StudyGuide til Matematik B.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "StudyGuide til Matematik B."

Transkript

1 StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag af Supplemet til udervisigsvejledige. Uddrag af Matematik Skriftlig eksame og større skriftlig opgave ved studetereksame og hf. Kommetarer på baggrud af cesoreres tilbagemeldiger. Bilag 4: Grafregerkravet på matematik hf tilvalg e sammeskrivig af uddrag af Udervisigsvejledig r. 21 for matematik i HF, Supplemet til udervisigsvejledig for matematik i gymasiet og hf og hæftet med evaluerig af skriftlig eksame i matematik for 2001 og 2002 GENEREL INTRODUKTION Materialer Du skal bruge E lærebog til matematik B (tilvalg). Matematiklærerforeiges opgavesamlig. Matematisk formelsamlig for Matematisk lije Obligatorisk iveau og HF-tilvalg. E lommereger med grafisk display (e grafreger) Lommereger Lommeregere skal være e grafisk lommereger, da de skriftlige prøver udarbejdes uder de forudsætig, at eksamiadere aveder lommeregere med grafisk display. Til eksame er det ikke tilladt at avede lommeregere, der ka udføre abstrakt algebraisk symbolmaipulatio. Forudsætiger Pesum til matematik B forudsætter, at stoffet fra matematik C er kedt.

2 Nogle lærebøger til matematik B medtager et afsit til opfriskig af reglere for tal og bogstavregig. Slår det ikke til, vil di kotaktperso sikkert gere hevise til supplerede materiale. Adre råd. De fleste har fordel af at fide e læsemakker. Sidder du alligevel fast i stoffet, tilbyder mage skoler et værksted, hvor ma ka få hjælp. EMNELISTEN. Idledig Dee guide er bygget op efter følgede pricip. Til hvert eme er der e beskrivelse af - Hvad skal jeg vide. - Hvad skal jeg kue. Mudtlig eksame vedrører væsetligst Hvad skal jeg vide. Det meste er omtalt i formelsamlige. Vigtigt. Af puktere uder Hvad skal jeg vide skal du kue begrude ogle. Adre ka du øjes med at omtale. Det er op til dig at vælge, hvilke du vil argumetere for. Skriftlig eksame hadler tilsvarede om Hvad jeg skal kue. Det væsetligste er listet i det følgede. Me i de sidste ede er det de opgaver, der har været givet til eksame, der fastlægger pesum. FUNKTIONER: Bekedtgørelse siger: 9.1 1) Fuktioer. Sammesat og omvedt fuktio. Polyomier, heruder deres faktoropløsig. Ekspoetialfuktioer, de aturlige logaritmefuktio og logaritmefuktioe med grudtal 10. Potesfuktioer. Trigoometriske fuktioer. Simple eksempler på fuktioers asymptotiske forhold. Opstillig og løsig af simple ligiger og uligheder, hvori de ævte fuktioer idgår. 9.2 ad 1) Fuktioer: Adegradspolyomiet, dets rødder og graf behadles. Algoritme for polyomiers divisio idføres, og sammehæge mellem et polyomiums grad og højeste atal rødder berøres. Fuktioers asymptotiske forhold belyses ved simple eksempler på polyomiumsbrøker. Uder trigoometriske fuktioer behadles sius, cosius og tages. Sammesat og omvedt fuktio

