Matematisk trafikmodellering

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk trafikmodellering"

Transkript

1 - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige basisstudium Studiested: Roskilde Uiversitetsceter

2 Abstrakt Formålet med dee rapport er at idetificere pricipielle problemstilliger ved matematisk modellerig af persotrasport på atioalt iveau. Det sker geem aalyse af e repræsetativ delmodel for valg af destiatio og trasportmiddel, som idgår i de komplekse trafikmodel for persotrasport ALTRANS, som er opstillet af Damarks Miljøudersøgelser. Rapporte kommer bladt adet frem til flere pricipielle problemer ved afgræsig af udersøgelsesdomæet. Edvidere vil vi diskutere problemet, at trafikmodellere fremkommer med resultater, der ikke lader sig kotrollere empirisk. Det er derfor særdeles vaskeligt at vurdere modelleres validitet som grudlag for trafikpolitiske beslutiger. I lyset af de oveståede pricipielle problemer diskuteres bruge af modeller i samfudet. Her fremkommer et problem da komplekse modeller ka være et væsetligt redskab i de videskabelige og tekologiske udviklig, imes selvsamme modeller ka være problematiske i de samfudsmæssige diskussio. Dette skyldes, at modeller af dee karakter, år de iddrages i beslutigsprocesser, i væsetlig grad påvirker hvorda problemstilligere diskuteres og hvem der besidder de ødvedige vide for at deltager i diskussioe om modellere og bruge af deres resultat. Abstract The purpose of this report is to idetify priciple difficulties i mathematic modelig of passeger traffic o a atioal level. This will be achieved through a study of a represetative sub-model for choice of destiatio ad meas of trasport - a part of the complex passeger traffic demad model, ALTRANS, which is developed by The Natioal Evirometal Resource Istitute. The report will, amog other thigs, idetify several priciple problems o delimitig the survey domai. Furthermore we will discuss the problem that the models do ot accommodate a type of result that ca be verified empirically. Therefore it is difficult to evaluate the validity of the models, as a foudatio of political traffic decisios. Based o the above priciple problems, the use of models i the society is discussed. A obvious problem arises regardig complex models. These models ca be a cosiderably tool i the scietific developmet. But i the same time they ca be problematic i the public Side 2 af 70

3 debate, because this type of models, whe used i decisio-makig process, ifluece o how the problems are discussed ad limits the groups of persos who have the ecessary kowledge to participate i the public debate about the models. Side 3 af 70

4 1 Idhold Matematisk trafikmodellerig 1 Idhold Idledig Formål Problemformulerig Problemaalyse Problemafgræsig Metode Målgruppe Teori Matematiske modeller Opbygig af modeller Modelkarakteristika Parametre Diskrete valgmodeller Nyttefuktioer Logit afsit Modeller og samfudet Samfudet og videskabe Modeller i det politiske liv Iterview med Per Homa Jesperse Afrudig ALTRANS Damarks Miljøudersøgelser Modelles overordede struktur Iput Output De geografiske model Emissiosmodelle Adfærdsmodelle Vægtig Segmeterig Side 4 af 70

5 5.3 Validerig af parametre Bortfald af data Frekvesmodel Fordeligsmodel Cohort model Model for kørekortshold Bilejerskab Opsummerig Destiatios- og trasportmiddelvalg Kæder Nyttefuktio Sadsylighed Specifikatio på valgsæt Opsummerig og afrudig Diskussio Destiatios- og trasportmiddelvalg Udersøgelsesdomæe System Matematisk system Karakteristik af destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle Modelresultat, hadlig og erkedelse ALTRANS De geografiske model Emissiosmodelle Adfærdsmodelle Adre erfariger Set i forhold til samfudet Præsetatio og dokumetatio af ALTRANS Koklusio Perspektiverig Litteraturliste Side 5 af 70

6 2 Idledig Matematisk trafikmodellerig Ifølge Damarks statistik er atallet af familier, der ejer e bil støt stigede (Lik[1]). Dette påvirker de trafikale belastig på vejettet. Plalægig af trafik og dertilhørede ifrastruktur er blevet et cetralt samfudsmæssigt problem, hvor matematiske modeller spiller e væsetlig rolle. Ved plalægig af motorrig 3, fik politikere hjælp til vurderig af kosekvesere af udbygige fra matematiske modeller (Lik[2]). Et adet sted ka bruge ses i Politike (Lik[3]), der bragte følgede overskrift: Biltrafik vokser uhæmmet frem mod Til grud for dee artikel var e udersøgelse fra Dask Trasportforskig vedr. udviklige i biltrafikke frem til Modelle bag udersøgelse fremskrev biltrafikke med op til 91 %, eller 2,6 % om året. Disse tal er ligeledes fremkommet på baggrud af matematiske modeller, og de efterfølgede reaktioer fra politikere er lagt he af veje også baseret på matematiske modeller. I trafikplalægig spiller matematiske modeller således e væsetlig rolle, både til at forudsige udviklige i trafikke, me også til at udersøge kosekvesere af forskellige politiske idgreb, heruder ædriger i ifrastrukture. Da matematiske modeller ofte tillægges stor autoritet i det politiske liv, vil det være rimeligt at stille spørgsmål ved, om dee autoritet er berettiget (Aderse og Madse, 1991). Matematiske modeller spiller e større og større rolle i dages samfud, og det er ikke helt uproblematisk at beytte sig af dem. Der er i høj grad brug for ogle grudige overvejelser, før ma fortolker e models resultater og lader disse idgå i e samlet vurderig. Det gælder ikke midst ide for økoomi, hvor makro-økoomiske modeller læge har haft e afgørede idflydelse på de økoomiske politik (Herma og Niss, 1982, s. 22). Me eftersom mage af samfudets problemstilliger er blevet meget komplekse, bliver de matematiske modeller det også. Om e makro-økoomisk model skriver Skovsmose: Systemafgræsige bliver dermed problematisk og lagt mere komplekst teorirelateret ed tilfældet ormalt er ved e eergitekologi (Skovsmose, 1990). De matematiske modeller vil altid være e foreklig af virkelighede, eftersom kompleksitete ellers vil blive for stor, og det dermed ville være umuligt at sige oget brugbart ud fra modelle (Poulse, 1997, s.15). På de ade side ka det være problematisk med disse komplekse modeller, dels fordi det har stor betydig hvilke iteresser modelløre har (Poulse, 1997, s. 66). Dels fordi der Side 6 af 70

7 er så mage i samfudet, der har svært ved matematik, og derfor ikke har mulighed for at geemskue modelle. Dette gør det svært at fide ud af hvilke modeller ma skal stole på, og specielt svært at vurdere de reelle værdi af modelles resultater. 2.1 Formål Formålet med dee rapport er at fide ud af hvorda trafikmodeller er sat samme og hvilke matematiske overvejelser der ligger bag. I arbejdet med e model, er det vigtigt at være opmærksom på flere tig, f.eks. hvilket datagrudlag der beyttes, og hvilke forekliger af virkelighede der idføres. Når ma forekler virkelighede, idføres ku elemeter som modelløre opfatter som relevat. Det er ødvedigt, me her ligger der også e væsetlig faldgruppe i forhold til seere brug af modelle (Poulse, 1997, s.15). Vi øsker derfor at se på de pricipielle vaskeligheder, der er kyttet til opstillige af trafikmodeller. Edvidere vil vi belyse de samfudsmæssige avedelse af trafikmodeller, ude at vi af de grud fjerer vores fokus fra rapportes primære mål. Vi vil arbejde med hvorda modeller beyttes i det politiske liv og hvorda samspillet fugere mellem modeller og samfudet. 2.2 Problemformulerig Hvilke pricipielle vaskeligheder er der kyttet til opstillig af trafikmodeller? Og hvorda ka de samfudsmæssige avedelse af trafikmodeller vurderes i lyset heraf? 2.3 Problemaalyse Betydige af ordet pricipielle ka fortolkes. Vi opfatter ordet som et udtryk for, at problemere ka have e karakter, der går ige i flere forskellige trafikmodeller. Der er således ikke tale om problemer der ødvedigvis går ige i alle modeller. 2.4 Problemafgræsig For at belyse emet, meer vi, at det er ødvedigt at vælge e model, som ka være repræsetativ for matematisk trafikmodellerig, og som vi har mulighed for at gå i dybde med. Vi har valgt e model der hedder ALerative TRANSportsystemer (ALTRANS). Vi meer, at ALTRANS er e repræsetativ trafik model af flere grude. Side 7 af 70

8 For det første er de udarbejdet af Damarks Miljøudersøgelser (DMU), der ikke har oge umiddelbar økoomisk iteresse i, at modelle fremkommer med et bestemt resultat. DMU beytter modelle til ege udersøgelser og artikler, og derfor atager vi, at de har e iteresse i, at modelle fremstår så korrekt som muligt. De er udviklet som et forskigsredskab, og ikke som e beslutigsuderstøttede model i forbidelse med e kokret trafikproblemstillig. Modelle er dog blevet brugt som grudlag for e model over togtrafik for Købehav-Rigsted (Brix et al., 1999), hvorved de kommer til at spille e idirekte rolle i samfudsdiskussioe. Edvidere er modelle forholdsvis uderbygget med adskillige rapporter, dette giver os bedre mulighed for at gå i dybde med de, og derudfra fremhæve ogle relevate diskussioer. Modelle er blevet videreudviklet igeem mage år, hvilket også betyder, at de er blevet geemarbejdet flere gage. Samtidig er det e kompleks model, der beskriver et samspil mellem delområder, disse delområder modelleres på forskellige teoretiske grudlag. ALTRANS består af tre overordede modeller: De geografiske model, adfærds- og emissiosmodelle. Vi vælger ku kort at berører de geografiske model og emissiosmodelle. Edvidere vælger vi ku at gå i dybde med det matematiske i forhold til e delmodel uder adfærdsmodelle, og i stedet arbejde på et lidt mere overordet pla med de adre delmodeller i adfærdsmodelle. 2.5 Metode Vi har valgt at arbejde med adfærdsmodelle, fordi vi meer, det er e vigtig del af ALTRANS. Samtidig syes vi, at dee model er iteressat, fordi der efter vores vurderig ligger flere matematiske udfordriger i dee model. Adfærdsmodelle består af syv delmodeller, af disse har vi valgt at gå i dybde med destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle. De behadler hvorda et idivid vælger destiatio og trasportmiddel. Vi syes, det er e iteressat problemstillig fordi valg af destiatio og trasportmiddel er vigtig for e trafikmodel. Desude er det vores vurderig, at der i dee model vil være flere modellerigskomplekser bl.a. ved afgræsiger og simplificeriger af virkelighede. Vi vil udersøge de udvalgte delmodel grudigt ed i de matematiske overvejelser. Dette skal dae grudlag for e diskussio om, hvorda forekliger mv. har påvirket Side 8 af 70

9 modelles brugbarhed. Samlet skal det give mulighed for e diskussio af modelles brugbarhed, samt mulige ædriger. På grudlag af geerel teori om matematiske modeller, samt specifik teori om trasportmodeller, vil vi beytte allerede idhetede erfariger som grudlag for arbejdet med modelle. Desude vil dette muliggøre e diskussio af modelle på et mere geerelt pla. Fordi ALTRANS daer grudlag for adre modeller der har idflydelse på samfudsmæssige beslutiger, er det vigtigt at overveje hvorda samfudet forholder sig til modeller. Derfor belyses de samfudsmæssige perspektiver ved avedelse af matematiske modeller som grudlag for politiske beslutiger. Her vil der blive iddraget litteratur om matematik og samfudet, dette skal dae grudlag for overvejelser om de matematiske modellers samfudsmæssige fuktio. Edeligt vil det være relevat at iddrage adre modeller og erfariger i trafikplalægig både fra id- og udladet. 2.6 Målgruppe Rapporte heveder sig ikke til e kokret gruppe meesker, me heveder sig til persoer, der er iteresseret i at få idsigt i opbygige af modeller, heruder hvilke tig der idgår. Samtidig heveder rapporte sig til persoer, der iteresserer sig for de samfudsmæssige problemer i forhold til avedelse af matematiske modeller i det politiske liv. Vi forveter, at læsere besidder e grudlæggede matematisk koditio. Vi vil beskrive de matematiske forhold grudigt, me det vil være ødvedigt, at læsere har vide, der til svarer matematik højiveau fra gymasiet. Samtidig vil det være e fordel, at læsere har et godt kedskab til det politiske liv i Damark, eller som miimum e hvis forståelse af det. Side 9 af 70

10 3 Teori I de følgede teoriafsit vil der blive præseteret flere redskaber til brug for aalyse af ALTRANS og specielt delmodelle vedrørede valg af destiatio og trasportmiddel. Dette vil ske på flere iveauer. For det første vil der være e overordet præsetatio af matematiske modeller til brug for karakteriserig af modelle. Derefter arbejdes der på det mere kokrete iveau i forhold til matematiske elemeter. Dette beyttes til e dybere forståelse af destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle. Når modelle skal placeres i forhold til samfudet, er det ødvedigt at se på opfattelse af modeller i samfudet. Vi iddrager bl.a. Ulrik Becks teori om risikosamfudet, hvor modeller får e y rolle, år de både er e forudsætig for udviklig af samfudets tekologiske systemer og ødvedige for at vurdere evetuelle risici ved etop dee tekologiske udviklig. Samtidig åbes for mulighedere for maipulatio med modellere, så der opås et argumetatiosredskab for e give holdig. 3.1 Matematiske modeller Det ka være e fordel at have et grudlæggede kedskab til hvorda matematiske modeller typisk bygges op, samt om forskellige karakteristika af modellere Opbygig af modeller Matematiske modelleres formål er at beskrive virkelighede, ved forekliger og formler, der fides mage forskellige fremgagsmåder i modellerigsprocesse. Figur 1 - Illustratio af forløbet i e matematisk modellerigsproces (Blomhøj, 2006, s.88). Side 10 af 70

11 Som det fremgår af figur 1 tages der udgagspukt i objektet, som er e kostruktio af virkelighede. Herefter afgræses virkelighede, til ku at idbefatte det område der skal udersøges. Dette sker bl.a. igeem udarbejdelse af e problemformulerig. Hvis vi f.eks. opstiller e model for e bil der kører, så vil det være relevat at se på forhold vedr. biles bevægelse, me det vil ikke være relevat om førere af bile ryger. Derfor afgræses fra at se på det forhold. Der vil også være adre afgræsiger, der skal overvejes i opbygige af e model, f.eks. tidslige og rumlige afgræsiger. Efter afgræsig beskrives problemet eller området verbalt, dvs. der sættes ord på området og problemet. Uder de verbale formulerig af problemet beyttes de forhådsvide ma har, så ma ka koble de forskellige elemeter på de rigtige måde (Poulse, 1997, s.15-16). Det æste skridt er at repræsetere de forskellige påvirkiger matematisk, det vil sige, at ma bygger modelle op stykke for stykke, og eder med e matematisk model som beskriver hele systemet, og som derfor ka bruges til at beskrive området (Poulse, 1997, s.15-16). Det sker i (c) matematiserig ed til matematisk system. Nu fides de matematiske koklusioer ud fra modelle. Der afprøves forskellige scearier mv. Dette sker igeem (d) Matematisk aalyse he til modelresultater. Derefter kommer et mere aalytisk skridt, hvor det forsøges at sige oget om virkelighede ud fra modelles resultater. Resultatere aalyseres, og hvis muligt, afprøves resultatere overfor data, der repræseterer de virkelighed, modelle skal afspejles. Modelle ka derefter rettes til (Poulse, 1997, s ). Når e model skal verificeres, afprøves de ofte ved empirisk kotrol. Det sker f.eks. ved at teste de mod uafhægige data, der ikke har været med til at bestemme modelles parametre. Derved ka ma tjekke om modelle ku giver et tilfredsstillede resultat ud fra de tidligere data, eller om de ret faktisk også ka beyttes i adre tilfælde. Det ka være problematisk at lave e såda empirisk kotrol ved komplekse modeller som ALTRANS Modelkarakteristika Der er opsat ogle geerelle egeskaber ved matematiske modeller. Det er ikke edegyldigt, me det giver os et værktøj til at klassificere de model vi arbejder med, desude ka det være e hjælp til at forstå hvad der sker i modelle. Side 11 af 70

12 Beskrivede eller forklarede Matematisk trafikmodellerig E beskrivede model forsøger at give e sammefattede beskrivelse af e allerede observeret situatio eller fæome. Hvorimod e forklarede model forsøger at forklare et givet fæome ved at vise hvorda fæomeet ka reproduceres i modelle ud fra ogle grudlæggede årsagssammehæge (Poulse, 1997, s.59). Begrebere beskrivede eller forklarede afhæger af de perso, der aalyserer modelle (Poulse, 1997, s.60). Der vil ofte være e forklarede model bagved e beskrivede model. Et eksempel på e beskrivede model er e metrologisk model, der beyttes til vejrudsigter. Modelle giver e progose for vejret, me forklarer ikke hvorfor vejret udarter sig på e give måde Kiematisk eller dyamisk E kiematisk model ka bruges til at udersøge et scearie, der ikke er eksplicit afhægig af tide. Derimod er e dyamisk model eksplicit afhægig af tide (Poulse, 1997, s. 61). Der vil være stor forskel på avedelse af de to modeltyper. Oveståede metrologiske model afhæger eksplicit af tide, fordi de skal beskrive e udviklig i tide og vil dermed være dyamisk. Erkedelse eller beslutig E erkedelsesmodel er grudforskig, hvor ma erkeder, at tigee ka modelleres på e give måde. Når e beslutigsmodel udarbejdes, tages e beslutig om at modellere på e bestemt måde, ma beytter m.a.o. tidligere grudforskig (Poulse, 1997, s. 61). Strategisk eller taktisk I taktiske modeller refereres til oget kokret, og der opås e kokret model. I taktiske modeller arbejdes der detaljeorieteret. Hvorimod der forsøges at opå e geerel vide med de strategiske modeller (Poulse, 1997, s.65). Stor eller lille Grade af kompleksitet er et afgørede træk ved e matematisk model. E stor model ka karakteriseres ved, at der idgår mage variabler og der forekommer store udregiger. Små modeller er f.eks. dem ma arbejder med i gymasiet, hvor ma prøver at simulere et kast Side 12 af 70

13 med e bold, her er modelle overskuelig, og ka reges i håde ude hjælpemidler (Poulse, 1997, s.65-66). Kotiuert eller diskret E fuktio er kotiuert ide for et givet iterval, hvis de er ubrudt ide for det pågældede iterval (Lik [4]). Hvorimod de er diskret hvis der optræder sprig eller brud. Modelle er kotiuert hvis samtlige af de fuktioer der optræder i de er kotiuerte. Derimod vil modelle være diskret hvis blot e ekel af fuktioere er diskrete Parametre Der er to sider af e model de kvalitative og de kvatitative side. De kvalitative del er de matematiske bearbejdig, her optræder der ligiger m.m. De kvatitative side af e model er de parametre, der idgår i modelle, dvs. de hæger tæt samme med størrelse på modelle (Poulse, 1997, s.62-63). På de kvatitative side ka der skeles mellem eksogee og edogee variable, hvor eksogee variable gives udefra, de bliver ikke bereget, hvorimod edogee variable bliver bereget i modelle. Lidt forsimplet ka parametree siges at repræsetere modelles afgræsiger. Det er vigtigt, at ma er opmærksom på modelles opførelse år parametree ædres, for at se om udfaldet virker realistisk. Det er f.eks. vigtigt at være opmærksom på, hvor følsom modelle er ved små ædriger i parametree. Parametree er ofte behæftede med e hvis grad af usikkerhed, og det er derfor kedetegede for e god model, at de er forholdsvis stabil, og ikke giver meget forskellige resultater ved midre ædriger i parametree (Poulse, 1997, s.64). Parametree har e afgørede rolle i forhold til udfaldet af e model, fordi det er parametree der bliver modelleret på. De ka estimeres på 3 måder: på baggrud af teori, på baggrud af empiriske data eller de ka fittes 1. Hvis parametree fittes skal ma være ekstra opmærksom på, om resultatere stemmeroveres med virkelighede, eller om det ku er fordi parametree er fittet. 1 At parametree fittes betyder, at de tilpasses, evt. ved hjælp af statiske metoder, således at modelles resultater kommer til at passe bedst muligt til observerede data Side 13 af 70

14 3.2 Diskrete valgmodeller I dette afsit ser vi på de diskrete valgmodeller, da det er de type model, der arbejdes med seere i rapporte. Der er to oplagte typer af modeller, år det hadler om valgmodeller. De ee type bygger på aggregerede modeller, hvilket betyder, at modellere beskæftiger sig med f.eks. hele sociogrupper og ikke idivider. De ade type modeller bliver kaldt deaggregeret modeller, fordi der her bliver modelleret på idivid iveau og på det ekelte idivids observeret præferecer (Ortúzar og Willumse, 1990, s. 178). Begge modeller beskriver derved valgprocesse som e stokastisk proces 2. Når et idivid står i e valgsituatio, er det et udtryk for, at der er flere forskellige mulige alterativer. Disse alterativer repræseteres i valgmodelle ved e attraktio, hvor attraktio beskriver hvilke icitamet, der er for det ekelte idivid til at vælge præcis dette ee alterativ. Dette ka også kaldes for attraktiosiveauet. For at beskrive idividets valg, opstilles der e yttefuktio, hvor ma tager de faktorer med, som idgår i valget af alterativ. Det gælder, at idividet altid vil søge at maksimere si ytte 3. Det er e grudlæggede atagelse, at ytte af det ekelte alterativ for det ekelte idivid ka kvatificeres. Karakteristik af diskrete valgmodeller (Ortúzar og Willumse, 1990, s ): 1. De er baserede på teorier om idividuel opførelse. De ideholder ikke oge psykologisk aalyse 2. Parametree i diskrete valgmodeller er estimerede på basis af idividuelle data, det betyder, at diskrete valgmodeller ka være mere effektive fordi færre data er ødvedige. Dette skyldes, at alle observerede data som udgagspukt ka beyttes, fordi de repræseterer det ekelte idivid 3. Diskrete valgmodeller giver sadsylighede for valg af de ekelte alterativer, og siger ikke hvilke é der bliver valgt. Dette sker på baggrud af grudlæggede sadsylighedsteori, som f.eks. de forvetede adel af befolkige, der vil bruge et bestemt trasportmiddel er lig med summe over hvert idivids sadsylighed for at bruge etop det middel: 2 Stokastiske værdier er tilfældige og uafhægige. 3 Nytte er e værdi som beskriver hvad idividet opår ved et valg. Side 14 af 70

15 N i = P ( 1) i Det gælder for dee rapport, at repræseterer det ekelte idivid. I ligig r. 1 ses ikke på idivideres valg, me ma tager alle idividers sadsylighed for at vælge et bestemt trasportmiddel. Da sadsylighede altid vil ligge mellem 0 og 1, betragter ma sadsylighede som de del af idividet, der tager det bestemte trasportmiddel. På de måde fås et tal, der repræseterer de del af befolkige, der vil tage trasportmidlet. Et afhægigt sæt af valg ka blive modelleret separat ved at betragte hvert valg som et betiget valg. De resulterede sadsyligheder ka blive multipliceret til at give e fælles sadsylighed for sættet: (,,, ) ( ) ( ) (, ) (,, ) P f d m r P f P d f P m d f P r m d f = ( 2) Hvor f= frekves, d= destiatio, m= idstillig 4 og r=rute. Dee udregig skyldes de forskellige sadsyligheders afhægighed af hiade. På vestre side har vi sadsylighede for at se valgkombiatioe ( f, d, m, r ) hos samme perso. På højre side står først sadsylighede for at se f, multipliceret med sadsylighede for at se d, givet f. Det er etop sadsylighede for både f og d. Næste faktor er sadsylighede for m, givet at både d og f er observeret, det vil sige, at der lige så godt kue have stået P ( m f, d ). Dette produkt giver således sadsylighede P( f, d, m ). De sidste faktor er sadsylighede for r, givet m, d, f. Produktet resulterer således i sadsylighede for det samlede valgsæt: P( f, d, m, r ). Baggrude for dee repræsetatio er, at det er emmere at estimere de betigede sadsylighedere, år betigelsere er kedte, ed år sadsylighedere ikke er betigede. 4 Idividets idstillig hadler om dets alder, kø, idkomst mv. Side 15 af 70

16 3.3 Nyttefuktioer Matematisk trafikmodellerig Nyttefuktioe er e væsetlig del af arbejdet med diskrete valgmodeller. De beskriver hvad et idivid opår ved at foretage et bestemt valg. Når ytte skal kvatificeres idføres e parameter for hvert alterativ, som beskriver værdie af det pågældede alterativ. Det er muligt at opskrive e række grudlæggede træk ved teorie om yttefuktioer (Ortúzar, 1990, ): Det vælges at opdele alle idivider i homogee befolkigsgrupper. Det forudsættes, at alle idivider opfører sig ratioelt og har al ødvedig vide, så de bliver i stad til at vælge det bedste alterativ. Dette baseres på legale, sociale, fysiske og/eller budgetmæssige begræsiger, der også ka omhadle tid. Der eksisterer et sæt A = { A,..., 1 Aq } af tilgægelige alterativer, hvor A {,..., j A1 Aq }, og et sæt X, der består af samtlige præferecer der er observeret til idividet. Et givet idivid er således tildelt et sæt præferecer for hvert af x X og vil stå over for et valg fra sæt A( ) A. Vi vælger at betragte alterativere som j { 1,..., q}, og referer herefter til dette i stedet for til A. Der fides e yttefuktio, U j, der udtrykker ytte for hvert idivid til hvert alterativ j. Det atages, at det ikke er muligt, at idividet har alt de ødvedige iformatio, derfor vil U j blive repræseteret som e sum af følgede: V j, som er e determiistisk 5 del. Dvs. de er målbar, systematisk eller repræsetativ, og de er e fuktio for de målte præferecer x ε j, som er e stokastisk del, der repræseterer det tilfældige elemet i idividets valg, dvs. adfærd, smag og tilbøjelighed som ikke er beskrevet i idividets præferecer U j beskrives således (Ortúzar, 1990, s. 182): U j = Vj + ε j ( 3) 5 Determiistisk betyder oget der ka bestemmes Side 16 af 70

17 Det stokastiske elemet gør det muligt for modelle at reproducere to åbelyse irratioaliteter i folks trasportvalg: 1. To persoer med øjagtig samme præferecer og stillet over for samme valg, vælger forskellige muligheder 2. Nogle idivider ikke altid vælger det bedste alterativ (set ud fra de kedte præferecer) Det fides praktisk at opdele befolkige i de tidligere ævte homogee grupper. Det kaldes at segmetere befolkige (se afsit 5.2). Det er desude et krav til de homogee grupper, at gruppe skal stå overfor samme valgmuligheder og samme begræsiger (Ortúzar, 1990, s. 182). Et simpelt udtryk for V ka være: V = φ x ( 4) j jq jq q De giver e yttefuktiosværdi for alterativ j for perso. q er e kostat der repræseterer atallet af alterativer. Vj afhæger således af idividet og af de præferecer, der er tildelt idividet. Desude afhæger V af φ, der i dette tilfælde atages at være kostat for alle idivider (Ortúzar, 1990, 182). Det ka være problematisk, hvis modelløre bruger ε til at forklare flere forekomster af irratioel adfærd (Ortúzar, 1990, 182). Jf. gumbel-fordelige beyttes ε dog ikke til beregig af sadsyligheder i destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle (se afsit 6.3). 3.4 Logit afsit Dette afsit giver e teoretisk geemgag af de statistik, der beyttes i adfærdsmodelle, med det formål at give et grudlag til forståelse af de modeller vi seere geemgår i rapporte. I statistik beyttes begrebet logit ofte, i dette afsit søger vi at klarlægge de overordet pricipper ved logit begrebet. Der fides e sadsylighed for et bestemt udfald, dee sadsylighed kaldes P, de vil altid ligge mellem 0 og 1. Umiddelbart ville det være emmeste, hvis sadsylighede afhag lieært af oget adet, så ma kue skrive formle for e sadsylighed op som: Side 17 af 70

18 P = α + βx ( 5) Dee form er dog ikke brugbar, da de giver ogle urealistiske resultater, idet sadsylighede vil vokse ud af det øskede iterval, ] 0,1 [. I stedet beyttes logit begrebet, så Logit( P) afhæger lieært af x, på dee måde (Larse, 2004, s. 145): Logit ( P) = P 1 P l ( 6) Dee fuktio afbilleder ] 0,1 [ på R. Graf 1 Afbildige af sadsylighede, hvor y svare til p, og x er e forklarede variable. Hvis ma sætter: ( P) z = Logit ( 7) Vil der kommer til at stå: z = P 1 P l ( 8) Hvis ma opløfter det i e på begge sider fås: z P z z z z z z e = P = e (1 P) = e e P e = P + e P = P(1 + e ) 1 P ( 9) Side 18 af 70

19 Og hermed har vi: Matematisk trafikmodellerig z e P = ( 10) 1 z + e p Når P er e sadsylighed for e bestemt hædelse, ka ma sige, at er e form for 1 p odds. Det betyder, at de beskriver sadsylighede for de ee hædelse, i forhold til sadsylighede for de ade hædelse. Vi ka derfor ud af ligig kostatere, at Logit( P) udreger de aturlige logaritme til oddsee (Larse, 2004, s. 143). Der ka opstilles modeller, der er matematisk hådterlige. Logit( P) afhæger lieært af forklarede variable eller simple trasformatioer heraf: Logit ( Pj ) z = α + βx j = ( 11) Derved fides e sadsylighed, hvor alle x er kedte: P j α + βx j e = ( 12) α + βx 1 j + e For at estimere α og β, beyttes likelihoodfuktioe som har følgede form (Larse, 2004, s. 145): L y p 1 p j s s s j j (,β ) = ( 1 p j ) α ( 13) j = 1 j j = 1 j j = 1 y j Hvor alle y er observatioer af Y, og Y er biomial fordelt med atalsparameter Dermed ka der idføres e log-likelihoodfuktio ved at tage logaritme på begge sider af lighedsteget: j. s s s j p j l L ( α, β ) = l + y j l + j l(1 p j ) j= 1 y j j= 1 1 p j j= 1 ( 14) Side 19 af 70

20 For at estimere α og β maksimeres likelihoodfuktioe eller log-likelihoodfuktioe. Når ma maksimerer e fuktio, sættes des partiel afledte lig ul: s l L ( α, β ) = ( y j j p j ) = 0 ( 15) α j= 1 s l L( α, β ) = x j ( y j j p j ) = 0 ( 16) β j= 1 På de måde fås to ligiger der ka løses umerisk (Larse, 2004, s. 146). I destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle beyttes e ested logit struktur. Nested betyder groft sagt, at der er flere tri, dvs., at der ses på sadsylighede for at flere tri vælges i e bestemt kombiatio (Lik [5]). I ALTRANS beyttes oveståede matematiske teori ikke direkte, da det er på baggrud af e biomial fordelig, mes destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle beytter e multiomial fordelig. Grudlaget i logit teorie er det samme, og det er muligt at lave e geeraliserig fra biomial til multiomial fordel. Samtidig er der i ALTRANS beyttet e såkaldt gumbel-fordelig, dette er e måde hvorpå sadsyligheder for e ested multiomial logit struktur ka opskrives. Forskelle på e multiomial og e biomial fordelig baseres på hvilke data, der skal aalyseres. Ved e biomialfordelig ser ma på udfaldet 0 eller 1 ide for flere grupper. Ved e multiomialfordelig ses der på flere udfald ide for flere grupper. I arbejdet med at validere e model ka beyttes flere redskaber. Her ka f.eks. æves 2 determiatioskoefficiete ( R ) (se afsit 5.3). 3.5 Modeller og samfudet Vi meer, at der er flere forskellige perspektiver på emet modeller og samfudet. For det første virker det relevat at se på problemet i forhold til videskabes rolle i samfudet, hvor det er iteressat at beytte Ulrik Becks teori om risikosamfudet. Dee får et modspil fra Athoy Giddes teori om risikoreduktio. Edelig ka det være relevat at se på, hvorledes modeller ka avedes som magt, eller hvorda modeller beyttes i det politiske liv. Her hadler det om hvorda det f.eks. er Side 20 af 70

21 muligt for politikere at få bestemte resultater, de derefter ka beytte i deres argumetatio. Her beyttes primært tekster fra Bet Flyvbjerg Samfudet og videskabe At samfudet er i kostat udviklig vil de fleste ok være eige i. At de problemer og udfordriger samfudet står overfor også ædre sig, ka mage også ikke gekedede til. De fleste sociologer arbejder da også med at beskrive og forstå de vilkår som dee bestadig samfudsmæssig udviklig frembyder. Udgagspuktet for Ulrik Becks teori om risikosamfudet er de ødelæggelser af ature, som er opstået i kølevadet på idustrialismes udbredelse. De risici som opstår, f.eks. forureig af drikkevadet, huller i ozolaget mv., beteger Beck som utilsigtede kosekveser af idustrisamfudet. Det er disse utilsigtede kosekveser, der daer grudlag for e y samfudstype. Hvor det klassiske idustrisamfud hadlede om at fordele goder, hadler risikosamfudet om at hådtere og fordele risici eller oder (Aderse og Kasperse, 2005, s ). Der er væsetlige forskelle på disse goder og oder. Mes rigdomme (godere) er sylige og materielle er risici ofte uhådgribelige og abstrakte. Om risiko skriver Beck således: Til forskel fra stæder og klasseforhold står de heller ikke uder ødes forteg, me derimod uder agstes; de er ikke e traditioel relikt, me tværtimod et produkt af moderitete på dees højeste udvikligstri. (Beck, 1997, s.10) Videskabe kommer id på e helt y måde, år det hadler om risici. Vi bliver afhægige af videskabe til at afdække disse risici, fordi de er for komplekse til at forstå dem umiddelbart. Ma ka f.eks. bruge modeller til at afdække hvorda sygdomme spredes, og effektere af vaccie i forhold til hvor mage der bliver smittet. Dermed ka modellere hjælpe til at forholde os til de lidt uhådgribelige agst for at blive smittet. Me videskabe er defiitiosafhægig, år der opbygges e matematisk model er det f.eks. e opgave at defiere de afgræsig, der skal ske fra virkelighede til modelle (Aderse og Kasperse, 2005, s.467). Becks teori hadler ikke eksplicit om med matematiske modeller, me mere geerelt om videskab. Vi meer dog, at has teori ude problemer ka overføres til matematiske modeller, som e repræsetatio for videskabe, fordi disse i høj grad spiller e rolle ide for videskabe i forhold til afdækig af forskellige risici og kosekveser. I æste ehver form for forudsigelse, eller vurderig af fremtide vil der komme e matematisk model id, oge gage meget bevidst, og adre gage lidt mere idirekte, me ikke desto midre fylder matematiske modeller meget. Side 21 af 70

22 Effekte af at risicis bliver afhægige af videskab, og dermed implicit af defiitioer, er at de også bliver op til fortolkig. Videskabe får således e y rolle i samfudet, de holder op med at være eutral og værdifri og bliver i stedet afhægig af dem der udfører videskabe og bestemmer defiitioere (Aderse og Kasperse, 2005, s.467). Samtidig fugerer videskabe til at afdække risicis, og til at forholde sig til dem, f.eks. i form af hådterig eller forebyggelse af disse risicis (Aderse og Kasperse, 2005, s ). Det er ikke alle modere sociologer, der er eige i vurderige af, at der sker e forøgelse af risici. Athoy Giddes vurderer, at der er sket e midskig af risici ved hjælp af videskabe. Der ka skeles mellem aturbetigede risici og civilisatiosskabte risici, hvor førstævte hadler om aturkatastrofer, sygdomme mv., hadler de sidste om pesticider, drivhuseffekt mv. Beck meer, at de civilisatiosskabte risici overstiger reduktioe af de aturskabte, mes Giddes meer, der vil være e samlet risicireduktio (Rasborg, 1997, s.10-11). Samtidig påpeger Giddes dog, at de semodere refleksio resulterer i e højere bevidsthed om risicis, hermed bliver e vedvarede risikovurderig og risikokalkulatio e fastdel af hverdagslivet (Giddes, 1994, s ). Det at risici i forbidelse med mage forskellige aktiviteter geerelt accepteres af almidelige meesker som risici, er e væsetlig del af forskelle mellem de præ-modere og de modere verde. (Giddes, 1994, s. 113) Herved får videskabe stadig e vigtig og uudværlig rolle, år de skal hjælpe med at vurdere og kalkulere risicis, selv om de mødes med mere skepsis fra borgere. Samtidig får de tildelt de positive rolle som medvirkede til at begræse visse typer af risici. På trods af de forskellige opfattelser af risici, ligger Giddes og Becks opfattelser af videskabesrolle tæt op af hiade: Videskabe har e vigtig rolle i forhold til afdækkelse af risici, me det bliver samtidig et tillidsspørgsmål om ma tror på videskabe, som bl.a. bliver defiitiosafhægig Modeller i det politiske liv Ofte er det et problem, at tekikere ikke tæker implemeterig id i deres arbejde, hvorved de hurtigt får skabt et projekt ude opbakig til implemeterig (Flyvbjerg, 1989, s. 101). I stedet ka ma overveje at beytte de såkaldte Herig-model, hvor der tækes id, at det er vigtigt med et åbet og demokratisk tilrettelagt arbejde, hvor ma f.eks. sikrer repræsetatio fra flere forskellige iteressegrupper i arbejdsgruppe (Flyvbjerg, 1989, s. 103). Side 22 af 70

23 Det hadler dermed om, at ikorporere kvalitet i processe, og dermed sikre kvalitet i projektet. Dette er også relevat i forhold til matematisk modellerig, hvor processe ka være afgørede for, om modelle ka beyttes efterfølgede. Flyvbjerg (1992) geemgår eksempler på plalægig, hvor det tydeligt fremgår, at plalægige ka være styret af bestemte iteresse, selv om det er e arbejdsgruppe uder e kommue. Et eksempel er dee udtalelse fra Rådmade for Tekisk forvaltig, Aalborg i forbidelse med placerig af bustermial på Nytorv-Østeraagade: Derfor skal jeg blakt idrømme, at de udersøgelser, der blev sat i gag, de var ok af de karakter, at ma hurtigst muligt skulle bevise, at de ikke rigtig var velegede, de adre steder. (Flyvbjerg, 1992, s. 68) Dette billede, hvor ma bruger tekik til at efterratioalisere e beslutig, kalder Flyvbjerg (1992) også ratioalitet som legitimerig af magt (Flyvbjerg, 1992, s. 75). Et adet eksempel er i forbidelse med bygige af Øresudsbroe, hvor der blev lavet mage beregiger af biltrafikke, omkostiger mv. Det står efterhåde klart, mage år for set, at de fleste af disse beregiger blev lavet ud fra et øske om et bestemt resultat. Beregigere blev lavet på baggrud af matematiske modeller, og dette eksempel illustrerer hvorda ma ka maipulere med disse modeller. Således blev rete f.eks. bereget til 4 procet i 30 år frem. Dette må siges at være meget optimistisk, og mest af alt et udtryk for, at det var politisk ødvedigt med beregiger, der gav et overskud og ikke et uderskud på byggeprojektet. De væsetlige spørgsmål var altid oget med biltrafik, retestørrelser og afdragstid. Det kue jouralistisk set være svært at formulere klare, præcise og ekle spørgsmål (Dahli, 2002, s. 368) Dette citat illustrerer, hvor svært det ka være for offetlighede at sætte spørgsmålsteg med e politisk beslutig, der bygger på modeller. Dette giver reelt magte, til dem der udarbejder modellere. Miisteriere kue i stedet have udarbejdet modeller, der gav katastrofe tal for trafikke på Øresudsbroe, og derved have udermieret hele idee om broe (Dahle, 2002, s ) Iterview med Per Homa Jesperse Per Homa Jesperse er lektor på Istitut for Miljø, Samfud og Rumlig Foradrig på Roskilde Uiversitetsceter. Jesperse beskæftiger sig med mobilitet og trasport. Følgede bygger på et iterview med ham d. 24. maj Side 23 af 70

24 Overordet optræder matematiske modeller i mage politiske beslutigsprocesser. Jesperse meer dog, at dette ikke altid er hesigtsmæssigt, dels fordi modellere ikke ødvedigvis giver e større vide på det pågældede område, og dels fordi der er ogle problemer i forhold til hvorda modellere avedes. dybest set så bidrager de sjældet, efter mi meig, til e større vide eller et bedre vides grudlag til at tage beslutiger (Jesperse, iterview, 2007) I forhold til beslutigsprocessere har Jesperse observeret, at ma kommer emmest igeem med e beslutig, hvis de ka uderbygges af e stor og kompleks model, der ka komme med kvatitative udsag om hvad der sker. Det er meget bedre at komme med e model som ige forstår, me som kommer med et defiitivt udsag til sidst og ka kvatificere hvor meget betyder det her (Jesperse, iterview, 2007) Dog påpeger ha, at ma godt ka deltage i de samfudsmæssige debat ude e såda model. Edvidere påpeger Jesperse, at det er et problem, at der sker e form for asvarsflugt i embedsapparatet. Det sker, år eksperter sættes til at udarbejde modeller, hvor embedsmæd i pricippet kue komme frem til resultatere selv. Embedsmæd og politikere ka afskrive sig asvaret, hvis eksperteres resultater ikke holder stik. ved at ivolvere kosuleter eller ved at ivolvere forskere i det, flytter ma asvaret væk fra sig selv (Jesperse, iterview, 2007) Afrudig Geerelt ka der opskrives 4 pukter i forhold til iddragelse af matematiske modeller i tekiske udersøgelser eller beslutigsprocesser (Skovsmose, 1990, s ): 1. Problemet bliver omformuleret, så det ka belyses ved hjælp af e matematisk model 2. Udersøgelsesområdet idsævres. Fordi der sker e afgræsig i forhold til virkelighede, og fordi der er begræsiger for, hvad e matematisk model ka belyse, sker der e idsævrig af området og af mulige løsiger. Tedese er, at ku de løsigsmuligheder der ka kosekvesbereges i modelle idgår i beslutigsprocesse 3. Kritikbase ædres. De gruppe af folk der ka kritisere og diskutere beslutigsgrudlaget bliver midre, da det ikke er alle, der ka forstå det tekiske bagved 4. Argumetatiosforme ædres. Diskussio flyttes hurtigt fra e politisk virkelighedsdiskussio til e mere tekisk diskussio Side 24 af 70

25 4 ALTRANS Matematisk trafikmodellerig ALTRANS er e matematisk trafikmodel, der er udviklet med det formål at belyse de miljøbelastig, der sker som følge af trasportarbejde (Christese og Gudmudsso, 2003, s. 14). ALTRANS avedes til aalytiske formål og estimerer emissiosdata ud fra samplede 6 oplysiger om trasportarbejde. ALTRANS ka modellere de ydre påvirkiger, der har idflydelse på idividers rejseadfærd, de ka f.eks. være rejsetid og pris. Iteressegruppere for udviklig af modelle er grupper ide for miljø og eergi. 4.1 Damarks Miljøudersøgelser Det er DMU der har lavet ALTRANS. Modelle er blevet udviklet igeem flere år. Arbejdet startede i 1994 og har haft et budget på 1-2 mil. Euro (Lik [6]). DMU udfører faglig rådgivig, samt avedt og strategisk forskig (Lik [7]). DMU blev oprettet i 1989 som e del af Aarhus Uiversitet og har afdeliger i Roskilde, Silkeborg og Kalø. De forskellige afdeliger tager sig af hvert sie faglige områder ide for miljø, lige fra Arktisk og Atmosfærisk Miljø til Ferskvadsøkologi. Økoomisk fiasieres DMU s aktiviteter via e basisbevillig på Fiaslove samt ekstere bevilliger. 4.2 Modelles overordede struktur ALTRANS bygger hovedsageligt på mikromodeller, dvs. modeller der arbejder på idividpla. Modelle består af tre overordede dele: De geografiske model, Adfærds- og Emissiosmodelle. De tre overordede modeller er i figur r. 2 vist med gråt. Som det fremgår af figure kommer der forskellige data id i modelle: registerdata 7, køreplasdata, trasportvaer og persokarakteristika, samt omkostigsdata. Det edelige output er emissioer. 6 Sample betyder at skabe et repræsetativt udsit, (Lik [8]) 7 Registerdata: Data fra register, der ka ideholde forskellige tig, i dette tilfælde bl.a. empirisk data over vejettets beskaffehed Side 25 af 70

26 Figur 2 - Modelkompleks til beregig af trafikarbejde, trasportarbejde og emissioer afhægig af iveauet i kollektiv trafik og rejsevaer (Christese og Rich, 2001, s. 14). 4.3 Iput Iput til ALTRANS kommer primært fra trasportvaeudersøgelses data (TU-data), de bruges til at fastlægge daskeres trasportvaer. De ideholder bl.a. data om alder, stillig og foretaget turer. De idhetes ved hjælp af iterviews. Der er løbede sket e ædrig i de idsamlede data, hvilket betyder, at modelle ikke ude videre ka beytte helt ye data. Udover disse data idgår også data fra Damarks Statistik, FDM og fra GIS (Christese og Rich, 2001, s. 27). 4.4 Output ALTRANS bruges ved at køre modelle med et basisscearium, og derefter ædre på forskellige parametre og køre modelle ige. De ye resultater stilles op imod basissceariet og evt. adre kørsler (Christese og Gudmudssso, 2003, s. 8). ALTRANS er e sceariemodel, hvorved forstås e model hvor der idlægges ogle ædrede forudsætiger, som ikke kommer af sig selv (Christese og Gudmudssso, 2003, s. 40). Side 26 af 70

27 De steder det er muligt at ædre i parametree er iddelt i 6 grupper (Christese og Gudmudssso, 2003, s. 42): 1. Vægtig af grupper, heruder befolkiges og boligeres lokaliserig, samt demografisk udviklig 2. Omkostigsparametre, heruder idkomstfremskrivig, brædstofpriser, bilprise omsat til årlig udgift, samlede årlige udgifter og afgifter til bilhold, samt tekster for brug af kollektiv trafik 3. Sammesætig i attraktioer 4. Rejsetider mv. i bil, heruder hastighedsbegræsiger i byer og på lad, mere differetierede hastighedsgræser ide for områder, vejafgifter, samt parkerigstider og P-afgifter 5. Betjeig med kollektiv trafik, heruder ædret kørepla for kollektiv trafik, hastighedsædriger og lig. ude egetlig køreplasædriger, itroduktio af y ifrastruktur, samt serviceiveau i øvrigt for kollektiv trafik 6. Ædriger i emissioskoefficieter Alle priser er i 1993 ideks (Christese og Gudmudssso, 2003, s. 42). Sceariere opbygges ved at ædre på e eller flere af oveståede forhold, de er valgt således, at de løber frem til år 2010, hvor ma idreger e idkomststigig med et geemsit på 2 % p.a. Sceariere er opbygget ud fra hypoteser for kosekvese af forskellige tiltag og er formuleret på grudlag af Det Økoomiske Råds aalyse, COWIs aalyser for Trafikmiisteriet og Trasportrådets scearieaalyse (Christese og Gudmudsso, 2003, s.58). Sceariere bygger over 3 forskellige tiltag (Christese og Gudmudsso, 2003, s.61): De kollektive scearier, der beskriver forbedret kollektiv service De bilorieterede scearier, der omfatter reduktioer i hastighede på vejettet og stigig i brædstofpriser Kombiscearie, der kombierer tiltag fra de øvrige scearier Tiltagee i sceariere er relativt drastiske og sceariere er eksplorative. Dee fremgagsmåde beyttes, fordi det giver det bedste billede af idgrebees påvirkig af trafik og miljø (Christese og Gudmudsso, 2003, s.61). Side 27 af 70

28 Resultatere fra aalyse deles op i trafik, emissioer, rejsetid, trafikatomkostiger og bilpark. Trafik. Resultatet viser, at de største tilgag til kollektiv trafik opås ved et kombiscearie. Scearier hvor der ku laves tiltag i forhold til de kollektive trafik giver ikke ligeså stor effekt. Højere bezipriser medfører de største reduktio i det samlede trasportarbejde, og ligesom med kombisceariet, giver det e stigig af let trafik på 20 %. Atallet af bilpassagerer stiger, år frekvese af kollektiv trafik stiger, dette tyder jf. DMU på e fejl i modelle (Christese og Gudmudsso, 2003, s ) Emissioer. De største ædriger i CO 2 følger biltrafikke og her er det ige kombisceariet og sceariet med stigede bezipriser der har størst effekt. Når de kollektive trafiks frekves sættes op, har det de sideeffekt, at der udledes flere kvælstofoxider og partikler, fordi de kollektive trafiks adel af disse emissioer er størst. De største miljømæssige gevist opås ved kombisceariet (Christese og Gudmudsso, 2003, s ) Rejsetid. Rejsetid er e omkostig for trafikatere. I de fleste scearier ses e øget rejsetid med kollektiv trafik, det ka i sidste ede betyde tab af velfærd. Me ses der f.eks. på et scearie, hvor beziprise stiger, vil rejsetide falde for biler, mes de stiger for kollektiv trafik (Christese og Gudmudsso, 2003, s ) Trafikatomkostiger. Der skeles mellem 2 typer af omkostiger: tidsomkostiger og driftsomkostiger. I et scearie med reduceret hastighed falder driftsomkostigere pga. midre slid og beziforbrug, me hvor tidsforøgelse vægter mest. Øgede omkostiger ka betyde midre mobilitet og ka have samfudsmæssige kosekveser (Christese og Gudmudsso, 2003, s ) Bilpark. Dele af befolkiges mobilitet udtrykkes igeem bilejerskab og e edgag i bilpark ka være udtryk for velfærdstab, dog ka det også ses som er reduktio af behov for bilkørsel. Kombisceariet giver e reduktio af bilejerskab på 4 %. Økoomisk edgag og beziprisstigiger giver hver for sig e reduktio på 2,1 % (Christese og Gudmudsso, 2003, s. 71) Udgiftsforøgelse fordeles ogelude lige over de forskellige idkomstgrupper. Til gegæld sker der e skævvridig i udgifter fordelt på by og lad. I kombisceariet øges udgifte væsetligt mere for beboer på ladet ed i bye. Omvedt ses e væsetlig udgiftsforøgelse Side 28 af 70

29 for byboere ved scearier der går på at forbedre de kollektive trafiks frekves og hastighed (Christese og Gudmudsso, 2003, s. 70). Vi meer, at resultatere ka kyttes til yttefuktioe (se afsit r. 6.2) fordi dee afhæger af bl.a. omkostiger og rejsetid. Det er derfor oplagt, at e forøgelse af udgiftere til et bestemt trasportmiddel giver e midre ytteværdi, og derved får idividet et større icitamet til at vælge et adet trasportmiddel. 4.5 De geografiske model Dee model bereger køre-, vete- og skiftetider og får som iput registerdata, samt køreplasdata. Herudover fastsættes et mål for det kollektive serviceiveau i de ekelte zoer, hvor der bl.a. beyttes forskellige tilgægelighedsmål, samt forhold om rejsetider. Edelig beyttes GIS til at defiere rejseafstade i bil, hvor det forudsættes, at de korteste vej avedes. Rejsetider for biler er delvist baseret på gældede hastighedsregler på forskellige strækiger, me også empiriske data er avedt, hvorved der i hvert tilfælde til dels tages højde for presset på vejee (Christese og Rich, 2001, s. 15). Vejtype Hastighed, km/t Motorveje 110 Motortrafikveje 90 Hovedveje 80 Øvrige veje på ladet 70 Veje i byer 40 Tabel 1 - Hastighedere fordelt på forskellige vejtyper (Christese og Gudmudsso, 2004, s. 25). Det edelige output fra de geografiske model er attraktios- og serviceiveaudata for de kollektive trafik for e bestemt zoe, samt rejsetider for både de kollektive og idividuelle trafik. Dette beyttes videre i adfærdsmodelle, samt i emissiosmodelle. (Christese og Gudmudsso, 2004, s. 19) 4.6 Emissiosmodelle Emissiosmodelle bereger miljøbelastigere ved trasportarbejdet, der kommer som output fra adfærdsmodelle. Det har ikke været muligt at iddrage alle påvirkigere på Side 29 af 70

30 miljøet, og det blev besluttet at fokusere på eergiforbrug og følgede emissioer: CO 2, CO, HC, NOx og partikler (Christese og Gudmudsso, 2003, s. 34). Trafikke iddeles i 3 typer i forhold til emissioer: 1. let trafik (cykel, gag mv.) samt bilpassagerer. 2. Bilfører. 3. Kollektiv trafik. Hvor de første gruppe karakteriseres af ikke at udlede emissioer i brug, der tages ikke højde for eergiforbrug mv. ved produktio af trasportmidlet. Beregig af emissio fra biler, sker på baggrud af bilparkes sammesætig, dee estimeres på baggrud af data fra Damarks Statistik. Bilparke bliver opdelt i størrelse og alder (Christese og Gudmudsso, 2003, s.35). Emissiostallee for hver biltype kedes (Christese og Rich, 2001, s.16), og med hesy til skrotig grupperes bilere i 3 størrelsesgrupper for bezi og 2 størrelsesgrupper for diesel (Christese og Gudmudsso, 2003, s.35). Da motoreffekt ikke er registreret i bildatabase, er motorstørrelsesgrupper omsat til vægtgrupper. Der sker e beregig af skrottede biler, ved at fortage e beregig på skrottede biler for hver gruppe i, i et givet år t : Si ( t ). Tallet for bilparkes sammesætig for et givet år udreges ved (Christese og Gudmudsso, 2003, s.37): Bestad( t ) = Bestad( t 1)+Nye biler ( t ) Skrotig(t ). Det er lidt uklart hvorda tilgage af ye biler fordeles ud på køretøjtyper, me ifg. Kveiborg (1999) er resultatet, at ybilsalget fordelt på de forskellige grupper kedes. Bileres emissioskoefficieter fastsættes i EU-ormer for ye biler (Christese og Gudmudsso, 2003, s.38). Ældre bilers emissioskoefficieter ædres iht. slid osv. og der udreges herefter e samlet emissioskoefficiet for hver køretøjtype baseret på årgag og atal af de forskellige årgage. Årskørsle for hver årgag kedes på grudlag af årskørselsudersøgelser fra Vejdirektoratet. For de kollektive trafik gælder det, at trasportmidlets type fordelt på bus, tog og s-tog kedes i forveje og emissioe herfra udreges primært på grudlag af de geografiske model. Side 30 af 70

31 5 Adfærdsmodelle Adfærdsmodel består af syv mikrobaseret submodeller 8 (Christese og Rich, 2001, s. 20): 1. Vægtigsmodel 2. Frekvesmodel 3. Model for valg af trasportmiddel og destiatioer 4. Fordeligsmodel 5. Cohort model 6. Model for kørekortshold 7. Model for bilejerskab Figur 3 - Overblik over delmodeller i ALTRANS (Christese og Rich, 2001, s. 21). I figur r. 3 illustreres hvorda modellere kooperer. Modellere idtræder i modelstrukture i de rækkefølge som er ævt ovefor og modellere arbejder stort set edad i et slags hierarki. Modellerige sker i e model ad gage og modellere videreseder data som iput til æste modul i række. Det eeste sted udførsle brydes er ved bilejerskab og ud fra figure ses, at der ka være et feedback til destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle. Dee tilbagekoblig er ødvedig, da bilejerskabsmodelle bestemmer hvorda e families adgag 8 E række delmodeller der tilsamme udgør hele modelle Side 31 af 70

32 til bil er, og ud fra adgage estimeres yt valg af trasportmiddel. Output fra adfærdsmodelle bliver det samlede trasportarbejde fordelt på trasportmidler. 5.1 Vægtig Vægtige der beyttes, vægter de ekelte sadsyligheder i likelihoodfuktioe op til atioalt iveau. Da der beyttes e multiomial logitstruktur vil vægtige på de ekelte sadsyligheder se ud på følgede måde (Christese og Rich, 2001, s. 52): i C ( i) i L = w P ( 17) y fortæller hvilket idivid der arbejdes med, i agiver et alterativ, som tilhører et valgsæt af alterativer C, w er de vægt der påvirker idividet, y i er e idikatorfuktio. Hvis det ekelte idivid vælger i, så vil y i være lig 1, hvis det ekelte idivid ikke vælger i så er y i lig 0. Nede for ses hvorda vægtige beyttes til at opskalere det estimerede trasportarbejde (Christese og Rich, 2001, s. 52). Figur 4 Vægtig af det estimerede trasportarbejde og op til et atioalt iveau (Christese og Rich, 2001, s. 52). Som det ses i figur r. 4, har modelløre valgt at lade vægtige virke ide bortfaldet. Modelløre påpeger, at dette ikke ødvedigvis er de rigtige løsig. Dette skyldes, at vægtige sagtes kue virke efter bortfaldet af trasportarbejdet. Der ka opstå Side 32 af 70

33 problemer, hvis vægtig bliver foretaget ide bortfald af trasportarbejde, da ma i visse situatioer ville vægte ikke-eksisterede trasportarbejde (Christese og Rich, 2001, s. 52). I ligig r. 17 er vægtige beteget ved w, de foregår på idivid iveau. Vægtige bygger på totaler 9, som er sammesat af kø, alder, stillig og idkomst. Vægtigsformle ser således ud: Mi Z = { S } J I S icij I 2 l λ ( 18) B i= 1 w j + ( l( Si ) l( S )) i j= 1 j i= 1 2 J er atallet af atioale totaler, i ALTRANS er der i alt 560 totaler (Christese og Rich, 2001, s. 53) I er atal sociogrupper c ij er det atal observatioer, der opfylder ogle betigelser for de sociogruppe i S i er vægt for sociogrupper i j ' te total i S er aive vægte. De fides ved at dividere befolkige med størrelse af samplet: befolkig samplet B j er e værdi af de, det kaldes e estimeret vægt j ' te total w j er e iter vægtig af det ekelte total der måler usikkerhede og vigtighede af totalet (Kveiborg og Rich, 1998, s. 4) Ligig 18 ka skrives på formle: J I I 2 l λ ( 19) = w ( ) ( ) ( ) { } j Sicij l B j + l Si l S S Mi Z ( ) i j= 1 i= 1 i= 1 2 Det sidste led: 9 Totaler: Atallet af persoer ide for e bestemt gruppe af befolkige Side 33 af 70

34 I ( l( S i ) l( S )) λ ( 20) i= 1 2 Er et sikkerhedsled, der sørger for, at de ekelte vægte ikke kommer for lagt væk fra de aive vægtig, og derved skaber et urealistisk billede (Christese og Rich, 2001, s. 54). Sociogruppes adel af total j skal vægtes, så det samlet kommer til at passe med de adel, der har disse egeskaber. ka være forskellige atal meesker i totaler. w j beskriver usikkerhede ved totalere og det faktum, at der Ved miimerig af Z øskes det at fide S i. Når dette er gjort ka likelihoodfuktioe fra før reges ud, hvor w repræseterer S i : ( ) y i ( 21) L = w P i i C Alle vægte reestimeres foride hver scearieberegig, dette gøres for at sikre, at modelle tager højde for e evt. y befolkigssammesætig. Ikke alle delmodellere beytter vægtige, ogle beytter ku de opstillede totaler (Christese og Rich, 2001, s. 53). 5.2 Segmeterig Segmeterig beyttes til at opdele befolkige i udergrupper med udgagspukt i urbaiserigsgrad. Segmeterig er ødvedig fordi forskellige idividers margiale ytte 10 varierer systematisk. Det betyder, at hvis ma ser på alle idivider på samme tid, og uder samme omstædigheder, så vil der være forskel på hvorda e y udviklig opfattes. Når segmeterige foregår, er det ifølge modelløre vigtigt, at hver gruppe har adgag til alle typer af trasportmidler (Christese og Rich, 2001, s. 50). I modelle er lokaliserige eksoge, det vil sige, at det er e lokaliserig, der er bestemt på forhåd, og som påvirker udregiger i modelle, me som ikke udreges. Det er ifølge modelløre, begrudelse for at opdele i segmeter ud fra urbaiserigsgrad 10 Margial ytte beyttes i økoomisk teori, som et begreb der beskriver de ekstra ytte der opås ved at købe e ekstra gestad Side 34 af 70

35 (Christese og Rich, 2001, s. 51). Umiddelbart er det oget der ofte foregår i modeller, og ma har opstillet kriterier, som er repræseteret ved bosted : Segmet Bosted 1 Cetrale Kbh. 2 Øvrig Kbh + idre forstæder 3 Kbh Ydre forstæder + købstæder 4 HT småbyer og Lad 5 11 største provisbyer 6 Øvrige byer > idb. 7 Småbyer og lad Tabel 2 - Segmeterig idefor bilejerskabsmodelle (Christese og Rich, 2001, s. 96) redigeret. Der er forskellige segmeter for hver af delmodellere, de oveståede er segmetopdeliger til bilejerskabsmodelle, og edeståede er segmeterige for destiatios- og trasportmiddelvalget. Segmet Bosted Atal kørekort Kædetype 11 Cetrale Købehav Alle Simpel 12 Øvrig Kbh + idre forstæder Alle Simpel 13 Kbh. Ydre forstæder + købstæder Alle Simpel 14 HT småbyer og lad Alle Simpel største provisbyer Alle Simpel 16 Øvrige byer > idb. Alle Simpel 17 Småbyer og lad 1 Simpel 18 Småbyer og lad 2 Simpel 19 Småbyer og lad >2 Simpel 21 Cetrale Købehav Alle Triagulær 22 Øvrig Kbh + idre forstæder Alle Triagulær 23 Kbh. Ydre forstæder + købstæder Alle Triagulær 24 HT småbyer og lad Alle Triagulær største provisbyer Alle Triagulær 26 Øvrige byer > idb. Alle Triagulær 27 Småbyer og lad Alle Triagulær Tabel 3 - Segmeterig idefor destiatios- og trasportmiddelvalg (Christese og Rich, 2001, s. 96) redigeret. Det ses, at segmetere 17,18 og 19 er det samme bosted, me pga. for stor datamægde blev det iddelt yderligere (Christese og Rich, 2001, s. 52). Side 35 af 70

36 5.3 Validerig af parametre Parametree valideres ved hjælp af determiatioskoefficiete. I modelle beyttes dee formel til udregig af 2 R : R 2 log L log L R = ( 22) 1 U Hvor L R står for likelihoodfuktioe for de begræsede model og L U for likelihoodfuktioe for de ubegræset model (Christese og Rich, 2001, s. 97). Det fremgår ikke hvad der i adfærdsmodelle er repræseteret ved de to likelihoodfuktioer, me da validerige bl.a. beyttes til at validere segmetere i destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle, meer vi, at modelle efter segmeterig, og L U ide segmeterig. I modelle fremgår det, at e geemsitlig L R repræseterer likelihoodfuktioe for 2 R ligger på 0,488, hvilket ifølge modelløre er e god værdi (Christese og Rich, 2001, s. 97). Forsøges de samme værdier opået, kommer vi frem til, at ligig r. 22 ikke ka beyttes, i stedet skal følgede ligig beyttes for at komme frem til samme resultat som modelløre: 2 R - R 2 = 1 L L U R ( 23) Likelihoodfuktioe for modelle består af produktet af sadsylighedere. Da sadsylighedere altid vil ligge i itervallet ] 0;1 [, vil likelihoodfuktioe bliver ekstrem lille for modelle på atioalt iveau. Derved ka det atages, at der i modelløres tabel, på side 98 i Christese og Rich (2001), skulle stå logl R i stedet for L R, og lige så med L U. Hvis dette atages vil ligig r. 23 i stedet være: R 2 =1 logl U logl R ( 24) Der er derved byttet om på tæller og æver i forhold til modelløres ligig. Der ka argumeteres for, at modelløre her har lavet e fejl. Dette skyldes, at sadsylighede for de ubegræset model, må atages større ed for de begræset, dog vil begge ligge mellem ul og e. Hvis dette er tilfældet og logaritme beyttes, så vil logl R atage e mere egativ værdi ed logl U, og på de måde ka 2 R bereges. Side 36 af 70

37 5.4 Bortfald af data Matematisk trafikmodellerig Der er et bortfald af data i modelle, det skyldes dels et valg fra modelløre og dels magel på data. I edeståede tabel ses bortfald i observerede TU-data. Udvalgs Kriterium Bortfalde Summerig Resterede Årsag til bortfald observatioer af bortfald observatioer TU ture Maglede iterview data Frazoes ukedt Maglede iterview data Tilzoes ukedt Maglede iterview data Kørekort ukedt Maglede iterview data Bilfører me ikke kørekort Maglede iterview data Bil status ukedt Maglede iterview data Afstad uoplyst Maglede iterview data Ige tur Model begræsiger Tur < 300 m Model begræsiger Afstad > 100 km Model begræsiger Irrelevat trasportmiddel Model begræsiger Tabel 4- Bortfald i beyttede TU-data i periode (Christese og Rich, 2001, s. 54) redigeret. De første 7 bortfaldskatagorier, som fører til et samlet bortfald på 2007 observatioer, bortfalder på grud af maglede eller ikke tilstrækkelige besvarelser på iterviewskemaere. De sidste fire, som i alt udgør bortfald, skyldes modelle, og måde hvorpå data er idsamlet. Ige tur, beskriver situatioer hvor de iterviewet ikke har foretaget oge ture. Da disse ikke yder oget trasportarbejde, er de blevet fravalgt i modelle. Ture uder 300 m udgør e stor del af de bortfalde data. Dette skyldes, at ma som udgagspukt ikke samlede data om hvilket trasportmiddel, der blev beyttet på disse korte ture, dog begydte ma på det et stykke ide i 1997, og derfor er bortfaldet så stort (Christese og Rich, 2001, s. 55). Irrelevat trasportmiddel, er hvor de iterviewets valg af trasportmiddel ikke har været relevat for modelle. Side 37 af 70

38 Afstad > 100 km, er bortfald fordi det blev besluttet, at rejser på mere ed 100 km ikke er relevate, da icitametet til ture over 100 km typisk er ferier el.lig. Umiddelbart er dette bortfald ikke så stort, me hvis ma betragter trasportarbejdet, ser det aderledes ud: Bortfald Kollektiv Lette Bilfører Bilpassager Før Før, me < 100 km Rest adel 0,75 0,84 0,80 0,71 Tabel 5 - Trasportarbejde før bortfald, før og efter 100 km restriktioe (Christese og Rich, 2001, s. 55). Da der er et forholdsvis stort trasportarbejde ved ture på over 100 km, er der, på trods af det lille bortfald i atal ture, et stort tab af trasportarbejde. I modelle fides der desude adre former for bortfald, der er f.eks. et bortfald, år de iterviewede persoer ikke har svaret på spørgsmål så som idkomst. Dette bortfald erstattes af estimerede data. På grud af forskellige omstædigheder, f.eks. strejke i de kollektive trafik i Esbjerg, var det ikke meige, at byere Århus, Aalborg og Esbjerg skulle iddrages i modelle, me på grud af e fejl kom de alligevel med (Christese og Rich, 2001, s. 55). 5.5 Frekvesmodel Frekvesmodelle var opridelig tækt til at kue modellere hvor ofte der rejses (Christese og Rich, 2001, s. 56). Dee model skulle være et styrigsmiddel, der kue afspejle et idivids rejseaktivitet ud fra bl.a. omkostiger forbudet med rejse og dermed et istrumet til at se, hvad der sker hvis f.eks. billetpriser ædre sig. I de versio af modelle der her arbejdes med, er frekvesmodelle ikke idbefattet, som det oprideligt var øsket, me der atages i stedet e uædret frekves, og dermed er data kostat (Christese og Rich, 2001, s. 56). 5.6 Fordeligsmodel Fordeligsmodelle udreger hvilke behov e familie har for e bil. Dette gøres ud fra e beregig af families årskørsel, eller ved logsummer, hvor der ses på behovet for e bil (Christese og Rich, 2001, s.77). Side 38 af 70

39 5.7 Cohort model Matematisk trafikmodellerig Modelle udreger e progose for bestade af kørekort i et givet år. Her tages højde for de dyamiske ædriger i befolkige. Det er f.eks. relevat, at de ældre kvider, der har lav adel af kørekort, efterhåde dør og at de ygre kvider har væsetlig højere adel af kørekort. Det vil resultere i, at flere kvider i alt har kørekort (Christese og Rich, 2001, s ). 5.8 Model for kørekortshold Kørekortsmodelle gør brug af TU-data og progoser fra cohortmodelle. Der magler oplysiger om kørekorthold for e stor del af de iterviewede, ca. 50 %. Derfor estimeres de resterede. I første omgag estimeres hvor mage kørekort der forvetes at være. Dette sker ved hjælp af opdelig på sociogruppeiveau, og herefter bereges kørekortrater for de kedte del af befolkige (Christese og Rich, 2001, s. 70). Derefter fordeles kørekortee på de ekelte idivider i familiere, dette gøres ved hjælp af e biær logitmodel på idividiveau. 5.9 Bilejerskab Modelle for bilejerskab bygger på de økoomiske og sociologiske forhold. Grudlaget for modelles data kommer fra iterviews. Et ligeledes vigtigt iput er data fra cohortmodelle og modelle for kørekorthold (Christese og Rich, 2001, s ). E bil tilhører hele familie og ejerskabet tildeles ikke e bestemt perso. I e give situatio tildeles e bil til de eller de persoer i familie der har størst ytte. I adfærdsmodelle sidestilles bile med et produkt og det er ud fra de præferece, at ma ka tale om e yttefuktio af det pågældede produkt. Der er her tale om e ret fiktiv præferece og det er derfor ødvedigt at idetificere forskellige faktorer, der er styrede for heholdsvis valg og fravalg af bil. I ALTRANS har ma valgt at fokuserer på idkomst, urbaiserig, gagafstad, buskilometer/kollektiv frekves (Christese og Rich, 2001, s. 76). Side 39 af 70

40 5.9.1 Opsummerig Matematisk trafikmodellerig ALTRANS består af 3 hovedmodeller: De geografiske model, emissios- og adfærdsmodelle. De geografiske model leverer iput til både adfærdsmodelle og emissiosmodelle. Adfærdsmodelle bestemmer trasportarbejdet, og hvorda det er fordelt på trasportmidler, dette output bliver til iput til emissiosmodelle. Emissiosmodelle bereger det edelige resultat af ALTRANS, som giver et emissiostal. Adfærdsmodelle består af syv delmodeller, heruder destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle, dee vil blive geemgået edefor. Side 40 af 70

41 6 Destiatios- og trasportmiddelvalg Destiatios- og trasportmiddelvalgsmodelle bestemmer, hvor de forskellige idivider skal he, og hvorledes de kommer der he, dvs. de bestemmer trasportarbejdet. Modelle er e deaggregeret diskret valgmodel. I første omgag havde modelløre valgt at lave rejselægde på e kotiuert form, og trasportmiddelvalget på diskret form, og disse som simultamodeller, det vil sige, at modellere blev afviklet sideløbede. Me dette medførte ikke et adfærdsrealistisk resultat, fordi idivider ikke vælger deres destiatioer kotiuert. I stedet valgte modelløre at omformulere det, så både destiatios og trasportmiddelvalg foregår diskret (Christese og Rich, 2001, s. 60). Edvidere valgte ha, at gøre de to til e model ved hjælp af e ested logit model struktur (se afsit 6.2). 6.1 Kæder Et eksempel på et idivids valg mht. ture ka se ud på følgede måde: Figur 5 E grafisk fremstillig af et idivids ture, her har idividet 6 ture til hhv. arbejde, æride og fritid med udgagspukt i bopæle. Hvert tal repræseterer e tur (Christese og Rich, 2001, s. 48). Modelløre har valgt ikke at se på hvert ekelt tur, me i stedet kigge på ogle samplede 11 kæder som ideholder turee, eller ideholder e koverterig af turee (Christese og Rich, 2001, s. 48). 11 Når ma sampler betyder det, at ma laver et repræsetativt udsit, dvs. ma samler alle mulighedere til i dette tilfælde tre muligheder Side 41 af 70

42 I modelle er der opstillet to typer af kæder (Christese og Rich, 2001, s. 60): 1. E hoveddestiatio med et tilhørede hovedformål, dvs. e simpel kæde 2. E hoveddestiatio og e sekudær destiatio med tilhørede sekudært formål, dvs. e kompleks kæde Hvis e af de iterviewet persoer har tre eller flere destiatioer, vil turee blive reduceret til e kompleks kæde. Reducerige foregår ved, at de zoe der ligger lægst væk fra udgagspuktet kaldes hoveddestiatioe. Derefter fides de destiatio, der tilføjer mest trasportarbejde til kæde. Som det ses på figure edefor, ka valget af de ade kæde ses som valget af de destiatio, der ligger lægst væk fra lije mellem udgagspuktet og hoveddestiatioe. Figur 6 - Et eksempel på hvorda e situatio med 4 ture reduceres til e kæde med 3 ture (Christese og Rich, 2001, s. 49). Dette gælder ikke, hvis motivatioe til valg af destiatio er arbejde, så vil dee destiatio altid idgå som hoveddestiatio. (Christese og Rich, 2001, s. 49). De 2 typer af kæder dækker i alt 93 % af de ture der er registreret i TU-data efter bortfald (Christese og Rich, 2001, s.126). Da der magler ca. 7 % af de registrerede ture i oveståede koverterig, har modelløre oprettet ogle kæder der starter hjemme og slutter ude, eller starter ude og slutter hjemme eller starter ude og eder ude, hvor start og slut ikke er i samme zoe. Når kæde starter hjemme og slutter ude, vil slutdestiatioe altid være de zoe, som vil blive kaldt hoveddestiatioe, og hvis der er e sekudær destiatio, vil de altid være de første efter startzoe. Der hvor idividet starter ude og slutter hjemme, er e spejlig af Side 42 af 70

43 de oveståede, derfor ka der i modelle foretages e koverterig, hvor edezoe bliver lavet om til startzoe, og omvedt. Når kæde starter ude og slutter ude defieres edezoe, som før, til at være de zoe hvori hoveddestiatioe er. De sekudær destiatio er de zoe der ligger tættest på udgagspuktet (Christese og Rich, 2001, s. 49). Det besluttes, at det ikke er muligt for idividet at skifte trasportmiddel udervejs på e kæde. Jf. modelløre er det e fordel, at år et idivid f.eks. beytter e bil på første tur, vil idividet som udgagspukt også beytte bile på æste tur. Derfor bliver trasportmiddelvalget på dee kæde selvfølgelig bil. E ulempe er hvis e kæde er sat samme af 3 ture som består af e tur med cykel, e tur med kollektiv trafik og e tur med bil. Hvis dette er tilfældet vil ma miste de trasportmidler med det midste trasportarbejde. Det vil sige, at hvis ma cykler he til busse og går fra busse til arbejdet, og ma har kørt lægst med busse, så vil hele turkæde blive betragtet som e kæde hvor kollektiv trafik er trasportmidlet. Dette skyldes umiddelbart matematikke bag de yttefuktioer der bestemmer destiatios og trasportmiddelvalg, se afsit 3.3. Det ka betyde, at de kollektive trafik vil få tildelt mere trasportarbejde ed hvad der reelt vil være (Christese og Rich, 2001, s. 48). Da modelle er ladsdækkede, vil der være meget regearbejde hvis hvert ekelt idivid kue vælge alle zoer i hele Damark (Christese og Rich, 2001, s. 61). Derfor er det i modelle valgt, at ma laver ogle destiatiossampliger. Destiatiossamplig består i, at ma har tre områdetyper, som hver ideholder tre mulige destiatioer, se figur r. 7, det vil sige, at ma med ku e hoveddestiatio, har i mulige destiatioer. De tre områdetyper er (Christese og Rich, 2001, s. 61): 1. Kommue Er destiatioer i de kommue som idividet bor i 2. Arbejdsoplad Er et område omkrig de større provisbyer 3. Reste af ladet Reste af ladet dog maximalt 100 km væk Side 43 af 70

44 Figur 7 Opdelig af zoer i områder (Christese og Rich, 2001, s. 61). For at se hvorda kædere passer med det observerede, ka det være relevat at se på dækigsgrade. De beskriver det atal samplede destiatioer ma har fået, i forhold til det faktiske atal geemsitlige destiatioer. Det vil sige, at ma ser på hvor godt de samplede destiatioer repræseterer de observerede virkelighed (Christese og Rich, 2001, s. 62). I tabel r. 6 ses dækigsgrade for simple kæder. Sampligs område i Geemsitlige atal Samplede Dækigsgrad destiatioer destiatioer Kommue ,43 Arbejdsopladet ,06 Reste af ladet ,01 Tabel 6 Dækigsgrade af de simple kæder, baseret på det atal samplede destiatio i forhold til det geemsitlige atal observerede destiatioer (Christese og Rich, 2001, s. 63). Vi meer, at det ville være mere relevat at se på hvor meget afstade til destiatioe i de forskellige zoer varierer i modelle og i data. Dette gøres i midlertidig ikke af modelløre, og er ikke muligt for os at gøre. Sampligs område i Geemsitlige Samplede Dækigsgrad atal destiatioer destiatioer Kommue Kommue ,11 Kommue Oplad ,01 Kommue Lad ,0 Oplad Oplad ,0 Oplad Lad ,0 Lad Lad ,0 Tabel 7 - Dækigsgrade af de komplekse kæder, baseret på det atal samplede destiatio i forhold til det geemsitlige atal observerede destiatioer (Christese og Rich, 2001, s. 63). Side 44 af 70

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst PET 3 1/3 ECTS Valgfaget afholdes UCN Radiografuddaelse, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst Valgfagets tema Valgfaget præseterer overordede cetrale begreber, teorier samt hadlemåder, der ka avedes

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

FOAs 10 bud på fremtidens velfærd

FOAs 10 bud på fremtidens velfærd F O A f a g o g a r b e j d e FOAs 10 bud på fremtides velfærd FOA Fag og Arbejde 1 Politisk asvarlig: Deis Kristese Redaktio: Claus Corelius, Kasper Maiche og Lars Ole Preisler Hase Layout: Girafisk Desig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Adfærdsmodel for persontrafik

Adfærdsmodel for persontrafik Miljø- og Eergimiisteriet Damarks Miljøudersøgelser ALTRANS Adfærdsmodel for persotrafik Faglig rapport fra DMU, r. 348 Marts 2001 [Tom side] Miljø- og Eergimiisteriet Damarks Miljøudersøgelser ALTRANS

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Intelligent planlægning, styring og gennemførelse af din produktion. Reducér virksomhedens omkostninger skab øget konkurrencekraft!

Intelligent planlægning, styring og gennemførelse af din produktion. Reducér virksomhedens omkostninger skab øget konkurrencekraft! Itelliget plalægig, styrig og geemførelse af di produktio Reducér virksomhedes omkostiger skab øget kokurrecekraft! Add-o moduler til alle produktiosvirksomheder med MS Dyamics NAV Maufacturig Målet er

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

Følelsesmæssige reaktioner og MS

Følelsesmæssige reaktioner og MS Følelsesmæssige reaktioer og MS Mosedalvej 15 2500 Valby Tlf. 3646 3646 www.scleroseforeige.dk Scleroseceter Ry Klostervej 136 8680 Ry Tlf. 8689 1011 Scleroseceter Haslev Rigstedvej 106 4690 Haslev Tlf.

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 19. auar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER Hadligspla for FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER 2016-2018 LYNGBY-TAARBÆK KOMMUNE 2015 Lygby-Taarbæk Kommue Trykt på Rådhustrykkeriet Grafik Layout: Ole Lud Aderse, Iter Service INDHOLD Rotte - dyret

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 4 DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET TBER 2011 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data evelopet

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen Professioel IT-forudersøgelse og MUST-metode Jesper Simose simose@ruc.dk www.ruc.dk/~simose Datalogi, hus 42.1 Roskilde Uiversitetsceter Uiversitetsvej 1 4000 Roskilde Telefo: 4674 2000 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN

TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN TILSKUDSREGLER FOR AFTENSKOLER FAABORG-MIDTFYN-ORDNINGEN VELKOMMEN Tilskudsreglere beskriver hvorda Faaborg-Midtfy Kommue støtter det frivillige folkeoplysede foreigsarbejde med økoomisk tilskud og avisig

Læs mere

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011 Aalborg Uiversitet Ladsbyer i storkommue Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørge Publicatio date: 2011 Documet Versio Tidlig versio også kaldet pre-prit Lik to publicatio from Aalborg Uiversity Citatio for published

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram Jauar 2011 Garatibevis DS Trapezprofiler DS Siusprofiler DS Padeplader DS Tagstesprofiler DS Lysplader DS Tagredeprogram GARANTIBEVIS 2 Betigelser for opfyldelse af garativilkår at produktet ikke avedes

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere