Den grådige metode 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den grådige metode 2"

Transkript

1 Algoritmedesig 1

2 De grådige metode

3 De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium Når e beslutig er truffet, ædres de (sædvaligvis) ikke seere 3

4 De grådige metode De grådige metode er et geerelt paradigme til algoritmedesig, der bygger på følgede to elemeter: Kofiguratioer: forskellige sæt af værdier, der skal fides Objektfuktio: e score kyttet til kofiguratioere, som vi øsker at maksimere eller miimere Metode virker bedst, år de avedes på problemer, der har grådigt-valg-egeskabe: E globalt optimal løsig ka altid fides ved e række lokale forbedriger ud fra e startkofiguratio 4

5 Møtvekslig Problem: Et beløb, der skal opås, og e samlig møter, der ka bruges for at opå dette beløb Kofiguratio: Det beløb, der edu magler at blive givet til kude, plus de møter, der allerede er givet Objektfuktio: Atallet af møter (skal miimeres) Grådig metode: Beyt altid de størst mulige møt Eksempel 1: Møtere er 1, 5, 10 og 5 cet Har grådigt-valg-egeskabe. Itet beløb over 5 cet ka opås med et miimalt atal møter ude brug af 5-cet møte (tilsvarede for beløb uder 5 cet, me over 10 cet, og beløb uder 10 cet me, over 5 cet) Eksempel : Møtere er 1, 5, 10, 1 og 5 cet Har ikke grådigt-valg-egeskabe. Beløbet 4 cet opås bedst med to 1 cet møter, me de grådige algoritme giver e løsig med 5 møter (hvilke?) 5

6 Det fraktioelle rygsækproblem Givet: E mægde S af emer, hvor hvert eme i har b i - e positiv ytteværdi (beefit) w i - e positiv vægt (weight) Mål: Vælg emer med maksimal samlet ytteværdi, me med samlet vægt på højst W Hvis det er muligt at tage vilkårlige brøkdele af emere, er der tale om det fraktioelle rygsækproblem Lad x i betege de mægde, vi tager af emet i (0 x i w i ) Mål: Maksimer Begræsig:! i"s! i" S b ( x / w ) i i x i # W i 6

7 Eksempel Emer: Vægt: Nytteværdi: Værdi: 3 (kr per ml) ml 8 ml ml 6 ml 1 ml 1 kr 3 kr 40 kr 30 kr 50 kr ml rygsæk Løsig: 1 ml af 5 ml af 3 6 ml af 4 1 ml af 7

8 Algoritme for det fraktioelle rygsækproblem Grådigt valg: Tag altid det eme, der har størst værdi (forholdet imellem ytteværdi og vægt)! i" S! b ( x / w ) = ( b / w ) x i i i i" S Køretid: O( log ). Hvorfor? Korrekthed: Atag, at der e bedre løsig, d.v.s. der fides et eme i med højere værdi ed et valgt eme j (x j > 0 og v i > v j ), me hvor x i < w i. Hvis vi erstatter oget af j med oget af i, ka vi opå e bedre løsig. Hvor meget af eme i ka vi erstatte ude at ædre de samlede vægt? Svar: mi{w i -x i, x j } i i i Algorithm fractioalkapsack(s, W) Iput: set S of items with beefit b i ad weight w i ; max. weight W Output: amout x i of each item i to maximize beefit with weight at most W for each item i i S do x i 0 v i b i / w i {value} w 0 {total weight} while w < W do remove item i with highest v i x i mi{w i, W - w} w w + x i 8

9 Plalægig af opgaver Givet: e mægde T af opgaver (tasks), der hver har et starttidspukt, s i et sluttidspukt, f i (hvor s i < f i ) Mål: Udfør alle opgavere ved brug af så få maskier som muligt Maskie 3 Maskie Maskie