3 1. De sammesatte fuktio fg er bestemt ved (fg)(x) = f(g(x)), hvor g kaldes de idre fuktio, og f de ydre fuktio 2. Defiitiosmægde Dm(fg) = {x x Dm(g) og g(x) Dm(f)} 3. E fuktio kaldes ijektiv, år der for ethvert tr gælder, at ligige f(x) = t har højst é løsig. 4. Ehver mooto fuktio er ijektiv. 5. De ijektive fuktioer er præcis dem, der har omvedte fuktioer. 6. De omvedte fuktio beteges f 1. Der gælder, at Dm( f 1 ) = Vm(f) og Vm( f 1 ) = Dm(f). 7. Hvis fuktioe f har e omvedt fuktio f 1 gælder der, at f 1 f(x) = x og f f 1 (y) = y. 8. E puktmægde i koordiatsystemet er graf af e ijektiv fuktio, etop år ige lodret lije og ige vadret lije skærer de i mere ed ét pukt. 9. Grafe for de omvedte fuktio f 1 fremkommer ved at spejle grafe for f i lije y = x. 1. Fide regeforskrifte for fg, år regeforskriftere for f og g er kedte, ved at idsætte regeudtrykket for g på x s plads i regeforskrifte for f. 2. Bestemme defiitiosmægde for e sammesat fuktio. 3. Gøre rede for, at e give fuktio f har e omvedt ved at vise, at fuktioe er ijektiv. 4. Aflæse fuktiosværdier for f 1 ud fra grafe for f. 5. Fide regeforskrifte for de omvedte fuktio f 1, år regeforskrifte for (e simpel) fuktio f er givet, ved at bestemme f 1 (t) som løsig til ligige f(x) = t. Adegradspolyomier 1. E fuktio f, der har e forskrift af forme f(x) = ax 2 + bx + c, hvor a 0, kaldes et adegradspolyomium. 2. Grafe for et adegradspolyomium kaldes e parabel. 3. Parable siges at have ligige y = ax 2 + bx + c. 4. Parables toppukt er parables laveste pukt, hvis a > 0, dvs. parables gree veder opad. Hvis a < 0, er det parables højeste pukt, og parables gree veder edad. d Toppuktet bereges af ( s, t) = ( b, 2 a 4a ), hvor d = b2 4ac kaldes diskrimiate. 5. Grafe for adegradspolyomiet f(x) = ax 2 + bx + c er e parabel, som fås ved e forskydig af y = ax Adegradsligige ax 2 + bx + c = 0 - har ige løsiger (rødder) år d < 0, - har é løsig x = 2b a år d = 0 og b± d - har to løsiger x = 2a år d > 0.

4 7. E adegradsulighed fremkommer ved, at lighedsteget i e adegradsligig erstattes af et af symbolere <, >,,. 8. Hvis adegradspolyomiet ax 2 + bx + c har røddere r 1 og r 2, har det faktoropløsige ax 2 + bx + c = a (x r 1 ) (x r 2 ). 1. Berege parables toppukt (, d t) ( b ) s, 2 a 4a = og tege grafe for parable f(x) = ax2 + bx + c ud fra dette. 2. Løse e adegradsligig. 3. Løse e adegradsulighed ved først at løse de tilsvarede adegradsligig, tege e skitse af parable ud fra vide om greees beliggehed og atal rødder (v.hj.a. grafregere) og ud fra dee skitse aflæse løsigsmægde. te gradspolyomier 1. Et te-gradspolyomium p(x) har e forskrift, der består af et kostat led, et led med x i første potes, et led med x i ade potes... og et led med x i te potes: p(x) = a x + a -1 x a 2 x 2 + a 1 x + a 0, N og a 0. De tal, ma har gaget de forskellige poteser af x med, kaldes polyomiets koefficieter. 2. Et ultegradspolyomium er e kostat fuktio p(x) = k, hvor k 0 og k R. 3. Nul-polyomiet er fuktioe p(x) = 0 og har ige grad. 4. Når p(x) og d(x) er to polyomier af grad større ed eller lig med 1, vil der ved polyomiumsdivisio af p(x) med d(x) fremkomme to polyomier q(x) og r(x), der opfylder divisiosligige p(x) = q(x) d(x) + r(x), hvor restpolyomiet r(x) har midre grad ed d(x) (eller r(x) = 0). Hvis r(x) = 0 siger vi, at divisioe går op. 5. Et tal siges at være rod i polyomiet p(x), hvis p(a) = 0, hvilket er det samme som, at a er løsig til te-gradsligige p(x) = 0, hvilket etop gælder, år x - k går op i p(x). 6. Et tegradspolyomium har højst rødder. 1. Udføre e polyomiumsdivisio og opskrive divisiosligige. 2. Løse e te-gradsligig ved at fide rødder på grafregere eller ved at gætte e rod og herudfra lave e faktoriserig af polyomiet i første- og adegradspolyomier, der ka løses ved beregig. 3. Løse e te-gradsulighed (ofte tredjegradsulighed) ved at løse de tilsvarede tegradsligig, lave e fortegslije for polyomiet og herudfra aflæse løsigsmægde. Polyomiumsbrøk t 1. E polyomiumsbrøk er e fuktio givet ved polyomier. f =, hvor både t og er

