matx.dk Vejledning i Maple

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matx.dk Vejledning i Maple"

Transkript

1 matx.dk Vejledning i Maple Dennis Pipenbring February 1, 2012

2 Contents 1 Indledning 4 2 Layout Sidehoved Antallet af decimaler Grundlæggende funktioner i Maple De seks regningsarter Reducering af udtryk og løsning af ligninger Funktioner Grafer Differentiation Integration Trigonometri solvetrekant Statistik og deskriptiv statistik Trappediagram, kvartilsæt og boksplot Sumkurve, kvartilsæt og boksplot χ 2 -test Sammenligningstest Uafhængighedstest Funktioner Forskrift eller model ud fra to punkter Forskrift eller model ud fra tabeldata Differentialregning Funktionsundersøgelse Bestemmelse af f (x) Ekstremumssted(maksimum og minimum) Ekstremumsværdi(maksimums- og minimumsværdi) Monotoniforhold

3 7.1.5 Bestemmelse af en funktions nulpunkter Antallet af løsninger til ligningen f(x) = c Tangent bestemmelse Integralregning Bestemmelse af areal mellem x-akse og graf Bestemmelse af stamfunktion Bestemmelse af areal mellem to grafer Vektorer Differentialligninger Indlæsning af data fra forsøg Problemer Aktiveringskoden accepteres ikke Kernel connection

4 1 Indledning Dette er en beskrivelse af hvad Maple 14 kan bruges til i forbindelse med matematik i gymnasiet. Der vil komme en beskrivelse af den syntax der anvendes i Maple samt en vejledning i forskellige standard opgaver. I Maple arbejdes der med arbejdsark, det er i arbejdsarket, at funktioner, grafer og løsning til opgaver gemmes. I Maple skelnes mellem Text og Math. Text er tekstbehandling og Math er CAS-værktøj til udregner og tegning af grafer. Math opdeles yderligere i input og output. Et eksempel kunne være følgende: Efter at er skrevet trykkes på enter, herefter evaluerer Maple udtrykket. 4

5 2 Layout 2.1 Sidehoved I forbindes med afleveringer, terminsprøver og eksamener, skal der skrives navn, klasse/hold, navn på opgave/fag og sidetal på alle sider. Dette gøres nemmest ved at bruge sidehoved-funktion. Klik på menuen View og vælg Header Footer... Vælg Custom i rullemenuen for Header, ellers vises din custom header ikke. Klik på fanen Custom Header og udfyld felter. I venstre celle skrives navn, evt. id-nummer. I midterste celle skrives opgavens titel og dato, klik evt. på Insert Date. I højre celle skrives &[Page] af &[Pages], evt. klikkes på Insert Page og Insert Number of Pages. Når alt er udfyldt klikkes på OK. 5

6 2.2 Antallet af decimaler For at undgå for mange decimaler, kan dette begrænses med følgende komando. Her sættes antallet af decimaler til 3. interf ace(displayprecision = 3) 3 6

7 3 Grundlæggende funktioner i Maple 3.1 De seks regningsarter Maple kan addere ved at skrive Maple kan subtrahere ved at skrive Maple kan multiplicere ved at skrive *. 3 2 Maple kan dividere ved at skrive / (shift+7). 3 2 Maple kan opløfte ved at skrive ˆ eller knappen a b Maple kan tage roden ved at skrive sqrt() eller knappen a. sqrt(3) Reducering af udtryk og løsning af ligninger Maple kan reducere udtryk med kommandoen simplify 7

8 simplif y 2n + 2n m n 2 + 2m Maple kan løse ligninger med kommandoen solve. Hvis der kun er én ubekendt behøver den ubekendte ikke specificeres for Maple. solve(3x 2 6x + 3 = 0) 1, 1 Maple kan løse ligningssystemer. solve([3x 2 3y + 3 = 0,y = 2x],{x,y}) {x = 1, y = 2}, {x = 1, y = 2} Maple kan angive de approksimerede løsninger. fsolve(x 2 4x + 2 = 0) , Maple angiver de komplekse løsninger. Dette kan undgås, hvis kommandoen fsolve benyttes. solve(x 3 + x 2 7x 15 = 0) 3, 2 I, 2 + I fsolve(x 3 + x 2 7x 15 = 0) 3. For at løse ligninger med trigonomiske funktioner anvendes kommandoerne: AllSolutions og Explicit. solve([sin(x) = 0, x 0, x 4π], x, AllSolutions, Explicit) x = 4π, x = 3π, x = 2π, x = π, x = 0 8

