Komplekse tal anvendelser

Transkript

1 Komplekse tal anvendelser Forenkler beregninger i forbindelse med: Svingninger og vibrationer (mekaniske, elektriske) Reguleringssystemer Lineære differentialligninger Fluid dynamik Signalanalyse og filtrering Forår 2014 M2CAL2 3

2 9.1 Introduktion/9.2 Komplekse tal De reelle tal er ofte ikke tilstrækkelige til at udtrykke f.eks. løsninger til ligninger: Løs ligningen: x 2 +4x+8 = 0

3 Ligningen har ingen (reelle) løsninger! Grafen for funktionen y(x) = x 2 +4x+8:

4 Løsning af ligningen Diskriminanten D = = 16 Altså ingen (reelle) løsninger Mathcad giver x 2 4x 8 0 solve 2 2 Pengene passer, hvis vi definerer i ud fra ligningen i 2 = 1 i kan lidt populært opfattes som 1 (eller 1) Test: indsæt x = 2 + 2i i ligningen: 2i 2i

5 Løsning af ligningen i hånden: X 2 +4x+8 = 0 = ± 4 2

6 Komplekse tal Ligningen x 2 = 1 har ingen reelle løsninger Men blandt de komplekse tal er tallet i løsning til ligningen: i 2 = 1 i kaldes den imaginære enhed Tallet i er også løsning til ligningen ovenfor i kaldes ofte for j. j anvendes oftest blandt ingeniører for ikke at forveksle med i, der betegner elektrisk strøm Bogen bruger j Mathcad bruger i i resultater, men forstår j i input Et komplekst tal er summen af et reelt (realdelen Re) og et imaginært tal (imaginærdelen Im): z = Re+jIm (Eks.: z = 3+j4 eller z = 3+4j) Bemærk: vi bruger ofte z som betegnelse for et komplekst tal (og så bruges x ofte som betegnelse for realdelen, mens y bruges for imaginærdelen)

7

8 Vi prøver at løse

9 Eksempel 9.1

10 Eksempel 9.2

11 Den komplekst konjugerede

12 Eksempel 9.3

13 Eksempel 9.4 Gennemgås anderledes end i bogen

14 Da x = 1 er løsning til ligningen, går (x 1) op i venstresiden.

15

16 Ligniningen x 2 6x+13 = 0 løses: Obs: Vigtig regel: Et n te grads polynomium har n rødder!

17 Vigtig grundregel: To komplekse tal er ens hvis og kun hvis deres realdele er ens og deres imaginærdele er ens

18 Eksempel 9.5

19 Addition og subtraktion Man adderer to komplekse tal ved at addere realdelene og imaginærdelene hver for sig Tilsvarende for subtraktion

20 Multiplikation Multiplikation af to komplekse tal med hinanden vises med et eksempel:

21 Eksempel 9.8

22 Hjælpesætning om komplekst konjugerede tal

23 Division Ved division af to komplekse tal med hinanden forlænger vi brøken med nævnerens komplekst konjugerede dvs.

24 Eksempel 9.9

25 Regn selv nu og til næste gang Øvelse 9.2 side 701 opgave 1,3, 5, 6 og 7 Øvelse 9.3 side 704 opgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 Computeropgaverne side 704 nr. 1, 2 og 3

26 Komplekse tal 2 Tidsplan: Tirsdag d. 3. februar : Komplekse tal 1: Afsnit 9.1, 9.2 og 9.3 Fredag d. 6. februar : Komplekse tal 2: Afsnit 9.4 og 9.5 Tirsdag d. 17. februar : Komplekse tal 3: Afsnit 9.6 og 9.7 Torsdag d. 19. februar : Komplekse tal 4: Afsnit 9.9 Afsnit 9.8 og 9.10 overspringes Tirsdag d. 24. februar : Opgaveregning/opsamling

27 Sidste gang kort repetition Den imaginære enhed Det komplekse tal Addition/substraktion Den kompleks konjugerede Multiplikation Division

28 Opgaverne fra sidste gang Øvelse 9.2 side 701 opgave 1, 2, 3, 5, 6 og 7 Øvelse 9.3 side 704 opgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 Computeropgaverne side 704 nr. 1, 2 og 3