10 Algoritme til opgaveplalægig Grådigt valg: ord opgavere efter deres starttidspukt og brug så få maskier som muligt med dee rækkefølge Køretid: O( log ). Hvorfor? Korrekthed: Atag, at der fides e bedre pla, d.v.s. algoritme fider e løsig med m maskier, me der fides e løsig med m-1 maskier. Lad m være de sidste maskie, der allokeres af algoritme, og lad i være de første opgave, der udføres på dee maskie. Opgave i må være i koflikt med m-1 adre opgaver. Der fides derfor ige pla med ku m-1 maskier. Algorithm taskschedule(t) Iput: set T of tasks with start time s i ad fiish time f i Output: o-coflictig schedule with miimum umber of machies m 0 {o. of machies} while T is ot empty do remove task i with smallest s i if there s a machie j for i the schedule i o machie j else m m + 1 schedule i o machie m 10

11 Eksempel Givet: e mægde T af opgaver (tasks), der hver har et starttidspukt, s i et sluttidspukt, f i (hvor s i < f i ) [1,4], [1,3], [,5], [3,7], [4,7], [6,9], [7,8] (ordet efter starttidspukt) Mål: Udfør alle opgavere ved brug af så få maskier som muligt Maskie 3 Maskie Maskie

12 Del-og-hersk

13 Del-og-hersk Del-og-hersk er et geerelt paradigme til algoritmedesig Del: opdel iddata S i to eller flere disjukte delmægder, S 1, S,... Løs: løs delproblemere rekursivt Hersk: kombier løsigere for S 1, S,... til e løsig for S Basistilfældet for rekursioe er delproblemer af tilpas lille størrelse Aalyse ka foretages ved hjælp af rekursiosligiger 13

14 Merge-sort (tilbageblik) Merge-sort på e iput-sekves S med elemeter består at tre tri: Del: opdel S i to sekveser, S 1 og S, hver med cirka / elemeter Løs: sorter rekursivt S 1 og S Hersk: flet S 1 og S til e sorteret sekves Algorithm mergesort(s, C) Iput sequece S with elemets, comparator C Output sequece S sorted accordig to C if S.size() > 1 (S 1, S ) partitio(s, /) mergesort(s 1, C) mergesort(s, C) S merge(s 1, S ) 14

15 Aalyse med rekursiosligiger Hersk-triet i merge-sort består i fletig af to sorterede sekveser, hver med / elemeter Hvis der beyttes e hægtet liste, ka det gøres med højst b skridt for e kostat værdi b Basistilfældet bruger højst b skridt Hvis T() beteger køretide for merge-sort, har vi: T() = " b hvis < # $ T( /) + b hvis! Vi ka derfor aalysere køretide for merge-sort ved at fide e løsig på lukket form for dee ligig (d.v.s. e løsig, hvor T() ku forekommer på vestre side af lighedsteget) 15

16 Iterativ substitutio Ved tekikke iterativ substitutio aveder vi getage gage rekursiosligige på sig selv for at fide et møster: T() = T( /) +b = (T( / ) + b( /)) + b = T( / ) + b = 3 T( / 3 ) + 3b = 4 T( / 4 ) + 4b =... = i T( / i ) + ib Basistilfældet idtræffer, år i =, d.v.s. i = log T ( ) = b + b log Vi ka derfor kokludere, at T() er O( log ) 16

17 Rekursiostræ Teg rekursiostræet for rekursiosligige og led efter et møster: " b hvis < T() = # $ T( /) + b hvis! dybde kald størrelse tid 0 1 b 1 / b i i / i b Samlet tid = b + b log (sidste iveau plus alle foregåede iveauer ) 17

18 Gæt-og-test-metode Ved gæt og test-metode gætter vi på e lukket form og prøver at bevise, at de er sad ved hjælp af iduktio: T() = Gæt: T() < c log " b hvis < # $ T( /) + blog hvis! T () = T ( / ) +blog < (c( / )log( / )) + blog = c(log! log ) + b log = clog! c + blog Forkert: vi ka ikke vise, at udtrykket i de sidste lije er midre ed c log 18

19 Gæt-og-test-metode (del ) T() = " b hvis < # $ T( /) + blog hvis! Gæt : T() < c log T () = T ( / ) +b log Så T() er O( log ) < (c( / )log ( / )) + b log = c(log! log ) + b log = c log! c log + c + b log " c log hvis c > b For at bruge dee metode skal ma være god til at gætte og god til at føre iduktiosbeviser 19

20 Mestermetode Mage del-og-hersk rekursiosligiger har forme " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d 0

21 Mestermetode, eksempel 1 Form " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d Eksempel: T ( ) = 4T ( / ) + Løsig: log b a =. Tilfælde 1 siger, at T() er Θ( ) 1

22 Mestermetode, eksempel Form " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d Eksempel: T ( ) = T ( / ) + log Løsig: log b a = 1. Tilfælde siger, at T() er Θ( log )

23 Mestermetode, eksempel 3 Form " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d Eksempel: T ( ) = T ( / 3) + log Løsig: log b a = 0. Tilfælde 3 siger, at T() er Θ( log ) 3

24 Mestermetode, eksempel 4 Form " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d Eksempel: T ( ) = 8T ( / ) + Løsig: log b a = 3. Tilfælde 1 siger, at T() is Θ( 3 ) 4

25 Mestermetode, eksempel 5 Form " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d Eksempel: T ( ) = 9T ( / 3) + 3 Løsig: log b a = 3. Tilfælde 3 siger, at T() is Θ( 3 ) 5

26 Mestermetode, eksempel 6 Form " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d Eksempel: T ( ) = T ( / ) + 1 (biær søgig) Løsig: log b a = 0. Tilfælde siger, at T() is Θ(log ) 6

27 Mestermetode, eksempel 7 Form " c hvis < d T() = # $ at( /b) + f () hvis! d Mestersætige: 1. f () er O( log b a!" ) # T() er $( log b a ). f () er $( log b a log k ) # T() er $( log b a log k +1 ) 3. f () er %( log b a +" ) # T() er $( f ()) forudsat &' <1: af ( /b) ( 'f () for ) d Eksempel: T ( ) = T ( / ) + log (hob-kostruktio) Løsig: log b a = 1. Tilfælde 1 siger, at T() is Θ() 7

28 8 Iterativt bevis for mestersætige Ved hjælp af iterativ substitutio fides et møster:!! " = " = + = + = = = + + = + + = + = 1 ) (log 0 log 1 ) (log 0 log 3 3 ) / ( (1) ) / ( (1)... ) ( ) / ( ) / ( ) / ( ) ( ) / ( ) / ( )) / ( )) / ( ( ) ( ) / ( ) ( i i i a i i i b b b b b f a T b f a T a f b af b f a b T a f b af b T a b b f b at a f b at T Vi skeler imellem tre tilfælde: 1. Det første led i summe er domierede. Ledee i summatioe er lige domierede 3. Summatioe er e kvotietrække

29 9 Heltalsmultiplikatio Algoritme: Multiplicer to -bit heltal I og J Opdelig: Opsplit I og J i højordes- og lavordes-bits: l h l h J J J I I I + = + = / / l l h l l h h h l h l h J I J I J I J I J J I I J I = + + = / / / / ) )*( ( * Vi ka så bestemme I*J ved at multiplicere delee og addere: T() = 4T(/) + c, hvilket medfører, at T() er Θ( ) Me det er ikke bedre ed de algoritme, vi lærte i skole I h I l J h J l

30 30 Forbedret algoritme Algoritme: Multiplicer to -bit heltal I og J Opdelig: Opsplit I og J i højordes- og lavordes-bits: J h J l J + = / l I h I I + = / l l h l l h h h l l l l h h h l h h l l l h h h l l l l h h h l l h h h J I J I J I J I J I J I J I J I J I J I J I J I J I J I J I J J I I J I J I = !! + = + + +!! + = / / / ) ( ] ) [( ] ) )( [( * Der fides e ade måde at multiplicere delee: T() = 3T(/) + c, hvilket medfører, at T() er Θ( ) T() er Θ( ) log 3 Med FFT ka opås e Θ( log ) algoritme I h I l J h J l

31 Dyamisk programmmerig 31

32 Dyamisk programmerig Del-og-hersk (top-til-bud, top-dow): For at løse et stort problem deles problemet op i midre delproblemer, der løses uafhægigt af hiade Dyamisk programmerig (bud-til-top, bottom-up): For at løse et stort problem løses alle midre delproblemer, og deres løsiger gemmes og beyttes til at løse større problemer. Således fortsættes, idtil problemet er løst Betegelse stammer fra operatiosaalyse, hvor programmerig beyttes om formulerig af et problem, således at e bestemt metode ka avedes 3

33 Modere defiitio Dyamisk programmerig: Bud-til-top implemeterig af rekursive programmer med overlappede delproblemer Top-til-bud implemeterig er dog også mulig Dyamisk programmerig er baseret på følgede simple pricip: Udgå at getage beregiger 33

34 Beregig af Fiboacci-tal (Fiboacci, 10) F() = F(-1) + F(-) for >= F(0) = 0 F(1) = Talrække vokser ekspoetielt: F()/F(-1) går imod (det gylde sit = (1+ 5)/) 34

35 Top-til-bud-tilgag it F(it ) { } retur <= 1? : F(-1) + F(-); Simpel, me meget ieffektiv Atallet af kald, C(), tilfredsstiller rekursiosligigere C() = C(-1) + C(-) + 1, C(1) = C(0) = 1 som har løsige C() = F(+) + F(-1) - 1. C() er altså større ed det Fiboacci-tal, der skal bereges! Ieffektivitete skyldes, at de samme delproblemer løses mage gage F.eks. F(9) = F(8) + F(7) = F(7) + F(6) + F(7) = F(6) + F(5) + F(6) + F(6) + F(5) 35

36 Udgå geberegiger (beyt cachig ) Vedligehold e tabel (idiceret ved parameterværdie) ideholdede * 0, hvis de rekursive metode edu ikke er kaldt med dee parameterværdi * ellers det resultat, der skal retureres Første kald af metode for e give parameterværdi: bereg som før, me gem desude resultatet Efterfølgede kald med samme parameterværdi: returer resultatet fra det første kald it F(it ) { if (Fkow[]!= 0) retur Fkow[]; it r = <= 1? : F(-1) + F(-); Fkow[] = r; retur r; } 36

37 Effektivitetsforbedrig Simpel rekursiv metode: F(9) Husk kedte resultater: Køretid: ekspoetiel Køretid: lieær 37

38 Bud-til-top-tilgag Dyamisk programmerig (traditioel): * Tabellæg løsigere til delproblemere * Opbyg tabelle i stigede orde af problemstørrelse * Beyt gemte løsiger til at bestemme ye løsiger Eksempel: Dyamisk programmerig til beregig af Fiboacci-tal: F[0] = 0; F[1] = 1; for (i = ; i <= ; i++) F[i] = F[i-1] + F[i-]; Tidsforbruget er lieært 38

39 Optimal møtvekslig Udbetal et beløb i møter, således at atallet af møter er miimalt Eksempel: Hvis beløbet skal udbetales i amerikaske cets, ka møtere 1-, 5-, 10- og 5-cet beyttes Vekslig af 63 cets ka da foretages med 6 møter, emlig to 5-cet, e 10-cet og tre 1-cet For disse møter vil e grådig algoritme altid give e optimal løsig Me hvis der idføres e 1-cet-møt, virker dee metode ikke 39

40 Top-til-bud-løsig Bereg for hver møt det miimale atal møter, der ka beyttes til at veksle det resterede beløb. Tag miimum it[] cois = {1, 5, 10, 1, 5}; it makechage(it chage) { if (chage == 0) retur 0; it mi = Iteger.MAX_VALUE; for (it i = 0; i < cois.legth; i++) if (chage >= cois[i]) mi = Math.mi(mi, 1 + makechage(chage - cois[i])); retur mi; } Beyt ikke dee algoritme! Ekspoetielt tidsforbrug. Udgå geberegiger. 40