5 1. Bestemme defiitiosmægde. 2. Reducere e polyomiumsbrøk ved at faktorisere tællerpolyomiet og æverpolyomiet (se uder te gradspolyomier). 3. Fide ligiger for asymptoter til grafe for e polyomiumsbrøk (se æste afsit) 4. Opstille og løse simple ligiger og uligheder med polyomiumsbrøker. 5. Differetiere e polyomiumsbrøk. Asymptoter (Se også afsittet Kotiuitet og græseværdi uder Differetialregig ) 1. E ret lije kaldes e asymptote for grafe for f, hvis de vikelrette afstad mellem puktere på grafe og lije ka gøres vilkårlig lille, år puktere på grafe bevæger sig ùedeligt lagt bort fra (0, 0). 2. E kotiuert fuktio f ka ku have lodret asymptote x = x 0, hvis f ikke er defieret i x 0. t x f x = er e polyomiumsbrøk, og a er rod i ævere (x) og ikke i tællere 3. Hvis ( ) ( ) t(x), er lije med ligige x = a lodret asymptote til grafe for f. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) < grad af (x), så er x-akse 4. Hvis ( ) ( ) vadret asymptote. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) = grad af (x), så har f 5. Hvis ( ) ( ) vadret asymptote y = a, hvor a er forholdet mellem koefficietere til højestegradsleddee i tæller- og æverpolyomiere. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) = grad af (x) + 1, så har f e 6. Hvis ( ) ( ) skrå asymptote, hvis ligig fides ved polyomiers divisio. t x f x = er e polyomiumsbrøk, hvor grad af t(x) > grad af (x) +1, så har f 7. Hvis ( ) ( ) hverke vadret eller skrå asymptote. 1. Udersøge om grafe for e fuktio f har vadret asymptote med ligige y = a, ved at udersøge om f(x) a for x og/eller f(x) a for x Udersøge om grafe for e fuktio f har lodret asymptote med ligige x = x 0 ved at udersøge om f(x) for x x 0 (±) og/eller f(x) - for x x 0 (±). 3. Udersøge om grafe for e fuktio f har skrå asymptote med ligige y = ax + b ved at udersøge om f(x) - (ax + b) 0 for x og/eller f(x) - (ax + b) 0 for x -. t 4. Fastlægge defiitiosmægde Dm(f), for e polyomiumsbrøk f =, der består af alle reelle tal bortset fra ulpukter for ævere (x). t x f x =, der består af 5. Fastlægge evt. ulpukter for e polyomiumsbrøk ( ) ( ) ulpuktere for tællere, som fides ved at løse ligige t(x) = 0.

6 Ekspoetial- og logaritmefuktioer 1. E fuktio med forskrifte f(x) = a x kaldes e ekspoetialfuktio. Tallet a er grudtallet og a 1 og a > 0. Dm(a x ) = R og Vm(a x ) = R +. Ekspoetialfuktioe med grudtal a beteges exp a, dvs. exp a (x) = a x. Hvis a > 1 er f(x) = a x voksede. Hvis 0 < a < 1 er f(x) = a x aftagede. 2. Titalslogaritmefuktioe log er de omvedte fuktio til ekspoetialfuktioe med grudtal 10, exp 10 (x) = 10 x. 3. De ekspoetialfuktio, hvis graf i puktet (0, 1) har e taget med hældige 1, kaldes de aturlige ekspoetialfuktio. Des grudtal beteges e, og fuktioe beteges exp. 4. De aturlige logaritmefuktio l er de omvedte fuktio til de aturlige ekspoetialfuktio. 5. For alle x R gælder log(10 x ) = x og l(e x ) = x samt for alle t R + gælder 10 log(t) = t og e l(t) = t. 6. For alle a, b R + og alle x R gælder: log(a b) = log(a) + log(b) og l(a b) = l(a) + l(b) log(a : b) = log(a) log(b) og l(a : b) = l(a) l(b) log(a x ) = x log(a) og l(a x ) = x l(a) 7. De afledede fuktio (se uder differetialregig) af de aturlige ekspoetialfuktio er exp (x) = exp(x) eller (e x ) = e x og dermed også (e kx ) = ke x. 8. Differetialkvotiete af e vilkårlig ekspoetialfuktio er (a x ) = l(a) a x, x R. l x 1 =, x R Differetialkvotiete af de aturlige logaritmefuktio er ( ) x 1. Opstille og løse ligiger med ekspoetial- og logaritmefuktioer af følgede typer e x = b x = l(b), a x log( b) = b x =, l(x) = b x = e b, l(ax + b) = c ax + b = e c log ( a) e b x c =, 10 x = b x = log(b), log(x) = b x = 10 b og log(ax + b) = c ax + b = a 10 c c b x = 10 a osv. og tilsvarede uligheder. 2. Differetiere e vilkårlig ekspoetialfuktio. Potesfuktioer 1. At der til procetvise lige store x-tilvækster svarer procetvise lige store tilvækster (eller fald) i fuktiosværdiere for e potesiel fuktio. 2. De potesielle fuktioer er de fuktioer, hvis regeforskrift ka skrives på forme f(x) = b x a, b > 0 3. Potesfuktioere er de fuktioer, der ka skrives på forme f(x) = x a, hvor a kaldes ekspoete.

