Projekt 0.7. Vinklens tredeling og konstruerbare tal
|
|
- Arnold Kvist
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Projet 0.7. Viles tredelig og ostruerbare tal Det er let at tredele et lijestye. Eller for de sags syld dele det op i lige store dele, hvor : Afsæt e vilårlig viel, hvor lije l = AB ligger ud af det ee be. Afsæt lige lage styer ed af det adet be, så vi her får putere P, P, P,..., P. Forbid u det sidste P med B og teg geem P, P, P,..., P lijer parallelle med. Dette a gøres med brug af passer og lieal ved at afsætte vile ved i de adre puter. Deres PB særigsputer med lije l alder vi for Q, Q, Q,..., Q, og disse puter deler AB i lige store dele: P A Q Q Q Q B = Q A Q Q B = Q 4 5 P P P P P 4 P 5 Tilflædet = 5 Tilfældet = P P Når dette er tilfældet, er det jo ie e fjer tae at rejse problemet om tredelig af e viel. Me det ue mærværdigvis ie løses så let ja det viste sig at være uløseligt. Me med flere hjælpemidler gi det fit. Archimedes tredelig af vile Archimedes lavede de o eleste ostrutio, hvor ha brugte e»idsydigslieal«, dvs. e lieal med måleeheder. Ha gjorde som følger: I ehedscirle afsættes de viel, vi vil tredele, i. vadrat A (se figure). Vi alder vile v, og v øser altså at fide e viel af størrelse v. v B Vi tager u lieale, lægger v de, v så de rører putet A, således v at vi får afsat et stye BC, der har E O F C lægde. Det a vi gøre ved at prøve os frem. Når BC er afsat, er treatere OAB og OBC begge ligebeede, og ved at se på vielsumme fider vi vilere som vist på tegige og specielt: C= v, altså etop e tredjedel af de, vi begydte med. Øvelse Geemfør beviset for at C= v. I deres jagt på e løsig fadt de græse matematiere frem til e ræe ye, omplicerede urver, som Kvadratrice, Kooide, Arimedes spiral og adre, som ma i dag studerer uder vetorfutioer. Me ige af dem ue ostrueres med passer og lieal. Geem århudredere fortsattes forsøgee, og mage troede, de havde fudet e løsig, som de så sedte til matematiere og videsabelige aademier i håb om berømmelse og beløig. Det gi så vidt, at det frase Videsaberes Aademi i 775 udsedte e erlærig om, at det fremover hvere ville bedømme vieltredeliger, cirelvadraturer eller evighedsmasier. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
2 I deres begrudelse srev de, at der gi rygter om, at regeriger havde udlovet store dusører til dem, som løste problemere, og at det var blevet til e sad galsab hos mage, som opgav deres arbejde og blev gase forstyrrede i hovedere og i øvrigt ie ville tage imod foruft og acceptere, at de løsiger, de om med, var fejlagtige. Me det stoppede ie de glade amatører, og mage lavede utroligt omplicerede ostrutioer, som var tæt ved, me aldrig esat løste opgave. Således bragtes i åree omrig 90 i et af de store tyse matematitidssrifter ogle artiler på grudlag af e srædders ihærdige arbejde med passer og lieal. De første hed:»die Wieldreiteilug des Scheidermeister Kopf«og de æste:»eie eue Wieldreiteilug des Scheidermeister Kopf«. Mere frugtbar var udvilige bladt de arabise matematiere omrig år 000. De fadt frem til, at vieltredelige ue»oversættes«til et spørgsmål, om e bestemt tredjegradsligig havde e løsig. Dette blev seere fulgt op af Descartes ( ), der i si præsetatio af oordiatsystemet behadlede urver af tredje, fjerde og højere grad, for at vise de ye aalytise geometris overlegehed. Descartes argumet var ogelude som følger: Lad os ige alde de viel, vi vil tredele, for v, og begyde med at afsætte e viel på 6v i e ehedscirel med cetrum i O. De to puter A og D forbides, og vi atager u, at vi ue tredele vile på 6v for at aalysere problemet øjere. Tredelig af 6v ville give viler på v og putere B og C. A B l G E C v O v v F D Treatere OAB, OBC og OCD er alle ligebeede og har alle topvile v, dvs. vilere ved grudlije er 90 v, f.es. A = B = 90 v Treat OAD er også ligebeet, med topviel 6v og viler ved grudlije: OAD = ODA = 90 v Derfor ser vi, at i treat ABE er EAB lig med v, og da EBA = 90 v, må også BEA være 90 v, så treate er ligebeet og ligedaet med treat OAB. Altså: AB AO BE = eller AB BE AB = = AB, AO da AO =. Vores mål er at ue ostruere si(v) ud fra edsab til si(v), for så a vi også på ehedscirle ostruere v ud fra v. AB = si v : Vi vil å frem til dette ved at udytte, at treat OAB er ligebeet, så 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
3 A si v si v B v v amt udytte, at treat OAD er ligebeet, så AD si( v) O = : A si v si v D v v O Nu magler vi blot at få AD udtryt ved AB. Derfor træer vi e lije l parallel med OC, og som særer AD i G. Nu er BC = GF, og vi ved, at DF = DC = AB. Heraf ser vi, at AD = AE + DF + GF GE AD = AB GE. Se u på treat BGE. De er ostrueret, så G = F = 90 v. er også lig med 90 v. Me så er treat BGE ligebeet og ligedaet med treat ABE, dvs. E GE BE BE = GE = BE AB AB Idsæt u BE = AB : GE ( AB ) = = AB, dvs. AB AD = AB GE ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) = ( v) ( v) AD = AB AB si = si si si = 6 si 8si si si 4 si 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
4 Hermed er tredelige oversat til løsig af e tredjegradsligig: Givet tallet si(v). Fid det x, der opfylder: 4x + x = si v Dette x er så si(v), og a på ehedscirle give os v. EKSEMPEL Tredelig af e viel på 0. Vi ved, at 4x + x= eller 8x 6x+ = 0 si 0 =. Altså fides si(0 ) ud af ligige: Det medførte ie, at ma u ue løse problemet med passer og lieal. Me oversættelse fra et geometris til et algebrais problem sulle vise sig at være et afgørede redsab til at bevise umulighede af at løse opgave. Kostruerbare puter - ostruerbare tal I geometris algebra (se fx projetet 0. i C-boge) viser ma, at ma a ostruere alle brøer, dvs hele e masse forsellige rod-udtry. Me præcis hvile? Det sal vi u få styr på. Først:, samt Forudsætiger Vi har givet et oordiatsystem med putere Tilladte ostrutioer med passer og lieal P 0,0 og P,0.. Givet to puter, må vi tege lije geem dem.. Givet et put og e afstad (mellem to puter), må vi tege e cirel med putet som cetrum og afstade som radius.. Ved hjælp af put og får vi ostrueret ye puter ud fra give puter, emlig: a. særigsputer mellem lijer, b. særigsputer mellem cirler, c. særigsputer mellem e cirel og e lije. DEFINITION Mægde af alle de puter i plae, der fremommer ved at gå ud fra P og P og avede de tilladte ostrutioer et edeligt atal gage, alder vi for mægde af ostruerbare puter. Mægde af ostruerbare puter a vi forestille os fremomme ved sridt for sridt at øre put - igeem, ud fra de puter, vi i det foregåede sridt har saffet os: Forudsætiger P ( 0,0 ) og (,0 ) P. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
5 . sridt Vi har avedt put til at tege de vadrette lije og put til at tege de to cirler. Det giver os 4 ye puter som særigsputer mellem cirlere og lije og mellem cirlere idbyrdes. P P 5 P P P4 P 6. sridt Nu har vi ses puter og e ye afstade mellem forsellige af putere, der a avedes som radier i ye cirler. Og det giver e masse ye særigsputer: P 5 P P P P4 P 6 Vi stoppede midt i tegeriet, da det viste sig, at geometrie allerede her i. tri blev uoversuelig. Me sridt for sridt får vi fat i alle ostruerbare puter. Et put repræseteres af oordiater (x,y). x og y fides ved at edfælde e lije vielret på heholdsvis første- og adease. Har vi et y på adease, a vi få det samme tal på førstease ved at bruge passere: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
6 y y DEFINITION Koordiatere til de ostruerbare puter aldes ostruerbare tal. Mægde af alle ostruerbare tal beteges K. Af vores udersøgelse i afsittet om Elemetære ostrutioer a vi u drage følgede slutiger: SÆTNING.. Alle tal, der fremommer ved at ombiere ratioale tal ved hjælp af +,,, / og, er med i K. K Tallegemer Vi vil u å frem til e mere oversuelig besrivelse af K. Oveståede tegig sulle være e rimelig begrudelse herfor. Sætige ovefor atyder det, vi vil å frem til emlig at besrive K som fremommet ved at udvide, først med almidelige vadratrødder, så med vadratrødder af vadratrødder osv. osv. For at holde styr på dette idføres først e defiitio af talmægder med særligt pæe egesaber: DEFINITION 4 E talmægde L aldes et Legeme, hvis der gælder følgede: a, b L a + b L a L a L a, b L a b L a, b L, b 0 L a L b Kort og godt: Et legeme er e mægde L, hvori vi a udføre de 4 regigsarter og stadig blive ide for L. SÆTNING 5. er et legeme.. er det midste legeme, dvs. ethvert tallegeme L må ideholde. BEVIS Vis selv put. Bevis for put Da L, får vi, at = + L, tilsvarede L, 4 L osv. Altså alle aturlige tal er med: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