41 Gebrug kedte løsiger it makechage(it chage) { if (chage <= 0) retur 0; if (mikow[chage] > 0) retur mikow[chage]; it mi = Iteger.MAX_VALUE; for (it i = 0; i < cois.legth; i++) if (chage >= cois[i]) mi = Math.mi(mi, 1 + makechage(chage - cois[i])); mikow[chage] = mi; retur mi; } 41

42 Udskrivig af møtere i e optimal vekslig Gem i e tabel, lastcoi, for ethvert beløb de sidst valgte møt i e optimal vekslig af beløbet while (chage > 0) { System.out.pritl(lastCoi[chage]); chage -= lastcoi[chage]; } 4

43 it makechage(it chage) { if (chage <= 0) retur 0; if (mikow[chage] > 0) retur mikow[chage]; it mi = Iteger.MAX_VALUE, micoi = 0; for (it i = 0; i < cois.legth; i++) if (chage >= cois[i]) { it m = 1 + makechage(chage - cois[i]); if (m < mi) { mi = m; micoi = cois[i]; } } lastcoi[chage] = micoi; mikow[chage] = mi; retur mi; } 43

44 Bud-til-top-løsig (ude rekursio) Brug fude løsiger til at bestemme de æste løsig it makechage(it chage) { mikow[0] = 0; for (it c = 1; c <= chage; c++) { it mi = Iteger.MAX_VALUE; for (it i = 0; i < cois.legth; i++) if (c >= cois[i]) } mi = Math.mi(mi, 1 + mikow[chage - cois[i]]); mikow[c] = mi; } retur mikow[chage]; Køretide er proportioal med chage*cois.legth 44

45 Matrix-kædeprodukter Dyamisk programmerig er et geerelt paradigme til algoritmedesig f Matrixmultiplikatio: C = A*B A er d x e, og B er e x f C[ i, 1 " j] =! k= Køretide er O(def ) e 0 A[ i, k]* B[ k, j] e e B j d A i C i,j d f 45

46 Matrix-kædeprodukter Matrix-kædeprodukt: Bereg A = A 0 *A 1 * *A -1 A i er d i x d i+1 Problem: Hvor skal paretesere placeres? Eksempel: B er 3 x 100 C er 100 x 5 D er 5 x 5 (B*C)*D bruger = 1575 multiplikatioer B*(C*D) bruger = 4000 multiplikatioer 46

47 Et større eksempel A er e 13 x 5 matrix B er e 5 x 89 matrix C er e 89 x 3 matrix D er e 3 x 34 matrix ((AB)C)D : AB : 13*5*89 = 5785 multiplikatioer (AB)C : 13*89*3 = 3471 multiplikatioer ((AB)C)D : 13*3*34 = 136 multiplikatioer i alt 1058 multiplikatioer Nogle adre muligheder: (AB)(CD) : 5401 multiplikatioer A((BC)D) : 4055 multiplikatioer A(B(CD)) : 6418 multiplikatioer (A(BC))D : 856 multiplikatioer (optimum) 47

48 E opregede metode Matrix-kædeprodukt algoritme: Prøv alle mulig måder at sætte pareteser i A 0 *A 1 * *A -1 Bereg atallet af operatioer for hver mulighed Vælg de, der er bedst Køretid: Atallet af muligheder er lig med atallet af biære træer med kuder Dette tal vokser ekspoetielt! Det kaldes for det catalaske tal og er æste 4 (Ω(4 / 3/ )) Dette er er e rædselsfuld algoritme! 48

49 E grådig metode Ide 1: Vælg produktere et ad gage. Vælg altid det produkt, der (for)bruger flest multiplikatioer Modeksempel: A er 10 x 5 B er 5 x 10 C er 10 x 5 D er 5 x 10 Ide 1 giver (A*B)*(C*D), som bruger = 000 multiplikatioer Me A*((B*C)*D) bruger færre, emlig = 1000 multiplikatioer 49

50 E ade grådig metode Ide : Vælg produktere et ad gage. Vælg altid det produkt, der kræver færrest multiplikatioer Modeksempel: A is 101 x 11 B is 11 x 9 C is 9 x 100 D is 100 x 99 Ide giver A*((B*C)*D), som bruger =8789 multiplikatioer Me (A*B)*(C*D) bruger færre, emlig = multiplikatioer 50

51 E rekursiv metode Defier delproblemer: Fid de bedste paretesplacerig for A i *A i+1 * *A j Lad N i,j betege atallet af multiplikatioer, der foretages for dette delproblem Det miimale atal multiplikatioer for hele problemet er N 0,-1 Optimalitet af delproblemer: De optimale løsig ka defieres i termer af optimale delproblemer Der må ødvedigvis være e sidste multiplikatio for de optimale løsig (rod i udtrykstræet) Atag at det sidste produkt sker ved ideks i: (A 0 * *A i )*(A i+1 * *A -1 ) Da er de optimale løsig N 0,-1 lig med summe af N 0,i og N i+1,-1, plus atal multiplikatioer for de sidste matrixmultiplikatio 51

52 E karakteriserede ligig Det globale optimum må være defieret i termer af optimale delproblemer, der afhæger af, hvor de sidste multiplikatio foretages Prøv alle mulige placeriger for de sidste multiplikatio: Der mides om, at A i er e d i x d i+1 matrix E karakteriserede ligig for N i,j er: N i, j = mi i!k< j {N i,k + N k +1, j + d i d k +1 d j +1 } Bemærk, at delproblemere ikke er uafhægige - delproblemere overlapper 5

53 E dyamisk programmerigsalgoritme Da delproblemere overlapper, bruger vi ikke rekursio I stedet for kostrueres e optimal løsig bottom-up Værdiere N i,i er lette at bestemme, så dem starter vi med Så bereges værdier for delproblemer med lægde, 3,... o.s.v Køretid: O( 3 ) Algorithm matrixchai(s): Iput: sequece S of matrices to be multiplied Output: umber of operatios i a optimal paraethizatio of S for i 1 to -1 do N i,i 0 for b 1 to -1 do for i 0 to -b-1 do j i+b N i,j +ifiity for k i to j-1 do N i,j mi{n i,j, N i,k +N k+1,j +d i d k+1 d j+1 } 53

54 Visualiserig af algoritme N i, j = mi{n i,k + N k +1, j + d i d k +1 d j +1 } i!k< j Arrayet N fyldes diagoalvis N 0 1 j -1 svar N i,j får værdi fra tidligere idgage i de i te række og j te søjle 0 1 Beregig af hvert elemet i tabelle tager O() tid i? Køretid: O( 3 ) De fude paretesplacerig ka gøres tilgægelig ved at huske k s værdi for hvert elemet i N -1 b = b = 1 54

55 De geerelle tekik til dyamisk programmerig Avedes på et problem, der først syes at kræve e masse tid (muligvis ekspoetiel), forudsat at vi har Simple delproblemer: delproblemer ka defieres i termer af få variable, såsom i, j, k, l, m o.s.v. Delproblem-optimalitet: det globale optimum ka defieres i termer af optimale delproblemer Delproblem-overlap: delproblemere er ikke uafhægige, me overlapper (og skal derfor kostrueres bottom-up ) 55

56 0-1-rygsækproblemet Givet: E mægde S af emer, hvor hvert eme har b i - e positiv ytteværdi (beefit) w i - e positiv vægt (weight) Mål: Vælg emer med maksimal samlet ytteværdi, me med samlet vægt på højst W Hvis det ikke er muligt at tage vilkårlige brøkdele af emere, er der tale om 0-1-rygsækproblemet Lad T betege mægde af de emer, vi vælger Mål: Maksimer Begræsig: " b i i!t # i"t w i! W 56

57 Eksempel Givet: E mægde S af emer, hvor hvert eme har b i - e positiv ytteværdi (beefit) w i - e positiv vægt (weight) Mål: Vælg emer med maksimal samlet ytteværdi, me med samlet vægt på højst W rygsæk Emer: Vægt: Nytteværdi: cm 4 cm 4 cm 1 cm 4 cm 0 kr 3 kr 6 kr 5 kr 80 kr 18 cm Løsig: 5 (4 cm) 3 (4 cm) 1 (8 cm) 57

58 E algoritme (første forsøg) Lad S k være mægde af de emer i S, der er ummereret fra 1 til k Defier B[k] = værdi af bedste delmægde af S k Der er ikke delproblem-optimalitet: Betragt S={(3,), (5,4), (8,5), (4,3), (10,9)} vægt-ytteværdi par Bedste for S 4 : Bedste for S 5 : 6 58

59 E algoritme (adet forsøg) Lad S k være mægde af de emer i S, der er ummereret fra 1 til k Defier B[k,w] = værdi af bedste delmægde af S k med vægt w Der er delproblem-optimalitet De bedste delmægde af S k med vægt w er ete de bedste delmægde af S k-1 med vægt w, eller de bedste delmægde af S k-1 med vægt w-w k, plus emet k: B[k,w] = " B[k!1,w] # $ max{b[k!1,w], B[k!1,w! w k ] + b k } hvis w k > w ellers 59

60 Algoritme for 0-1-rygsækproblemet " B[k!1,w] B[k,w] = # $ max{b[k!1,w], B[k!1,w! w k ] + b k } hvis w k > w ellers Da B[k,w] er defieret i termer af B[k-1,*], ka vi bruge et edimesioalt array Køretid: O(W) Er ikke e polyomiel algoritme, hvis W er stor Der er tale om e såkaldt pseudopolyomiel algoritme Algorithm 01Kapsack(S, W): Iput: set S of items w/ beefit b i ad weight w i ; max. weight W Output: beefit of best subset with weight at most W for w 0 to W do B[w] 0 Fejl i læreboge for k 1 to do for w w k to W do B[w] = max{b[w], B[w-w k ]+b k } 60

61 Desigtekikker 61

62 Del-og-hersk problem af størrelse delproblem 1 af størrelse / delproblem af størrelse / løsig af delproblem 1 løsig af delproblem løsig af det opridelige problem 6

63 Formidsk-og-hersk problem af størrelse delproblem af størrelse - 1 løsig af delproblem løsig af det opridelige problem 63

64 Trasformer-og-hersk problem trasformeret problem løsig af det trasformerede problem løsig af det opridelige problem 64

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og

Læs mere

Algoritmedesign Den grådige metode

Algoritmedesign Den grådige metode Agortmedesg De grådge metode 1 De grådge metode De grådge metode Et probem øses ved at foretage e række besutger Besutgere træffes e ad gage e eer ade rækkeføge Hver besutg er baseret på et grådgedskrterum

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Den hurtige Fouriertransformation

Den hurtige Fouriertransformation Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Branch-and-bound. Indhold. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU ( )

Branch-and-bound. Indhold. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU ( ) Brach-ad-boud David Pisiger Videregåede algoritmik, DIK (005-06) 6 Kvalitet af græseværdifuktioe 3 6. Eksempler på domias....................... 3 7 Kritiske og Semikritiske delproblemer 34 8 Kuste at

Læs mere

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z},

Læs mere

Sortering ved fletning (merge-sort)

Sortering ved fletning (merge-sort) Sortering 1 Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 2 Del-og-hersk Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data S i to disjunkte

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode. RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG

Læs mere

Algoritmer og Datastrukturer 2. Gerth Stølting Brodal

Algoritmer og Datastrukturer 2. Gerth Stølting Brodal Algoritmer og Dtstrukturer Gerth Støltig Brodl Algoritmer og Dtstrukturer Algoritme Desig Tekikker ( uger) Del-og-komier Grf-lgoritmer (3 uger) Korteste veje Streg-lgoritmer ( uge) Møstergekedelse Dymisk

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering. Philip Bille Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering Flettesortering Philip Bille Søgning og Sortering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsessortering

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere