matx.dk Vejledning i Maple

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matx.dk Vejledning i Maple"

Transkript

1 matx.dk Vejledning i Maple Dennis Pipenbring February 1, 2012

2 Contents 1 Indledning 4 2 Layout Sidehoved Antallet af decimaler Grundlæggende funktioner i Maple De seks regningsarter Reducering af udtryk og løsning af ligninger Funktioner Grafer Differentiation Integration Trigonometri solvetrekant Statistik og deskriptiv statistik Trappediagram, kvartilsæt og boksplot Sumkurve, kvartilsæt og boksplot χ 2 -test Sammenligningstest Uafhængighedstest Funktioner Forskrift eller model ud fra to punkter Forskrift eller model ud fra tabeldata Differentialregning Funktionsundersøgelse Bestemmelse af f (x) Ekstremumssted(maksimum og minimum) Ekstremumsværdi(maksimums- og minimumsværdi) Monotoniforhold

3 7.1.5 Bestemmelse af en funktions nulpunkter Antallet af løsninger til ligningen f(x) = c Tangent bestemmelse Integralregning Bestemmelse af areal mellem x-akse og graf Bestemmelse af stamfunktion Bestemmelse af areal mellem to grafer Vektorer Differentialligninger Indlæsning af data fra forsøg Problemer Aktiveringskoden accepteres ikke Kernel connection

4 1 Indledning Dette er en beskrivelse af hvad Maple 14 kan bruges til i forbindelse med matematik i gymnasiet. Der vil komme en beskrivelse af den syntax der anvendes i Maple samt en vejledning i forskellige standard opgaver. I Maple arbejdes der med arbejdsark, det er i arbejdsarket, at funktioner, grafer og løsning til opgaver gemmes. I Maple skelnes mellem Text og Math. Text er tekstbehandling og Math er CAS-værktøj til udregner og tegning af grafer. Math opdeles yderligere i input og output. Et eksempel kunne være følgende: Efter at er skrevet trykkes på enter, herefter evaluerer Maple udtrykket. 4

5 2 Layout 2.1 Sidehoved I forbindes med afleveringer, terminsprøver og eksamener, skal der skrives navn, klasse/hold, navn på opgave/fag og sidetal på alle sider. Dette gøres nemmest ved at bruge sidehoved-funktion. Klik på menuen View og vælg Header Footer... Vælg Custom i rullemenuen for Header, ellers vises din custom header ikke. Klik på fanen Custom Header og udfyld felter. I venstre celle skrives navn, evt. id-nummer. I midterste celle skrives opgavens titel og dato, klik evt. på Insert Date. I højre celle skrives &[Page] af &[Pages], evt. klikkes på Insert Page og Insert Number of Pages. Når alt er udfyldt klikkes på OK. 5

6 2.2 Antallet af decimaler For at undgå for mange decimaler, kan dette begrænses med følgende komando. Her sættes antallet af decimaler til 3. interf ace(displayprecision = 3) 3 6

7 3 Grundlæggende funktioner i Maple 3.1 De seks regningsarter Maple kan addere ved at skrive Maple kan subtrahere ved at skrive Maple kan multiplicere ved at skrive *. 3 2 Maple kan dividere ved at skrive / (shift+7). 3 2 Maple kan opløfte ved at skrive ˆ eller knappen a b Maple kan tage roden ved at skrive sqrt() eller knappen a. sqrt(3) Reducering af udtryk og løsning af ligninger Maple kan reducere udtryk med kommandoen simplify 7

8 simplif y 2n + 2n m n 2 + 2m Maple kan løse ligninger med kommandoen solve. Hvis der kun er én ubekendt behøver den ubekendte ikke specificeres for Maple. solve(3x 2 6x + 3 = 0) 1, 1 Maple kan løse ligningssystemer. solve([3x 2 3y + 3 = 0,y = 2x],{x,y}) {x = 1, y = 2}, {x = 1, y = 2} Maple kan angive de approksimerede løsninger. fsolve(x 2 4x + 2 = 0) , Maple angiver de komplekse løsninger. Dette kan undgås, hvis kommandoen fsolve benyttes. solve(x 3 + x 2 7x 15 = 0) 3, 2 I, 2 + I fsolve(x 3 + x 2 7x 15 = 0) 3. For at løse ligninger med trigonomiske funktioner anvendes kommandoerne: AllSolutions og Explicit. solve([sin(x) = 0, x 0, x 4π], x, AllSolutions, Explicit) x = 4π, x = 3π, x = 2π, x = π, x = 0 8

9 3.3 Funktioner I Maple defineres funktion ved deres regneudtryk. f(x) :=. Herefter kan funktionen benyttes til udregning. Maple vil spørge om der er tale om en funktion definition eller en remember table assignment, vælg funktion definition og klik OK. f(x) := 2x + 3 f(7) solve(f(x) = 9) x 2x

10 3.4 Grafer Maple har mange muligheder for at tegne grafer, her er nogle af det mest simple kommandoer. Søg i hjælp under plot. Prøv f.eks. følgende. plot([2x + 1, x + 12], x = 1..9, color = [red, green], title = Simpel graf ) 3.5 Differentiation Maple kan differentiere med flere forskellige kommandoer, den lettest er mærke. (2x 2 2x + 4) 4x 2 Maple kan også differentiere funktioner. 10

11 f(x) := 2x 2 2x + 4 x 2x 2 2x + 4 f (x) f (x) 4x 2 4 Udregne funktionsværdier for de aflede funktioner. f (3) Integration Maple kan integrerer udtryk og funktioner. Ved at bruge menuen Expressions, kan integralet benyttes ved at klikke på det. Bemærk at løsningen på det ubestemte integrale ikke indeholder en konstant som det burde. Først defineres funktionen for Maple. f(x) := 2x 3 + 2x + 1 x 2x 3 + 2x + 1 f(x) dx 1 2 x4 + x 2 + x 8 2 f(x) dx

12 4 Trigonometri Eksempel 4.1 I trekant ABC er A = 30, C = 80 og længden af b er 25. a) Bestem afstanden fra A til B. b) Bestem arealet af trekant ABC. c) Bestem højden på siden b. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,..., solvet rekant, tangent] Herefter indtastes de oplysninger der kendes om trekanten. Denne trekant er af typen ASA idet to vinkler og deres mellemliggende side kendes. Disse oplysninger indtastes i solvetrekant. solvet rekant(30,25,80,asa) Da de to vinkler kendes kan den sidste vinkel beregnes i det vinkelsummen i en trekant er 180 grader C = 180 A B C = 70 De 2 ukendte sider kan beregnes med sinusrelationerne sin(c) c = sin(a) a sin(c) = sin(b) c b Hvor c = 25, C = 70, A = 30 og B = 80. Så er: a = b =

13 forsat... Arealet af trekanten kan beregnes med formlen: 1 ba sin(c) = Heraf ses at afstanden fra A til B (c) er 26,2. b) Arealet af trekanten er 163,75 c) Højden på siden b bestemmes med formlen Arealet = 1 2 højden grundlinien, hvor grundlinien er siden b og højden er den der ønskes bestemt. solve = 1 2 h 25 Højden på siden b er 13,

14 Eksempel 4.2 I trekant ABC kendes side a = 21, b = 32 og C = 42. a) Bestem længden af siden c. b) Bestem B. c) Bestem længden af medianen på siden a. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] Herefter afgøres det hvilken type trekant der er tale om. I dette tilfælde er der tale om en SAS-trekant, da der kendes to sider og en mellemliggende vinkel. Disse oplysninger indtastes i solvetrekant. solvet rekant(21,42,32,sas) Da der kendes to sider og en mellemliggende vinkel kan den ukendte side beregnes med cosinusrelationerne. c = a 2 + b 2 2abcos(C) Hvor a = 21, b = 32 og C = 42. Så er: c = Nu kendes alle siderne og derfor kan de sidste to vinkler beregnes med cosinusrelationerne. cos(a) = b2 + c 2 a 2 2cb cos(b) = a2 + c 2 b 2 2ac Hvor a = 21, b = 32 og c = Så er: A = B =

15 forsat... Arealet af trekanten kan beregnes med formlen: 1 ba sin(c) = Heraf ses at siden c er b) Af ovenstående se at vinkel B er 97,4. c) Medianen på siden a, deler denne side i to lige store dele. I trekanten hvor medianen er der ene side, indgår vinkel B = 97 og længden af siden c = 21,592. Disse oplysninger indtastes i solvetrekant, med oplysning om at der er tale om en SAS-trekant. 15

16 solvet rekant(21.592,97.399,10.5,sas).. bla... Arealet af trekanten kan beregnes med formlen: 1 ba sin(c) = Da medianen ligger overfor vinklen på 97,399 er den 25,

17 4.1 solvetrekant solvetrekant kan løse alle 5 typer af trekanter. Der er en beskrivelse herunder. Læg særligt mærke til i hvilken rækkefølge sider og vinkler skal skrives i de enkelte tilfælde. Type Syntax Tegning SSS solvetrekant(s1,s2,s3,sss) s 2 s 1 SAA solvetrekant(s1,a1,a2,saa) s 3 s 1 a 1 a 2 ASA solvetrekant(a1,s3,a2,asa) a 1 a 2 s 3 SAS solvetrekant(s1,a3,s2,sas) s 2 a 3 s 1 SSA solvetrekant(s1,s2,a1,ssa) s 2 a 1 s 1 17

18 5 Statistik og deskriptiv statistik 5.1 Trappediagram, kvartilsæt og boksplot Eksempel 5.1 I tabellen nedenfor ses karakterfordelingen for to hold elever, Hold 1 og Hold 2, ved samme matematikprøve. Karakter Hold A Hold B a) Bestem kvartilsæt og middelværdi for de to karakterfordelinger. b) Tegn boksplot for de to karakterfordelinger. c) Hvad er forskellen mellem de to hold. 18

19 a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] Da der er tale om en diskret fordeling tegnes et trappediagram for hver karakterfordeling. Først skrives karakterne og derefter antallet af de enkelte karaktere. Derefter skrives værdien for x-aksen og titlen på trappediagrammet. TrappeDiagram([ 3, 0, 2, 4, 7, 10, 12], [5, 7, 5, 12, 13, 5, 3], Karaktere, Karakterfordeling for hold A ) 1. kvartil for data er: kvartil (medianen) for data er: kvartil for data er: 7. Middelværdien for data er:

20 TrappeDiagram([ 3, 0, 2, 4, 7, 10, 12], [4, 6, 8, 10, 26, 6, 0], Karaktere, Karakterfordeling for hold B ) 1. kvartil for data er: kvartil (medianen) for data er: kvartil for data er: 7. Middelværdien for data er: b) I denne opgave skal 2 boksplot sammenlignes, derfor anvendes BoksPlot2. Tallene fra trappediagrammerne og data indtastes i BoksPlot2. 20

21 BoksPlot2([ 3, 2, 4, 7, 12], [ 3, 2, 7, 7, 10], Karaktere ) c) Hold A har et maksimum på 12 mens hold B har et maksimum på kvartil er for begge hold kvartil er for hold A 4 mens det for hold B er 7. Det beetyder at der på hold A er færre elever der for 7 end der er på hold B, men flere elever der får 10 eller

22 5.2 Sumkurve, kvartilsæt og boksplot Eksempel 5.2 Tabellen nedenfor viser fordelingen af kommuner i Region Hovedstaden efter deres skattesats. Skattesats (i %) Procent 22,5-23,0 7 23,0-23,5 7 23,5-24, ,0-24,5 7 24,5-25, ,0-25, ,5-26, ,0-26,5 0 26,5-27,0 0 27,0-27,5 3 a) Tegn en sumkurve, og bestem kvartilsættet for fordelingen af skattesatser. b) Hvor stor en procentdel af kommunerne har en skattesats der er mindst 25,7 %? c) Tegn et boksplot over fordelingen af skattesatser, antag at den mindste skattesats er 22,7% og den største er 27,4%. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] I SumKurve skrives tallene fra tabellen. Først skrives intervalendepunkterne og derefter skrives antallet af kommuner i hvert interval, begyndende med 0 idet ingen kommuner havde en procent på eller under 22,5%. 22

23 SumKurve([22.5, 23, 23.5, 24, 24.5, 25, 25.5, 26, 26.5, 27, 27.5], [0, 7, 7, 13, 7, 23, 17, 23, 0, 0, 3], Skattesats i %, Fordelingen af skattesats i % ) 1. kvartil (nedre kvartil): kvartil (median): kvartil (øvre kvartil): For at aflæse på grafen vælges aflæseren i menuen. b) Ved aflæsning på sumkurven ses, at der er 83,8%, der har en skattesats på maksimalt 25,7%. Dette svare til at der er (100%-83,8%) 16,2% kommuner med en skattesats på mindst 25,7%. c) Da der kun skal tegnes ét boksplot vælges BoksPlot. Kvartilsættet og mindste og største observationsværdi indtastes. BoksPlot([ min., 1. kvartil, median, 3. kvartil, maks. ], værdititel ) 23

24 BoksP lot([22.7, 23.92, 24.85, 25.51, 27.4], Skattesats i % ) 24

25 5.3 χ 2 -test Sammenligningstest Ved en sammenligningstest undersøges om en fordeling passer med forventningen. Eksempel 5.3 Den forventede fordeling af længden af telefonsamtaler er angivet i nedenstående tabel. Antal minutter over 20 I alt Andel af telefonsamtaler 20% 35% 25% 15% 5% 100% En stikprøve afslørede at ud af 250 opkald, fordelte længde af telefonsamtalerne sig som vist i nedenstående tabel. Antal minutter over 20 I alt Andel af telefonsamtaler a) Bestem χ 2 -teststørrelsen og den tilsvarende p-værdi. b) Afgør på et 5%-niveau om den forventede fordeling afviger fra den observerede. a) Først hentes pakken Statistics. with(statistics) [AbsoluteDeviation,...,W insorize, W insorizedm ean] Derefter angivet informationsniveauet for χ 2 -testen. infolevel[statistics] := 1 1 Derefter benyttes ChiSquareGoodnessOfFitTest til at bestemme χ 2 værdien og p-værdien. Først indtastes de observerede værdier og dernæst de forventede værdier, bemærk at da det total antal observerede og det total antal forventede værdi skal være det samme, ganges det forventede antal værdier med 2, Til sidst angives signifikansniveauet (dette er 100 valgfrit). 25

26 ChiSquareGoodnessOf F itt est( 29, 92, 78, 41, 10, 50, 87.5, 62.5, 37.5, 12.5, level = 0.05) Chi-Square Test for Goodness-of-Fit - Null Hypothesis: Observed sample does not differ from expected sample Alt. Hypothesis: Observed sample differs from expected sample Categories: 5 Antal kategorier Distribution: ChiSquare(4) Antal frihedsgrader Computed statistic: χ 2 -værdien Computed pvalue: p-værdien (sandsynligheden for at 0-hypotesen er sand) Critical value: den værdi som χ 2 -værdien skal være mindre end, hvis p-værdien skal være større end signifikansniveauet (0-hypotesen accepteres) Result: [Rejected] There exists statistical evidence against the null hypothesis χ 2 -værdien er 13,7 og p-værdien er 0, b) Da p-værdien er mindre end 0,05, må 0-hypotesen, at der er overensstemmelse mellem de observerede og forventede værdier, forkastes. De observerede værdier afviger altså fra de forventede. 26

27 5.3.2 Uafhængighedstest Eksempel 5.4 Et studiet af en gel til beskyttelse mod hiv, er gennemført blandt 900 kvinder i Sydafrika. Af de 444 kvinder, der modtog placebo, fik 60 hiv mod 38 ud af de 445 kvinder, der anvendte geleen. Politikken.dk, Videnskab, 30. sep 2010 kl Har anvendt geleen Ja Nej Total Har fået Ja HIV/AIDS Nej Total a) Opstil en tabel over de forventede værdier, under antagelse af at hypotesen om, at det er uafhængigt om kvinder anvender geleen eller ej. b) Udregn χ 2 -værdien og p-værdien og afgør om der med signifikansniveau på 5% er en sammenhæng mellem om kvinderne fik HIV eller ej og om de modtog placebo eller om de anvendte geleen. c) Undersøgelsens konklusion var at der var en 39 procent nedsat risiko for smitte ved anvendelse af geleen. Hvor stor er sandsynligheden for at får HIV, med og uden anvendelse af geleen. Kommentér undersøgelsens konklusion. a) Først opstilles følgende skema over den faktiske fordeling af kvinderne. Dette benyttes tabelfunktionen i Maple. (Insert Table) Der vælges 5 rækker og 5 kolonner. 27

28 b) Først hentes pakken Statistics. Det efterfølges af kolon fordi listen af programmer er meget omfattende, og kolon forhindre alt output. Ulempen er naturligvis at det ikke er muligt og se om Maple har hente pakken ind. with(statistics) : Herefter indtastes de observerede værdier ind i ChiSquareIndependenceTest i en 2x2 matrix, som indsættes via menuen til venstre. Skriv antal rækker og kolonner, klik herefter på indsæt. ChiSquareIndependenceT est hypothesis = false, criticalvalue = , distribution = ChiSquare(1), pvalue = , statistic = Maple konkludere at hypotesen er falsk, fordi p-værdien er mindre end 0,05 som er standardværdien, hvis intet andet defineres. Den kritiske værdi er 3,84, hvilket betyder at χ 2 -teststørrelsen (værdien) skal være mindre end denne værdi for at for at 0-hypotesen kan accepteres. Den kritiske værdi afhænger derfor af det valgte signifikansniveau. Den anvendte fordeling er fordelingen med 1 frihedsgrad. p-værdien er 0,018, hvilket betyder at der er 1,8% sandsynlighed for at 0-hypoteses, at geleen ingen betydning har, er rigtig. χ 2 -teststørrelsen er 5,606. På et 5% signifikansniveau må 0-hypotesen forkastes, det betyder at konklusionen er der er en sammenhæng mellem at kvinderne har anvendt geleen og om de har fået HIV/AIDS. c) Sandsynligheden for at få HIV, når man anvende geleen Sandsynligheden for at få HIV, når man ikke anvende geleen. 28

29 Forskellen er altså ca. 5 procentpoint. Den procenvise forskel der i mod Der er altså ca. 36,8% forskel risikoen for at få HIV, hhv. med og uden gel. Det må være dette tal der henvises til i undersøgelsen. 29

30 6 Funktioner 6.1 Forskrift eller model ud fra to punkter Eksempel 6.1 Specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning var i % og i ,9%, det antages at udviklingen følger en model f(t) = b a t hvor f(x) betegner specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning (i procent) efter 1999 og til tidspunktet t (i år efter 1999). a) Bestem en forskrift for f. b) Bestem specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning i c) Bestem den tid, der går, før Kinas andel af verdensøkonomien er fordoblet. d) Bestem hvornår specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning udgør 30%. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] De to punkter (1,4) og (6, 5.9), indtastes disse i forskrift. Det indtastes også hvilken type forskrift der er tale om. eks for eksponential. De andre muligheder er lin for lineær (ax + b) og pow for potens (b x a ). 30

31 forskrift( 1, 4, 6, 5.9, eks) For at bestemme forskriften for den eksponentielle udvikling f(x) = ba x hvis graf går gennem punkterne (1,4) og (6,5.9). Først bestemmes a Derefter bestemmes b y 2 y 1 y 1 a x 1 1 x 2 x 1 = = Forskriften for funktionen bliver så f(x) = x Forskriften for f er f(t) = t. b) Først defineres funktionen for Maple. f(t) := ( t) t ( t) År 2020 er 21 år efter 1999, derfor udregnes f(21). f(21) Det betyder at specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning i 2020 vil være 18,9%. c) Fordoblingskonstanten udregnes som K 2 = log(2) log(a) log(2.) log(1.081)

32 Der går 8,9 år før specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning er fordoblet. d) For at bestemme hvornår specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning udgør 30%, løses ligningen f(t) = 30. solve(f(t) = 30) Det betyder at der går 26,9 år inden specialundervisnings andel af de samlede udgifter til undervisning udgør 30%, dvs. at det sker i år Forskrift eller model ud fra tabeldata Eksempel 6.2 Tabellen viser sammenhørende værdier for koncentrationen af CO 2 i ppm (gennemsnit for december i Mauna Loa) og tiden. Årstal CO 2 (ppm) 314,67 319,42 322,84 329,50 339,91 354,21 Kilde: Dr. Pieter Tans, NOAA/ESRL I en model antages det, at koncentrationen af CO 2 (ppm) vokser lineær som funktion af tiden, målt i år efter a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for udviklingen af CO 2 som funktion af tiden. b) Bestem CO 2 (ppm) i år 2008 ifølge modellen og sammenlign med den faktiske koncentration af CO 2 (ppm) på 385,54. c) Hvilket år vil der ifølge modellen være en koncentration på 1000 ppm. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] For at lave regression bruges model, først skrives hvilken type modellen er lin for lineær (f(x) = ax + b), eks for eksponentiel (f(x) = b a x ) og pow for potens (f(x) = b x a ). Derefter skives data fra tabellen, bemærk at i denne opgave skal startåret trækkes fra fordi modellen tager 32

33 udgangspunkt i Titel og akselabels kan skrives på grafen ved at højreklikke på grafen og vælge f.eks. title. model lin eks pow, [xx,...,xx], [yy,...,yy] model(lin, [ , , , , , ], [314.67, , , , , ]) f(x) = 1.260x r 2 = Forskrift for udviklingen af CO 2 som funktion af tiden er f(x) = 1.260x , hvor x er antallet af år efter 1958 og f er koncentrationen af CO 2 (ppm) i atmosfæren. b)først defineret funktionen. f(x) := 1.260x x 1.260x

34 Nu kender Maple funktionen og kan udregne funktionsværdier. f( ) Indholdet af CO 2 (ppm) i atmosfæren i 2008 er ifølge modellen 374,609 ppm. Det er lidt lavere end den faktiske værdi på 385,54, hvilket kunne tyde på at der ikke er tale om en lineær model. c)f(x) var koncentrationen af CO 2 (ppm) i atmosfæren, denne værdi skal være Derfor løses ligningen f(x) = solve(f(x) = 1000) x var antallet af år efter 1958, så for at udregne årstallet skal 1958 lægges til dette tal I år 2504 vil der i følge modellen være et CO 2 indhold i atmosfæren på 1000 ppm. 34

35 Eksempel 6.3 Ud fra nedenstående tabel der viser sammenhængen mellem vægten af bambus og antallet af døgn efter spiring. Døgn Vægt i gram I en model antages det, at vægten i gram som funktion af tiden er en funktion af typen V (t) = b a t a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene a og b. b) Benyt modellen til at bestemme vægten af en bambus der er 30 døgn. c) Bestem tallet V (20) og beskriv, hvad tallet fortæller om bambusens vækst. d) Hvad er væksthastigheden for bambus. e) Hvor lang tid er bambus om at fordoble sin masse. a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] For at undgå for mange decimaler begrænses dette til 3. interf ace(displayprecision = 3) 3 For at lave regression bruges model, først skrives hvilken type modellen er eks for eksponentiel (f(x) = b a x ). Derefter skrives variablen, der i dette tilfælde er t, som er antal døgn siden bambusen spirede. Derefter skrives navnet på funktionen, der i dette tilfælde er V, som er vægten af bambus. Derefter skives titler på xaksen, y-aksen og på selve grafen. 35

36 model(eks, [3, 7, 10, 15, 17],[15, 28, 50, 120, 215]) x = x r 2 = b er 7,981 og a er 1,206. b)først defineret funktionen. V (t) := t t t Nu kender Maple funktionen og kan udregne funktionsværdier. V (30) Vægten af bambusen efter 30 døgn er 2200 gram. c) Da Maple kender funktionen, kan den ønskede udregne skrives direkte. 36

37 V (20) Det betyder at efter 20 døgn øges vægten af bambus med 63,3 gram pr. døgn. d) Væksthastigheden er a Væksthastigheden er 20,6%, hvilket betyder at bambusens vægt øges med 20,6% pr. døgn. e) Fordoblingskonstanten udregnes som K 2 = log(2) log(a) log(2.) log(1.206) Fordoblingskonstanten for vægten af bambus er 3,701, hvilket betyder at vægten af bambus fordobles hver 3,701 døgn. 37

38 7 Differentialregning 7.1 Funktionsundersøgelse Maple kan bruge differentiation sammen med kommandoen solve. F.eks. til at finde ekstremums steder. Eksempel 7.1 En funktionen f er givet ved a) Bestem f (x). f(x) = 1 3 x x2 10x b) Bestem lokalt maksimum og minimum for f. c) Bestem lokalt maksimums- og minimumsværdi for f. d) Bestem monotoniforhold for f. e) Bestem funktionens nulpunkter. f) En vandret linie (y = c) skærer grafen for f 1, 2 eller 3 steder. Bestem de intervallet hvor linien skærer grafen 3 steder Bestemmelse af f (x) a) Først defineres funktionen for Maple. f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Derefter kan funktionen defineres ved at skrive f (x). f (x) x 2 + 3x 10 f (x) = x 2 + 3x

39 7.1.2 Ekstremumssted (maksimum og minimum) b) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter løses ligningen f (x) = 0. solve(f (x) = 0) 2, 5 f har ekstremunssted i 2 og -5. Ved at udregne hvornår f er voksende og aftagende kan det afgøres om 2 og -5 er lokale maksima eller minima. solve(f (x) > 0,{x}) {x < 5}, {2 < x} Af dette kan de konkluderes at f er voksende - da f er positiv - i intervallerne ] ; 5] og [2; [. solve(f (x) < 0,{x}) { 5 < x, x < 2} Af dette kan de konkluderes at f er aftagende - da f er negativ - i intervalet [ 5; 2]. -5 er derfor et lokalt maksimum og 2 er et lokalt minimum. 39

40 7.1.3 Ekstremumsværdi (maksimums- og minimumsværdi) c) Den lokale minimumsværdi kan udregnes ved at beregne f( 5). f( 5.) Den lokale maksimumsværdi kan udregnes ved at beregne f(1). f(2) Monotoniforhold d) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter undersøges hvornår f er positiv og negativ. solve(f (x) > 0,{x}) {x < 5}, {2 < x} Af dette kan de konkluderes at f er voksende - da f er positiv - i intervallerne ] ; 5] og [2; [. solve(f (x) < 0,{x}) { 5 < x, x < 2} Af dette kan de konkluderes at f er aftagende - da f er negativ - i intervalet [ 5; 2]. 40

41 7.1.5 Bestemmelse af en funktions nulpunkter e) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter løses ligningen f(x) = 0. Den kan løses på to måder. med fsolve eller med solve, alt efter om der ønskes en approksimeret eller eksakt løsning. fsolve(f(x) = 0) , 0., solve(f(x) = 0) 0, , Antallet af løsninger til ligningen f(x) = c f) Først at defineres funktionen for Maple (hvis dette ikke allerede er gjort). f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Herefter tegnes grafen for f sammen med en vandret linie, her med værdien

42 plot([f(x), 30], x = , ) Det ses at når værdien af den vandrette linie ligger mellem den lokale maksimums- og minimumsværdi (opgave c)) vil den skære grafen for f 3 steder. Det betyder at intervallet hvor linien skærer grafen 3 steder er ] 11. 3; [. Bemærk at endepunkterne ikke er inkluderet fordi her skærer linien grafen netop 2 steder. 42

43 7.2 Tangent bestemmelse Eksempel 7.2 En funktion er givet ved f(x) = 4 ln(x) 2x + 8 a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)). a) I maple hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2, Cos, Sin,...log, model, solvet rekant, tangent] Derefter skrives oplysningerne ind i programmet tangent. tangent(4 ln(x) 2 x + 8, 2) Ligningen for tangenten bestemmes med formlen y = f (2)(x-2)+f(2) y = 4 ln(2) + 4 Ligningen for tangenten er derfor y = 4 ln(2) + 4, hvilket i øvrigt er en vandret tangent. Eksempel 7.3 En funktion er givet ved f(x) = 1 3 x3 1 2 x2 2x + 3 a) Bestem ligningerne for tangenterne til grafen for f med hældning 4. a) Først defineres funktionen for Maple. f(x) := 1 3 x3 1 2 x2 2x + 3 x 1 3 x3 1 2 x2 2x + 3 Derefter bestemmes x-koordinaten til de steder på grafen hvor hældningen er 4. solve(f (x) = 4) 3, 2 43

44 Derefter hentes stx-pakken. with(stx) [BoksP lot, BoksP lot2,...log, model, solvet rekant, tangent] Derefter skrives oplysningerne ind i programmet tangent. tangent(f(x), 3) Ligningen for tangenten bestemmes med formlen y = f (3)(x-3)+f(3) y = 4x 21 2 tangent(f(x), 2) Ligningen for tangenten bestemmes med formlen y = f (-2)(x 2)+f(-2) y = 4x Ligningerne for de to tangenter er y = 4x 21 2 og y = 4x

45 8 Integralregning Eksempel 8.1 En funktionen f er givet ved f(x) = 1 3 x x2 10x Grafen for f afgrænser i andet kvadrant en punktmængde M, der har et areal. a) Tegn grafen for f, og bestem arealet af M b) Bestem stamfunktionen til f hvis graf går gennem punktet (12,10) En funktion g er givet ved g(x) = 22,44x 83,03 Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde N, der har et areal. c) Tegn graferne for f og g og bestem arealet af N. 8.1 Bestemmelse af areal mellem x-akse og graf a) Først defineres funktionen f i Maple. f(x) := 1 3 x x2 10x x 1 3 x x2 10x Derefter tegnes grafen med plot. Bemærk at intervallet for x vælges til -10 til 10 og for y til -100 til

46 plot([f(x)], x = , ) Derefter bestemmes skæringspunkterne med x-aksen. For at bestemme grænserne for integralet. solve(f(x) = 0) 0, , Da M ligger i andet kvadrant vælges grænserne og f(x) dx Arealet af M er

47 8.2 Bestemmelse af stamfunktion b) Kommandoen dsolve anvendes. dsolve F (x) = 1 3 x x2 10x, F(12) = 10 F(x) = 1 12 x x3 5x Bestemmelse af areal mellem to grafer c) Først defineres funktionen g for Maple. g(x) := 22.44x x 22.44x Derefter tegnes graferne med plot. Bemærk intervallerne for x og y. 47

48 plot([f(x), g(x)], x = 0..6, ) Så bestemmes skæringspunkterne mellem f og g ved at løse ligningen f(x) = g(x). solve(f(x) = g(x)) , , I første kvadrant må de to skæringspunkter være , Disse anvendes som grænser i integralet. Bemærk at grafen for g ligger over punktmængden N, derfor skal g stå først i integralet g(x) f(x) dx Arealet af N er

49 9 Vektorer Beregning af vinkel mellem to vektorer. evalf(convert(linalg[angle]( 1, 2, 3, 4 ), degrees)) degrees evalf(convert(linalg[angle]( 1, 2, 2, 3, 4, 1 ), degrees)) degrees Bereging af prikprodukt/skalarprodukt mellem to vektorer. linalg[dotprod]( 2, 3, 4, 5 ) 23 linalg[dotprod]( 2, 3, 1, 4, 5, 3 ) 26 Beregning af krydsprodukt/vektorprodukt mellem to vektorer. linalg[crossprod]( 2, 3, 4, 3, 4, 5 ) [ 1, 2, 1] Beregning af determinant for to vektorer. linalg[det]([[1,3],[2,4]]) 2 49

50 10 Differentialligninger Med kommandoen dsolve kan maple løse differentialligninger. Maple antager at den uafhængige variabel er x hvis andet ikke specificeres. Er der flere løsninger angives dette med _C1, _C2, osv. dsolve(y = 5y) y(x) = _C1e 5x Der kan angives flere betingelser ved at bruge {} om betingelserne og komma mellem betingelserne. dsolve({y = 5y,y(0) = 4}) y(x) = 4e 5x dsolve({y = 4 y, y (0) = 2, y(0) = 5}) y(x) = sin(2x) + 5 cos(2x) Den uafhængige variabel kan specificeres ved at skrive den i parantes efter den afhængige variabel eller funktionen. dsolve({f (t) = 4 f(t) (2 f(t)),f(0) = 6}) 6 f(t) = 3 + 2e 8t 50

51 11 Indlæsning af data fra forsøg Maple kan arbejde med data der er gemt i mellemrums- eller tabulatorsepareret tekstformat. Kommandoen er readdata( fileid, format, n ). Hvor fileid er navnet på filen f.eks. "C:/titrering.txt". n er et positivt heltal der angiver antallet af kolonner i datafilen. format er enten integer, float eller string eller en liste af disse navne der angiver formatet af de data der læses. Først indlæser jeg datafilen i Maple. Kolon efter en kommando betyder at jeg ikke ønsker at se output. data := readdata("c:/titrering.txt", float, 2) : Derefter indlæses plot-pakken. with(plots) : Derefter tegnes punkter ind på en graf. pointplot(data, view = [0..100, 0..14], symbol = cross, title ="Titrering af HCl med NaOH", labels = ["ml HCl", "ph"]) Maple kan også lave regression på de indlæste data. with(statistics) : M Fit, data[ , 1], data[ , 2], x 1 + exp(a x + b) e x Denne funktion kan plottes sammen med punkterne. 51

52 f(x) := 1 + e x x e x display(pointplot(data, view = [0..50, 0..14], style = line, title = Titrering af HCl med NaOH,labels = [ml HCl, ph]),plot(f,0..50)) 52

53 12 Problemer 12.1 Aktiveringskoden accepteres ikke Hvis aktiveringskoden ikke accepteres - men du er sikker på at du taster den rigtige kode - så er det fordi du skal køre Activate Maple som administrator. Activate Maple finder du i mappen Alle programmer/maple 15/Tools. Højreklik på Activate Maple og vælg Kør som administrator i menuen Kernel connection Nogle gange opstår der et problem fordi Maple ikke har kernel connection. Dette problem løses ved at slette alle filer i mappen License og derefter køre Activate Maple som administrator. Activate Maple finder du i mappen Alle programmer/maple 15/Tools. Højreklik på Activate Maple og vælg Kør som administrator i menuen. 53

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side. TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.

Læs mere

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion.

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion. Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium 2011 Definer en funktion og funktionsværdier (1.1) 32 (1.2) (1.3) Tegn grafen for en funktion (2.1) 250 200 150 100 50 0 5 10 8 6 4 2 0 1 2 0 y

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX Anders Jørgensen & Mark Kddafi 2016 matematikhfsvar.page.tl 8. august 2016 15. august 2016 Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

q-værdien som skal sammenlignes med den kritiske Chi-i-Anden værdi p-værdien som skal sammenlignes med signifikansniveauet.

q-værdien som skal sammenlignes med den kritiske Chi-i-Anden værdi p-værdien som skal sammenlignes med signifikansniveauet. Introduktion: Chi-i-Anden test (Goodness of Fit) på computeren fungerer som en "black-boks"- kommando, hvor eleverne med udgangspunkt i en nulhypotese (H ) taster de forventede og de observerede talværdier

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår efterår 16, eksamen december 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe

Læs mere

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning i brug af Gym17-pakken... iv 1 Deskriptiv statistik... 1 1.1 Ikke-grupperede observationssæt... 1 1.2 Grupperede observationssæt... 4 2 Regressioner...

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

GeoGebra metoder MatB

GeoGebra metoder MatB GeoGebra metoder MatB Geogebra Metoder version 15c Søren Toft 2015 marts Virum Gymnasium Side 1 af 14 GeoGebra metoder, MatB Her har jeg beskrevet Geogebra version 4.4.43 fra den 8.aug 2014, for matematik

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A-24052016 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Opgaver til anden delprøve matematik B

Opgaver til anden delprøve matematik B 1 Opgaver til anden delprøve matematik B Dette dokument omhandler anden delprøve, den med CAS - hjælpemiddel. Dette afsnit bygger på lærerplanen og vejledningen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaver

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen stx103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MAT-A Skriftlig Eksamen med hjælpemidler, 12. august 2009

MAT-A Skriftlig Eksamen med hjælpemidler, 12. august 2009 MAT-A Skriftlig Eksamen med hjælpemidler, 12. august 2009 OBS! Denne opgave er løst i programmet Maple 13 på en Apple computer, men undervisningen har været baseret på brugen af en TI-89 lommeregner. Således

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

3. Trekantsberegninger. Gør rede for cosinusrelationen i vilkårlige trekanter.

3. Trekantsberegninger. Gør rede for cosinusrelationen i vilkårlige trekanter. Matematik B, 2x - sommereksamen 2014 NB! Prøvespørgsmålene kan ændres på foranledning af censor 1. Trekantsberegninger Gør rede for en trekants vinkelsum og areal. Gør endvidere rede for ensvinklede trekanter.

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Funktioner Eksamensspørgsmål mabe, sommer 014 Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for sætninger vedrørende lineære funktioner. Du skal herunder behandle betydningen af a og b samt formlen til at beregne a ud fra to

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benyttet cd'en 'Maple 15 - Til danske Gymnasier' eller en af de tilsvarende installere.

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 21. april 2014

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 21. april 2014 Opgave 6 Ved hjælp af GeoGebra CAS ses at udtrykkes reduceres til noget som er forskelligt fra b 3 ab 2. Dette kan også ses ved f.eks. at indsætte a = 0 og b = 1. Se bilag 2! Opgave 7 Data er indlæst i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2015-2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold VUC Skive-Viborg Hfe Matematik B Claus Ryberg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 24. maj 2016 kl stx161-MAT/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 24. maj 2016 kl stx161-MAT/A Matematik A Studentereksamen 1stx161-MAT/A-24052016 Tirsdag den 24. maj 2016 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Eksempler med Regression (Se også TilpasFunktion's eksemplet nedenfor)

Eksempler med Regression (Se også TilpasFunktion's eksemplet nedenfor) Eksempler på brugen af GymMat pakken Dato: 18. marts 2012 (Steen Toft Jørgensen & Yenn Fang Loo) (1) "GymMat ver.2012.03.16_r.c af Loo Fang Yenn [ylsnabel-a

Læs mere

navn: dato: fag: Matematik hold: 2dMa modtaget af: ark nr: 1 af i alt 12 ark

navn: dato: fag: Matematik hold: 2dMa modtaget af: ark nr: 1 af i alt 12 ark ark nr: af i alt ark Opgave En lineær funktion f opfylder at dens graf går gennem A(3,7) og B(9,5) Vi finder hældningen a af grafen a = y - y 5-7 8 = = = 3 x - x 9-3 6 Forskriften for f kan nu bestemmes

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Lineære funktioner

Eksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Lineære funktioner Eksamensspørgsmål mabe, sommer 03 Spørgsmål : Lineære funktioner Gør rede for sætninger vedrørende lineære funktioner. Du skal herunder behandle betydningen af a og b samt formlen til at beregne a ud fra

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015, eksamen maj / juni 2015 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 2016 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 Dette

Læs mere