7 L L L Edvidere: L L, og derfor videre:, osv., så alle egative hele tal er med i L., L + L, dvs. 0 L. Hermed har vi, at alle hele tal er med: L Divisiosregle giver u edelig, at for alle hele tal p og q, hvor Forhold mellem hele tal giver etop brøere, så: L q 0 p, gælder: p, q L L. q ØVELSE Hvile af følgede talmægder er legemer:,,,, mægde af irratioale tal I? + SÆTNING 6 K er et legeme. BEVIS Følger umiddelbart af ostrutioere i geometris algebra, hvor vi viser, at ma a lægge samme og træe fra, gage og dividere med passer og lieal. Prøv evt. selv at gå det efter. BEMÆRKNING Normalt a vi ie uddrage rødder ide for et tallegeme. er f.es. ie et ratioalt tal. Vi a uddrage rødder ide for, og vi a også ide for K (det beviste vi uder geometris algebra). DEFINITION Hvis q er et positivt ratioalt tal, hvorom det gælder, at q, så beteger ( q ) mægde af alle tal, der a srives som a + b q : ( q ) = a + b q a, b SÆTNING 7 ( q ) er et tallegeme, der ideholder. Tallegemet ( q ) aldes e vadratis legemsudvidelse af. Først vises e hjælpesætig: HJÆLPESÆTNING 8 Hvis q, er opsrivige af tal i q på forme a + b q etydig. BEMÆRKNING 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
8 er alle tal på forme a+ b, f.es. og Hjælpesætige siger altså, at et tal som ie a srives på dee form på adre måder. Et esempel på oget, der ie er etydig, er opsrivig af tal som produter: 0 = 4 5 = 0 BEVIS Påstade er, at det samme tal ie a srives på to forsellige måder på dee form. Dvs. hvis x = a + b q = c + d q så er a c og b d. Lad os derfor atage, at a + b q = c + d q. = = Hvis u b = d, får vi stras, at a = c, og så står der jo samme tal. Hvis i stedet b d, så omsriver vi: a + b q = c + d q a c = b d q a c q = b d Me vi havde jo forudsat, at q, så det går ie; altså a det ie gælde, at b d. Når b = d gælder således også, at a = c. Og dermed har vi, at x ie a srives på dee form på to forsellige måder. BEMÆRKNING Specielt gælder: a + b q = 0 a = 0 b = 0 BEVIS FOR SÆTNING 7 ( q ) er trivielt, da vi blot a sætte b = 0. Vi sal u vise, at vi»a rege idefor ( q ) «. (I algebra bruger ma også det udtry, at ( q ) er luet over for +,, og /). Lad os sige, at vi har to tal i ( q ) : Så reger vi: x = a + b q og y = c + d q 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
9 a b q ( a + b q )( c d q ) ( ac bdq) + ( bc ad ) q c + d q ( c + d q )( c d q ) c ( d q ) x + y = a + b q + c + d q = a + c + b + d q x = a + b q = a + b q x y = a + b q c + d q = ac + bd q + ad q + bc q = ac + bdq + ad + bc q x + ac bdq bc ad y 0, = = = = + y c qd c qd q Alle fire udregiger eder på forme r+ r q, r, r, etop fordi selv er et tallegeme. De tre første er simple omsriviger. I de sidste forlægede vi med c d q for at udytte regle og dermed få ( a + b)( a b) = a b q væ i ævere. Vi ved, at c d q 0, for hvis der gjaldt, at c d q = 0, så var c = 0 og d = 0, og dermed ville også y = c + d q være 0. Me vi har etop forudsat, at y 0. Oveståede defiitioer og sætiger er ie specielle for. Vi har u brugt, at er et tallegeme. Derfor a vi formulere resultatere mere geerelt: DEFINITION 9 Hvis L er et tallegeme, og q er et tal i L, således at q L = +, L q a b q a b L, defieres L q som SÆTNING 0. Opsrivige af tal i L( q ) på forme x = a + b q,,. L L( q ), og L( q ) er selv et tallegeme. a b L, er etydig. BEMÆRKNING L( q ) aldes derfor et udvidelseslegeme til L. Ide for algebra siger ma også, at L adjutio af q til L. q er fremommet ved Besrivelse af de ostruerbare tal Vi er u i stad til at besrive K de ostruerbare tal ved hjælp af udvidelseslegemer til. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
