Den hurtige Fouriertransformation

Transkript

1 Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig Horer s regel: Givet oefficieter (a, a,, a - ), der defierer polyomiet =! " i p( x) x For givet x a vi evaluere p(x) i O() tid ved hjælp af ligige p( x) = a + x( a + x( a + 2! + x( a +! 2 xa! )!)) Evaluate(A, x): [hvor A=(a, a,, a - )] if = the retur a else A! (a,, a - ) [atag, at dette a gøres i O() tid] retur a + x * Evaluate(A, x) Multipliatio af polyomier Givet oefficieter (a, a,, a - ) og (b, b, b 2,, b - ), som defierer to polyomier, p(x) og q (x). Bestem polyomiet p(x)q(x), defieret ved hvor p(x)q(x) = c i! 2!2 " c i x i E lige ud ad ladeveje evaluerig tager O( 2 ) tid De magise FFT a gøre det i O( log ) tid = i a b j i" j 3 4

2 Iterpolatio Lad der være givet puter i plaet med forsellige x-oordiater. Da fides der præcis ét (-) te-grad polyomium, der går igeem alle disse puter y = p(x) Iterpolatio og multipliatio Alterativ metode til beregig af p(x)q(x): Bereg p(x) for 2 værdier, x, x,, x 2- Bereg q(x) for de samme 2 værdier Fid det (2-) te-grad polyomium, r(x), der går igeem putere {(x, p(x )q(x )), (x, p(x )q(x )),, (x 2-, p(x 2- )q(x 2- ))} Bereg værdie af r(x) y j E lige ud af ladeveje evaluerig tager uheldigvis stadig O( 2 ) tid, da vi for hvert af de 2 puter sal avede Horer s regel (som tager O() tid) De magise FFT a gøre det i O( log ) tid ved at vælge 2 puter, der er lette at evaluere x j x 5 6 Primitive ehedsrødder Esempel (Z * ) Et tal! er e primitiv te ehedsrod, >, hvis! = Tallee,!,! 2,,! - er idbyrdes forsellige x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^ , 6, 7, 8 er de ehedsrødder i Z * 2 2 =4, 6 2 =3, 7 2 =5, 8 2 =9 er 5 te ehedsrødder i Z * 2 - =6, 3 - =4, 4 - =3, 5 - =9, 6 - =2, 7 - =8, 8 - =7, 9 - =5 7 8

3 # 5 # 6 = -i Esempel 2 Egesaber Det omplese tal e 2"i/ er e primitiv te ehedsrod, hvor i =! Iversegesabe: Hvis! er e primitiv te ehedsrod, så er! - =! - Bevis:!! - =! = e 2"i/ = cos(2"/) + i si(2"/) # 3 # 2 = i # Aulerigsegesabe: For -<< og! er Bevis:! " j # = = 8 # 4 = - # = "! j (# )! (# )! ()!! # = = = = = #! #! #! #! # 7 9 Flere egesaber De disrete Fourier-trasformatio Redutiosegesabe: Hvis! er e primitiv 2 te ehedsrod, så er! 2 e primitiv te ehedsrod Bevis: Hvis,#,# 2,,# 2- er idbyrdes forsellige, så er, # 2, (# 2 ) 2,, (# 2 ) - også idbyrdes forsellige Refletiosegesabe: Hvis er lige, er! /2 = - Bevis: Ved brug af aulerigsegesabe for = /2 fås ( / 2) j / 2 / 2 / 2 = " #! =! +! +! +! +! +! +! = ( / 2)( +! Følgesætig: For lige gælder! +/2 = -! / 2 ) Givet oefficietere (a, a,, a - ) for et (-) te grad polyomium p(x) De disrete Fourier-trasformatio (DFT) evaluerer p for værdiere,!,! 2,,! - Vi bereger (y, y, y 2,, y - ), hvor y j = p(! j ), d.v.s. =! " ij y j # På matrix-form: y = Fa, hvor F[i,j] =! ij De iverse disrete Fourier-trasformatio bestemmer oefficietere for et (-) te grad polyomium givet dets værdier for,!,! 2,,! - På matrix form: a = F - y, hvor F - [i,j] =! -ij / 2

4 Korrethed af de iverse DFT Foldig DFT og de iverse DFT er fatis iverse operatioer [a,a,a 2,...,a - ] [b,b,b 2,...,b - ] Bevis: Lad A=F - F. Vi øser at vise, at A = I, hvor Hvis i = j, har vi! " " i j A [ i, j] = # # = " " " i i A[ i, i] =!# # =!# = = Hvis i og j er forsellige, har vi " A[i, j] = #! ( j"i) = (ved brug af aulerigsegesabe) = = = DFT og de iverse DFT a bruges til at multiplicere to polyomier Derfor a vi bestemme oefficietere for produtpolyomiet hurtigt, hvis vi a bestemme DFT og des iverse hurtigt Pad with 's Pad with 's [a,a,a 2,...,a -,,,...,] [b,b,b 2,...,b -,,,...,] DFT DFT [y,y,y 2,...,y 2- ] [z,z,z 2,...,z 2- ] Compoet Multiply [y z,y z,...,y 2- z 2- ] iverse DFT [c,c,c 2,...,c 2- ] (Covolutio) 3 4 De hurtige Fourier-trasformatio FFT-algoritme De hurtige Fourier-trasformatio (FFT) er e effetiv algoritme til beregig af DFT FFT er baseret på paradigmet del-og hers: Hvis er lige, opdeles polyomiet i polyomiere Vi har da, at 5 Køretide er O( log ) 6

5 Multipliatio af store heltal Esperimetelle resultater Givet to N-bit heltal I og J. Bereg IJ Atag, at vi a multiplicere ord af lægde O(log N) bit i ostat tid Fid et primtal p = c +, der a repræseteres i et ord Sæt m = $(log p) /2%, således at I og J a betragtes som vetorer af lægde beståede af m-bit ord Bestem e primitiv ehedsrod: Fid e geerator x i Z * p. Så er! = x c e primitiv te ehedsrod i Z * p Foretag FFT og ivers FFT for at berege foldige C af I med J Bereg =! " mi K c i 2 K er værdie af IJ Beregigere tager O( log ) tid, eller O(N), hvis vælges, så er O(N / log N) 7 Log-log sala viser at sædvalig multipliatio ører i vadratis tid, mes FFT-versioer ører i æste lieær tid. 8