9 3.3 Funktioner I Maple defineres funktion ved deres regneudtryk. f(x) :=. Herefter kan funktionen benyttes til udregning. Maple vil spørge om der er tale om en funktion definition eller en remember table assignment, vælg funktion definition og klik OK. f(x) := 2x + 3 f(7) solve(f(x) = 9) x 2x

10 3.4 Grafer Maple har mange muligheder for at tegne grafer, her er nogle af det mest simple kommandoer. Søg i hjælp under plot. Prøv f.eks. følgende. plot([2x + 1, x + 12], x = 1..9, color = [red, green], title = Simpel graf ) 3.5 Differentiation Maple kan differentiere med flere forskellige kommandoer, den lettest er mærke. (2x 2 2x + 4) 4x 2 Maple kan også differentiere funktioner. 10

11 f(x) := 2x 2 2x + 4 x 2x 2 2x + 4 f (x) f (x) 4x 2 4 Udregne funktionsværdier for de aflede funktioner. f (3) Integration Maple kan integrerer udtryk og funktioner. Ved at bruge menuen Expressions, kan integralet benyttes ved at klikke på det. Bemærk at løsningen på det ubestemte integrale ikke indeholder en konstant som det burde. Først defineres funktionen for Maple. f(x) := 2x 3 + 2x + 1 x 2x 3 + 2x + 1 f(x) dx 1 2 x4 + x 2 + x 8 2 f(x) dx

12 4 Trigonometri Eksempel 4.1 I trekant ABC er A = 30, C = 80 og længden af b er 25. a) Bestem afstanden fra A til B. b) Bestem arealet af trekant ABC. c) Bestem højden på siden b. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,..., solvet rekant, tangent] Herefter indtastes de oplysninger der kendes om trekanten. Denne trekant er af typen ASA idet to vinkler og deres mellemliggende side kendes. Disse oplysninger indtastes i solvetrekant. solvet rekant(30,25,80,asa) Da de to vinkler kendes kan den sidste vinkel beregnes i det vinkelsummen i en trekant er 180 grader C = 180 A B C = 70 De 2 ukendte sider kan beregnes med sinusrelationerne sin(c) c = sin(a) a sin(c) = sin(b) c b Hvor c = 25, C = 70, A = 30 og B = 80. Så er: a = b =

13 forsat... Arealet af trekanten kan beregnes med formlen: 1 ba sin(c) = Heraf ses at afstanden fra A til B (c) er 26,2. b) Arealet af trekanten er 163,75 c) Højden på siden b bestemmes med formlen Arealet = 1 2 højden grundlinien, hvor grundlinien er siden b og højden er den der ønskes bestemt. solve = 1 2 h 25 Højden på siden b er 13,

14 Eksempel 4.2 I trekant ABC kendes side a = 21, b = 32 og C = 42. a) Bestem længden af siden c. b) Bestem B. c) Bestem længden af medianen på siden a. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] Herefter afgøres det hvilken type trekant der er tale om. I dette tilfælde er der tale om en SAS-trekant, da der kendes to sider og en mellemliggende vinkel. Disse oplysninger indtastes i solvetrekant. solvet rekant(21,42,32,sas) Da der kendes to sider og en mellemliggende vinkel kan den ukendte side beregnes med cosinusrelationerne. c = a 2 + b 2 2abcos(C) Hvor a = 21, b = 32 og C = 42. Så er: c = Nu kendes alle siderne og derfor kan de sidste to vinkler beregnes med cosinusrelationerne. cos(a) = b2 + c 2 a 2 2cb cos(b) = a2 + c 2 b 2 2ac Hvor a = 21, b = 32 og c = Så er: A = B =

15 forsat... Arealet af trekanten kan beregnes med formlen: 1 ba sin(c) = Heraf ses at siden c er b) Af ovenstående se at vinkel B er 97,4. c) Medianen på siden a, deler denne side i to lige store dele. I trekanten hvor medianen er der ene side, indgår vinkel B = 97 og længden af siden c = 21,592. Disse oplysninger indtastes i solvetrekant, med oplysning om at der er tale om en SAS-trekant. 15

16 solvet rekant(21.592,97.399,10.5,sas).. bla... Arealet af trekanten kan beregnes med formlen: 1 ba sin(c) = Da medianen ligger overfor vinklen på 97,399 er den 25,

17 4.1 solvetrekant solvetrekant kan løse alle 5 typer af trekanter. Der er en beskrivelse herunder. Læg særligt mærke til i hvilken rækkefølge sider og vinkler skal skrives i de enkelte tilfælde. Type Syntax Tegning SSS solvetrekant(s1,s2,s3,sss) s 2 s 1 SAA solvetrekant(s1,a1,a2,saa) s 3 s 1 a 1 a 2 ASA solvetrekant(a1,s3,a2,asa) a 1 a 2 s 3 SAS solvetrekant(s1,a3,s2,sas) s 2 a 3 s 1 SSA solvetrekant(s1,s2,a1,ssa) s 2 a 1 s 1 17

18 5 Statistik og deskriptiv statistik 5.1 Trappediagram, kvartilsæt og boksplot Eksempel 5.1 I tabellen nedenfor ses karakterfordelingen for to hold elever, Hold 1 og Hold 2, ved samme matematikprøve. Karakter Hold A Hold B a) Bestem kvartilsæt og middelværdi for de to karakterfordelinger. b) Tegn boksplot for de to karakterfordelinger. c) Hvad er forskellen mellem de to hold. 18

19 a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] Da der er tale om en diskret fordeling tegnes et trappediagram for hver karakterfordeling. Først skrives karakterne og derefter antallet af de enkelte karaktere. Derefter skrives værdien for x-aksen og titlen på trappediagrammet. TrappeDiagram([ 3, 0, 2, 4, 7, 10, 12], [5, 7, 5, 12, 13, 5, 3], Karaktere, Karakterfordeling for hold A ) 1. kvartil for data er: kvartil (medianen) for data er: kvartil for data er: 7. Middelværdien for data er:

20 TrappeDiagram([ 3, 0, 2, 4, 7, 10, 12], [4, 6, 8, 10, 26, 6, 0], Karaktere, Karakterfordeling for hold B ) 1. kvartil for data er: kvartil (medianen) for data er: kvartil for data er: 7. Middelværdien for data er: b) I denne opgave skal 2 boksplot sammenlignes, derfor anvendes BoksPlot2. Tallene fra trappediagrammerne og data indtastes i BoksPlot2. 20

21 BoksPlot2([ 3, 2, 4, 7, 12], [ 3, 2, 7, 7, 10], Karaktere ) c) Hold A har et maksimum på 12 mens hold B har et maksimum på kvartil er for begge hold kvartil er for hold A 4 mens det for hold B er 7. Det beetyder at der på hold A er færre elever der for 7 end der er på hold B, men flere elever der får 10 eller

22 5.2 Sumkurve, kvartilsæt og boksplot Eksempel 5.2 Tabellen nedenfor viser fordelingen af kommuner i Region Hovedstaden efter deres skattesats. Skattesats (i %) Procent 22,5-23,0 7 23,0-23,5 7 23,5-24, ,0-24,5 7 24,5-25, ,0-25, ,5-26, ,0-26,5 0 26,5-27,0 0 27,0-27,5 3 a) Tegn en sumkurve, og bestem kvartilsættet for fordelingen af skattesatser. b) Hvor stor en procentdel af kommunerne har en skattesats der er mindst 25,7 %? c) Tegn et boksplot over fordelingen af skattesatser, antag at den mindste skattesats er 22,7% og den største er 27,4%. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] I SumKurve skrives tallene fra tabellen. Først skrives intervalendepunkterne og derefter skrives antallet af kommuner i hvert interval, begyndende med 0 idet ingen kommuner havde en procent på eller under 22,5%. 22

23 SumKurve([22.5, 23, 23.5, 24, 24.5, 25, 25.5, 26, 26.5, 27, 27.5], [0, 7, 7, 13, 7, 23, 17, 23, 0, 0, 3], Skattesats i %, Fordelingen af skattesats i % ) 1. kvartil (nedre kvartil): kvartil (median): kvartil (øvre kvartil): For at aflæse på grafen vælges aflæseren i menuen. b) Ved aflæsning på sumkurven ses, at der er 83,8%, der har en skattesats på maksimalt 25,7%. Dette svare til at der er (100%-83,8%) 16,2% kommuner med en skattesats på mindst 25,7%. c) Da der kun skal tegnes ét boksplot vælges BoksPlot. Kvartilsættet og mindste og største observationsværdi indtastes. BoksPlot([ min., 1. kvartil, median, 3. kvartil, maks. ], værdititel ) 23

24 BoksP lot([22.7, 23.92, 24.85, 25.51, 27.4], Skattesats i % ) 24

25 5.3 χ 2 -test Sammenligningstest Ved en sammenligningstest undersøges om en fordeling passer med forventningen. Eksempel 5.3 Den forventede fordeling af længden af telefonsamtaler er angivet i nedenstående tabel. Antal minutter over 20 I alt Andel af telefonsamtaler 20% 35% 25% 15% 5% 100% En stikprøve afslørede at ud af 250 opkald, fordelte længde af telefonsamtalerne sig som vist i nedenstående tabel. Antal minutter over 20 I alt Andel af telefonsamtaler a) Bestem χ 2 -teststørrelsen og den tilsvarende p-værdi. b) Afgør på et 5%-niveau om den forventede fordeling afviger fra den observerede. a) Først hentes pakken Statistics. with(statistics) [AbsoluteDeviation,...,W insorize, W insorizedm ean] Derefter angivet informationsniveauet for χ 2 -testen. infolevel[statistics] := 1 1 Derefter benyttes ChiSquareGoodnessOfFitTest til at bestemme χ 2 værdien og p-værdien. Først indtastes de observerede værdier og dernæst de forventede værdier, bemærk at da det total antal observerede og det total antal forventede værdi skal være det samme, ganges det forventede antal værdier med 2, Til sidst angives signifikansniveauet (dette er 100 valgfrit). 25

26 ChiSquareGoodnessOf F itt est( 29, 92, 78, 41, 10, 50, 87.5, 62.5, 37.5, 12.5, level = 0.05) Chi-Square Test for Goodness-of-Fit - Null Hypothesis: Observed sample does not differ from expected sample Alt. Hypothesis: Observed sample differs from expected sample Categories: 5 Antal kategorier Distribution: ChiSquare(4) Antal frihedsgrader Computed statistic: χ 2 -værdien Computed pvalue: p-værdien (sandsynligheden for at 0-hypotesen er sand) Critical value: den værdi som χ 2 -værdien skal være mindre end, hvis p-værdien skal være større end signifikansniveauet (0-hypotesen accepteres) Result: [Rejected] There exists statistical evidence against the null hypothesis χ 2 -værdien er 13,7 og p-værdien er 0, b) Da p-værdien er mindre end 0,05, må 0-hypotesen, at der er overensstemmelse mellem de observerede og forventede værdier, forkastes. De observerede værdier afviger altså fra de forventede. 26

27 5.3.2 Uafhængighedstest Eksempel 5.4 Et studiet af en gel til beskyttelse mod hiv, er gennemført blandt 900 kvinder i Sydafrika. Af de 444 kvinder, der modtog placebo, fik 60 hiv mod 38 ud af de 445 kvinder, der anvendte geleen. Politikken.dk, Videnskab, 30. sep 2010 kl Har anvendt geleen Ja Nej Total Har fået Ja HIV/AIDS Nej Total a) Opstil en tabel over de forventede værdier, under antagelse af at hypotesen om, at det er uafhængigt om kvinder anvender geleen eller ej. b) Udregn χ 2 -værdien og p-værdien og afgør om der med signifikansniveau på 5% er en sammenhæng mellem om kvinderne fik HIV eller ej og om de modtog placebo eller om de anvendte geleen. c) Undersøgelsens konklusion var at der var en 39 procent nedsat risiko for smitte ved anvendelse af geleen. Hvor stor er sandsynligheden for at får HIV, med og uden anvendelse af geleen. Kommentér undersøgelsens konklusion. a) Først opstilles følgende skema over den faktiske fordeling af kvinderne. Dette benyttes tabelfunktionen i Maple. (Insert Table) Der vælges 5 rækker og 5 kolonner. 27

28 b) Først hentes pakken Statistics. Det efterfølges af kolon fordi listen af programmer er meget omfattende, og kolon forhindre alt output. Ulempen er naturligvis at det ikke er muligt og se om Maple har hente pakken ind. with(statistics) : Herefter indtastes de observerede værdier ind i ChiSquareIndependenceTest i en 2x2 matrix, som indsættes via menuen til venstre. Skriv antal rækker og kolonner, klik herefter på indsæt. ChiSquareIndependenceT est hypothesis = false, criticalvalue = , distribution = ChiSquare(1), pvalue = , statistic = Maple konkludere at hypotesen er falsk, fordi p-værdien er mindre end 0,05 som er standardværdien, hvis intet andet defineres. Den kritiske værdi er 3,84, hvilket betyder at χ 2 -teststørrelsen (værdien) skal være mindre end denne værdi for at for at 0-hypotesen kan accepteres. Den kritiske værdi afhænger derfor af det valgte signifikansniveau. Den anvendte fordeling er fordelingen med 1 frihedsgrad. p-værdien er 0,018, hvilket betyder at der er 1,8% sandsynlighed for at 0-hypoteses, at geleen ingen betydning har, er rigtig. χ 2 -teststørrelsen er 5,606. På et 5% signifikansniveau må 0-hypotesen forkastes, det betyder at konklusionen er der er en sammenhæng mellem at kvinderne har anvendt geleen og om de har fået HIV/AIDS. c) Sandsynligheden for at få HIV, når man anvende geleen Sandsynligheden for at få HIV, når man ikke anvende geleen. 28

29 Forskellen er altså ca. 5 procentpoint. Den procenvise forskel der i mod Der er altså ca. 36,8% forskel risikoen for at få HIV, hhv. med og uden gel. Det må være dette tal der henvises til i undersøgelsen. 29

30 6 Funktioner 6.1 Forskrift eller model ud fra to punkter Eksempel 6.1 Specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning var i % og i ,9%, det antages at udviklingen følger en model f(t) = b a t hvor f(x) betegner specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning (i procent) efter 1999 og til tidspunktet t (i år efter 1999). a) Bestem en forskrift for f. b) Bestem specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning i c) Bestem den tid, der går, før Kinas andel af verdensøkonomien er fordoblet. d) Bestem hvornår specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning udgør 30%. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] De to punkter (1,4) og (6, 5.9), indtastes disse i forskrift. Det indtastes også hvilken type forskrift der er tale om. eks for eksponential. De andre muligheder er lin for lineær (ax + b) og pow for potens (b x a ). 30

31 forskrift( 1, 4, 6, 5.9, eks) For at bestemme forskriften for den eksponentielle udvikling f(x) = ba x hvis graf går gennem punkterne (1,4) og (6,5.9). Først bestemmes a Derefter bestemmes b y 2 y 1 y 1 a x 1 1 x 2 x 1 = = Forskriften for funktionen bliver så f(x) = x Forskriften for f er f(t) = t. b) Først defineres funktionen for Maple. f(t) := ( t) t ( t) År 2020 er 21 år efter 1999, derfor udregnes f(21). f(21) Det betyder at specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning i 2020 vil være 18,9%. c) Fordoblingskonstanten udregnes som K 2 = log(2) log(a) log(2.) log(1.081)

32 Der går 8,9 år før specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning er fordoblet. d) For at bestemme hvornår specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning udgør 30%, løses ligningen f(t) = 30. solve(f(t) = 30) Det betyder at der går 26,9 år inden specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning udgør 30%, dvs. at det sker i år Forskrift eller model ud fra tabeldata Eksempel 6.2 Tabellen viser sammenhørende værdier for koncentrationen af CO 2 i ppm (gennemsnit for december i Mauna Loa) og tiden. Årstal CO 2 (ppm) 314,67 319,42 322,84 329,50 339,91 354,21 Kilde: Dr. Pieter Tans, NOAA/ESRL I en model antages det, at koncentrationen af CO 2 (ppm) vokser lineær som funktion af tiden, målt i år efter a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for udviklingen af CO 2 som funktion af tiden. b) Bestem CO 2 (ppm) i år 2008 ifølge modellen og sammenlign med den faktiske koncentration af CO 2 (ppm) på 385,54. c) Hvilket år vil der ifølge modellen være en koncentration på 1000 ppm. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] For at lave regression bruges model, først skrives hvilken type modellen er lin for lineær (f(x) = ax + b), eks for eksponentiel (f(x) = b a x ) og pow for potens (f(x) = b x a ). Derefter skives data fra tabellen, bemærk at i denne opgave skal startåret trækkes fra fordi modellen tager 32

33 udgangspunkt i Titel og akselabels kan skrives på grafen ved at højreklikke på grafen og vælge f.eks. title. model lin eks pow, [xx,...,xx], [yy,...,yy] model(lin, [ , , , , , ], [314.67, , , , , ]) f(x) = 1.260x r 2 = Forskrift for udviklingen af CO 2 som funktion af tiden er f(x) = 1.260x , hvor x er antallet af år efter 1958 og f er koncentrationen af CO 2 (ppm) i atmosfæren. b)først defineret funktionen. f(x) := 1.260x x 1.260x

34 Nu kender Maple funktionen og kan udregne funktionsværdier. f( ) Indholdet af CO 2 (ppm) i atmosfæren i 2008 er ifølge modellen 374,609 ppm. Det er lidt lavere end den faktiske værdi på 385,54, hvilket kunne tyde på at der ikke er tale om en lineær model. c)f(x) var koncentrationen af CO 2 (ppm) i atmosfæren, denne værdi skal være Derfor løses ligningen f(x) = solve(f(x) = 1000) x var antallet af år efter 1958, så for at udregne årstallet skal 1958 lægges til dette tal I år 2504 vil der i følge modellen være et CO 2 indhold i atmosfæren på 1000 ppm. 34

35 Eksempel 6.3 Ud fra nedenstående tabel der viser sammenhængen mellem vægten af bambus og antallet af døgn efter spiring. Døgn Vægt i gram I en model antages det, at vægten i gram som funktion af tiden er en funktion af typen V (t) = b a t a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme vægten af en bambus der er 30 døgn. c) Bestem tallet V (20) og beskriv, hvad tallet fortæller om bambusens vækst. d) Hvad er væksthastigheden for bambus. e) Hvor lang tid er bambus om at fordoble sin masse. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] For at undgå for mange decimaler begrænses dette til 3. interf ace(displayprecision = 3) 3 For at lave regression bruges model, først skrives hvilken type modellen er eks for eksponentiel (f(x) = b a x ). Derefter skrives variablen, der i dette tilfælde er t, som er antal døgn siden bambusen spirede. Derefter skrives navnet på funktionen, der i dette tilfælde er V, som er vægten af bambus. Derefter skives titler på xaksen, y-aksen og på selve grafen. 35

36 model(eks, [3, 7, 10, 15, 17],[15, 28, 50, 120, 215]) x = x r 2 = b er 7,981 og a er 1,206. b)først defineret funktionen. V (t) := t t t Nu kender Maple funktionen og kan udregne funktionsværdier. V (30) Vægten af bambusen efter 30 døgn er 2200 gram. c) Da Maple kender funktionen, kan den ønskede udregne skrives direkte. 36

37 V (20) Det betyder at efter 20 døgn øges vægten af bambus med 63,3 gram pr. døgn. d) Væksthastigheden er a Væksthastigheden er 20,6%, hvilket betyder at bambusens vægt øges med 20,6% pr. døgn. e) Fordoblingskonstanten udregnes som K 2 = log(2) log(a) log(2.) log(1.206) Fordoblingskonstanten for vægten af bambus er 3,701, hvilket betyder at vægten af bambus fordobles hver 3,701 døgn. 37

38 7 Differentialregning 7.1 Funktionsundersøgelse Maple kan bruge differentiation sammen med kommandoen solve. F.eks. til at finde ekstremums steder. Eksempel 7.1 En funktionen f er givet ved a) Bestem f (x). f(x) = 1 3 x x2 10x b) Bestem lokalt maksimum og minimum for f. c) Bestem lokalt maksimums- og minimumsværdi for f. d) Bestem monotoniforhold for f. e) Bestem funktionens nulpunkter. f) En vandret linie (y = c) skærer grafen for f 1, 2 eller 3 steder. Bestem de intervallet hvor linien skærer grafen 3 steder Bestemmelse af f (x) a) Først defineres funktionen for Maple. f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Derefter kan funktionen defineres ved at skrive f (x). f (x) x 2 + 3x 10 f (x) = x 2 + 3x

39 7.1.2 Ekstremumssted (maksimum og minimum) b) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter løses ligningen f (x) = 0. solve(f (x) = 0) 2, 5 f har ekstremunssted i 2 og -5. Ved at udregne hvornår f er voksende og aftagende kan det afgøres om 2 og -5 er lokale maksima eller minima. solve(f (x) > 0,{x}) {x < 5}, {2 < x} Af dette kan de konkluderes at f er voksende - da f er positiv - i intervallerne ] ; 5] og [2; [. solve(f (x) < 0,{x}) { 5 < x, x < 2} Af dette kan de konkluderes at f er aftagende - da f er negativ - i intervalet [ 5; 2]. -5 er derfor et lokalt maksimum og 2 er et lokalt minimum. 39

40 7.1.3 Ekstremumsværdi (maksimums- og minimumsværdi) c) Den lokale minimumsværdi kan udregnes ved at beregne f( 5). f( 5.) Den lokale maksimumsværdi kan udregnes ved at beregne f(1). f(2) Monotoniforhold d) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter undersøges hvornår f er positiv og negativ. solve(f (x) > 0,{x}) {x < 5}, {2 < x} Af dette kan de konkluderes at f er voksende - da f er positiv - i intervallerne ] ; 5] og [2; [. solve(f (x) < 0,{x}) { 5 < x, x < 2} Af dette kan de konkluderes at f er aftagende - da f er negativ - i intervalet [ 5; 2]. 40

41 7.1.5 Bestemmelse af en funktions nulpunkter e) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter løses ligningen f(x) = 0. Den kan løses på to måder. med fsolve eller med solve, alt efter om der ønskes en approksimeret eller eksakt løsning. fsolve(f(x) = 0) , 0., solve(f(x) = 0) 0, , Antallet af løsninger til ligningen f(x) = c f) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter tegnes grafen for f sammen med en vandret linie, her med værdien

42 plot([f(x), 30], x = , ) Det ses at når værdien af den vandrette linie ligger mellem den lokale maksimums- og minimumsværdi (opgave c)) vil den skære grafen for f 3 steder. Det betyder at intervallet hvor linien skærer grafen 3 steder er ] 11. 3; [. Bemærk at endepunkterne ikke er inkluderet fordi her skærer linien grafen netop 2 steder. 42

43 7.2 Tangent bestemmelse Eksempel 7.2 En funktion er givet ved f(x) = 4 ln(x) 2x + 8 a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)). a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] Derefter skrives oplysningerne ind i programmet tangent. tangent(4 ln(x) 2 x + 8, 2) Ligningen for tangenten bestemmes med formlen y = f (2)(x-2)+f(2) y = 4 ln(2) + 4 Ligningen for tangenten er derfor y = 4 ln(2) + 4, hvilket i øvrigt er en vandret tangent. Eksempel 7.3 En funktion er givet ved f(x) = 1 3 x3 1 2 x2 2x + 3 a) Bestem ligningerne for tangenterne til grafen for f med hældning 4. a) Først defineres funktionen for Maple. f(x) := 1 3 x3 1 2 x2 2x + 3 x 1 3 x3 1 2 x2 2x + 3 Derefter bestemmes x-koordinaten til de steder på grafen hvor hældningen er 4. solve(f (x) = 4) 3, 2 43

44 Derefter hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] Derefter skrives oplysningerne ind i programmet tangent. tangent(f(x), 3) Ligningen for tangenten bestemmes med formlen y = f (3)(x-3)+f(3) y = 4x 21 2 tangent(f(x), 2) Ligningen for tangenten bestemmes med formlen y = f (-2)(x 2)+f(-2) y = 4x Ligningerne for de to tangenter er y = 4x 21 2 og y = 4x

45 8 Integralregning Eksempel 8.1 En funktionen f er givet ved f(x) = 1 3 x x2 10x Grafen for f afgrænser i andet kvadrant en punktmængde M, der har et areal. a) Tegn grafen for f, og bestem arealet af M b) Bestem stamfunktionen til f hvis graf går gennem punktet (12,10) En funktion g er givet ved g(x) = 22,44x 83,03 Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde N, der har et areal. c) Tegn graferne for f og g og bestem arealet af N. 8.1 Bestemmelse af areal mellem x-akse og graf a) Først defineres funktionen f i Maple. f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Derefter tegnes grafen med plot. Bemærk at intervallet for x vælges til -10 til 10 og for y til -100 til

46 plot([f(x)], x = , ) Derefter bestemmes skæringspunkterne med x-aksen. For at bestemme grænserne for integralet. solve(f(x) = 0) 0, , Da M ligger i andet kvadrant vælges grænserne og f(x) dx Arealet af M er

47 8.2 Bestemmelse af stamfunktion b) Kommandoen dsolve anvendes. dsolve F (x) = 1 3 x x2 10x, F(12) = 10 F(x) = 1 12 x x3 5x Bestemmelse af areal mellem to grafer c) Først defineres funktionen g for Maple. g(x) := 22.44x x 22.44x Derefter tegnes graferne med plot. Bemærk intervallerne for x og y. 47

48 plot([f(x), g(x)], x = 0..6, ) Så bestemmes skæringspunkterne mellem f og g ved at løse ligningen f(x) = g(x). solve(f(x) = g(x)) , , I første kvadrant må de to skæringspunkter være , Disse anvendes som grænser i integralet. Bemærk at grafen for g ligger over punktmængden N, derfor skal g stå først i integralet g(x) f(x) dx Arealet af N er

49 9 Vektorer Beregning af vinkel mellem to vektorer. evalf(convert(linalg[angle]( 1, 2, 3, 4 ), degrees)) degrees evalf(convert(linalg[angle]( 1, 2, 2, 3, 4, 1 ), degrees)) degrees Bereging af prikprodukt/skalarprodukt mellem to vektorer. linalg[dotprod]( 2, 3, 4, 5 ) 23 linalg[dotprod]( 2, 3, 1, 4, 5, 3 ) 26 Beregning af krydsprodukt/vektorprodukt mellem to vektorer. linalg[crossprod]( 2, 3, 4, 3, 4, 5 ) [ 1, 2, 1] Beregning af determinant for to vektorer. linalg[det]([[1,3],[2,4]]) 2 49

50 10 Differentialligninger Med kommandoen dsolve kan maple løse differentialligninger. Maple antager at den uafhængige variabel er x hvis andet ikke specificeres. Er der flere løsninger angives dette med _C1, _C2, osv. dsolve(y = 5y) y(x) = _C1e 5x Der kan angives flere betingelser ved at bruge {} om betingelserne og komma mellem betingelserne. dsolve({y = 5y,y(0) = 4}) y(x) = 4e 5x dsolve({y = 4 y, y (0) = 2, y(0) = 5}) y(x) = sin(2x) + 5 cos(2x) Den uafhængige variabel kan specificeres ved at skrive den i parantes efter den afhængige variabel eller funktionen. dsolve({f (t) = 4 f(t) (2 f(t)),f(0) = 6}) 6 f(t) = 3 + 2e 8t 50

51 11 Indlæsning af data fra forsøg Maple kan arbejde med data der er gemt i mellemrums- eller tabulatorsepareret tekstformat. Kommandoen er readdata( fileid, format, n ). Hvor fileid er navnet på filen f.eks. "C:/titrering.txt". n er et positivt heltal der angiver antallet af kolonner i datafilen. format er enten integer, float eller string eller en liste af disse navne der angiver formatet af de data der læses. Først indlæser jeg datafilen i Maple. Kolon efter en kommando betyder at jeg ikke ønsker at se output. data := readdata("c:/titrering.txt", float, 2) : Derefter indlæses plot-pakken. with(plots) : Derefter tegnes punkter ind på en graf. pointplot(data, view = [0..100, 0..14], symbol = cross, title ="Titrering af HCl med NaOH", labels = ["ml HCl", "ph"]) Maple kan også lave regression på de indlæste data. with(statistics) : M Fit, data[ , 1], data[ , 2], x 1 + exp(a x + b) e x Denne funktion kan plottes sammen med punkterne. 51

52 f(x) := 1 + e x x e x display(pointplot(data, view = [0..50, 0..14], style = line, title = Titrering af HCl med NaOH,labels = [ml HCl, ph]),plot(f,0..50)) 52

53 12 Problemer 12.1 Aktiveringskoden accepteres ikke Hvis aktiveringskoden ikke accepteres - men du er sikker på at du taster den rigtige kode - så er det fordi du skal køre Activate Maple som administrator. Activate Maple finder du i mappen Alle programmer/maple 15/Tools. Højreklik på Activate Maple og vælg Kør som administrator i menuen Kernel connection Nogle gange opstår der et problem fordi Maple ikke har kernel connection. Dette problem løses ved at slette alle filer i mappen License og derefter køre Activate Maple som administrator. Activate Maple finder du i mappen Alle programmer/maple 15/Tools. Højreklik på Activate Maple og vælg Kør som administrator i menuen. 53

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benyttet cd'en 'Maple 15 - Til danske Gymnasier' eller en af de tilsvarende installere.

Læs mere

Kogebog til Maple 18

Kogebog til Maple 18 Kogebog til Maple 18 Indledning Udgave 6, Henrik Just, Hjørring Gymnasium og HF, august 2014 Kogebogen er ikke en lærebog i Maple, men en samling af korte opskrifter på brug af de faciliteter, der er relevante

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 011-01 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 5x 11 19x 17 1117 19x 5x 8 14x x Opgave : T K T K KT T K T K KT KT T Parentesen er udregnet ved hjælp

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2013 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Mia Hauge Dollerup 2s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Stx Matematik A MT 3.a Matematik Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Indhold Tegning af boksplot. Man kan ikke tegne flere boksplot på samme figur i Excel 2007, men man kan sammenligne to boksplot ved at tegne dem hver for sig

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 2stx131-MAT/B-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 31. maj 2012 kl. 9.00-13.00. 2stx121-MAT/B-31052012

Matematik B. Studentereksamen. Torsdag den 31. maj 2012 kl. 9.00-13.00. 2stx121-MAT/B-31052012 Matematik B Studentereksamen stx11-mat/b-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-13.00 Side 1 af 6 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x = MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx123-mat/b-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0. Opgave 6 Vi sætter P = 1000 og isolerer x i ligningen Se Bilag 2! P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.6 ( 10 y 0.4 )1 /0.6 = x 10 1 /0.6 y 0.4 /0.6 = x x = 10 5 /3

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh123-mat/b-17122012 Mandag den 17. december 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere