Unitære repræsentationer af kompakte grupper

Transkript

1 Untære repræsentatoner af kompakte grupper Bachelorprojekt matematk. Insttut for matematske fag, Københavns Unverstet Bachelor Thess n Mathematcs. Department of Mathematcal Scences, Unversty of Copenhagen Udarbejdet af Andreas Næs Aaserud under vejlednng af Prof. Henrk Schlchtkrull 9. januar, 2009 (senest ændret d. 14. jun, 2009)

2 Resume Formålet med nærværende skrvelse er en grundg undersøgelse af untære repræsentatoner af kompakte grupper. Hovedresultaterne er (1) Schurs ortogonaltetsrelatoner, som medfører at et bestemt system af matrx-koecenter for endelg-dmensonale rreducble untære repræsentatoner er et ortonormalsystem L 2 (), hvor er en kompakt gruppe, og (2) Peter-Weyls sætnng, som udsger () at det førnævnte system faktsk er en ortonormalbass L 2 (), () at alle rreducble untære repræsentatoner er endelg-dmensonale, og () at ethvert untært repræsentatonsrum kan skrves som sum af endelg-dmensonale rreducble nvarante underrum. Et vgtgt korollar tl Peter-Weyls sætnng er det faktum at mængden af karakterer for endelg-dmensonale rreducble untære repræsentatoner udgør en ortonormalbass rummet af L 2 -klassefunktoner. Hen ad vejen bevses Banach-Alaoglus sætnng, som vl blve brugt tl at bevse eksstens af Haar-mål på enhver kompakt gruppe, mens Resz' repræsentatonssætnng formuleres og anvendes uden bevs. Bemærk, at vores bevs for eksstens af Haar-mål bygger på udvalgsaksomet, mens der ndes bevser herfor der kke gør det, jf. [1], [2] bblograen. Endelg karakterserer v de rreducble repræsentatoner af den kompakte gruppe SU(2). Det anbefales at læseren har stftet bekendskab med målteor, generel topolog, funktonalanalyse og repræsentatonsteor, således at Tychonos sætnng, Urysohns lemma, spektralsætnngen for kompakte selv-adjungerede operatorer og Schurs lemma er velkendte for vedkommende. Læseren bør desuden tdlgere have stødt på gruppen SU(2) samt nogle repræsentatoner af denne. Abstract The purpose of the present paper s a thorough from-the-ground-up nvestgaton of untary representatons of compact groups. The man results are (1) the Schur orthogonalty relatons whch mply that a partcular system of matrx coecents correspondng to nte dmensonal rreducble untary representatons s an orthonormal system n L 2 (), where s a compact group, and (2) the Peter-Weyl theorem whch states () that the aforementoned system s n fact an orthonormal bass n L 2 (), () that all rreducble untary representatons are nte dmensonal, and () gves a decomposton of any untary representaton space nto rreducble nvarant subspaces. An mportant corollary to the Peter-Weyl theorem s the fact that the set of characters correspondng to rreducble untary representatons s an orthonormal bass n the space of L 2 class functons. Along the way we wll prove the Banach-Alaoglu theorem, whch wll n turn be appled n provng the exstence of Haar measure on any compact group, whle we state the Resz' representaton theorem wthout proof. Note that our proof of exstence of Haar measure uses the Axom of choce, whle there are proofs of ths fact that do not, cf. [1], [2] n the bblography. We conclude by characterzng the rreducble representatons of the compact group SU(2). It s assumed that the reader has prevously been exposed to measure theory, general topology, functonal analyss and representaton theory. In partcular, the followng results should be wellknown to the reader: the Tychono theorem, the Urysohn lemma, the spectral theorem for compact self-adjont operators and Schur's lemma. Fnally, t s assumed that the reader has some experence workng wth SU(2) and knows some representatons of ths group. 2

3 Indholdsfortegnelse 1 Forord 4 2 Topologske grupper 5 3 Eksstens af Haar-mål på kompakte grupper 7 4 Integraton på kvotenter 15 5 Integralteor for Hlbertrum 19 6 Untære repræsentatoner 21 7 Foldnng af L 2 -funktoner 25 8 Schur-ortogonaltet 27 9 Matrx-koecenter og karakterer Klassefunktoner Peter-Weyls sætnng Optagt Sætnngen Bemærknnger og et korollar Multplctet Eksempel: SU(2) Appendx A: Net Appendx B: enerel Hlbertrumsteor Appendx C: Hlbert-Schmdt operatorer Bblogra 55

4 1 Forord Nærværende skrvelse er det håndgrbelge produkt af mt Bachelorprojekt og blev udarbejdet fra august 2008 tl januar Jeg vl gerne takke mn vejleder for hans venlghed, hjælpsomhed og sdst men kke mndst hans tålmodghed, uden hvlke dette arbejde næppe havde fået sn nuværende dybde. Jeg vl nu for de enkelte afsnt gennemgå hvlke klder der blev anvendt, jf. bblograen. Bemærk, at henvsnnger tl ltteratur bblograen angves med [ ], mens henvsnnger tl resultater og dentoner nærværende skrvelse angves med ( ). Integralteor for Hlbertrum, Klassefunktoner og Multplctet. mellem mn vejleder og jeg selv. Stoet er opstået ved samtale Topologske grupper. Egenskaber ved topologske grupper har jeg fra [6] og dentoner angående mål på topologske rum har jeg fra [4]. Sætnngerne om Haar-mål på lokalkompakte grupper har jeg fra dverse klder. De kan f.eks. ndes [4], [6]. Eksstens af Haar-mål på kompakte grupper. Langt det meste af stoet er lånt fra [14]. Bemærk dog, at bevset for (3.19) er mt eget arbejde. Desuden anvendes ldt elementær målteor, som f.eks. kan ndes [8], og dentonen af den svage topolog er hentet fra [9]. Integraton på kvotenter. Det meste af dette afsnt er selvstændgt arbejde, dog med ldt nspraton fra [11]. Untære repræsentatoner. Dentonerne er standard, se f.eks. [7], [11]. Dele af bevset for at de regulære repræsentatoner er stærkt kontnuerte er hentet fra [11]. Schurs lemma og vsse andre elementære resultater er lånt fra [7]. Foldnng af L 2 -funktoner. Bevset for sætnngen om foldnng er opstået samarbejde med mn vejleder. Notatonen (7.3)-(7.6) og nogle af egenskaberne kommer fra [10]. Schur-ortogonaltet. Formulerngen af hovedsætnngen om Schur-ortogonaltet og hovedtrækkene bevset for denne og for lemmaet kommer fra [10], hvor det dog står meget kortfattet. Matrx-koecenter og karakterer. Dentonerne og det meste af notatonen er taget fra [10]. Formulerngen af (9.8) er lgeledes hentet fra [10]. Peter-Weyls sætnng. Formulerngen af og bevset for det ndledende lemma er mt eget arbejde. Formulerngen af og hovedtrækkene bevset for Peter-Weyls sætnng er lånt fra [10], [11]. En del detaljer bevset blev udarbejdet samarbejde med mn vejleder. Dele af bevset for (11.3) er taget fra [6]. Bemærk dog, at bevset er tlpasset så det bruger dele af nærværende bevs for Peter-Weyls sætnng. Formulerngen af og dele af bevset for (11.6) er taget fra [13]. Eksempel: SU (2). Hovedtrækkene argumentatonen kommer fra dverse mndre eksempler og opgaver [13]. Det første lemma står mn vejleder for. Bevserne for de resterende nummererede resultater er mne egne, bortset fra at Fejérs sætnng formuleres uden bevs, da den er velkendt. Appendces. Det meste af materalet om net kan f.eks. ndes [12]. Dog er bevset for den sdste sætnng mt eget arbejde. Materalet om Hlbertrum og Hlbert-Schmdt operatorer kommer hovedsagelgt fra [5] og [9]. 4

5 2 Topologske grupper Bemærknng 2.1. For et topologsk rum og et element x vl v kalde en åben mængde U en omegn af x, hvs x U. V betegner med C c () rummet af kontnuerte funktoner C med kompakt støtte. Hvs er kompakt, er dette rum naturlgvs det samme som rummet C() af kontnuerte funktoner på med komplekse værder. V udstyrer begge rum med den unforme norm (også kaldet supremumsnormen), som v betegner med. Denton 2.2. En topologsk gruppe er en gruppe udstyret med en topolog, således at afbldnngen gvet ved (x, y) xy og afbldnngen gvet ved x x 1 er kontnuerte. En topologsk gruppe kaldes en lokalkompakt gruppe hhv. en kompakt gruppe, hvs den underlggende topolog er Hausdor og lokalkompakt hhv. Hausdor og kompakt. Bemærknng 2.3. For en topologsk gruppe betegner v neutralelementet med 1, mens v kalder en delmængde V af symmetrsk, hvs V = V 1, hvor V 1 = {v 1 v V }. I det følgende vl altd betegne en topologsk gruppe. Lemma 2.4. For enhver omegn U af 1 ndes en symmetrsk omegn V af 1 sådan at V V U, hvor V V = {v 1 v 2 v 1, v 2 V }. Bevs. Lad en omegn U af 1 være gvet. Da (x, y) xy er kontnuert (1, 1) og afbldnngen dette punkt har værden 1, ndes omegne W 1, W 2 af 1 sådan at W 1 W 2 U. Det ses nu let, at mængden V = W 1 W 2 W1 1 W2 1 opfylder det ønskede, det det bemærkes, at for en åben mængde A er A 1 lgeledes åben, da den er orgnalmængden tl A under den kontnuerte afbldnng x x 1. Denton 2.5. For f : C og y deneres L(y)f og R(y)f ved, for x, at sætte L(y)f(x) = f(y 1 x) og R(y)f(x) = f(xy). V kalder f højre unformt kontnuert, hvs R(y)f f 0 for y 1, altså hvs der for enhver ɛ > 0 ndes en omegn U af 1 sådan at y U R(y)f f < ɛ, mens v kalder f venstre unformt kontnuert, hvs L(y)f f 0 for y 1, deneret tlsvarende. Sætnng 2.6. Hvs f C c (), så er f højre og venstre unformt kontnuert. Bevs. V bevser kun den højre unforme kontnutet. Lad ɛ > 0 være gvet og lad K betegne støtten for f. Lad x K være gvet. Da y f(xy) er kontnuert, ndes en omegn U x af 1 sådan at f(xy) f(x) < ɛ/2 når y U x. Det følger af (2.4), at der ndes en symmetrsk omegn V x af 1 sådan at V x V x V x U x. Mængderne xv x for x K udgør en åben overdæknng af K, og da K er kompakt, ndes en endelg mængde {x 1,..., x n } K sådan at K n j=1 x jv xj. Sæt V = n j=1 V x j. V vser, at R(y)f f ɛ når y V. Lad hertl y V og x være gvet. 5

6 Hvs x K, ndes et j sådan at x x j V xj, hvormed xy x j V xj V xj x j U xj. Da f(x j g) f(x j ) < ɛ/2 når g U xj, er altså f(xy) f(x j ) < ɛ/2. Desuden er x x j U xj, så tlsvarende er f(x) f(x j ) < ɛ/2. Alt alt fås, at f(xy) f(x) f(xy) f(x j ) + f(x j ) f(x) < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ Hvs xy K, ndes et j sådan at xy x j V xj, hvormed x = (xy)y 1 x j V xj V xj x j U xj. Da f(x j g) f(x j ) < ɛ/2 når g U xj, er altså f(x) f(x j ) < ɛ/2. Desuden er xy x j U xj, så tlsvarende er f(xy) f(x j ) < ɛ/2. Som før fås, at f(xy) f(x) < ɛ. Hvs hverken x eller xy er ndeholdt K, er f(x) = f(xy) = 0. Det ønskede følger nu let. Bemærknng 2.7. Hvs er en kompakt gruppe, følger specelt at alle f C() er højre og venstre unformt kontnuerte. Denton 2.8. Betegn, for et Hausdor topologsk rum, med B() den σ-algebra der er frembragt af de åbne mængder. Et mål der er deneret på B() kaldes et Borel-mål. Lad A være en σ-algebra på sådan at B() A. V sger at et mål µ på (, A) er regulært, hvs (1) µ(k) < for alle kompakte delmængder K af, (2) µ(a) = nf{µ(u) A U og U er åben} for alle A A, og (3) µ(u) = sup{µ(k) K U og K er kompakt} for alle åbne delmængder U af. Egenskab (2) kaldes ydre regulartet, mens egenskab (3) kaldes ndre regulartet. Lad være en lokalkompakt gruppe. Et venstre Haar-mål µ på er et kke-trvelt regulært Borel-mål, som er venstre-nvarant, dvs. som opfylder, at µ(b) = µ(xb) for alle B B() og alle x. Et højre Haar-mål og højre-nvarans deneres tlsvarende. V vl nærværende skrvelse kun vse eksstensen af et venstre Haar-mål på enhver kompakt gruppe, men v vl pontere, at følgende mere generelle resultater gælder, jf. f.eks. [4] og [6]: Sætnng 2.9 (Haar-Cartan). Lad være en lokalkompakt gruppe. Da ndes et venstre Haar-mål på. Sætnng Lad være en lokalkompakt gruppe og lad µ og λ være venstre Haar-mål på. Da ndes c (0, ) sådan at λ = cµ. Sætnng Lad være en lokalkompakt gruppe og lad µ være et venstre Haar-mål på. Da gælder, at µ() < er kompakt. I bevset for eksstensen af et venstre Haar-mål på enhver (lokal)kompakt gruppe anvendes følgende fundamentale sætnng, som v kke bevser. Sætnngen er bl.a. bevst [4]. Sætnng 2.12 (Resz' repræsentatonssætnng). Lad være et lokalkompakt Hausdor topologsk rum og lad I være en postv lneær funktonal på C c (). Da ndes et entydgt bestemt regulært Borel-mål µ på sådan at I(f) = f dµ for alle f C c (). 6

7 3 Eksstens af Haar-mål på kompakte grupper Et bevs for det følgende fundamentale resultat, baseret på Zorns lemma, kan ndes bl.a. [12]. Sætnngen vl blve anvendt bevset for Banach-Alaoglus sætnng herunder. Sætnng 3.1 (Tychono). Ethvert produkt af kompakte topologske rum er kompakt produkttopologen. Bemærknng 3.2. For et kompakt Hausdor topologsk rum betegner v med M() mængden af regulære Borel-mål µ på med µ() = 1. Bemærknng 3.3. For et normeret vektorrum E betegner v med E dette rums dualrum, dvs. rummet af kontnuerte lneære funktonaler (også kaldet lnearformer) på E, og v sætter, for r 0, E r = {x E x r}. V erndrer om, at E med operatornormen, som er gvet ved λ = sup{ λ(x) x E 1 } for λ E, er et Banachrum. Korollar 3.4 (Resz' repræsentatonssætnng, verson fra [14]). Lad være et kompakt Hausdor topologsk rum. Afbldnngen fra M() nd C() gvet ved µ λ µ, hvor λ µ (f) = f dµ for alle f C(), er en bjekton mellem M() og mængden B() = {λ C() λ(f) 0 for alle f 0, λ(1 ) = 1} Bevs. Ifølge (2.12) ndes der for λ B() netop et regulært Borel-mål µ på med den egenskab at λ(f) = f dµ for alle f C(). Specelt gælder µ() = 1 dµ = λ(1 ) = 1, hvormed µ M(). Altså er λ = λ µ. Dermed er både njektvtet og surjektvtet bevst. V vl nu formulere og bevse Banach-Alaoglus sætnng. For at kunne forstå sætnngens ndhold og gennemføre bevset, må v ndføre en række begreber. V får brug for at denere et net et topologsk rum, jf. Appendx A. Desuden vl v ntroducere en topolog, den såkaldte svage topolog, på dualrummet E af et normeret vektorrum E. Denton 3.5. Lad E være et normeret vektorrum og dener for x E en semnorm p x på E ved p x (λ) = λ(x) for λ E. Sæt, for λ 0 E, x 1,..., x n E og ɛ > 0, N λ0 ;x 1,...,x n;ɛ = {λ E p x (λ 0 λ) < ɛ for = 1,..., n} Det er let at se, at famlen {N λ0 ;x 1,...,x n;ɛ n 1, λ 0 E, x 1,..., x n E, ɛ > 0} udgør en bass for en topolog på E, som v kalder den svage topolog på E, og v sger, at den er frembragt af famlen {p x x E} af semnormer. Det følger af nedenstående lemma og (14.2), at E med den svage topolog er et topologsk vektorrum, dvs. at vektorrumsoperatonerne er kontnuerte. Lemma 3.6. Et net {λ α } α Λ E med den svage topolog konvergerer mod λ E hvs og kun hvs λ α (x) λ(x) for alle x E. Bevs. Antag først, at λ α λ svagt E og lad x E og ɛ > 0 være gvet. Da er N λ;x;ɛ en omegn af λ, hvormed antagelsen gver α 0 Λ sådan at α 0 α λ α N λ;x;ɛ. Men det betyder, at (λ α λ)(x) < ɛ for α 0 α, hvlket vser den ene mplkaton. 7

8 Antag omvendt, at λ α (x) λ(x) for alle x E og lad U være en omegn af λ. Det ses nu let, at der ndes x 1,..., x n E og ɛ > 0 sådan at N λ;x1,...,x n;ɛ U. Da λ α (x ) λ(x ) ndes α Λ sådan at α α (λ α λ)(x ) < ɛ for = 1,..., n. Da Λ er opad ltrerende ndes α 0 Λ sådan at α α 0 for = 1,..., n. For α 0 α og for = 1,..., n har v nu, at p x (λ α λ) = (λ α λ)(x ) < ɛ, hvormed λ α N λ;x1,...,x n;ɛ U, hvlket vser den anden mplkaton. Bemærknng 3.7. Det følger specelt heraf, jf. (14.4), at den svage topolog har Hausdoregenskaben. Sætnng 3.8 (Banach-Alaoglu). Lad E være et normeret vektorrum over F (= R eller C). Da er enhedskuglen E 1 E svagt kompakt. Bevs. Dener for hvert x E en kompakt delmængde B x = {c F c x } af F. Dermed følger af (3.1), at produktet Ω = x E B x er kompakt. vet ω Ω vl v det følgende skrve ω x for den x'te projekton Ω B x anvendt på ω. V denerer nu en afbldnng : E1 Ω ved ((λ)) x = λ(x). Bemærk, at den er veldeneret, th hvs λ E1 og x E, så gælder, at λ(x) λ x x, hvormed λ(x) B x. V vser nu, at er kontnuert. Lad {λ α } være et svagt konvergent net E1 med grænseværd λ. Da har v, for x E, at ((λ α )) x = λ α (x) λ(x) = ((λ)) x, hvormed λ ((λ)) x er kontnuert for alle x E. Deraf følger, at er kontnuert. V vl vse, at er en homeomor E1 (E 1 ). Den er klart bjektv. Lad nu {ω α } α Λ være et konvergent net (E1 ) med grænseværd ω. Sæt λ = 1 (ω) og λ α = 1 (ω α ). Da ω α konvergerer mod ω, har v for alle x E, det projektonerne er kontnuerte, at λ α (x) = (ω α ) x ω x = λ(x), hvormed 1 (ω α ) = λ α konvergerer svagt mod λ = 1 (ω), hvlket vser at 1 er kontnuert. V vser nu, at (E1 ) Ω er afsluttet. Sæt, for (x, y) E E, Ω x,y = {ω Ω ω x+y = ω x + ω y } og, for (c, x) F E, Ω c,x = {ω Ω ω cx = cω x }. Dsse mængder er alle afsluttede, men v vser det kun for Ω x,y med x, y E. Lad {ω α } være et konvergent net Ω x,y med grænseværd ω Ω. Dermed vl (ω α ) x+y ω x+y, (ω α ) x ω x og (ω α ) y ω y, hvormed (ω α ) x+y = (ω α ) x + (ω α ) y ω x + ω y. Altså gælder, at ω x+y = ω x + ω y, det Ω er et Hausdor topologsk rum, hvormed ω Ω x,y. Endelg vses, at (E 1) = (x,y) E E Ω x,y (c,x) F E Hvs λ E1, så gver lnearteten af λ, at (λ) er ndeholdt højresden. Hvs omvendt ω er et element højresden, så deneres ved λ(x) = ω x for x E en lneær funktonal på E, og da λ(x) = ω x x for alle x E, vl λ E1. Endelg er ((λ)) x = λ(x) = ω x, hvormed ω = (λ) (E1 ). Da højresden er afsluttet Ω, som er kompakt, er bevset nu fuldført. Ω c,x Korollar 3.9. Lad være et kompakt Hausdor topologsk rum. C() deneret (3.4) en svagt kompakt delmængde af C() 1. Da er mængden B() Bevs. V vser først, at B() C() 1. Lad λ B() være gvet og vælg, jf. (3.4), µ M() sådan at f dµ = λ(f) for alle f C(). Da ses, at λ(f) = f dµ f dµ f for alle f C(), hvormed λ 1. Dermed har v, at λ C() 1. 8

9 V vser nu, at mængden {λ C() λ(f) 0} er svagt afsluttet for alle f C(). Betragt for f C() afbldnngen ϕ f : C() C gvet ved ϕ f (λ) = λ(f). Den er klart kontnuert, hvs C() udstyres med den svage topolog, hvormed {λ C() λ(f) 0} = ϕ 1 f ([0, )) er svagt afsluttet. Mængden {λ C() λ(1 ) = 1} er lgeledes svagt afsluttet. Dermed er B() = f 0{λ C() λ(f) 0} {λ C() λ(1 ) = 1} en svagt afsluttet delmængde af C() 1, og dermed svagt kompakt følge (3.8). V vl nu bl.a. bevse eksstensen af et venstre Haar-mål på enhver kompakt gruppe. Resultaterne (3.12) og (3.15) udgør de centrale dele af argumentet. Bemærknng Lad E og F være normerede vektorrum. V betegner det følgende med L(E, F ) rummet af kontnuerte lneære operatorer E F og v sætter L(E) = L(E, E). Desuden lader v Iso (E) L(E) betegne gruppen af lneære sometrske somorer på E. For en gruppehomomor π : Iso (E) betegner v med π homomoren π : L(E ) gvet ved π (g) = π(g 1 ) for g, hvor π(g 1 ) er den duale operator tl π(g 1 ). V har altså pr. denton, at (π (g)λ)(x) = λ(π(g 1 )x) for g, λ E og x E. Det er let at se, at dette rent faktsk denerer en homomor, som hævdet. Bemærknng Lad (E, E ) og (F, F ) være normerede vektorrum over F. Dener for x E en semnorm x på L(E, F ) ved T x = T (x) F for T L(E, F ). Da kaldes den topolog på L(E, F ), der er frembragt af famlen { x x E} af semnormer, for den stærke operator topolog. Bemærk, at hvs F = F, så er dette den svage topolog på E. Den vgtgste egenskab ved den stærke operator topolog, som v får brug for, er at et net {T α } L(E, F ) med denne topolog konvergerer mod T L(E, F ) hvs og kun hvs T α (x) T (x) F 0 for alle x E. Bevset herfor er analogt med bevset for (3.6). Lemma Lad E være et normeret vektorrum over F og en kompakt gruppe. Lad π : Iso (E) være en kontnuert homomor, hvor Iso (E) udstyres med den stærke operator topolog. Fasthold x E og sæt λ 0 = sup{ λ(π(g)x) g } for λ E. Da gælder følgende: () 0 er en semnorm på E. () 0 er -nvarant, dvs. λ E h : π (h)λ 0 = λ 0. () For enhver r [0, ) er 0 : E R kontnuert på E r udstyret med den svage topolog. (v) Hvs λ(x) 0, så er λ 0 > 0. Bevs. Først vses, at 0 afblder E nd R. Da π er kontnuert, er afbldnngen g π(g)x kontnuert. Dermed er g λ(π(g)x) kontnuert for ethvert λ E, og da er kompakt, er dens bllede en kompakt delmængde af R. Specelt er λ 0 = sup{ λ(π(g)x) g } et reelt tal for alle λ E. 9

10 For λ E og c F har v, at cλ 0 = sup{ cλ(π(g)x) g } = c sup{ λ(π(g)x) g } = c λ 0, og for λ, λ E og g fås, at (λ + λ )(π(g)x) = λ(π(g)x) + λ(π(g)x) λ(π(g)x) + λ(π(g)x) λ 0 + λ 0, hvormed λ + λ 0 λ 0 + λ 0. Dette vser (). Lad nu λ E og h være gvet. Anvendes dentonen af π fås π (h)λ 0 = π(h 1 ) λ 0 = sup{ π(h 1 ) λ(π(g)x) g } = sup{ λ(π(h 1 )π(g)x) g } = sup{ λ(π(h 1 g)x) g }. Når g gennemløber, så gør h 1 g det lgeledes, så v får endelg, at π (h)λ 0 = λ 0, hvlket vser (). Hvs λ(x) 0, så er λ(π(1)x) = λ(x) > 0, hvormed λ 0 > 0. Dermed er også (v) bevst. For at bevse () lader v {λ α } være et svagt konvergent net E r med grænseværd λ E r. Sæt β α = λ α λ. V vser, at β α 0 0. Bemærk, at β α 0 svagt og at β α 2r for alle α. Lad nu ɛ > 0 være gvet. Lad, for hvert g, K(g) betegne den åbne kugle E med centrum π(g)x og radus ɛ/4r, hvormed {K(g) g } udgør en åben overdæknng af den kompakte mængde {π(g)x g }. Altså ndes endelg mange elementer g 1,..., g n sådan at {K(g ) = 1,..., n} er en åben overdæknng af {π(g)x g }. Da β α 0 svagt, ndes α 0 sådan at β α (π(g )x) < ɛ/2 for alle og alle α 0 α. Lad α 0 α være gvet. Nu har v for ethvert g og ethvert, at β α (π(g)x) β α (π(g)x π(g )x) + β α (π(g )x β α π(g)x π(g )x + ɛ/2 2r π(g)x π(g )x + ɛ/2. Vælger v nu sådan at π(g)x K(g ), får v, at π(g)x π(g )x < ɛ/4r, hvormed β α (π(g)x) ɛ. V har nu vst, at der gvet ɛ > 0 ndes α 0 sådan at α 0 α medfører, at β α (π(g)x) ɛ for alle g, dvs. β α 0 ɛ. Dermed må β α 0 0, hvlket medfører, at λ α 0 λ 0 λ α λ 0 0, hvormed () er bevst. Lemma Lad K være en konveks mængde et reelt eller komplekst vektorrum. Da gælder n 1 k 1,..., k n K t 1,..., t n 0 : n t j = 1 j=1 n t j k j K Bevs. Bevset udføres ved ndukton efter n. Udsagnet er trvelt for n = 1 og er blot dentonen af konvekstet for n = 2. Antag, at v gvet n 2 har vst, at j=1 k 1,..., k n 1 K t 1,..., t n 1 0 : n 1 n 1 t j = 1 t j k j K j=1 j=1 Lad herefter k 1,..., k n K og t 1,..., t n 0 være gvet og antag, at n j=1 t j = 1. Hvs t n = 1, er t 1 = = t n 1 = 0, hvormed n j=1 t jk j = k n K. Hvs t n < 1 skrver v n j=1 ( t1 t j k j = (1 t n ) k t ) n 1 k n 1 + t n k n 1 t n 1 t n Da koecenterne summen parantes er kke-negatve og har sum 1, er summen parantes ndeholdt K, hvormed den samlede sum også er ndeholdt K pr. dentonen af konvekstet. Bemærknng For et normeret vektorrum E, en kompakt gruppe og en homomor π : Iso (E), vl v resten af dette afsnt sge, at B E er -nvarant, hvs π (g)b B for alle g. 10

11 Sætnng 3.15 (Kakutan). Lad E være et normeret vektorrum over F og en kompakt gruppe. Lad π : Iso (E) være en kontnuert homomor, hvor Iso (E) udstyres med den stærke operator topolog. Lad A E 1 være en svagt kompakt, konveks, -nvarant og kke-tom mængde. Da ndes a A sådan at π (g)a = a for alle g. Bevs. Betragt mængden A = {B A B er svagt kompakt, konveks, -nvarant og kke-tom} med den partelle ordnng gvet ved B C B C. Lad {B α } α Λ være en totalt ordnet delmængde af A og fasthold α 0 Λ. Da A med den svage topolog er et Hausdor topologsk rum, er hver B α specelt svagt afsluttet, hvormed B = α B α er en svagt afsluttet delmængde af B α0, og dermed svagt kompakt. Da A er svagt kompakt og {B α } er en samlng svagt afsluttede delmængder af A, som opfylder, at fællesmængden af endelg mange elementer {B α } er kke-tom, er B kke-tom. Det er desuden klart, at B er konveks og -nvarant. Dermed er B en øvre grænse for {B α } A. Altså ndes følge Zorns lemma en mnmal (med hensyn tl nkluson) svagt kompakt, konveks, -nvarant og kke-tom delmængde A af A. V ønsker at vse, at A består af et enkelt punkt, så antag for modstrd at dette kke gælder. Da ndes λ 1, λ 2 A og et punkt x E sådan at λ 1 (x) λ 2 (x). Brug dette x E tl at denere semnormen 0 som (3.12). Sæt, for λ A og r > 0, B(λ; r) = {β A λ β 0 < r}. For at se at denne mængde er svagt åben ndses, at den er orgnalmængden tl (, r) under den kontnuerte afbldnng β λ β 0 fra A nd R, jf. (3.12)(). Desuden sættes, for λ A og r 0, B(λ; r) = {β A λ β 0 r}, og det ses som før, at B(λ; r) er svagt afsluttet. Det er let at se, at den også er konveks. Sæt d = sup{ λ β 0 λ, β A }. Da A er svagt kompakt og 0 er kontnuert på A, jf. (3.12)(), ndes c > 0 sådan at λ 0 c for alle λ A, hvormed λ β 0 λ 0 + β 0 2c for alle λ, β A. Hermed ses, at d 2c <. Da (λ 1 λ 2 )(x) 0 og λ 1, λ 2 A gver (3.12)(v), at d > 0. Da A er svagt kompakt, kan v nde ω 1,..., ω n A sådan at A = n =1 B(ω ; d/2). Sæt ω = 1 n n =1 ω. Da A er konveks, har v følge (3.13), at ω A. Desuden har v, gvet λ A, at ω λ 0 1 n n =1 ω λ 0. For hvert er ω λ 0 d, men for mndst et er ω λ 0 d/2. Dermed må ω λ 0 1 ( d n 2 + (n 1)d) = 2n 1 2n 1 2n d. Sæt r = 2n d. V har nu, at ω A og 0 < r < d opfylder, at B(ω; r) = A. V har for ethvert λ A = B(ω; r), at λ ω 0 r, hvormed ω B(λ; r). Specelt har v, at B := λ A B(λ; r). Da hver B(λ; r) er afsluttet, er B afsluttet, og da B A, er B dermed kompakt. Det er kke svært at se, at B er konveks. For ethvert β B har v, at λ β 0 r for alle λ A, og da r < d, ndes λ, β A med λ β 0 > r. Dsse kan altså kke begge være elementer B, så specelt må B A. Fasthold nu g. Da 0 er -nvarant, jf. (3.12)(), har v, at B(π (g)λ; r) = π (g)(b(λ; r)) for alle λ A. Hvs nemlg β B(π (g)λ; r), da er β = π (g)π (g 1 )β og π (g 1 )β λ 0 = β π (g)λ 0 r, hvormed β π (g)(b(λ; r)). Den anden nkluson er oplagt. Da π (g) er bjektv, med den nverse afbldnng π (g 1 ), må dermed π (g)b B, hvormed B er -nvarant, modstrd med mnmalteten af A. 11

12 Bemærknng Formulerngen af og bevset for (3.12) kommer fra [14], hvor resultatet kaldes Lemma Formulerngen af og bevset for (3.15) er som [14], hvor resultatet kaldes Theorem 2.2.3, bortset fra at der [14] kke antages, at A er kke-tom, og kke vses, at den mnmale mængde, hvs eksstens påvses vha. Zorns lemma, er kke-tom, hvlket er vgtgt for argumentet. V bevser nu et nyttgt målteoretsk resultat. Sætnng Lad µ M() være gvet, hvor er et kompakt Hausdor topologsk rum og lad T : være en homeomor. Da tlhører blledmålet T (µ) mængden M(). Hvs f : C er T (µ)-ntegrabel, så gælder at afbldnngen f T er µ-ntegrabel og f T dµ = f dt (µ). Specelt har v følgende, det v gvet en kompakt gruppe og en funkton f : C denerer ˇf : C ved ˇf(x) = f(x 1 ) for x. V henvser desuden tl (2.5). Korollar Lad µ M() være gvet, hvor er en kompakt gruppe. Fasthold g. Da deneres ved µ g (B) = µ(g 1 B), µ g (B) = µ(bg 1 ) og µ (B) = µ(b 1 ) for B B() mål µ g, µ g, µ M(). Hvs f : C er µ g -ntegrabel, så gælder at L(g 1 )f er µ-ntegrabel og f(gx) dµ(x) = f(x) dµ g (x). Hvs f : C er µ g -ntegrabel, så gælder at R(g)f er µ-ntegrabel og f(xg) dµ(x) = f(x) dµ g (x). Hvs f : C er µ -ntegrabel, så gælder at ˇf er µ-ntegrabel og f(x 1 ) dµ(x) = f(x) dµ (x). Bevs for (3.17). Det er klart, at blledmålet T (µ) er et Borel-mål med total masse 1. V vser, at T (µ) er regulær. Da T er en homeomor og µ er regulær, er T (µ)(k) = µ(t 1 (K)) < for enhver kompakt mængde K. V vser nu den ydre regulartet, og overlader den ndre regulartet tl læseren, jf. (2.8). Lad B B() være gvet. Da fås, at T (µ)(b) = µ(t 1 (B)) = nf{µ(u) T 1 (B) U og U er åben} Lad U være en åben mængde. Antag først, at T 1 (B) U. Da er T (U) en åben mængde som ndeholder B og µ(u) = T (µ)(t (U)). Antag nu, at B U. Da er T 1 (U) en åben mængde som ndeholder T 1 (B) og T (µ)(u) = µ(t 1 (U)). Dermed gælder, at {µ(u) T 1 (B) U og U er åben} = {T (µ)(u) B U og U er åben} hvormed specelt T (µ)(b) = nf{t (µ)(u) B U og U er åben}. Udsagnet om ntegrabltet er en drekte følge af en velkendt sætnng fra elementær målteor, jf. f.eks. Corollary 10.9 [8]. 12

13 V er nu stand tl at bevse dette afsnts to hovedsætnnger. Sætnng 3.19 (von Neumann). Lad være en kompakt gruppe. Da ndes et venstre Haar-mål µ M() på. Bevs. V ønsker at anvende (3.15) med E = C(), A = B() og π : Iso (E) gvet ved π(g) = L(g) E, jf. (2.5). Det er let at se, at π er en veldeneret homomor og v skal altså vse, at π er kontnuert, hvs Iso (C()) udstyres med den stærke operator topolog, og at B() er en svagt kompakt, konveks, -nvarant og kke-tom delmængde af C() 1. For at vse, at π er kontnuert, lader v {g α } α Λ være et konvergent net med, lad os sge, g α g. Lad nu f C() og ɛ > 0 være gvet. Da er kompakt, er f venstre unformt kontnuert følge (2.7), så v kan nde en omegn U af 1 sådan at π(h)f f < ɛ for h U. Da er gu en omegn af g, så der ndes α 0 Λ sådan at α 0 α g α gu. Altså fås, for α 0 α, at π(g α )f π(g)f = π(g)(π(g 1 g α )f f) = π(g 1 g α )f f < ɛ, det g 1 g α U og π(g) er en sometr. Hermed er kontnuteten bevst. V har allerede vst, jf. (3.9), at B() C() 1 er svagt kompakt og det er klart, at B() er kke-tom og konveks. Endelg vses, at B() er -nvarant. Lad hertl µ M(), g og f C() være gvet. V påstår, at f(gx) dµ(x) = f(x) dµ g(x). Da er kompakt og µ g er et endelgt mål, ses nemlg let, at f er µ g -ntegrabel, hvormed lgheden følger af (3.18). Altså fås, at π (g)λ µ (f) = π(g 1 ) λ µ (f) = λ µ (π(g 1 )f) = f(gx) dµ(x) = f(x) dµ g (x) = λ µg (f) Hermed har v vst, at π (g)λ µ = λ µg, og dermed at π (g)b() B(), for alle g. Nu gver (3.15), at der ndes µ M() sådan at λ µg = π (g)λ µ = λ µ for alle g, dvs. at v for ethvert g har µ = µ g, jf. (3.4), hvormed µ er et venstre Haar-mål, som ønsket. Sætnng 3.20 (Wel). Lad være en kompakt gruppe og µ M() et venstre Haar-mål på. Da er µ entydgt bestemt og µ er også et højre Haar-mål. Hvs omvendt η M() er et højre Haar-mål på, da er η entydgt bestemt og η er også et venstre Haar-mål. Bevs. V bevser kun den første påstand, det bevset for den anden påstand forløber analogt. Lad ν M() være et højre Haar-mål på, f.eks. ν = µ, og lad f C() være gvet. Da gver (3.18) og Tonell-Fubns sætnng, jf. Theorem 9.4 og Theorem 9.10 [8], at f(yx) dµ(x) dν(y) = f(yx) dν(y) dµ(x) = f(y) dν(y) dµ(x) = f dν = λ ν (f) det ν er et højre Haar-mål, hvlket medfører, at ν x = ν for alle x. Tlsvarende fås, at f(yx) dµ(x) dν(y) = f dµ = λ µ (f) det µ er et venstre Haar-mål. Heraf følger, jf. (3.4), at µ = ν, så specelt er µ et højre Haar-mål. Da desuden tlsvarende beregnnger vser, at µ = ν for ethvert venstre Haar-mål µ M(), er specelt µ = µ for enhver sådan µ, hvormed µ er entydgt bestemt. 13

14 Korollar Lad være en kompakt gruppe og µ M() et venstre Haar-mål på. Hvs f : C er µ-ntegrabel, så gælder, for g, at L(g 1 )f, R(g)f og ˇf er µ-ntegrable og f(gx) dµ(x) = f(x) dµ(x) f(xg) dµ(x) = f(x) dµ(x) f(x 1 ) dµ(x) = f(x) dµ(x) Bevs. Resultatet følger af (3.18) og (3.20), så snart v har vst, at µ = µ. Da µ følge (3.20) er et højre Haar-mål, følger det dog let, at µ er et venstre Haar-mål, hvormed entydgheden (3.20) gver det ønskede. Bemærknng Lad være en kompakt gruppe og µ M() et venstre Haar-mål på. V kan da betragte det komplekse Hlbertrum L 2 () bestående af (ækvvalensklasser af) målelge funktoner f : C, som opfylder, at f(x) 2 dµ(x) <, udstyret med det ndre produkt f, g = f(x)g(x) dµ(x), f, g L 2 () og den heraf nducerede norm 2, hvor f, g L 2 () opfattes som værende ens, hvs f(x) = g(x) for µ-næsten alle x. V kan tlsvarende betragte det komplekse Banachrum L 1 () bestående af (ækvvalensklasser af) µ-ntegrable funktoner C, udstyret med normen f 1 = f(x) dµ(x) Bemærk, at L 2 () L 1 (), th hvs f L 2 (), da gver Cauchy-Schwartz' ulghed, at f(x) dx = f, 1 ( f(x) 2 dx ) 1/2 <, hvor 1A for A betegner ndkatorfunktonen for A. Af denne udregnng følger også, at f 1 f 2, og det ses let, at f 2 f. V afslutter dette afsnt med følgende nyttge resultat. Lemma Lad være en kompakt gruppe og µ M() et venstre Haar-mål på. Da er µ(u) > 0 for enhver kke-tom åben delmængde U af. Bevs. Antag for modstrd, at µ(u) = 0 for en kke-tom åben delmængde U af. V kan gerne antage, at 1 U, da v ellers betragter g0 1 U for et g 0 U. Da udgør {gu g } en åben overdæknng af, det g gu, og da er kompakt, er = n =1 g U for g 1,..., g n. Hermed opnås dog den modstrd, at ( n ) n n 1 = µ() = µ g U µ(g U) = µ(u) = 0 =1 Bemærknng Lad, med forudsætnngerne (3.22), f C() være gvet. Antag, at f kke er dentsk 0. Da ndes en åben mængde U sådan at f(x) > 0 for alle x U, hvormed f(x) følge (3.23) kke er 0 for µ-næsten alle x. Altså er f dette tlfælde kke 0 L 2 (). =1 =1 14

15 4 Integraton på kvotenter Bemærknng 4.1. I dette afsnt betegner en fast kompakt gruppe og H en afsluttet undergruppe, hvormed H også er en kompakt gruppe. V betragter kvotentafbldnngen p : H\ gvet ved p(g) = Hg for g og udstyrer H\ med kvotenttopologen, hvlket vl sge, at U H\ er åben hvs og kun hvs p 1 (U) er åben. V udstyrer, jf. (3.19), med et venstre Haar-mål µ M() og H med et venstre Haar-mål µ H M(H). Der er en naturlg gruppevrknng af på H\ gvet ved Hg 1 g 2 = H(g 1 g 2 ). V sger det følgende, at et mål ν på H\ er -nvarant, hvs ν(b g) = ν(b) for enhver målelg mængde B og ethvert g. V vl dette afsnt bevse eksstens og entydghed af et -nvarant mål på H\, samt bevse nogle andre resultater, som v får brug for afsnt 12. V begynder med et par lemmaer. Lemma 4.2. Kvotentafbldnngen p : H\ er en åben afbldnng. Bevs. Lad U være en åben delmængde af. V påstår, at p 1 (p(u)) = HU. V har nemlg, at x p 1 (p(u)) u U : xu 1 H x HU Da HU = h H hu er en åben delmængde af, følger nu pr. dentonen af kvotenttopologen, at p(u) er en åben delmængde af H\. Lemma 4.3. H\, udstyret med kvotenttopologen, er et kompakt Hausdor topologsk rum. Bevs. Da er kompakt og p er kontnuert, er H\ = p() kompakt. Nu bemærkes, det er en topologsk gruppe, at afbldnngen r : gvet ved r(g, k) = gk 1 for g, k er kontnuert. Altså er R = r 1 (H) = {(g, k) gk 1 H} en afsluttet delmængde af. Antag nu, at Hg Hk. Da er gk 1 H = {g g / H}, hvormed (g, k) ( ) R. Dermed ndes åbne delmængder U og V af sådan at (g, k) U V ( ) R, hvormed p(u) er en omegn af Hg, p(v ) er en omegn af Hk og p(u) p(v ) =. Altså er H\ et Hausdor topologsk rum. V vl dette afsnt bevse følgende to sætnnger, jf. (3.2). Sætnng 4.4. Der ndes et entydgt bestemt -nvarant mål ν M(H\). Sætnng 4.5. Ethvert -nvarant mål ν M(H\) opfylder, at f C() : f(x) dµ (x) = f(yx) dµ H (y) dν(hx) (1) Ovenstående sammenhæng mellem ntegraton mht. de tre mål µ, µ H og ν kaldes Wels formel. H\ Før v kan bevse (4.4) og (4.5), må v bevse en række lemmaer. H 15

16 Lemma 4.6. Ved fastsættelsen ϕ(f)(hg) = H f(hg) dµ H (h), deneres en surjektv lneær operator ϕ : C() C(H\). f C(), g Det følger specelt af dette lemma, at højresden Wels formel er veldeneret. Bevs. Fasthold f C(). Hvs Hg 1 = Hg 2, så må g 2 g1 1 H, hvormed (3.21) gver, at ϕ(f)(hg 1 ) = f(hg 1 ) dµ H (h) = f(h(g 2 g1 1 )g 1) dµ H (h) = ϕ(f)(hg 2 ) H H så ϕ(f) er en veldeneret afbldnng ϕ(f) : H\ C. V vser nu, at den er kontnuert. Lad Hx 0 H\ og ɛ > 0 være gvet. Da f C(), er f højre unformt kontnuert, jf. (2.7), hvormed der ndes en omegn U af 1 sådan at y U R(y)f f < ɛ. Nu er p(x 0 U) en omegn af Hx 0 og for Hx p(x 0 U) gver (3.21), det x = h 0 x 0 u for et u U og et h 0 H, at ϕ(f)(hx 0 ) ϕ(f)(hx) = ϕ(f)(h(h 0 x 0 )) ϕ(f)(hx) f(hh 0 x 0 ) f(hh 0 x 0 u) dµ H (h) H = f(hx 0 ) R(u)f(hx 0 ) dµ H (h) H f R(u)f dµ H (h) < ɛ hvormed ϕ(f) er kontnuert Hx 0. H Det er klart, at ϕ er lneær. V vser nu, at den er surjektv. Lad F C(H\) være gvet. Da er f = F p : C kontnuert og v påstår, at F = ϕ(f). V har nemlg, for g, at ϕ(f)(hg) = F (H(hg)) dµ H (h) = F (Hg) dµ H (h) = F (Hg) Lemma 4.7. Ved fastsættelsen H ψ g (Hx) = H(xg) = Hx g, deneres homeomorer ψ g : H\ H\. H g, x Bevs. Fasthold g. Det er klart, at ψ g er veldeneret og at den er bjektv med den nverse afbldnng ψ g 1, så det er nok at vse, at ψ g er kontnuert. Lad U være en åben delmængde af H\, dvs. at p 1 (U) er åben. V påstår, at ψ 1 g (U) = p(p 1 (U)g 1 ) For hvs Hx ψ 1 g (U), dvs. at H(xg) U, så vl H(xg) = Hu, hvor Hu U, hvormed Hx = H(ug 1 ). Men så er Hx = p(ug 1 ), hvor u p 1 (U), hvlket vl sge, at Hx p(p 1 (U)g 1 ). Den omvendte nkluson vses ved at vende mplkatonerne. Nu følger, da p er en åben afbldnng, at ψg 1 (U) er åben H\, hvormed ψ g er kontnuert. 16

17 Lemma 4.8. Ved fastsættelsen (r(g)f )(Hx) = F (H(xg)) = (F ψ g )(Hx), F C(H\), g, x deneres afbldnnger r(g) : C(H\) C(H\) med r(g) ϕ = ϕ R(g) C() for alle g. Bevs. Den første del er klar. For g, x og f C() får v, at r(g)(ϕ(f))(hx) = f(yxg) dµ H (y) = (R(g)f)(yx) dµ H (y) = ϕ(r(g)f)(hx) H V er nu stand tl at bevse dette afsnts to hovedsætnnger. Bevs for (4.5). Dener en postv lneær funktonal Φ på C() ved Φ(f) = ϕ(f) dν, f C() Ifølge (3.4) ndes µ M() sådan at λ µ (f) = H\ H f dµ = Φ(f) = H\ ϕ(f) dν for alle f C(). Da ψ g (ν) = ν for alle g, det ν er -nvarant, følger af (3.17), at λ µ g(f) = R(g)f dµ = ϕ(r(g)f) dν = r(g)(ϕ(f)) dν = H\ H\ ϕ(f) ψ g dν = H\ H\ ϕ(f) dψ g (ν) = λ µ (f) for alle f C() og alle g, jf. (3.18), hvormed µ er et højre Haar-mål følge (3.4). Altså er µ = µ følge (3.20) og dermed er (4.5) bevst. Bevs for entydgheden (4.4). Antag, at ν 1, ν 2 M(H\) begge er -nvarante mål og lad F C(H\) være gvet. Da ndes f C() sådan at F = ϕ(f), hvormed (4.5) gver, at λ ν1 (F ) = F dν 1 = f dµ = F dν 2 = λ ν2 (F ), hvormed ν 1 = ν 2 følge (3.4). H\ H\ Lemma 4.9. Ved fastsættelsen Ψ(ϕ(f)) = f(g) dµ (g), f C() deneres en postv lneær funktonal på C(H\). 17

18 Bevs. Det er klart, at Ψ er lneær såfremt den er veldeneret. Antag, at ϕ(f) = 0. Da fås, at f(x) dµ (x) = f(x) dµ H (y) dµ (x) = f(x) dµ (x) dµ H (y) H H = f(yx) dµ (x) dµ H (y) = f(yx) dµ H (y) dµ (x) H H = ϕ(f)(hx) dµ (x) = 0 hvor v anvender Tonell-Fubns sætnng. Hvs altså ϕ(f 1 ) = ϕ(f 2 ), så følger ved lneartet, at Ψ(ϕ(f 1 )) = f 1 (x) dµ (x) = f 2 (x) dµ (x) = Ψ(ϕ(f 2 )) Da ϕ desuden er surjektv, ses nu, at Ψ er en veldeneret lneær funktonal på C(H\). Antag endelg, at F C(H\) er kke-negatv. Som v så bevset for surjektvteten af ϕ ved v, at F = ϕ(f p), hvormed Ψ(F ) = Ψ(ϕ(F p)) = F (Hg) dµ (g) 0 hvlket vser, at Ψ er postv. Bevs for eksstensen (4.4). Ifølge (3.4) ndes et mål ν M(H\) sådan at Ψ = λ ν, dvs. sådan at v for alle f C() har, at f dµ = Ψ(ϕ(f)) = λ ν (ϕ(f)) = ϕ(f) dν = f(yx) dµ H (y) dν(hx) H\ V vser, at ν er -nvarant. Lad hertl g være gvet. Ifølge (3.17) og (3.21) har v, at ψ g (ν) M(H\), og at v for F = ϕ(f) C(H\) har, at λ ψg(ν)(f ) = F dψ g (ν) = F ψ g dν = r(g)ϕ(f) dν = H\ H\ H\ ϕ(r(g)f) dν = H\ H H\ R(g)f dµ = hvormed ψ g (ν) = ν følge (3.4). Dermed er ν et -nvarant mål. Bevset for (4.4) er nu bragt tl ende. f dµ = λ ν (F ) Bemærk endelg, at v parallelt med (3.21) har følgende resultat, jf. (3.17). Korollar Fasthold g. Hvs f : H\ C er ν-ntegrabel, med ν som (4.4), så er f ψ g også ν-ntegrabel og f dν = f ψ g dν = H\ H\ H\ f(h(xg)) dν(hx) = H\ f(hx g) dν(hx) 18

19 5 Integralteor for Hlbertrum Bemærknng 5.1. I det følgende vl Hlbertrum altd betyde komplekst Hlbertrum, og v vl altd antage, at det ndre produkt er lneært første koordnat. I dette afsnt betegner et fast målrum. V vl dette afsnt ndføre teor, som v særdeleshed får brug for afsnt 8 og 11. Denton 5.2. Lad f være en afbldnng fra nd et Hlbertrum H med ndre produkt,. V sger, at f er ntegrabel, og skrver f I(, H), hvs (1) x f(x), v er målelg for hvert v H, (2) x f(x) er ntegrabel. Bemærknng 5.3. Hvs H er separabelt, så har v at (1) medfører, at x f(x) er målelg, th hvs (1) er opfyldt og {e n } n=1 er en ortonormalbass H, så følger af Monotonsætnngen, at er målelg. x f(x) 2 = f(x), e n 2 n=1 Hvs f I(, H), kan v denere en kontnuert ant-lneær funktonal ϕ på H ved ϕ(v) = f(x), v dx, v H det det følger af Cauchy-Schwarz' ulghed, at ( ϕ(v) = f(x), v dx f(x), v ) f(x) dx v for alle v H, hvormed ϕ f(x) dx <. Dermed ndes et entydgt bestemt element I(f) H sådan at ϕ(v) = I(f), v for alle v H. Det er velkendt, at dette element også opfylder, at I(f) = ϕ, hvormed I(f) f(x) dx. Denton 5.4. Lad f være en ntegrabel afbldnng fra nd et Hlbertrum H. Da de- neres ntegralet af f, f(x) dx, som det entydgt bestemte element H, som opfylder, at f(x) dx, v = f(x), v dx for alle v H. Sætnng 5.5. Lad f I(, H) og c C være gvet, hvor H er et Hlbertrum. Da gælder, at () cf(x) dx = c f(x) dx, () f(x) dx f(x) dx. Hvs det yderlgere antages, at g I(, H) og at x f(x) + g(x) er målelg, så gælder, at () f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx 19

20 Bevs. Bemærk først, at cf I(, H) og at f +g I(, H), hvs x f(x)+g(x) er målelg. Dermed er begge sder af () og () veldenerede. vet v H fås nu, at cf(x) dx, v = cf(x), v dx = c f(x), v dx = c f(x) dx, v = c f(x) dx, v hvlket bevser (). Tlsvarende fås, for v H, at f(x) + g(x) dx, v = f(x) + g(x), v dx = f(x), v dx + g(x), v dx = f(x) dx, v + g(x) dx, v = f(x) dx + g(x) dx, v hvormed () er bevst. V bevste () herover, lge før (5.4). Sætnng 5.6. Lad f I(, H) være gvet, hvor H er et Hlbertrum. Hvs U er et afsluttet underrum H sådan at f() U, da er f(x) dx U. Bevs. Hvs v U, så vl f(x) dx, v = f(x), v dx = 0, hvormed f(x) dx (U ) = U. Sætnng 5.7. Lad H og H være Hlbertrum og lad f I(, H) og T L(H, H ) være gvet. Antag yderlgere, at x (T f)(x) er målelg. Da gælder, at T f I(, H ) og ( ) T f(x) dx = (T f)(x) dx Bevs. Antagelserne gver, at f og T f er ntegrable. For v H fås nu, at (T f)(x) dx, v = (T f)(x), v dx = f(x), T v dx ( ) = f(x) dx, T v = T f(x) dx, v hvormed det ønskede er vst. Bemærknng 5.8. V erndrer om at ethvert endelg-dmensonalt vektorrum gøres tl et Hlbertrum ved valg af et ndre produkt. Når v det følgende påstår at et vektorrum er et Hlbertrum, er det underforstået at det er endelg-dmensonalt og at v har valgt et ndre produkt. Korollar 5.9. Lad H og H være endelg-dmensonale Hlbertrum. Betragt Hlbertrummet K = L(H, H ) og lad A : K være ntegrabel. For v H gælder, at x A(x)v er ntegrabel og ( ) A(x) dx (v) = A(x)v dx Bevs. Resultatet følger drekte af (5.3) og (5.7) med T L(K, H ) gvet ved T (A) = A(v). 20

21 Korollar Lad H og H være endelg-dmensonale Hlbertrum. Betragt Hlbertrummet K = L(H, H ) og lad A : K være ntegrabel. Antag yderlgere, at B L(H) og C L(H ). Da gælder, at x CA(x)B er ntegrabel og ( ) C A(x) dx B = CA(x)B dx Bevs. Resultatet følger drekte af (5.3) og (5.7) med T L(K) gvet ved T (A) = CAB. Denton For A L(H), hvor H er et Hlbertrum af dmenson n med ortonormalbass E = {e 1,..., e n }, deneres sporet af A ved Tr A = n =1 Ae, e. Dette udtryk afhænger kke af hvlken ortonormalbass v vælger, th hvs {u } er en anden, så vl e = n j=1 e, u j u j, hvormed n Ae, e = =1 = n n =1 j=1 k=1 n j=1 k=1 n e, u j e, u k Au j, u k n Au j, u k n e, u j e, u k = =1 n j=1 k=1 n Au j, u k u k, u j = n Au j, u j Bemærknng Det er klart, at Tr er en lneær funktonal på L(H) og det er kke svært at se, at hvs A repræsenteres af matrcen M A mht. basen E, så er Tr A = Tr M A, hvor Tr M A er summen af ndgangene dagonalen hos M A. Specelt ndses det, at v som for matrcer har, at Tr (AB) = Tr (BA) for A, B L(H), og hvs λ 1,..., λ n er samtlge egenværder for A L(H) (talt med multplctet), så er Tr A = n =1 λ. Korollar Lad H være et endelg-dmensonalt Hlbertrum. Betragt Hlbertrummet L(H) og lad A : L(H) være ntegrabel. Da gælder, at Tr A er ntegrabel og Tr A(x) dx = Tr A(x) dx Bevs. Resultatet følger drekte af (5.3) og (5.7) med T = Tr L(H). j=1 6 Untære repræsentatoner Bemærknng 6.1. V vl det følgende for en kompakt gruppe antage, at der er gvet et venstre Haar-mål µ på med µ() = 1, hvs eksstens garanteres af (3.19). V vl ofte skrve f(x) dx stedet for f dµ. Bemærknng 6.2. I afsnt 6-9 betegner en fast kompakt gruppe. Bemærk, at ndholdet af afsnt 7, som måske vrker ldt umotveret, udgør en vgtg komponent bevset for Peter-Weyls sætnng. Denton 6.3. En untær repræsentaton af på et kke-trvelt Hlbertrum H er en gruppehomomor Φ : U(H), hvor U(H) = Iso (H) betegner gruppen af untære operatorer på H, som opfylder at afbldnngen H H gvet ved (g, v) Φ(g)v er kontnuert. 21

22 V kalder dmensonen af H for dmensonen af Φ og betegner den med d Φ. V sger, at et underrum U H er Φ-nvarant, hvs Φ(g)U U for alle g. V kalder Φ rreducbel, hvs de eneste afsluttede Φ-nvarante underrum H er {0} og H. Hvs U er et kke-trvelt afsluttet Φ-nvarant underrum H, og dermed et Hlbertrum med hensyn tl det nedarvede ndre produkt, fås øjensynlgt en untær repræsentaton Φ U af på U, kaldet den delrepræsentatonen af Φ, der opnås ved restrkton tl U, ved for hvert g at sætte Φ U (g) = Φ(g) U. V sger, at underrummet U er rreducbelt, hvs Φ U er rreducbel. Følgende sætnng retfærdggør ( det endelg-dmensonale tlfælde), at v kun betragter untære repræsentatoner. Sætnng 6.4. Lad H være et endelg-dmensonalt Hlbertrum og lad Φ : L(H) være en gruppehomomor, som opfylder at afbldnngen H H gvet ved (g, v) Φ(g)v er kontnuert (en såkaldt repræsentaton af på H). Da ndes et ndre produkt på H, som gør Φ tl en untær repræsentaton af på H. Bevs. Lad, betegne det ndre produkt på H. Da afbldnngen C gvet ved g Φ(g)u, Φ(g)v er kontnuert for alle u, v H, kan v for u, v H denere et komplekst tal ved u, v = Φ(g)u, Φ(g)v dg Det er let at se, at, er et ndre produkt på H. Det følger desuden af (3.21), at Φ(h)u, Φ(h)v = Φ(gh)u, Φ(gh)v dg = Φ(g)u, Φ(g)v dg = u, v for h. Da kontnutetsegenskaben bevares ved overgang tl topologen på H nduceret af,, som faktsk er den samme som topologen nduceret af,, har, de ønskede egenskaber. Denton 6.5. Lad Φ og Π være untære repræsentatoner af på H hhv. K. Da kaldes en kontnuert lneær operator L : H K en sammenslyngende afbldnng, hvs Φ(g)L = LΠ(g) for alle g. V sger, at Φ og Π er ækvvalente, hvs der ndes en nvertbel sammenslyngende afbldnng L fra H nd K, og ellers, at de er nækvvalente. Bemærknng 6.6. Bemærk, at kontnutetsegenskaben der ndgår (6.3) er ækvvalent med stærk kontnutet, dvs. med at afbldnngen H gvet ved g Φ(g)v er kontnuert for alle v H. Det er klart, at den kontnutet der kræves (6.3) medfører den stærke kontnutet. For at vse den omvendte mplkaton, ndses vha. trekantsulgheden og det faktum at Φ(g) = 1 for alle g, at v gvet (g 0, v 0 ) H har, at Φ(g)v Φ(g 0 )v 0 v v 0 + Φ(g)v 0 Φ(g 0 )v 0 Lad nu ɛ > 0 være gvet. Den stærke kontnutet medfører, at der ndes en omegn N af g 0 sådan at Φ(g)v 0 Φ(g 0 )v 0 < ɛ/2 for g N. For v med v v 0 < ɛ/2 og g N gælder altså, at Φ(g)v Φ(g 0 )v 0 < ɛ, hvormed det ønskede er vst. 22

23 Lemma 6.7. Lad Φ være en untær repræsentaton af på H. underrum H, da er U det også. Hvs U er et Φ-nvarant Bevs. Lad u U, v U være gvet. Da fås, for g, at Φ(g)v, u = v, Φ(g 1 )u = 0, det Φ(g 1 )u U. Dermed er Φ(g)U U for alle g. Sætnng 6.8. Lad Π være en endelg-dmensonal untær repræsentaton af på H. Så er H den ortogonale sum [jf. (15.9)] af rreducble Π-nvarante underrum, dvs. at der ndes ndbyrdes ortogonale rreducble Π-nvarante underrum U 1,..., U n af H sådan at H = =1,...,n Bevs. Hvs Π er rreducbel, er v færdge. Hvs kke, ndes et Π-nvarant underrum U H af strengt lavere postv dmenson, og H er den ortogonale sum af U og U. Hvs begge dsse er rreducble er v færdge, jf. (6.7). Hvs kke, kan det ene (eller begge) skrves som den ortogonale sum af ndbyrdes ortogonale Π-nvarante underrum af stregt lavere dmenson. Da H er endelgdmensonalt, kan v fortsætte på denne måde, ndtl v får H skrevet som den ortogonale sum af ndbyrdes ortogonale rreducble Π-nvarante underrum. Peter-Weyls sætnng gver bl.a. en tlsvarende dekomposton af uendelg-dmensonale untære repræsentatoner, jf. (11.2)(d). V vl nu ndføre de regulære repræsentatoner af på L 2 (). Bemærk den notatonsmæssge overensstemmelse med (2.5). Sætnng 6.9. Ved fastsættelsen (L(g)f)(x) = f(g 1 x) for f L 2 () og g, x deneres en untær repræsentaton L : U(L 2 ()) af på L 2 (). Den kaldes den venstre-regulære repræsentaton af. Bevs. Afbldnngen L denerer en homomor, da v for g, h har, at (L(gh)f)(x) = f((gh) 1 x) = f(h 1 g 1 x) = (L(h)f)(g 1 x) = (L(g)L(h)f)(x) for alle f L 2 () og alle x, og blledet er ndeholdt U(L 2 ()), det (3.21) gver, at L(g)f 1, f 2 = f 1 (g 1 x)f 2 (x) dx = f 1 (x)f 2 (gx) dx = f 1, L(g 1 )f 2 = f 1, L(g) 1 f 2 for alle f 1, f 2 L 2 () og alle g. V bevser nu den stærke kontnutet et par trn. Bemærk, at (6.10) herunder, som udgør det første trn, kan generalseres en hel del, jf. Prop [4]. Sætnng Der gælder, at C() er overalt tæt L 2 () med hensyn tl L 2 -normen. Bevs. Det er velkendt, at rummet af smple målelge funktoner er overalt tæt L 2 (), så v vser blot, at v gvet en smpel målelg funkton s og ɛ > 0 kan nde en kontnuert funkton f med f s 2 < ɛ. Det er faktsk tlstrækkelgt at vse, at v gvet ɛ > 0 og en Borel-mængde B, kan nde en kontnuert funkton f med 1 B f 2 < ɛ, th hvs v har vst dette, og s = n =1 c 1 B 23 U

24 er en smpel målelg funkton med c 0 for = 1,..., n, kan v, gvet ɛ > 0 og = 1,..., n, nde f C() sådan at 1 B f 2 < ɛ/(n c ), hvormed f = n =1 c f C() og f s 2 n c 1 B f 2 < =1 n c ɛ/(n c ) = ɛ =1 Lad altså en Borel-mængde B og ɛ > 0 være gvet. Nu er også B en Borel-mængde, så den ydre regulartet for målet µ medfører, at v kan nde en åben mængde U 0 med B U 0 og µ(u 0 ) µ( B) < ɛ 2 /2, og en åben mængde U med B U og µ(u) µ(b) < ɛ 2 /2, jf. (2.8). Sæt F = U 0. Da er F afsluttet, og det ses, at F B U og µ(b) µ(f ) = µ(u 0 ) µ( B), hvormed µ(u) µ(f ) < ɛ 2. Da F og U er afsluttede og dsjunkte, ndes der følge Urysohns lemma (jf. Theorem [4] eller Theorem 33.1 [12]), det ethvert kompakt Hausdor topologsk rum er normalt, en kontnuert funkton f : [0, 1] som er 1 på F og 0 udenfor U. Nu gælder, at 1 B f 2 2 = 1 B f 2 dµ = 1 B f 2 dµ 1 dµ = µ(u) µ(f ) < ɛ 2 hvormed 1 B f 2 < ɛ, som ønsket. U F Korollar Fasthold h L 2 (). Da er afbldnngerne L 2 () gvet ved y L(y)h hhv. y R(y)h kontnuerte. Bevs. V vser påstanden for L. Lad ɛ > 0 være gvet. Fra (6.10) har v en kontnuert funkton f på sådan at h f 2 < ɛ/3. Da f er en kontnuert afbldnng på den kompakte gruppe, er f venstre unformt kontnuert følge (2.7). Altså kan v nde en omegn U af 1 sådan at L(y)f f < ɛ/3 når y U. For y U får v altså, at U F L(y)h h 2 L(y)h L(y)f 2 + L(y)f f 2 + f h 2 = 2 h f 2 + L(y)f f 2 < 2ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ hvor v benytter, at 2, jf. (3.22). V kan nu let vse kontnuteten et punkt y 0. Lad ɛ > 0 være gvet. Som v netop har vst, ndes nu en omegn U af 1 sådan at L(y)h h 2 < ɛ for y U. Sæt V = y 0 U, som er en omegn af y 0. Lad nu y V være gvet. Da er y = y 0 u med et u U, og v får, da L er en gruppehomomor, at L(y 0 )h L(y)h 2 = L(y 0 )h L(y 0 )(L(u)h) 2 = h L(u)h 2 < ɛ hvlket vser kontnuteten y 0. Kontnuteten af den anden afbldnng vses tlsvarende. I stedet for den venstre unforme kontnutet anvendes blot den højre unforme kontnutet. Dette færdggør følge (6.6) bevset for (6.9). Følgende sætnng er et korollar tl (6.11) herover, jf. (6.6). 24

25 Sætnng Ved fastsættelsen (R(g)f)(x) = f(xg) for f L 2 () og g, x deneres en untær repræsentaton R : U(L 2 ()) af på L 2 (). Den kaldes den højre-regulære repræsentaton af. V får det følgende brug for nedenstående sætnng, som v kke bevser her. Det er et resultat fra elementær repræsentatonsteor, jf. Theorem 4.26 [7] eller Prop. 4.8 og Cor. 4.9 [11]. Sætnng 6.13 (Schurs lemma). (1) Lad Φ og Π være endelg-dmensonale rreducble untære repræsentatoner af på H hhv. K og lad L : H K være en sammenslyngende afbldnng. Da er enten L = 0 eller L er bjektv. (2) Lad Φ være en endelg-dmensonal rreducbel untær repræsentaton af på H og lad L : H H være en sammenslyngende afbldnng. Da er L = λi for et λ C, hvor I betegner dentteten på H. 7 Foldnng af L 2 -funktoner Denton 7.1. For f, g L 2 () deneres foldnngen f g af f og g ved (f g)(x) = f, g x = f(y)g(y 1 x) dy, x hvor g x : C er gvet ved g x (y) = g(y 1 x) og følge (3.21) opfylder, at g 2 = g x 2. Sætnng 7.2. For f, g L 2 () gælder, at f g er kontnuert. Bevs. Antag først, at g er kontnuert. Lad x 0 og ɛ > 0 være gvet. Da g er kontnuert, er R(x 0 )g det også. Da er en kompakt gruppe, er R(x 0 )g højre unformt kontnuert. Altså ndes en omegn U af 1 sådan at R(x)R(x 0 )g R(x 0 )g < ɛ/ f 1 når x U, jf. (3.22). Når x Ux 0 fås altså, det x = ux 0 med et u U, at (f g)(x 0 ) (f g)(x) f(y) R(x 0 )g(y 1 ) R(ux 0 )g(y 1 ) dy hvlket vser, at f g er kontnuert x 0. f(y) R(x 0 )g R(u)R(x 0 )g dy < I det generelle tlfælde fås, vha. Cauchy-Schwarz' ulghed, at for alle x, hvormed f g f 2 g 2. (f g)(x) = f, g x f 2 g 2 ɛ f 1 f 1 = ɛ Vælg, jf. (6.10), en følge {g n } af kontnuerte funktoner sådan at g n g L 2 -norm. Nu fås, at f g f g n = f (g g n ) f 2 g g n 2 0 for n. Da hver f g n er kontnuert, vser denne unforme konvergens, at f g C(). 25