Hvede Byg Rug Roer Kløver

Transkript

1 Opgave En landmand dyrker et areal på 35 ha. Af disse er højst 80 ha. egnede til dyrkning af hvede; 00 ha. til byg; 75 ha. til rug; 90 ha. til roer og 45 ha. til kløver. På grund af begrænset maskinkapacitet m.v. kan landmanden højest dyrke 0 ha. korn og 50 ha. roer. Som foder til egen kreaturbestand skal dyrkes 0 ha. roer og 5 ha. kløver. Fortjenesten på de forskellige afgrøder (kr./ha.) er: Hvede Byg Rug Roer Kløver Formulér på baggrund af ovenstående oplysninger en LP-model til bestemmelse af, hvor store arealer med de enkelte afgrøder landmanden skal dyrke for at maksimere sin fortjeneste. Find den optimale løsning for landmanden (gæt), og argumentér for at den er optimal. 3 Diskutér, hvorvidt de ovenfor anførte oplysninger giver et tilstrækkeligt grundlag for løsning af landmandens problem, og dermed om løsningen til den i () formulerede model er det svar, landmanden har brug for. Opgave FN skal sende akut hjælp til en hungersramt flygtningelejr en sted i Saharaørkenen. Der er mulighed for at sende 3 forskellige slags mad, der hver især har en forskellig energi-fordeling. Dog råder man kun over 70 paller med MAD-A. I tabellen nedenfor er vist hvor mange energi-enheder en palle med hver af de 3 madvare indeholder, og fordelingen af energi-enhederne på energigivende stoffer. MAD-A MAD-B MAD-C PROTEIN FEDT KULHYDRAT TOTAL For at undgå en alt for skæv og mangelfuld energi-fordeling, vil man kræve at mindst 000 enheder skal komme fra protein, mindst 3000 fra fedt og mindst 6000 fra kulhydrat. Hjælpen skal straks sendes afsted med et antal fly, der til sammen max. kan rumme 000 m 3 og max. kan laste 50 tons. Da lejren er præget af uroligheder, bliver det nødvendigt at sende mindst 00 FN-soldater derned og gerne flere. En soldat med fuld udrustning skønnes at veje 50 kg. Derudover vil hver soldat bidrage med en yderligere vægtbelastning Typeset by AMS-TEX

2 af flyene på 350 kg til forplejning, flysæde m.m. og ialt vil en soldat optage plads i et fly svarende til 5 m 3. Til sammenligning vil en palle med mad veje ton og fylde m 3. Derudover skal der sendes mindst 500 telte, der hver vejer 00 kg og fylder m 3, og mindst 000 tæpper. 000 tæpper vejer tons og fylder m 3. I forbindelse med nødhjælpen foretages en indsamling, hvor man lover at viderebringe alt til flygtningelejren, såfremt der er plads. Desværre får man kun bidrag. Det ene fra en strandfoged, der ønsker at sende sandsække. En sandsæk vejer 00 kg og fylder 00 m3. Det andet bidrag er fra et tivoli, der har fået et antal oppustede balloner i overskud. En sæk med 00 oppustede balloner fylder m 3, men vejer ingenting. Man sætter følgende nytteværdi på hver af transportgoderne; madvarerne vægtes med deres indhold af energienheder, (MAD-A har altså nytteværdi 5). Tilsvarende sættes en FN-soldat til nytteværdi 70, et telt til 5, 000 tæpper til 00, sandsække til 0 og en sæk med 00 oppustede balloner til 000. Problemet er nu at laste flyene, således at der medbringes mest muligt nytte, uden der tages økonomiske hensyn, samtidigt med at betingelserne/begrænsningerne er overholdt. Formuler problemet matematisk på formen Ax b, x 0, hvor A er en 9 8 matrix, (flyenes lastrum betragtes som et stort fælles rum). Kan man uden videre se bort fra sandsækkene? 3 Kan man på forhånd se bort fra ballonerne? 4 Fyld flyene med de ting, som er krævet som minimum. (Mad indgår ikke som et minimumskrav). Betragt den resterende laste-evne. Problemet er nu at maksimere nytte på denne. Formuler det matematisk som i (), (A er nu mindre). 5 Vil løsningen til () og (4) være den samme, (ville flyene indeholde det samme)? Opgave 3 Direktøren for Expando Manufacturing Company, De Witt Quigley, overvejer at udvide produktionskapaciteten i løbet af seks kommende perioder. Virksomheden producerer en varetype, og den ønsker at have så stor produktionskapacitet som muligt ved begyndelsen af den 7. periode. For hver produceret vareenhed i en periode bruges 00 dollars (til indkøb af råmaterialer og til lønninger). Desuden bruges en enhed af kapaciteten i produktionsanlægget. Endelig modtages 40 dollars i salgsindtægter ved begyndelsen af den næste periode. I hver periode kan virksomheden benytte en eller begge af ialt to konstruktionsmetoder til udvidelse af produktionskapaciteten. Hver metode koster et beløb i den periode, hvor konstruktionen eller ombygningen indledes. Dog anvender den ene konstruktionsmetode mere tid end den anden. Således bruger metode 0000 dollars pr. enhed, når ombygningsaktiviteten starter, og den

3 3 tilhørende kapacitetsudvidelse er herefter til rådighed ved begyndelsen af den følgende periode. Ved metode bruges 5000 dollars pr. enhed ved ombygningens start, og den tilhørende kapacitetsudvidelse er til rådighed ved begyndelsen af perioden to perioder fremme. Virksomheden har dollars til rådighed til finansiering af produktion og udvidelse i periode, men herefter kræves, at følgende produktion og kapacitetsudvidelse skal være selvfinansierende, d.v.s. der modtages ingen penge udefra efter den første periode. I periode 7 må produktion være mulig med fuld kapacitetsudnyttelse. Der skal herunder være tilstrækkelig kapital til rådighed for indkøb i periode 7. Kapaciteten er 800 enheder ved begyndelsen af periode. Der skal herunder være tilstrækkelig kapacitet til rådighed for indkøb i periode 7. For hver periode t lad x t betegne antal producerede enheder. Lad u t og v t betegne omfanget af kapacitetsudvidelse henholdsvis ved metode og metode. w t betegner overskydende likviditet ved slutningen af perioden, og z t betegner overskydende produktionskapacitet. Formuler problemet ved hjælp af lineær programmering. Opgave 4 Et transportfirma disponerer over.4 mill. kr. til indkøb af en ny vognpark. Valget står mellem tre typer af lastbiler. Type A rummer 0 tons og forventes at kunne køre med en gennemsnitsfart på 56 km/t; den koster kr. Type B rummer 0 tons og forventes at kunne køre 48 km/t i gennemsnit; den koster kr. Type C er en modificeret udgave af type B; den rummer soveplads til én chauffør. Dette reducerer kapaciteten til 8 tons og hæver prisen til kr. Type A kræver én chauffør, og på tre skift vil bilen køre gennemsnitlig i 8 timer/dag. Typerne B og C kræver to chauffører. De gennemsnitlige køretider på tre skift er 8 timer/dag for type B og timer/dag for type C. Firmaet kan i hvert døgn disponere over 50 chauffører, der kun kan køre et skift pr. dag, og det skønnes ret umuligt at få fat i flere. På grund af begrænset værkstedskapacitet må det totale antal indkøbte lastbiler ikke overstige 30. Firmaet ønsker at maksimere sin kapacitet målt i ton km/døgn, igennem sit indkøb af lastbiler. Formulér en LP-model af problemstillingen.

4 4 Opgave 5 Betragt følgende problem: max 8x + 4x + 6x 3 + 3x 4 + 9x 5 ubb. x j 0 for j =... 5 x + x + 3x 3 + 3x x + 3x + x 3 + x 4 + x 5 70 x + 3x + x 4 + 3x 5 80 Det oplyses, at x, x 3 og x 5 er i basis i den optimale løsning, og at = Benyt ovenstående information til at identificere den optimale løsning og påvise optimaliteten. Opgave 6 Vis ved hjælp af en tegning og ved hjælp af simplexalgoritmen, at følgende problem ikke har nogen endelig optimal løsning: max 3x + x u.b.b. x 4x 6 x x 4x + x 3 x, x 0. Opgave 7 Vis ved hjælp af en tegning og ved hjælp af simplexmetoden, at følgende problem har uendelig mange optimalløsninger. Angiv samtlige optimale løsninger: max x + x u.b.b. x + x 5 x + x 5 x x x, x 0.

5 5 Opgave 8 Personalechefen, Ona Tripp, for Feedem Speedem Airline planlægger ansættelse og oplæring af nye stewardesser for de næste seks måneder. Forbruget af stewardesse-flytimer er 8000 i januar, 9000 i februar, 7000 i marts, 0000 i april, 9000 i maj og 000 i juni. Der er en måneds oplæringstid for en ny stewardesse, før hun kan bruges ved regulær flyvning. D.v.s. en ny stewardesse må ansættes en måned, før hun egentlig skal bruges. Desuden optager en ny stewardesse 00 vejledningstimer fra en erfaren stewardesse i oplæringsmåneden, således at der er 00 færre regulære flytimer til rådighed for en erfaren stewardesse. En erfaren stewardesse kan arbejde i 50 timer pr. måned og Feedem har 60 erfarne stewardesser ved begyndelsen af januar måned. Hvis en erfaren stewardesse ikke udnytter alle 50 timer til oplæring eller regulær flyvning, arbejder hun tilsvarende mindre og afskediges altså ikke. Ved slutningen af hver måned forlader normalt 0 procent af de erfarne stewardesser deres job. En erfaren stewardesse koster selskabet 3400 $ pr. måned, og en ny stewardesse koster 800 $ pr. måned i løn og andre privilegier. Formuler problemet ved hjælp af lineær programmering. Opgave 9 I forbindelse med visse problemstillinger vil der undertiden opstå begrænsninger, som ikke vil kunne opfyldes på en gang. Man kan da approksimativt søge problemet løst ved indførelse af slackvariable og efterfølgende minimering af disses sum ved hjælp af LP. Imidlertid er det ofte af større værdi at finde en løsning, som minimerer den maksimale afvigelse fra hver af de stillede begrænsninger. Også dette minimaxkriterium kan omformuleres til LP, som illustreret i det følgende. (i) Formuler det generelle problem som et LP-problem. (ii) Løs problemet ikke nødvendigvis ved hjælp af LP. (iii) Formuler det generelle problem min [ max ( n a ij x j b i )] x 0 i=,...,m j= min x 0 [max(x, x, 4 x )] min [ max n a ij x j b i ] x 0 i=,...,m j=

6 6 som et LP-problem. (iv) Løs problemet min [max( x, x, x 0 4 x )] ikke nødvendigvis ved hjælp af LP. Sammenhold svaret med løsningen i spørgsmål (ii). Opgave 0 En økonoma for en militær kostforplejning skal tilsætte den vitaminløse grød en passende kombination af fem ingredienser. Hver portion skal indeholde mindst 4 enheder af vitamin Q og mindst 3 enheder af vitamin R. Hun vil gerne vide, hvor mange gram af hver ingrediens der skal tilsættes, så omkostningen bliver minimal. Ingrediensernes vitaminindhold [enheder/gram] og pris [kroner/gram] er: Ingrediens nr Vitamin Q 0 Vitamin R 0 3 Pris Når soldaterne er på øvelse, erstattes tilsætningsprocessen med uddeling af 4 Q-piller og 3 R-piller, hver med enhed, til hver portion grød. Den lokale apoteker sælger pillerne og vil gerne vide, hvilke priser han skal tage for dem, så hans salgsindtægt bliver maximal. Priserne skal være så små, at pillerne er konkurrencedygtige over for hver af de fem ingredienser i henseende til vitaminindhold. Formulér de to problemer. Løs apotekerens problem. 3 Løs økonomaens problem med den duale simplex-metode. Opgave (Århus, vinter 99/93 Betragt følgende lineære programmeringsproblem: min 7x c x 6x 3 s.t. x + a x +, 5x 3 x + a x + x 3 0 x + a 3 x + x 3 30 x, x, x 3 0, hvor c, a, a og a 3 er konstante tal, hvis værdier skal fastlægges senere. Indføj på sædvanlig måde slackvariable x 4, x 5 og x 6, svarende til bibetingelserne i den givne rækkefølge.

7 7 For en udvalgt basis kendes følgende simplextabel opstillet på sædvanlig standardform for et minimeringsproblem: z x x x 3 x 4 x 5 x 6 RHS Spørgsmål. Find en optimal løsning ved hjælp af kun én simplexpivotering. Spørgsmål. Bestem værdien af konstanterne c, a, a og a 3. Spørgsmål 3. Hvilke værdier i objektfunktionen kan koefficienten til x antage, således at den fundne løsning fortsat er optimal. Spørgsmål 4. Find en optimal løsning, idet det yderligere forlanges, at x 8. Opgave (Århus, vinter 99/93) Betragt følgende lineære programmeringsproblem: (P) max x + 3x + 4x 3 s.t. x + x x + x 3 x + x 3 x, x, x 3 0 Der indføres på sædvanlig måde slackvariable x 4, x 5 og x 6, svarende til hver af de tre bibetingelser. En simplextabel med bibetingelserne opstillet på sædvanlig måde, d.v.s. i samme rækkefølge som i (P), vides at have en basis med følgende inverse basismatrix. B = Spørgsmål. Opstil den hertil hørende simplextabel og vis, at basis er optimal. Spørgsmål. Opstil det tilhørende duale lineære programmeringsproblem. Anfør optimale løsninger for både det primale og det duale problem. Der kræves herefter, at samtlige variable i (P) skal antage heltallige værdier. Spørgsmål 3. Tilføj et fundamentalt snit i tabellen fra spørgsmål, og bestem herved en optimal heltallig løsning til (P). Spørgsmål 4. Vis, at man ved tilføjelse af det i spørgsmål 3 fundne snit til (P) får et lineært programmeringsproblem, som besidder optimale løsninger, der tillige er heltallige, uanset valg af koefficienter i objektfunktionen.

8 8 Opgave 3 Betragt tonerne i den sædvanlige -tone skala. Lad f i betegne frekvensen af den i te tone. For den veltempererede stemning, som har været nærmest enerådende i den vestlige verden siden komponisten Bachs tid, gælder at f i = f (i )/ d.v.s. at frekvensforholdet imellem to på hinanden følgende tonetrin er lig med. Heraf fås bl.a., at f 8 = f 7 = f, 4983, hvilket er frekvensen for kvinten over den første tone i skalaen. Frekvensforholdet er altså her, 4983 og ikke 3 =, 5, som det menneskelige øre ellers opfatter som det mest iørefaldende og velklingende frekvensforhold af de to. Dette er en af årsagerne til, at der kræves nogen erfaring i klaverstemning. I stedet for at arbejde med frekvenser (målt i herz) arbejder man ofte med måleenheden cent, som fremkommer ved en logaritmisk omsætning efter følgende formel: F i = (00 log f i )/ log, f hvor F betegner tonehøjden over grundtonen for den i te tone målt i cent. For den veltempererede stemning ses, at F i = 00(i ). Specielt bemærkes, at den veltempererede kvint over grundtonen har F 8 = 700, hvorimod den naturlige kvint har F 8 = 70, altså en afvigelse på cent. Vi vil nu stemme de første 3 toner over grundtonen, således at vellyd maksimeres ved at sørge for at visse nøjere specificerede kvintintervaller bliver så naturlige som muligt, d.v.s. med en cent-difference tæt på 70. Mulighederne for konstruktion af skalaer (historiske og fremtidige) er således mangfoldige, men vi vil her lægge ud med at fastlægge det store tertsinterval til 400 cents, i øvrigt i overensstemmelse med den veltempererede stemning. Da en lille terts og en stor terts tilsammen er lig med en kvint, må derfor gælde at () F = 70. Endvidere, da summen af to store tertser minus en lille sekund også er lig med en kvint, fås (F 4 F 3 ) = 70 eller omskrevet () F 4 F 3 = 98. Tilsvarende fås (3) F 3 F = 98

9 9 og (4) F 0 = 98. Ligningssystemet () - (4) har ingen eksakt løsning, men det søges løst, således at den maksimale numeriske difference over samtlige lighedstegn minimeres. Formuler problemet ved hjælp af lineær programmering og påvis, at den veltempererede stemning er optimal. Opgave 4 (Århus, sommer 993) Der er givet følgende lineære programmeringsproblem: min x 3x + c 3 x 3 s.t. x + x +a 3 x 3 4 x + x +a 3 x 3 5 x, x, x 3 0, hvor c 3, a 3 og a 3 er konstanter, hvis værdi skal bestemmes senere. Der indføres på sædvanlig måde slackvariable, x 4 og x 5, svarende til de to bibetingelser i den anførte rækkefølge. Til problemstillingen kendes følgende simplextabel opstillet på sædvanlig måde for et minimeringsproblem: z x x x 3 x 4 x 5 RHS Spørgsmål. Påvis, at simplextabellen er optimal. Angiv den tilhørende optimale løsning. Hvilke værdier kan koefficienten til x i objektfunktionen antage, således at den angivne løsning fortsat er optimal? Spørgsmål. Bestem koefficienterne c 3, a 3 og a 3 på baggrund af den anførte simplextabel. Spørgsmål 3. Angiv den mindste værdi for c 3, for hvilken løsningen angivet i spørgsmål fortsat er optimal. Anfør samtlige optimale løsninger, når c 3 antager denne værdi. Der indføres en forskydning af højresiden med en vektor (, ) efter en parameter λ R. Den nye højreside bliver således ( ) λ ( ).

10 0 Spørgsmål 4. For hvilke værdier af parameteren λ findes en optimal løsning til det således dannede lineære programmeringsproblem. Anfør de hertil hørende optimale værdier af objektfunktionen som funktion af parameteren λ. Opgave 5 (Århus, sommer 993) En vare skal transporteres fra 3 fabrikker til 3 lagre i en periode. Enhedstransportomkostninger, fabrikkernes produktionskapacitet og efterspørgsel på lagrene i perioden fremgår af tabel. lager nr. produktionskapacitet 3 (antal vareenheder) fabrik nr efterspørgsel 5 6 (antal vareenheder) Tabel. Der skal fastlægges en transportplan, som minimerer de samlede transportomkostninger, således at al efterspørgsel tilfredsstilles under hensyn til begrænsningerne i produktionskapacitet. I tabel står anført et forslag til en transportplan. lager nr. 3 3 fabrik nr Tabel. Spørgsmål. Er transportplanen i tabel optimal? Hvis ikke anføres en bedre plan. Spørgsmål. Anfør samtlige optimale transportplaner. Spørgsmål 3. Hvor meget ændres de samlede transportomkostninger, hvis det kræves, at mindst vareenhed skal transporteres direkte fra fabrik nr. til lager nr.? Anfør en optimal plan, der tilfredsstiller dette krav. Spørgsmål 4. Anfør en optimal transportplan, hvori det forlanges, at produktionskapaciteten udnyttes fuldt på fabrik nr. og nr.. (Der ses bort fra kravet i spørgsmål 3).

11 Opgave 6 (Århus, sommer 993) 5 personer skal tildeles 5 jobs, idet hver person skal varetage netop ét job. Oplæringstiden for tildeling af hvert job til hver person fremgår af følgende tabel: job nr. person nr Tildelingen skal ske på en sådan måde, at den samlede forbrugte oplæringstid minimeres. Spørgsmål. Løs problemet ved hjælp af den ungarske algoritme, og anfør den samlede forbrugte oplæringstid. Spørgsmål. Angiv en optimal løsning til det hertil hørende duale lineære programmeringsproblem. Spørgsmål 3. Undersøg, om der findes en jobtildeling, således at alle personer får en oplæringstid på højst 8 tidsenheder. I bekræftende fald angives den lavest opnåelige samlede forbrugte oplæringstid under hensyn hertil. Job nr. og job nr. ønskes ikke længere udført. Spørgsmål 4. Udpeg 3 personer og fordel dem på de resterende jobs på en sådan måde, at den samlede forbrugte oplæringstid minimeres. Opgave 7 (Århus, sommer 987) Der er givet 3 depoter: D, D og D 3. Disse 3 depoter skal forsyne 3 kommuner, K, K og K3, med varer. Transportomkostningerne pr. enhed fremgår af den nedenfor anførte tabel. Yderligere fremgår depoternes udbud samt kommunernes efterspørgsel efter varer. K K K3 Udbud D 3 0 D 4 0 D3 3 Efterspørgsel Kommunerne skal have deres efterspørgsel efter varer dækket på en sådan måde, at transportomkostningerne herved minimeres. Spørgsmål. Formulér et lineært programmeringsproblem til løsning af denne problemstilling. Opstil herefter et netværk, som kan anvendes i forbindelse med

12 løsning af problemstillingen. Anvend nord-vest hjørne regelen til at finde en brugbar løsning til problemet og anfør det tilsvarende udspændende træ. En løsning til problemet er givet ved følgende tabel: K K K3 D 0 D 5 5 D3 0 Spørgsmål. Anfør på netværket det udspændende træ, som hører til ovenstående løsning. Anfør endvidere den reducerede (truncated) basis matrix hørende til løsningen. Bestem endvidere de duale variable og redegør for, at løsningen er optimal. Der er her tale om det udvalg af søjler, som ved supplement med rodsøjlen giver en kvadratisk, ikke-singulær matrix med m + n søjler. Spørgsmål 3. Antag, at transportomkostningen pr. enhed fra D3 til K nu må variere. De øvrige transportomkostninger pr. enhed holdes konstante. Hvilke værdier kan transportomkostningen pr. enhed fra D3 til K antage, når den i spørgsmål behandlede løsning skal være optimal. Opgave 8 (Århus, vinter 99/93) Tre lagre forsynes med en vare fra tre fabrikker i en periode. Kapacitet og efterspørgsel i antal vareenheder i perioden fremgår af tabel. Desuden står anført enhedstransportomkostningerne ved transport fra fabrikker til lagre. lager nr. kapacitet 3 fabrik nr Efterspørgsel Tabel. Transporten ønskes tilrettelagt med minimale transportomkostninger, således at al efterspørgsel tilfredsstilles uden overskridelse af kapacitetsbegrænsningerne. En mulig løsning står anført i tabel. lager nr. 3 7 fabrik nr Tabel.

13 3 Spørgsmål. Undersøg, om løsningen i tabel er optimal, og anfør en eventuel bedre løsning. Spørgsmål. Anfør samtlige optimale løsninger. Spørgsmål 3. For hvilke værdier af enhedstransportomkostningen fra fabrik til lager er de fundne løsninger fortsat optimale? Der overvejes en procentuel nedsættelse i samtlige enhedstransportomkostninger fra fabrik nr. 3. Spørgsmål 4. Hvor stor skal procentsatsen for en nedsættelse være, for at ændringer i de optimale transportplaner fra spørgsmål skal ske? Opgave 9 (Århus, vinter 99/93) 5 personer skal tildeles 5 jobs, idet hver person skal varetage netop ét job. Oplæringstiden for tildeling af hver person til hvert job fremgår af tabel. person nr. job nr Tabel. Tildelingen skal ske på en sådan måde, at den samlede forbrugte oplæringstid minimeres. Spørgsmål. Løs problemet ved hjælp af den ungarske algoritme. Spørgsmål. Angiv en optimal løsning til det hertil hørende duale lineære programmeringsproblem. Det overvejes at reducere oplæringstiden for person nr. 4, såfremt vedkommende tildeles job 3. Spørgsmål 3. Hvor stor kan reduktionen være, uden at det påvirker optimaliteten af løsningen fundet i spørgsmål? Atter med udgangspunkt i oplæringstiderne fra tabel skal jobtildelingen nu ske, således at den længste tildelte oplæringstid, som kommer i anvendelse, bliver så kort som muligt. (Herved kommer samtlige jobs i fuld gang så hurtigt som muligt). Spørgsmål 4. Find en jobtildeling, som løser dette problem.

14 4 Opgave 0 (Århus, sommer 984) Et stenfirma producerer 4 typer af marmorfigurer: askebægre (x ), fuglebade (x ), vaser (x 3 ) og lysestager (x 4 ). De variable størrelser x j (j =,..., 4) anført i parenteser angiver antallet af producerede enheder for hver type i en planlægningsperiode. Fremstillingsprocessen består for alle figurer af udskæring og tilhugning. Desuden skal fuglebade og lysestager poleres. Timeforbruget til fremstilling af en enhed ved de tre processer er for hver figurtype anført i tabel. Desuden er anført et dækningsbidrag ved salg af en enhed af hver figurtype. figurtype askebægre fuglebade vaser lysestager (x ) (x ) (x 3 ) (x 4 ) dækningsbidrag kr udskæring, timer proces tilhugning, timer polering, timer Tabel. Firmaet har sin produktionskapacitet fordelt med 300 timer til udskæring, 80 timer til tilhugning og 300 timer til polering inden for planlægningsperioden. Lad x 5 betegne uudnyttet kapacitet ved udskæring, x 6 betegne uudnyttet kapacitet ved tilhugning og x 7 uudnyttet kapacitet ved polering i planlægningsperioden. Firmaet ønsker forslag til en produktionsplan, som maksimerer det totale dækningsbidrag, idet der her ses bort fra evt. heltalskrav. Spørgsmål. Formulér en lineær programmeringmodel til løsning heraf. Med en placering af de tekniske koefficienter i den lineære programmeringsmodel, svarende til den i tabel.. givne placering, fås efter en række pivoteringer følgende optimale simplextabel, x x x 3 x 4 x 5 x 6 x x x x Tabel. Spørgsmål. Hvorfor er tabel optimal? Angiv den tilhørende produktionsplan og skyggepriserne. Firmaet kan leje yderligere udskæringskapacitet til en pris af 0 kr. pr. time.

15 5 Spørgsmål 3. Kan det betale sig at leje yderligere udskæringskapacitet? Spørgsmål 4. Hvor meget skal dækningsbidraget på vaser forbedres, for at produktion heraf kan betale sig? Firmaet overvejer produktion af yderligere en figurtype, som kaldes en statuette. Til fremstilling af en statuette medgår 5 timer til udskæring, 0 timer til udhugning og 0 timer til polering. Det hertil hørende dækningsbidrag andrager 30 kr. Spørgsmål 5. Vil firmaet øge sit totale dækningsbidrag ved introduktion af statuetter? (Udregn for en statuette den opdaterede koefficient, som skal føjes til øverste række i tabel ). Spørgsmål 6. Inden for hvilke grænser kan dækningsbidraget for askebægre variere uden indflydelse på produktionsplanen. Spørgsmål 7. Angiv den til tabel hørende inverse basismatrix. Spørgsmål 8. Find det interval i produktionskapaciteten for udskæring, hvorved den til tabel hørende basis fortsat er optimal. Opgave Der skal gennemføres et projekt bestående af syv aktiviteter, som sammen med deres varigheder og forgængerrestriktioner fremgår af tabel. Aktivitet Varighed i uger Forgængere A 7 Ingen B 4 Ingen C B D A og C E B F 7 A, C og E G 3 D Tabel. Spørgsmål. Opstil det hertil hørende aktivitetsnetværk. Bestem den mindste projektvarighed og anfør aktiviteterne på den kritiske vej. Spørgsmål. i) Bestem det totale slæk og det frie slæk for aktiviteterne D og G. ii) Varigheden på aktivitet G tænkes herefter at variere. Indfør derfor en variabel for varigheden af aktivitet G. Den samlede projektvarighed ønskes bestemt som funktion af denne variabel.

16 6 Aktiviteten F tænkes justeret, således at kun aktiviteterne C og E indgår som dens forgængere. Aktiviteten G har igen sin oprindelige varighed (= 3 uger). Spørgsmål 3. Hvor meget kan varigheden på aktivitet F øges efter denne justering uden at forlænge projektvarigheden fra spørgsmål. Opgave Et firma råder over m maskiner til produktion af n produkter. Hver maskine er i stand til at producere alle produkterne. Af praktiske årsager ønsker man imidlertid ikke at foretage skift fra produktion af et produkt på en maskine til produktion af et andet produkt på samme maskine midt i en produktionsperiode. De producerede produkter skal afsættes i en efterfølgende salgsperiode. Lad c ij betegne den forventede fortjeneste ved salg af det j te produkt i salgsperioden, når der indsættes i maskiner til produktion af det j te produkt (i = 0,..., m og j =,..., n). Firmaet ønsker en fordeling af de m maskiner til produktion af de n produkter, således at den samlede forventede fortjeneste maksimeres. Spørgsmål. Angiv, hvorledes ovennævnte problemstilling kan løses ved hjælp af dynamisk programmering, og anfør den hertil hørende rekursionsligning. I en situation med m = 4 maskiner og n = 3 produkter, benævnt produkt A, B og C, er værdien af c ij (i 000 kr.) anført i tabel. Antal maskiner produkt A produkt B produkt C Tabel. Spørgsmål. Løs problemstillingen i tabel ved hjælp af dynamisk programmering. Spørgsmål 3. Løs problemstillingen i spørgsmål, men med m = 3 maskiner og med angivelse af evt. alternative løsninger. (Benyt udregningerne fra spørgsmål.) Opgave 3

17 7 Du skal sammen med flere af dine venner lave lasagne til middag. Opgaverne, der skal udføres, deres varighed (i min.), og krav til i forvejen udførte opgaver er følgende: Job # Job Varighed Jobs der er gået forud Købe mozzarella ost 30 Rive osten 5 3 Dele æg 4 Blande æg og revet ost 3,3 5 Snitte løg og champignon 7 6 Koge tomatsaucen Bringe en stor gryde vand i kog 5 8 Koge lasagne-plader Hælde vandet fra lasagne-plader 8 0 Blande alle ingredienserne 0 4,6,9 Forvarme ovnen 5 Bage lasagnen 30 0, Der er ikke noget i køleskabet. Formulér problemet som et netværksproblem. Find earliest time, latest time for hver af tilstandene, samt slack for hver aktivitet. 3 Optegn den kritiske vej. 4 På grund af en telefonopringning bliver du afbrudt i 9 minutter, netop som du skulle til at snitte løg og champignon. Hvor meget vil middagen blive forsinket som funktion af starttidspunktet? (Ingen andre gider overtage snittejobbet). 5 Hvis du havde haft en foodprocessor, der kunne reducere snittetiden for løg og champignon fra 7 til minutter, ville middagen så stadig blive forsinket af telefonopringningen? Opgave 4 Ved en mindre, men voksende lufthavn, skal det lokale flyselskab anskaffe en ny traktor til et traktor-trailer tog, som bringer bagage til og fra flyene. Om præcis 3 år vil der blive installeret et nyt mekanisk bagage-system, som vil gøre traktoren overflødig. Men fordi traktoren vil blive flittigt brugt og derfor hårdt belastet, vil de løbende vedligeholdelsesomkostninger vokse væsentligt med alderen. Det kan derfor godt tænkes, at det kan betale sig at udskifte traktoren efter eller år. Nedenstående tabel angiver de totale tilbagediskonterede nettoomkostninger, der er forbundet med at anskaffe en traktor (d.v.s. anskaffelsespris minus restværdi plus drifts- og vedligeholdelsesomkostninger) ved slutningen af år i og udskifte den igen ved udgangen af år j (hvor

18 8 år 0 er nu). j i 0 Problemet er at finde ud af, på hvilke tidspunkt-(er) (hvis noget) traktoren skal udskiftes, således at de totale udgifter til traktorer i løbet af de 3 år minimeres. Formulér problemet som et korteste vej problem. Optegn grafen og find korteste vej. Opgave 5 (Århus, sommer 993) Betragt følgende lineære programmeringsproblem: (P) min 6x +7x +8x 3 x + x x + x 3 3 x + x 3 4 x, x, x 3 0 Til dette problem hører følgende optimale simplextabel: z x x x 3 x 4 x 5 x Spørgsmål. Ved indføjelse af et fundamentalt snit ønskes problemet (P) løst, idet det yderligere kræves, at de optimale variabelværdier skal være heltallige. Spørgsmål. Opstil det duale lineære programmeringsproblem til (P) (uden heltalskrav), og anfør en optimal løsning hertil. Spørgsmål 3. Opstil en optimal simplextabel for det i spørgsmål opstillede duale lineære programmeringsproblem. (Vink: Den optimale inverse basismatrix fremkommer ved transponering og fortegnsændring af den tilsvarende matrix i det primale problem).

19 9 Spørgsmål 4. Ved indføjelse af et fundamentalt snit ønskes det duale problem løst, idet det yderligere kræves, at de optimale variabelværdier skal være heltallige. Opgave 6 (Rygsæksproblem) Find max 60x + 54x + 3x 3 + 8x 4 + 3x 5 ubb. 30x + 36x + 3x 3 + 4x 4 + 6x 5 { 9 0 x j = ved hjælp af branch and bound teknik. Separer efter brøk med laveste variabel index, d.v.s. sæt x j = 0 i det ene og x j = i det andet af de to nye delproblemer. Udvælg fra listen hver gang et problem med højeste overtal. Opgave 7 (Århus, produktionsplanlægning, vinter 989/90) Betragt følgende tabel, indeholdende oplysninger om varigheden af nogle aktiviteter og deres eventuelle forgængere i et projekt. Aktivitet Varighed Forgængere A 0 ingen B 7 ingen C B D 6 C E 5 A C F 4 A C G 8 D F H 0 C Tabel. Spørgsmål. Opstil det hertil hørende aktivitetsnetværk. Bestem den mindste samlede projektvarighed, og anfør den kritiske vej. Spørgsmål. Bestem det frie slæk og det totale slæk for aktivitet D. Undersøg endvidere, om en eventuel nedsættelse af varigheden af aktivitet C vil medføre en nedsættelse af den mindste samlede projektvarighed. I bekræftende fald oplyses den største nedsættelse, som herved kan opnås i den samlede projektvarighed.

20 0 Det antages nu, at aktiviteterne D og H og dele heraf ikke kan afvikles samtidigt. Spørgsmål 3. Bestem den mindste samlede projektvarighed under hensyn hertil. Opgave 8 (Århus vinter 990/9) Heltalsprogrammet max 5x + x x + x 9 3x + x x, x 0 og hele ønskes løst i spørgsmål -6 med brug af Gomory s snitplanmetode. Gå derfor frem som følger:. Løs det korresponderende lineære program grafisk, find den optimale basismatrix B, invertér den og konstruer derudfra den tilhørende optimale simplekstabel.. Den optimale løsning til LP-problemet er ikke heltallig. Lad derfor z- rækken være kilderække for dannelsen af et snit og begrund, hvorfor denne række kan benyttes dertil. 3. Indfør på grundlag af z-rækken et snit (med slackvariabel s ) i form af en ekstra række, der tilføjes den optimale simplekstabel. Uddyb herunder beregningerne, der fører til dannelsen af den ekstra række. 4. Foretag ud fra den indførte række én pivotering med brug af den duale simpleksmetode. 5. Illustrér i et diagram, hvor det indførte snit ligger, og forklar hvad der sker geometrisk som følge af den duale pivotering. 6. Efter indførelse af endnu et snit = s x s (med slackvariabel s ) og en efterfølgende dual pivotering opnås følgende simplextabel: z x x x 3 x 4 s s RHS z x x x x Tabel.

21 Hvad er konklusionen herudfra? Illustrér geometrien. 7. Hvordan må forholdet mellem objektfunktionens koefficienter være, for at konklusionen i spørgsmål 6 holder, når der argumenteres ud fra tabel? Hvordan må forholdet faktisk være? (Vink: betragt et diagram og argumentér ud fra hældningen på begrænsningslinierne). Opgave 9 Givet følgende multikriterie-beslutningsproblem: max [f (x), f (x)], hvor under bibetingelserne: f (x) = x 3x f = 4x + x g (x) = x + x 7/ 0 g (x) = x + x / 0 g 3 (x) = x + x 9 0 g 4 (x) = x 4 0 x, x 0.. Bestem og skitsér mængden af brugbare løsninger x, x.. Find i et f (x), f (x) koordinatsystem mængden af ikke dominerede løsninger. 3. Find derpå i et x, x koordinatsystem mængden af ikke dominerede løsninger. Opgave 30 Århus vinter 990/9 Betragt følgende LP-problem: z = max x x + 3x 3 ubb. x + x + x 3 8 (P) x x + x 3 6 3x x 3 3 x, x, x 3 0. ) Indfør slackvariable og en kunstig variabel og opstil den første simplekstabel med henblik på løsning ved hjælp af fase-metoden.. Redegør for indholdet af fase og gennemfør fasen (med brug af én pivotering). Hvad er konklusionen på fase? 3. Efter yderligere tre pivoteringer i fase fremkommer udsnit af den optimale simplekstabel:

22 z x x x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Opskriv den tilhørende basismatrix B og dens inverse B. Dan herudfra de manglende værdier i tabellen. Hvorfor er tabellen optimal? Er løsningen entydig? 4. Hvor stor en procentvis ændring kan højresidens koefficienter i (P) udsættes for, uden at basen i tabellen ændres? 5. Formulér og løs det duale problem (D) til (P). 6. Hvad er konsekvensen for z og for basisløsningen i tabellen af at indføre en ekstra begrænsning i (P) i form af: ( ) 4x x + x 3 5. Og hvad er konsekvensen for (D)? 7. Udvid tabellen med en række, der tager udgangspunkt i ( ), og udpeg et pivotelement, der kan benyttes til iteration med den duale simplexmetode (pivoteringen skal ikke udføres). Opgave 3 Finco skal investere 6000 dollars i tre mulige projekter. Hvis d j (tusinde) dollars investeres i det j te projekt opnås en gevinst (nutidsværdi) på r j (d j ) dollars. Værdierne fremgår af følgende: r (d ) = 7d + (d > 0) r (d ) = 3d + 7 (d > 0) r 3 (d 3 ) = 4d (d 3 > 0) r j (0) = 0 for j =,..., 3. Det investerede beløb skal i hvert projekt være et heltalligt multiplum af 000 dollars. Hvorledes skal der investeres, således at størst mulig gevinst opnås. Problemet ønskes løst med dynamisk programmering.

23 3 Opgave 3 Århus, vinter 99/9 hvor Betragt LP-problemet med surplusvariable x 4 og x 5 samt slackvariabel x 6 (P) z = min{ax = b, x R 6 +} c = (, 4, 3, 0, 0, 0) A = b = og R 6 + betegner de ikke-negative, reelle vektorer af dimension 6. Spørgsmål. Udnyt at B = er invers basismatrix svarende til, at x, x 5 og x 3 er i basis, og find en tilhørende basisløsning til systemet {Ax = b, x R 6 }. Er den brugbar i (P)? Spørgsmål. Konstruér den simplekstabel, der svarer til ovenstående basis. Spørgsmål 3. Opskriv det til (P) hørende duale problem og angiv ud fra simplekstabellen i spørgsmål en dual basisløsning, som ikke giver 0. Er den duale løsning brugbar? Spørgsmål 4. Løs (P) ved én iteration, hvor pivotelementet findes i simplekstabellen fra spørgsmål. Udvælgelsen af dette element skal ske efter samme princip som i den duale simpleksmetode. Hvorved adskiller grundlaget for iterationen sig fra den normale duale simpleksmetode? Spørgsmål 5. Hvorledes kan man konstatere, at (P) ikke er ubegrænset nedadtil for nogen værdi af b-vektoren? (Vink: find z ud fra den optimale simplekstabel i spørgsmål 4, når b = (0, 0, 0) t indsættes i (P). Brug derefter dualitetssætninger). Spørgsmål 6. Udfør partielle følsomhedsanalyser på b-vektoren ud fra optimaltabellen fra spørgsmål.4. Spørgsmål 7. Lad x 7 være en ny beslutningsvariabel med tekniske koefficienter a 7 = (,, 3) t og c 7 som koefficient i objektfunktionen. Hvilke værdier af c 7 bevirker, at x 7 kan indgå i en ny og udvidet, optimal basisløsning? Besvar samme spørgsmål, når a 7 = ( 4, 5, 6) t i stedet. Spørgsmål 8. Antag at objektfunktionen i (P) udskiftes med (x 4x + 3x 3 )/(x + x + x 3 ). Hvilken problemtype opstår da? Hvilke metoder kan anvendes til løsning af et sådant problem?

24 4 Løs det nye problem ved at udvide simplekstabellen fra spørgsmål 4 med en ekstra søjle (jf. spørgsmål 7) og en ekstra række. Opgave 33 Århus vinter 99/9 Betragt transportproblemet med 4 udbydere: s = (50, 40, 60, 3) og 6 modtagere: d = (30, 50, 0, 40, 30, ) og omkostningsmatrix givet ved: Spørgsmål. Find en brugbar løsning ved hjælp af nordvest-hjørnereglen og angiv værdien af den tilhørende objektfunktion. Spørgsmål. Udpeg en pivotcelle i transporttabellen hørende til den fundne brugbare løsning. Gør det således at objektfunktionens værdi vil forbedres og begrund valget. Spørgsmål 3. Lad x ij være den transporterede mængde fra udbyder i til modtager j (i =,..., 4 j =,..., 6). Argumentér for at {x ij i =,..., 4 j =,..., 6} = er en brugbar, ikke-optimal basisløsning og angiv herunder egenskaberne for en basis. Spørgsmål 4. Løs transportporblemet og find optimalværdien. Er der alternative løsninger? Begrund svaret. Spørgsmål 5. Foretag partielle følsomhedsanalyser på omkostningskoefficienterne til cellerne (3,3) og (3,4). Spørgsmål 6. Antag at der kan oprettes et ekstra depot hos en ny udbyder (nr. 5) med s 5 = 0 og en fast etableringsomkostning på 5. Kan det betale sig at foretage etableringen, når transportomkostningerne pr. enhed er på til alle 6 modtagere? Begrund svaret. Opgave 34 Århus, vinter 99/9 Betragt heltalsprogrammet (P3) max{cx Ax b, x Z +}

25 5 hvor c = (, 5) A = 4 4 b = 8 7 og Z + betegner de ikke-negative, reelle og heltallige -dimensionelle vektorer. Spørgsmål. Løs det korresponderende LP-problem grafisk og konstruér den optimale simplekstabel. Udnyt herunder at den tilhørende inverse basismatrix er givet ved: Spørgsmål. Find og indtegn det Gomory-snit, der fremkommer med x - rækken som kilderække. Spørgsmål 3. Udvid simplekstabellen fra spørgsmål med en række svarende til Gomory-snittet fra spørgsmål. Udfør den duale simpleksiteration, som Gomory-snittet giver anledning til, og forklar, hvad der sker rent geometrisk ud fra en tegning. Spørgsmål 4. Med tilføjelsen af Gomory-snittet fra spørgsmål er der opstået et nyt LP-problem, hvis brugbare område indeholder alle brugbare løsninger til (P3). I stedet for at indføre flere Gomory-snit skal branch and bound princippet nu anvendes på det udvidede LP-problem og dermed på (P3). Løs (P3), idet det kan oplyses, at løsningen findes ved at separere opad på x d.v.s. betragt den ekstra betingelse x [x 0 ] +, hvor x 0 dækker over den opdaterede x -løsning fra spørgsmål 3. Kontrollér i øvrigt, at separationen opad giver størst værdi af objektfunktionen ved at aflæse/beregne løsningen til den alternative separationsmulighed, hvor betingelsen x [x 0 ] er aktiv. I dette tilfælde skal den tilhørende værdi af objektfunktionen beregnes til 73/. Opgave 35 Århus, sommer 99 Betragt assignmentproblemet med 4 personer, der skal tildeles 4 jobs, og hvor omkostningsmatricen er givet ved: Spørgsmål. Lad x ij {0, } være indikator for, om person nr. i er tildelt job nr. j (i =,..., 4 j =,..., 4). Vis at løsningen, hvor x ij =, i =,..., 4 ikke er optimal ved at beregne reducerede omkostninger som i transportmetoden.

26 6 Spørgsmål. Løs assignmentproblemet ved anvendelse af den ungarske metode og angiv en basisløsning til problemet. Er der alternative løsninger? Begrund svaret. Spørgsmål 3. Opskriv og løs det tilhørende duale problem. Spørgsmål 4. Verificér sætningen om det komplementære slack ved at sammenholde løsningerne fra spørgsmål og 3. Spørgsmål 5. Foretag partielle følsomhedsanalyser på omkostningskoefficienterne til cellerne (3,3) og (4,4): d.v.s. find ud af, hvor meget koefficienterne kan ændres (én ad gangen), uden at der skal ske basisskift. Hvad vil der ske, hvis c 44 ændres til 6 hhv. 9? Spørgsmål 6. Antag at der kommer en ny person og et nyt job ind i billedet, og at person nr. 5 har tilknyttet en omkostning på 0 ved udførelse af samtlige jobs. Lad endvidere de 4 første personer have samme omkostning på 0 i forbindelse med udførelse af job nr. 5. Den eksisterende plan for job,, 3 og 4 kræver herefter en revision, hvor person 5 ikke nødvendigveis udfører job 5. Begrund hvorfor, og find en plan der er bedre for alle jobs ved at benytte transportmetoden. Opgave 36 Århus, sommer 99 Betragt LP-problemet: max z = x + x +3x 3 ubb. x + x +3x 3 = 5 (P) x + x +5x 3 0 x + x + x 3 0 x, x, x 3 0 Lad x 4 og x 5 være surplus- hhv. slackvariabel i. og 3. restriktion. En optimal simplekstabel for (P) har i udsnit følgende udseende: z z x x x 3 x 4 x 5 RHS x /3 7/6 5/ x /3 /6 5/ x / 5/ Spørgsmål. Angiv den tilhørende optimale basismatrix og udfyld de manglende elementer i tabellen.

27 7 Er der alternative optima? Begrund svaret. Spørgsmål. Opskriv det til (P) hørende duale problem og angiv en optimal løsning hertil. Spørgsmål 3. Lad x 6 være en ny beslutningsvariabel med tekniske koefficienter a 6 = (,, 3) t og c 6 som koefficient i objektfunktionen. Hvilke værdier af c 6 bevirker, at x 6 kan indgå i en ny og udvidet, optimal basisløsning? Spørgsmål 4. Antag at (P) skal løses med heltalskrav for x 3 (og uden udvidelsen fra spørgsmål 3). Konstruér det Gomory-snit, som skal indføres ud fra den ovenstående optimaltabel til (P). Spørgsmål 5. Udvid den optimale simplekstabel med en række svarende til snittet fra spørgsmål 4 og gennemfør den efterfølgende duale simpleksiteration på den udvidede tabel. Hvad er konklusionen? Er det blandede heltalsprogram dermed løst? Opgave 37 Århus, sommer 99 Lad G = (N, A) være en orienteret graf med knude- hhv. kantmængde som følger: N = {,, 3, 4, 5, 6} og A = {(, ), (, 3), (, 4), (, 5), (3, ), (3, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 6)}. De tilhørende kantomkostninger pr. afsendt mængdeenhed langs kanten og kanternes maksimale kapaciteter er (i samme rækkefølge som angivet i A ovenfor): {(c ij, u ij ) (ij) A} = {(7, 75), (6, 35), (3, 50), (, 0), (, 50), (6, 40), (8, 70), (, 35), (6, 45)}. De følgende spørgsmål skal besvares under anvendelse af passende algoritmer. Spørgsmål. Tegn grafen, anfør de tilhørende kantomkostninger hhv. -kapaciteter og find den korteste vej fra knude til alle øvrige knuder. Spørgsmål. Påvis, at følgende strømme i kanterne (i samme rækkefølge som angivet i A ovenfor) ikke minimerer de samlede transportomkostninger, når der i både knude og 3 udbydes 50 enheder, som skal tilfredsstille en efterspørgsel på 00 enheder i knude 6: {x ij (ij) A} = (5, 35, 40, 0, 45, 40, 55, 5, 45).

28 8 Spørgsmål 3. Find en optimal løsning til strømningsproblemet fra spørgsmål og de tilhørende totale omkostninger ved at tage udgangspunkt i den givne, brugbare løsning. Er der alternative løsninger? Begrund dit svar og angiv en alternativ løsning, hvis der findes en. Spørgsmål 4. Find den maksimale, mulige strømning (d.v.s. max flow ) mellem knude og 6. Opgave 38 (København sommer 994) Betragt følgende lineære programmeringsproblem min c x +c x +c 3 x 3 ubb. x + x + 4x 3 6 x x 3 3 x j 0 for j =,, 3. Betragt løsningen (x, x ) = ( 3, 3). Hertil hører naturligt basismatricen B = ( ) 0 og den inverse B = ( 0 ).. Undersøg, om den anførte løsning er en optimal løsning, idet (c, c, c 3 ) = (, 3, ).. Idet (c, c ) = (, 3), anføres den mindste værdi for c 3, for hvilken den anførte løsning er optimal. Anfør samtlige optimale løsninger, når c 3 antager denne værdi..3 Idet c 3 =, ønskes opgivet samtlige samhørende værdier af (c, c ), for hvilke den anførte løsning er optimal. Anfør resultatet i et diagram. Højresiden på den første bibetingelse har for tiden værdien b = 6. Denne ønskes varieret, idet (c, c, c 3 ) = (, 3, )..4 Anfør de optimale løsninger og de hertil hørende værdier af objektfunktion som funktion af b. Opgave 39 Tre fabrikker skal forsyne tre markeder med en vare i en periode. Produktionskapacitet for fabrikkerne og efterspørgslen i markederne i perioden fremgår af tabel.. Desuden står anført enhedstransportomkostningerne fra hver fabrik til hvert marked. Transporten ønskes tilrettelagt, således at

29 9 de samlede transportomkostninger minimeres under hensyn til begrænsninger i produktionskapacitet, idet al efterspørgsel tilfredsstilles. fabrik nr. marked nr. produktionskapacitet 3 i antal vareenheder efterspørgsel i antal vareenheder Tabel. Tabel. indeholder et forslag til en transportplan lager nr. marked nr Tabel.. Undersøg, om tabel. angiver en optimal transportplan.. Angiv samtlige optimale transportplaner. Der er tale om, at enhedstransportomkostninger benævnt c fra fabrik til marked skal forøges..3 Hvor stor kan c blive, når planen eller mindst en af planerne fra spørgsmål. fortsat skal være optimal? Anfør en optimal transportplan, når værdien af c lige netop overskrider den fundne størrelse. Værdien af c = 5 fastholdes igen. Der ventes herefter en forøgelse i efterspørgslen. Forøgelsen måles i antal ekstra efterspurgte vareenheder og antages at være den samme i samtlige markeder..4 Påvis først, at der med uændret efterspørgsel og med en optimal plan vil være ledig kapacitet på mindst to fabrikker. Det kræves nu, at kapaciteten på fabrik nr. udnyttes fuldt ud. Hvor meget skal efterspørgslen herefter stige, for at opnå en optimal løsning med ledig kapacitet på højst en fabrik.

30 30 Opgave 40 Betragt følgende lineære programmeringsproblem (P) max 5x +6x +7x 3 ubb. x + x +x 3 3 x +x + x 3 3 x + x + x 3 3 x i 0 for i =,, 3. Problemet kan opstilles på minimumsform således (P) min 5x 6x 7x 3 ubb. x +x +x 3 +x 4 = 3 x +x +x 3 +x 5 = 3 x +x +x 3 +x 6 = 3 x i 0 for i =,, 6. Til programmet (P) kendes følgende optimale simplextabel, tabel 3. z x x x 3 x 4 x 5 x 6 RHS Tabel Ved indføjelse af et fundamentalt Gomory snit ønskes problemet løst, idet det yderligere kræves, at de variable skal antage heltallige værdier. 3. Opstil det duale lineære programmeringsproblem til (P) (uden heltalskrav), og anfør en optimal løsning hertil. 3.3 Omform om nødvendigt bibetingelserne i det duale lineære programmeringsproblem til standard formen Ax + s = b, hvor s er ikke negative slackvariable. (Se bort fra manglende brugbarhed af den normale startbasis). Opstil på grundlag af tabel 3. en optimal simplextabel for det duale problem. 3.4 Ved indføjelse af et fundamentalt Gomory snit ønskes det duale problem løst, idet det yderligere kræves, at de variable skal antage heltallige værdier. (Kun en løsning ønskes bestemt).

31 3 Opgave 4 (København, sommer 995) Betragt følgende lineære programmeringsproblem min 60x + c x 0x 3 s.t. 8x + a x + x x + a x +, 5x 3 0 x + a 3 x + 0, 5x 3 8 x, x, x 3 0, hvor c, a, a og a 3 er konstante tal, hvis værdier skal fastlægges senere. Indføj på sædvanlig måde slackvariable x 4, x 5, x 6 i rækkefølge svarende til bibetingelserne. Til problemstillingen hører følgende simplextabel opstillet på sædvanlig standardform for et minimeringsproblem. z x x x 3 x 4 x 5 x 6 RHS x x x 0, , 5, 5 Tabel. Spørgsmål. Anfør basismatricen og dens inverse matrix. Anfør den hertil hørende løsning, og påvis at den er optimal. Spørgsmål. Bestem værdierne for c, a, a og a 3. Spørgsmål.3 Hvilke værdier i objektfunktionen kan koefficienten til x 3 antage, således at den fundne løsning fortsat er optimal. De fundne koefficienter til x ændres nu, således at c = 6, a = 3, a = 4 og a 3 =. Spørgsmål.4 Find en optimal løsning med de nye koefficienter. Opgave 4 En vare skal produceres og afsættes i tre på hinanden følgende perioder. Produktionskapacitet, variable produktionsomkostninger og efterspørgsel for hver periode står anført i tabel..

32 3 periode 3 Produktionskapacitet (antal vareenheder) Produktionsomkostninger 8 7 (tusinde kr. pr. vareenhed) Efterspørgsel 6 0 (antal vareenheder) Tabel. Det er muligt at opbevare producerede vareenheder på et lager. Ved overgang fra en periode til den følgende påføres herved lageromkostninger på tusinde kr. pr. vareenhed på lager. Ligeledes vil i en periode evt. utilfredsstillet efterspørgsel kunne noteres på en venteliste og tilfredsstilles ved leverance senere. Ved overgang fra en periode til den følgende påføres herved ventelisteomkostninger på 3 tusinde kr. pr. vareenhed på venteliste. På grundlag heraf fremkommer følgende omkostningsmatrix med elementer c ij, i =,, 3 og j =,, 3. i j Heri angiver c ij enhedsomkostningerne for en vare produceret i periode i og leveret i periode j (j i) eller noteret på venteliste i periode j (j < i). Der ønskes under de givne kapacitetsbegrænsninger en produktions/afsætningsplan, som minimerer de samlede anførte omkostninger, idet al efterspørgsel skal tilfredsstilles. Betragt herefter følgende forslag. I periode produceres 6 enheder til dækning af periodens egen efterspørgsel. I periode produceres 6 enheder til delvis dækning af periodens egen efterspørgsel. Periode 3 dækker al resterende efterspørgsel (ved produktion af 5 enheder). Spørgsmål. Formulér problemstillingen som en transportmodel. Find en optimal plan ved hjælp af transportmetoden. (Anvend evt. forslaget som udgangspunkt).

33 33 Spørgsmål. Hvor meget kan ventelisteomkostningerne forøges uden at forandre planen fra Spørgsmål.? Hvorledes bliver planen ved endnu højere ventelisteomkostninger? Spørgsmål.3 Hvor meget kan produktionsomkostningerne i periode sænkes uden at forandre planen fra Spørgsmål.? Hvor meget kan produktionsomkostningerne i periode stige? Der er overskudskapacitet. Det overvejes derfor at nedsætte produktionskapaciteten i periode 3 til k enheder. Spørgsmål.4 Hvorledes bliver de optimale planer for k = 0,, 5? Opgave 43 Betragt følgende lineære programmeringsproblem (P) max 4x + 6x + x 3 s.t. x + x 3 x + x 3 x, x, x 3 0. De to første søjler i bibetingelserne udgør en basismatrix B = ( ) 0 med den inverse B = ( ). 0 Spørgsmål 3. Opstil den hertil hørende simplextabel og påvis, at den tilsvarende løsning er optimal. Spørgsmål 3. Opstil det duale lineære programmeringsproblem. Anfør en optimal løsning hertil og påvis, at udsagnet om det komplementære slack er opfyldt. Spørgsmål 3.3 Find ved hjælp af snitplanmetoden en optimal løsning til (P), idet det yderligere kræves, at de variable skal antage heltallige værdier. (Det er tilstrækkeligt med kun et fundamentalt snit). Udtryk det fundne snit i de oprindelige variable. Snittet fra spørgsmål 3.3 føjes nu til bibetingelserne i (P). Spørgsmål 3.4 Påvis, at det herved opnåede lineære programmeringsproblem altid vil få heltallige optimale løsninger uanset valg af objektfunktion. Opgave 44 Der foreligger 3 projekter, som hver kan bemandes med højst 5 personer. Udbyttet af et projekt afhænger af bemandingens størrelse. Udbytterne fremgår