29

30

31

32 9.4 Grafisk repræsentation af komplekse tal Reelle tal: Tallinje, abscisseakse Komplekse tal: Den komplekse plan Argand diagram

33 Eksempler på komplekse tal i Argand diagram

34 Eksempel 9.10

35 9.5 Komplekse tal på polær form I de første 4 afsnit: Komplekse tal angives i retvinklede koordinater også kaldet kartesiskse koordinater. Det komplekse tal angives med en 1. og en 2. koordinat (hhv. Real del og Imaginær del) Skrives som Supplende, alternativ til de kartesiske koordinater: Polære koordinater Det komplekse tal angives med en længde modulus r eller z en vinkel i forhold til 1. aksen argumentet θ Skrives som ) )

36 Kartesiske vs. polære koordinater

37 OBS: Argumentet Θ kan angives i enten radianer eller grader det er i princippet lige meget, hvad man bruger, men der er mange fælder! Det vigtigste er at være klar over, hvad ens lommeregner/computer er indstillet til MathCad regner altid med radianer

38 Konvertering mellem kartesiske og polære koordinater

39 Fra polær til kartesisk let og problemløst: Kendte størrelser Modulus r Argument θ Skal bestemmes Realdelen a = r cos θ Imaginærdelen b = r sin θ Heraf fås z = a + jb = r (cos θ + j sin θ) Eksempel: r = 4, θ = π/4 (z = 4 < π/4 ) Bestem z = a + jb

40 Fra kartesisk til polær her skal der tænkes: Kendte størrelser Realdelen a Imaginærdelen b (z = a + jb) Skal bestemmes Modulus r = z Argument θ Pas på!!!

41

42 Eksempel 9.11

43 Eksempel 9.12 Pas på!!!

44 Multiplikation og division på kompleks form Der er givet to komplekse tal = og = Kan også skrives som Produktet kan skrives som =

45 Eksempel 9.13

46 Tilsvarende for division Der er givet to komplekse tal = og =

47 Eksempel 9.14

48 OBS: MathCad Indtastning af polære komplekse tal i Mathcad afventer gennemgang af afsnit 9.7 om komplekse tal på eksponentiel form.

49 Regn selv til næste gang:(nu og hjemme) Øvelse 9.4 side 705 opgave 1 og 2 Øvelse 9.5 side opgave 1, 2, 3, 4, 5, 7 og 8 Alle opgaver regnes i hånden gerne med hjælp fra lommeregner eller computer

50 Komplekse tal 3 Tidsplan: Tirsdag d. 3. februar : Komplekse tal 1: Afsnit 9.1, 9.2 og 9.3 Fredag d. 6. februar : Komplekse tal 2: Afsnit 9.4 og 9.5 Tirsdag d. 17. februar : Komplekse tal 3: Afsnit 9.6 og 9.7 Torsdag d. 19. februar : Komplekse tal 4: Afsnit 9.9 Afsnit 9.8 og 9.10 overspringes Tirsdag d. 24. februar : Opgaveregning/opsamling

51 Sidste gang Grafisk repræsentation af komplekse tal Argand diagram Komplekse tal på polær form

52 9.6 Vektorer og komplekse tal

53 Eksempel 9.15

54 9.7 Komplekse tal på ekponentiel form Vi husker, at et komplekst tal på polær for kan skrives som: Fra kapitlet om rækker har vi, at Hjælpesætning: j 2 = ; j 3 = ; j 4 = ; j 5 =

55 Størrelsen Fra rækkekapitlet har vi: (OBS: z i stedet for x) Størrelsen e jθ =

56 Det vil sige, at kan skrives som Skrivemåden benyttes primært i videregående kompleks funktionsteori, men benyttes bl.a. også i MathCads notation for komplekse tal på polær form. Obs: Indtastning: 1j eller 1i Færdigt resultat