10 . Først veder vi lige tilbage til ostrutioe af alle de ostruerbare puter. Uaset hvor uoversuelig e tegig ue være, er det alligevel lart, at der i hvert sridt u bliver ostrueret et bestemt, edeligt atal puter. Derfor a vi fortsætte de ummererig af dem, som begydte med P, P,, P 6, så vi får e følge af puter: P, P,, P Det er ligegyldigt, hvile ræefølge vi vælger ide for hvert sridt. Ud fra putere får vi så de ostruerbare tal, som tilsvarede a srives op i ræefølge: x, x,..., x (*) Det er ligegyldigt, hvile ræefølge vi vælger ide for hvert sridt. Det eeste af betydig er, at alle er med, samt at vi først tager alle fra første sridt, deræst alle fra adet sridt osv.. Deræst går vi i gag med at ostruere e følge af udvidelseslegemer til efter følgede recept: Vi bevæger os frem i følge af x er, til vi første gag møder et x i, hvor i put, fider vi så et tal l0 og daer L ( l0) =. xi Nu har vi begydelse på følge, som vi leder efter, idet L er et legeme, og Vi fortsætter frem i ræe af x er, til vi første gag møder et x j, hvor edefor og daer som før L L ( l ) =. xj. Efter e opsrift, der følger edefor L L., fider et l L efter opsrifte Nu gælder derfor: L L, og processe fortsætter, så vi får ostrueret e følge af udvidelseslegemer: L L L L.... Det eeste, vi magler at agive, er, hvorledes vi fider de l 0, l, l, l,..., l, som avedes ved hver udvidelse: L = + L l, hvor l L Lad os sige, vi er ået til ostrutioe af L og sal videre. Vi går som besrevet frem i ræe og år frem til et x. Lad os u lige overveje, hvorledes et sådat x i ræe af ostruerbare tal fremommer. Der er tre mulige måder som særigsput: I. mellem to lijer, II. mellem e lije og e cirel, III. mellem to cirler, hvor disse lijer og cirler alle er fastlagt ud fra ogle af de foregåede puter, dvs. ud fra ogle af x, x,..., x. E lije fastlagt af putere (, ) y y xi y i og ( j, j) ( j) i j y y j = x x xi xj, x y har ligige: og srives dette på forme ax + by + c = 0, er det let at se, at a, b og c er fremommet af de foregåede tal ved brug af regeartere +,, og /. Altså: a, b, c L. E cirel med cetrum i (, ) ( x x ) + ( y y ) = r, og srives dee på forme: x y og radius r (som er et tal fastlagt ud fra de foregåede puter), har ligige: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
11 x y dx ey f = 0, ses let, at d, e og f alle er fremommet af de foregåede puter ved brug af +,, og /. Altså: d, e og f ligger også i L. Vi ser u på de tre ævte tilfælde: I. x stammer fra et særigsput mellem to lijer: a x + b y + c = 0 a x + b y + c = 0 x fides altså ved at løse disse to ligiger og må derfor fremomme af a ere, b ere og c ere ved brug af +,, og /. Me så ligger x jo selv i L. Med adre ord bidrager x ie med oget yt i dette tilfælde: L bliver ie udvidet. II. x stammer fra et særigsput mellem lije: ax + by + c = 0 og cirle: x y dx ey f = 0 a og b a ie begge være lig ul. Lad os sige ax + c y =, b som deræst idsættes i de ade ligig: ax + c ax + c x dx e f b = 0 b b Vi a se, at dee ligig a reduceres til e ligig af forme:. Så fides y af de første ligig: Ax Bx C + + = 0, A, B, C L Vi ved jo, at x = x er e løsig. Derfor vil vi opsrive løsigsformle: x B + D B = x D =, A A hvor D B 4AC L =. Hvis D L, vil også x L og bidrager således heller ie til oget yt; L bliver ie udvidet. Me hvis D L, så sætter vi: L L D =, dvs. D er det omtalte tal l +. III. x stammer fra et særigsput mellem to cirler: x + y + d x + e y + f = 0 x + y + dx + e y + f = 0 Ved at træe de ederste fra de øverste får vi omformet dette ligigssystem til følgede to ligiger: d d x + e e y + f f = 0 x + y + dx + e y + f = 0 Me det er jo præcis samme situatio som uder put II med e lije og e cirel, så det har vi allerede behadlet. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
12 Kolusio: Et yt tal i ræe af ostruerbare tal vil ete blot være e ombiatio af de foregåede tal ved brug af +,, og /, dvs. ligge idefor det tallegeme, som de hidtidige tal tilhører. Eller der vil fides et, så x ligger L i l, som så bliver det æste i følge af tallegemer. l L SÆTNING Hvis K er mægde af ostruerbare tal, og L har samme betydig som ovefor, så gælder: K = = L BEVIS Lighedsteget mellem de to mægder vises ved e almidelig avedt tei, emlig:. K = L. K = L, for så må de jo være es.. L ere er ostrueret, så ethvert x K bliver faget og ommer med i et eller adet L. Derfor er K L. =. Se på følge: Vi ved, at derfor også, at b l0 L K L L L... L K. L består af tal af forme a + b l0, a, b, l0. Fra sætig, side 6, ved vi, at l K og 0 K og edelig, at a + b l0 K. Altså: L består af tal af forme a + b l, a, b, ll K. Som før ved vi derfor også, at l K og derfor også, at b l K og edelig, at a + b l K. Altså: L K Dette a vi idlysede o fortsætte og får for ethvert, at K L, = og sætige er vist. L K, altså: Tredelig af e vilårlig viel er ie mulig Vi er u edelig parat til at vise umulighede af at tredele e vilårlig viel, dvs umulighede af at ostruere e såda tredelig med passer og lieal. Først vises følgede vigtige sætig, der også har alme iteresse: SÆTNING 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
13 L q Lad være et udvidelseslegeme til et tallegeme L, og lad = P x a x a x a være et polyomium med oefficieter i L: a,..., a, a0 L. Så gælder: Hvis a b q er e rod i P(x), så er også a b q e rod i P(x). a b q + aldes partere til a b q. + BEMÆRKNING Prøv selv at overveje situatioe, hvor P(x) er et adegradspolyomium med ratioale oefficieter (tæ på løsigsformle). BEVIS Først e betegelse: Hvis x = a + b q, beteger vi partere med x : x = a b q Partere til et tal a L er tallet selv, for her gælder jo, at b = 0: a= a Deræst e iagttagelse: Hvis x = a + b q, y = c + d q, har vi tidligere udreget x y = ( ac + bdq) + ( ad + bc) q. Tilsvarede a vi udrege x y = ( a b q ) ( c d q ) = ( ac + bdq) ( ad + bc) q. Me heraf ser vi, at x y = x y Dette a vi aturligvis fortsætte, så vi også får x ( x) =. Det er edvidere let at se, at x y x y + = +. Nu a vi idse sætiges rigtighed: Lad emlig x0 = a + b q være e rod i P(x): P( x 0 ) = 0 eller Tag u partere på begge sider: a x + a x a x + a = a x + a x a x + a = 0 = Aved de regeregler, vi etop har idset, til omsrivig af vestre side: a x + a x a x + a = ( ) ( ) a x + a x a x + a = a x + a x a x + a = Me vestre side er jo u P( x 0 ), så der står 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
14 altså at også P x = 0 0 x 0, er e rod. HJÆLPESÆTNING 4 L q Lad være et udvidelseslegeme af L. Sæt: P x = x x + Så gælder, at hvis P x har e rod i L q, så har P( x) også e rod i L. BEMÆRKNING Slå tilbage til side 4 og fid hvad det var for et polyomium, der duede op, da vi udersøgte, om e viel på 0 ue tredeles. Det liger meget P(x), og det er da også begrudelse for at vise dee ellers ret uiteressate sætig. BEVIS Lad x0 = a + b q,, være e rod i P(x). Hvis b = 0, vil x 0 være lig med a. Og så er det jo trivielt, at P(x) har e rod (emlig x 0 ) i L. Hvis, så er ifølge sætig partere x0 = a b q også e rod i P(x), og der gælder: b 0 x x 0 0 a, b, q L Ved polyomiers divisio a vi derfor få P(x) srevet således: P x = x a + b q x a b q x c, hvor c er de tredje rod i P(x). Når vi gager paretesere på højre side ud, sal vi få vestreside. På vestre side er der 0x, hvilet der derfor også må være på højre side. Lad os se efter og fide, hvor mage x der er: + = +, c x a b q x a b q x c a b q a b q x som altså er lig med 0x. Me det vil jo sige: c ( a + b q ) ( a b q ) = 0 c a = 0 c = a Hermed har vi vist, at P(x) har e rod i L, emlig: c = a L Deræst vises: HJÆLPESÆTNING 5 P x = x x + har ige ratioale rødder. BEVIS Lad os sige, det ratioale tal r var e rod i P(x), og lad os sige, r var srevet som e uforortelig brø: p r = q Så gjaldt der: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
15 p p p p 0 0 p pq q 0 + = + = + = q q q q I dee ligig isolerer vi først q, deræst p og får de to ligiger:. p = pq q. p + pq = q Af. ser vi, at det hele tal q går op i højreside, derfor også i vestreside. Me p q var jo uforortelig, så de eeste mulighed for q er at være + eller. Af. ser vi på samme måde, at p må være ete + eller. Derfor er tallet r ete + eller. Altså: r = + og r = er de eeste mulige ratioale rødder. Om de u også virelig dur, a vi efterprøve ved blot at idsætte dem og se efter. Prøv at gøre det og se, at de fatis ie dur. Altså: der er ige ratioale rødder. HOVEDSÆTNING Det er umuligt at tredele e vilårlig viel med passer og lieal. BEMÆRKNING Vi huser, at ogle viler aturligvis a tredeles. Når vi a ostruere e viel på 0 ved f.es. at halvere e viel på 60 (som vi får fra e ligesidet treat), ja så a vi jo sige, at vi har tredelt e viel på 90 o. Det, sætige siger, er, at vi ie a tredele e vilårlig viel. Dette bevises ved at vise, at e gase bestemt viel, emlig de på 0 ie a tredeles. BEVIS Vi viser, at e viel på 0 ie er ostruerbar, ved at vise, at tallet si(0 ) ie er et ostruerbart tal (det er jo. oordiate til retigsputet P 0 på ehedscirle). Der gælder følgede ligig (se side 4) for ehver viel u: si u = 4si u + si u, og idet vi sætter u = 0, får vi, som vi også så på side 4: si 0 = 4si 0 + si 0 4si ( 0 ) si( 0 ) 8si ( 0 ) 6si( 0 ) + = 0 Nu substitueres x = si( 0 ) = +, så ligige bliver til x x+ = 0, som vi eder fra sætige ovefor. Derfor ser vi u: Hvis si(0 ) var ostruerbar, var også si(0 ) det. Dermed ville polyomiet ostruerbar rod, x 0. Da x0 K, vil der fides et L så x0 L. Hjælpesætig 4 giver derfor: P x har e rod i L L ( l ) P( x) = har e rod i L. Som vi gjorde tidligere, a vi også her fortsætte dette edad og får: P( x ) har e rod i L P( x) P( x) har e rod i L P( x) har e rod i. L... P x = x x + have e har e rod i Stregt taget har vi u vist, at formle gælder for viler, hvor 6v 80, dvs. for v 0. Me det a vises, at trigoometrise formler, der gælder i et iterval, uaset hvor lille, gælder overalt! Vi beytter imidlertid her u det, vi har vist. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
16 Me det har P(x) ie, ifølge hjælpesætig 5. Derfor har P(x) overhovedet ie oge ostruerbare rødder, altså si(0 ) er ie ostruerbar: Vile på 0 a ie tredeles.. Litteraturliste Aglig & Lambe, The Heritage of Thales, Spriger, 995. (E matematihistorie, hvor sætigere fatis bevises fuldt ud, f.es. om umulighede af viles tredelig). E.T. Bell, Matematies mæd, Reitzel, 944. Burtos History of Mathematics, Brow Publishers, 995. (Ideholder et apitel med e ræe større øvelser om de lassise ostrutiosopgaver). Flemmig Clause og Jørge Falesgaard, Tal og Tae, Musgaard, 985. Poul la Cour, Historis matemati, Roseilde og Bagger, 96. Eulid, Elemeter I IV, Trips forlag. (Fotografis geoptry af Thyra Eibes oversættelse fra 897). Howard Eves, Itroductio to the History of Mathematics, The Sauders, 99. (Ideholder et apitel med e ræe støre øvelser om de lassise ostrutiosopgaver). Thomas Heath, A History of Gree Mathematics, vol I, Dover, 98. (Stadardværet fotografis geoptry. Været er meget detaljeret om alle spørgsmål. Er tro mod de græse matematieres argumetatio). Herodot, Historie, Gyldedal, 975. Vitor Katz, A History of Mathematics, Harper Collis, 99. (E matematihistorie, hvor argumetatioe for de matematise sætiger gegives detaljeret og i respet for de origiale metoder, samtidig med at læsevelighede er prioriteret). Jesper Lütze, Cirles vadratur, Viles tredelig, Teriges fordoblig, Systime, 985. Prebe Vestergaard, Løste og uløste matematise problemer, Aalborg Uiversitetsforlag, 98. Has Wussig, Biographie Bedeuteder Mathematier, Berli, 975. Viles tredelig, et matematiprojet af Kare Birelud og Bjør Christese, IMFUFA srifter r. 0, L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
17 Tillæg. Om Galois orte liv og bratte død Selv om e del store matematiere (især Lagrage, 76 8) havde arbejdet med at udvile e såda y algebra, tilommer ære de geiale frase matematier Evariste Galois. Efter ham aldes dee del af algebrae, der viste sig at have de mest forselligartede og overrasede avedelser, for Galois teori. Galois liv var som e lassis græs tragedie. Ha blev født i 8, hvor hele Europa var revet op af Napoleosrigee, og Frarig selv splittet på ryds og tværs af modsætigere mellem demoratere, der ville forsvare idealere fra de store revolutio i 789, og moarister af mage afsygiger. De meget temperametsfulde Evariste Galois tog allerede fra gymasietide ativt del i agitatioe for at få geetableret republie, og med sie idlæg i gymasieblade og taler på møder og værtshuse bragte ha sig i oflit med mydighedere. I juli 80 forsøgte oge, der var blevet idsat efter Napoleos fald, at bremse de demoratise bevægelse med cesur og beslaglæggelse af tryeriere; me det blev i stedet sigal til oprør. Det var i øvrigt på samme tid, at atioale ofliter og frihedsrige førte til, at Belgie rev sig løs fra Hollad og om på Europaortet, Serbie blev selvstædig, og Græelad edelig fi smidt tyrere ud og efter æste 000 år ige blev herrer i deres eget hus. I Paris lyedes det godt o at få væltet oge, som flygtede til Eglad; me i stedet for de demoratise republi blev der idsat e y, me dog mere liberal oge. Republiaere og bladt dem Evariste Galois og de adre studeter, som var højlydt utilfredse fortsatte deres agitatio, me måtte u opleve at mydighedere sred hårdt id. Efter at have srevet et læserbrev vedt mod si retor, blev Galois smidt ud af sole i december 80. Ha slutter sig til republiaergarde, der er de mest oprørse, og som ort efter forbydes. Da Galois selv offetligt udtaler sig imod oge, fægsles ha i maj 8. Ha løslades for e ort bemærig i jui, me ryger id ige i juli 8, efter at ha har deltaget i e demostratio på Bastilledage (4. juli årsdage for de store revolutio i 789). 9. april 8 slipper ha edelig ud. Ude af fægslet opdager ha, at der er e medbejler til de pige, ha er forelset i. Stras udfordrer de temperametsfulde Galois de ade til duel, me er tilsyeladede lar over sie rige chacer, for om atte til de 0. maj, hvor duelle sal fide sted, samler ha febrils sie matematise artiler og udast samme og sriver e lægere redegørelse for, at ha her har udvilet e helt y algebrais teori, der vil have vide avedelsesmuligheder (og bl.a. demostrere umulighede af at løse de tre lassise problemer). Redegørelse var især bereget for de store tyse matematier Gauss (77 855). Galois sriver:»[ ] jeg har gjort ogle ye opdagelser i aalyse. [ ] Bed Jacobi eller Gauss om offetligt at udtale deres meig, ie om sadhede, me om betydige af disse sætiger. Seere vil der, håber jeg, fides matematiere, som vil have fordel af at dechifrere alt dette rod [ ]«Og i papirere radsede ha flere steder ed:»jeg har ie tid, jeg har ie tid.«de 0. maj 8 om morgee blev Evariste Galois, som ha havde forudaet, dødeligt såret i duelle; ha blev efterladt med sie sudsår og først fudet e del timer seere af e bode, der bragte ham til et ærliggede hospital, me for set. Ha overlevede ie. Og has papirer åede tilsyeladede aldrig frem til Gauss. Uheldet sytes at forfølge staels Galois efter has død, som det var set, mes ha levede. Artilere var i forsellige versioer sedt frem til tidssrifter og bedømmelse hos edte matematiere. E af disse, Cauchy ( ) havde med iteresse læst oget af det, me blev uheldigvis syg, da ha sulle præsetere Galois ideer for Aademiet i 89. Samme år dumper Galois selv ved optagelsesprøve til Polyteis læreastalt, da ha er stært edbrudt over, at has far efter e smædeampage havde begået selvmord få dage før prøve. I 80 veder Cauchy så tilbage til Galois og beder ham om at omsrive materialet til e prisopgave, som aademiet etop havde udsrevet. Me da Galois gør det og idseder si ye versio, bliver has bidrag væ! Sadsyligvis fordi omitéformade Fourier (768 80, edt fra teorie om Fourier-ræer, der avedes i studiet af sammesatte harmoise svigiger) havde taget artile med hjem, og pludselig dør. Et af de adre omitemedlemmer er Poisso (78 840, edt fra Poisso-fordelige, der avedes i sadsylighedsregig og statisti) amoder u Galois om ige at lave e y versio, dee gag med esempler på de rige avedelsesmuligheder, has teori har. Artile idleveres først på året 8; me i juli 8 afviser Poisso de med bemærige»uforståelig«. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
18 Ad mærelige omveje lader Galois artiler og sidste breve i 84 hos edu e af Frarigs mage store matematiere, Liouville (809 88, især edt fra differetialligigsteorie), og edelig er der e, som forstår teories betydig og geialitet. Ha bearbejder det, og i 846 offetliggøres materialet. Sideløbede hermed havde Gauss og adre udvilet elemeter af de ye algebraise teori, som smeltede samme med Galois bidrag til det, vi i dag blot alder for Algebra, og hvor teorie om grupper, om legemer (som vi sal høre om) og Galois teori er specielle områder. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: ifo@lru.d
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereTEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA
TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mere6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereDifferentiation af potensfunktioner
Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereProjekt 9.10 Differentiation af potensfunktioner ved hjælp af binomialformlen
Projet 9.1 Differetitio f potesfutioer ved jælp f iomilformle 1. Pscls tret og iomilformle Vi strter med t mide om t poteser f toleddede størrelser, de såldte iomer, udreges ved jælp f Pscls tret, idet
Læs mere1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2
Projekt 0.3 Galois-legemere GF p - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og.... De kommutative, associative og distributive lov
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereDen hurtige Fouriertransformation
Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereBilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen
Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereProjekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereDe Platoniske legemer De fem regulære polyeder
De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereSituationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q
3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereKommunikation over støjfyldte kanaler
Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88
Læs mereKombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold
Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereTest i polynomialfordelingen
Statisti og Sadsylighedsregig STAT apitel 4.4 Test i polyomialfordelige Lad X (X,..., X ) Poly (, p). Observatio: (,..., ) der agiver atal udfald, 2,..., Susae Ditlevse Istitut for Matematise Fag Email:
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereLængde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Februar 09 ; Michael Symaski ; m@ghg.dk Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereA14 4 Optiske egenskaber
A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereLidt Om Fibonacci tal
Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs merePearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring
Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og
Læs mereBekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)
Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mereBjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra
Bjør Grø Fra græsk geometri til modere algebra Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 Idholdsfortegelse. Opridelse... 3 a. Påvirkiger fra flodkulturere...3 b. Pythagoræere...4. De græske matematiks
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereVindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet
og Biogass Brugertilfredshedsudersøgelse af og Biogasss sagsbehadlig og ydelser bladt ommuer Tabelrapport, telefoudersøgelse December Projetosuleter Asger H. Nielse Coie F. Larse Alle rettigheder til udersøgelsesmaterialet
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereUge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mereUddannelsesparathed. Vejledning om processerne ved vurdering af uddannelsesparathed (UPV) og ansøgning til ungdomsuddannelserne
Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig til ugdomsuddaelsere Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereHvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?
Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mere3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.
3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee
Læs mereProjekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? ISBN 97887766879 Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle:
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mere