer er vist i figur

26 0.2 Gen y x Figur 22: Vinge optimeret til Re = 5e7 med forbedret program. Figuren viser, at der igen opstår en mærkværdig høj krumning i bagkanten. Forbedringerne har dog medført, at overfladen er mere jævn, og tykkelsen er mere realistisk. Andre vingeprofiler genereret med det opdaterede program er vist i bilaget. 9 Diskussion og perspektivering 9.1 Vingeprofiler i forhold til tredimensionelle vinger De fundne værdier for L/D-forholdet gælder kun i tilfælde af uendelige lange vinger. I virkeligheden vil der, som sagt i baggrundsafsnittet, være andre faktorer som hvirvler, der øger luftmodstanden og sænker opdriften. Derudover vil flyets skrog bidrage til luftmodstanden. Der er i denne rapport derfor ikke lagt stor fokus på selve værdien af L/D, men i stedet på hvordan optimeringen af denne vil øge effektiviteten. 9.2 Fejlkilder Xfoil er ikke egnet til simulationer i ved transoniske og soniske hastigheder. Manglen på chockbølger er derfor en stor fejlkilde ved simulationer med et højt mach-tal. En anden fejlkilde er xfoils præcision. Det mest optimale vil selvfølgelig være brugen af en fysisk vindtunnel, men det er ikke praktisk set muligt med en genetisk algoritme. I nogle tilfælde er xfoil ikke i stand til at udregne en præcis værdi for opdriften og luftmodstanden, specielt ved høje indfaldsvinkler. Nogle muterede vingeprofiler havde en tendens til at snyde xfoil, og få programmet til at tro, at der næsten ikke var noget luftmodstand. Der var derfor tidspunkter hvor værdien af L/D blev flere tusinde gange det fysisk mulige. 9.3 Mulige forbedringer til algoritmen Alternativt til den konstante mutationsstørrelse og mutationschance er det muligt at variere dem som en funktion af generationen eller som en funktion mængden af udvikling. Det kan medføre en hurtig udvikling i starten, som senere finjusteres ved at sænke mutationsstørrelsen. 25

27 En anden forbedring er brugen af en bedre evalueringsfunktion til rankeringen af individerne. I denne undersøgelse bruger den genetiske algoritme kun en variabel - L/D-forholdet (og dermed svæveevnen og brændstofforbrug), men hos virkelige flyvemaskiner er der andre faktorer, der spiller mindst lige så stor en rolle. Det kan eksempelvis være mængden af opdrift under lettelse. Derudover kan værdien af L/D ved flere forskellige indfandsvinkler og hastigheder være en del af en helhedsvurdering. Det vil også være oplagt at bruge matematiske modeller, der beregner L/D-forholdet af tredimensionelle vinger, og bruge disse værdier i evalueringsalgoritmen. Det vil sandsynligvis give mere realistiske resultater. Selvom den nuværende genetiske algoritme fungerer, er det dog stadig muligt at finjustere nogle af udviklingsparametrene som mutationer og krydsning af generne. 9.4 Anvendelse En genetisk algoritme som den, der blev præsenteret i denne rapport kan helt klart anvendes indenfor ingeniørvidenskaben. Der har også været historiske eksempler på anvendelsen af disse før i tiden, hvor problemet er ikke-lineært, blandt andet optimeringen af antenner hos NASA[7]. En genetisk algoritme er specielt brugbar i starten af optimeringsprocessen, hvorefter de resulterende løsninger bliver bearbejdet med andre værktøjer eller manuelt. Metoden kan i teorien let adapteres til problemer, der kan beskrives med en række parametre, tal eller koordinater. Et andet aerodynamisk eksempel kan være optimeringen af luftmodstanden hos biler. Algoritmen kan sandsynligvis også bruges til at optimere formen af produkter for at mindske materialeforbrug. 9.5 Sammenligning med andre optimeringsmetoder Selvom den genetiske algoritme brugt i dette projekt fungerer, er den ikke optimal til optimeringen af virkelige flyvinger. Da genetiske algoritmer kan betegnes som naive, forsøger de kun at optimere for det fastsatte mål, uden at overveje potentielle problemer. Sammenlignet med andre inverse design-metoder, er der klare ulemper ved denne genetiske algoritme. Før det første er den flere størrelsesordener langsommere i forhold til nogle andre, og nogle af resultaterne er præget af overfitting. Dog vinder den genetiske algoritme i simplicitet, da implementeringen af den ikke kræver avancerede forhåndsviden om teoretisk aerodynamik. 10 Konklusion I denne rapport er en metode til optimeringen af flyvinger gennem brugen af Bezierkurver og genetiske algoritmer blevet præsenteret. Det lykkedes den genetiske algoritme at optimere vingen over flere hundrede generationer efter de opsatte kriterier, der i dette tilfælde er forholdet mellem opdriftskoefficienten og luftmodstandskoefficienten. Det er derfor teoretisk set muligt for et svævefly at bruge de fundne flyvinger. Dog er der stadig problemer med den benyttede metode, da algoritmen i øjeblikket kun optimerer efter generelle todimensionelle flyvinger i stedet for en fysisk vinge med en bestemt længdeforhold. Alligevel viser resultaterne, at genetiske algoritmer kan bruges til at give et bud på en mulig løsning, selv af folk, der ikke tidligere har haft erfahring med manuelt design af flyvinger. 26

28 Nogle af de genererede flyvinger, specielt ved lave Reynolds tal, minder om dem man naturligt finder hos fugle. Alt i alt synes jeg, at projektet lykkedes og at problemformuleringen er besvaret. Selvom algoritmen ikke skaber de mest optimale vinger som muligt, er det alligevel en passende model for den naturlige evolution. Undersøgelsen har vist, at valget af mutationsparametrene er kritisk, da de direkte påvirker udviklingshastigheden og kvaliteten af resultatet. Endvidere kan den udviklede algoritme adapteres til andre parametriserede problemer, der kan evalueres numerisk. 27