57 Eulers formel kaldes Eulers formel På grundlag heraf bestemmes

58 Eksempler på gyldige formler

59 Eksempel

60 Eksempel

61 Regn selv Øvelse 9.7 side 712 opgave 1, 2, 3, 4, 5, 7 og 8

62 Komplekse tal 4 Tidsplan: Tirsdag d. 3. februar : Komplekse tal 1: Afsnit 9.1, 9.2 og 9.3 Fredag d. 6. februar : Komplekse tal 2: Afsnit 9.4 og 9.5 Tirsdag d. 17. februar : Komplekse tal 3: Afsnit 9.6 og 9.7 Torsdag d. 19. februar : Komplekse tal 4: Afsnit 9.9 Afsnit 9.8 og 9.10 overspringes Tirsdag d. 24. februar : Opgaveregning/opsamling

63 9.9 De Moivre's sætning De Moivres sætning er en vigtig sætning inden for de komplekse tal:

64

65 Gælder også for rødder: Husk, at Endvidere, mere generelt: Eller på De Moivre form: Eksempel med den 3 die rod:

66 Eksempel 9.18

67

68 Eksempel 9.19

69

70 Nemmere skrivemåde De Moivres formel anvender formelt skrivemåden: = I stedet kan den simplere vinkel metode anvendes:

71 Generelt om komplekse rødder For reelle tal gælder, at eksempelvis en kvadratrod af et tal er en værdi Eksempel: 4=2 For komplekse tal gælder, at den n te rod af et tal antager i alt n forskellige værdier Eksempel: Den tredje rod af 1 er de tre forskellige komplekse tal, der er løsning til ligningen = 1 Fra eksempel 9.18 fås:

72 Rodformlen for komplekse tal

73 Eksempel Find på grundlag af rodformlen

74 Regn selv til næste gang Øvelse 9.9 side 723 opgave 1, 3, 4, 6 og 7

75 Anvendelser af matricer (ental: matrix) Matricer anvendes internt i matematikken ved f.eks. løsning af ligningssystemer Matricer anvendes eksternt bl.a. inden for Afstemning af reaktionsligninger Reguleringsteknik El-teknik Vibrationsanalyse Analyse af konstruktioner Varmeflowsberegninger Økonomiske modeller Billedbehandling Danner matematisk baggrund for mange computermodeller

76 Følgende afsnit gennemgås Side afsnittet 26. februar 8.1 Introduction februar 8.2 Basic definitions februar 8.3 Addition, subtraction and multiplication Robot coordinate frames februar 8.5 Some special matrices marts 8.6 The inverse of a 2 2 matrix marts 8.7 Determinants marts 8.8 The inverse of a 3 3 matrix marts 8.9 Application to the solution of simultaneous equations marts 8.10 Gaussian elimination og 17. marts 8.11 Eigenvalues and eigenvectors Analysis of electrical networks Iterative techniques for the solution of simultaneous equations Computer solutions of matrix problems marts Review exercises

77 8.1 Introduktion/8.2 Basisdefinitioner En matrix er et ordnet talsæt

78 Eksempler - Ofte anvendes store, fede bogstaver eller dobbelt-overstregede bogstaver - Lærebogen anvender store, almindelige bogstaver

79 Generel række-søjle-nummerering Række, søjle i index på de enkelte elementer Rækkematrix/søjlematrix Matricer/vektorer

80 Eksempel 8.1 gennemgås

81 8.3 Addition, subtraktion og multiplikation Addition/subtraktion: Matricerne skal være af samme type (række- /søjleantal) Elementerne adderes/subtraheres hver for sig

82 Eksempler addition og subtraktion

83 Eksempel 8.2 gennemgås

84 Eksempel 8.3 Eksemplet viser den kommutative lov (ombytningsregelen) og omtaler den associative lov Gennemlæs selv eksemplet

85 Multiplikation med en skalar (et tal) De enkelte elementer multipliceres med skalaren

86 Eksempler

87 Eksempel 8.4 første del gennemgås gennemgå selv resten

88 Matrix-multiplikation Multiplikation af to matricer Faktorernes rækkefølge er ikke ligegyldig (AB er (ikke nødvendigvis) lig med BA) Søjleantallet i den første matrix skal være lig med rækkeantallet i den anden matrix

89

90 Eksempler gennegås i fællesskab/individuelt Eksempel 8.5 i fællesskab Eksempel 8.6 i fællesskab Eksempel 8.7 i fællesskab Eksempel 8.8 individuelt Eksempel 8.9 individuelt Eksempel 8.10 individuelt Eksempel 8.11 individuelt

91 Eksempel 8.5

92 Eksempel 8.6

93 Eksempel 8.7

94 8.5 Specielle matricer Gennemgang af forskellige specialtilfælde af matricer

95 8.5 Specielle matricer (1) Kvadratiske matricer - eksempel

96 8.5 Specielle matricer (2) Diagonalmatricer- eksempel

97 8.5 Specielle matricer (3) Enhedsmatricer (Identity matrices)- eksempel

98 Eksempel 8.14 gennemgås

99 8.5 Specielle matricer (4) Den transponerede matrix eksempel 8.15 og 8.16 gennemgås

100

101 8.5 Specielle matricer Symmetriske matricer eksempel 8.17

102 8.5 Specielle matricer Skævsymmetrisk/Antisymmetrisk matrix: Hvis A T = -A siges A at være skævsymmetrisk/antisymmetris Eksempel 8.18 gennemgås:

103 Specielle matricer - oversigt Kvadratiske matricer Diagonalmatricer Enhedsmatricer (Identity matrices) Transponerede matricer (også ikkekvadratiske matricer) Symmetriske matricer Skævsymmetriske/antisymmetriske matricer

104 Opgaver/øvelser til næste gang Eksempel 8.3 Eksempel 8.4 (delvist) Eksempel 8.8 Eksempel 8.9 Eksempel 8.10 Eksempel 8.11 Øvelser side (1-9) Omtal øvelse 3 og 9 Eventuelt øvelser side (1-9)

105 Der gennemgås afsnit 8.6 og 8.7 Inverse matricer Determinanter Begge er kun definerede for kvadratiske matricer

106 Determinater Kendes fra gymnasiet fra vektorregning og to ligninger med to ubekendte Eksempel: Givet Bestem A =det(a)= -Vi skal også om lidt beregne determinanter for 3x3- matricer

107 8.6 Inverse matricer for 2 x 2-matrix Givet matrixligningen AB = C ; find B = Kan ikke løses med matrixdivision /findes ikke I stedet ganges igennem med A -1 den inverse matrix (Findes kun hvis A er kvadratisk!) Det gælder nemlig, at AA -1 = A -1 A = I (enhedsmatricen) Derved bliver B:

108 Eksempel 8.19 AA -1 = A -1 A = I

109 Formlen Kan vi eftervise det? AA -1 = A -1 A = I

110 Eksempel 8.20 AA -1 = A -1 A = I

111 Eksempel 8.21 AA -1 = A -1 A = I

112 Eksempel 8.22 singulær matrix

113 Generelt: Eksempel determinanter

114 Ortogonale matricer Matricen A siges at være ortogonal hvis A T = A -1 I så fald må det gælde, at Eksempel 24: AA -1 = A -1 A = I

115 8.7 Determinanten for en 3x3-matrix Minor underdeterminant Opløst efter 1. række

116 Eksempel 8.25

117 Eksempel 8.26

118 Cofactor Cofactoren er lig med minor en med et pladsafhængigt fortegn foran det enkelte element Eksempel

119 Eksempel 8.27

120 Sammenhæng med vektorprodukt Gymnasiestof: Vektorprodukt Givet: Eller vha. determinanter:

121 Eksempel 8.28

122 Cramers regel Kendt fra gymnasiet for to ligninger med to ubekendte (kendt som Determinantmetoden ) Givet:

123 Givet Cramers regel (2)

124 giver nul????? Hvad nu hvis..

125 Eksempel 8.29

126

127 Herefter og til næste gang: Regn nogle af opgaverne side 655 opgave 1 8 Regn desuden de manglende opgaver fra side 651, opgave 1-9

128 Dagens program Afsnit 8.8: Invers 3x3-matrix Afsnit 8.9: Anvendelser af matricer ved løsning af flere ligninger med flere ubekendte

129 8.8. Invers 3x3-matrix Lidt repetition: Den inverse matrix kaldes som bekendt A -1 Og det gælder, at AA -1 = A -1 A = I (enhedsmatricen) Kun kvadratiske matricer kan have en invers matrix Hvis A =det(a)= 0, eksisterer A -1 ikke For en 2x2-matrix bestemmes A -1 ved: Bemærk, at ad bc= A =det(a)

130 Nye ord sidste gang: Minor underdeterminant Eksempel Cofactor: Minor kombineret med et fortegn Eksempel

131 Nye ord denne gang Cofactormatricen Eksempel Adjoint matrix adj(a) (adjungeret matrix)

132 Og slutteligt: Den inverse matrix: Forbehold:

133 AA -1 = A -1 A = I Eksempel 8.30

134 8.9 Løsning af flere ligninger med flere ubekendt Vi skal i alt se på 3 metoder, hvori der indgår matricer: Cramers regel (determinantmetoden sidste gang) Matrix-metoden (dette afsnit) Gauss-elimination (8.10) Vi nøjes med at se på højst 3 ligninger med 3 ubekendte På computer kan der løses meget større ligningssystemer principperne er de samme!

135 Eksempel intro af matrixmetoden

136

137 Eksempel 8.32

138 Generelt gælder Hvis nu A -1 ikke eksisterer? Ingen løsninger Uendeligt mange løsninger Hvad svarer det til ved 2 ligninger med 2 ubekendte? 3 ligninger med 3 ubekendte? 4 ligninger med 4 ubekendte? Hvis A -1 ikke eksisterer kan metoden i næste kapitel overvejes!

139 Regn selv til næste gang Opgaver side 657, 1-2 og side 660, 1-2

140 8.10 Gauss elimation 3. metode inden for matrixregning til løsning af n ligninger med n ubekendte Tager udgangspunkt i de lige store koefficienters metode

141 Indledende eksempel 8.33

142 Udvidet matrix/totalmatrix/augmentedmatrix Lovlige Rækkeoperationer Enhver enkelt ligning må multipliceres med en vilkårlig konstant forskellig fra nul Enhver ligning kan lægges til eller trækkes fra enhver anden ligning Alle ligninger må ombyttes Echelon form

143 Eksempel 8.34 Er der noget uldent ved disse ligninger?

144 Eksempel 8.35 Er der noget uldent ved disse ligninger?

145 Eksempel 8.36

146

147

148 Eksempel 8.37

149

150 Eksempel 8.38 Der er noget uldent ved disse ligninger!

151 Eksempel 8.39 og resten af afsnittet Mathcad overspringes

152

153 Eksempel 40 gennemgår en metode til at invertere en matrix vha. Gauss elimination Spring over eller læs selv!

154 Lovlige Rækkeoperationer Enhver enkelt ligning må multipliceres med en vilkårlig konstant forskellig fra nul Enhver ligning kan lægges til eller trækkes fra enhver anden ligning Alle ligninger må ombyttes

155 Opgaver side 667, 1 2 Regn selv

156 Afsnit 8.11 Egenværdier og egenvektorer side 668 til 680 De mest avancerede egenskaber ved matricer, vi kommer til at beskæftige os med i dette kursus! Bruges bl.a. inden for løsning af differentialligninger/differentialligningssystemer

157 Eksempel kommer ikke i dette kursus

158 Et eksempel på egenværdi og egenvektor (Opg.3 side 641)

159 Hvad observererede vi her?

160 Egenvektorer og egenværdier I eksemplet er der givet en matrix Vi siger, at er en egenvektor til M Vi siger endvidere, at λ = 1 er en egenværdi til M Det gør vi, da vi kan skrive:

161 Vi skifter emne et øjeblik..

162 Homogene ligningssystemer Den trivielle løsning Homogent ligningsystem 1 Hvilke(n) løsning(er)? Homogent ligningsystem 2 Hvilke(n) løsning(er)?

163 Homogene ligningssystemer den trivielle løsning (2) Homogent ligningsystem 2 Hvilke(n) løsning(er)? se eksempel 8.35 side 662 Gælder også for 3 eller flere varable

164 For homogene ligninger gælder Hvis koeeficientmatricens determinant er nul, er der uendeligt mange løsninger. Hvis koeeficientmatricens determinant er forskellig fra nul, er der én løsning, nemlig den trivielle, hvor alle variablerne bliver 0

165 Eksempel 8.41

166 Eksempel 8.42

167 Begrebet egenværdi λ (eigenvalue) forklaret på en anden måde end før Givet ligningssystemet, hvori λ er en ubekendt konstant: Oplagt, at der findes en triviel løsning! På matrixform:

168 Hvornår har ligningssystemet ikke trivielle løsninger? Når determinanten A λ I =

169 Egenværdierne findes Den karakteristiske ligning

170 Eksempel 8.43

171 Det gælder, at

172 Eksempel 8.44

173 Eksempel 8.45

174 Eksempel 8.46

175 Mathcad

176

177 Pause Regn efter ca. 10 minutters pause øvelse 1 og 2 side 676. Regn de første i hånden og brug derefter computer.

178

179

180

181 Egenvektorer Til hver egenværdi λ findes der en vektor/talsæt X, som udgør den ikke trivielle løsning til det dertil hørende ligningssystem Den trivielle løsning løsning er naturligvis også

182 I eksemplet fra start er λ = 1 en egenværdi til M er en egenvektor svarende til λ = 1 λ = 1 er en også en egenværdi til M er også en egenvektor svarende til λ = 1 Test: M v 1 = λ v 1 : λ = 1: λ = 1:

183 OBS: Mange egenvektorer I eksemplet er en egenvektor til M Fra det oprindelige eksempel opgave 3 side 641 ender vektoren også med at blive til sig selv når den ganges med M Der er uendeligt mange egenvektorer til en egenværdi (her λ = 1), men de kan alle skrives som et tal gange

184 Eksempel 8.47 Egenværdierne blev fundet i eksempel Her blev de to egenværdier fundet til 1 og 5

185 Eksempel 8.48 Egenværdien blev fundet i eksempel Der er kun en egenværdi, nemlig 4

186 Egenvektorerne findes med Mathcad! Eksempel 8.49

187

188 Regn selv (Øvelse 1 og 2 side 676) Øvelse 1 og 2 side 680 Frivillige, supplerende opgaver: side øvelse 1, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 14, 15 og 16

189 Program 2. ordens differentialligninger Tirsdag d. 7. april (03.055) 2. ordens differentialligninger. 1. Homogene fuldstændige (Afs s ) Tirsdag d. 7. april (Auditorium) 2. ordens differentialligninger. 2. Homogene partikulære (Afs s ) Torsdag d. 9. april : Ingen Calculusundervisning Tirsdag d. 14. april (03.055) 2. ordens differentialligninger. 3. Inhomogene fuldstændige (Afs s ) Tirsdag d. 14. april (Auditorium) 2. ordens differentialligninger. 4. Inhomogene partikulære (Primært PowerPoints) Torsdag d. 16. april : Ingen Calculusundervisning Tirsdag d. 21. april (03.055) 2. ordens differentialligninger. Opgaveregning (Tirsdag d. 21. april (Auditorium) Nyt emne: Laplace transformation)

190 Partikulær løsning to konstanterside 539

191 To konstanter to ligninger

192 Partikulær løsning Begyndelsesbetingelse (Initial Value), f.eks. y(0) = 1 og y (0)= 0 Randbetingelse (Boundary Value), f.eks. y(2) = 1 og y (4)= 0 Der kan anvendes enten to y værdier, to y værdier eller et mix.

193

194

195 Maple Ultra light kursus

196 Maple

197

198 Maple

199 Regn nu og senest til 14. april Side 541 opgave og (eller så mange, I har behov for )

200 Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og Side Torsdag d. 23. april (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og Side Torsdag d. 30. april (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit Side Torsdag d. 7. maj (Auditorium) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit Side Tirsdag d. 12. maj (03.055) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit Side Tirsdag d. 12. maj (Auditorium) Overføringsfunktioner. Afsnit Side Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

201 Anvendelser af Laplacetransformationen Løsning af lineære differentialligninger med konstante koefficienter Blokdiagrammer for dynamiske systemer F(s) G(s) X(s)

202 Hvad er Laplacetransformationen En metode, hvor en funktion f(t) (t>=0) sendes over i et andet domæne, hvori f.eks. lineære differentialligninger med konstante koefficienter bliver til almindelige algebraiske ligninger. Den uafhængige variabel t (i tidsdomænet) ændres til en ny uafhængig (i s domænet). Ligningerne løses (let) i s domænet og transformeres derefter tilbage (invers Laplacetransformation) til tidsdomænet I s domænet bliver en integration erstattet af en division med s og en differentiation med en multiplikation med s. Det hele giver ingen mening før vi er færdige med afsnit 21.10!

203 Analogi: Logaritmer Princippet med tranformationer bruges tilsvarende ved logaritmer. Her transformeres tal ved at tage logaritmen. Og så bliver multiplikation til addition etc. Herefter tranformeres tilbage ved brug af potensopløftning (invers logaritmefunktion).

204 Definition af Laplacetransformationen

205 Definition af Laplacetransformationen

206

207

208

209

210 Specialfunktioner i tabel 21.1 side 592: e cosh t t e sinh t t e 2 e 2 t t Enhedstrinfunktion, u(t) u(t) 1 t Dirac s deltafunktion, (t) 1 (t) ( t) dt 1 t

211 Eksempel: f(t)=t 2. Bestem F(s) =L{f(t)} Hjælpeintegral fra Mathcad (Kan beregnes vha. partiel integration)

212

213 Regn til næste gang Side 593 opgave 1a, 1b, 1c, 1e, 1g, 1h, 1j, 1l, 1m Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.)

214 Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og Side Torsdag d. 23. april (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og Side Torsdag d. 30. april (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit Side Tirsdag d. 5. maj (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit Side Torsdag d. 7. maj (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit Side Kl : Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit Side Tirsdag d. 12. maj (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

215 Opgaver til denne gang problemer? Side 593 opgave 1a, 1b, 1c, 1e, 1g, 1h, 1j, 1l, 1m

216 1. Linearitet

217

218 Regn selv eksempel 21.4

219 21.5 Laplacetransformation. Differentiation og integration. Side 598

220

221

222 Eksempel 1

223 Eksempel 2

224 Resten af afsnittet overspringes

225 Regn til næste gang Side 600, opgave 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 2a, 2b, 2d Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.)

226 Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og Side Torsdag d. 23. april (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og Side Torsdag d. 30. april (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit Side Tirsdag d. 5. maj (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit Side Torsdag d. 7. maj (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit Side Kl : Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit Side Tirsdag d. 12. maj (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

227 Invers (omvendt) Laplacetransformation Kendt: Den Laplacetransformerede F(s) af en funktion f(t) (der ikke kendes) Ønskes fundet: f(t) Metode: Brug tabel 21.1 på side 592: Eks: F()= Find f(t)

228 Invers (omvendt) Laplacetransformation Hvis F( s) = L{ f ( L 1 ( t)} bliver f ( t) = L { F( s)} kaldes"den inverse (omvendte) Laplacetransformation") 1

229 OBS: Kig altid først på nævneren på F(s) Det er den der skal genkendes i tabellen

230 OBS: denominator = nævner(fx.: J. Bieber: Common Denomintor ) numerator = tæller

231 Completing the Square En kendt teknik, der omskaber et kvadratisk led (fx. s 2 ) og et førstegradsled (fx. 6s) samt evt. en konstant (fx. 13) til kvadratet på en toleddet størrelse plus en (eventuelt) restkonstant. Kendes af mange i forbindelse med fastlæggelse af centrum og radius i Cirklens Ligning Eksempel på Completing the Square: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab s 2 + 6s+ 13=

232

233

234 Regn til næste gang Side 603, opgave 1b-n, 2e, 2g, 2h, 2i, 2j, 2l Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.)

235 Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og Side Torsdag d. 23. april (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og Side Torsdag d. 30. april (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit Side Tirsdag d. 5. maj (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit Side Torsdag d. 7. maj (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit Side Kl : Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit Side Tirsdag d. 12. maj (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

236 Invers (omvendt) Laplacetransformation Kendt: Den Laplacetransformerede F(s) af en funktion f(t) (der ikke kendes) Ønskes fundet: f(t) Metode: Brug tabel 21.1 på side 592: Eks: F()= Find f(t) MEN: Ofte er specielt nævneren ikke til at identificere i tabellen. Eksemelvis vil ikke kunne genfindes i tabellen Brøken kan med fordel deles op i to brøker kaldet partialbrøker med nævneren s og s-1

237 MEN: Ofte er specielt nævneren ikke til at identificere i tabellen. Eksempelvis vil ikke kunne genfindes i tabellen Brøken kan med fordel deles op i to brøker kaldet partialbrøker med nævneren s og s-1 De to brøker kommer til at hedde Test: = Normalt er det ikke så simpelt Processen kaldes opdeling i partialbrøker ( partialfractions ) og kan opfattes som den modsatte (men noget mere besværlige) operation af at sætte på fælles brøkstreg Det et OK i beregninger at benytte f.eks. MathCadtil at bestemmelse af partialbrøker (dog ikke i 1. del af den skriftlige eksamen)

238

239

240

241

242 Mathcad I Mathcad bruges kommandoen parfractil bestemmese af partialbrøker Kommandoerne laplaceog invlaplace bruges til hhv. Laplacetransformation og Invers Laplacetranformation På TI89 bruges kommandoen expand

243 Mathcad giver:

244 Regn til næste gang Side , opgave 1a, 1b, 1e*, 1i*, 2c*, 2d*, 2e*, 2f* : Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.) *: Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Partialbrøker må dog gerne findes elektronisk) (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.) Brug tabel 21.1 side 592 til den inverse Laplacetransformation

245 Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og Side Torsdag d. 23. april (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og Side Torsdag d. 30. april (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit Side Tirsdag d. 5. maj (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit Side Torsdag d. 7. maj (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit Side Kl : Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit Side Tirsdag d. 12. maj (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

246 Opgaver til denne gang problemer? Side , opgave 1a, 1b, 1e*, 1i*, 2c*, 2d*, 2e*, 2f*

247 Sider i lærebog denne gang Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit Side Bemærk: Metoden løser lineære differentiallignininger og finder et analystisk ydtryk for løsningen, men der kan kun bestemmes partikulære løsninger ikke fuldstændige!

248

249

250 Eksempel overspringes

251 Eksempel regn selv efter gennemgang

252

253 Eksempel overspringes

254 Eksempel regn selv efter gennemgang

255 Eksempel overspringes

256 Eksempel 2 fra tidligere lektion (2)

257 M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0,05 (0) 0 ) ( 0 ) ( 1: Eks. y y s B t b 0 '(0) 0 (0) 9,4 9,4 0,02 ) ( ) 0,02sin(9,4 ) ( 2 : Eks. 2 2 y y s s B t t b 0 '(0) 0 (0) ,05 ) ( ) 0,05sin(47 ) ( 3: Eks. 2 2 y y s s B t t b

258 M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0,05 (0) 0 ) ( 0 ) ( 1: Eks. y y s B t b

259

260 M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0 (0) 9,4 9,4 0,02 ) ( ) 0,02sin(9,4 ) ( 2 : Eks. 2 2 y y s s B t t b

261

262 M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0 (0) ,05 ) ( ) 0,05sin(47 ) ( 3: Eks. 2 2 y y s s B t t b M k c y(t) B b(t)

263

264 Regn til næste gang Side , opgave 1a*, 1b*, 2a*, 2b*, 2c*, 2d*, 3** * Håndregning, men partialbrøker må findes med Mathcad, TI-89 e.a. og de enkelte partialbrøker invers Laplacetransformeres vha. tabel 21.1 side 592. ** Mathcad e.a. må benyttes til Laplacetransformation og direkte invers Laplacetransformation (uden bestemmelse af partialbrøker og benyttelse af tabel 21.1 side 592).