7 4. De fuktioer, hvis graf er e ret lije i et dobbeltlogaritmisk koordiatsystem, er etop de potesielle fuktioer. 5. Potesfuktioere f(x) = x a er differetiable med de afledede f (x) = ax a Fide regeforskrifte ud fra aflæsig på grafe i et dobbeltlogaritmisk koordiatsystem: Grafe går geem (0, b) hvor b = f(1) og a fides som lijes hældigskoefficet i det tilhørede sædvalige koordiatsystem (dvs. aflæst med e lieal). 2. Berege forskrifte ud fra (aflæsig af) to pukter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på grafe v.hj.a. log( y2 ) log( y1 ) a =, mes b fides ved at idsætte et af puktere i forskrifte. log ( x ) log( x ) Afgøre om ogle pukter ka beskrives ved e potesiel model ved, at afsætte sammehørede værdier af x og y i et dobbeltlogaritmisk koordiatsystem. Hvis puktere med god tilærmelse ligger på e ret lije, ka puktere tilærmelsesvis beskrives ved e potesiel fuktio, hvis regeforskrift ka fides ved aflæsig på grafe (lije). 4. Opstille og løse simple ligiger og uligheder, hvor potesfuktioer id går fx a b x = k x = a b k og tilsvarede uligheder. 5. Differetiere e vilkårlig potesiel fuktio Trigoometriske fuktioer 1. Ehedscirkle er e cirkel med radius 1 og cetrum i (0, 0). 2. E vikels radiatal x er lægde af de bue på ehedscirkle, som vikle v spæder over. Der gælder x p v = Retigspuktet P x for et positivt tal x fides ved at bevæge sig lægde x på ehedscirkle mod uret (positiv omløbsretig) ud fra puktet E(1, 0). Hvis x er egativ foregår bevægelse med uret. 4. For et reelt tal x er cos(x) lig med førstekoordiate til retigspuktet P x, og si(x) er lig adekoordiate til P x. 5. For alle reelle tal x er cos(- x) = cos(x) og si(- x) = - si(x) samt cos = - cos(x) og si = si(x). 6. Grudrelatioe cos 2 (x) + si 2 (x) = 1, x R. 7. Fuktioere f(x) = a si(bx) og g(x) = a cos(bx) har amplitude (bølgehøjde) a og 2 π periode (bølgelægde) b. 8. Fuktioe tages er defieret ved ta = si π cos, x 2 + p π, p Z og er periodisk med periode. 9. ta(v) agiver adekoordiate til det pukt, hvori vestre vikelbe til vikle v skærer tagete i E(1,0) til ehedscirkle.

8 10. De trigoometriske fuktioer f(x) = si(x), g(x) = cos(x) og h(x) = ta(x) er differetiable med de afledede f (x) = cos(x), g (x) = si(x) og 1 cos 2 h = 1 + ta = 2 1. Omrege mellem radia- og gradtal ud fra, at 2 radia = Løse trigoometriske grudligiger af type cos(x) = a, si(x) = a og ta(x) = a, hvor a er et tal, ved brug af ehedscirkle eller ved aflæsig på fuktioeres grafer (på grafregere). 3. Løse trigoometriske gruduligheder, der fremkommer af de trigoometriske grudligiger ved at erstatte lighedsteget med et af symbolere >, <, og ved brug af ehedscirkle eller aflæsig på grafere (på grafregere). 4. Differetiere e vilkårlig trigoometrisk fuktio. GEOMETRI OG TRIGONOMETRI Bekedtgørelse siger: 9.1 2) Geometri og trigoometri. Beregig af sider og vikler i trekater. Ligig for ret lije; skærig mellem rette lijer. Afstad mellem pukter og mellem pukt og lije. Ligig for cirkel; skærig mellem lije og cirkel. 9.2 ad 2) Geometri og trigoometri: Beregig af sider og vikler i trekater behadles ved hjælp af cosius_ og siusrelatioere. På aalytisk grudlag behadles ret lije og cirkel samt afstad mellem pukter og mellem pukt og lije. Det illustreres, hvorledes geometriske problemer ka formuleres og løses aalytisk, heruder sammehæge mellem hældigskoefficieter og ortogoalitet af rette lijer og mellem hældigskoefficiet og vikel med førsteakse. Trigoometri si 1. I e vilkårlig trekat ABC gælder siusrelatioe ( A ) si ( B ) si ( C = = ) a b c 2. I e vilkårlig trekat ABC gælder cosiusrelatioere a 2 = b 2 + c 2-2 b c cos (A) b 2 = c 2 + a 2-2 c a cos (B) c 2 = a 2 + b 2-2 a b cos (C) 3. I e vilkårlig trekat ABC er arealet bestemt ved 1 ( C) = 1 a c si( B) = b c si( A) T = 1 2 a b si 2 2

9 1. Hvis tre af stykkere (sider eller vikler) i e trekat er kedte, heraf midst é af sidere, skal de øvrige kue fides v.hj.a. cosius- og siusrelatioere og sætige om at vikelsumme i e trekat er 180. Hvis e vikel ka bestemmes v.hj.a. både cosius- og siusrelatioe, bør cosiusrelatioe vælges, da ligige cos(x) = k ku har é løsig mellem 0 og 180, mes si(x) = k har to. I det tilfælde hvor ma keder to sider og e ikke mellemliggede vikel ka der fides både ige, e eller to trekater, der opfylder betigelsere. 2. Fide arealet af e vilkårlig trekat. Aalytisk geometri 1. Lije geem (0, b) med hældigskoeffiete a er bestemt ved ligige y = ax + b. 2. De lodrette lije geem (k, 0) er bestemt ved ligige x = k. 3. ax + by + c = 0 er ligige for e ret lije i et koordiatsystem, hvis a og b ikke begge a c er 0. Hvis b 0 er hældigskoefficiete b og skærige med y akse b. 4. Hvis (x 0, y 0 ) er et pukt på de rette lije med hældigskoefficiete a, er ligige for lije y - y 0 = a (x - x 0 ) 5. Afstade AB mellem puktere A(x 1, y 1 ) og B(x 2, y 2 ) er bestemt ved AB 2 ( x x ) + ( y ) 2 = y1 6. Afstade dist(p, l) fra et pukt P(x 1, y 1 ) til lije l med ligige y = ax + b er bestemt ax1 + b y1 ved dist ( P, l) =. 2 a For to lijer l og m med hældigskoefficieter a og c gælder, at l er parallel med m (l m), etop år a = c og l står vikelret på m (l m), etop år a c = For e ret lije med ligige y = ax + b gælder ta(v) = a, hvor v er de vikel, lije daer med x-akse. 9. To ligiger med to ubekedte af første grad a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 og a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 bestemmer to lijer l og m. Ligigssystemet har é løsig, år l og m ikke er parallelle, emlig de to lijers skærigspukt, ige løsiger, år l og m er parallelle og ikke sammefaldede og uedelig mage løsiger, år l og m er sammefaldede. 10. Hvis e cirkel har cetrum i C(a, b) og radius r, er cirkles ligig (x - a) 2 + (y - b) 2 = r Løse to ligiger med to ubekedte af første grad.

10 2. Fide vikle mellem to rette lijer ved at fide lijeres vikler med x-akse, lægge dem samme eller trække dem fra hiade - hvilket afgøres ved at se på e figur. 3. Afgøre om e adegradsligig i x og y beskriver e cirkel ved at omskrive de til forme (x - a) 2 + (y - b) 2 = k. Hvis k < 0 beskrives de tomme mægde Ø, hvis k = 0 beskrives puktet (a, b) og hvis k > 0 beskrives e cirkel med radius k. 4. Fide cirkeltagete til et givet pukt på cirkle ved at berege hældige a r for radius til rørigspuktet. Hældige a for tagete er 1 a r. Idsæt derefter puktet i lijes ligig. 5. Bestemme evt. skærigspukter mellem lije og cirkel ved at idsætte lijes ligig i cirkles og løse de derved fremkome adegradsligig i x eller y. 6. Bestemme afstad mellem pukt og pukt, pukt og lije, parallelle lijer og cetrum og cirkelperiferi. DIFFERENTIALREGNING 9.1 3) Differetialregig. Differetialkvotiet; taget til graf, det approksimerede førstegradspolyomium. Regeregler for differetiatio. Bestemmelse af differetiable fuktioers mootoiforhold og ekstrema. Tegig af grafer. Eksempler på fortolkig af differetialkvotiet og avedelser af differetialregige. 9.2 ad 3) Differetialregig: Kotiuitets_ og græseværdibegrebet itroduceres, me gives ikke e egetlig behadlig. Der gives eksempler på bestemmelse af differetialkvotiet for simple fuktioer. Regereglere for differetiatio omfatter sum, differes, produkt, kvotiet og sammesat fuktio. I forbidelse med beskrivelse af fuktioers variatio og tegig af grafer drøftes differetialkvotietes betydig for fastlæggelse af fuktioes mootoiforhold og ekstrema samt det kedskab, der herigeem opås til grafes (globale) forløb. Det approksimerede førstegradspolyomium og avedelse heraf til ulpuktsbestemmelse (Newto-Raphsos metode) behadles. Begrebet stamfuktio omtales. Kotiuitet og græseværdi 1. Ma siger, at f(x) går mod a, år x går mod x 0, år det om ehver følge af tal x 1, x 2, x 3,...., der ærmer sig x 0, gælder, at fuktiosværdiere f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... kommer tættere og tættere på et tal a. Fuktioe f skal være defieret i et iterval I omkrig x 0, evt. x 0 ikke medreget. f(x) går mod a, år x går mod x 0 skrives f(x) a år x x 0 eller f har græseværdie a, år x går mod x 0, der skrives lim f = a 2. E fuktio x x 0

11 f har e græseværdi fra vestre, hvis f(x) går mod a for x gåede mod x 0 geem værdier midre ed x 0, som skrives f(x) a år x x 0 og f har e græseværdi fra højre, hvis f(x) går mod a for x gåede mod x 0 geem værdier større ed x 0, som skrives f(x) a år x x E fuktio f kaldes kotiuert i puktet x 0, hvis græseværdie og fuktiosværdie i lim f x = f x. puktet er de samme: ( ) ( ) x x0 4. E fuktio, der er kotiuert i ethvert tal i defiitiosmægde kaldes e kotiuert fuktio. 5. E fuktio, der har e graf, der overalt er sammehægede, er kotiuert Fide græseværdi - typisk for fuktioer hvis forskrift ideholder e -x eller e x - år x går mod eller mod Argumetere for eksistes af asymptoter. 3. Fide differetialkvotiet ud fra differeskvotiet (se æste afsit). Differetialkvotiet 1. Fuktioe f kaldes differetiabel i x 0, hvis det er muligt at fide e græseværdi for f f ( x ) f ( x0 ) differeskvotiete = år x går mod x 0. x x x0 Græseværdie kaldes differetialkvotiete i x 0 og beteges f (x 0 ). Differeskvotiete agiver hældige for sekate geem puktere (x 0, f(x 0 )) og (x, f(x)). Differetialkvotiete agiver tagetes hældig i puktet (x 0, f(x 0 )). 2. E fuktio, der er differetiabel i ethvert tal i defiitiosmægde, siges at være e differetiabel fuktio. 3. De fuktio f, der til ethvert x i Dm(f) kytter differetialkvotiete f (x) kaldes de afledede fuktio af f eller blot differetialkvotiete af f. 4. Hvis fuktioe f er differetiabel i x 0, har tagete til grafe i puktet (x 0, f(x 0 )) ligige y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x - x 0 ). 5. Hvis f er differetiabel i x 0, er f også kotiuert i x Hvis f er differetiabel i x 0, er grafe glat i x Fide differetialkvotiete v.hj.a. tretrisregle: I første tri udrege fuktiostilvækste f = f(x) - f(x 0 ), f f f ( x0 ) i adet tri udrege differeskvotiete = og i tredje tri lade x gå mod x 0 for at fide e græseværdi for differeskvotiete. Dee græseværdi er differetialkvotiete for f i x Fide de afledede af følgede simple fuktioer: x x x0

12 f(x) k ax + b ax 2 1 x, x > 0 x, x 0 f (x) 0 a 2ax 1 2 x 3. Fide ligige for tagete til e fuktio f i puktet P(x 0, y 0 ), hvis f er differetiabel i x Fide ligige for e taget til grafe for e differetiabel fuktio f, år tagetes hældig a = f (x 0 ) er givet. Rørigspuktets x-koordiat x 0 bestemmes ud fra dee ligig og y-koordiat, y 0 ud fra f(x 0 ) = y 0, hvorefter tagetligige ka opskrives. Regig med differetialkvotieter og stamfuktio 1. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0, er også summe f + g differetiabel i x 0, og (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0, er også differese f - g differetiabel i x 0, og (f - g) (x 0 ) = f (x 0 ) - g (x 0 ). 3. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0, er også produktet f g differetiabel i x 0, og (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ). 4. Hvis f og g er fuktioer, der er differetiable i x 0 og g(x 0 ) 0, er også kvotiete g f f f ( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ( x0 ) differetiabel i x 0, og ( x ) = g ( ) 2 0 g x0 5. Hvis f er differetiabel i x 0 og k er et reelt tal, er også fuktioe k f differetiabel i x 0, og (k f) (x 0 ) = k f (x 0 ). 6. Hvis g er differetiabel i x 0 og f er differetiabel i y = g(x 0 ), så er f g differetiabel i x 0, og f g (x 0 ) = f (y) g (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). 7. Fuktioe F kaldes e stamfuktio til fuktioe f, hvis F (x) = f(x). 1. Avede de uder ævte regler for differetiatio, år f og g er e eller flere af følgede fuktioer (se uder disse): polyomier, ekspoetielle fuktioer, de aturlige logaritmefuktio, logaritmefuktioe med grudtal ti, potesfuktioer og de trigoometriske fuktioer. 2. Differetiere e sammesat fuktio. Fuktiosudersøgelse 1. Hvis f er differetiabel i itervallet I, gælder der, at hvis f (x) > 0 for alle x i I, så er f voksede i I, hvis f (x) < 0 for alle x i I, så er f aftagede i I og hvis f (x) = 0 for alle x i I, så er f kostat i I. 1 2 x.

13 2. Fuktioe f har lokalt maksimum i x 0, hvis der fides et iterval I omkrig x 0, så f(x 0 ) f(x) for alle x i I og f har lokalt miimum i x 0, hvis der fides et iterval I omkrig x 0, så f(x 0 ) f(x) for alle x i I. x 0 kaldes lokalt maksimumssted/miimumssted, og f(x 0 ) er lokalt maksimum/miimum. Lokale maksimumssteder og lokale miimumssteder kaldes lokale ekstremumssteder og fuktiosværdiere kaldes lokale ekstrema. 3. Hvis f er differetiabel i x 0, og f har lokalt ekstremum i x 0, så er f (x 0 ) = Hvis f er differetiabel i x 0, og f (x 0 ) = 0, gælder der, hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er + 0, så har f lokalt maksimum i x 0, hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er 0 +, så har f lokalt miimum i x 0, hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er + 0 +, så har f vedetaget i x 0 og hvis fortegsvariatioe for f omkrig x 0 er 0, så har f vedetaget i x Foretage e fuktiosaalyse af e give fuktio f og derved: a. Fastlægge defiitiosmægde Dm(f), der består af alle reelle tal bortset fra ulpukter for e evt. æver eller de tal, hvor udtrykket uder e evt. kvadratrod i regeforskrifte bliver egativ o. lig. b. Fide ulpukter og forteg. Løs ligige f(x) = 0 mauelt eller ved hjælp af grafregere og fid herved grafes skærigspukter med x-akse. Disse er ulpukter (rødder). På grafregere ka ma på grafe eller i des tabel aflæse de itervaller, hvori fuktiosværdiere er positive, dvs. hvor grafe ligger over x-akse og hvori fuktiosværdiere er egative, dvs. hvor grafe ligger uder x-akse. Disse teges id på e fortegslije samme med pukter hvor f ikke er defieret. c. Fide lokale ekstrema og vedetageter for f ved først at fide de afledede f (x) og løse ligige f (x) = 0 og deræst lave e fortegslije for f med ulpukter for f og pukter hvor f ikke er defieret. Fid forteget i hvert af itervallere på lije v.hj.a. grafregere (graf eller tabel). d. Opskrive fuktioes mootoiforhold ud fra fortegslije for f : f er voksede i itervaller hvor f (x) > 0, f er aftagede i itervaller, hvor f (x) < 0 og f er kostat i itervaller hvor f (x) = 0. e. Fide evt. asymptoter (se tidligere) f. Tege grafe på grafregere og overføre e velligede skitse til papir. g. Fide værdimægde Vm(f) ved at fide fuktiosværdiere i de lokale ekstremumssteder samt, hvis defiitiosmægde er et iterval, så fide - fuktiosværdiere i edepuktere af dette iterval og derefter betragte grafes udstrækig på y-akse. 2. Løse optimerigsproblemer ved at opstille e matematisk model i form af e fuktio og fide maksimum eller miimum for dee v.hj.a. de afledede fuktio.

14 Avedelser: Det approksimerede førstegradspolyomium og Newto-Rapsos metode 1. De lieære fuktio p(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x - x 0 ) kaldes det approksimerede førstegradspolyomium for f i x 0, hvor f er e fuktio, der er differetiabel i x 0. f ( x ) 2. Newto-Rapsos iteratiosformel x + 1 = x f ( x ) ka bruges til at bestemme ulpukter for fuktioe f, ved først at skaffe et overblik over grafes forløb og derefter vælge et tal x 0, som ligger tæt ved ulpuktet på x-akse. Der udreges bedre og bedre tilærmelser x 1, x 2, x 3,... til ulpuktet til øjagtighede er tilfredsstillede. 1. Avede det approksimerede førstegradspolyomium til at bestemme tilærmede fuktiosværdier. EKSAMEN Skriftlig eksame Der er itet krav om blæk eller kuglepe. Me bruger du blyat, skal du skrive så tydeligt, at der ikke er tvivl om, hvad du meer. Pas på at trykke hårdt ok. Orde (dvs. opstillig og overskuelighed) spiller e rolle. Ofte letter figurer og skemaer læseres forståelse. Ved bedømmelse af opgavebesvarelsere lægges der vægt på, at di takegag klart fremgår af besvarelse samt på de avedte metoders og beregigers korrekthed. Det vil idgå i bedømmelse, om opgavebesvarelse ideholder e overskuelig og klar opstillig af beregiger, e omhyggelig udførelse af figurer og e forklarede tekst, der tydeliggør problemløsigsprocesse, og som får besvarelse til at udgøre et sammehægede hele. E besvarelse forvetes derfor at ideholde: e redegørelse for bruge af evetuelle figurer og e agivelse af avedte betegelser, fx for ubekedte størrelser e tydeliggørelse af sammehæge i beregiger, fx ved e hesigtsmæssig opstillig, e forbidede tekst og/eller avedelse af logiske symboler e tydeliggørelse af koklusioer, heruder delkoklusioer Di opgavebesvarelse skal dae grudlag for vurderig af de avedte fremgagsmåder og de udførte beregiger. Omskriviger af mellemregiger og mellemresultater må derfor i rimeligt omfag medtages i besvarelse. Avedes grafiske løsigsmetoder, må aflæsiger markeres tydeligt på de avedte figur. Det er vigtigt, at rege-, idtastigs og aflæsigsfejl afslører sig som sådae og ikke som forståelsesfejl. Læs mere om de skriftlige prøve i Uddrag af udervisigsvejledige, som fides aftrykt i Matematiklærerforeiges opgavesamlig.

15 Mudtlig eksame Repetitio Lav ogle overskrifter du kue forestille dig er eksamesspørgsmål. Boges afsit ka bruges som udgagspukt, me vær opmærksom på at der ka være spørgsmål på tværs af disse. Vurdér hvilket stof du meer, er så væsetligt ide for di overskrift, at det skal med i di fremlæggelse. Brug die ege ord. Overvej hvilke beviser du vil geemføre og fid helst die ege eksempler til illustratio af stoffet. Forbered e fremlæggelse på ca. tyve miutter. Øv dig i fremlæggelse over for di læsemakker, et familiemedlem eller kammerat. Når mauskriptet er rettet og pudset af, er det dette du tager udgagspukt i uder forberedelse til de mudtlige eksamiatio. Som eksempler på formulerig af eksamesspørgsmål ka æves: Polyomier Der øskes e redegørelse for adegradspolyomiets graf og/eller rødder. Differetialregig Regeregler for differetiatio, heruder differetiatio af et produkt.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger Eksamesspørgsmål NmaC144s sommer 014. Gør rede for omformigsreglere for ligiger. Spørgsmål 1: Ligiger Giv eksempler på hvorda forskellige ligiger løses. Du bør her komme id på flere forskellige ligigstper,

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016 Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere